相似三角形的周长和面积试题2
4.5.2相似三角形的周长比、面积比
解：(1)答案不唯一，如 a＝3，b＝6.
B4C4 4 4 (2)①由题意，可知 ＝ ，B4C4＝25× ＝20，∵20÷5＝4≠ BC 5 5 BC 10， ∴此矩形不是方形． ②设 BC 边上的高为 h， 由题意可知， h B3C3 1 BC 2 1 1 BC ＝ ，若 B3C3＝2× h，则 ＝ ，若 B3C3＝ × h，则 ＝ 3 5 h 3 2 5 h h 5 1 . 6
4．(4 分)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点， 则下列结论不正确的是 ( D ) A．BC＝2DE B．△ADE∽△ABC AD AB C. ＝ D．S△ABC＝3S△ADE AE AC
,第4题图)
5．(4 分)已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为 3∶4，△ABC 的 周长为 6，则△A′B′C′的周长为____ 8 ． 6．(4 分)已知△ABC∽△DEF，△ABC 的周长为 3，△DEF 的周 长为 1，则△ABC 与△DEF 的面积之比为______ 9∶1 ． 7．(4 分)如图所示，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上， ∠AED＝∠B，如果 AE＝2，△ADE 的面积为 4，四边形 BCED 的面积为 5，那么边 AB 的长为___ 3 ．
解：(1)证明：∵DC＝AC，∴△ACD 为等腰三角形．∵CF 平分 ∠ACD， ∴F 为 AD 的中点， ∵E 为 AB 的中点， ∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF∥BC.
EF 1 (2)由(1)得 EF∥BC，且 ＝ ，∴△AEF∽△ABD，∴S△AEF∶S△ BD 2
ABD＝1∶4，∴S
解：由 AB＝1.5 m，S△ABC＝1.5 m2，可得 BC＝2 m，由图①，若设 甲设计的正方形桌面边长为 x m，由 DE∥AB，得 Rt△CDE∽Rt△ x BC－x x 2－x 6 CBA，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴x＝ m.由图②，过点 B 作 AB BC 1.5 2 7 Rt△ABC 斜边 AC 上的高 BH，交 DE 于点 P，交 AC 于点 H，由 AB＝1.5 m，BC＝2 m，得 AC＝ AB2＋BC2＝ 1.52＋22＝2.5(m)， AB·BC 1.5×2 由 AC·BH＝AB·BC 得 BH＝ ＝ ＝1.2 m，设乙设 AC 2.5 BP 计的桌面的边长为 y m， ∵DE∥AC， ∴Rt△BDE∽Rt△BAC， ∴ BH 1.2－y y DE 30 6 30 2 ＝ ，即 ＝ ，解得 y＝ m，∵ ＞ ，x ＞ y2，∴甲同 AC 1.2 2.5 37 7 37 学设计的方案较好．
人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步测试含答案
人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步测试题一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11 B．10 C．9D．82．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A．4B．5C．6D．76．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：27．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2 9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP 的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（）A．5B．C．D．10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（）A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤二．填空题（共10小题）11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t ＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为_________．（填出一个正确的即可）12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为_________ cm．13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P 在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=_________．14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为_________．15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=_________cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为_________cm2．16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是_________（写出所有正确结论的序号）．17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC 的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有_________条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=_________时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是_________．19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=_________．（用含n的式子表示）20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C 内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是_________．三．解答题（共8小题）21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．22．（2013•湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．23．（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．24．（2013•襄阳）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O 于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．25．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．26．（2013•汕头）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．27．（2013•朝阳）如图，直线AB与⊙O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10（1）求⊙O的半径．（2）点E在⊙O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．（3）求弦EC的长．28．（2013•成都）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A，B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）参考答案与解析一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11 B．10 C．9D．8考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．分析：判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．解答：解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．故选D．点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．2．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：由边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，即可证得△AFE∽△DEC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AFE∽△DEC，∴AE：DE=AF：CD，∵AE=2ED，CD=3cm，∴AF=2CD=6cm．故选B．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF的长度．解答：解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠CBD=∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴=，=，=，=，∵AB=AC，∴CD=CE，解得：CD=CE=，DE=，EF=．故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错．4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．考点：相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率．专题：压轴题．分析：求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；解答：解：设正方形的ABCD的边长为a，则BF=BC=，AN=NM=MC=a，∴阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，∴小鸟在花圃上的概率为=故选C．点评：本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积．5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A．4B．5C．6D．7考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质．分析：根据圆周角定理∠CAD=∠CDB，继而证明△ACD∽△DCE，设AE=x，则AC=x+4，利用对应边成比例，可求出x的值．解答：解：设AE=x，则AC=x+4，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理），∴∠CAD=∠CDB，∴△ACD∽△DCE，∴=，即=，解得：x=5．故选B．点评：本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD=∠CDB，证明△ACD∽△DCE．6．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：AB 的值，由AB=CD即可得出结论．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．故选B．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．7．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△AB F∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形．专题：压轴题．分析：如解答图所示：结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可；结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等．解答：解：（1）结论①正确．理由如下：∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，∴∠5=∠6，∴AM=AE=BF．易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．在△ACM与△ABF中，，∴△ACM≌△ABF（SAS），∴CM=AF；（2）结论②正确．理由如下：∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，∴CE⊥AF；（3）结论③正确．理由如下：证法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆，∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．在△ADG与△NCG中，，∴△ADG≌△NCG（SAS），∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；（4）结论④正确．理由如下：证法一：∵A、D、C、G四点共圆，∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．∵△ADG≌△NCG，∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，∴GD平分∠AGC．综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．故选D．点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考．8．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD 的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB 的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解答：解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴=，∵O为对角线的交点，∴DO=BO，又∵E为OD的中点，∴DE=DB，则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故选D．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP 的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（）A．5B．C．D．考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据圆周角定理的推论由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，再根据正切的定义得到tan∠ABC==，然后根据圆周角定理得到∠A=∠P，则可证得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=•PC=PC，PC为直径时，PC最长，此时CQ最长，然后把PC=5代入计算即可．解答：解：∵AB为⊙O的直径，∴AB=5，∠ACB=90°，∵tan∠ABC=，∴=，∵CP⊥CQ，∴∠PCQ=90°，而∠A=∠P，∴△ACB∽△PCQ，∴=，∴CQ=•PC=PC，当PC最大时，CQ最大，即PC为⊙O的直径时，CQ最大，此时CQ=×5=．故选D．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形相似的判定与性质．10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（）A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤考点：切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项⑤正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE•CD，选项①正确；又ABCD为直角梯形，利用梯形的面积计算后得到梯形ABCD的面积为AB（AD+BC），将AD+BC化为CD，可得出梯形面积为AB•CD，选项④错误，而OD不一定等于OC，选项③错误，即可得到正确的选项．解答：解：连接OE，如图所示：∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；在Rt△ADO和Rt△EDO中，，∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），∴∠AOD=∠EOD，同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC，又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，∴△EDO∽△ODC，∴=，即OD2=DC•DE，选项①正确；而S梯形ABCD=AB•（AD+BC）=AB•CD，选项④错误；由OD不一定等于OC，选项③错误，则正确的选项有①②⑤．故选A点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及梯形面积的求法，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t ＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为4s．（填出一个正确的即可）考点：圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；开放型．分析：根据圆周角定理得到∠C=90°，由于∠ABC=60°，BC=4cm，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=8cm，而F是弦BC的中点，所以当EF∥AC时，△BEF 是直角三角形，此时E为AB的中点，易得t=4s；当从A点出发运动到B点名，再运动到O点时，此时t=12s；也可以过F点作AB的垂线，点E点运动到垂足时，△BEF 是直角三角形．解答：解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，而∠ABC=60°，BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，∵F是弦BC的中点，∴当EF∥AC时，△BEF是直角三角形，此时E为AB的中点，即AE=AO=4cm，∴t==4（s）．故答案为4s．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆周角定理的推论以及含30度的直角三角形三边的关系．12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为5cm．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．专题：压轴题．分析：首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF，FC的长，即可得出答案．解答：解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE；又∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6cm，∴EC=9﹣6=3（cm），∵BG⊥AE，垂足为G，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6cm，BG=4cm，∴AG==2（cm），∴AE=2AG=4cm；∵EC∥AD，∴====，∴=，=，解得：EF=2（cm），FC=3（cm），∴EF+CF的长为5cm．故答案为：5．点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P 在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=12．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：压轴题．分析：延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴==2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案为：12．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 1.5米．考点：相似三角形的应用．分析：根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，即=，则=，∴h=1.5m．故答案为：1.5米．点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为cm2．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．专题：压轴题．分析：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．解答：解：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，∵∠AMN=90°，∴∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，∴∠AMB=∠MNC，又∵∠B=∠C∴△ABM∽△MCN，则，即，解得CN==x（1﹣x），∴S四边形ABCN=×1×[1+x（1﹣x）]=﹣x2+x+，∵﹣＜0，∴当x=﹣=cm时，S四边形ABCN最大，最大值是﹣×（）2+×+=cm2．故答案是：，．点评：本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是②③④（写出所有正确结论的序号）．考点：切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：连接BD，由GD为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP为直角，再由一对公共角，得到三角形APF与三角形ABD相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠APF等于∠ABD，根据等量代换及对顶角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，选项②正确；由直径AB垂直于弦CE，利用垂径定理得到A为的中点，得到两条弧相等，再由C为的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，选项③正确；利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形ACQ 与三角形ABC相似，根据相似得比例得到AC2=CQ•CB，连接CD，同理可得出三角形ACP与三角形ACD相似，根据相似三角形对应边成比例可得出AC2=AP•AD，等量代换可得出AP•AD=CQ•CB，选项④正确．解答：解：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误；连接BD，如图所示：∵GD为圆O的切线，∴∠GDP=∠ABD，又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，∴△APF∽△ABD，∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD，∴GP=GD，选项②正确；∵直径AB⊥CE，∴A为的中点，即=，又C为的中点，∴=，∴=，∴∠CAP=∠ACP，∴AP=CP，又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确；连接CD，如图所示：∵=，∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA，∴△ACQ∽△BCA，∴=，即AC2=CQ•CB，∵=，∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，∴△ACP∽△ADC，∴=，即AC2=AP•AD，∴AP•AD=CQ•CB，选项④正确，则正确的选项序号有②③④．故答案为：②③④点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC 的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有1条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=或或时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线；（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏．解答：解：（1）存在另外 1 条相似线．如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；故答案为：1；（2）设P（l x）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2．如图2所示，共有4条相似线：①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴=；②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴=；③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，∴==；④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，∴==，∴=．故答案为：或或．点评：本题引入“相似线”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏．18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是①③．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．专题：压轴题．分析：首先根据题意易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC，继而证得正确；由点D是AB的中点，易证得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=AB，继而可得FG=BF；即可得AF=AC，又由等腰直角三角形的性质，可得AC=AB，即可求得AF=AB；则可得S△ABC=6S△BDF．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC，AG⊥AB，∴AG∥BC，∴△AFG∽△CFB，∴，∵BA=BC，∴，故①正确；∵∠ABC=90°，BG⊥CD，∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，∴∠DBE=∠BCD，∵AB=CB，点D是AB的中点，∴BD=AB=CB，∵tan∠BCD==，∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，∵=，∴FG=FB，∵GE≠BF，∴点F不是GE的中点．故②错误；∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2，∴AF=AC，∵AC=AB，∴AF=AB，故③正确；∵BD=AB，AF=AC，∴S△ABC=6S△BDF，故④错误．故答案为：①③．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是证得△AFG∽△CFB，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=．（用含n的式子表示）考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；规律型．分析：由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，即可求得△B1C1M n的面积，又由B n C n∥B1C1，即可得△B n C n M n∽△B1C1M n，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．解答：解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，S△B1C1Mn=×B1C1×B1M n=×1×=，∵B n C n∥B1C1，∴△B n C n M n∽△B1C1M n，∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，即S n：=，∴S n=．故答案为：．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C 内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是．考点：相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：规律型．分析：求出第一个、第二个、第三个内接正方形的边长，总结规律可得出第n个小正方形A nB n D n E n的边长．解答：解：∵∠A=∠B=45°，∴AE1=A1E=A1B1=B1D1=D1B，∴第一个内接正方形的边长=AB=1；同理可得：第二个内接正方形的边长=A1B1=AB=；第三个内接正方形的边长=A2B2=AB=；故可推出第n个小正方形A n B n D n E n的边长=AB=．故答案为：．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求出前几个内接正方形的边长，得出一般规律．三．解答题（共8小题）21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，从而得证；（3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．解答：（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，∴AP=AP′，∴∠APP′=∠AP′P，∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠ABP；（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP，∵P′E⊥AC，。
27.2.3 相似三角形的周长与面积(2)
5、如图，矩形FGHN内接于△ABC，FG在BC上， NH分别在AB、AC上，且AD⊥BC于D，交NH于 E，AD=8cm,BC=24cm, (1) △ABC∽ △ANH成立吗？试说明理由； (2)设矩形的一边长NF=x,求矩形 FGHN 的面积y 与x的关系式。
D B
E
C
*6、如图，△ABC,DE// FG// BC ，且△ADE的面积, 梯形FBCG的面积,梯形DFGE的面积均相等，则 △ADE与△ABC的 A
Байду номын сангаас
1: 3 相似比是_______；
△AFG与△ABC的
2: 3 相似比是_______.
F B
D
E G
C
7、△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE和△EFC的面积分别为4和9，求 △ABC的面积。
相似三角形(多边形)的性质:
（1）相似三角形对应的 中线 高线 比等于相似比. 角平分线 三角形 （2）相似 周长的比等于相似比. 多边形 三角形 （3）相似 面积的比等于相似比的平方. 多边形
5、如图,在△ABC中,D是AB的中点，
DE∥ BC，则:
(1)S △ADE : S △ABC = (2)S △ADE: S 梯形DBCE =
.
D C
F A B E
• 如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个 点）发出的光线照射桌面形成阴影的示意 图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地 面为1米，若灯泡距离地面3米，则地面上 阴影部分的面积为多少？
浙教版九级上数学.相似三角形的性质及其应用同步导学练(含答案)2
4.5 相似三角形的性质及其应用（2）相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．1.两个相似三角形的一组对应边分别为5cm和3cm，若它们的面积之和为136cm2，则较大的三角形的面积是(D).A.36cm2B.85cm2C.96cm2D.100cm22.如图所示，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE=1∶2，则下列等式中，一定成立的是(D).（第2题）（第3题）（第4题）3.如图所示，在ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC=3∶1，连结AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为(B).A.3∶4B.9∶16C.9∶1D.3∶14.如图所示，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC 的面积为1，则△BCD的面积为(C).A.1B.2C.3D.45.如图所示，如果△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么S△DEF∶S△ABC的值为 2 ．（第5题）（第6题）（第7题）6.如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO=90°，OA 与反比例函数y=x k (x<0)的图象交于点D ，且OD=2AD ，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C.若S 四边形ABCD =10，则k 的值为 -16 ．7.如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CM 是∠BCD 的平分线，且CM ⊥AB ，点M 为垂足，AM=31AB.若四边形ABCD 的面积为715，则四边形AMCD 的面积是 1 . 8.已知两个相似三角形的一组对应边长分别是35cm 和14cm.（1）若它们的周长相差60cm ，求这两个三角形的周长．（2）若它们的面积相差588cm 2，求这两个三角形的面积．【答案】(1)较大的三角形的周长为100cm ，较小的三角形的周长为40cm.(2)较大的三角形的面积为700cm 2，较小的三角形的面积为112cm 2.9.如图所示，△ABC 是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），请在正方形网格上按下列要求画一个与△ABC 相似的格点三角形，并填空.（1）在图1中画△A 1B 1C 1，使得△A 1B 1C 1的周长是△ABC 的周长的2倍，则ABB A 11= 2 ． （2）在图2中画△A 2B 2C 2，使得△A 2B 2C 2的面积是△ABC 的面积的2倍，则AB B A 22= 2 ．（第9题）【答案】(1)图略 2(2)图略2 10.如图所示，在△ABC 中，P 是BC 边上任意一点（点P 与点B ，C 不重合），AFPE 的顶点F ，E 分别在AB ，AC 上.已知BC=2，S △ABC =1.设BP=x ，平行四边形AFPE 的面积为y.（1）求y 关于x 的函数表达式.（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x 取何值时，y 有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由.（第10题）【答案】(1)∵四边形AFPE 是平行四边形，∴PF ∥CA.∴△BFP ∽△BAC.∴.∵S△ABC =1，∴S △BFP =42x .同理S △PEC =,∴y=. (2)上述函数有最大值，最大值为21.理由如下：∵y=-22x +x=-21（x -1）2+21，-21＜0， ∴y 有最大值.又∵0<x<2,∴当x=1时，y 有最大值，最大值为21.11.如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O ，若S △DOE ∶S △COA =1∶9，则S ，则S △BDE 与S △CDE 的比是(B ).A.1∶3B.1∶2C.1∶4D.1∶9（第11题） （第12题） （第13题） （第14题）12.如图所示，D ，E ，F ，G 为△ABC 两边上的点，且DE ∥FG ∥BC ，若DE ，FG 将△ABC 的面积三等分，则下列结论正确的是(C ).13.如图所示，在ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE 于点G ，BG=42，则△EFC 的周长为(D ).A.11B.10C.9D.814.如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ，∠ADC=45°，若DE ∶AE=1∶5，BE=3，则△ABD 的面积为 13 ．15.如图所示，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 1211 . （第15题） （第16题）16.如图所示，M 是△ABC 内-点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9.则△ABC 的面积是 36 ．17.如图所示，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A ，B ，D 三点.过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连结ED.（1）求证：ED ∥AC.（2）若BD=2CD ，设△EBD 的面积为S1，△ADC 的面积为S2，且S 21-16S 2+4=0，求△ABC 的面积.（第17题）【答案】(1)∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD=∠DAC.∵∠E=∠BAD ，∴∠E=∠DAC. ∵BE ∥AD ，∴∠E=∠EDA.∴∠EDA=∠DAC.∴ED ∥AC.(2)∵BE ∥AD ，∴∠EBD=∠ADC.又∵∠E=∠DAC ，∴△EBD ∽△ADC ，且相似比k=DC BD =2.∴21S S =k 2=4，即S1=4S2.∵S12-16S 2+4=0，∴16S22-16S2+4=0，即(4S2-2)2=0.∴S 2=21. ∵=3，∴S △ABC =23. 18.如图1所示，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3．（1）如图2所示，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，则S 1，S 2，S 3之间有什么关系？（不必证明）（2）如图3所示，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，请你确定S 1，S 2，S 3之间的关系并加以证明．（3）若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，为使S 1，S 2，S 3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？请证明你的结论．（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．（第18题） 【答案】设直角三角形ABC 的三边BC ，CA ，AB 的长分别为a ，b ，c ，则c 2=a 2+b 2.(1)S 1=S 2+S 3.(2)S1=S2+S3.证明:∵S1=43c 2，S2=43a 2，S3=43b 2，∴S2+S3=43 (a 2+b 2)= 43c 2=S 1.∴S 1=S 2+S 3. (3)当所作的三个三角形相似时，S 1=S 2+S 3.证明：∵所作的三个三角形相似，∴, ∴=1.∴S 1=S 2+S 3.(4)分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个相似图形，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，则S 1=S 2+S 3.19.【镇江】点E ，F 分别在ABCD 的边BC ，AD 上，BE=DF ，点P 在边AB 上，AP ∶PB=1∶n （n ＞1），过点P 且平行于AD 的直线l 将△ABE 分成面积为S 1，S 2的两部分，将△CDF 分成面积为S 3，S 4的两部分（如图所示）.有下列四个等式：①S 1∶S 3=1∶n ；②S 1∶S 4=1∶（2n+1）；③（S 1+S 4）∶（S 2+S 3）=1∶n ；④（S 3-S 1）∶（S 2-S 4）=n ∶（n+1）.其中成立的是(B ).A.①②④B.②③C.②③④D.③④（第19题） （第20题）20.【杭州】如图所示，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D 在边AC 上，AD=5，DE ⊥BC 于点E ，连结AE ，则△ABE 的面积等于 78 .【解析】∵在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，∴BC=22AC AB =25，S △ABC =21AB ·AC=21×15×20=150.∵AD=5，∴CD=AC -AD=15.∵DE ⊥BC ，∴∠DEC=∠BAC=90°.又∵∠C=∠C ，∴△CDE ∽△CBA.∴AC CE =CB CD ，即20CE =2515，解得CE=12.∴BE=BC -CE=13.∵S △ABE ∶S △ABC =BE ∶BC=13∶25，∴S △ABE =2513×150=78.21.如图所示，在△ABC 中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC ≌△DEF ，将△DEF 与△ABC 重合在一起，△ABC 不动，△DEF 运动，并满足：点E 在边BC 上沿点B 到点C 方向运动，且DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于点M ．（1）求证：△ABE ∽△ECM ．（2）在△DEF 的运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．（3）当线段AM 最短时，求重叠部分的面积．（第21题）【答案】(1)∵AB=AC ，∴∠B=∠C.∵△ABC ≌△DEF ，∴∠AEF=∠B.∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE ，∴∠CEM=∠BAE.∴△ABE ∽△ECM.(2)能.∵∠AEF=∠B=∠C ，∠AME ＞∠C ，∴∠AME ＞∠AEF.∴AE ≠AM.①当AE=EM 时，则△ABE ≌△ECM ，∴CE=AB=5.∴BE=BC -EC=1.②当AM=EM 时，则∠MAE=∠MEA ，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM ，即∠CAB=∠CEA.∵∠C=∠C ，∴△CAE ∽△CBA.∴AC CE =CB AC .∴CE=CB AC 2=625.∴BE=611.∴BE=1或611. (3)设BE=x.∵△ABE ∽△ECM ，∴.∴CM=-51（x -3）2+59.∴AM=5-CM=51（x -3）2+516.∴当x=3时，AM 最短为516.此时BE=21BC ，∴E 为BC 的中点.∴AE ⊥BC.∴AE=22BE AB =4.EF ⊥AC.∴EM=AE 2-AM 2=512.∴S △AEM =21×516×512=2596.。
相似三角形性质完整的题型+答案
相似三角形性质知识精要一、相似三角形的性质1、(定义):相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
3、性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比。
4、性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。
二、相似三角形的应用例题讲解:例题:地图比例尺为1:2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm，面积为100cm2，实际周长为1000 m，实际面积为40000m2。
变式:东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为( )。
A.1:5000000B.1:500000C.1:50000D.1:5000答案：B例题:(1)两个相似三角形的面积之比为9:16，它们的对应高之比为3:4 。
(2)两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为1:3 ，面积比为1:9 。
变式:(1)两个相似三角形面积之比是1:3，则他们对应边上的高之比为( )。
(A).1:3 (B) 3:1 (C) 1:3(D) 1:9(2)两个相似三角形的相似比是2:3，面积相差30厘米2，则它们的面积之和是( )。
(A)150厘米2(B) 65厘米2(C) 45厘米2(D) 78厘米2答案：(1) C (2)D。
例题:如图，已知DE//BC ，AD:DB=2:3，那么S △ADE :S △ECB = 4:15 。
变式:如图，在ABCD 中，AC 与DE 交于点F ，AE:EB=1:2，S △AEF =6cm 2，则S △CDF 的值为( )。
A.12cm 2B.15cm 2C.24cm 2D.54cm 2答案：D 。
例题:如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AD:BC=3:5， 求: (1)S △AOD :S △BOC 的值；(2)S △AOB :S △AOD 的值. 答案:(1)9:25 (2)5:3。
浙教版初三上册数学第四章相似三角形的性质及其应用第2课时相似三角形的周长比、面积比随堂练习(解析版)
浙教版初三上册数学第四章41．[2021·重庆B 卷]已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为1∶2，则△A BC 与△DEF 的面积比是( A )A. 1∶4B. 4∶1C. 1∶2D. 2∶1【解析】 依照相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S △ABC ∶S △DEF ＝1∶4.2．[2021·重庆A 卷]若△ABC ∽△DEF ，相似比为3∶2，则对应高线的比为( A )A ．3∶2B ．3∶5C ．9∶4D ．4∶9【解析】 因为△ABC ∽△DEF ，依照相似三角形的性质“相似三角形对应高线之比等于相似比”，故选A.3．如图4－5－10，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论不正确的是( D )A ．BC ＝2DEB ．△ADE ∽△ABC C.AD AE ＝AB AC D ．S △ABC ＝3S △ADE【解析】 ∵在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∴DE ∥B C ，DE ＝12BC ，∴BC ＝2DE ，故A 正确；∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，故B 正确；∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ，即AD AE ＝AB AC ，故C 正确；∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∶BC ＝1∶2，∴S △ABC ＝4S △ADE ，故D 错误． 图4－5－10 图4－5－114．[2021·湘西]如图4－5－11，在△ABC 中，DE ∥BC ，DB ＝2AD ，△ADE 的面积为1，则四边形DBCE 的面积为( D )A ．3B ．5C ．6D ．8【解析】 由DE ∥BC ，DB ＝2AD ，得△ADE ∽△ABC ，AD AB ＝13. ∵S △ADE ＝1，S △ADE S △ABC ＝19，∴S △ABC ＝9. ∴S 四边形DBCE ＝SABC －S △ADE ＝8.故选D.5．[2021·连云港]如图4－5－12，已知，△ABC ∽△DEF ，AB ∶DE ＝1∶2，则下列等式一定成立的是( D ) A.BC DF ＝12 B.∠A 的度数∠D 的度数＝12 C.△ABC 的面积△DEF 的面积＝12 D.△ABC 的周长△DEF 的周长＝12图4－5－12 图4－5－136．[2021·莘县一模]如图4－5－13，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ∶S △ABF ＝4∶25，则DE ∶EC ＝( A )A ．2∶3B ．2∶5C ．3∶5D ．3∶2【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠EAB ＝∠DEF ，∠AFB ＝∠DFE ，∴△DEF ∽△BAF.∵S △DEF ∶S △ABF ＝4∶25，∴DE AB ＝25，∵AB ＝CD ，∴DE ∶EC ＝2∶3.7．一副三角板叠放如图4－5－14，则△AOB 与△DOC 的面积之比为__1∶3__．图4－5－148．已知△ABC ∽△DEF ，DE AB ＝23，△ABC 的周长是12 cm ，面积是30 cm2.(1)求△DEF 的周长；(2)求△DEF 的面积． 解：(1)∵△ABC ∽△DEF ，DE AB ＝23，∴△DEF 的周长为12×23＝8(cm)；(2)∵△ABC ∽△DEF ，DE AB ＝23，∴△DEF 的面积为30×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝1313(cm2)． 9．已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35 cm 和14 cm.(1)已知它们的周长相差60 cm ，求这两个三角形的周长；(2)已知它们的面积相差588 cm2，求这两个三角形的面积．解：(1)∵两个相似三角形的对应边长分别是35 cm 和14 cm ，∴这两个三角形的相似比为5∶2，∴这两个三角形的周长比为5∶2.设较大的三角形的周长为5x cm ，较小的三角形的周长为2x cm. ∵它们的周长相差60 cm ，∴5x －2x ＝60，∴x ＝20，∴5x ＝5×20＝100，2x ＝2×20＝40，∴较大的三角形的周长为100 cm ，较小的三角形的周长为40 cm ；(2)∵这两个三角形的相似比为5∶2，∴这两个三角形的面积比为25∶4.设较大的三角形的面积为25x cm2，较小的三角形的面积为4x cm2. ∵它们的面积相差588 cm2，∴(25－4)x ＝588，解得x ＝28，∴25x ＝25×28＝700，4x ＝4×28＝112，∴较大的三角形的面积为700 cm2，较小的三角形的面积为112 cm2.10．如图4－5－15，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12，则S △ADE ∶S 四边形BCED 的值为( C )A ．1∶ 3B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶4图4－5－15 图4－5－1611．[2021·咸宁]如图4－5－16，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连结DE ，下列结论：①DE BC ＝12；②S △DOE S △COB ＝12；③AD AB ＝OE OB ；④S △ODE S △ADE ＝13.其中正确的个数有( C )A. 1个B. 2个 C ．3个 D. 4个【解析】 ①∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，即DE BC ＝12，故①正确；②∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，∴△DOE ∽△COB ， ∴S △DOE S △COB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，故②错误； ③∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝DE BC ，∵△DOE ∽△COB ，∴OE OB ＝DE CB ，∴AD AB ＝OE OB ，故③正确；④∵△ABC 的中线BE 与CD 交于点O ，∴O是△ABC的重心，依照重心性质，得BO＝2OE，△ABC的高线长＝3△BOC的高线长，∵△ABC与△BOC同底(BC)，∴S△ABC＝3S△BOC，由②和③，得S△ODE＝14S△COB，S△ADE＝14S△ABC，∴S△ODES△ADE＝13.故④正确．综上所述，①③④正确．故选C.12．如图4－5－17，在Rt△ABC中(∠C＝90°)，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为(C)A．5 B．6 C．7 D．12图4－5－17 第12题答图【解析】如答图，可知△DEF∽△HMN，∴EFMN＝DFHN，即3x－4＝x－34，解得x＝7(x＝0舍去)．故选C.13．[2021·河北区校级模拟]如图4－5－18，AD＝DF＝FB，DE∥FG ∥BC，则SⅠ∶SⅡ∶SⅢ＝__1∶3∶5__．图4－5－18【解析】∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∵AD＝DF＝FB，∴AD∶AF∶AB＝1∶2∶3，∴S△ADE∶S△AFG∶S△ABC＝1∶4∶9，∴SⅠ∶SⅡ∶SⅢ＝1∶3∶5.14．如图4－5－19，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC ＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F.E是AB的中点，连结EF.(1)求证：EF∥BC；(2)若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．图4－5－19解：(1)证明：∵DC＝AC，∴△ACD为等腰三角形．又∵CF平分∠ACD，∴F 为AD 的中点．又∵E 为AB 的中点，∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF ∥BC ；(2)由(1)得EF ∥BC ，且EF BD ＝12，∴△AEF ∽△ABD ，∴S △AEF ∶S △ABD ＝1∶4，∴S 四边形BDFE ∶S △ABD ＝3∶4.又∵S △ABD ＝6，∴S 四边形BDFE ＝92.15．如图4－5－20，AC 是⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，∠ACB ＝30°.(1)利用尺规作∠ABC 的平分线BD ，交AC 于E ，交⊙O 于D ，连结C D(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图形中，求△ABE 与△CDE 的面积之比．图4－5－20 第15题答图解：(1)如答图所示；(2)如答图，连结OD ，设⊙O 半径为r ， 在△ABE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CDE ，∠AEB ＝∠DEC ， ∴△ABE ∽△DCE.∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，∴AB ＝12AC ＝r.∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝45°，又∵∠ABD ＝∠ACD ，∠ACD ＝∠ODC ＝45°，∴∠DOC ＝90°.∵在Rt △ODC 中，DC ＝OD2＋OC2＝2r ， ∴S △ABE S △CDE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB DC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 2＝12. 16．[2021·梅州改编] 如图4－5－21，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5 cm ，∠A ＝60°，动点M 从点B 动身，在BA 边上以2 cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 动身，在CB 边上以 3 cm/s 的速度向点B 匀速运动，设运动时刻为t(s)(0≤t ≤5)，连结MN.图4－5－21(1)若BM ＝BN ，求t 的值；(2)若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值与△MBN 和△ABC 的周长比；(3)当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？要求出最小值．解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5 cm ，∠A ＝60°，∴A B ＝10 cm ，BC ＝5 3 cm.由题意，得BM ＝2t(cm)，CN ＝3t(cm)，BN ＝(53－3t)cm ， 由BM ＝BN ，得2t ＝53－3t ，解得t ＝532＋3＝103－15； (2)①当△MBN ∽△ABC 时， ∴MB AB ＝BN BC ，即2t 10＝53－3t 53，解得t ＝52， ∴MB AB ＝12，∴△MBN 和△ABC 的周长比为12；②当△NBM ∽△ABC 时， NB AB ＝BM BC ，即53－3t 10＝2t 53，解得t ＝157， ∴BM BC ＝237，∴△MBN 和△ABC 的周长比为237. 综上所述，当t ＝52 s 或t ＝157 s 时，△MBN 与△ABC 相似，对应的△MBN 和△ABC 的周长比为12或237；(3)如答图，过点M 作MD ⊥BC 于点D ，可得MD ＝t cm.第16题答图设四边形ACNM 的面积为y cm2，∴y ＝S △ABC －S △BMN ＝12AC ·BC －12BN ·MD ＝12×5×53－12×(53－3t)t＝32t2－532t ＋2532＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋758 3. ∴依照二次函数的性质可知，当t ＝52时，y 的值最小．∴当t ＝52 s 时，四边形ACNM 的面积最小，最小为758 3 cm2.。
相似三角形练习题
相似三角形练习题题目一已知三角形ABC中，∠A = 60°，AC = 6 cm，BC = 8 cm。
将三角形ABC沿着边BC剪开，使得三角形ABD与三角形ACD相似，连接BD。
求BD的长度。
解答一由已知条件可知∠A = ∠ADC = 60°，而∠ABD与∠ACD互为对应角，故∠ABD = ∠ACD = 60°，说明三角形ABD与三角形ACD相似。
根据相似三角形的性质，相似三角形中对应边的比例相等，即有：BD/AD = AC/CD将已知数值代入，得到：BD/AD = 6/8进一步化简，可得：BD/AD = 3/4将上式两侧同乘以AD，可得：BD = (3/4) * AD由直角三角形ADC中，利用三角函数可得AD的值：AD = AC * sin(60°) = 6 * √3 / 2 = 3√3 cm代入上式，可得：BD = (3/4) * 3√3 = 9√3 / 4 cm所以，BD的长度为9√3 / 4 cm。
题目二已知∆ABC与∆DEF相似，∠B = 40°，∠E = 20°，AB = 5 cm，FE = 3 cm。
求BC、DE的长度。
解答二由已知条件可知∠B = ∠F，即∠B = 40°。
而∆ABC与∆DEF相似，根据相似三角形的性质，相似三角形中对应边的比例相等，即有：AB/FE = BC/DE将已知数值代入，得到：5/3 = BC/DE进一步化简，可得：5DE = 3BC根据已知条件，我们还可以得到∠E = ∠C。
联立上述两个条件，可以列出方程组：{5DE = 3BC∠E = ∠C}要求BC和DE的长度，需要求解以上方程组。
我们可以通过求解方程组来得到BC和DE的长度。
题目三AG和EK是∆ABC和∆EFD的高，点G和点K分别位于边BC和边DE上，且∆AGK和∆EKG相似。
已知∠B = 45°，AB = 12 cm，BC = 10 cm，ED = 8 cm。
初中数学冀教版九年级上册第二十五章 图形的相似25.5 相似三角形的性质-章节测试习题(2)
章节测试题1.【题文】如图，△ABC的面积为36 cm2，边BC＝12 cm，矩形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，E，F在BC上，若EF＝2DE，求DG的长．【答案】6 cm．【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】作AH⊥BC于H，交DG于Q，如图，易得四边形DEHQ为矩形，∴QH＝DE，∵△ABC的面积为36cm2，∴AH•BC＝36，∴AH6，设DE＝x，则QH＝x，DG＝EF＝2x，AQ＝AH﹣QH＝6﹣x，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，即，解得x＝3，∴DG＝2x＝6，即DG的长为6cm．2.【答题】如图，在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠B. 若AD＝2，BD＝3，则AC 等于（）A. 5B. 6C.D.【答案】D【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】在△ADC和△ACB中，∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴AC：AB＝AD：AC，∴AC2＝AB•AD，∵AD＝2，AB＝AD+BD＝2+3＝5，∴AC2＝5×2＝10，∵AC＞0，∴AC，选D.3.【答题】已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，△ABC的面积为40，则△DEF的面积为（）A. 60B. 70C. 80D. 90【答案】D【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，∴面积比为4：9，∵△ABC的面积为40，∴△DEF的面积为90，选D.4.【答题】已知两个相似三角形的相似比为4：9，则这两个三角形的对应高的比为（）A. 2：3B. 4：9C. 16：81D. 9：4【答案】B【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵两个相似三角形的相似比为4：9，∴则这两个三角形的对应高的比为4：9．选B.5.【答题】已知两个相似三角形，其中一组对应边上的高分别是2和6，那么这两个三角形的相似比为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵两个相似三角形，其中一组对应边上的高分别是2和6，∴这两个三角形的相似比为：1：3．选B.6.【答题】已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（）A. 5：3B. 25：9C. 3：5D. 9：25【答案】B【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，∴两三角形的相似比为5：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是25：9．选B．7.【答题】如图，正方形ABCD，对角线AC，BD交于点O，将一个三角板的直角顶点与点O重合，两直角边分别与BC，CD交于点E，F连接EF交OC于点G，下列3个结论：①△OBE≌△OCF；②△OGF∽△OFC；③BE2+DF2＝2OG•OC.其中正确的结论有（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】D【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】∵四边形ABCD为正方形，∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，∠OBC＝90°，∵∠BOE+∠EOC＝90°，∠EOC+∠COF＝90°，∴∠BOE＝∠COF，在△OBE和△OCF中，，∴△OBE≌△OCF（ASA），∴①正确；∴OE＝OF，∵∠EOF＝90°，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OFE＝45°，∴∠GOF＝∠FOC，∠OFG＝∠OCF，∴△OGF∽△OFC；∴②正确；∵△OBE≌△OCF，∴BE＝CF，而CB＝CD，∴CE＝DF，∴BE2+DF2＝CF2+CE2＝EF2，∵△OEF为等腰直角三角形，∴EF2＝OE2+OF2＝2OF2，∵△OGF∽△OFC，∴OF2＝OG•OC，∴BE2+DF2＝2OG•OC．∴③正确．选D．8.【答题】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点P是BC边上一点，若△ABP与△DCP相似，则BP＝______．【答案】2或8或5【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵△ABP与△DCP相似，①当时，AB＝4，AD＝10，∴，解得，BP＝2或BP＝8；②当时，∴BP＝PC＝5，综上所述：BP＝2或BP＝8或BP＝5．故答案为2或8或5．9.【答题】如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点F是AC的中点，连结EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC的面积为______．【答案】10【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】∵BD＝AB，BE是∠ABC的平分线，∴AE＝DE，∴△BDE的面积与△ABE的面积均为3，又∵点F是AC的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴2EF＝CD，EF∥DC，∴△AEF∽△ADC，∴S△ACD＝4S△AEF，∵四边形CDEF的面积为3，∴△ACD的面积为4，∴△ABC的面积为3+3+4＝10．故答案为10．10.【答题】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E是CD延长线上一点，连接BE 交AD于点F，连接CF，若△ABF与△CEF的面积相等，则DE的长为______．【答案】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】设DE＝x．∵DF∥BC，∴△EFD∽△EBC，∴，∴，∴DF，AF＝4，∵△ABF与△CEF的面积相等，∴•AF•AB•EC•DF，∴（x+2），∴x1，x2（舍去），故答案为．11.【答题】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于______．【答案】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】∵，，，∴，∴△ABC∽△DEF，∴，故答案为．12.【题文】求证：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比．要求：①分别在给出的△ABC与△DEF中用尺规作出一组对应角的平分线，不写作法，保留作图痕迹；②在完成作图的基础上，写出已知、求证，并加以证明．【答案】见解答.【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】①如图所示，AG，DH分别是∠BAC与∠EDF的角平分线；②已知：如图，△ABC∽△DEF，k，AG，DH分别是∠BAC与∠EDF 的角平分线．求证：k.证明：∵AG，DH分别是△ABC与△DEF的角平分线，∴∠BAG∠BAC，∠EDH∠EDF，∵△ABC∽△DEF，∴∠BAC＝∠EDF，∠B＝∠E，∴∠BAG＝∠EDH，∴△ABGC∽△DEH，∴k．13.【题文】如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．（1）求证：△DFC∽△CBE；（2）若AD＝4，CD＝6，DE＝3，求DF的长．【答案】（1）见解答；（2）.【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，CD∥AB，∴∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，∵∠DFE＝∠A，∴∠DFE+∠B＝180°，而∠DFE+∠DFC＝180°，∴∠DFC＝∠B，而∠DCF＝∠CEB，∴△DFC∽△CBE；（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，BC＝AD＝4，∵DE⊥AB，∴DE⊥DC，∴∠EDC＝90°，在Rt△DEC中，CE，∵△DFC∽△CBE，∴DF：BC＝DC：CE，即DF：4＝6：3，∴．14.【答题】如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE∶S△COB=9∶16，则DE∶BC为（）A. 2∶3B. 3∶4C. 9∶16D. 1∶2【答案】B【分析】本题考查的是相似三角形的性质，属于基础题型．明确相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．首先根据平行得出三角形相似，然后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得出答案．【解答】∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴，∴DE：BC=3：4，选B.15.【答题】如图，已知点、分别在边、上，，＝，那么等于（）A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 2：3【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，找准对应线段是解题的关键．根据BD=2AD，求出AD：AB的值，在根据相似三角形的性质求得DE：BC，最后再根据面积之比即可求解．【解答】∵BD=2AD，∴AD：AB=1：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，，∴DE：BC=1：3．∵△DBE和△EBC的高相同，设这个高为h，∴，选B．16.【答题】已知如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．根据相似三角形的判定及已知可得到△ABC∽△CDE，利用相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长．【解答】∵C是线段BD的中点，BD=4，∴BC=CD=2，∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，∠A+∠ACB=90°，∵AC⊥CE，即∠ECD+∠ACB=90°，∴∠A=∠ECD，∴△ABC∽△CDE，∴，∴，∴AB=4，选C．17.【答题】如图，在中，若，，，则的长为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．由DE∥BC可证明△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求得结果．【解答】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴，即，解得（cm）．选C．18.【答题】如图，、分别是的边、上的点，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，，选C．19.【答题】如图，中，点在边上，且满足，若，，则的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的性质及对应边长成比例，难点在于找对应边．由题意，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，可证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例来解答即可．【解答】∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，，∵AC=2，AD=1，，解得DB=3．选C．20.【答题】已知：如图，中，于，下列条件：（1）；（2）∠B=∠DAC；（3）=；（4）AB2=BD BC. 其中一定能够判定是直角三角形的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】D【分析】本题考查了直角三角形的判定，考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应角相等的性质，本题中求证△ABD∽△CBA是解题的关键．对题干中给出的条件逐一验证，证明∠BAC=90°即可解题．【解答】（1）∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠DAC，∴该条件无法判定△ABC是直角三角形；（2）∵∠B=∠DAC，∠BAD+∠B=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°，即∠BAC=90°，故该条件可以判定△ABC直角三角形；（3）=，则△ADC∽△BDA，∴∠CAD=∠ABD，又∵∠ABD+∠BAD=90°，∴∠BAD+∠CAD=90°，∴该条件可以判定△ABC是直角三角形；（4）∵AB2=BD•BC，.∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA，∴∠BAC=90°，故该条件可以判定△ABC是直角三角形；选D．。
相似三角形的周长与面积
相似三角形的周长与面积一、知识要点1.相似三角形对应高线的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似多边形面积的比等于相似比的平方。
二、例题解析例1.证明：相似三角形对应高线的比等于相似比。
已知：如图所示，如果ΔABC∽ΔA1B1C1，AD是BC边上的高，A1D1是B1C1边上的高，且，求证：。
分析：在这里要通过三角形相似去证比例式，先要看所证的比例式在哪两个三角形中，在这里是在ΔABD与ΔA1B1D1中，只需要证这两个三角形相似即可。
再想想：要证这两个三角形相似，具备了哪些条件，还差哪些条件？证明：∵ΔABC∽ΔA1B1C1，∴∠B＝∠B1又∵AD是BC边上的高，A1D1是B1C1边上的高∴∠ADB＝∠A1D1B1＝90°∴ΔABD∽ΔA1B1D1∴例2.证明：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
已知：如图所示，如果ΔABC∽ΔA1B1C1，AE是∠BAC 的角平分线，A1E1是∠B1A1C1的角平分线，且，试证：。
证明：∵ΔABC∽ΔA1B1C1，∴∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1又∵AE是∠BAC 的角平分线，A1E1是∠B1A1C1的角平分线∴∠BAE＝∠BAC，∠B1A1E1＝∠B1A1C1∴∠BAE＝∠B1A1E1∴ΔABE∽ΔA1B1E1∴例3.有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比。
解：设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2。
∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2且，，∴，∴。
例4.如图所示是步枪在瞄准时的俯视图，OE是从眼睛到准星的距离80cm,AB是步枪上的准星宽度2mm,CD是目标的正面宽度50cm,求眼睛到目标的距离OF.分析：相似三角形对应高线的比等于相似比。
27.2.3相似三角形的周长与面积
B’
AD AD
k
D´
•k
C’
k2
2
如图，四边形ABCD相似于四边形A’B’C’D’，
相似比为k，它们的面积比是多少？
,
A
A
B
,
D
B
,
D
C
,
C
SVABC SVACD k2
S VA'B'C'
S VA'C'D'
S四边形ABCD S四边形A'B'C'D'
SVABC+SVACD k2 S VA'B'C'+S VA'C'D'
回顾旧知
相似三角形有 哪些性质？ A1
A
B
C B1
C1
A A'
C
B
B'
C'
看一看：
在4×4正方形网格中
ΔABC与ΔA´B´C´有什么关系？
为什么？
（相似）
A
2B
√10
√2 C
算一算：
ΔABC与ΔA´B´C´的相似比
A’
√5
√2
B’
C’
1
想一想：
是多少？ 2 ：1
ΔABC与ΔA´B´C´的周长比 是多少? 2 ：1
类似地,相似多边形面积比 等于相似比的平方。
A
B D
C
A,
B,
D,
C,
• 思考并回答:
• 相似三角形的对应边上高的比等 于 相似比 .
• 相似三角形的对应边上中线的比等 于 相似比 。
• 相似三角形的对应边上角平分线的比 于 相似比 。
27.2.3 相似三角形的周长与面积
E
B
(3)若BC=15cm，AD=10cm，且PN=ED=x，求x的值。
D
C
练一练
A
3、如图，在△ABC中，点D、E、F分别在 AC、AB、BC边上，且四边形CDEF是正方 形，AC=3，BC=2，（1）请你找出图中的 相似三角形；（2）求出正方形的边长；（3） D 请你求出△ADE，△EFB，△ACB的周长比 和面积比。 C 4、如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，且DE、FG把 △ABC的面积三等分，若BC=• 12cm．求FG的长．
问 题 如图是一块三角形钢板,工人师傅要把它 切割成两块,一块为三角形，一块为梯形， 且要把切割出的三角形与梯形的面积的比 为4∶5，那么该怎样切割呢？
复习回顾
1、相似三角形有什么性质？根据什么？相似多边形呢？
2、相似三角形对应边的比叫什么？
3、△ABC∽△A′B′C′，相似比为k；则△A′B′C′∽ △ABC，它的相似比为多少？ 4、相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线有什么 性质？
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
探一探
2、如图, 四边形ABCD∽四边形A`B`C`D`,形似比为k, 它们的面 积比为多少? A
A′ D B C B′ D′ C′
相似多边形的面积比等于相似比的平方。
例题
1、如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE， A AC=2DF，∠A=∠D， △ABC的周长为24， 面积为48，求△DEF的周长和面积。
类似可以证明：
探一探
1、如图, △ABC∽△A′B′C′,形似比为k, 它们的面积比为多少? 解: 过点A、A`作BC、B`C`的高线，
AD BC = = k 则： A`D` B`C `
27.2.3_相似三角形的周长与面积
D
CE
F
L ADE 1 , L ABC 2
L ADE = 1 24 2
L ADE =12
S ADE = 1 S ABC 4
S ADE = 1 48 4
S ADE =12
基础练习
1、判断题： （1）如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5
倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍。（√）
（2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，
BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成
正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余
两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件
的边长是多少？
A
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC
的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN 的边长为 x 毫米。
P
E
N
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
所以 AE
（2）它们的面积之和是232平方厘米，这两个三角形的面积 分别是_____________。
5. 蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是15cm,一种半径 是30cm，如果半径是15cm的蛋糕够2个人吃，半径是 30cm的蛋糕够多少人吃？（假设两种蛋糕高度相同） 解：两块蛋糕是相似的
相似比是1：2
面积的比为
那么它的三边也扩大为原来的9倍。 （×）
2.如图，△ABC∽△A'B'C'，他们的周长分别为60cm和72cm，
且AB=15cm，B'C'=24cm，求BC、AC、A'B'、A'C'的长．
A
B C
A'
B' C'
3.把一个三角形变成和它相似的三角形，
相似三角形的周长和面积
1 ) 2
2
判断
（1）如果把一个三角形各边同时扩大为原来的 ）如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5 倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍。（√ ） 那么它的周长也扩大为原来的 倍 （2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的 倍， ）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍 那么它的三边也扩大为原来的9倍 那么它的三边也扩大为原来的 倍。（ ）×
练 一 练 的相似比为2： ， （1）已知 ）已知∆ABC与∆A/B/C/ 的相似比为 ：3， 与 ： ： 则周长比为 2：3 ，对应边上中线之比 2：3 ， ： 面积之比为 4：9 。 且面积之比为9： ， （2）已知 ）已知∆ABC∽∆A/B/C/，且面积之比为 ：4， ∽ ： ： 则周长之比为 3： 2 ，相似比 3：2 ，对应边上的 ： 高线之比 3：2 。
2、蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是 、蛋糕店制作两种圆形蛋糕， 15cm，一种半径是 ，一种半径是30cm，如果半径是 ， 15cm的蛋糕够 个人吃，半径是 的蛋糕够2个人吃 的蛋糕够 个人吃，半径是30cm的蛋 的蛋 糕够多少人吃？ 糕够多少人吃？ 假设两种蛋糕高度相同） （假设两种蛋糕高度相同） 3、在一张复印出来的纸上,一个多边形的一 、在一张复印出来的纸上 一个多边形的一 条边由原图中的2cm变成了 变成了6cm,这次复印 条边由原图中的 变成了 这次复印 的放缩比例是多少?这个多边形的面积发生 的放缩比例是多少 这个多边形的面积发生 了怎样的变化? 了怎样的变化
相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2． 解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3． 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CD F S ． 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同． （3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长．解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =． 又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//，∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =． 又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米． 例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）． 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ， 又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆； （2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆． 例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等； （5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2．说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ， 又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ． 由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米） 所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行． 例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米． 例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4． 如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FC AB GF =，即2232xx -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEG F S 正方形． 如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此，正方形的面积为3612-或121348156-．。
27.2.3相似三角形的周长与面积（2）
1 / 427.2.3相似三角形的周长与面积（2）吉林松花江中学 班级 姓名＿＿＿＿＿＿ 一、 选择题：1．已知△ABC 的三边长分别为6 cm ，7.5 cm ，9 cm ，△DEF 的一边长为4 cm ，当△DEF 的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似 ( )A ．2 cm ，3 cmB ．4 cm ，5 cmC ．5 cm ，6 cmD ．6 cm ，7 cm2．厨房角柜的台面是三角形，如图，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石．（图中阴影部分）其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（ ）A ．14B ．41C ．13D ．343．将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是( )A ．菱形的各角扩大为原来的2倍B ．菱形的边长扩大为原来的2倍C ．菱形的对角线扩大为原来的2倍D ．菱形的面积扩大为原来的4倍4．在比例尺为1:1000的地图上，1cm 2所表示的实际面积为 ( )A ．100 cm 2B .1000 cm 2C .100000cm 2D .100 m 25．下列两个图形一定相似的是 ( )A ．任意两个等边三角形 B. 任意两个直角三角形C. 任意两个等腰三角形D. 两个等腰梯形6．如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE ∶EA = 2∶3，EF = 4，则CD 的长为 （ ）A ．163B ．8C ．10D ．16（第6题） （第9题） （第10题）7．已知两个相似多边形的一组对应边分别是15cm 和23cm ，它们的周长差40cm ，则这两个三角形的周长分别是 ( )A ．75cm, 115cmB ．60cm, 100cmC ．85cm, 125cmD ．45cm, 85cm8．若△ABC 与△DEF 相似, ∠A=500, ∠B=700, ∠D=600，则∠E 的度数可以是 ( )A ．500B ．700C ．600D ．500或7009．如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角∠=︒AMC 30，窗户的高在教室地面上的影长MN=23米，窗户的下檐到教室地面的距离2 / 4 A B C • D BG=1米（点M 、N 、C 在同一直线上），则窗户的高AB 为 ( )A ．3米B ．3米C ．2米D ．1.5米10．如图，E ，G ，F ，H 分别是矩形ABCD 四条边上的点，EF ⊥GH ，若AB ＝2，BC ＝3，则EF ︰GH ＝ ( )A ．2︰3B ．3︰2C ．4︰9D ．无法确定二、填空题（每小题3分，共24分）11．3x －y=0, 则x ∶y=12．若△ABC ∽△DEF ，且△ABC 与△DEF 的相似比为3，则△DEF 与△ABC 的相似比为 .13．若两个相似多边形面积比为9:4，则它们的周长比是 ；14．如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，而且落在里网4米的位置，则球拍击球的高度h 为 米.（第4题） （第5题） （第7题） （第8题）15．如图，某学习小组选一名身高为1.6m 的同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测量该同学的影长为1.2m ，另一部分同学测量同一时刻旗杆影长为9m ，那么旗杆的高度是＿＿＿＿＿＿m 。
相似三角形的周长与面积
A/
C
B/
D/ C/
①相似三角形的对应高线之比等于相似比。 相似三角形的对应高线之比等于相似比。
角平分线
角平分 线
②相似三角形的 对应角平分线之 比，对应中线之 比，都等于相似 比。
中线
中线
（1）如图ΔABC∽ΔA/B/C/ ，相似比为k，它们 如图ΔABC∽ΔA 相似比为k 的面积比是多少？ 的面积比是多少？ A
相似三角形(多边形)的性质: 相似三角形(多边形)的性质:
（1）相似三角形对应的 中线 比等于相似比. 高线 比等于相似比. 角平分线 三角形 周长的比等于相似比 的比等于相似比. （2）相似 周长的比等于相似比. 多边形 三角形 面积的比等于相似比的平方. （3）相似 面积的比等于相似比的平方. 多边形
（1）相似三角形对应的 中线 比等于相似比 相似比. 高线 比等于相似比. 角平分线 三角形 周长的比等于相似比. 的比等于相似比 （2）相似 周长的比等于相似比. 多边形 三角形 面积的比等于相似比的平方. 的比等于相似比的平方 （3）相似 面积的比等于相似比的平方. 多边形
练习： 练习：
的相似比为2： ， （1）已知 ）已知∆ABC与∆A/B/C/ 的相似比为 ：3， 与 ： ： 则周长比为 2：3 ，对应边上中线之比 2：3 ， ： 面积之比为 4：9 。 且面积之比为9： ， （2）已知 ）已知∆ABC∽∆A/B/C/，且面积之比为 ：4， ∽ ： ： 则周长之比为 3： 2 ，相似比 3：2 ，对应边上的 ： 高线之比 3：2 。
基本图形： 基本图形：
A
A D E G C
1.等分边长： 等分边长： 等分边长
D E
F
B
C
4.5 相似三角形的性质及其应用 第2课时 相似三角形的性质2(周长、面积的比)练习题
4.5相似三角形的性质及其应用第2课时相似三角形的性质2(周长、面积的比)【基础练习】知识点1相似三角形的周长比1.如图1,AB∥CD,AOOD =23,则△AOB的周长与△DOC的周长比是.图12.已知△ABC∽△A'B'C',相似比为34,△ABC的周长为6,则△A'B'C'的周长为.3.如图2,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点,且DE∥BC.若△ADE与△ABC的周长之比为2∶3,AD=4,则DB=.图24.已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35 cm和14 cm,且它们的周长相差60 cm,求这两个三角形的周长.5.如图3,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB,点P在AC上(与点A,C不重合),点Q在BC上.当△CPQ的边PQ上的高为35时,求△CPQ的周长.图3知识点2相似三角形的面积比6.已知△ABC∽△DEF,且相似比为12,则△ABC与△DEF的面积比是.7.若两个相似三角形的周长比为23,则它们的面积比是.8.已知△ABC∽△DEF,相似比为2,且△ABC的面积为16,则△DEF的面积为.9.如图4,△ADE∽△ACB,且ADAC =23,若△ADE的面积是8,则四边形BCED的面积是.图410.如图5,在▱ABCD中,E是边BC上的一点,且BE∶EC=1∶2,连结AE交对角线BD于点F,若S△BFE=12 cm2,求S△DF A.图5【能力提升】11.两个相似三角形的对应角平分线的比是√2∶1,其中一个三角形的面积为16,则另一个三角形的面积为()A.8√2或16√2B.8或32C.8√3D.812.[2020·南通]如图6,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点的值等于.都在网格线的交点上,设△ABC的周长为C1,△DEF的周长为C2,则C1C2图613.如图7,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,AC,BC上,DE∥BC,EF∥AB,AD∶BD=5∶3,△ABC 的面积为64,则四边形BFED的面积为.图714.如图8,在△ABC中,中线BE,CD相交于点O,连结DE,下列结论中正确的有(填序号).①DEBC =12;②S△DOES△COB=12;③ADAB =OEOB;④S△DOES△ADE=13.图815.[2019·宁波镇海区一模]在图9所示的6×6的网格中,已知格点三角形ABC(顶点A,B,C都在格点上).(1)在图ⓐ中,画出一个与△ABC面积相等的格点三角形ABD(不与△ABC全等).(2)在图ⓑ中,画出一个与△ABC相似的格点三角形A1B1C1,使得①S△ABC∶S△A1B1C1=1∶4;②两个三角形的对应边分别互相垂直.图916.[问题背景](1)如图10①所示,在△ABC中,DE∥BC,与AB,AC分别交于D,E两点,过点E作EF∥AB交BC 于点F.请按图示数据填空:四边形DBFE的面积S=,△EFC的面积S1=,△ADE的面积S2=.[探究发现](2)在(1)中,若BF=a,FC=b,DE与BC间的距离为h,请证明S2=4S1S2.[拓展迁移](3)如图10②,▱DEFG的四个顶点在△ABC的三边上,若△ADG,△DBE,△GFC的面积分别为2,5,3,试利用(2)中的结论求△ABC的面积.图10答案1.23 2.8 3.24.解:∵两个相似三角形的一对对应边长分别是35 cm 和14 cm, ∴这两个相似三角形的相似比为5∶2, ∴这两个相似三角形的周长比为5∶2.设较大的三角形的周长为5x cm,则较小的三角形的周长为2x cm . ∵它们的周长相差60 cm, ∴5x -2x=60,解得x=20, ∴5x=5×20=100,2x=2×20=40,∴较大的三角形的周长为100 cm,较小的三角形的周长为40 cm . 5.解:∵AB=5,BC=3,AC=4, ∴AB 2=AC 2+BC 2,∴△ABC 为直角三角形,其斜边AB 上的高为AC ·BC AB=125.∵PQ ∥AB ,∴△CPQ ∽△CAB ,相似比=35125=14,∴△CPQ 的周长△CAB 的周长=14.∵△CAB 的周长=3+4+5=12, ∴△CPQ 的周长=14×12=3.6.147.498.4 [解析] ∵△ABC ∽△DEF ,相似比为2, ∴△ABC 和△DEF 的面积比为4.∵△ABC 的面积为16,∴△DEF 的面积为4. 9.10 [解析] ∵△ADE ∽△ACB ,且AD AC =23, ∴S △ADE S △ABC=49,即8S△ABC=49,解得S △ABC =18, ∴S 四边形BCED =18-8=10.10.解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD=BC ,AD ∥BC. ∵BE ∶EC=1∶2,∴BE ∶BC=1∶3,即BE ∶AD=1∶3. ∵AD ∥BC ,∴△BFE ∽△DF A , ∴S △BFE ∶S △DF A =(BE ∶AD )2=1∶9. ∵S △BFE =12 cm 2,∴S △DF A =108 cm 2.11.B [解析] 设两个三角形的面积分别是S 1,S 2,令S 1=16. ①若S1S 2=√212,有16S 2=21,∴S 2=8; ②若S1S 2=1√22,有16S 2=12,∴S2=32.故选B . 12.√22 13.3014.①③④ [解析] ①∵DE 是△ABC 的中位线, ∴DE=12BC ,即DE BC =12,故①正确;②∵DE 是△ABC 的中位线,∴DE ∥BC , ∴△DOE ∽△COB , ∴S △DOE S △COB=(DE BC )2=(12)2=14, 故②错误; ③∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC ,△DOE ∽△COB , ∴AD AB=DE BC ,OE OB =DEBC ,∴AD AB =OE OB,故③正确;④∵△ABC 的中线BE 与CD 相交于点O , ∴点O 是△ABC 的重心,根据重心性质,可得BO=2OE ,△ABC 的高=3△COB 的高,且△ABC 与△COB 同底(BC ), ∴S △ABC =3S △OBC . 由②和③知,S △DOE =14S △COB ,S △ADE =14S △ABC ,∴S △ADE =34S △COB ,∴S △DOE S △ADE=13,故④正确. 综上,①③④正确.15.解:(1)如图①,△ABD 为所作.(答案不唯一)(2)如图②,△A 1B 1C 1为所作. 16.解:(1)6 9 1(2)证明:∵DE ∥BC ,EF ∥AB ,∴四边形DBFE 为平行四边形,∠AED=∠C ,∠A=∠CEF , ∴DE=BF=a ,△ADE ∽△EFC , ∴S 2S 1=DE FC 2=a 2b2. ∵S 1=12bh , ∴S 2=a 2b 2·S 1=a 2ℎ2b , ∴4S 1S 2=4·12bh ·a 2ℎ2b =(ah )2. 而S=ah ,∴S 2=4S 1S 2.(3)过点G 作GH ∥AB 交BC 于点H ,则四边形DBHG 为平行四边形, ∴∠GHC=∠B ,BD=GH ,DG=BH. ∵四边形DEFG 为平行四边形, ∴DG=EF ,∴BH=EF , ∴BE=HF ,∴△DBE ≌△GHF , ∴△GHC 的面积为5+3=8.由(2)得▱DBHG 的面积为√4×8×2=8, ∴△ABC 的面积为2+8+8=18.。
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班级___________________ 姓名_______________
一、基础练习
1．如果两个相似多边形的面积之比为3：4，那么它们的周长之比为_______． 2．•已知两个相似三角形的最长边分别为21cm •和14cm ，•较大的三角形的面积为15cm 2，则较小的三角形的面积为________．
3．已知两个相似多边形的相似比为5：7，若较小的一个多边形的周长为35，•则较大的一个多边形的周长为_____；若较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是________．
4．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于点O ，AD ：BC=3：5，则AO ：OC=______，S △ODA ：S △OCB =•_______，S △AOB ：S △AOD =_______，S △AOB ：S △DBC =________．
5．如图1，△ABC 中，S △ABC =36，DE ∥AC ，FG ∥BC ，点D 、F 在AB 上，E 在BC 上，G 在DE 上，•且BF=FD=DA ，则S 四边形BEGF =_______．
(1) (2) (31)
6．把一个矩形剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，则原矩形长边与短边的比为_____．
7．如图2，ABCD 是正方形，点E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、DA 上，且AE=BF=CG=DG=
13
AB ，则四边形EFGH 与正方形ABCD 的面积的比为________．
8．如图3，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，△DCE 的面积与△DCB 的面积比为1：3，则△DEC 的面积与△ABD 的面积比为_______． 二、整合练习
1．如图，E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BE 交AC 于点O ，已知△OCE 和△OBC •的面积分别为2和8．
（1）求△OAB 和四边形AOED 的面积；（2）若BE ⊥AC ，求BE 的长．
2．如图，△ABC 的面积为16，AB=4，D 为AB 上任一点，F 为BD 的中点，DE ∥BC ，FG ∥BC ，分别交AC 于E 、G ，设AD=x ．
（1）把△ADE 的面积S 1用含x 的代数式表示；
（2）把梯形DFGE 的面积S 2，用含x 的代数式表示．
3．某校准备耗资1600元，在一块上、下两底分别为10m、20m的梯形ABCD•空地上种植花木，AD∥BC．
（1）如果在△AMD和△BMC地上种植太阳花，单价为8元/m2，将△AMD地上种满花，共花了160元，请计算种满△BMC地上所需的费用；
（2）如果其余地上要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，•单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择哪种花木，刚好用完准备的1600元资金？
4．下列图形中，图①是边长为1的阴影正三角形，连结它的各边中点，挖去中间的三角形得到图②，再分别连结剩下的每个阴影三角形各边中点，挖去中间的三角形得到图③．再用同样的方法得到图④．
（1）请你求出图④中阴影部分的面积；
（2）若再用同样的方法继续下去，试猜想图○n中阴影部分的面积．
（3）试说出图⑤中三角形的个数．
答案：
一、基础练习 1
． 2 2．
203
cm 2
3．49
10049
4．3：5 9：25 5：3 3：8 5．12
6．（
：2 7．5：9 8．1：6 二、整合练习 1．（1）由已知，EO ：OB=1：4，
又△EOC ∽△BCA ，S △EOC ：S △BOA =1：16．2116
BO A
S ∆=
，
S △BOA =32，S
四边形AOED
=S △ADC -S △EOC =40-2=38．
（2）由BE ⊥AC ，△EOC ∽△COB ，
E O O C O C
O B
=，OC 2=EO ·OB ．
设EO=t ，OB=4t ，OC=2t ，S △EOC =12
·a ·2a=2，a 2=2，
，
BE=5a=5
2．（1）DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ，
2
1
(
)ABC S AD S AB
∆=，即21
()164
S x =，S 1=x 2． （2）FG ∥BC ，△AFG ∽△ABC ，2(
)AFG ABC
S AF S AB
∆∆=，
又F •为BD 的中点，DF=BF=12
（4-x ），AF=BF=12
（4-x ），
AF=AD+DF=x+
12
（4-x ）=
12
（x+4）．
2
4216
4A F G x S ∆+⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
，S △AFG =
2
8164x x ++，S 2=S △AFG –S 1=-34x 2+2x+4 3．（1）AD ∥BC △AMD ∽△BMC ，
2
(
)AM D BM C
S AD S BC
∆∆==
14
，种植△AMD 地花去160元，
所以S △AMD =
1608=20（m 2）．S △BMC =80（cm 2）．种植△BMC 地花费80×8=640（元）
（2）设△AMD 、△BMC 的高分别为h 1、h 2，梯形ABCD 的高为h ．
因为S △AMD =12
×10×h 1=20，h 1=4，12
h AD h BC
==12
，h 2=8，h=h 1+h 2=12，
S
梯形ABCD
=
12
（AD+BC ）h=180，S △AMB +S △DMC =180-20-80=80（m 2），
若种植玫瑰共花费160+640+80×12=1760元，
若种植茉莉花，•共花费160+640+80×10=1600元， 故种茉莉花刚好用完准备的资金． 4．（1
4
，
图②中空白三角形与原三角形的相似比为1：2，因此其面积比为1：4，所以图②
中阴影部分的面积为
4
（
34
）．•
4（
34
）2
，
4
（
34
）3
4
×
2764
256
（2）图○n 中阴影部分的面积为
4
（
34
）n-1．
（3）图⑤中三角形的个数为1+4+3×4+32
×4+33
×4=161．。