人教版高中数学必修2-4.3《空间直角坐标系》教学设计

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人教版高中数学必修2《四章圆与方程 4.3空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式》公开课教案_14

4.3.1空间直角坐标系尊敬的各位老师：大家好！今天我说课的课题是《空间直角坐标系》第1课时。

我将以“先学后教”的思路，从教材分析、学情分析等五个方面来谈谈我对教材的理解。

一、教材分析：(一)地位和作用：《空间直角坐标系》是高中数学必修二第四章第三节内容。

本节是在学习完立体几何和直线与圆的方程后，又一重要的知识点，它是平面直角坐标系的进一步推广，是学生思维从二维到三维的过渡，与前面立体几何的内容前后呼应，更是后面运用空间向量解决立体几何问题的基础。

（二）三维目标分析1、知识目标：（1）掌握空间直角坐标系的有关概念，会由点的位置写出坐标，会由坐标描出点的位置。

（2）理解将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法。

2、能力目标：培养学生类比，化归，探究的能力和空间想象能力。

3、德育目标：通过学习的过程，培养学生合作精神和勤于思考、勇于创新的意识，让每个学生都获得自己力所能及的数学知识，增强学生的自信心。

（三）教学的重点和难点：1、教学重点：（1）空间直角坐标系的有关概念；（2）由点的位置写出点的坐标；（3）由点的坐标描出点的位置2、教学难点：（1）空间直角坐标系产生的过程；（2）如何建立恰当的坐标系来确定点的位置二、学情分析：优点：高一学生求知欲望强烈。

而且第一章学习了立体几何，有了一定的空间思维能力和方法；第四章研究了直线与圆的有关问题，已有了坐标系的基础。

缺点：高一学生的思维仍然停留在二维平面上。

根据《教学大纲》的要求和学生已有的知识基础和认知能力，我确定了以下三维教学目标和教学重难点：基于上面的学生知识基础和认知能力以及教材的特点，我对我的教法及学生的学法做一个分析。

三、教法学法分析：1、教法分析：（1）情境设置法：激发学生学习欲望。

（2）启发式教学法：突出学生的主体地位。

（3）小组合作法：提高学生的实践能力。

2、学法分析：（1）课前预习，先学后教。

课前布置学生用木棍做一小长方体，课前给出问题（如：什么是空间直角运用新知解决新情布置作业能力迁移坐标系？如何用空间直角坐标系来表示空间中一个点的位置？……），学生带着问题去预习，在预习的过程中发现问题，激发学生的求知欲望。

必修二4.3.空间直角坐标系(教案设计)

实用文案标准文档4.3 空间直角坐标系教案 A教学目标一、知识与技能1. 理解空间直角坐标系的建立，掌握空间中点的坐标表示；2. 掌握空间两点间的距离公式.二、过程与方法1. 建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示；2. 经历由平面上两点间距离公式推导出空间中两点间的距离公式的过程.三、情感、态度与价值观1. 通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，体会类比和数形结合的思想.2. 通过空间两点间距离公式的推导，经历从易到难，从特殊到一般的认识过程. 教学重点、难点教学重点：空间直角坐标系中点的坐标表示，空间两点间的距离公式.教学难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导.教学关键：用类比的方法写出空间的点的坐标，记忆并应用空间两点间的距离公式求空间的两点间距离，提高学生的空间想象能力.教学突破方法：借助正方体，发挥学生的空间想象能力，写出空间点的坐标.教法与学法导航教学方法：问题教学法，类比教学法.学习方法：探究讨论、练习法.教学准备教师准备：多媒体课件，正方体模型.学生准备：平面直角坐标系中点的坐标的写法.教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图创设情境导入新课1.我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M都可用对应一对有序实数（x，y）表示.那么假设我们对立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组（x，y，z）表示出来呢？师：启发学生联想思考.生：感觉可以.师：我们不能仅凭感觉，我们要对它的认识从感性化提升到理性化.让学生体会到点与数（有序数组）的对应关系.教师备课系统──多媒体教案2续上表概念形成2.空间直角坐标系该如何建立呢？图1师：引导学生看图1，单位正方体OABC – D ′A ′B ′C ′，让学生认识该空间直角系O –xyz 中，什么是坐标原点，坐标轴以及坐标平面.师：该空间直角坐标系我们称为右手直角坐标系.体会空间直角坐标系的建立过程.3．建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M 如何用坐标表示呢？图 2 师：引导学生观察图2. 生：点M 对应着唯一确定的有序实数组（x ，y ，z ），x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标. 师：如果给定了有序实数组（x ，y ，z ），它是否对应着空间直角坐标系中的一点呢？生：（思考）是的．师：由上我们知道了空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组（x ，y ，z ）来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M （x ，y ，z ），x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标.师：大家观察一下图1，你能说出点O ，A ，B ，C 的坐标吗？学生从（1）中感性向理性过渡.实用文案标准文档续上表应用举例 4. 例1 如图，在长方体OABC – D ′A ′B ′C ′中，|OA | = 3，|OC | = 4，|OD ′| = 2.写出D ′、C 、A ′、B ′四点的坐标. 【解析】D ′在z 轴上，且O D ′ = 2，它的竖坐标是2；它的横坐标x 与纵坐标y 都是零，所以点D ′的坐标是（0，0，2）. 点C 在y 轴上，且O C = 4，它的纵坐标是4；它的横坐标x 与竖坐标z 都是零，所以点C 的坐标是（0，4， 0）. 同理，点A ′的坐标是（3，0，0）. 点B ′在xOy 平面上的射影是B ，因此它的横坐标x 与纵坐标y 同点B 的横坐标x 与纵坐标y 相同.在xOy 平面上，点B 横坐标x = 3，纵坐标y = 4；点B ′在z 轴上的射影是D ′，它的竖坐标与点D ′的竖坐标相同，点D ′ 的竖坐标z = 2. 所点B ′的坐标是（3，4，2）．例2结晶体的基本单位称为晶胞，图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子.如图，建立空间直师：让学生思考例1一会，学生作答，师讲评. 师：对于例2的讲解，主要是引导学生先要学会建立合适的空间直角坐标系，然后才涉及到点的坐标的求法.生：思考例1、例2的一些特点.总结如何求出空间中的点坐标的方法.例2【解析】把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层的原子全部在xOy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是（0，0，0），（1，0，0），（1，1，0），（0，1，0），11(,,0)22；中层的原子所在的平面平行于xOy 平面，与z 轴交点的竖坐标为12，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是 1111(,0,),(1,,)2222，1111(,1,),(0,,)2222；学生在教师的指导下完成，加深对点的坐标的理解，例2更能体现出建立一个合适的空间直角系的重要性.教师备课系统──多媒体教案4 角坐标系O–xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标.续上表实用文案标准文档上层的原子所在的平面平行于xOy平面，与z轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），11(,,1)22.5. 练习 2 如图，长方体OABC–D′A′B′C′中，|OA| = 3，|OC| =4，|OD′| = 3，A′C′于B′D′相交于点P.分别写出点C、B′、P的坐标.师：大家拿笔完成练习2然后上黑板来讲解.生：完成.【解析】C、B′、P各点的坐标分别是（0，4，0），（3，4，3），3(,2,3)2.学生在原有小结的经验的基础上，动手操作，并且锻炼学生的口才．提出新概念6. 在平面上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的距离的公式为|AB|=221212()()x x y y-+-，那么对于空间中任意两点A（x1，y1，z1），B （x2，y2，z2）之间的距离的公式会是怎样呢？你猜猜？师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要.生：踊跃回答.通过类比，充分发挥学生的联想能力.概念形成7. 空间中任间一点P （x，y，z）到原点之间的距离公式会是怎样呢？师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成.学生：在教师的指导下作答得出|OP|=222x y z++.从特殊的情况入手，化解难度.续上表教师备课系统──多媒体教案6 概念深化8. 如果|OP| 是定长r，那么x2+ y2+ z2 = r2表示什么图形？师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程x2+ y2=r2表示的图形中，方程x2+y2 = r2表示图形，让学生有种回归感.生：猜想说出理由.学会类比.9.如果是空间中任意一点P1（x1，y1，z1）到点P2（x2，y2，z2）之间的距离公式是怎样呢？师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导.得出结论：|P1P2|=222121212()()()x x y y z z-+-+-人的认识是从特殊情况到一般情况的.10. 巩固练习（1）先在空间直角坐标系中标出A、B两点，再求它们之间的距离：A（2，3，5），B（3，1，4）；A（6，0，1），B（3，5，7）.（2）在z轴上求一点M，使点M到点A（1，0，2）与点B（1，–3，1）的距离相等.教师引导学生作答（1）【解析】6，图略；70，图略（2）【解析】设点M的坐标是（0，0，z）.依题意，得22(01)0(2)z-++-=222(01)(03)(1)z-+++-培养学生直接利用公式解决问题能力，进一步加深理解.续上表实用文案标准文档（3）求证：以A（10，–1，6），B（4，1，9），C（2，4，3）三点为顶点的三角形是等腰三角形.4．如图，正方体OABD–D′A′B′C′的棱长为a，|AN| =2|CN|，|BM| = 2|MC′|.求MN的长.解得z = –3.所求点M的坐标是（0，0，–3）.（3）【证明】根据空间两点间距离公式，得，︱AB︱=222(104)(11)(69)-+--+-=7，︱BC︱=222(42)(14)(93)-+-+-=7，︱AC︱=222(102)(14)(63)-+--+-=98.因为7+7＞98，且|AB| =|BC|，所以△ABC是等腰三角形.4．【解析】由已知，得点N的坐标为2(,,0)33a a，点M的坐标为2(,,)33a aa，于是22222||()()(0)33335.3a a a aMN aa=-+-+-=小结今天通过这堂课的学习，你能有什么收获？（1）空间点的坐标表示，（2）空间两点间的距离公式及应用.生：谈收获.师：总结.知识整理.课堂作业1.已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个坐标同号，则点M的坐标为 ______.【解析】分别过点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)作与yOz平面，xOz平面，xOy教师备课系统──多媒体教案8平面平行的平面，三个平面的交点即为M 点，其坐标为(1，1，1)或过点(-1，0，0)，(0，-1，0)，(0，0，-1)作与yOz 平面，xOz 平面，xOy 平面平行的平面，三个平面的交点即为M 点，其坐标为(-1，-1，-1).答案：(1，1，1)或(-1，-1，-1)2. 如图，正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，棱长为1，求点E 、F 的坐标和B 1关于原点D 的对称点坐标.【解析】由B （1，1，0），B 1（1，1，1），则中点E 为1(1,1,)2，由B 1（1，1，1），D 1（0，0，1），则中点11(,,1)22F . 设B 1关于点D 的对称点M （x 0，y 0，z 0），即D 为B 1M 的中点，因为D （0，0，0），所以，000000102110121102x x y y z z +==--==-=-+=⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩，，，得，．，所以M （–1，–1，–1 ）.3. 已知点A 在y 轴，点B （0，1，2）且||5AB =，则点A 的坐标为 .【解析】由题意设A （0，y ，0），则2(1)45y -+=，解得：y = 0或y = 2，故点A 的坐标是（0，0，0）或（0，2，0） 4. 坐标平面yOz 上一点P 满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A （3，2，5），B （3，5，2）的距离相等，求点P 的坐标.【解析】由题意设P （0，y ，z ），则2222222(03)(2)(5)(03)(5)(2)y z y z y z +=⎧⎨-+-+-=-+-+-⎩，，解得：11.y z =⎧⎨=⎩，故点P 的坐标为（0，1，1）．实用文案标准文档教案 B第1课时教学内容：4.3.1 空间直角坐标系教学目标1. 通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；2. 掌握空间直角坐标系、右手直角坐标系的概念，会画空间直角坐标系，会求空间直角坐标；3. 深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示；4. 通过数轴与数，平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性.教学重点、难点教学重点：求一个几何图形的空间直角坐标. 教学难点：空间直角坐标系的理解. 教学过程一、情景设计1. 我们知道数轴上的任意一点M 都可用对应一个实数x 表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M 都可用对应一对有序实数),(y x 表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组()z y x ,,表示出来呢？2.空间直角坐标系该如何建立呢？二、新课教学如图，OABC －D ′A ′B ′C ′是单位正方体，以O 为原点，分别以射线OA ，OC ，OD ′的方向为正方向，以线段OA ，OC ，OD ′的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，∠xpy ＝135°，∠yoz ＝45°，这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xoy 平面，yoz 平面，zox 平面.在空间坐标系中，让右手拇指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.空间直角坐标系有序实数组（x ，y ，z ）一一对应.（x ，y ，z ）称为空间直角坐标系的坐标，x 称为横坐标，y 称为纵坐标，z 为竖坐标.O 、A 、B 、C 四点坐标分别为：O （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0）．教师备课系统──多媒体教案10例1 在长方体OABC －D ’A ’B ’C ’中，∣OA ∣＝3，∣OC ∣＝4，∣OD ′∣＝2，写出D ′、C 、 A ′、B ′四点的坐标.【解析】因为D ′在z 轴上，且∣OD ′∣＝2，它的竖坐标为2，它的横坐标与纵坐标都是零，所以D ′点的坐标是（0，0，2）；点C 在y 轴上，且∣OC ∣＝4，所以点C 的坐标为（0，4，0）；点A ′的坐标为（3，0，2），B ′的坐标为（3，4，2）.例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为21的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图，建立空间直角坐标系Oxyz 后，试写出全部钠原子所在位置的坐标.【解析】把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层原子全在xOy 平面，它们所在位置的竖坐标全是0，所以下层的五个钠原子所在位置的坐标分别为：（0，0，0），（1，0，0），（1，1，0），（0，1，0），（21，21，0）；中层的四个钠原子所在位置的坐标分别为：（21，0，21），（1，21，21），（21，1， 21），（0，21， 21）；上层的五个钠原子所在位置的坐标分别为：（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），（21，21，1）.三、典型例题解析例3 在空间直角坐标系中，作出点M （6，－2， 4）.点拨：点M 的位置可按如下步骤作出：先在x 轴上作出横坐标是6的点1M ，再将1M 沿与y 轴平行的方向向左移动2个单位得到点2M ，然后将2M 沿与z 轴平行的方向向上移动4个单位即得点M .答案：M 点的位置如图所示.总结：对给出空间直角坐标系中的坐标作出这个点、给出具体的点写出它的空间直角坐标系中的坐标这两类题目，要引起足够的重视，它不仅可以加深对空间直角坐标系的认识，而且有利于进一步培养空间想象能力.变式题演练1M2M M （6，-2,4） Oxyz624实用文案标准文档在空间直角坐标系中，作出下列各点：A （-2，3，3）；B （3，-4，2）；C （4，0，-3）.答案：略.例4 已知正四棱锥P -ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.点拨：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系.【解析】正四棱锥P -ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，∴正四棱锥的高为232.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB 、BC 所在的直线分别为y 轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A （2，-2，0）、B （2，2，0）、C （-2，2，0）、D （-2，-2，0）、P （0，0，223）.总结：在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标.变式题演练在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =12，AD =8，AA 1=5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.【解析】以A 为原点，射线AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，0）、B （12，0，0）、C （12，8，0）、D （0，8，0）、A 1（0，0，5）、B 1（12，0，5）、C 1（12，8，5）、D 1（0，8，5）.例5 在空间直角坐标系中，求出经过A （2，3，1）且平行于坐标平面yOz 的平面α的方程.点拨：求与坐标平面yOz 平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利用与坐标平面yOz 平行的平面内的点的特点来求解.【解析】坐标平面yOz ⊥x 轴，而平面α与坐标平面yOz 平行， ∴平面α也与x 轴垂直，∴平面α内的所有点在x 轴上的射影都是同一点，即平面α与x 轴的交点， ∴平面α内的所有点的横坐标都相等. 平面α过点A （2，3，1），∴平面α内的所有点的横坐标都是2， ∴平面α的方程为x =2.总结：对于空间直角坐标系中的问题，可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解方法，再用类比方法求解空间直角坐标系中的问题.本题类似于平面直角坐标系中，求过某一定点且与x 轴（或y 轴）平行的直线的方程.OA B CDPx yz教师备课系统──多媒体教案12变式题演练在空间直角坐标系中，求出经过B （2，3，0）且垂直于坐标平面xOy 的直线方程. 答案：所求直线的方程为x =2，y =3. 四、课堂小结（1）空间直角坐标系的建立. （2）空间中点的坐标的确定. 五、布置作业P138习题4.3 A 组：1，2.第2课时教学内容：4.3.2 空间两点间的距离公式教学目标1. 通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式；2. 通过推导和应用空间两点间的距离公式，进一步培养学生的空间想象能力；3. 通过探索空间两点间的距离公式，体会转化（降维）的数学思想. 教学重点、难点探索和推导空间两点间的距离公式. 教学过程一、问题引入问题：求粉笔盒（长方体）的对角线的长度. 解决方案： ①直接测量取两个或三个一样的粉笔盒如图放置，用尺子测量其对角线的长度.②公式计算量出粉笔盒的长、宽、高，用勾股定理计算.一般地，如果长方体的长、宽、高分别为c b a ,,，那么对角线长222c b ad ++=.实用文案标准文档③坐标计算建立空间直角坐标系，使得长方体的一个顶点为坐标原点，所有棱分别与坐标轴平行，求出对角线顶点的坐标，用平面内两点间的距离公式和勾股定理计算.一般地，空间任意一点),,(z y x P 与原点间的距离222z y x OP ++=.探究：如果OP 是定长r ，那么2222r z y x =++表示什么图形？思考：上面推导了空间任意一点与原点间的距离公式，你能否猜想空间任意两点间的距离公式？如何证明？类比空间任意一点与原点间的距离公式，猜想空间任意两点间的距离公式.用平面内两点间的距离公式和勾股定理推导. 由此可得空间中任意两点),,(),,,(22221111z y x P z y x P 之间的距离公式22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=.二、例题精讲例1 已知A （x ，2，3）、B （5，4，7），且|AB |=6，求x 的值. 【解析】|AB |=6，∴6)73()42()5(222=-+-+-x ，即（x -5）2=16，解得x =1或x =9.例2 求点P （1，2，3）关于坐标平面xOy 的对称点的坐标.【解析】设点P 关于坐标平面xOy 的对称点为P ′，连 P P ′交坐标平面xOy 于Q ，则P P ′⊥坐标平面xOy ，且|PQ |=|P ′Q|，∴P ′在x 轴、y 轴上的射影分别与P 在x 轴、y 轴上的射影重合，P ′在z 轴上的射影与P 在z 轴上的射影关于原点对称，∴P ′与P 的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，∴ 点P （1，2，3）关于坐标平面xOy 的对称点的坐标为（1，2，-3）.点评：通过巧设动点坐标，得到关于两点间距离的目标函数，由函数思想得到几何最值. 注意这里对目标函数最值的研究，实质就是非负数最小为0. 三、课堂小结1. 空间中两点间距离的坐标计算.2. 类比思想：维度的升高，距离公式如何改变？四、布置作业P138 习题4.3A 组：3.P139习题4.3B 组:1，2，3.教师备课系统──多媒体教案14第四章测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知点(1,4,2)M -，那么点M 关于y 轴对称点的坐标是（）． A ．(1,4,2)-- B ．(1,4,2)- C ．(1,4,2)- D ．(1,4,2)2.若直线3x +4y +c =0与圆（x +1）2+y 2=4相切，则c 的值为（）． A ．17或-23 B ．23或-17 C ．7或-13 D ．-7或133.过圆x 2+y 2-2x +4y -4=0内一点M （3，0）作圆的割线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程是（）.A ．x +y -3=0B ．x -y -3=0C ．x +4y -3=0D ．x -4y -3=04.经过(1,1),(2,2),(3,1)A B C --三点的圆的标准方程是（）. A ．22(1)4x y ++= B.22(1)5x y ++= C ．22(1)4x y -+=D.22(1)5x y -+=5.一束光线从点A （－1， 1）出发经x 轴反射，到达圆C ：（x －2）2＋（y －3）2=1上一点的最短路程是（）.A ．32－1B ．26C ．5D ．46.若直线l :ax +by +1=0始终平分圆M :x 2+y 2+4x +2y +1=0的周长，则(a -2)2+(b -2)2的最小值为（）.A ．5B ．5C ．25D ．107.已知两点(1,0)A -、(0,2)B ，若点P 是圆22(1)1x y -+=上的动点，则ABP ∆面积的最大值和最小值分别为（）.A ．11(45),(51)22+- B ．11(45),(45)22+- C ．11(35),(35)22+-D ．11(25),(52)22+-8.已知圆224x y +=与圆2266140x y x y +-++=关于直线l 对称，则直线l 的方程是（）.实用文案标准文档A. 210x y -+=B. 210x y --=C. 30x y -+=D. 30x y --=9.直角坐标平面内，过点(2,1)P 且与圆224x y +=相切的直线（）. A.有两条 B.有且仅有一条C.不存在D. 不能确定10.若曲线222610x y x y ++-+=上相异两点P 、Q 关于直线240kx y +-=对称，则k 的值为（）.A. 1B. -1C.12D. 2 11.已知圆221:460C x y x y +-+=和圆222:60C x y x +-=相交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线方程为（）.A.30x y ++=B.250x y --=C.390x y --=D. 4370x y -+= 12. 直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若︱MN ︱≥23，则k 的取值范围是（）.A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[)3,0,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线l ：3440x y ++=的距离d = ．14.直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则AB ∣∣= . 15.过点A （4，1）的圆C 与直线10x y --=相切于点 B （2，1），则圆C 的方程为 .16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x -5y +c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是______ .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知圆经过(3,0)A ，18(,)55B -两点，且截x 轴所得的弦长为2，求教师备课系统──多媒体教案16此圆的方程.18.（12分）已知线段AB 的端点B 的坐标为（1，3），端点A 在圆C:4)1(22=++y x 上运动.（1）求线段AB 的中点M 的轨迹；（2）过B 点的直线L 与圆C 有两个交点P ，Q .当CP ⊥CQ 时，求L 的斜率.19.（12分）设定点M （-2，2），动点N 在圆222=+y x 上运动，以OM 、0N 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程.20.（12分）已知圆C 的半径为10，圆心在直线2y x =上，且被直线0x y -=截得的弦长为42，求圆C 的方程.21.（12分）已知圆C ：222430x y x y ++-+=．（1）若不经过坐标原点的直线l 与圆C 相切，且直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）设点P 在圆C 上，求点P 到直线50x y --=距离的最大值与最小值．22.（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为23，求直线l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它实用文案标准文档们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.教师备课系统──多媒体教案18参考答案一、选择题1. 选B.纵坐标不变，其他的变为相反数．2. 选D.圆心到切线的距离等于半径.3. 选 A.直线l 为过点M ，且垂直于过点M 的直径的直线.4. 选D.把三点的坐标代入四个选项验证即可.5. 选D.因为点A （-1， 1）关于x 轴的对称点坐标为（-1，-1），圆心坐标为（2，3），所以点.A （-1， 1）出发经x 轴反射，到达圆C ：（x －2）2＋（y －3）2=1上一点的最短路程为22(12)(13)1 4.--+---=6.选B.由题意知，圆心坐标为（-2，-1），210.a b ∴--+=22(2)(2)a b -+-表示点（a,b ）与（2，2）的距离，2242122541a b +--+-=+所以（）（）的最小值为，所以22(2)(2)a b -++的最小值为5.7.选B.过圆心C 作CM AB ⊥于点M ，设CM 交圆于P 、Q 两点，分析可知ABP ∆和ABQ ∆分别为最大值和最小值，可以求得||5AB =，45d =，所以最大值和最小值分别为1415(1)(45)225±=±． 8.选D.两圆关于直线l 对称，则直线l 为两圆圆心连线的垂直平分线.9.选A.可以判断点P 在圆外，因此，过点P 与圆相切的直线有两条. 10.选D.曲线方程可化为22(1)(3)9x y ++-=，由题设知直线过圆心，即(1)2340,2k k ⨯-+⨯-=∴=.故选D.11.选C.由平面几何知识，知AB 的垂直平分线即为两圆心的连线，把两圆分别化为标准式可得两圆心，分别为C 1（2，-3）、C 2（3，0），因为C 1C 2斜率为3，所以直线方程为y-0=3（x-3），化为一般式可得3x-y-9=0.12.选A ．（方法1）由题意，若使︱MN ︱≥23，则圆心到直线的距离d ≤1，即实用文案标准文档113232≤++-k k ≤1，解得34-≤k ≤0.故选A. （方法2）设点M ，N 的坐标分别为),(),,2211y x y x （，将直线方程和圆的方程联立得方程组223(3)(2)4y kx x y =+⎧⎨-+-=⎩，，消去y ，得06)3(2)1(22=+-++x k x k ，由根与系数的关系，得16,1)3(2221221+=⋅+--=+k x x k k x x ，由弦长公式知2122122124)(1||1||x x x x k x x k MN -+⋅+=-⋅+==1122420164]1)3(2[1222222++--=+⋅-+--⋅+k k k k k k k ，︱MN ︱≥23，∴222024121k k k --++≥23，即8(43k k +）≤0，∴34-≤k ≤0，故选A.二、填空题13. 3. 由圆的方程可知圆心坐标为C （1，2），由点到直线的距离公式，可得3434241322=++⨯+⨯=d ．14. 23（方法1）设11,)A x y （，22(,)B x y ，由22250,8.x y x y -+=⎧⎨+=⎩消去y 得251070x x +-=，由根与系数的关系得121272,,5x x x x +=-=-2121212415()45x x x x x x -=+-=， ∴ 21215415123225ABx x ∣∣=+-=⨯=（）.教师备课系统──多媒体教案20（方法2）因为圆心到直线的距离555d ==，所以22228523AB r d =-=-=.15. 22(3)2x y -+=. 由题意知，圆心既在过点B （2，1）且与直线10x y --=垂直的直线上，又在点,A B 的中垂线上.可求出过点B （2，1）且与直线10x y --=垂直的直线为30x y +-=，,A B 的中垂线为3x =，联立方程30,3,x y x +-==⎧⎨⎩，解得3,0,x y ==⎧⎨⎩，即圆心(3,0)C ，半径2r CA ==，所以，圆的方程为22(3)2x y -+=.16. 1313c -<<. 如图，圆422=+y x 的半径为2，圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，问题转化为坐标原点（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于 1.221,13,1313.125c c c <<∴-<<+即三、解答题17.【解析】根据条件设标准方程222()()x a y b r -+-=，截x 轴所得的弦长为2，可以运用半径、半弦长、圆心到直线的距离构成的直角三角形；则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==-+--=+-,1,)58()51(,)3(222222222b r r b a r b a ∴⎪⎩⎪⎨⎧===5,2,2r b a 或⎪⎩⎪⎨⎧===.37,6,4r b a∴所求圆的方程为22(2)(2)5x y -+-=或22(4)(6)37x y -+-=.实用文案标准文档18.【解析】（1）设()()11,,,A x y M x y ，由中点公式得111112123232x x x x y y y y +==-⇔+=-=⎧⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎩，，因为A 在圆C 上，所以()()222232234,12x y x y ⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭即 . 点M 的轨迹是以30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆.（2）设L 的斜率为k ，则L 的方程为()31y k x -=-，即30kx y k --+=，因为CP ⊥CQ ，△CPQ 为等腰直角三角形，圆心C （-1，0）到L 的距离为12CP =2，由点到直线的距离公式得222324129221k k k k k k --+=∴-+=++， ∴2k 2-12k +7=0，解得k =3±112. 故直线PQ 必过定点 1003⎛⎫ ⎪⎝⎭，.19.【解析】设P （x ，y ），N （x 0，y 0），∴22020=+y x ，（*）∵平行四边形MONP ， ∴ 00222222x x y y -=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，，有00+22x x y y ==-⎧⎨⎩，，教师备课系统──多媒体教案22代入（*）有2)2()2(22=-++y x ，又∵M 、O 、N 不能共线，∴将y 0=-x 0代入（*）有x 0≠±1，∴x ≠-1或x ≠-3，∴点P 的轨迹方程为2)2()2(22=-++y x （3x 1-≠-≠且x ）.20.【解析】因为所求圆的圆心C 在直线2y x =上，所以设圆心为(),2C a a ，所以可设圆的方程为()()22210x a y a -+-=，因为圆被直线0x y -=截得的弦长为42，则圆心(),2C a a 到直线0x y -=的距离()22224210211a ad ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭+-，即22a d ==，解得2a =±. 所以圆的方程为()()222410x y -+-=或()()222410x y +++=.21.【解析】（1）圆C 的方程可化为22(1)(2)2x y ++-=，即圆心的坐标为（-1，2），半径为2 ，因为直线l 在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点，所以可设直线l 的方程为 0x y m ++=；于是有|12|112m -+++=，得1m =或3m =-，因此直线l 的方程为10x y ++=或30x y +-=．（2）因为圆心（-1，2）到直线50x y --=的距离为|125|1142---+=，所以点P到直线50x y --=距离的最大值与最小值依次分别为52和32．22.【解析】（1）设直线l 的方程为：(4)y k x =-，即40kx y k --=，由垂径定理，得：圆心1C 到直线l 的距离22232()12d =-=，结合点到直线距离公式，得：2|314|11k k k ---=+，实用文案标准文档化简得：272470024k k k k +===-，解得或，求直线l 的方程为：0y =或7(4)24y x =--，即0y =或724280x y +-=. （2）设点P 坐标为(,)m n ，直线1l 、2l 的方程分别为：1(),()y n k x m y n x m k-=--=--，即：110,0kx y n km x y n m k k-+-=--++=，因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等. 由垂径定理，得圆心1C 到直线1l 与2C 直线2l 的距离相等. 故有：2241|5||31|111n m k n km k k k k --++--+-=++，化简得：(2)3,(8)5m n k m n m n k m n --=---+=+-或，关于k 的方程有无穷多解，有：2030m n m n m n m n --=⎧⎧⎨⎨--=⎩⎩，-+8=0，或，+-5=0，解之得：点P 坐标为)213,23(-或)21,25(.。

高中数学必修二《空间直角坐标系》优秀教学设计

4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系教材分析本节课内容是数学必修2 第四章圆与方程的最后一节的第一小节。

课本之所以把“空间直角坐标系”的内容放在必修2的最后即第四章的最后，原因有三：一、“空间直角坐标系”的内容为以后选修中用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题打基础，做好准备；二、必修2第三、四章是平面解析几何的基础内容，本节“空间直角坐标系”的内容是空间解析几何的基础，与平面解析几何的内容共同体现了“用代数方法解决几何问题”的解析几何思想；三、本套教材从整体上体现了“螺旋式上升”的思想，本节内容安排“空间直角坐标系”，为以后的学习作铺垫，正是很好地体现了这一思想。

本小节内容主要包含空间直角坐标系的建立、空间中由点的位置确定点的坐标以及由点的坐标确定点的位置等问题。

结合图形、联系长方体和正方体是学好本小节的关键。

课时分配本小节内容用1课时的时间完成，主要讲解空间直角坐标系的建立以及空间中的点与坐标之间的联系。

教学目标重点：空间直角坐标系，空间中点的坐标及空间坐标对应的点。

难点：右手直角坐标系的理解，空间中的点与坐标的一一对应。

知识点：空间直角坐标系的相关概念，空间中点的坐标以及空间坐标对应的点。

能力点：理解空间直角坐标系的建立过程，以及空间中的点与坐标的一一对应。

教育点：通过空间直角坐标系的建立，体会由二维空间到三维空间的拓展和推广，让学生建立发展的观点；通过空间点与坐标的对应关系，进一步加强学生对“数形结合”思想方法的认识。

自主探究点：如何由空间中点的坐标确定点的位置。

考试点：空间中点的确定及坐标表示。

易错易混点：空间中的点与平面内的点以及它们的坐标之间的联系与区别；空间直角坐标系中x轴上单位长度的选取。

拓展点：不同空间直角坐标系下点的坐标的不同；空间中线段的中点坐标公式。

教具准备多媒体课件和三角板课堂模式师生互动、小组评分以及兵带兵的课堂模式。

一、引入新课由数轴上的点和平面直角坐标系内的点的表示引入空间中点的表示。

4.3空间直角坐标系课件-高一上学期数学人教A版必修2

2
,
M3
5,
2,
3
三点为顶点
的三角形是等腰三角形
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6, M2M3 M3M1 , 原结论成立.
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
例6 在xoy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使M到
点N（6，5，1）的距离最小。
解由已知，可设M（x，1－x，0），则
MN (x 6)2 (1 x 5)2 (0 1)2
2(x 1)2 51.
x 1时,MN 51. min 此时M坐标为（1，0，0）
不见谁，谁变号
空间（关于轴）对称点
z
P3(1, 1,1)
P(1,1,1)
o
y
x
P1(1, 1, 1)
P2 (1,1, 1)
空间（关于面）对称点
z
P2 (1,1,1)
P1(1, 1,1)
P(1,1,1)
o
y
x
P3(1,1, 1)
空间点到原点的距离
z
o xA
| BP || z |
P(x•, y, z)
例5.设点P在x轴上,它到P 1
0,
2,3
的距离为到P 2
0,1, 1
为距离的两倍,求p的坐标.
解因为 P 在 x轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2

空间直角坐标系教案

【课题】4.3.1空间直角坐标系【教材】人教A版普通高中数学必修二第134页至136页.【课时安排】1个课时.【教学对象】高二〔上〕学生.【授课教师】***一．教材分析：本节内容主要引入空间直角坐标系的根本概念，是在学生已学过的二维平面直角坐标系的根底上进展推广，为以后学习用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题、研究空间几何对象等内容打下良好的根底。

空间直角坐标系的知识是空间解析几何的根底，与平面解析几何的内容共同表达了"用代数方法解决几何问题〞的解析几何思想；通过空间直角坐标系内任一点与有序数组的对应关系，实现了形向数的转化，将数与形严密结合，提供一个度量几何对象的方法。

其对于沟通高中各局部知识，完善学生的认知构造，起到了很重要的作用。

二．教学目标：✧知识与技能（1）能说出空间直角坐标系的构成与特征；（2）掌握空间点的坐标确实定方法和过程；（3）能初步建立空间直角坐标系。

✧过程与方法（1）结合具体问题引入，诱导学生自主探究；. z.（2）类比学习，循序渐进。

情感态度价值观（1）通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践性和应用性，感受数学刻画生活的作用，进而拓展自己的思维空间。

（2）通过用类比的数学思想方法探究新知识，使学生感受新旧知识的联系，并加深领会研究事物从低维到高维的方法与过程。

（3）通过对空间坐标系的接触学习，进一步培养学生的空间想象能力。

三．教学重点与难点：教学重点：空间直角坐标系相关概念的理解；空间中点的坐标表示。

教学难点：右手直角坐标系的理解，空间中点与坐标的一一对应。

四．教学方法：启发式教学、引导探究五．教学根本流程：↓. z.六．教学情境设计：. z.〔二〕引导探究，动手实践约6分钟思考：借助于平面直角坐标系，我们就可以用坐标来表示平面上任意一点的位置，则能不能仿照直角坐标系的方式来表示空间上任意一点的位置呢？不妨动手试一试……思路点拨：通过在地面上建立直角坐标系*Oy，则地面上任一点的位置可以用一对有序实数对〔*，y〕确定。

高中数学-空间直角坐标系教案

4.3.1 空间直角坐标系教案(一) 教学任务分析使学生深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示。

通过数轴与数，平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性。

(二) 教学重点和难点重点：空间直角坐标系中点的坐标表示难点：空间直角坐标系中点的坐标表示（三）教学过程(1) 空间直角坐标系的定义？引导学生看上图，单位正方体''''C B A D OABC ，让学生认识该空间直角坐标系O —xyz 中，什么是坐标原点，坐标轴以及坐标平面。

(2) 建立空间直角坐标系以后，空间中任意一点M 如何用坐标表示呢？引导学生观察图[2]，点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标；如果给定了有序实数组),,(z y x ，它是否对应着空间直角坐标系中的一点呢？由上我们知道了空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。

（3）例题讲解例1 如图，在长方体OABC-D`A`B`C`中，|OA|=3，|OC|=4，|OD`|=2，写出D`，C ，A`，B`四点的坐标.)2,4,3('),2,0,3('),0,4,0(),2,0,0('B A C D 解：由图可知：（4）练习1、如图，在长方体OABC-D`A`B`C`中，|OA|=3，|OC|=4，|OD`|=3，A`C`于B`D`相交于点P.分别写出点C ，B`，P 的坐标.2、如图，棱长为a 的正方体OABC-D`A`B`C`中，对角线OB`于BD`相交于点Q.顶点O 为坐标原点，OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上.试写出点Q 的坐标.3、在空间直角坐标系中标出下列各点：A(0,2,4)，B(1,0,5)，C(0,2,0)，D(1,3,4)四、课堂小结• 深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示。

人教版高中数学教案-空间直角坐标系

4. 3.1空間直角坐標系（教案）【教學目標】1.讓學生經歷用類比的數學思想方法探索空間直角坐標系的建立方法，進一步體會數學概念、方法產生和發展的過程，學會科學的思維方法．2.理解空間直角坐標系與點的座標的意義，掌握由空間直角坐標系內的點確定其座標或由座標確定其在空間直角坐標系內的點，認識空間直角坐標系中的點與座標的關係．3.進一步培養學生的空間想像能力與確定性思維能力．【教學重難點】重點：求一個幾何圖形的空間直角坐標。

難點：空間直角坐標系的理解。

【教學過程】一、情景導入1. 確定一個點在一條直線上的位置的方法．2. 確定一個點在一個平面內的位置的方法．3. 如何確定一個點在三維空間內的位置？例：如圖26-2，在房間（立體空間）內如何確定電燈位置？在學生思考討論的基礎上，教師明確：確定點在直線上，通過數軸需要一個數；確定點在平面內，通過平面直角坐標系需要兩個數．那麼，要確定點在空間內，應該需要幾個數呢？通過類比聯想，容易知道需要三個數．要確定電燈的位置，知道電燈到地面的距離、到相鄰的兩個牆面的距離即可．（此時學生只是意識到需要三個數，還不能從座標的角度去思考，因此，教師在這兒要重點引導）教師：在地面上建立直角坐標系xOy，則地面上任一點的位置只須利用x，y就可確定．為了確定不在地面內的電燈的位置，須要用第三個數表示物體離地面的高度，即需第三個座標z．因此，只要知道電燈到地面的距離、到相鄰的兩個牆面的距離即可．例如，若這個電燈在平面xOy上的射影的兩個座標分別為4和5，到地面的距離為3，則可以用有序數組（4，5，3）確定這個電燈的位置（如圖26-3）．這樣，仿照初中平面直角坐標系，就建立了空間直角坐標系O—xyz，從而確定了空間點的位置．二、合作探究、精講點撥1. 在前面研究的基礎上，先由學生對空間直角坐標系予以抽象概括，然後由教師給出準確的定義．從空間某一個定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數軸，這樣就建立了空間直角坐標系O—xyz，點O叫作座標原點，x軸、y軸、z軸叫作坐標軸，這三條坐標軸中每兩條確定一個座標平面，分別稱為xO平面，yO平面，zOx平面．教師進一步明確：（1）在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向則稱這個坐標系為右手坐標系，課本中建立的坐標系都是右手坐標系．（2）將空間直角坐標系O—xyz畫在紙上時，x軸與y軸、x軸與z軸成135°，而y 軸垂直於z軸，y軸和z軸的單位長度相等，但x軸上的單位長度等於y軸和z軸上的單位長度的，這樣，三條軸上的單位長度直觀上大致相等．2. 空間直角坐標系O—xyz中點的座標．思考1：在空間直角坐標系中，空間任意一點Ａ與有序數組（x，y，z）有什麼樣的對應關係？在學生充分討論思考之後，教師明確：（1）過點A作三個平面分別垂直於x軸，y軸，z軸，它們與x軸、y軸、z軸分別交於點P，Q，R，點P，Q，R在相應數軸上的座標依次為x，y，z，這樣，對空間任意點A，就定義了一個有序數組（x，y，z）．（2）反之，對任意一個有序數組（x，y，z），按照剛才作圖的相反順序，在坐標軸上分別作出點P，Q，R，使它們在x軸、y軸、z軸上的座標分別是x，y，z，再分別過這些點作垂直於各自所在的坐標軸的平面，這三個平面的交點就是所求的點A．這樣，在空間直角坐標系中，空間任意一點A與有序數組（x，y，z）之間就建立了一種一一對應關係：A（x，y，z）．教師進一步指出：空間直角坐標系O—xyz中任意點A的座標的概念對於空間任意點A，作點A在三條坐標軸上的射影，即經過點A作三個平面分別垂直於x 軸、y軸和z軸，它們與x軸、y軸、z軸分別交於點P，Q，R，點P，Q，R在相應數軸上的座標依次為x，y，z，我們把有序數組（x，y，z）叫作點A的座標，記為A（x，y，z）．（如圖26-4）思考2：（1）在空間直角坐標系中，座標平面xOy，xOz，yOz上點的座標有什麼特點？（2）在空間直角坐標系中，x軸、y軸、z軸上點的座標有什麼特點？解：（1）xOy平面、xOz平面、yOz平面內的點的座標分別形如（x，y，0），（x，0，z），（0，y，z）．（2）x軸、y軸、z軸上點的座標分別形如（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z）．三、典型例題例1、在空間直角坐標系O—xyz中，作出點P（5，4，6）．注意：在分析中緊扣座標定義，強調三個步驟，第一步從原點出發沿x軸正方向移動5個單位，第二步沿與ｙ軸平行的方向向右移動4個單位，第三步沿與z軸平行的方向向上移動6個單位（如圖26-5）．變式練習：已知長方體ABCD－A′B′C′D′的邊長AB＝12，AD＝8，AA′＝5，以這個長方體的頂點A為座標原點，射線AB，AD，AA′分別為x軸、y軸和z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，求這個長方體各個頂點的座標．注意：此題可以由學生口答，教師點評．解：A （0，0，0），B （12，0，0），D （0，8，0），A ′（0，0，5），C （12，8，0），B ′（12，0，5），D ′（0，8，5），C ′（12，8，5）．討論：若以C 點為原點，以射線CB ，CD ，CC ′方向分別為x ，y ，z 軸的正半軸，建立空間直角坐標系，那麼各頂點的座標又是怎樣的呢？得出結論：建立不同的坐標系，所得的同一點的座標也不同．例2、結晶體的基本單位稱為晶胞，如圖是食鹽晶胞的示意圖（可看成是八個棱長為21的小正方體堆積成的正方體），其中色點代表鈉原子，黑點代表氯原子，如圖，建立空間直角坐標系Oxyz 後，試寫出全部鈉原子所在位置的座標。

高中数学 4.3.1空间直角坐标系教案新人教A版必修2

空间直角坐标系复习课教学设计1．教学内容解析《空间直角坐标系》是人教A版必修2第四章《圆与方程》中第三节的内容．是“坐标法”在空间中的推广，又是学生以后学习“空间向量”的基础．重点：进一步学习建立空间直角坐标系的方法，深化建系的关键：垂直关系；进一步探究复杂空间几何体中点的坐标表示；使学生形成系统的知识结构．难点：复杂空间几何体中点的坐标表示；“坐标法”的应用．2．教学目标设置（1）知识与技能：掌握各种常用空间几何体的建系方法，能解决较复杂空间图形的建系问题；能写出某些复杂空间几何体中点的坐标；能用空间中两点间的距离公式，解决某些具体问题．（2）过程与方法：运用类比与转化，建立空间直角坐标系与平面直角坐标系之间的联系；运用归纳，从特殊到一般，总结出建系的方法与表示点坐标的方法．（3）情感、态度与价值观：体会二维空间到三维空间的推广；体会“坐标法”在空间图形中的应用，数与形的统一，用代数方法解决几何问题的思想．3．学生学情分析学生刚刚学习了“空间直角坐标系”与“空间中两点间的距离公式”这两个内容，对建系、点的坐标表示有一定的基础．同时也学习了“空间几何体”与“直线、圆的方程”，对柱、锥、球体有一定的认识与了解，对“坐标法”解决几何问题的思想也有一定的了解．但学生在前两节课中，更多地是在立方体、长方体等较简单的空间几何体中建立直角坐标系，在坐标系概念、点与坐标的对应上研究得更多．对各种空间几何体建系方法尚未总结．对具体的空间图形中的点（如斜棱柱的某些顶点、几何图形翻折后的点）的坐标，认识不够清晰．4．教学策略分析本节课运用探究式教学．第一环节是知识回顾，由教师引导，对前两节课的知识点进行简单的梳理．第二环节通过变式教学，对各种空间几何体进行分类：直棱柱、有线面垂直的棱锥、有面面垂直的棱锥或棱柱、正棱锥……由易到难，层层递进，使学生对建立空间直角坐标系的方法有一个更深的认识．同时，通过对具体问题（斜四棱柱）的探究，使学生对点的表示形成一个更清晰的认识．第三环节通过对几个不同的实例：确定外接球球心问题、翻折问题的探究，深化用代数方法解决几何问题的思想．本节课采用PPT 教学．同时，教师把要研究的几何体图形印成讲义，课前发给学生，免去了学生作图的环节，节约上课时间．5．教学过程第一环节：知识点的回顾．（结合课件，教师引导，学生回答．）建立空间直角坐标系的意义：用代数方法解决几何问题．①空间直角坐标系的构成，三要素：原点、坐标轴、单位长度；与平面直角坐标系的联系；右手系建系；②空间中点的坐标名称及表示方法：找到空间中点在平面xOy 上的射影，求出射影点的横、纵坐标，即为该点的横、纵坐标，该点在z 轴上的投影，即为竖坐标；③空间中两点的距离公式．第二环节：深化并归纳较复杂空间图形的建系方法；探究空间图形中某些特定的点的坐标表示．例1．为下列空间几何体建立恰当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标．（1）直四棱柱 ①正方体1111ABCD A BC D -，棱长为1；②长方体111112,3ABCD A B C D AB AA BC -===,；（学生较熟悉，课件直接展示建系结果，使仅量多的顶点在坐标轴上，轴上点的坐标表示更简单．）③所有棱长都为1，底面是菱形，60ABC ∠=；zx yz x yAC（让学生探究不同的建系方式，体会直棱柱中侧棱垂直底面的作用．）（2）棱锥，①侧棱PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是菱形，1,60PA AB ABC ==∠=；②侧棱PA ⊥底面ABC ，1,PA AB ABC ==∆是正三角形； ③正四棱锥,P ABCD PO -⊥面,1ABCD PO AB ==；，（四棱柱变为四棱锥，四棱锥变为三棱锥；侧棱PA 垂直底面变为高PO 垂直底面，建系类型与（1）相同，关键是“线面垂直”．底面还可以变为其它形状，如直角三角形、梯形等等．在②中可能会有学生取AC 中点或BC 中点做为坐标原点，可以引导学生比较几种不同建系方式的特点，如以A 点为坐标原点，可使其余各点的坐标为正数；若以线段BC 中点为坐标原点，可使,B C 点的坐标体现出对称性；若以AC 中点做为坐标原点，则可以自然过渡到下一类型：“面面垂直”……这部分对学生来说不难，因此只要提炼出方法，PPT 演示，不需要每个题都详细解答．）例2．（1）四棱锥P ABCD -，面PAB ⊥面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形， PAB ∆是正三角形，30,3,ABC AB BC ∠===（2）四棱柱1111ABCD A B C D -，面11AA D D ⊥面ABCD ．底面ABCD 是等腰梯形，zyx//,22,60AD BC AD BC BAD ==∠=．侧面11AA D D 是菱形，160A AD ∠=，建立恰当的空间直角坐标系，并写出相应各顶点的坐标．（利用转化思想，引导学生把面面垂直转化为线面垂直，建立空间直角坐标系．有面面垂直的柱及棱锥的建系都是同一类型．提醒学生，xOy 平面上点坐标的表示，可单独把该面画成平面直角坐标系，就能更清楚地体现各点的坐标．其它坐标平面内的点可类似得到，（2）中的1D 点的坐标就容易表示了．而对（2）中11,B C 点的坐标表示，部分学生会略感困难．引导学生利用面面垂直，找出这几点在平面xOy 上的射影就在直线BC 上，进而求出它们的坐标．通过该题使学生在具体实例中进一步体会复杂图形中点的坐标表示方法，关键点为：找射影．）通过以上图形的变化，引导学生归纳出建立空间直角坐标系的方法： 1．利用线面垂直建立空间直角坐标系；2．把面面垂直转化为线面垂直，进而建立空间直角坐标系．第三环节：用空间中两点间的距离公式解决实际问题．例3．正三棱锥,2P ABC AB -=，高3PO =．（1）建立恰当的空间直角坐标系，并写出各顶点对应的坐标；（2）试确定其外接球球心O '的位置．（类比正四棱锥的建系方式，学生容易想到利用高OP 来建立z 轴，这样坐标原点就确定下来了．那么学生也会自然地利用底面三角形的高，来建立x 轴或y 轴．当然也可能有学生会利用A 点或底面棱中点来作为坐标原点，可引导学生比较各种建系方式的不同．）（对第（2）小题，学生容易想到球心就在高OP 上，这样确定了球心的横、纵坐标．接下来只要设一个竖坐标．只有一个未知数，再找一个条件即可求解．如上图建立空间直角坐标系，设(0,0,)O h '，由O P O B ''=，得224(3)3h h -=+，解之，得2318h =．即O '坐标为23(0,0,)18．举一反三，教师引导学生推广求其它几何体的外接球球心的方法：设球心(,,)x y z ，三个未知数，只要找到三个条件，即球心到球面上三个点的距离都相等，列出三元一次方程组，解方程既可．）y例4．如图，在矩形A B C D 中，点,E F 分别在线段,AB AD 243A E EB A F F D ====.沿直线EF 将AEF V 翻折成1A EF ∆1A EF C --是直二面角.（1）建立恰当的空间直角坐标系，求1A 点的坐标；（2）点N 在线段BC 上，沿直线DN 将CDN ∆翻折成1C DN ∆，当二面角1C DN C --为120时，1C 到底面ABCD 的距离恰为1A 与1C 之间的距离；（可引导学生比较不同的建系方式，如坐标原点在A 点时，各点的坐标较简单．对于1A 点和1C 点的坐标表示，学生会直接过1A 点和1C 点作底面的垂线，1A 点射影的具体位置可以确定，但1C 点的则不能．教师引导学生从翻折图形的重要特征，即翻折前与翻折后哪些量保持不变入手．不妨让学生拿一张纸，实际翻折一下，学生会更直观地体验到，1C 的射影位置，其实是在过C 点，且垂直于DN 的直线上，这条垂直于DN 的直线经翻折后，恰构成了二面角1C DN C --的平面角，问题迎刃而解．同时，教师提醒学生注意翻折前的CD 与翻折后的1C D 为同一线段，或者翻折前后的CDN ∆与1C DN ∆全等，因此CD 与1C D 长度相同，为接下来的计算，以及下一小题的解决做个铺垫．）（3）点,M N 分别在线段,FD BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C与1A 重合，求线段FM 长．（本题是2010年浙江省的高考题．本题的难点在直线MN 的位置不确定，需要学生有一定的空间想象能力，画出翻折后的空间图形，并牢牢抓住翻折前后不变的量这一关键．利用线段相等，来求出点M 的坐标．如图建立空间直角坐标系，则M 点的坐标可设为(4,0,0)x +，这里只有一个未知量，因此只要再找一个条件即可．注意到1A M CM =，而C 与1A 坐标已知，1(10,8,0)A C ，可列出方程22(42)48(410)64x x +-++=+-+，解出214x =，即FM 长．）第四环节：小结．本节课继续学习了空间直角坐标系在各种空间图形中的建法；复杂空间图形中点坐标的表示方法；特殊问题，如翻折问题中点坐标的表示法；空间两点间距离公式在解决实际问题中的应用……以上可让学生各抒己见．作业：略．。

人教版高一数学必修二《空间直角坐标系》说课稿

人教版高一数学必修二《空间直角坐标系》说课稿一、教材分析1. 教材内容概述本节课的教材内容是《空间直角坐标系》。

在高中数学必修二的学习中，这一章节是非常重要的基础内容，它为学生提供了进一步理解和掌握三维空间中直角坐标系的基本概念和性质的机会。

2. 教材知识结构教材围绕着以下几个主要知识点展开教学：•点的坐标与向量•空间直角坐标系•直线的方程与旋转•平面的方程与选点•空间图形的平移和旋转通过这些知识点的学习，学生能够理解并掌握在三维空间中描述点、直线和平面的方法，同时能够运用所学知识解决相关问题。

3. 学生特点分析本节课所面对的学生对象为高一学生。

他们正处于数学知识的初步学习阶段，基本熟悉了平面直角坐标系的概念和性质。

但对于空间直角坐标系和相关知识仍存在一定的陌生感。

因此，需要通过本课程的教学，引导学生逐步理解和掌握空间直角坐标系的概念和运用方法。

二、教学目标1. 知识与能力目标•理解空间直角坐标系的概念和性质•掌握点、直线和平面在空间直角坐标系中的表示方法•能够解决与空间直角坐标系相关的简单几何问题2. 过程与方法目标•培养学生观察、分析和解决问题的能力•培养学生合作学习和团队合作的能力•提高学生对数学概念的形象化理解和运用能力3. 情感态度和价值观目标•培养学生对数学的兴趣和热爱•培养学生思维的逻辑性和严谨性•培养学生独立思考和解决问题的能力三、教学重点和难点1. 教学重点•理解空间直角坐标系的概念和性质•能够正确表示点、直线和平面在空间直角坐标系中的位置关系•运用所学知识解决与空间直角坐标系相关的简单几何问题2. 教学难点•理解空间直角坐标系三维空间的特点和表示方法•掌握直线和平面的方程表示方法•能够准确应用空间直角坐标系解决几何问题四、教学过程设计1. 导入与概念解释为了让学生了解本节课的重要性，我们可以通过以下问题引导学生思考：•什么是空间直角坐标系？•空间直角坐标系有什么特点和作用？通过提问和学生的回答，引起学生对空间直角坐标系的兴趣，并激发他们运用此概念解决问题的欲望。

《空间直角坐标系》教案人教B版

《空间直角坐标系》教案（人教B版必修
2）
人教B版数学必修2：空间直角坐标系
[适用章节]
数学②中的2.4.1空间直角坐标系。

[使用目的]
使学生通过操作此课件体会一点的空间直角坐标是怎样定义的。

[操作说明]
初始界面上的图形和主要按钮如图2204-1：图2004-1其中A 点的坐标由界面下方可拖动标尺来控制，使用"转动"按钮可以观察动态的图形。

"定x1"、"定y1"、"定z1"按钮可以分别观察确定三个坐标
的过程。

"同时"按钮可以同时演示三个坐标的确定。

如果观察感到困难，可以随时使用"转动"按钮。

"手控"、"隐藏"按钮可以显示或隐去改变单位和手控图形转动的两个标尺。

人教A版高中数学必修2《四章圆与方程 4.3空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式》优质课教案_1

题组层级快练(五十五)1．若平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．重合2．已知点A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A ．(33，33，－33) B ．(33，－33，33) C ．(－33，33，33) D ．(－33，－33，－33) 4．(2015·济宁模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB 1→，CM →〉的值等于( ) A.12 B.21015 C.23 D.11155.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )6.如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．与a 值有关7．(2015·沧州七校联考)已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( )A.12B.32C.35D.456．设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，则平面α与β位置关系是________．7．下列命题中，所有正确命题的序号为________．①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a与α共面，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．8.如右图所示，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，P A＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面P AB；(2)求证：平面P AD⊥平面PDC.9.如右图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.10.(2015·海淀区模拟)如图所示，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成角为60°.(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)设点M是线段BD上一个动点，试确定M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．11．如图所示，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB.(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值．12．(2015·河南内黄一中摸底)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B ⊥平面ABC ，AB ⊥AC .(1)求证：AC ⊥BB 1；(2)若AB ＝AC ＝A 1B ＝2，在棱B 1C 1上确定一点P ，使二面角P －AB －A 1的平面角的余弦值为255.13.(2014·福建理)在平面四边形ABCD 中．AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图所示．(1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．14．(2014·陕西理)四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱BD ，DC ，CA 于点F ，G ，H .(1)证明：四边形EFGH 是矩形；(2)求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值．。

高中数学必修2(人教A版)教案—4.3.1空间直角坐标系

4. 3.1空间直角坐标系（教案）【教学目标】1.让学生经历用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方法产生和发展的过程，学会科学的思维方法．2.理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．3.进一步培养学生的空间想象能力与确定性思维能力．【教学重难点】重点：求一个几何图形的空间直角坐标。

难点：空间直角坐标系的理解。

【教学过程】一、情景导入1. 确定一个点在一条直线上的位置的方法．2. 确定一个点在一个平面内的位置的方法．3. 如何确定一个点在三维空间内的位置？例：如图26-2，在房间（立体空间）内如何确定电灯位置？在学生思考讨论的基础上，教师明确：确定点在直线上，通过数轴需要一个数；确定点在平面内，通过平面直角坐标系需要两个数．那么，要确定点在空间内，应该需要几个数呢？通过类比联想，容易知道需要三个数．要确定电灯的位置，知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．（此时学生只是意识到需要三个数，还不能从坐标的角度去思考，因此，教师在这儿要重点引导）教师：在地面上建立直角坐标系xOy，则地面上任一点的位置只须利用x，y就可确定．为了确定不在地面内的电灯的位置，须要用第三个数表示物体离地面的高度，即需第三个坐标z．因此，只要知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．例如，若这个电灯在平面xOy上的射影的两个坐标分别为4和5，到地面的距离为3，则可以用有序数组（4，5，3）确定这个电灯的位置（如图26-3）．这样，仿照初中平面直角坐标系，就建立了空间直角坐标系O—xyz，从而确定了空间点的位置．二、合作探究、精讲点拨1. 在前面研究的基础上，先由学生对空间直角坐标系予以抽象概括，然后由教师给出准确的定义．从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O—xyz，点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xO平面，yO平面，zOx平面．教师进一步明确：（1）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向则称这个坐标系为右手坐标系，课本中建立的坐标系都是右手坐标系．（2）将空间直角坐标系O—xyz画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴成135°，而y 轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长度相等，但x轴上的单位长度等于y轴和z轴上的单位长度的，这样，三条轴上的单位长度直观上大致相等．2. 空间直角坐标系O—xyz中点的坐标．思考1：在空间直角坐标系中，空间任意一点Ａ与有序数组（x，y，z）有什么样的对应关系？在学生充分讨论思考之后，教师明确：（1）过点A作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，这样，对空间任意点A，就定义了一个有序数组（x，y，z）．（2）反之，对任意一个有序数组（x，y，z），按照刚才作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点就是所求的点A．这样，在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序数组（x，y，z）之间就建立了一种一一对应关系：A（x，y，z）．教师进一步指出：空间直角坐标系O—xyz中任意点A的坐标的概念对于空间任意点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序数组（x，y，z）叫作点A的坐标，记为A（x，y，z）．（如图26-4）思考2：（1）在空间直角坐标系中，坐标平面xOy，xOz，yOz上点的坐标有什么特点？（2）在空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴上点的坐标有什么特点？解：（1）xOy平面、xOz平面、yOz平面内的点的坐标分别形如（x，y，0），（x，0，z），（0，y，z）．（2）x轴、y轴、z轴上点的坐标分别形如（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z）．三、典型例题例1、在空间直角坐标系O—xyz中，作出点P（5，4，6）．注意：在分析中紧扣坐标定义，强调三个步骤，第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与ｙ轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位（如图26-5）．变式练习：已知长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝5，以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．注意：此题可以由学生口答，教师点评．解：A （0，0，0），B （12，0，0），D （0，8，0），A ′（0，0，5），C （12，8，0），B ′（12，0，5），D ′（0，8，5），C ′（12，8，5）．讨论：若以C 点为原点，以射线CB ，CD ，CC ′方向分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么各顶点的坐标又是怎样的呢？得出结论：建立不同的坐标系，所得的同一点的坐标也不同．例2、结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为21的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图，建立空间直角坐标系Oxyz 后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。

高中数学必修2教案：4-3-1空间直角坐标系

课题： 2.4.3.1 空间直角坐标系教材分析：解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科，空间直角坐标系的建立是为以后的《空间向量及其运算》打基础的．同时，在第二章《空间中点、直线、平面的位置关系》第一节《异面直线》学习时，有些求异面直线所成角的大小，借助于空间向量来解答，要容易得多，所以，本节课为沟通高中各部分内容知识，完善学生的认知结构起到很重要的作用．课型：新授课教学要求：使学生能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法．教学重点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标教学难点：通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标教学过程：一.提出问题：1.在初中，我们学过数轴，那么什么是数轴？决定数轴的因素有哪些？数轴上的点怎样表示？２．在初中，我们学过平面直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系？决定平面直角坐标系的因素有哪些？平面直角坐标系上的点怎样表示？如何借助平面直角坐标系表示学生的座位?能用直角坐标系表示教室里灯泡的位置吗？３．在空间，我们是否可以建立一个坐标系，使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？（板书课题）阅读课本134P - 135P 内容二、讲授新课：1.空间直角坐标系：如图４.3-1(课本), ,,,,OBCD D A B C 是单位正方体.以O 为原点，分别以射线OA,OC,O 'D 的方向为正方向，以线段OA,OC,O 'D 的长为单位长，建立三条数轴：x 轴，y 轴，z 轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系Ｏxyz.其中点Ｏ叫做坐标原点，x 轴，y 轴，z 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标面，分别称为ｘＯｙ平面、ｙＯｚ平面、ｚＯｘ平面．将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°，而z 轴垂直于y 轴，，y 轴和z 轴的长度单位相同，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的一半，这样三条轴上的单位长度在直观上大体相等． 2. 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手大拇指、食指和中指相互垂直时，大拇指指向x 轴正方向，食指指向y 轴正方向，中指指向z 轴正方向，则称这个坐标系为右手坐标系，如无特别说明，以后建立的坐标系都是右手坐标系．３．空间直角坐标系中的点与有序书组之间的关系：1）已知M 为空间一点，过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴，它们与x 轴、y 轴和z 轴的交点分别为P 、Q 、R ，这三点在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ．这样空间的一点M 就唯一确定了一个有序数组x ，y ，z ．这组数x ，y ，z 就叫做点M 的坐标，并依次称x ，y ，z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．坐标为x ，y ，z 的点M 通常记为M （x ，y ，z ）．2）反过来，一个有序数组x ，y ，z ，我们在x 轴上取坐标为x 的点P 在y 轴上取坐标为y 的点Q ，在z 轴上取坐标为z 的点R ，然后通过P 、Q 、R 分别作x 轴，y 轴，z 轴的垂直平面．这三个平面的交点M 即为有序数组x ，y ，z 为坐标的点．数x ，y ，z 就叫做点M 的坐标，并依次称x ，y ，z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．3）坐标为x ，y ，z 的点M 通常记为M （x ，y ，z ）．我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M 和有序数组x ，y ，z 之间的一一对应关系4.例题1（课本例1）：在长方体,,,,OBCD D A B C -中，,3,4, 2.OA oC OD ===写出,,,,,,D C A B 四点坐标.（建立空间直角坐标系→写出原点坐标→各点坐标）讨论：若以C 点为原点，以射线BC 、CO 、C 'C 方向分别为ox 、oy 、oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么，各顶点的坐标又是怎样的呢？（得出结论：不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同．） 5．例题2（课本例2）题略说明：学生阅读，思考与例1的不同，教师引导学生解题的方法，图中没有坐标系，这给我们解题带来了难度，同时也给我们的思维提供了空间，如何建立空间直角坐标系才能使问题变得更简单？一般来说，以特殊点为原点，我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为基本原则建立空间直角坐标系，坐标系建立的不同，点的坐标也不同，但点的相对位置是不变的，坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同．因此解题时要慎重建立空间直角坐标系．三、巩固练习：1．练习：136P 1, 2，3.2. 已知M (2, -3, 4)，画出它在空间直角坐标系中的位置．3. 思考题：建立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标．四．小结：1．空间直角坐标系的建立．2．空间直角坐标系内点的坐标的确定过程. 3．空间直角坐标系中点的位置的确定．五．作业：1.课本138P 习题4.3 A 组 2 课后记:教材分析：解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科，空间直角坐标系的建立是为以后的《空间向量及其运算》打基础的．同时，在第二章《空间中点、直线、平面的位置关系》第一节《异面直线》学习时，有些求异面直线所成角的大小，借助于空间向量来解答，要容易得多，所以，本节课为沟通高中各部分内容知识，完善学生的认知结构起到很重要的作用．课型：新授课教学要求：使学生熟练掌握求坐标轴上的点和坐标平面上的点的坐标，熟记已知两点的中点坐标公式，会求一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标．教学重点：求坐标轴上的点和坐标平面上的点的坐标，会求一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点坐标，熟记已知两点的中点坐标公式．教学难点：会求一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标教学过程：一、复习提问：1．空间直角坐标系中点的坐标如何确定？已知点的坐标如何确定点的位置？ 2．练习：在空间直角坐标系中，作出点（５，４，６）．二、讲授新课：１．坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点：x 轴上的点的坐标的特点：Ｐ（m ，０，０），纵坐标和竖坐标都为零． y 轴上的点的坐标的特点：Ｐ（０，m ，０），横坐标和竖坐标都为零．z 轴上的点的坐标的特点：Ｐ（０，０，m ），横坐标和纵坐标都为零． x Ｏy 坐标平面内的点的特点：Ｐ（m ，n ，０），竖坐标为零． x Ｏz 坐标平面内的点的特点：Ｐ（m ，０，n ），纵坐标为零． y Ｏz 坐标平面内的点的特点：Ｐ（０，m ，n ），横坐标为零．２．已知两点的中点坐标：平面上的中点坐标公式可以推广到空间，即设Ａ（1x ，1y ， 1z ），Ｂ（2x ，2y 2z ），则AB 中点的坐标为（211212,,222z z x x y y +++）. 请同学门熟记以上公式.3．一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点点P （x ，y ，ｚ）关于坐标原点的对称点为1P （-x ，-y ，-z ）；点P （x ，y ，ｚ）关于坐标横轴（ｘ轴）的对称点为2P （x ，-y ，-z ）；点P （x ，y ，ｚ）关于坐标纵轴（ｙ轴）的对称点为3P （-x ，y ，z ）；点P （x ，y ，ｚ）关于坐标竖轴（ｚ轴）的对称点为4P （-x ，-y ，-z ）；点P （x ，y ，ｚ）关于ｘＯｙ坐标平面的对称点为5P （x ，y ，-z ）；点P （x ，y ，ｚ）关于ｙＯｚ坐标平面的对称点为6P （-x ，y ，z ；）点P （x ，y ，ｚ）关于ｚＯｘ坐标平面的对称点为7P （x ，-y ，z ）．点评：其中记忆的方法为：关于谁谁不变，其余的相反．如关于横轴（ｘ轴）的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于ｘＯｙ坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．三、巩固练习：１．课本138P 习题4.3 A 组１２．已知点Ｂ（１，１，１），分别求出该点关于ｘ轴、ｚ轴、原点和ｘＯｙ坐标平面的对称点的坐标．３．在空间直角坐标系Ｏ－ｘｙｚ中，关于点（０，22m +，ｍ）一定有下列结论（）Ａ．在ｘＯｙ坐标平面上Ｂ．在ｘＯｚ坐标平面上Ｃ．在ｙＯｚ坐标平面上Ｄ．以上都不对四．小结：１．坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点２．中点坐标公式３．一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点五．作业：全优设计100P 主动成长１，２，４，５，６，７，11，12．课后记:科目：数学课题 §4.3.1 空间直角坐标系课型新课教学目标（1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示（3）建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示（4）通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数列结合的思想.教学过程教学内容备注一、自主学习二、质疑提问三、问题探究四、课堂检测五、小结评价。

高中数学必修2《第四章：圆与方程.(4.3空间直角坐标系)》

个性化辅导教案学员姓名科目年级授课时间课时授课老师教学课题教学目标重点难点教学内容4.3空间直角坐标系空间直角坐标系的建立及坐标表示[导入新知]1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系O－xyz.(2)相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．3．空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫点M的横坐标，y叫点M的纵坐标，z叫点M的竖坐标．[化解疑难]1．空间直角坐标系的建立建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上，对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．2．空间直角坐标系的画法(1)x 轴与y 轴成135°(或45°)，x 轴与z 轴成135°(或45°)．(2)y 轴垂直于z 轴、y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的12.3．特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示如下点的位置 x 轴 y 轴 z 轴 xOy 平面 yOz 平面 xOz 平面坐标表示 (x,0,0)(0，y,0)(0,0，z )(x ，y,0)(0，y ，z )(x,0，z )空间两点间的距离公式[导入新知]1．点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离 |OP |＝x 2＋y 2＋z 2.2．任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)间的距离 |P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.[化解疑难]1．空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算． 2．空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.空间中点的坐标的确定[例1] 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，|CF |＝|AB |＝2|CE |，|AB |∶|AD |∶|AA 1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E ，F 点的坐标． [解] 以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA 1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．分别设|AB |＝1，|AD |＝2，|AA 1|＝4，则|CF |＝|AB |＝1，|CE |＝12|AB |＝12，所以|BE |＝|BC |－|CE |＝2－12＝32.所以点E 的坐标为(1，32，0)，点F 的坐标为(1,2,1)．[类题通法]空间中点P 坐标的确定方法(1)由P 点分别作垂直于x 轴、y 轴、z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴、z 轴于点P x 、P y 、P z ，这三个点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x 、y 、z ，那么点P 的坐标就是(x ，y ，z )．(2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P 在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．[活学活用]1.如图所示，V -ABCD 是正棱锥，O 为底面中心，E ，F 分别为BC ，CD 的中点．已知|AB |＝2，|VO |＝3，建立如右所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．空间中点的对称[例2] (1)点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴的对称点的坐标分别是________．(2)已知点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点为P 1，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点为P 2，点P 2关于z 轴的对称点为P 3，则点P 3的坐标为________．[解析] (1)如图所示，过A 作AM ⊥xOy 交平面于M ，并延长到C ，使AM ＝CM ，则A 与C 关于坐标平面xOy 对称且C 的坐标为(1,2,1)．过A 作AN ⊥x 轴于N 并延长到点B ，使AN ＝NB ，则A 与B 关于x 轴对称且B 的坐标为(1，－2,1)．∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C的坐标为(1,2,1)；A(1,2，－1)关于x轴的对称点B的坐标为(1，－2,1)．(2)点P(2,3－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．[答案](1)(1,2,1)，(1，－2,1)(2)(2，－3,1)[类题通法]1．求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．2．空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：①关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)；④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)；⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．[活学活用]2．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面yOz对称的点的坐标为()A．(－3,1,5)B．(－3，－1,5)C．(3，－1，－5) D．(－3,1，－5)3．点P(－3,2，－1)关于平面xOy的对称点是________，关于平面yOz的对称点是________，关于x轴的对称点是________，关于y轴的对称点是________．空间中两点间的距离[例3]如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．[解] 由题意应先建立坐标系，以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B (a ，a,0)，A ′(a,0，a )，C ′(0，a ，a )，D ′(0,0，a )．由于M 为BD ′的中点，取A ′C ′的中点O ′，所以M ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝⎛⎭⎫a 2，a2，a .因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝⎛⎭⎫a 4，34a ，a .根据空间两点间的距离公式，可得|MN |＝⎝⎛⎭⎫a 2－a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－3a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 2＝64a . [类题通法]求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．[活学活用]4．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，A 1C的中点E 到AB 的中点F 的距离为( )A.2aB.22a C ．a D.12a12.空间直角坐标系的应用误区[典例] 如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长都为2，侧棱AA 1⊥底面ABC ，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．[解析] 取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，分别以OB 、OC 、OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．因为三棱柱各棱长均为2，所以OA ＝OC ＝1，OB ＝3，可得A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，A 1(0，－1,2)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)．[易错防范]1．解答此题不是以OB 、OC 、OO 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，而是以AB 、AC 、AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，进而错误地求出A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)．2．求空间点的坐标的关键是建立正确的空间直角坐标系，这也是正确利用坐标求解此类问题的前提．建立空间直角坐标系时要注意坐标轴必须是共点且两两垂直，且符合右手法则．[成功破障]如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系O-xyz.(1)若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y 轴的对称点P′的坐标；(2)在线段C1D上找一点M，使点M到点P的距离最小，求出点M的坐标．[随堂即时演练]1．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于xOy平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对2．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是()A．(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4)C．(2，－1,4) D．(2,1，－4)3．已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|P A|＝|PB|，则点P的坐标是________．4．在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．5．如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．课后作业教师课后赏识。

《空间直角坐标系》示范课教学设计【高中数学】

环节一空间直角坐标系【引入新课】思考：在平面向量中，我们通过平面直角坐标系建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？【探究新知】为了研究这个问题，我们需要弄清楚:问题1：类比平面直角坐标系，你能猜想如何构建空间直角坐标系吗？追问1：平面直角坐标系包含哪些要素？类比到空间直角坐标系应该有哪些要素？它们需要满足什么条件？答案：追问2：利用单位正交基底概念，我们可以如下这样理解平面直角坐标系. 类比到空间，你能否给出空间直角坐标系的定义呢？答案：空间直角坐标系定义：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j, }k. 以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面，它们把空间分成八个部分．追问3：空间直角坐标系如何画呢？答案：先回想平面直角坐标系Oxy 的画法：在平面内画两条与单位正交基底向量i ，j 方向相同的数轴x 轴和y 轴，它们互相垂直、原点重合．与画平面直角坐标系相比，画空间直角坐标系只是多画一个与x 轴、y 轴都垂直的z 轴而已，所以我们不妨借鉴在立体几何中学习的斜二测画法，在画空间直角坐标系Oxyz 时，让x 轴与y 轴所成的角为135︒（或45︒），即135xOy ︒∠=（或45︒），画z 轴与y 轴垂直，即90yOz ︒∠=．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．问题2：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？追问1：空间中任意一点A 与哪个向量的坐标相同？答案：在平面直角坐标系中，点A 的位置由向量OA 唯一确定，类比到空间直角坐标系中，我们可知点A 的坐标与从原点出发的OA 坐标相同. 由此，确定空间直角坐标系中点的坐标，可以从确定与之对应的，以原点为起点，该点为终点的向量的坐标入手．追问2：在空间直角坐标系中如何定义OA 的坐标呢？答案：平面直角坐标系内空间直角坐标系内取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，i ，j 为基底，由平面向量基本定理，有且只有一对实数x ，y 使得取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的两个单位向量，i ，j ，k 为基底，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组使得OA x y =+i j k +z ，我们把有序实数组x y =+a i j ．我们把有序数对(),x y 叫做a 的坐标，记作(),x y =a ．(),,x y z 叫做OA 的坐标，记作(),,OA x y z =．所以，在单位正交基底{i ，j ，}k 下与向量OA 对应的有序实数组(x ，y ，)z ，叫做点A 在空间直角坐标系中的坐标，记做A (x ，y ，)z ，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标.追问3：那么对于给定的向量a 又该如何定义它的坐标呢？答案：因为空间向量是自由的，我们在空间直角坐标系Oxyz 中可以作OA =a . 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，)z ，使x y z =++a i j k ,有序实数组(x ，y ，)z 叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，上式可简记为(x =a ，y ，)z这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示. 问题3：在空间直角坐标系Oxyz 中，对空间任意一点A ，或任意一个向量OA ，你能借助几何直观确定它们的坐标(),,x y z 吗？答案：过点A 分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点B ，C 和D . 可以证明OA 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影向量分别为OB ，OC ，OD ，由向量加法的意义可知，OE OB OC +=,OA OE EA OE OD ++==,即OA OB OC OD ++=. 设点B C D ，和在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别是x ，y 和z ，那么OA x y z =++i j k ，即点A 或者向量OA 的坐标就是(x ，y ，)z .k yzxoi A (x ,y ,z )a思路小结：目前，我们有哪些方法可以用于确定空间中一个点A 或任意一个向量a 的坐标呢？【知识应用】例1 如图，在长方体OABC D A B C ''''-中，3OA =，4OC =，2OD '=，以13OA ⎧⎨⎩，14OC ，12OD ⎫'⎬⎭为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz . （1）写出D '，C ，A '，B '四点的坐标；（2）写出向量A B '',BB ',A C '',AC '的坐标.追问1：题目条件中的13OA ⎧⎨⎩，14OC ，12OD ⎫'⎬⎭为什么是单位正交基底？答案：由图可知，OA 在x 轴上，且3OA =，所以1=13OA .同理，OC 在y 轴上，OD '在z 轴上，由4OC =，2OD '=知，1=14OC ，1=12OD '，所以13OA ⎧⎨⎩，14OC ，12OD ⎫'⎬⎭是单位正交基底，等同于我们前面用到的{i ，j ，}k .追问2：求空间点的坐标我们有哪些基本解题思路？答案：有两种选择，一种是转化为求与该点对应的，从原点出发，指向该点的空间向量的坐标. 而后依据空间向量基本定理，把空间向量用单位正交基底分解，从而求出坐标；另一种是应用几何直观，找出空间点在x 轴、y 轴、z 轴上的射影，进而得到坐标.思路小结：由几何直观可知，确定空间中一个点的坐标，我们需要先找出该点在各个坐标轴上的射影，再根据空间向量基本定理，得到点的坐标. 所以可以总结步骤如下：（1）过空间点分别作x 轴、y 轴和z 轴的垂面；点A 的坐标给定的向量a 的坐标OA 的坐标应用空间向量基本定理确定坐标根据几何直观确定OA 在各坐标轴上的投影向量，从而求得坐标（2）确定空间点在坐标轴上的射影的坐标；（3）得到空间点的坐标. 解：（1）()()()()0,0,2,0,4,0,3,0,2,3,4,2D C A B '''.（2）()0400,4,0,A B OC ''=++=i j k=()0020,0,2,B B OD ''-=+-=-=i j k()3403,4,0,A C A D D C OA+OC =''''''=+=-=-++-i j k()3423,4,2AC AC CC OA OC CC OA OC OD =''''=+=-++=-++=-++-i j k .问题4：回顾本节课的学习过程，我们是如何得到空间点和空间向量的坐标的？答案：（1）类比平面直角坐标系，构建了空间直角坐标系.（2）根据空间向量基本定理，在单位正交基底下，得到空间直角坐标系中的每一个点和向量都存在唯一的有序实数组(x ，y ，)z 与之对应，从而引出空间点和空间向量的坐标表示.问题5：如何求空间点或向量的坐标呢？答案：（1）根据空间向量基本定理，将点或向量用单位正交基底{i ，j ，}k 来表示，它们的系数就是点或向量的坐标.（2）由几何直观，过点作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次确定点对应的向量在各个轴上的投影向量，根据投影向量的坐标得到点或向量的坐标.第二课时空间向量运算的坐标表示环节一：引入新课本章前半部分的主要内容：我国著名数学家吴文俊先生曾指出：“数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学.简单地说，就是研究数和形的科学.”中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”.在前面的学习中，我们已经掌握了空间直角坐标系的概念，进一步通过正交分解的方法将空间向量用唯一的有序实组表示出来，引入坐标后可使向量中形的运算转化成数的运算.今天我们就循着数学家的足迹，大胆类比、猜想，把向量坐标运算从平面拓展到空间，完成一次从二维到三维，从形到数的跨越.环节二：探究新知为了研究这个问题，我们需要弄清楚:问题1：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？追问1：平面向量的运算都有哪些？如何对平面向量进行坐标运算？答案：加法，减法，数乘，数量积.追问2：你能否类比平面向量运算的坐标表示给出空间向量运算坐标表示的猜想？答案：设空间向量 123123(,,),(,,),a a a b b b ==a b 猜()112233,,,a b a b a b +=+++a b()112233,,,a b a b a b -=a b ---()123,,,a a a =a 112233.a b a b a b ⋅=++a b追问3：你能否对空间向量运算的坐标表示进行证明呢？答案：结合空间向量坐标的定义，我们以数量积运算的坐标表示为例进行证明：第一步：由空间向量基本定理，设{},,i j k 为空间的一个单位正交基底，由向量a 的坐标为123(,,)a a a ，则可将向量a 唯一分解为123a a a =++a i j k ，同理可将向量b 表示为123b b b =++b i j k . 第二步： ()()123123a a a b b b ⋅=++⋅++a b i j k i j k111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅i i i j i k j i j j j k k i k j k k利用向量数量积的分配律以及======⋅⋅⋅1,⋅⋅⋅0,i i j j k k i j j k k i 得112233.a b a b a b ⋅=++a b其他运算的坐标表示可以类似证明，请同学们课下自主完成.由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的. 类似地，我们还可以得到：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.即：设 123123(,,),(,,),A a a a B b b b 则向量()112233,,AB b a b a b a =---.问题2：在学习平面向量运算的过程中，我们了解到向量可以帮助我们解决平面几何中的特殊位置关系与几何度量等问题，这些重要的性质和结论在空间向量中仍然成立吗？追问1：如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？答案：设 1212(,),(,),a a b b ==a b 当≠0b 时，∥a b 的充要条件是=a b ， λ属于全体实数，用坐标表示为1212(,)(,),a a b b = 得到方程组1122,,a b a b =⎧⎨=⎩ 消去λ，得到平面向量平行充要条件的坐标表示：a 1b 2−a 2b 1=0.类比平面向量平行的坐标表示，我们可以得到：设空间向量123123(,,),(,,),a a a b b b ==a b 当≠0b 时，∥a b 的充要条件是=a b ， λ 属于全体实数.可以用坐标表示为123123(,,)(,,)a a a b b b =，得到方程组()112233,,.a b a b a b =⎧⎪=∈⎨⎪=⎩R ，这就是空间向量平行的充要条件的坐标表示.追问2：这个充要条件能否表示为312123a a ab b b ==？答案：显然，空间向量平行的充要条件不等价于312123a a ab b b ==，因为≠0b 的含义是b 的坐标分量123,,b b b 至少有一个不为零，而非每一个坐标分量都不为零.例如，当b 与坐标平面Oxy 平行时，30b =此时33a b 无意义.因此只有在b 与三个坐标平面均不平行，即123,,b b b 均不为零时才能有312123a a ab b b ==⇔∥a b .特殊地，当=0b 时，(0,0,0)=b .此时b 与任意向量都平行.追问3：除了上述对空间向量位置关系的研究，类比平面向量运算的应用，能否总结出空间向量的度量关系，如空间向量长度和夹角的坐标表示？答案：设 123123(,,),(,,),a a a b b b ==a b222123a a a =⋅=++a a a . 112233222222123123cos ,a b a b a b a a a b b b ++⋅==++++a ba b a b.设1111()P x ,y ,z , 2222()Px ,y ,z ，则()()()2221212212121=PP PP x x +y y +z z ---=追问4：得到上面的猜想后，同学们能利用空间向量运算的坐标表示证明空间两点间的距离公式吗？答案：首先，建立空间直角坐标系Oxyz ，设1P , 2P 是空间中任意两点，则向量()1221212121.PP OP OP x x ,y y ,z z ---=-= 于是121212PP PP PP ⋅=，带入坐标，()()()22212212121PP x x +y y +z z ---=.所以()()()2221212212121=PP PP x x +y y +z z ---=.这就是空间两点间的距离公式.因此，空间向量123(,,)a a a =a 的模可以理解为点123(,,)a a a 到原点的距离，这是空间两点间距离公式的特殊化.环节三：知识应用例1 如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ,F 分别是1BB , 11D B 的中点.（1）求证1EF DA ⊥；（2）求AE 与1CD 所成角的余弦值.追问1：两条直线的垂直关系可以用向量刻画吗？答案：要证明1EF DA ⊥，只需证明1EF DA ⊥，在前面的学习中，我们已经得到了两个向量垂直的充要条件为数量积为零，即10.EF DA =通过本节课学习的内容，可以将空间向量垂直的充要条件用坐标形式表达，因此在应用向量法求解本题时，我们需要利用题目中的空间直角坐标系，从而建立立体图形与空间向量的联系.追问2：向量EF 的坐标怎么求？答案：因为()2,2,1E , (1,1,2)F ，所以(1,1,2)(2,2,1)(1,1,1).EF =-=--分析：因为空间向量的数量积和夹角有关，此我们经常以空间向量的数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题.追问3：两条直线夹角与两向量夹角有区别吗？答案：这二者是有区别的，它们的取值范围不同.具体来说，两条直线夹角的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,而向量夹角的范围是[]0,π.当AE 与1CD 所成的角为锐角或直角时，直线AE 与1CD 所成的角和向量的夹角相等. 当AE 与1CD 所成的角为钝角时，直线AE 与1CD 所成的角为向量夹角的补角.解：（1）因为()2,2,1E , (1,1,2)F ，所以(1,1,2)(2,2,1)(1,1,1)EF =-=--. 得到向量EF 的坐标后，同理，又因为点()()12,0,2,0,0,0A D ,所以()12,0,2DA =. 所以()()11,1,12,0,22020.EF DA =--=-++= 所以1EF DA ⊥,即1EF DA ⊥. （2）因为()()()()12,0,0,0,2,0,2,2,1,0,0,2A C E D ，所以()()()2,2,12,0,00,2,1AE =-=,()()()10,0,20,2,00,2,2CD =-=-, 15,=22AE DF =.所以()10022122AE CD =⨯+⨯-+⨯=-.所以111cos ,AE CD AE CD AE CD ===所以, AE 与1CD 所成角为向量AE ，向量1CD 夹角的补角.所以, AE 与1CD 方法提炼：在空间直角坐标系中，先写出相关点、相关向量的坐标，把几何问题代数化，然后再利用向量的坐标运算解决位置关系与几何度量等问题，其中要关注空间两条直线所成角与对应向量夹角的取值范围是不同的.需要注意的是，有些问题往往需要我们观察几何体的结构特征，找寻三条两两垂直的线段，先建立空间直角坐标系，再应用向量运算解决几何问题.问题3：回顾本节课对于空间向量坐标运算的探究过程，你都学到了什么？答案：1. 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示（1）空间向量运算的坐标表示空间向量加法减法的坐标运算只需将其相应的坐标相加或相减；空间向量数乘的坐标运算等于用这个实数λ乘原来向量的相应坐标；空间向量数量积的坐标运算是其对应坐标乘积的和. （2）空间向量运算坐标表示的应用我们得到了空间向量平行和垂直这两种特殊位置关系的坐标表示同时，我们证明了空间向量长度和夹角的公式，这些公式可以帮助我们解决立体几何中的度量问题2.关注空间向量与立体几何知识间的联系空间向量体系的建立需要立体几何的基本知识，反过来，立体几何中的问题可以用向量方法解决. 因此，我们说空间向量与立体几何有着天然的联系.空间向量为我们解决立体几何问题提供了新的工具.一般地，利用空间向量解决立体几何问题，有如下的“三步曲”，步骤一：建立恰当的空间直角坐标系，求出相关点、相关向量的坐标；步骤二：进行空间向量的运算，研究空间图形之间的平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；步骤三：求出答案后，翻译成相应的几何结论，得到相应立体几何问题的解决．课时检测1. (3,2,5),(1,5,1),--a =b =求：（1）+a b ；（2）6a ；（3）ab .2. (2,1,3),(4,2,),x --a =b =且⊥a b .求x 的值.3. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,M 为1BC 的中点, 1E ,1F 分别在棱11A B ,11C D 上,111114B E A B =，111114D F C D =. （1）求AM 的长.（2）求1BE 与1DF 所成角的余弦值.答案：1. （1） ()2,7,4+-a b =；（2）()618,12,30-a =；（3）2a b =；2. 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即－8－2＋3x ＝0，解得x ＝103；3. （1）AM =（2） 1517．。

《空间直角坐标系》人教版高中数学必修二PPT课件(第4.3.1课时)

点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点
(1)与点M关于x轴对称的点:
(x,-y,-z)
(2)与点M关于y轴对称的点:
(-x,y,-z)
(3)与点M关于z轴对称的点:
(-x,-y,z)
(4)与点M关于原点对称的点:
(-x,-y,-z)
规律：见到谁谁不变，见不到变为相反数
新知探究
点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点
yy
Q
A (x, y, 0)
新知探究
四棱柱 OABC DABC 是单位正方体．如图建立空间直角坐标系O—xyz．试说出正方体的各个
顶点的坐标。 z
规律：不见的那个就为“0”
(0，0，1)
D'
A'
(1，0，1)
C ' (0，1，1)
B ' (1，1，1)
(1，0，0) A
x
(0，0，0) O
(0，1，0)
C
y
B (1，1，0)
新知探究
z
•C •E
点P的位置
原点O
x轴上A
y轴上B
z轴上C
1 •
B
坐标情势 (0,0,0) (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
F
O•
•
1
•1 A
•D
y
点P的位置
xOy面内D yOz面内E zOx面内F
坐标情势 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)
x
y
关于谁对称谁不变
P2(-x0 ,y0) y0
P(x0,y0)
-x0
O
P3 (-x0 , - -y0 横坐标相反y，0)

空间直角坐标系说课稿

空间直角坐标系说课稿空间直角坐标系说课稿1今天我说课的内容是空间直角坐标系，下面我分别从教材分析、教学目标的确定、教学方法的选择和教学过程的设计这四个方面来阐述我对这节课的教学设想。

一、教材分析本节内容选自人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修二的第四章第3节，属于解析几何领域的知识，它是平面直角坐标系的进一步推广，是学生思维从一维二维空间到三维空间的过渡。

为以后在选修中利用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题的打好基础；而且必修二第三、四章是平面解析几何的基础内容，本节“空间直角坐标系”的内容是空间立体几何的基础，与平面几何的内容共同体现了“用代数方法解决几何问题”的解析几何思想。

本小节内容主要包含空间直角坐标系的建立、空间中点与其坐标的一一对应关系、以及如何由空间中点的位置确定点的坐标或由点的坐标确定点的位置等问题。

在本节课中教学重点是三维空间坐标系的建立过程，以及空间中点与其坐标的一一对应关系的理解；教学难点和关键是理解空间直角坐标系的相关概念，以及空间中点与其坐标的一一对应关系。

基于以上对教材的认识，根据数学课程标准的“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”这一基本理念，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，制定如下的教学目标：二、教学目标的确定知识与技能：（1）理解空间直角坐标系的相关概念，空间中点的坐标及其坐标对应的点；（2）理解空间直角坐标系的建立过程以及空间中点与坐标一一对应的关系。

过程与方法：（1）通过空间直角坐标系的建立，体会由一维空间到二维空间再到三维空间的拓展和推广，培养学生利用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系；（2）通过空间点与坐标的对应关系，进一步加强学生对“数形结合”思想方法的认识。

情感态度与价值观：体会到数学的严谨的思维逻辑以及抽象概括力。

三、教学方法的选择本节内容是高中数学中概念原理的教学，根据布鲁纳的发现学习理论，本节课主要采用了启发式、探究式的教学方法，通过激发学生解决问题的欲望，使学生主动参与教学实践活动。