第三章(弹性力学)
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弹性力学-第三章-应变状态
应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相
对复杂。 这个问题以后作专门讨论。
几使何用方张程量给符出号的，应几变何通方常程称可为以表工达程为应：变。ij
1 2
ui,j
uj,i
§3.1 变形11
上式表明应变分量ij 将满足二阶张量的坐 标变换关系，应变张量分量与工程应变分 量的关系可表示为
• 刚性位移可以分解为平动与转动 • 刚性转动——变形位移的一部分，但是不产
生变形。
§3.1 变形13
通过分析弹性体内无限邻近两点的位 置变化，则可得出刚体的转动位移与 纯变形位移之间的关系。
设M点的坐标为（x，y，z）
与M点邻近的
位移（u，v，w）
N点的坐标为（x+dx，y+dy，z+dz）
位移（u+du，v+dv，w+dw）
将几何方程
x
u, x
y
v y
,
z
w z
,
中的第 1，2，4 式：
xy
vu, x y
yz
wv, y z
zx
uw z x
作如下求偏导运算：
2 x
y 2
3u xy 2
2 y
x2
3v x2y
2 xy
xy
2 u
yx
y
v x
3u xy 2
3v x 2y
§3.3 应变协调5
从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和 x求二阶偏导数
(
x
)l
1 2
xym
1 2
xzn
0
1 2
xyl
(
y
)m
1 2
第3章 弹性力学基础知识-1弹性力学的平衡
1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。 单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。 单元体
Z
σz τzy τzx τxy τxz τyz τxz τyx τxy τzy τzx σx dz σy Y dx
σy τyz
τyx
O σx
z X O x y
dy
σz
2.单元体上的应力分量 单元体上的应力分量 角标规定： （1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二 ）应力分量的角标规定 第一角标表示应力作用面， 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。 （2）面的方位用其法线方向表示 ）
ε x = [σ x − µ (σ y + σ z )],γ xy =
五、边界条件(应力,位移) 边界条件(应力,位移) 应力
Φ x = σ xl + τ xy m + τ yz n Φ y = τ yxl + σ y m + τ yz n Φ z = τ zxl + τ zy m + σ z n
四、协调方程
三、应力状态分类(按主应力)
1. ①主平面：单元体上剪应力为零的面； 主平面：单元体上剪应力为零的面； 主单元体：各面均为主平面的单元体， ②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对 主平面； 主平面；
z σz τzx τxz σx τxy τyx z' τzy τyz σy y 旋转 σ2 y' x' σ1 σ3
σ X τ YX τ ZX
τ XY τ XZ σ Y τ YZ τ ZY σ Z
应力符号规定： 应力符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标轴的正方向一 则该面上应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，反之为负。 致，则该面上应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，反之为负。
Z
σz τzy τzx τxy τxz τyz τxz τyx τxy τzy τzx σx dz σy Y dx
σy τyz
τyx
O σx
z X O x y
dy
σz
2.单元体上的应力分量 单元体上的应力分量 角标规定： （1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二 ）应力分量的角标规定 第一角标表示应力作用面， 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。 （2）面的方位用其法线方向表示 ）
ε x = [σ x − µ (σ y + σ z )],γ xy =
五、边界条件(应力,位移) 边界条件(应力,位移) 应力
Φ x = σ xl + τ xy m + τ yz n Φ y = τ yxl + σ y m + τ yz n Φ z = τ zxl + τ zy m + σ z n
四、协调方程
三、应力状态分类(按主应力)
1. ①主平面：单元体上剪应力为零的面； 主平面：单元体上剪应力为零的面； 主单元体：各面均为主平面的单元体， ②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对 主平面； 主平面；
z σz τzx τxz σx τxy τyx z' τzy τyz σy y 旋转 σ2 y' x' σ1 σ3
σ X τ YX τ ZX
τ XY τ XZ σ Y τ YZ τ ZY σ Z
应力符号规定： 应力符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标轴的正方向一 则该面上应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，反之为负。 致，则该面上应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，反之为负。
弹性力学_第三章应变.ppt
v
B"
B
u u dx x
线素AB的转角为： BB tg AB
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
变形的度量——应变
一个物体受作用力后，其内部质点不仅要发生相对位置的改 变（产生了位移），而且要产生形状的变化（产生了变形）。 物体的变形程度用应变来度量，物体在某一时刻的形态与早先 的形态（一般指初始状态或未变形的状态）之间的差别就是物 体在该时刻的应变。物体变形时，其体内各质点在各方向上都 会有应变。
AB、AD的正应变 x 、 y ：
C'
D" D '
D C
dy
u
A
A'
B'
v v dx x
v
B"
B
u u dx x
dx 0 图 2-5
x
线素AB的正应变为： u (u dx)u u x x dx x 同理，AD的正应变为： v (v dy) v v y y dy y
§3-1 变形与应变概念
刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对 位置不变（即其体内任意两点之间距保持不变）。
弹性力学课件第三章应变理论
有限元法的实现需要借助计算机编程，利用有限 元分析软件进行建模、求解和后处理。
有限差分法
01
有限差分法是一种基于离散化的数值分析方法，通过将连续的时间或 空间离散化为有限个差分，建立差分方程进行求解。
02
在弹性力学中，有限差分法常用于求解波动问题和热传导问题等偏微 分方程。
03
有限差分法的优点在于简单直观，易于编程实现，特别适合处理规则 区域的问题。
应变分析在断裂力学中的应用对于评估材料的安全性和可靠性具有重要意义，特别是在 航空航天、石油化工和核能等领域的高强度材料中尤为重要。
流体力学中的应变分析
01
流体力学是研究流体运动规律和流体与固体相互作用的一门学科。 在流体力学中，应变分析是研究流体流动状态和流体机械性能的 基础。
02
应变分析在流体力学中主要关注流体在不同压力、温度和 剪切力等条件下的流动行为。通过测量流体的应变响应， 可以评估流体的流动特性和机械性能，为流体机械的设计 和优化提供依据。
应变理论在处理大变形和塑性变形时存在困难，需要 引入更复杂的模型和理论。
应变理论在处理多相材料和复合材料时，难以准确描 述材料的复杂行为。
应变理论的新发展
发展了高阶应变理论，以更准确地描述材料的复杂 变形行为。
引入了有限变形理论，对应变和应力进行更全面的 描述。
结合数值计算方法，如有限元法，对应变进行数值 模拟和分析。
弹性力学课件第三章应变理论
目
CONTENCT
录
• 应变理论概述 • 应变理论基础 • 应变分析方法 • 应变理论应用 • 应变理论发展前景
01
应变理论概述
应变定义与测量
应变定义
物体在外力作用下发生的形状和尺寸 的相对变化。
有限差分法
01
有限差分法是一种基于离散化的数值分析方法，通过将连续的时间或 空间离散化为有限个差分，建立差分方程进行求解。
02
在弹性力学中，有限差分法常用于求解波动问题和热传导问题等偏微 分方程。
03
有限差分法的优点在于简单直观，易于编程实现，特别适合处理规则 区域的问题。
应变分析在断裂力学中的应用对于评估材料的安全性和可靠性具有重要意义，特别是在 航空航天、石油化工和核能等领域的高强度材料中尤为重要。
流体力学中的应变分析
01
流体力学是研究流体运动规律和流体与固体相互作用的一门学科。 在流体力学中，应变分析是研究流体流动状态和流体机械性能的 基础。
02
应变分析在流体力学中主要关注流体在不同压力、温度和 剪切力等条件下的流动行为。通过测量流体的应变响应， 可以评估流体的流动特性和机械性能，为流体机械的设计 和优化提供依据。
应变理论在处理大变形和塑性变形时存在困难，需要 引入更复杂的模型和理论。
应变理论在处理多相材料和复合材料时，难以准确描 述材料的复杂行为。
应变理论的新发展
发展了高阶应变理论，以更准确地描述材料的复杂 变形行为。
引入了有限变形理论，对应变和应力进行更全面的 描述。
结合数值计算方法，如有限元法，对应变进行数值 模拟和分析。
弹性力学课件第三章应变理论
目
CONTENCT
录
• 应变理论概述 • 应变理论基础 • 应变分析方法 • 应变理论应用 • 应变理论发展前景
01
应变理论概述
应变定义与测量
应变定义
物体在外力作用下发生的形状和尺寸 的相对变化。
弹性力学第03章_
体力f 体力
变形协调方程
位移边界条件
混合边界条件
应力边界条件
约束位移
已知面力 f
弹性力学的基本原理
解的唯一性定理 解的叠加原理 圣维南原理
解的唯一性原理
解的唯一性定理：假如弹性体内受已知体力的作用， 解的唯一性定理：假如弹性体内受已知体力的作用，物 体表面面力已知，或者表面位移已知； 体表面面力已知，或者表面位移已知；或者部分表面面力 已知，部分表面位移已知。当弹性体处于平衡状态时， 已知，部分表面位移已知。当弹性体处于平衡状态时，弹 性体内任一点的应力分量和应变分量都是唯一的。 性体内任一点的应力分量和应变分量都是唯一的。当表面 有部分或全部位移已知时，则位移分量也是唯一的。 有部分或全部位移已知时，则位移分量也是唯一的。 意义：为弹性力学问题的求解提供了重要的理论依据。 意义：为弹性力学问题的求解提供了重要的理论依据。 由于偏微分方程求解困难，因此在弹性力学问题分析中， 由于偏微分方程求解困难，因此在弹性力学问题分析中， 经常需要使用逆解法或半逆解法。 经常需要使用逆解法或半逆解法。而解的唯一性定理为这 些方法奠定了基础。 些方法奠定了基础。
圣维南原理及应用
根据圣维南局部影响原理， 根据圣维南局部影响原理，假如我们用一静力等效力系取 代弹性体上作用的原外力，则其影响仅在力的作用区域附近。 代弹性体上作用的原外力，则其影响仅在力的作用区域附近。 离此区域较远处，几乎不受影响。 离此区域较远处，几乎不受影响。 通过圣维南原理的使用， 通过圣维南原理的使用，可以将一些难以处理的边界条件 转化为基本方程所能够满足的边界条件， 转化为基本方程所能够满足的边界条件，使得弹性力学问题得 到解答。 到解答。 应用的注意事项： 应用的注意事项： 取代原力系的必须是静力等效力系：主失量和主矩相等。 1、取代原力系的必须是静力等效力系：主失量和主矩相等。 应用时不能讨论局部应力场。 2、应用时不能讨论局部应力场。
弹性力学-空间问题的应变分析 (第三章)
x y z yz zx xy 0
（ a）
代入几何方 程，有
v w u 0, 0, 0, y z x u w v u w v 0, 0 0, z x x y y z
积分式（a）中前三式，有
2
N l x m y n z mn yz nl zx lm xy
2 2 2
（3-5）
—— 任意方向线应变计算公式 任意点线应变的张量与矩阵表示：
N l 2 x m2 y n2 z mn yz nl zx lm xy
u0、v0、w0 分别为沿三个坐标轴方向的刚体位移。
对于平面情形，有
u u0 z y v v0 z x
3. 体积应变
设有一微小正平行六面体，棱长：x、y、z ， 变形前体积：V0
z
x y z
z
x
变形后的边长和体积分别为：
x x x, y y y, z z z;
f 3 ( x, y) i jx ky lxy
（c） 将以上三式代回式（c），得
将上式中的第二、第三式分别对z、 y 求偏导，有：
2 f ( y, z ) 0, 2 f1 ( y, z ) 0 2 1 y z
k f l hx 0 c j d l y 0 g b h d z 0
y
x
y
V (x x x) (y y y) (z z z ) xyz (1 x )(1 y )(1 z )
体积应变（相对体积改变） ：
V V0 xyz (1 x )(1 y )(1 z ) xyz e V0 xyz x y z x y y z z x x y z
弹性力学-第三章 应变分析
(3.9)
α xy
% dr2
% dr1
dr2
α yx
dr1
x
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
由式(3.12)得 由式(3.12)得dr1和dr2间直角的减小量为 (3.12)
∆ϕ = 22ε ij nm j j = 2ε 12 = 2ε xy ∆ϕ = ε ij ni i m
上式表示剪应变是角度变化的一半 图中: 图中:
% dr 2 = dr 2 + 2dr ⋅ G ⋅ dr = (1 + 2n ⋅ G ⋅ n)dr 2
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
只讨论小变形问题,忽略高阶项 只讨论小变形问题 忽略高阶项 式(3.6) 为 其中
∇u ⋅ u∇
(3.7)
% dr 2 = (1 + 2n ⋅ ε ⋅ n)dr 2
ε x 1 γ ε ij = 2 yx 1 γ zx 2
εy
1 γ zy 2
对称张量 张量的剪切应变分量 ≠ 实际的剪切应变
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
应变与位移的关系（几何方程） 点的位移是u(x+dx，y)、 应变与位移的关系（几何方程） A点的位移是 点的位移是 ， 、 v(x+dx，y)， ， ，
分别为Y 分别为Y和Z方向的正应变 如图, 如图, 设n为x轴向的单位基矢量即n=e1 轴向的单位基矢量即n=e n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0 设m为y轴向的单位基矢量即m=e2 轴向的单位基矢量即m=e O m1 = 0, m2 = 1, m3 = 0
y
ε nn = εijni⋅ ε ⋅ n11 =ε ijxni n j ε = n nj = ε = ε
弹性力学__徐芝纶版第三章
4 f
y4
0
4 f 0
一、逆解法和半逆解法 （一）逆解法的基本步骤：
取满足相容方程的 f
求出应力分量 x , y , xy
根据边界条件求出面力
考察能解决什么问题
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答
（二）半逆解法的基本步骤：
根据问题的特 点设出部分应 力分量
是 结束
否
求出应力函数 f
x
§3-3 位移分量的求出
0 u0 v0 0
y
z
u P x Eh
P x
v P y
Eh
习题
[1]写出边界条件。 解：
x x0,xb g( y h1)
0 xy x0,xb y y0 gh1, xy y0 0
y
P
hE
xy 0
u P x Eh
v P
y Eh
u v 0 y x
u
P Eh
x
f1y
v
P
Eh
y
f2 x
代入第三式得： df1 y df2 x 0
dy
dx
移项得： df1 y df2 x
u yh2 0
v yh2 0
hx1
g
b
h2
bb
y 22
FN gbh1
b
下边的等效应力边界条件： 0 y yh2 dx gbh1
b
0
xy
dx 0
y h2
b 0
y
y h2
弹性力学_3-应变分析
相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况， 相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况，既包含 了因刚体位移产生的相对位移， 了因刚体位移产生的相对位移，又包含了因变形位移产生的 相对位移； 相对位移； 相对位移张量一般为非对称张量。 相对位移张量一般为非对称张量。
二. 转动张量
设 PA = ds , PA1 = ds1 1 若为刚体位移， 若为刚体位移，则 ds = ds1
z A
r u′ r u
A1
(ds)2 = (dx1)2 + (dx2 )2 + (dx3 )2 = dxi dxi (ds1)2 = (dxi +δui )(dxi +δui ) ≈ dxi dxi + 2δuidxi
∴ δui dxi = 0 ⇒ dxui, j dxj = 0 i
展开
x O
P
P1 y
1. 体积应变 由正交三线元可构成一微元体， 由正交三线元可构成一微元体， 考察变形前后微元体体积的变化。 考察变形前后微元体体积的变化。 变形前微元体体积 变形后微元体边长
x P z
t dz
dy s
r
O
dx
y
1 1 ∂w ∂v ε23 = ε32 = γ yz = + 2 2 ∂y ∂z
∂w ε33 = εz = ∂z
应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同， 应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同， 工程切应变是角应变分量的2 但工程切应变是角应变分量的2倍，故一点应变状态可 由应变张量描述 几何方程可表示为
∂u3 ∂u1 ∂u2 dx1dx1 + dx2dx2 + dx3dx3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂u3 ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 +( + )dx1dx2 + ( + )dx2dx3 + ( + )dx3dx1 = 0 ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂x2 ∂x1 ∂x3
弹性力学第3章(徐芝纶第五版)
最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分 方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有 边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
4 楔形体受重力和液体压力 问题
设有楔形体， 左面垂直，顶角为α， 下端无限长，受重 力及齐顶液体压力,
fx 0, f y 1g.
o
α 2g
y
x
n
α
2
1g
用半逆解法求解。
（1）用量纲分析法假设应力: （2）由应力~Φ关系式，Φ应为x,y的三次式，
（3）Φ 满足相容方程 4Φ 0.
（4）由 Φ求应力， （5）考察边界条件——本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件:
o
M
y
h/2
h/2
x
M
l
( l >>h)
半逆解法
3.半逆解法 步骤：
⑴ 假设应力的函数形式 （根据受力情况， 边界条件等）；
⑵ 由应力(d)式，推测 的Φ 函数形式；
⑶ 代入 4Φ，解0 出 ； Φ
半逆解法
⑷ 由式（d），求出应力；
⑸ 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）. 如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。
为b,如图,水的密
度为 2 ，试求
弹性力学_第三章 应变
的剧烈程度，还需要研究物体内各点的相对位移。
变形的度量——应变
一个物体受作用力后，其内部质点不仅要发生相对位置的改 变（产生了位移），而且要产生形状的变化（产生了变形）。 物体的变形程度用应变来度量，物体在某一时刻的形态与早先 的形态（一般指初始状态或未变形的状态）之间的差别就是物 体在该时刻的应变。物体变形时，其体内各质点在各方向上都 会有应变。
直，相应的应变称为主应变 。
剪应变为零的方向就是应变主轴方向；主轴方向的应变就是主应变
主应变和应变张量不变量
qNi li
ij ij l j 0
主方向方程有非零解的条件是其系数行列式必为零。
ij ij 0
展开得关于 的一元三次方程：
主应变特征方程
3
(
x
y
z
)
2
[
x
y
y z
z
x
(
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述：
1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。
弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
31
1 2
(
3
1
)
max
பைடு நூலகம்
1 2
(1
3
)
应变张量分解和应变偏量不变量
变形的度量——应变
一个物体受作用力后，其内部质点不仅要发生相对位置的改 变（产生了位移），而且要产生形状的变化（产生了变形）。 物体的变形程度用应变来度量，物体在某一时刻的形态与早先 的形态（一般指初始状态或未变形的状态）之间的差别就是物 体在该时刻的应变。物体变形时，其体内各质点在各方向上都 会有应变。
直，相应的应变称为主应变 。
剪应变为零的方向就是应变主轴方向；主轴方向的应变就是主应变
主应变和应变张量不变量
qNi li
ij ij l j 0
主方向方程有非零解的条件是其系数行列式必为零。
ij ij 0
展开得关于 的一元三次方程：
主应变特征方程
3
(
x
y
z
)
2
[
x
y
y z
z
x
(
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述：
1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。
弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
31
1 2
(
3
1
)
max
பைடு நூலகம்
1 2
(1
3
)
应变张量分解和应变偏量不变量
弹性力学-第三章 应力张量 应变张量-1
上述方程为
的齐次线性方程组， 且常数项都为
零。因为：
，故
不能同时为零，
所以方程组的系数行列式应为零，即
将行列式展开，得到求解主应力 的三次方程，称为 应力张量 的特征方程。
式中
设特征方程的三个根为 展开后有
比较上两式，有
，则 （特征方程）
对一个给定的应力状态，其主应力的大小和方向是确定的，
球形张量应力（静水应力）作用下，物体只产生各向 相同的线应变而无剪应变。对应物体的体积改变，而形状 不变。
应力偏量代表各面正应力中偏离静水应力的量，是正应力 之和为零的应力状态。该应力状态下，物体的体积不改变 而形状改变。
静水压力实验研究表明，在均匀受力情况下，即使应力达到 很大值，材料也不产生塑性变形。 故：应力球形张量不产生材料的塑性变形； 应力偏量是产生塑性变形的真正原因。
对应于经过主轴之一，而平分其他两主轴夹角（与主平面成45°）的 平面，
设
，最大剪应力为：
（2）两主应力相等，设 由第二式，得
方程的解为
表示通过oz轴的平面，该组平面上，剪应力为零。
表示任一个与圆锥面相切的微分面。在该组 面上剪应力取最大值。
（3）三个主应力相等
空间任一方向都为主方向，即任一平面都是主平面， 剪应力均为零。
应力偏量也是一种应力状态，同样存在着不变量。
用
表示。
式中：
问：是否存在一特定的斜截面，其上应力矢量T与截 面法线同向。即T为该截面上的正应力 ，
而剪应力为零。
设斜截面法线方向余弦为： 应力矢量T在坐标轴上的投影为：
由斜面应力(Cauchy)公式
故 或 将上式展开
当斜面法线方向满足上述方程时，该斜面上只有正应 力，没有剪应力，称该平面为主平面；主平面上的正 应力称为主应力；主应力方向（即主平面法线方向） 称为主方向。
弹性力学第三章：应变分析
y
x
正应变
微元体棱边的相对伸长度
棱边夹角之间的变化
x y z
剪应变
z
将平行六面体 分别投影到3 个坐标面上
M A o m x a
B
y
b
z
M点在Ox轴的位移分量为
u ( x, y, z )
M点在Oy轴的位移分量为 M A o
v ( x, y , z )
B y A点和B点相应的位移分别为
u ( x dx, y, z )
2 2 z ' xl32 y m3 z n3 xyl3m3 yz m3n3 zxn3l3 3 T 3
x ' y ' 2 xl1l2 2 y m1m2 2 z n1n2 xy (l1m2 m1l2 )
dy u m’
a’ a
u x
同理
v m
o
dx
x
v y y
w z z
u
u dy y
y b
b’’
1 tan 1
v v dx v x u dx dx x
u u dx x
b’
2
dy u m’
a’’ m
o
a’
a dx
x
顺次轮换 x, y, z 和
u , v, w
可得其他两个切应变分量
yz
w v y z
xz
u w z x
当 xy , yz , zx 大于零， 表示角度缩小， 反之则表示角度扩大 综上所述。可以得到以下6个关系式
u w v x , yz x y z v u w y , zx y z x w w u z , xy z x y
弹性力学徐芝纶第三章详解
在数学上，x'，y'，z' 必为x，y，
z的单值连续函数
y
x
位移函数具有三阶连续导数
二、应变
对于微分单元体的变形，将分 为两个部分讨论。
一是微分单元体棱边的伸长和缩短 正应变 二是棱边之间夹角的变化 （剪）切应变
符号规定： 伸长为正，缩短为负 直角变小为正，直角变大为负
正应力 剪应力
正应变 剪应变
v x
u y
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
上式为剪应变的几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
这六式为几何方程（柯西方程）
四、转角方程
x
w y
v z
y
u z
w x
z
v x
u y
3－3 一点应变状态、应变张量
一、应变张量
与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量
则，a点的位移为：
u u dx x
v v dx x
b点的位移为：
u u dy y
v v dy y
x
M
' a' 'Ma Ma
(dx
u dx) x
dx
dx
u x
(dy v dy) dy
y
M 'b''Mb Mb
y dy
v y
同理：
x
u x
y
v y
z
w z
弹性力学 第三章应变状态理论
w
w
1 2
xz
dx
1 2
yz
dy
z
dz
1 2
y
dx
1 2
xdy
§3-2 相对位移张量 转动分量
0
u u
v
v
1 2
z
w
w
1 2
y
1 2
z
0
1 2
x
1 2
y
dx
1 2
x
dy
dz
0
x
1 2
xy
1 2
xz
dx
1 2
xy
y
1 2
yz
dy
1 2
xz
1 2
yz
dz
x
u x
y
v y
z
w z
yz
w y
v z
zx
u z
w x
xy
v x
u y
1 2
yz
yz
,
1 2
zx
zx ,
1 2
xy
xy
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
§3-2 相对位移张量 转动分量
相对位移张量：
u u u
x
y
z
v v v
x
y
z
w w w
x y z
转动矢量：
u(x dx, y, z) u u dx
a:
x
v(x dx, y, z) v v dx x
u(x, y dy, z) u u dy
b:
y
b a
v(x, y dy, z) v v dy
弹性力学 (3)
之比相当小的平板，其定义范围一般为
此定义为薄板。 对于圆形薄板，其定义范围是指板的厚度与其直径D之比在上述 范围之内，即
作用在板上的载荷，总可以分解为两种作用形式，一种是平行于 中面的载荷、另一种是垂直于中面的载荷。对于平行于中面的载
荷，可以认为沿壁厚均匀分布，因而引起的应力、应变和位移， 可按平面应力问题处理；对于垂直中面的载荷(又称横向载荷)， 将使薄板发生弯曲，它所引起的应力、应变和位移，可按薄板弯 曲问题进行计算。
第二节
圆板轴对称问题
圆板的几何形状、载荷和支承条件均对称于圆板中心轴，圆 板的内力和变形也是轴对称的，这类问题为圆板的轴对称问题。
由于轴对称性，圆板中的内力、变形、位移分量均为r的函 数，与 无关。
一、圆板轴对称弯曲的基本方程
由于轴对称，在微元体各截面上只有弯矩 M r , M 和剪力Qr 作用，且与 无关，仅是坐标 r 的函数。 1.平衡方程
薄板理论主要研究薄板在横向载荷作用下的应力、应变和位
移问题。在横向载荷作用下，平板内产生的内力分为薄膜力和弯 曲力，薄膜力使平板中面尺寸改变，弯曲力使平面产生双向弯曲 变形。薄板弯曲变形后，中面由平板变为曲面，称为薄板的弹性 曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移 w ，称为挠度。如 果挠度w 远小于板厚S，可以认为弹性曲面内任意线段长度无变
(3-23)
将式(3-21)代入式(3-4)，得周边简支实心圆板在任意半径 r处的应力表达式
(3-24)
在板中心 r 0 处
在板边缘 r R 处
可见，最大弯矩及相应的最大应力发生在板中心处，即
(3-25) (3-26)
由上分析可见，受轴对称均布载荷的圆平板有如下的应力和 变形特点: ①板内为二向应力状态，且沿板厚呈线性分布，均为弯曲应 力；应力沿半径方向的分布与周边支承方式有关；板内最大弯 2 R S 曲应力 max 与 成正比。 ②两种支承板，最大挠度均在板中心处，若取 0.3 ，周边 简支板的最大挠度约为固支板的4倍。 ③周边固支圆平板的最大应力为板边缘表面处的径向弯曲应 力；周边简支圆平板的最大应力为板中心表面处的两向弯曲应 力。周边简支板的最大弯曲应力约为因支板的1.65倍。 由此可见，周边固支板无论从强度还是从刚度，均比周边 简支板为好。
弹性力学第3章—应变
A
B
B′
O
y
x
研究物体的变形规律，只需要研究物体内各点 的相对位置变动情况，也即研究变形位移
u = u( x, y , z )
张量形式
位移函数
v = v ( x, y , z ) w = w( x , y , z )
ui = ui ( xj )
i = 1, 2, 3
j = 1, 2,3
3.1 变形与应变的概念
( (
) ( ) (
) )
O
′ , y0 ′) P0′( x0
= S + ( u − u0 )
P0 ( x0 , y0 )
x
u、 u0分别为线段起点、终点的位移，所以 其中 S 为原线段，
δ S = S′ − S = u − u0
上式写成张量分量形式，得到线段矢量分量的变化量
δSi = ui − u0i
因此，互相垂直的两个矢量变形 后夹角的改变量为
y
δ S2 x
α = 2ε12
γ xy = 2ε12
同理可得
δ S2 y
该改变量即为剪应变
′ S2
S2
γ zx = 2ε 31
O
S1
δ S1x
δ S1 y
γ yz = 2ε 23
ϕ
S1′
x
3.1 变形与应变的概念
应变张量的物理意义:
汇总
三维问题时应变张量（分量）的物理意义为
3.3 主应变、应变偏量及其不变量
主应变与主方向：
3 2 ′ε n ′ε n − I 3 ′ =0 εn − I1 − I2
上述方程的三个实根即为主应变 ε1 , ε 2 , ε 3 ，进一步可以求 得主方向，以及剪应变的三个极值。
B
B′
O
y
x
研究物体的变形规律，只需要研究物体内各点 的相对位置变动情况，也即研究变形位移
u = u( x, y , z )
张量形式
位移函数
v = v ( x, y , z ) w = w( x , y , z )
ui = ui ( xj )
i = 1, 2, 3
j = 1, 2,3
3.1 变形与应变的概念
( (
) ( ) (
) )
O
′ , y0 ′) P0′( x0
= S + ( u − u0 )
P0 ( x0 , y0 )
x
u、 u0分别为线段起点、终点的位移，所以 其中 S 为原线段，
δ S = S′ − S = u − u0
上式写成张量分量形式，得到线段矢量分量的变化量
δSi = ui − u0i
因此，互相垂直的两个矢量变形 后夹角的改变量为
y
δ S2 x
α = 2ε12
γ xy = 2ε12
同理可得
δ S2 y
该改变量即为剪应变
′ S2
S2
γ zx = 2ε 31
O
S1
δ S1x
δ S1 y
γ yz = 2ε 23
ϕ
S1′
x
3.1 变形与应变的概念
应变张量的物理意义:
汇总
三维问题时应变张量（分量）的物理意义为
3.3 主应变、应变偏量及其不变量
主应变与主方向：
3 2 ′ε n ′ε n − I 3 ′ =0 εn − I1 − I2
上述方程的三个实根即为主应变 ε1 , ε 2 , ε 3 ，进一步可以求 得主方向，以及剪应变的三个极值。
第三章-各向异性弹性力学基础
的。
6个独立等式：
2 x 2 y 2 xy
y 2 x2 xy
2 y 2 z 2 yz
z2 y2 yz
2 z
x 2
2 x
z 2
2 zx
zx
( zx xy yz ) 2 2 x
x y z x yz
( xy yz zx ) 2 2 y
y z x y zx
( yz zx xy ) 2 2 z
2(1 23 )
故只有5个独立常数：
E1, E2 , 21（或 12）， G12 , G（23 或 23）
即：
S11 S12 S12 0 0 0
S21 S 22 S 23
0
0
0
S021
S 23 0
S 22 0
0 S 44
0 0
0
0
0
0
0
0
S 66
0
0 0 0 0 0 S66
由工程应变形式的展开式为：
1轴沿纤维方向，并有 ij ji ，而是
ij ji 即 ij 没有对称性。
E j Ei
Sij 可展开为：
四、横观同性（5个弹性常数）
纤维在横截面内随机排列的，宏观而言， 其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为 横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为 各向同性，则有
G23
E2
1 S13 3; 2 S23 3; 3 S33 3;
4 23 0 5 31 0 6 12 S36 3
此公式说明：当沿弹性主轴拉伸时，除纵向伸 长、横向收缩外，还会引起与主轴垂直的面内 剪应变，且弹性主轴方向不变。
三、正交各向异性（9个弹性常数）
正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴 的情况。（有三个互相正交的弹性对称面） 取 x1, x2 , x3 为三个正交弹性主轴，如图所示：
6个独立等式：
2 x 2 y 2 xy
y 2 x2 xy
2 y 2 z 2 yz
z2 y2 yz
2 z
x 2
2 x
z 2
2 zx
zx
( zx xy yz ) 2 2 x
x y z x yz
( xy yz zx ) 2 2 y
y z x y zx
( yz zx xy ) 2 2 z
2(1 23 )
故只有5个独立常数：
E1, E2 , 21（或 12）， G12 , G（23 或 23）
即：
S11 S12 S12 0 0 0
S21 S 22 S 23
0
0
0
S021
S 23 0
S 22 0
0 S 44
0 0
0
0
0
0
0
0
S 66
0
0 0 0 0 0 S66
由工程应变形式的展开式为：
1轴沿纤维方向，并有 ij ji ，而是
ij ji 即 ij 没有对称性。
E j Ei
Sij 可展开为：
四、横观同性（5个弹性常数）
纤维在横截面内随机排列的，宏观而言， 其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为 横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为 各向同性，则有
G23
E2
1 S13 3; 2 S23 3; 3 S33 3;
4 23 0 5 31 0 6 12 S36 3
此公式说明：当沿弹性主轴拉伸时，除纵向伸 长、横向收缩外，还会引起与主轴垂直的面内 剪应变，且弹性主轴方向不变。
三、正交各向异性（9个弹性常数）
正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴 的情况。（有三个互相正交的弹性对称面） 取 x1, x2 , x3 为三个正交弹性主轴，如图所示：
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1. 弯应力 σ x 与材料力学的解相同。
2. 铅直线的转角 u M x , 故在任一截面x
y EI
处，平面截面假设成立。
2v M 3.纵向纤维的曲率 2 同材料力学的结 x EI 1
果。故在纯弯曲情况下，弹性力学解与材料力
学解相同。
第三章 平面问题的直角坐标解答
第三章 平面问题的直角坐标解答
问题提出
§3-3 位移分量的求出
在按应力求解中，若已得出应力，如何 求出位移？
以纯弯曲问题为例，已知
σ x M y, I
σ y xy 0,
试求解其位移。
第三章 平面问题的直角坐标解答
求形变
1. 由物理方程求形变
1 M x (σ x σ y ) y, E EI M 1 y (σ y σ x ) y , E EI 2(1 ) xy xy 0。 E
f x (lσ x mτ xy ) s , f y (mσ y lτ xy ) s .
(e)
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
从而得出，在面力(e)作用下的
解答，就是上述 Φ 和应力。
逆解法没有针对性，但可以积累
基本解答。
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
例1 一次式Φ ax by c 对应于无体力， 无面力，无应力状态。故应力函数加减 一次式，不影响应力。
2
2Φ f y, σy 2 y x
(d)
2Φ . τ xy xy
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
2 .逆解法 ── 先满足(a),再满足(b)。 步骤:
⑴ 先找出满足 4Φ 0的解Φ; ⑵ 代入(d), 求出 σ x , σ y , xy ; ⑶ 在给定边界形状S下，由式(b)反推出 各边界上的面力，
x 0(负x面),
f x (σ x ) x 0 0, 3F y2 f y ( xy ) x 0 (1 4 2 ); 2h h 12 Fl f x (σ x ) x l 3 y , h 2 3F y f y ( xy ) x l (1 4 2 ). 2h h
用两个积分的条件代替
h / 2 (σ x ) x0,l d y 1 0, h/2 (σ x ) x 0,l y d y 1 M。 h / 2
h/2
(d)
第三章 平面问题的直角坐标解答
式(d)的第一式自然满足，由第二式得出
a 2M / h3。
2 x y
第三章 平面问题的直角坐标解答
问题
§3-4 简支梁受均布荷载
。
简支梁 2l h 1，受均布荷载 q 及两端支撑反 力ql 。
q
ql
o
h/2 h/2
x
ql
l
y
l
第三章 平面问题的直角坐标解答
半逆解法
按半逆解法求解。 ⑴ 假设应力分量。由材料力学 σ x M , τ Fs , σ y q, 因为
2
第三章 平面问题的直角坐标解答
3. 由边界形状和应力分量反推边界上的 面力。 在主要边界（大边界）y h / 2上，
σ y 0, yx 0.
因此，在 y h / 2 的边界面上，无任何 面力作用，即 f x f y 0.
第三章 平面问题的直角坐标解答
在x = 0，l的次要边界（小边界）上，
M
h/2 h/2
M
x
( l >>h)
y
l
第三章 平面问题的直角坐标解答
4Φ 0
本题是平面应力问题,且为单连体， 若按 Φ 求解， 应满足相容方程及 s s Φ 上的应力边界条件。 求解步骤： ⑴ 由逆解法得出，可取 Φ ay 3，且满足
Φ 0.
4
⑵ 求应力
σ x 6ay,
⑵ 对式(b)两边乘 d y 积分 ,
v
M
2 EI
y 2 f 2 ( x )。
第三章 平面问题的直角坐标解答
求位移
⑶ 再代入(c) , 并分开变量，
d f1 ( y ) Mx d f 2 ( x) ( )。 EI dx dy
上式对任意的 x , y 都必须成立，故
两边都必须为同一常量 。
第一节 第二节
逆解法与半逆解法 矩形梁的纯弯曲
多项式解答
第三节
第四节
位移分量的求出
简支梁受均布荷载
第五节
例题
楔形体受重力和液体压力
第三章 平面问题的直角坐标解答
按
Φ 求解
§3－1 逆解法和半逆解法 多项式解法
1. 当体力为常量，按应力函数 Φ 求解平面 应力问题时，Φ 应满足 ⑴ A内相容方程 4Φ 0.
样的受力问题？ o
h/2 h/2
x ( l >>h)
y
l
第三章 平面问题的直角坐标解答
解：按逆解法。 1. 将 Φ 代入相容方程，可见 4Φ 0 是 满足的。 有可能成为该问题的解。 Φ 2. 由 Φ 求出应力分量
2Φ 12Fxy, σx 2 y h3 2Φ 0, σy 2 x y2 xy Φ 3F (1 4 2 ). xy 2h h
σ x 12 M y M y, 最终得应力解 3 I h
σ y xy 0. (e)
当 l h 时，即使在 x 0, l 边界上面力 不同于σ x的分布，其误差仅影响梁的两端 部分上的应力。
第三章 平面问题的直角坐标解答
思考题
如果区域内的平衡微分方程已经满足，且 除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件 也都分别满足。则我们可以推论出，最后一个 小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢 量、主矩的条件）必然是满足的，因此可以不 必进行校核。试对此结论加以说明。
主要边界 y h/ 2,
(σ y ) y h/2 0,
( xy ) y h / 2 0 . (b)
从式(a)可见，边界条件(b)均满足。 次要边界 x=0, l,
( xy ) x0,l 0,
满足。
(c)
σ x 的边界条件无法精确满足。
第三章 平面问题的直角坐标解答
次要边界
Φ ax 2 bxy cy 2 例2 二次式 ，分别表示常量
的应力和边界面力。如图示。
2a b
o
2a
x
b
b
o
y
b
x
2c
o
y
2c
x
y
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
例3 设图中所示的矩形长梁，l >>h，试考
F 察应力函数 Φ 3 xy (3h 2 4 y 2 )能解决什么 2h
第三章 平面问题的直角坐标解答
半逆解法
思考题 1. 在单连体中，应力函数必须满足哪些条
件？逆解法和半逆解法是如何满足这些条
件的？
2. 试比较逆解法和半逆解法的区别。
第三章 平面问题的直角坐标解答
问题提出
§3-2 矩形梁的纯弯曲
梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/ 单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲 问题。 o
3.待定的刚体位移分量 u0 ,v0 ， . 须由边界约束条件来确定。
第三章 平面问题的直角坐标解答
归纳：从应力求位移步骤： 1. 由物理方程求出形变；
2.代入几何方程，积分求 u, v ；
3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量
u0 , v0 , 。
第三章 平面问题的直角坐标解答
纯弯曲问题的讨论：
思考题
1. 弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材料力学
的解答在应力、形变等方面完全 一致。由此
是否可以说在纯弯曲情况下材料力学中的平截 面假设成立？ 2. 试证明刚体位移 u0 , v0 , 实际上表示弹性体中 原点的平移和转动分量，并应用本节的解答加以 验证。 1 v u w 提示：微分体的转动分量为 。
第三章 平面问题的直角坐标解答 求位移
由此解出 f1 ( y ) y u0 ,
M f 2 ( x) x 2 x v0 . 2 EI
得出位移为
M u xy y u0 , EI M 2 M v y x 2 x v0。 2 EI 2 EI
1 σ x M q(l x) q(l x) 2 , 2
所以，可假设 σ x x 2 f1 ( y ) xf 2 ( y ) f3 ( y ); 因为 因为
xy Fs ql q(l x),
σ y q 常数,
所以，可假设 xy xf1 ( y ) f 2 ( y );
第三章 平面问题的直角坐标解答
半逆解法
⑷ 由 Φ 求应力。
在无体力下，应力公式如书中式( f ),
(g),(h)所示。 对称性条件─由于结构和荷载对称于
y轴，故 Φ, σ x , σ y 应为 x 的偶函数， xy 为 x的奇函数，故 E F G 0 。
第三章 平面问题的直角坐标解答
(a)
⑵ S = S 上应力边界条件,
l
x
m yx f x ,
s
m
y
l xy f y .
s
(b)
⑶ 多连体中的位移单值条件。
(c)
第三章 平面问题的直角坐标解答
对于单连体，(c)通常是自然满 足的。只须满足(a),(b)。 由 Φ 求应力的公式是
σ x Φ f x x, 2 y
x l (正x面),
第三章 平面问题的直角坐标解答
2. 铅直线的转角 u M x , 故在任一截面x
y EI
处，平面截面假设成立。
2v M 3.纵向纤维的曲率 2 同材料力学的结 x EI 1
果。故在纯弯曲情况下，弹性力学解与材料力
学解相同。
第三章 平面问题的直角坐标解答
第三章 平面问题的直角坐标解答
问题提出
§3-3 位移分量的求出
在按应力求解中，若已得出应力，如何 求出位移？
以纯弯曲问题为例，已知
σ x M y, I
σ y xy 0,
试求解其位移。
第三章 平面问题的直角坐标解答
求形变
1. 由物理方程求形变
1 M x (σ x σ y ) y, E EI M 1 y (σ y σ x ) y , E EI 2(1 ) xy xy 0。 E
f x (lσ x mτ xy ) s , f y (mσ y lτ xy ) s .
(e)
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
从而得出，在面力(e)作用下的
解答，就是上述 Φ 和应力。
逆解法没有针对性，但可以积累
基本解答。
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
例1 一次式Φ ax by c 对应于无体力， 无面力，无应力状态。故应力函数加减 一次式，不影响应力。
2
2Φ f y, σy 2 y x
(d)
2Φ . τ xy xy
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
2 .逆解法 ── 先满足(a),再满足(b)。 步骤:
⑴ 先找出满足 4Φ 0的解Φ; ⑵ 代入(d), 求出 σ x , σ y , xy ; ⑶ 在给定边界形状S下，由式(b)反推出 各边界上的面力，
x 0(负x面),
f x (σ x ) x 0 0, 3F y2 f y ( xy ) x 0 (1 4 2 ); 2h h 12 Fl f x (σ x ) x l 3 y , h 2 3F y f y ( xy ) x l (1 4 2 ). 2h h
用两个积分的条件代替
h / 2 (σ x ) x0,l d y 1 0, h/2 (σ x ) x 0,l y d y 1 M。 h / 2
h/2
(d)
第三章 平面问题的直角坐标解答
式(d)的第一式自然满足，由第二式得出
a 2M / h3。
2 x y
第三章 平面问题的直角坐标解答
问题
§3-4 简支梁受均布荷载
。
简支梁 2l h 1，受均布荷载 q 及两端支撑反 力ql 。
q
ql
o
h/2 h/2
x
ql
l
y
l
第三章 平面问题的直角坐标解答
半逆解法
按半逆解法求解。 ⑴ 假设应力分量。由材料力学 σ x M , τ Fs , σ y q, 因为
2
第三章 平面问题的直角坐标解答
3. 由边界形状和应力分量反推边界上的 面力。 在主要边界（大边界）y h / 2上，
σ y 0, yx 0.
因此，在 y h / 2 的边界面上，无任何 面力作用，即 f x f y 0.
第三章 平面问题的直角坐标解答
在x = 0，l的次要边界（小边界）上，
M
h/2 h/2
M
x
( l >>h)
y
l
第三章 平面问题的直角坐标解答
4Φ 0
本题是平面应力问题,且为单连体， 若按 Φ 求解， 应满足相容方程及 s s Φ 上的应力边界条件。 求解步骤： ⑴ 由逆解法得出，可取 Φ ay 3，且满足
Φ 0.
4
⑵ 求应力
σ x 6ay,
⑵ 对式(b)两边乘 d y 积分 ,
v
M
2 EI
y 2 f 2 ( x )。
第三章 平面问题的直角坐标解答
求位移
⑶ 再代入(c) , 并分开变量，
d f1 ( y ) Mx d f 2 ( x) ( )。 EI dx dy
上式对任意的 x , y 都必须成立，故
两边都必须为同一常量 。
第一节 第二节
逆解法与半逆解法 矩形梁的纯弯曲
多项式解答
第三节
第四节
位移分量的求出
简支梁受均布荷载
第五节
例题
楔形体受重力和液体压力
第三章 平面问题的直角坐标解答
按
Φ 求解
§3－1 逆解法和半逆解法 多项式解法
1. 当体力为常量，按应力函数 Φ 求解平面 应力问题时，Φ 应满足 ⑴ A内相容方程 4Φ 0.
样的受力问题？ o
h/2 h/2
x ( l >>h)
y
l
第三章 平面问题的直角坐标解答
解：按逆解法。 1. 将 Φ 代入相容方程，可见 4Φ 0 是 满足的。 有可能成为该问题的解。 Φ 2. 由 Φ 求出应力分量
2Φ 12Fxy, σx 2 y h3 2Φ 0, σy 2 x y2 xy Φ 3F (1 4 2 ). xy 2h h
σ x 12 M y M y, 最终得应力解 3 I h
σ y xy 0. (e)
当 l h 时，即使在 x 0, l 边界上面力 不同于σ x的分布，其误差仅影响梁的两端 部分上的应力。
第三章 平面问题的直角坐标解答
思考题
如果区域内的平衡微分方程已经满足，且 除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件 也都分别满足。则我们可以推论出，最后一个 小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢 量、主矩的条件）必然是满足的，因此可以不 必进行校核。试对此结论加以说明。
主要边界 y h/ 2,
(σ y ) y h/2 0,
( xy ) y h / 2 0 . (b)
从式(a)可见，边界条件(b)均满足。 次要边界 x=0, l,
( xy ) x0,l 0,
满足。
(c)
σ x 的边界条件无法精确满足。
第三章 平面问题的直角坐标解答
次要边界
Φ ax 2 bxy cy 2 例2 二次式 ，分别表示常量
的应力和边界面力。如图示。
2a b
o
2a
x
b
b
o
y
b
x
2c
o
y
2c
x
y
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
例3 设图中所示的矩形长梁，l >>h，试考
F 察应力函数 Φ 3 xy (3h 2 4 y 2 )能解决什么 2h
第三章 平面问题的直角坐标解答
半逆解法
思考题 1. 在单连体中，应力函数必须满足哪些条
件？逆解法和半逆解法是如何满足这些条
件的？
2. 试比较逆解法和半逆解法的区别。
第三章 平面问题的直角坐标解答
问题提出
§3-2 矩形梁的纯弯曲
梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/ 单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲 问题。 o
3.待定的刚体位移分量 u0 ,v0 ， . 须由边界约束条件来确定。
第三章 平面问题的直角坐标解答
归纳：从应力求位移步骤： 1. 由物理方程求出形变；
2.代入几何方程，积分求 u, v ；
3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量
u0 , v0 , 。
第三章 平面问题的直角坐标解答
纯弯曲问题的讨论：
思考题
1. 弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材料力学
的解答在应力、形变等方面完全 一致。由此
是否可以说在纯弯曲情况下材料力学中的平截 面假设成立？ 2. 试证明刚体位移 u0 , v0 , 实际上表示弹性体中 原点的平移和转动分量，并应用本节的解答加以 验证。 1 v u w 提示：微分体的转动分量为 。
第三章 平面问题的直角坐标解答 求位移
由此解出 f1 ( y ) y u0 ,
M f 2 ( x) x 2 x v0 . 2 EI
得出位移为
M u xy y u0 , EI M 2 M v y x 2 x v0。 2 EI 2 EI
1 σ x M q(l x) q(l x) 2 , 2
所以，可假设 σ x x 2 f1 ( y ) xf 2 ( y ) f3 ( y ); 因为 因为
xy Fs ql q(l x),
σ y q 常数,
所以，可假设 xy xf1 ( y ) f 2 ( y );
第三章 平面问题的直角坐标解答
半逆解法
⑷ 由 Φ 求应力。
在无体力下，应力公式如书中式( f ),
(g),(h)所示。 对称性条件─由于结构和荷载对称于
y轴，故 Φ, σ x , σ y 应为 x 的偶函数， xy 为 x的奇函数，故 E F G 0 。
第三章 平面问题的直角坐标解答
(a)
⑵ S = S 上应力边界条件,
l
x
m yx f x ,
s
m
y
l xy f y .
s
(b)
⑶ 多连体中的位移单值条件。
(c)
第三章 平面问题的直角坐标解答
对于单连体，(c)通常是自然满 足的。只须满足(a),(b)。 由 Φ 求应力的公式是
σ x Φ f x x, 2 y
x l (正x面),
第三章 平面问题的直角坐标解答