数理逻辑
数理逻辑(证明论、递归论、模型论和公理集合论)
数理逻辑(证明论、递归论、模型论和公理集合论)(2010-10-28 00:14:03)转自新浪博客1930年以后，数学逻辑开始成为一个专门学科，得到了蓬勃发展。
哥德尔的两个定理证明之后，希尔伯特的有限主义纲领行不通，证明论出现新的情况，主要有两方面：通过放宽有限主义的限制来证明算术无矛盾性以及把证明形式化、标准化，这些主要是在三十年代完成。
同时哥德尔引进递归函数，发展成递归论的新分支，开始研究判定问题。
而哥德尔本人转向公理集合论的研究，从此出现公理集合论的黄金时代。
五十年代模型论应运而生，它与数学有着密切联系，并逐步产生积极的作用。
1、证明论证明论又称元数学，它研究数学的最基本活动—证明的合理性问题。
研究这类数学基础的问题原来一直是哲学家的事，后来才成为数学家的事。
这个转变发生在1893年弗雷格发表《算术基础规则》之时，后来希尔伯特和他的许多合作者使这种思想发展成一门学科—元数学，目的是用数学方法来研究整个数学理论。
要使数学理论成为一个合适的研究对象，就必须使之形式化。
自从希尔伯特和阿克曼所著《理论逻辑纲要》第一版在1928年出版以来，在实践中用得最多的是具有等式的一阶谓词演算(以及高阶谓词演算)。
许多理论可以用一阶理论来表述，它比较简单方便，具有多种形式。
从基础的观点来看，有两个理论最为重要，因而研究也最多。
这两个理论就是形式化的皮亚诺算术理论与形式化的集合论。
因为大多数观代数学理论都可以在这两个理论范围内发展，所以这两个理论的合理性如果得到证实，也就是向数学的可靠性迈进了一大步。
“希尔伯特计划”无非就是要找到一个有限的证明步骤来证明算术的无矛盾性。
这里“有限”的意义是由法国年轻数学家厄布朗明确提出的，他认为下列条件必须满足：必须只讨论确定的有限数目的对象及函数；这些对象及函数要能确定它们的真值产生协调一致的计算结果；一个对象如不指出如何构造它就不能肯定其存在；必须永远不考虑一个无穷集体中所有对象的集合；一个定理对于一组对象都成立的意思是，对于每个特殊的对象，可以重复所讲的普遍论证，而这普遍论证只能看成是结果特殊论证的原型。
数理逻辑
1.2 联结词与真值表
联结词的优先顺序： 联结词的优先顺序：┓、∧、∨、→、 用命题符号及联结词来表示下列命题： 用命题符号及联结词来表示下列命题： 今天下雨。 我进城去。 我有时间。 p： 今天下雨 。 q： 我进城去 。 r： 我有时间 。 如果今天不下雨， 并且我有时间， ① 如果今天不下雨 ， 并且我有时间 ， 我就 进城去。 进城去。 如果今天下雨，我就不进城去。 ②如果今天下雨，我就不进城去。 只有当今天不下雨，我才进城去。 ③只有当今天不下雨，我才进城去。
1.2 联结词与真值表
析取词： 含义： 析取词：∨ 含义：或者 如果p表示“小王在跑步” 表示“ 如果 p 表示 “ 小王在跑步 ” ， q 表示 “ 小李在 打球” p∨q表示 表示“ 打球 ” ， 则 p∨q 表示 “ 小王在跑步或者小李 在打球” 在打球”。
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
PN系统的展开
Th9 如果Γ,A├B,┐B,则 (┐+,归缪律 归缪律) Th9:如果Γ,A├B,┐B,则Γ├ ┐A (┐+,归缪律) Γ,A├B,┐B, pf: 1. Γ,┐┐A├ ┐┐A (∈) ┐┐(┐┐-) 2. ┐┐A├ A 3. Γ,┐┐A├ A 4. Γ,┐┐A├ Γ 5. Γ,A├ B,┐B (1,2,τ) ( ∈) (已知) 已知)
p 0 1
┓p 1 0
1.2 联结词与真值表
合取词： 含义： 合取词：∧ 含义：并且 如果p表示“今天是星期一” 如果p表示“今天是星期一”， 表示“今天是晴天” q表示“今天是晴天”， p∧q表示 表示“ 则 p∧q 表示 “ 今天是星期一并且今天是晴 天”。 p q p∧q
数理逻辑(Mathematical Logic)
数理逻辑（MathematicalLogic）数理逻辑(Mathematical logic)是用数学方法研究诸如推理的有效性、证明的真实性、数学的真理性和计算的可行性等这类现象中的逻辑问题的一门学问。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。
数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。
数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。
以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。
历史背景“数理逻辑”的名称由皮亚诺首先给出，又称为符号逻辑。
数理逻辑在本质上依然是亚里士多德的逻辑学，但从记号学的观点来讲，它是用抽象代数来记述的。
某些哲学倾向浓厚的数学家对用符号或代数方法来处理形式逻辑作过一些尝试，比如说莱布尼兹和朗伯（Johann Heinrich Lambert）；但他们的工作鲜为人知，后继无人。
直到19世纪中叶，乔治·布尔和其后的奥古斯都·德·摩根才提出了一种处理逻辑问题的系统性的数学方法（当然不是定量性的）。
亚里士多德以来的传统逻辑得到改革和完成，由此也得到了研究数学基本概念的合适工具。
虽然这并不意味着1900年至1925年间的有关数学基础的争论已有了定论，但这“新”逻辑在很大程度上澄清了有关数学的哲学问题。
在整个20世纪里，逻辑中的大量工作已经集中于逻辑系统的形式化以及在研究逻辑系统的完全性和协调性的问题上。
本身这种逻辑系统的形式化的研究就是采用数学逻辑的方法.传统的逻辑研究（参见逻辑论题列表）较偏重于“论证的形式”，而当代数理逻辑的态度也许可以被总结为对于内容的组合研究。
它同时包括“语法”（例如，从一形式语言把一个文字串传送给一编译器程序，从而转写为机器指令）和“语义”（在模型论中构造特定模型或全部模型的集合）。
数理逻辑的重要著作有戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）、伯特兰·罗素的《数学原理》（Principia Mathematica）等。
数理逻辑
数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。
它是数学的一个分支，是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。
数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。
虽然名称中有逻辑两字，但并不属于单纯逻辑学范畴。
所谓数学方法就是指数学采用的一般方法，包括使用符号和公式，已有的数学成果和方法，特别是使用形式的公理方法。
用数学的方法研究逻辑的系统思想一般追溯到莱布尼茨，他认为经典的传统逻辑必须改造和发展，是之更为精确和便于演算。
后人基本是沿着莱布尼茨的思想进行工作的。
简而言之，数理逻辑就是精确化、数学化的形式逻辑。
它是现代计算机技术的基础。
新的时代将是数学大发展的时代，而数理逻辑在其中将会起到很关键的作用。
逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早由古希腊学者亚里士多德创建的。
用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。
也叫做符号逻辑。
数理逻辑的产生利用计算的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程，这种想法早在十七世纪就有人提出过。
莱布尼茨就曾经设想过能不能创造一种“通用的科学语言”，可以把推理过程象数学一样利用公式来进行计算，从而得出正确的结论。
由于当时的社会条件，他的想法并没有实现。
但是它的思想却是现代数理逻辑部分内容的萌芽，从这个意义上讲，莱布尼茨可以说是数理逻辑的先驱。
1847年，英国数学家布尔发表了《逻辑的数学分析》，建立了“布尔代数”，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。
布尔建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。
十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有了比较大的发展，1884年，德国数学家弗雷格出版了《数论的基础》一书，在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的符号系统更加完备。
对建立这门学科做出贡献的，还有美国人皮尔斯，他也在著作中引入了逻辑符号。
从而使现代数理逻辑最基本的理论基础逐步形成，成为一门独立的学科。
(完整版)数理逻辑知识点总结
(完整版)数理逻辑知识点总结什么是数理逻辑？数理逻辑是一门研究命题、命题之间关系以及推理规律的学科。
它运用数学的方法来研究逻辑的基本概念和原理，用符号表示和描述逻辑概念，以及通过推理规则对命题进行推导。
命题与逻辑连接词1. 命题是陈述性语句，例如，“今天是晴天”。
在逻辑中，常用字母p、q、r等表示命题。
2. 逻辑连接词是用来构建复合命题的词语，例如，“与”、“或”、“非”等。
常用的逻辑连接词有：- “与”（合取）：表示两个命题同时为真；- “或”（析取）：表示两个命题中至少有一个为真；- “非”（否定）：表示对命题的否定。
命题逻辑的推理规则1. 合取分配律（并）：(p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r)2. 析取分配律（或）：(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r)3. 合取律（并）：p ∧ p = p4. 析取律（或）：p ∨ p = p5. 否定律：¬(¬p) = p6. De Morgan定律：- ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q- ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q命题的等价性1. 蕴含：p → q 表示当p为真时，q也为真；2. 等价：p ↔ q 表示当p与q同时为真或同时为假时成立。
命题逻辑的证明方法1. 直接证明法：直接证明命题的真假；2. 反证法：假设命题为假，推导出矛盾，得出命题为真；3. 归谬法：假设命题为真，推导出矛盾，得出命题为假；4. 数学归纳法：通过证明基础情形和推导情形的真假来证明命题。
数理逻辑的应用数理逻辑在计算机科学、数学推理、形式语言学和人工智能等领域有广泛的应用。
它能够帮助我们分析问题、进行推理以及验证和证明复杂的命题。
在算法设计、数据库查询优化、自然语言处理等方面发挥着重要作用。
以上是关于数理逻辑的基本知识点总结，希望能对您有所帮助。
数理逻辑
§1.1.4.命题翻译
解： 1. 李明是计算机系的学生，他住在312室或313室。 首先用字母表示简单命题。 P:李明是计算机系的学生。 Q:李明住在312室。 R：李明住在313室。 该命题符号化为：P ∧ (Q ⊕ R) 2. 张三和李四是朋友. 该命题符号化为：P
§1.1.2.命题联结词
命题联结词在使用中的优先级
运算时联结词的优先次序由高到低为: ¬,∧,∨,→, ↔。 先括号内运算, 后括号外运算。 运算符合运算符的优先顺序。 联结词按从左到右的次序进行运算。 例 • ¬P∨(Q∨R)可省去括号, ∨运算是可结合的。 • ( ¬P∨Q)∨R 可省去括号。 • P→(Ｑ→Ｒ)中的括号不能省去，因为→不满足结合律。
§1.1.2.命题联结词
例1 P: 我拿起一本书 Q: 我一口气读完了这本书 P→Q: 如果我拿起一本书，则我一口气读完了这本书。
通常称为形式蕴含 即前提和结果有某种形式和内容上 形式蕴含, 形式蕴含 的联系。 例2 P: 月亮出来了 Q: 3×3=9 P → Q: 如果月亮出来了, 则3×3=9。 通常称为实质蕴含 实质蕴含,即前提和结果可以有联系，也可以没 实质蕴含 有联系，只要满足条件命题的定义。
定义 由真值表给出，如左图。
即：当且仅当Ｐ和Ｑ的真值均为Ｔ， 则（ＰΛＱ）的真值为“Ｔ”。否 则，其真值为Ｆ。 注意：Ｐ和Ｑ是互为独立的，地位 注意 是平等的，Ｐ和Ｑ的位置可以交换 而不会影响ＰΛＱ的结果。
P F/0 F/0 T/1 T/1
Q PΛ Q QΛP F/0 F/0 F/0 T/1 F/0 F/0 F/0 F/0 F/0 T/1 T/1 T/1
第一篇 数理逻辑
逻辑学：研究推理的科学。 逻辑学分为二类：
辩证逻辑：是研究事物发展的客观规律。 形式逻辑：对思维的形式结构和规律进行研究。
数理逻辑
9.1 命题
定义9.1命题：凡能分辨真、假的语句称命题。 定义 命题：凡能分辨真、假的语句称命题。 命题 定义9.2 原子命题：一命题凡不能分解为更简单的 原子命题： 定义 命题称原子命题或简称原子。 命题称原子命题或简称原子。 定义9.3命题常量 具有确定真值的命题，它可用T 命题常量： 定义 命题常量：具有确定真值的命题，它可用 表示， 或F表示，称命题常量或命题常元。 表示 称命题常量或命题常元。 定义9.4命题变量 命题变量： 为其变域的命题， 定义 命题变量：以 T，F为其变域的命题，并可 ， 为其变域的命题 用命题标识符表示之。称命题变量或称命题变元。 用命题标识符表示之。称命题变量或称命题变元。
第9章 命题逻辑 章
（3）自然语言中的联结词的衡量标准不完全是其真 值表； 值表 ； 但命题逻辑中的联结词的衡量标准则是真值 因此， 联结词的唯一衡量标准是其真值表， 表 。 因此 ， 联结词的唯一衡量标准是其真值表 ， 而 不是由自然语言的一些日常语义确定。 不是由自然语言的一些日常语义确定。
9.3 命题公式
2
第9章 命题逻辑 章
9.2命题联结词
定义9.5复合命题 ： 定义 复合命题： 由原子命题通过联结词所构成 复合命题 的命题称复合命题。 的命题称复合命题。 (1)否定 否定 否定联结词是一元联结词， 否定联结词是一元联结词，它的作用对象仅为一个 命题。 命题 。 否定联结词作用于一个命题后使该命题出现 相反的语义。 如有命题： 今天下雨， 相反的语义 。 如有命题 ： 今天下雨 ， 而加上否定联 结词后即成为：今天不下雨。 结词后即成为：今天不下雨。 在命题逻辑中将此联结词予以符号化， 在命题逻辑中将此联结词予以符号化，并建立符号 体系如下： 体系如下：
数理逻辑总结
数理逻辑总结
概述
数理逻辑是数学与逻辑学的一种结合，它以数学的方法研究逻辑的结构，探讨逻辑的内容和其它抽象结构之间的联系。
它是数学分支学科和基础学科之一，是研究逻辑学的基本理论。
概念
数理逻辑研究的对象是逻辑的基本概念，其中主要包括以下几个概念：
一、谓词逻辑
谓词逻辑是一种表达主观看法的逻辑，它表示谓词（如“苹果是红色的”）在封闭系统中的真假状态，可以用一种形式化表示。
二、图论
图论是一门应用数学思想对图形进行描述分析的学科，用来描述现实中的图形关系，图形的构成，图形以及图形上的点，边和面等。
三、模型理论
模型理论是研究形式语言和模型的学科，用来分析和构造特定模型的有效方法，还涉及其它各种复杂系统的表达。
四、证明论
证明论是一种对真假性证明进行分析的学科，研究关于真假的证明的规则，分析如何从已知的真实性来推出新的真实性，以及有关如何构建不同种类的逻辑证明的方法。
发展
数理逻辑是一门新兴的学科，自20世纪50年代以来不断发展，在整个20世纪都取得了重大突破。
数理逻辑有多种应用，包括计算机科学，逻辑计算机，物理学，经济学，人工智能等。
数理逻辑的公理化理论
04 数理逻辑的公理化理论的 应用
数学基础研究
1 2 3
数学证明
数理逻辑的公理化理论为数学证明提供了形式化 的基础，使得数学定理的证明过程更加清晰、准 确和易于理解。
数学体系构建
通过数理逻辑的公理化理论，可以构建各种数学 体系，如集合论、实数理论等，为数学学科的发 展提供坚实的逻辑基础。
数学哲学思考
数理逻辑的重要性
数理逻辑是数学的基础，它为数学提供了严格的逻辑基础，确保数学理论的正确 性和一致性。
数理逻辑在计算机科学中也有广泛应用，它是设计和分析计算机程序、算法和数 据结构的重要工具。
数理逻辑的公理化理论简介
公理化理论是数理逻辑中的一个重要概念，它通过一组基本 的、不证自明的公理来定义数学概念和推理规则。
公理化理论的目标是建立一个一致、完备和自洽的数学体系 ，以确保数学推理的有效性和正确性。
02 数理逻辑的公理化理论概 述
公理化方法的起源与发展
公理化方法的起源
古希腊数学家欧几里德在《几何原本》 中首次采用公理化方法，通过五条公 理和五条公设构建了平面几何的理论 基础。
公理化方法的发展
随着数学和科学的不断进步，公理化 方法逐渐扩展到各个领域，成为现代 科学理论的重要构建方式。
详细描述
集合论公理体系由一系列基本公理和推理规则组 成，用于推导和证明集合之间的逻辑关系。这些 公理和推理规则基于集合论的直观，具有很高的 可靠性和完备性。
详细描述
集合论公理体系包括并集公理、交集公理、差集 公理等，这些公理用于描述集合的基本性质和关 系。此外，该体系还包括一些常用的推理规则， 如分离规则、重写规则等。
数理逻辑的公理化理论
目录
• 引言 • 数理逻辑的公理化理论概述 • 数理逻辑的公理体系 • 数理逻辑的公理化理论的应用 • 数理逻辑的公理化理论的未来发展
离散数学-数理逻辑
表示所有个体都满足某个条件的量词，例如“所有的苹果都是水果”。
04
范式理论
范式的定义与分类
范式（Paradigm）是指某一学科领 域中，被广泛接受和认可的观念、理 论、方法或标准。在数理逻辑中，范 式主要指逻辑公式的一种标准形式， 用于简化逻辑推理过程和提高推理的 可靠性。
VS
范式主要分为两类：自然范式和人工 范式。自然范式是指直接从语言和直 观中得出的逻辑形式，如命题逻辑中 的重写规则；人工范式则需要通过特 定的人工构造来获得，如集合论中的 形式化表述。
离散数学-数理逻辑
目录
• 引言 • 命题逻辑 • 谓词逻辑 • 范式理论 • 集合论基础 • 数理逻辑的实际应用
01
引言
数理逻辑的定义
01
数理逻辑是研究推理的数学分支 ，主要关注命题和推理的形式化 、符号化及其演绎关系。
02
它使用数学方法对推理过程进行 精确描述和证明，为计算机科学 、人工智能等领域提供理论基础 。
数理逻辑在其他领域的应用
法律
法律逻辑学运用数理逻辑的方法来分析法律推理 和法律论证。
经济学
数理逻辑用于经济学的决策理论、博弈论和信息 经济学等领域。
心理学
认知心理学中的思维过程和认知模型研究运用了 数理逻辑的概念和方法。
THANKS
感谢观看
范式在逻辑推理中的应用
范式在逻辑推理中具有重要的应用价值。通过使用范式，逻辑推理过程可以更加规范、准确和高效。例如，在人工智能领域 中，范式被广泛应用于知识表示、推理和问题求解等方面。通过将知识表示为范式形式，可以方便地进行逻辑推理和知识推 理，从而提高智能系统的性能和可靠性。
此外，范式还为逻辑推理提供了一种通用的语言和工具，促进了不同学科领域之间的交流和合作。通过学习和掌握范式理论 ，人们可以更好地理解和应用数理逻辑的基本原理和方法，从而更好地解决实际问题和开展科学研究。
数学的数理逻辑分支
数学的数理逻辑分支数理逻辑是数学的一个重要分支，它研究逻辑思维和推理的基本规律，在解决问题和证明定理中起到了关键作用。
本文将从数理逻辑的定义、历史和应用等几个方面进行探讨，以全面展示数理逻辑在数学领域的重要性。
一、数理逻辑的定义数理逻辑是研究命题、推理和证明的数学分支。
它主要包括命题逻辑、一阶谓词逻辑和模型论等相关内容。
数理逻辑通过形式化的方法来研究推理和证明的规则，以符号化的方式表达命题和推理过程。
二、数理逻辑的历史数理逻辑的起源可以追溯到古希腊时代的亚里士多德。
他在《篇章》中提出了演绎推理的基本规则，奠定了逻辑学的基础。
随着时间的推移，逻辑学逐渐发展为一个独立的学科，并且在数学研究中发挥着越来越重要的作用。
19世纪末到20世纪初，数理逻辑得到了重大的发展。
哥德尔的不完备性定理揭示了数学系统的局限性，给数理逻辑带来了巨大的冲击和启示。
同时，罗素和怀特海等逻辑学家开创了数理逻辑的公理化方法，使得逻辑推理得以在形式化的框架下进行研究。
三、数理逻辑的应用数理逻辑在数学研究中扮演着重要的角色。
它为数学家提供了一种形式化的推理工具，使得数学证明可以更加准确和严谨。
通过应用数理逻辑的方法，数学家可以构建更复杂的数学系统，并在其中进行精确的论证。
此外，数理逻辑在计算机科学领域也有广泛的应用。
计算机程序设计需要精确的逻辑思维和推理能力，而数理逻辑为程序员提供了相应的思维工具。
通过数理逻辑的分析和证明，可以验证程序的正确性和可靠性，提高计算机系统的安全性。
四、数理逻辑的发展前景随着科技的不断进步和应用的拓展，数理逻辑在各个领域的发展前景非常广阔。
在人工智能领域，数理逻辑被应用于知识表示和推理，实现机器的自动推理和决策能力。
在通信和密码学领域，数理逻辑被用于设计和分析加密算法，保障信息的安全。
在金融和经济学领域，数理逻辑被用于建立和分析数学模型，预测和解释市场的变化。
总之，数理逻辑作为数学的数学分支，具有重要的理论和应用价值。
(完整版)数理逻辑知识点总结
(完整版)数理逻辑知识点总结
1. 命题逻辑
命题逻辑是研究命题之间的逻辑关系的数理逻辑分支。
以下是
一些重要的知识点：
- 命题：表示一个陈述或主张，可以是真或假。
- 真值表：用来列出命题的所有可能的真值组合。
- 逻辑运算符：包括非、与、或、条件、双条件运算符，用于
连接命题和构建复合命题。
- 析取范式和合取范式：将复合命题化简为仅使用或和与的形式。
- 等价式：表示两个命题具有相同真值的逻辑等式。
- 推理法则：如假言推理、拒取推理等，用于推导出新的命题。
2. 谓词逻辑
谓词逻辑是研究带有变量的陈述的逻辑。
以下是一些重要的知
识点：
- 谓词：带有变量的陈述，可以是真或假。
- 量词：包括全称量词和存在量词，用于约束变量的取值范围。
- 集合论：涉及集合的概念和运算，如并、交、补运算。
- 等价式和蕴含式：类似于命题逻辑中的等价式和推理法则，
但针对谓词逻辑的带有变量的陈述。
3. 非经典逻辑
非经典逻辑是指那些违背经典逻辑法则的逻辑系统。
以下是一
些常见的非经典逻辑：
- 模糊逻辑：处理模糊概念的逻辑系统，将命题的真值从严格
的真或假扩展到连续的真假之间。
- 异质逻辑：处理具有多个真值的逻辑系统，如三值逻辑、多
值逻辑等。
- 归纳逻辑：推理从特殊到一般的逻辑系统，用于从观察到的
个别事实中推断出一般规律。
- 模态逻辑：处理可能性和必然性的逻辑系统，用于描述可能
的世界和必然的真理。
以上是数理逻辑的部分知识点总结，希望对您有所帮助。
第五章 数理逻辑
（1）
(2)
我们常把重言式记作1，把矛盾式记作0
定义4、设A,B是命题公式，若A B是重言式，则称A与B等值的,
记作
, 读作A与B等值.
例4 判断下列各组公式是否等值
（1）
(2)
对于命题公式A,B,C,有下列性质
（1）自反性:
;(2) 对称性：若
，则
(3) 传递性：若
且
c
• 重要的等值式，希望同学们牢记
的充分必要条件是
例8、证明
第三节：对偶与范式
• 一、对偶
• 定义1、在仅含有
的命题公式A中，将∧，∨分别换成∨，∧，
若A中有1或0亦互相取代，所得公式 称作A的对偶.
• 显然A也是 的对偶.
• 例1、试写出下列公式的对偶
（1）
(2)
• 定理1、设A与 是互为对偶的两个公式，所有的命题变元为
•则
•或
成的表，称为命题公式A的真值表.
例2、试求下列公式的真值表
（1）
(2)
(3)
定义3、设A是一个命题公式：
（1）若A在它的各种指派下取值均为真，则称A是重言式或永真式.
（2）若A在它的各种指派下取值均为假，则称A是矛盾式或永假式.
（3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式.
例3、用真值表判断下列公式的类型
PQ P
00
第二节 命题公式及公式的等值和蕴含关系
• 我们知道，不含任何联结词的命题称为原子命题，至少包含一个联结 词的命题称作复合命题.原子命题的真值是唯一的，所以也称原子命题 为 命题常项或命题常元.真值可以变化的陈述句称作命题变元或命题 变项（如x+y≥0）
• 一、命题公式 • 由命题变元，联结词和圆括号按一定规则组成的符号串称作合式公式. • 定义1、命题公式是由下列规则产生的符号串： • （1）单一的命题变元本身是一个合式公式. • （2）如果A是合式公式，则 A是合式公式. • （3）如果A和B是合式公式，则A B, A v B, A B,A B都是合式公式. • （4）只有有限次地应用（1），（2），（3），所产生的符号串才是
数理逻辑
(P∧Q)∨(P∧Q)
(4)除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 解(4)设P：a能被2整除，Q：a能被4整除。则原命题 符号化为：
“P是Q的充分条件”； “Q是P的必要条件”等。
2014-10-4
离散数学
29
条件联结词的例子
(1)只要天下雨，我就回家。 (2)只有天下雨，我才回家。 (3)除非天下雨，否则我不回家。 (4)仅当天下雨，我才回家。
解 设P：天下雨。Q：我回家。 则(1)符号化为P→Q。 (2)、(3)、(4)均符号化为Q→P
数理逻辑
本篇概要
数理逻辑是用数学方法(即通过引入表意符号)研究推 理的学问。因此，数理逻辑又名符号逻辑。数理逻 辑中最基本的内容包括命题逻辑和谓词逻辑。 数理逻辑的创始人是德 国哲学家、物理学家、 数学家G.Leibniz(16461716)
2014-10-4
离散数学
2
命题逻辑
本章概要
命题逻辑，也称命题演算。主要研究以命题为基 本单位构成的前提和结论之间的可推导关系。
③最外层的圆括号可以省略。
为了方便计，合式公式也简称公式。
2014-10-4
离散数学
38
命题符号化的步骤
分析出各简单命题，将它们符号化 寻找合适的真值联结词 使用联结词将简单命题联结起来，生成对复杂 命题的符号化表示。
2014-10-4
离散数学
39
命题的翻译和符号化
将下列自然语言形式化: (1)小王边走边唱。
离散数学
14
联结词知识点
命题联结词的概念 常用联结词
否定联结词“” 合取联结词 “∧” 析取联结词 “∨” 条件(蕴含)联结词“→ ” 双条件(等价)联结词“”
数理逻辑的名词解释
数理逻辑的名词解释数理逻辑是一门研究命题、推理、证明、数学系统和计算问题等的学科。
它旨在通过严密的符号化语言、形式化的证明方法和符号运算规则，揭示和分析逻辑规律，并在数学、计算机科学、哲学和语言学等领域中得到广泛应用。
1. 数理逻辑的基本概念与起源数理逻辑的基础概念包括“命题”、“推理”、“谓词”、“量词”等。
命题是陈述性语句，可以判断为真或假；推理是基于已知的命题通过一定的规则得出新的命题；谓词是一种带有占位符的命题，可以通过具体的值对其进行替换；量词表示命题在某一范围内的真假情况。
数理逻辑的起源可追溯至公元前4世纪的古希腊，当时亚里士多德提出了一套用于推理和论证的逻辑规则。
随着数学的进一步发展，逻辑也开始成为独立的学科，并逐渐形成现代数理逻辑。
2. 数理逻辑的主要分支数理逻辑可以细分为多个分支，其中主要包括命题逻辑、一阶谓词逻辑、模型论、证明论、递归论和模糊逻辑等。
命题逻辑是数理逻辑的基础，研究命题的连接关系和推理规则，以符号化的方式表达和分析命题之间的逻辑关系。
一阶谓词逻辑则引入了谓词和量词的概念，可以描述具有更丰富结构的命题和关系。
模型论研究如何将逻辑语言与实际世界建立起联系，通过模型理论来研究逻辑系统的语义（意义）特征和可满足性等性质。
而证明论研究的是关于逻辑系统的证明和证明方法，包括证明的形式化、证明系统的公理化以及可靠性等问题。
递归论探索可计算性和计算复杂性的问题，其中涉及到递归函数、图灵机等概念。
模糊逻辑则处理具有模糊性质的命题，将真值从传统的只有真和假的二元逻辑拓展到介于真和假之间的连续区域。
3. 数理逻辑的应用领域数理逻辑在数学、计算机科学、哲学和语言学等领域中有广泛的应用。
在数学中，数理逻辑提供了一种形式化的语言和证明规则，可以准确地描述和证明数学命题。
它不仅为数学的内在逻辑提供了基础，还推动了数学的发展和推理能力的提升。
在计算机科学中，数理逻辑为计算机的设计和程序验证提供了理论基础。
数理逻辑
1
0
然语言中的“非”、“不”等，
真值表如右图。
1.1 命题与联结词
合取词“∧”
合取词（Conjunction） P Q P ∧Q 是二元联结词。相当于自然 0 0 0 语言中的“与” 、“并且” 、 0 1 0
“而且” 、“也”等，真值表 1 0 0
如右图。
11 1
1.1 命题与联结词
析取词“∨” 析取词（Disjunction）
是二元联结词。相当于自然 语言中的“或”、“要么… 要么…”等，真值表如右图。
PQ 00 01 10 11
P∨Q 0 1 1 1
1.1 命题与联结词
蕴含词“”
蕴含词（Implication） P Q
是二元联结词。相当于自然 0 0
语言中的“若…则…”、“如果 0 1
…就…”、“只有…才…”， 1 0
数理逻辑的发展前期
(3)莱布尼兹(Leibniz, 1646~1716)完善三 段论，提出了建立数理逻辑或者说理性演 算的思想： 提出将推理的正确性化归于计算，这种演 算能使人们的推理不依赖于对推理过程中 的命题的含义内容的思考，将推理的规则 变为演算的规则。 使用一种符号语言来代替自然语言对演算 进行描述，将符号的形式和其含义分开。 使得演算从很大程度上取决与符号 的组合 规律，而与其含义无关。
第1章 命题逻辑
命题逻辑研究的是以原子命题为基本 单位的推理演算，其特征在于，研究和考 查逻辑形式时，我们把一个命题只分析到 其中所含的原子命题成分为止。通过这样 的分析可以显示出一些重要的逻辑形式， 这种形式和有关的逻辑规律就属于命题逻 辑。
第1章 命题逻辑
内容提要：
1. 命题逻辑的基本概念、命题联结词 2. 命题公式、自然语言的形式化 3. 命题公式的等值和蕴含 4. 范式 5. 联结词的完备集 6. 推理理论 7. 命题逻辑在计算机科学中的应用
数学的数理逻辑
数学的数理逻辑数学是人类智慧的结晶，是一门令人又爱又恨的学科。
它的美妙之处不仅在于数学公式、定理的推导，更体现在数理逻辑的严密性和精确性上。
数理逻辑是数学的基石，通过逻辑推理和符号运算，帮助我们理解、表达并解决各种数学问题。
本文将深入探讨数学的数理逻辑及其应用。
一、数理逻辑的基础数理逻辑是研究命题、谓词和推理规则的学科，它通过严谨的符号化方法，纯粹地探讨命题之间的逻辑关系。
数理逻辑的基础是命题逻辑和谓词逻辑。
1. 命题逻辑命题逻辑是研究命题和推理规则的数理逻辑分支。
命题是陈述性句子，要么是真，要么是假。
通过逻辑操作符（如非、与、或、蕴含等），可以对命题进行组合，并推导出新的结论。
命题逻辑是数理逻辑的起点，为其他相关逻辑学科提供了坚实的理论基础。
2. 谓词逻辑谓词逻辑是研究谓词、量词和推理规则的数理逻辑分支。
谓词是陈述性函数，它包含变量和常量，并且可以是真或假的。
通过量词和逻辑操作符，可以对谓词进行组合，从而进行推理。
谓词逻辑拓展了命题逻辑的范畴，并能够更加准确地描述数学问题。
二、数理逻辑的应用数理逻辑在数学的各个领域中都有广泛的应用，从数论到代数、几何，甚至物理、计算机科学等。
1. 数论中的应用在数论中，数理逻辑帮助我们证明数学中的重要定理和猜想。
例如，费马大定理的证明就运用了数理逻辑的方法。
通过命题逻辑和谓词逻辑，可以推导出各种数论命题的真假，并最终得到定理的证明。
2. 代数和几何中的应用在代数和几何中，数理逻辑可以帮助我们构建严密的证明体系，推导各种重要结果。
对于代数方程式和几何问题，数理逻辑提供了切实可行的逻辑推理方法，使我们能够正确地解决问题。
3. 物理和计算机科学中的应用在物理学和计算机科学中，数理逻辑起到了重要的作用。
通过建立逻辑模型，可以对物理现象进行描述和解释。
在计算机科学中，数理逻辑是计算机程序设计和算法研究的基础，它帮助我们确保程序的正确性和有效性。
三、数理逻辑的重要性数理逻辑对于培养人们的逻辑思维能力和分析问题的能力起到了重要的作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章数理逻辑
数理逻辑又称符号逻辑，是逻辑学的一个重要分支。
逻辑学是研究人的思维形式的科学。
数理逻辑是用数学方法研究推理、利用符号体系研究推理过程中前提和结论之间的关系。
1.1 命题符号化及联结词
1.1.1命题
命题是一个非真即假的陈述句。
因此不能判断真假的陈述句、疑问句、祈使句和感叹句都不是命题。
（1）一个命题的真或假称为命题的真值。
真用T或1表示，假用F或0表示；
（2）原子命题(简单命题)：最简单的命题，通常用大写字母p,q,r表示；几个简单命题用联结词连接起来得到的命题叫复合命题。
（3）一个陈述句有真值与是否知道它的真假是两回事。
［例1.1.1］判断下列语句是不是命题？若是，给出命题的真值：
(1)2是素数。
(2)雪是黑色的
(3)给我一块钱吧！(4)2007年元旦下雨
(5)x>y。
数理逻辑的特点是并不关心具体某个命题的真假，而是将逻辑推理变成类似数学演算的形式化了的过程，它关心的是命题之间的关联性。
因此需要进行命题符号化：原子(简单)命题就是简单陈述句，用大写字母(或带下标)表示；
命题常元：T(1)或F(0)，或者表示一个确定的命题；
命题变元：以T(1)或F(0)为值的变元；
指派(解释)：用一个具体命题代替一个命题变元。
而不是简单命题的复合命题需要使用称为命题联结词的运算符来进行符号化。
命题联结词的作用是为了将原子命题组合成复合命题。
常用的有五种：
(1) 否定联结词⌝
⌝P(否定式)：非P
⌝：不，非，没有
规定⌝P是T当且仅当P是F。
（2）合取联结词∧
P∧Q(合取式) ：P 并且Q，P合取Q
∧：并且，且，既…又…，不仅…而且…
规定P∧Q是T当且仅当P和Q都是T。
（3）析取联结词∨
P∨Q(析取式)：P或者Q，P析取Q
∨：或，或者说，不是…就是，要么…要么
规定P∨Q是T当且仅当P，Q中至少一个是T(或者P∨Q是F当且仅当P，Q都是F)。
（4）蕴含联结词→
P→Q(条件式、命题)：如果P则Q
P称为条件式的前件(前提)，Q称为条件式的后件(结论)
→：如果(若)…就(则)，只要…就，若…才能
规定P→Q是F当且仅当P是T，Q是F。
（5）等价(双条件)联结词↔
P↔Q (双条件式、命题) ：P当且仅当Q
规定P↔Q是T当且仅当P，Q或者都是T，或者都是F。
命题符号化的目的在于用五个联结词将日常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题，其关键在于使用适当的联结词。
对自然语言中语句之间的逻辑关系以及命题联结词的含义要有正确的理解：
（1）确定语句是否是一个命题；
（2）找出句中连词，用适当的命题联结词表示。
［例1.1.2］试将下列命题符号化：
（1）若你不看电影，则我也不看电影。
小王一边吃饭，一边看书。