高中数学 3.2.2直线的两点式方程课件 新人教A版必修2
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高中数学人教A版必修二课件(甘肃专用)3.2.2直线的两点式方程(共13张PPT)
o
A
x
三、直线的截距式方程
x y 1 a b
a , b分别为直线在 x 轴和 y 轴上的截距 注：（1）截距 a , b 可为正数，可为负数；
根据下列条件求直线的方程，并画出图形：
（1）在 x 轴上的截距是2，在 y 轴上的截距是3；
x y 1 2 3
y
3
o
2
x
（2）在 x 轴上的截距是-5，在 y 轴上的截距是6；
小结：
x y 1 2)直线的截距式方程 a b
3)中点坐标：
y1 y2 y 2
x1 x2 x , 2
作业：
P100 1（4）（5）（6）
3 0 3 2 ， ， 2 2
即
3 1 . ， 2 2
3 1 0，M ， 的直线方程为 过 A 5， 2 2
y0 1 0 2
x 5
3 5 2
x 13y 5 0. ，整理得：
这就是 BC 边上中线所在的直线的方程。
43 k 1 2 1
所以直线的方程为 y 3 x 1
已知两点 P 1 x1 , y1 , P 2 x2 , y2 其中x1 x2 , y1 y2 求通过这两点的直线方程． 解： x1 x2 y2 y1 直线的斜率为 k
x2 x1
推广
直线的方程为
3.2.2 直线的两点式方程
一、复习、引入
复 习
1). 直线的点斜式方程：
y- y0 =k(x- x0 ) （斜率k存在） k为斜率， P0(x0 ,y0)为经过直线的点 2). 直线的斜截式方程：
巩 固
y=kx+b
新课标高中数学人教A版必修二全册课件3.2.2直线的两点式方程
xy
4. 截距式方程：
1 ab
[已知截距a(与x轴交点(a,0))及截距b(与y轴
交点(0, b))不适合过原点的直线]
5. 一般式方程： Ax＋By＋C＝0 (A、B不同时为0)
特别的，l1:y＝k1x＋b1，l2:y＝k2x＋b2， 则 l1 //l2 k1＝k2，且b1≠b2；
l1⊥ l2k1·k2 ＝－1.
探究2: 如图，已知直线l与x轴的交点 为A(a, ０)，与y轴的交点为B(0, b)，其中 a≠0，b≠0，求直线l的方程.
y
B(0, b) l
O A(a, 0) x
第六页，编辑于星期日：十三点 十六分。
研读教材P.95－P.96:
1. 直线的两点式方程是什么？
第七页，编辑于星期日：十三点 十六分。
第十八页，编辑于星期日：十三点 十六分。
例1.求过下列两点的直线的两点式方程 (1) P1(2, 1)，P2(0, -3)； (2) A(0, 5)，B(5, 0).
第十九页，编辑于星期日：十三点 十六分。
例2.根据下列条件求直线的方程： (1)在x轴上的截距是2，在y轴上的截距为3； (2)在x轴上的截距是－5，与y轴的交点为
3. 若l1: y＝k1x＋b1, l2 :y＝k2x＋b2， 则l1//l2与l1⊥l2应满足怎样的关系?
第四页，编辑于星期日：十三点 十六分。
讲授新课
探究1：已知两点P1(x1, y1)，P2(x2, y2) (其中x1≠x2，y1≠y2)，如何求出通过这两 个点的直线方程呢？
第五页，编辑于星期日：十三点 十六分。
(3)高AE所在直线的方程.
y
C A
O Mx B
第二十五页，编辑于星期日：十三点 十六分。
高中数学 3.2.2直线的两点式方程课件 新人教A版必修2 (2)
A．1或3
B．1或5
C．3或5
D．1或2
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26
解析 当k＝3时，l1：y＋1＝0，l2：－2y＋3＝0，显然平 行；
验证当k＝1时，l1：－2x＋3y＋1＝0， l2：－4x－2y＋3＝0，显然不平行． 因此，选C.
答案 C
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27
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点 分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)；点P(0，p)为线段AO上的一点 (异于端点)，这里a，b，c，p为非零常数．设直线BP，CP分别 与边AC，AB交于点E，F.某同学已正确求得直线OE的方程： 1b－1c x＋ 1p－1a y＝0.请你完成直线OF的方程：(________)x＋ 1p－1ay＝0.
图形
方程 ________________ 适用
范围 不包括________坐标轴的直线
________________
不包括________及垂直于 ________
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6
2.线段的中点坐标公式． 若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为 (x，y)，则________.
(x－3)，即5x－2y－11
＝0，这就是所求的AC边上的高线所在直线的方程．
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17
规律技巧 当直线与坐标轴平行或重合时，不能用两点 式，应作特殊处理.
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18
二 直线的截距式方程
【例2】 直线l过点P(－6,3)，且它在x轴上的截距是它在y 轴上截距的3倍，求直线l的方程．
【分析】 设直线l在y轴上的截距为b，则在x轴上的截距 为3b.因为截距可正，可负，可为零，所以应分b＝0和b≠0两种 情况解答．
新课标人教A版高中数学必修二3. 直线的两点式方程 课件
•
1应该认识到，阅读是学校教育的重要 组成部 分，一 个孩子 如果在 十多年 的教育 历程中 没有养 成阅读 的习惯 、兴趣 和能力 ，一旦 离开校 园，很 可能把 书永远 丢弃在 一边， 这样的 结果一 定是我 们所有 的教育 工作者 不想看 到的。
•
2对教育来说，阅读是最基础的教学手 段，教 育里最 关键、 最重要 的基石 就是阅 读。
例1 已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为 B(0,b)，其中a≠0,b≠0,求直线l的方程.
解：将A(a，0），B（0，b)的坐标代
y
入两点式得：
l B(0,b)
A(a,0)
O
x
y-0 = x-a b-0 0-a
即 x + y = 1. ab
新课标人教A版高中数学必修二3. 直线的两点式方程 课件
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直线的截距式方程
直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做
直线方程的截距式方程.
在x轴上 的截距
x y 1. ab
在y轴上 的截距
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
新课标人教A版高中数学必修二3. 直线的两点式方程 课件
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y-2 = x-0， -3 - 2 3 -0 整理得，5x +3y - 6 = 0. 这就是BC边所在直线的方程.
新课标人教A版高中数学必修二3. 直线的两点式方程 课件
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设BC的中点为M,则M的坐标为（3 +0，-3 + 2），即（3，- 1）.
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程课件新人教A版必修2
ab
又过点 A,所以 4 + 2 =1
ab
因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以|a|=|b|
由①②联立方程组,解得
a b
6, 6,
或
a b
2, 2.
所以所求直线的方程为 x + y =1 或 x + y =1,
66
2 2
化简得直线 l 的方程为 x+y=6 或 x-y=2.
1.直线的两点式方程
(1)定义:如图所示,直线 l 经过点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中 x1≠x2,y1≠y2),则方程
y y1 = x x1 叫做直线 l 的两点式方程,简称两点式. y2 y1 x2 x1
解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时,一般选择 直线方程的截距式,若设直线在 x 轴,y 轴上的截距分别为 a,b,则直线与坐标
上的截距.与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式.
由直线方程的截距式得直线 l 的方程为 x + y =1,即 x+4y-8=0. 82
由①②可得 5a2-32a+48=0,
解得
a b
4, 3
或
a b
12 5 9. 2
,
所以所求直线的方程为 x + y =1 或 5x + 2 y =1,即 3x+4y-12=0 或 15x+8y-36=0.
则 (2)说xy 明xy:11与22坐xy22标,. 轴垂直的直线没有两点式方程.
解:由题意可设 A(a,0),B(0,b),
由中点坐标公式可得
a 0
2 2
高中数学 3-2-2 直线的两点式方程课件 新人教A版必修2
截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与 坐标轴的交点)， 用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三 角形面积或周长时较方便．
[例 3]
直线 l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面
积为 2，两截距之差为 3，求直线 l 的方程．
[解析]
设直线 l 在 x 轴，y 轴上的截距分别为 a，b，则由 ①
)
[答案]
B
4．过(2,5)、(2，－5)两点的直线方程是( A．x＝5 C．x＋y＝2
[答案]
[解析] 2.
)
B．y＝2 D．x＝2
D
过这两点的直线与 x 轴垂直，所以直线方程是 x＝
x y 5． 如下图所示， 直线 l 的截距式方程是a＋b＝1， 则有(
)
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
成才之路· 数学
人教A版 ·必修2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
直线与方程
第三章
3．2 直线的方程
第三章
3．2.2 直线的两点式方程
课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 名师辨误做答
课前自主预习
温故知新 1．直线的点斜式方程 ①过点P(x0，y0)，斜率为k的直线的方程为 y－y0＝k(x－x0) ． ②过点P (0，b) ，斜率为k的直线方程为 y＝kx＋b (斜截式)
1 ab＝2， 已知可得2 |a－b|＝3.
1 ab＝2， 当 a≥b 时，①可化为2 a－b＝3，
a＝4 解得 b＝1 a＝－1 或 b＝－4
(舍去)；
1 ab＝2， 当 a<b 时，①可化为2 b－a＝3，
高中数学第3章直线与方程32直线的方程322直线的两点式方程课件新人教A版必修2
3．如图，直线 l 的截距式方程是ax＋by＝1，则 a________0， b________0.
> < [M(a，0)，N(0，b)，由题图知 M 在 x 轴正半轴上，N 在 y 轴负半轴上，所以 a>0，b<0.]
14
4．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在 x 轴上的截距为________． －32 [直线方程为1y－－99＝－x－1－33，化为截距式为－x32＋3y＝1，则在 x 轴上的截距为－32.]
34
2．本例中条件不变，试求与 AB 平行的中位线所在直线方程． [解] 由探究 1 知 kAB＝－34，即中位线所在直线斜率为－34，由 例题知 BC 的中点为52，－3， 所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为 y＋3＝－34x－52，即 6x＋8y＋9＝0.
35
直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程， 再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确 定直线的一个点或者截距．
D．x－y－1＝0
D [由直线的两点式方程，得3y－－22＝4x－－33，化简得 x－y－1＝0.]
12
2．过 P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线方程是( )
A. 3x＋2y＝0
B. 2x＋3y＝0
C. 2x＋3y＝1
D. 2x－3y＝1
C [由截距式得，所求直线的方程为2x＋3y＝1.]
13
【例 3】 已知 A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中， (1)求 BC 边的方程； (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程． 思路探究：(1) B，C两点坐标 两――点→式 求方程 (2) 求中点坐标 两――点→式 求直线方程
> < [M(a，0)，N(0，b)，由题图知 M 在 x 轴正半轴上，N 在 y 轴负半轴上，所以 a>0，b<0.]
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4．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在 x 轴上的截距为________． －32 [直线方程为1y－－99＝－x－1－33，化为截距式为－x32＋3y＝1，则在 x 轴上的截距为－32.]
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2．本例中条件不变，试求与 AB 平行的中位线所在直线方程． [解] 由探究 1 知 kAB＝－34，即中位线所在直线斜率为－34，由 例题知 BC 的中点为52，－3， 所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为 y＋3＝－34x－52，即 6x＋8y＋9＝0.
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直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程， 再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确 定直线的一个点或者截距．
D．x－y－1＝0
D [由直线的两点式方程，得3y－－22＝4x－－33，化简得 x－y－1＝0.]
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2．过 P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线方程是( )
A. 3x＋2y＝0
B. 2x＋3y＝0
C. 2x＋3y＝1
D. 2x－3y＝1
C [由截距式得，所求直线的方程为2x＋3y＝1.]
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【例 3】 已知 A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中， (1)求 BC 边的方程； (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程． 思路探究：(1) B，C两点坐标 两――点→式 求方程 (2) 求中点坐标 两――点→式 求直线方程
高中数学人教A版必修二 课件：3.2.2直线的两点式方程
探究点一 直线的两点式方程 1. 两点式方程的应用前提是x1≠x2，且y1≠y2即斜率不存
在及斜率为0时不能用两点式方程，当x1＝x2时，方程
为x＝x1；当y1＝y2时，方程为y＝y1. 对于两点式中的两点，只要直线上的两点即可，与点 的先后顺序没有什么关系． 2．当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要
[错因]
错解一忽视了截距的意义，截距不是距离，它可
正可负，也可以为0.当k＝1时，直线x－y－5＝0在两坐标
轴上的截距分别为5和－5，它们是不相等的．另外，这种 解法还漏掉了直线在两坐标轴上的截距均为0时的特殊情 形；错解二中，没有注意到截距式方程的适用范围，同样 也产生了漏解．
[正解一] 设直线 l 在两坐标轴上的截距均为 a. (1)若 a＝0，则直线 l 过原点， 此时 l 的方程为 2x＋3y＝0； x y (2)若 a≠0，则 l 的方程可设为a＋a＝1. 3 －2 ∵l 过点(3，－2)，∴a＋ a ＝1，即 a＝1. ∴直线 l 的方程为 x＋y＝1，即 x＋y－1＝0. 综上所述，直线 l 的方程为 2x＋3y＝0 或 x＋y－1＝0.
方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)能表示所有的直线吗？
y－y1 x－x1 提示：能．在方程 ＝ 中，不能表示垂直于坐标轴 y2－y1 x2－x1 的直线，而在(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)中，因为是整式 方程，又没有限制条件，所以能表示所有的直线．
2．线段 P1P2 的中点坐标公式 若 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)且线段 P1P2 的 x＝x1＋x2， 2 中点 M 的坐标为(x，y)，则 y1＋y2 y＝ . 2
人教A版高中数学必修二课件3.2.2直线的两点式方程(共28张PPT)
题型三 直线方程的应用
例3 某小区内有一块荒地ABCDE，今欲在该荒地上划出 一块长方形地面(不改变方位)，进行开发(如图所示)，问如 何设计才能使开发的面积最大？最大面积是多少？(已知BC ＝210 m，CD＝240 m，DE＝300 m，EA＝180 m)
跟踪训练
3．如图所示，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身 携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李 票，行李票费用y(元)与行李重量x(kg)的关系用直线AB 的方程表示．试求： (1)直线AB的方程； (2)旅客最多可免费携带多少行李？
答案：B
想一想
截距式方程
想一想2.过原点的直线能写为截距式吗？ 提示：不能．因为此时a＝0，b＝0.
做一做 2.在x，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( )
答案：A
做一做 4.若已知A(1,2)及AB中点(2,3)，则B点的坐标是______． 答案：(3,4)
典题例证技法归纳
【题型探究】 题型一 直线的两点式方程
4．已知直线l经过点(2，－3)，且在两坐标轴上的截距相 等，求直线l的方程．
知能演练轻松闯关
本部分内容讲解结束
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【方法感悟】
1．已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线方程时，通常 用两点式，如例1. 但若x1＝x2，则直线方程为x＝x1， 若y1＝y2，则直线方程为y＝y1. 2．由截距式方程可以直接得到直线在x轴与y轴上的截距 ，反之，若已知直线在x轴、y轴上的截距(都不为0)也可 直接由截距式写出方程．如例2，例3.但过原点或垂直于 坐标轴的直线不能用截距式表示．
例1 三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)， C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．
人教A版必修二 解析几何直线的两点式方程 课件
2 A5,0 , B 0,3
指导应用：
例2.已知直线 l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点 为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程.
y
B
解：将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点 式,得： y 0 x a , b0 0a
A x
O
x y 1 所以直线 l 的方程为: a b
O x
指导应用：
例1.已知三角形的三个顶点是A(-5,0)，B(3,－ 3)，C(0，2)，求BC边所在直线的两点式方程.
解：因为过B(3,-3),C(0,2)， 所以直线的的两点式方程为：
y2 x0 3 2 3 0
当堂训练：
1.求经过下列两点的直线的两点式方程：
1 p1 1,2 , p2 3,5
（2）在x轴上的截距是-5，在y轴上的截距是6;
（3）在x轴上的截距是4，在y轴上的截距是-5;
（4）在x轴上的截距是-3，在y轴上的截距是7.
小结
两点式：
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
( x1 x2, y1 y2 )
截距式：
x y 1 a b
横、纵截距都 存在且都不为0
整理得：
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
检测自学效果：
y y1 x x1 x1 x2, y1 y2 y2 y1 x2 x1
这就是经过两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（其中
x1≠x2, y1≠y2 ）的直线方程，我们把它叫做
直线的两点式方程，简称两点式.
检测自学效果：
(2)已知直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),当x1=x2时， y 直线方程的是什么？ P
高中数学 3.2.2直线的两点式方程课件 新人教A版必修2
(3)高AE所在直线的方程.
y
C
A
O
x
B
思维拓展
拓展:已知三角形的三个顶点A(－5, 0)，B(3,
－3)，C(0, 2)，求:
(1)两点式表示BC；点斜式表示AB;
截距式表示AC
(2)BC边上中线AM所在直线的方y程； (3)高AE所在直线的方程. E
（4）过C的直线将
C
三角形面积
A
两等分的直线
k y2 y1 x2 x1
代入点斜式，得 yy1xy22 xy11(xx1)
当y1≠y2时 yy1 xx1 y2 y1 x2 x1
注： 对两点式方程要注意下面两点： (1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线， 当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时， 可直接写出方程； (2)要记住两点式方程，只要记住左边就行 了，右边可由左边见y就用x代换得到，足 码的规律完全一样
例1、三角形的顶点是 A(-5, 0), B(3,-3),
C(0, 2), 求这个三角形三边所在直线的方 程．
练习
1.求过两点的直线的两点式方程
(1)A (2,1),B (0, 3)
(2 )A ( 4 , 5 ),B (2 , 3 )
例2、已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交
点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条直线的方程
3.2.2 直线的两点式方程
教学目标
• 使学生掌握两点式方程及其应用，直 线的截距式方程，中点坐标公式，并 通过与斜截式方程、斜截式方程的对 比，让学生掌握类比思想。
• 教学重点：两点式方程、截距式方程、 中点坐标公式。
• 教学难点：截距式方程的理解。
y
1、直线的点斜式方程：P1（x0，y0），斜率k
高中数学人教A版必修二 3.2.2 直线的两点式方程 课件(42张)
(2)求过点 M(m，0)和点 N(2，1)的直线方程．
【解析】 ①当 m＝2 时，过点 M(m，0)和点 N(2，1)的直线斜 率不存在，其方程为 x＝2.
②当 m≠2 时， 方法一：直线的斜率为 k＝m0－－12＝－m－1 2， 又∵直线过点 N(2，1)， ∴直线方程的点斜式为 y－1＝－m－1 2(x－2)． 即 x＋(m－2)y－m＝0.
D．4
3.直线 3x－2y＝4 的截距式方程是( )
A.34x－y2＝1
B.x1－y1＝4 32
C.34x－－y2＝1 答案 D
D.x4＋－y2＝1 3
4．已知△ABC 的顶点 A(0，5)，B(1，－2)，C(－6，4)，则 BC 边上的中线所在直线方程为________．
答案 8x－5y＋25＝0 解析 设 BC 的中点为 D(x，y)，则x＝－52，
则可设 l 的方程为xa＋ya＝1， 由已知 l 过点 A(4，1)，∴4a＋1a＝1，得 a＝5. l 的方程为x5＋y5＝1，即 x＋y－5＝0.
(2)若直线 l 在两坐标轴上的截距为 0(或者说直线 l 过原点)， 则可设 l 的方程为 y＝kx.
代入点 A 的坐标，得 k＝14. l 的方程为 y＝14x，即 x－4y＝0. ∴所求直线 l 的方程为 x＋y－5＝0 或 x－4y＝0.
y＝1. ∴D(－52，1)，∴kAD＝45＝85，∴y＝85x＋5.
2 即 8x－5y＋25＝0.
请做：课时作业（二十）
思考题 1 (1)求满足下列条件的直线方程：
①经过点 A(－3，－3)，斜率是 4； ②斜率是 3，在 y 轴上的截距是－3； ③斜率是－3＝4(x＋3)，得 4x－y＋9＝0. ②由斜截式，得 y＝3x－3，即 3x－y－3＝0. ③在 x 轴上的截距是 3，即过点(3，0)，由点斜式，得 y－0 ＝－3(x－3)，即 3x＋y－9＝0.
新课标人教A版高中数学必修二3.2.2 直线的两点式方程 课件
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2的直
线l的方程为：
y y1 x x1 . y2 y1 x2 x1
（x1≠x2，y1≠y2）
记忆特点：
1.左边全为y，右边全为x.
2.两边的分母全为常数. 3.两边分子，分母中的减数分别相同.
新课标人教A版高中数学必修二3.2.2 直线的两点式方程 课件
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思考2：是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出 直线方程 y y1 x x1 呢？
y2 y1 x2 x1
不是当x1＝x2或y1= y2时,直线P1P2没有两点式方程. (因为x1＝x2或y1= y2时,两点式方程的分母为零,没有意义)
新课标人教A版高中数学必修二3.2.2 直线的两点式方程 课件
新课标人教A版高中数学必修二3.2.2 直线的两点式方程 课件
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程．
解：设直线方程为：y=kx+b（k≠0）
由已知得：43
k b， 2k b，
k 1， 解方程组得：b 2，
待定系数 法
方程思想
所以，直线方程为: y=x+2.
思考：还有其他做法吗？
新课标人教A版高中数学必修二3.2.2 直线的两点式方程 课件
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法二： 已知直线上两点，由斜率公式得：k 4 3 2 1
再由直线的点斜式方程可得： y 3 4 3 x 1,
5
当截距均不为0时，设直线方程为
x
5y
1,
aa
把P(-5，4)代入上式得 a 1.
高中数学 3.2.2直线的两点式方程课件 新人教A版必修2
为x＝x1.
精选ppt
6
►跟踪训练
1．△ABC 的顶点坐标分别是 A(－3，0)，B(9，5)，C(3，9)，
求△ABC 的中线 AD 所在直线的方程．
栏
目
解析：线段 BC 的中点 D 的坐标是(6，7)，由两点式方程得直线 链
接
AD 的方程y7－－00＝x6＋＋33，
即 7x－9y＋21＝0.
精选ppt
＋10＝0.
精选ppt
5
点评：(1)已知不垂直两轴的直线上的两点，便可 以利用直线的两点式方程求其方程，也可以先求 斜率，再用点斜式求其方程．
(2)当直线斜率不存在或斜率为0时，都不能用两
栏
点式来求它的方程(易错点)．
目 链
(3)两点式方程完全可以不记，可转化为两点定斜
接
率、点斜式写方程；当斜率不存在时，直线方程
角形三边所在直线的方程．
解析：利用两点式求解，但要注意隐含条件．
栏 目
链
∵直线 AB 过点 A(－5，0)，B(3，－3)，
接
∴由两点式得－y－3－00＝x3－－（（－－55））.
化简整理得 3x＋8y＋15＝0，这就是直线 AB 的方程．
同理可得直线 BC 的方程 5x＋3y－6＝0，直线 AC 的方程为 2x－5y
7
题型二 求直线的截距式方程
例 2 直线 l 过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12，
求直线 l 的方程．
栏
解析：由于直线在两坐标轴上的截距之和为 12，因此直线 l 在两 目
链
轴上的截距都存在且不过原点，故可设为截距式直线方程．
接
设直线 l 的方程为xa＋by＝1，则 a＋b＝12.①
人教A版高中数学必修2课件3.2.2直线两点式方程课件
式方程. y2 y1 x2 x1
直线两点式方程
【典型例题】
已知三角形的顶点是 A(5, 0), B(3, 3),C(0, 2) （如图），试求这个三角形三边所在直线的方程.
y
2C
A
-5
3x
-3
B
直线两点式方程
【典型例题】
解：直线 AB过A(-5,0),B(3,-3) 两点，由两点
式 y 0 x (5) ，即3x 8 y 15 0 ，
知识பைடு நூலகம்——
直线两点式方程
直线两点式方程
【定义】
一般地，已知两点 P1( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) , 求这两点确定的直线方程.
直线两点式方程
【公式推导】
已知两点 P1,P2确定的直线有哪几种可能 （可能是垂直与 x轴的直线，可能是垂直 与 y轴的直线，还可能是与 x、y轴都不垂 直的直线.） 1.当 x1=x2时，这时直线与 x轴垂直，斜率 不存在，直线方程很简单：x=x1 或 x=x2 ；
5 2 是直线AC 的方程.
直线两点式方程
【变式训练】
求过 两点 A(2,1), B(3,3) 的直线的两点式方程,
并转化成点斜式.
分析：直接代入两点式方程
解：y (3) x 3 1 (3) 2 3
点斜式（y-1）=-4(x-2).
直线两点式方程
【公式推导】
2.当x1 ≠ x2 时，这时直线不与 x轴垂直，总存在斜
率k， 因xy11 此xy可22 , 以y 化y1归 成xy22点 xy斜11 (式x 来x做1 ) .能不能把式子化 得更简洁更美观呢？当 y1=y2时，此时直线垂直于
y轴，方程就是 程写成 y y1
(教师参考)高中数学 3.2.2 直线的两点式方程课件2 新人教A版必修2
x y 1 ab
a 叫做直线在x轴上的截距；
b 叫做直线在y轴上的截距.
§3.2 直线的方程（2）
注：截距式适用于与两坐标轴不垂直 且不过原点的直线。
例1、已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y
轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条
y
直线l的方程.
解：将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入
该边上中线的直线方程。
解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：
y2 x0 32 30
整理得：5x+3y-6=0
这就是精B选Cpp边t 所在直线的方程。 9
BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连 线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：
3
2
0
,
3 2
2
即：
3 2
,
1 2
过A(-5,0),M
lB
两点式,得：
y0 xa,
b0 0a
O
A
x
即： x y 1 ab
所以直线l的方程为： x y 1
精选ppt
ab
7
截距式方程:
x a
y b
1
讨论：
是不是任意一条直线都有截距式 方程呢？
不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线
精选ppt
8
例2: 已知三角形的三个顶点是A(-5,0)，B(3, －3)，C(0，2)，求BC边所在的直线方程，以及
3 2
,
1 2
的直线方程
y0 1 0
x5 3 5
2
2
整理得：x+13y+5=0
这就是BC边上中线所在的直线的方程。
2015高中数学 3.2.2直线的两点式方程课件 新人教A版必修2.
还有其他做法吗？
简单的做法：
y 1 2 1 x 3 1 3
1 5 化简得：y x 2 2
为什么可以这样做，这样做的根据是什么 ？
推广
已知两点P1 ( x1 , y1 )，P2(x2 , y2)，求通过这两点的直线方程 ． 解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 ， P2的点． ∵ kPP1= kP1P2
教学设计
教学过程
知识回顾 提出问题 小组合作 探究新知 讲练结合 巩固新知 归纳总结 布置作业
温故知新
1
在平面中，由哪些几何条件可以确定一条直线 ？
2
直线的点斜式方程：
y- y0 =k(x- x0 )
k为斜率， P0(x0 ,y0)为经过直线的点
温故知新
3
直线的斜截式方程：
y=kx+b
k为斜率，b为截距
y y1 y y1 2 x x1 x2 x1
y y1 x x1 可得直线的两点式方程： y2 y1 x2 x1
记忆特点：1.左边全为y，右边全为x 2.两边的分母全为常数 3.分子，分母中的减数相同
探究
是不是已知任一直线中的两点就能用两点式 y y1 x x1 写出直线方程呢？
教学设计
教学重点
教材分析
教学难点
直线的 两点式 方程、 截距式 方程
直线方 程的应 用
教学设计
能按要求完成任务， 有合作交流的愿望。
学情分析
优势
劣势
数学基础相对较薄弱， 对学好数学信心不足。
教学设计 教法
教法学法
学法
探究式问题教学法
通过创设情境，用问题去引 领学生思考，通过交流合作 ，让学生在做中学，学生经 历观察、分析、类比、概括 的探究过程。
数学：3.2.2《直线的两点式方程》课件(新人教版A必修2)
( x1
x2 ,
y1
y2 )
经过直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（其 中x1≠x2, y1≠y2）的直线方程叫做直线的 两点式方程，简称两点式。
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
( x1
x2 , y1
y2 )
说明(1)这个方程由直线上两点确定;
(2)当直线没有斜率或斜率为0时,不能用
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
复习回顾
点斜式 y－y1 = k（x－x1） 斜截式 y = kx + b
已知直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（其中 x1≠x2, y1≠y2），如何求出通过这两点的直线 方程呢？
直线方程的两点式
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
.C
.
A
. O
M
x
.
B
例题分析
例1、已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交
点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程.
x a
y b
1
y lB
说明(1)直线与x轴的交点(a,0)
的横坐标a叫做直线在x轴的截距，
此时直线在y轴的截距是b;
O
A
x
(2)这个方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫
做直线方程的截距式方程;
(3)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
练习
根据下列条件，求直线的方程,并画出图形: (1)在x轴上的截距是2,在y轴上的截距是3;
x y 1 23
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方程化为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),则可表示经过这两个点
的所有直线.
2.直线的截距式方程
直线的截距式方程是两点式的特殊情形,此时两点的坐标为 x y (a,0)和(0,b)(ab≠0),此时方程的形式为 1. a b 截距式方程在画直线时非常方便.
说明:直线的截距式方程不能表示与坐标轴垂直或过原点的 直线.
的3倍,求直线l的方程.
分析:设直线l在y轴上的截距为b,则在x轴上的截距为3b.因 为截距可正,可负,可为零,所以应分b=0和b≠0两种情况解 答.
解:(1)当直线在y轴上的截距为零时,直线过原点,可设直线l的 方程为y=kx,
∵直线l过点P(-6,3).
∴3=-6k,k=-
1 ∴直线l的方程为y=x,即x+2y=0. 2
第三章
直线与方程
第二节 直线的方程
直线的两点式方程
1.了解由直线方程的点斜式推导出两点式方程
及截距式方程. 2.初步学会用直线方程的知识解决有关实际问题.
y2 y1 率为k=_______,代入点斜式方程,得 x2 x1
1.已知直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),则直线l的斜
解析:所求直线可设为x-2y+c=0. ∵过点(1,0),∴1+c=0,∴c=-1. ∴所求直线为x-2y-1=0. 答案:A
12. 已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行, 则k的值是( A.1或3 C.3或5 ) B.1或5 D.1或2
(x-3).
即为x+y-1=0,或2x+3y=0.
解法2:设直线l在两轴上的截距均为a. (1)若a=0,则直线l过原点,此时l的方程为:2x+3y=0; (2)若a≠0,则l的方程可设为:
3 2 因为l过点(3,-2),知 =1,即a=1. a a
x y 1. a a
所以直线l的方程为x+y=1,即为x+y-1=0.
变式训练3:求与两坐标围成的三角形面积为32,且斜率为-4的
直线l的方程.
x y 解 : 设直线l : 1,由题意得 m n 1 2 | mn | 32, m 4, m 4, 解得 或 n 16, n 16. n 4, m x y x y 故直线l的方程是 1或 1. 4 16 4 16
x-y+2=0 7.过(5,7)及(1,3)两点的直线方程为__________,若点(a,12) 10 在此直线上,则a=__________.
y 7 x5 , 解析:过点(5,7)及(1,3)两点的直线方程为 3 7 1 5
即x-y+2=0.∵点(a,12)0.
解 :由题意可设直线l的方程为y 3 x b.令y 0, 4
4 得x b; 令x 0, 得y b, 即直线与两坐标轴的交 3 4 4 4 点为 0, b , ( b, 0).由题意 | b | | b | b 2 ( b) 2 12, 3 3 3 4 5 | b | | b | | b | 4 | b | 12. b 3. 3 3 3 故所求直线的方程为y x 3. 4 即为3x 4y 12 0.
l的斜率为
k
y2 y1 , 由直线的点斜式方程得 x2 x1
y2 y1 y y1 x x1 y y1 ( x x1 ), 即 称为直线的 x2 x1 y2 y1 x2 x1 两点式方程.
若x1=x2,知P1P2与x轴垂直,此时的直线l的方程为x=x1. 若y1=y2,知P1P2与y轴垂直,此时的直线l的方程为y=y1. 另外,我们也可以按下面的思路推导.
整理可得2x+5y-6=0, 这就是所求直线AC的方程. 直线AB经过A(-2,2),B(3,2),由于其纵坐标相等,可知其方程为 y=2,这就是所求直线AB的方程.
y 0 x 3 , 2 0 2 3
直线BC经过B(3,2),C(3,0),由于其横坐标相等,可知其方程为 x=3,这就是所求直线BC的方程. 02 2 . 由于A(-2,2),C(3,0),∴kAC= 3 (2) 5 由AC边上的高线与AC垂直,设其斜率为k,
3 2 x y 1, 1,由于直线过点(3,-2),则有 a a a a
所以a=1.
即所求的方程为x+y-1=0.
错因分析:在上述两种错解中,错解1忽视了截距的意义,截距
不是距离,它可正可负,也可以为0.当k=1时,直线x-y-5=0在两
轴上的截距分别为5和-5,它们是不相等的.另外,这种解法还 漏掉了直线在两轴上的截距均为0时的特殊情形;错解2中,没 有注意到截距式方程的适用范围,同样也产生了漏解.
(2)若点C(-2,a)在直线AB上,求实数a的值.
解:(1)由直线的两点式方程得
y 2 x 3 . 12 2 8 3
即为2x-y-4=0,这就是直线AB的方程. (2)∵点C(-2,a)在直线AB上, ∴2×(-2)-a-4=0.∴a=-8.
题型二 直线的截距式方程 例2:直线l过点P(-6,3),且它在x轴上的截距是它在y轴上截距
正解:解法1:依题意,直线l的斜率存在且不为0,设其斜率为k, 则可得直线的方程为:y+2=k(x-3).
2 令x=0,得y=-2-3k;令y=0,得 x 3. k 2 由题意得-2-3k=3+ , 2 k 解得k=-1,或k=- . 3
所以l的方程为:y+2=-(x-3),
或y+2=2 3
设P (x, y )是直线l上异于点P1 , P2的任意一点,由于点P, P1 , P2都在直线l上, 则k PP1 y y1 x x1 整理得 . y2 y1 x2 x1 y y1 y2 y1 k P1P2 , 即 , x x1 x2 x1
说明:直线的两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线,若将
8.已知直线l的斜率为6.且在两坐标轴上的截距之和为10,求 此直线l的方程. 解法1:设直线方程为y=6x+b, 令x=0,得y=b,令y=0得 x ,
b 由题意 b =10.∴b=12. 6
b 6
所以所求直线方程为6x-y+12=0.
能力提升
3 9.求斜率为 , 且与两坐标轴围成的三角形的周长为12的直 4 线l的方程.
y2 y1 y y1 ( x x1 ) x2 x1 _________________________,当y1≠y2时,方程可以写成
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1 _________________,这个方程是由直线上两个点确定的,所
两点式 以叫做直线的__________方程.
易错探究
例4:已知直线l经过点(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等,求 直线l的方程.
错解:错解1:由于直线l的截距相等,故直线l的斜率为±1.
若k=1,则直线方程为:y+2=x-3, 即为x-y-5=0;
若k=-1,则直线方程为:y+2=-(x-3),
即为x+y-1=0.
错解2:由题意,直线在两轴上的截距相等,可设直线的方程为:
答案:A
x y B. 1 3 4 x y D. 1 4 3
3.过(x1,y1)和(x2,y2)两点的直线方程是(
)
y y1 x x1 A. y2 y1 x2 x1 y y1 y2 y1 B. x x1 x2 x1
C.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0 D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0 答案:C
x y 解 : (1)直线的截距式方程为 1. 3 2 x y (2)直线的截距式方程为 1. 1 4
题型三 直线方程的应用
例3:求与两坐标轴围成的三角形面积为9,且斜率为-2的直线 方程. 分析:依题意知,截距不为0,故可设出直线的截距式方程,利 用待定系数法求解.
规律技巧:求直线方程关键是选择适当的直线方程的形式, 由于本题涉及到直线在两坐标上的截距,因此设出了直线的 截距式方程.
1 2
.
(2)当直线在y轴上的截距不为零时,由题意可设直线l的方程 为 又直线l过点P(-6,3), x y 6 3 ∴ 3b
b 1,
3b b x 1
,解得b=1. +y=1.
∴直线l的方程为 即x+3y-3=0.
3
综上所述,所求直线l的方程为x+2y=0或x+3y-3=0.
变式训练2:根据条件,求下列各题中直线的截距式方程. (1)在x轴上的截距为-3,在y轴上的截距为2; (2)在x轴上的截距为1,在y轴上的截距为-4.
典例剖析
题型一 直线的两点式方程 例1:已知三角形的三个顶点A(-2,2),B(3,2),C(3,0),求这个三
角形的三边所在直线的方程以及AC边上的高线所在直线的
方程. 分析:求直线的方程时要选好方程的形式,要注意方程的适 用范围.
解:如右图,直线AC过点 A(-2,2),C(3,0),由直线的两点式方程得
10.已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为3,且在两坐标轴
上的截距之和为5,求这样的直线有几条?
1 x y | ab | 3 解 : 设直线方程为 1,由题意得 2 a b a b 5. ab 6 ab 6 即 或 a b 5 a b 5.
4.直线ax+by=1与两坐标轴围成的三角形的面积是(
1 A. ab 2 1 C. 2ab 1 B. | ab | 2 1 D. 2 | ab |