1981年高考理科数学试题

1981年高考数学试题
(理工农医类)
一、设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出:(1)A ∪B，(2)A∩B.
[Key]
一、解:(1)A∪B={实数}.(或A∪B=R，或A∪B=实数集合.)
(2)A∩B=.(或A∩B={ }，或A∩B=空集.)
二、在A、B、C、D四位候选人中，(1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人，共有几种选法?写出所有可能的选举结果.
[Key] 二、解:
所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)
AB，AC，AD，BC，BD，CD，
BA，CA，DA，CB，DB，DC.
所有可能的选举结果:
ABC，ABD，ACD，BCD.
三、下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是.
[Key] 三、解: (1)必要条件
(2)充分条件
(3)充分条件
(4)充要条件
四、写出余弦定理(只写一个公式即可)，并加以证明.
[Key] 四、公式:设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.
证法一:平面几何证法.
如果∠A是锐角，从C作AB的垂线交AB于D，于是由勾股定理得
a2=CD2+DB2
=(bsinA)2+(c-bcosA)2
=b2+c2-2bccosA.
如果∠A是钝角，从C作AB的垂线交BA的延长线于D，于是由勾股定理得
a2=CD2+BD2
=[bsin(180°-A)]2+[c+bcos(180°-A)]2
=b2+c2-2bccosA.
如果∠A是直角，cosA=0，
∴a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.
证法二:解析几何证法
以A为原点，射线AB为x轴正向，建立直角坐标系，则得
A(0，0)，B(c，0)，C(bcosA，bsinA).
由两点间的距离公式得
a2=│BC│2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2
=b2+c2-2bccosA.
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五、解不等式(x为未知数):
[Key] 五、解:原行列式可逐步简化如下:
故原不等式为
x2(x-a-b-c)>0.
原不等式的解是
x≠0，x>a+b+c.
六、用数学归纳法证明等式
对一切自然数n都成立.
[Key]
所以当n=1时等式成立.
(ii)假设当n=k时等式成立，即
所以当n=k+1时等式也成立.
根据(i)和(ii)，就证明了对于一切自然数n等式都成立.
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七、设1980年底我国人口以10亿计算.
(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少?
(2)要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少?
下列对数值可供选用:
lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417
lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720
lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060
[Key] 七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10， 10×1.02， 10×(1.02)2，……的第21项，即
x=10×(1.02)20，
两边取对数，得
lgx=1+20lg1.02=1.17200，
∴x=14.859(亿).
答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.
(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得
10×(1+y%)20≤12，
即(1+y%)20≤1.2.
根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得
20lg(1+y%)≤lg1.2.
即lg(1+y%)≤0.00396.
∴1+y%≤1.0092，y%≤0.0092.
答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.
八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段AB=10.
(1)求直线AB和棱a所成的角;
(2)求直线AB和平面Q所成的角.
[Key] 八、解:(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内，作直线BE⊥a于点E，从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.
∠ADC为二面角P-a-Q的平面角，
∴∠ADC=120°.又AD=2，BCDE为矩形，
∴ CD=BE=4.
连结AC，由余弦定理得
又因AD⊥a，CD⊥a，所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面，∴BC⊥AC.
答:直线AB和棱a所成的角等于
(2)在△ACD所在的平面内，作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q，∴AF⊥平面Q.在△ADF中，∠ADF=60°，AD=2，
连结BF，于是∠ABF是AB和平面Q所成的角，而△ABF为直角三角形，所以
答:直线AB和平面Q所成的角为
(1)过点A(2，1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程.
(2)过点B(1，1)能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在，求出它的方程;如果不存在，说明理由.
[Key] 九、解法一:(1)设直线l的方程为
y=k(x-2)+1，(i)
将(i)式代入双曲线方程，得
(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0，(ii)
到此，若指出所求轨迹的参数方程是
这就是所要求的轨迹方程.
(2)设所求直线方程为y=k(x-1)+1，代入双曲线方程，整理得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0，(iii)
由第二式解出k=2，但k=2不满足第一式，所以(Ⅰ)无解.
答:满足题中条件的直线m不存在.
解法二:(1)设l的参数方程为
其中t是参数，θ为AP的倾斜角.代入所给双曲线方程，整理得: (2cos2θ-sin2θ)t2+2(4cosθ-sinθ)t+5=0.(v)
(2)也可用设m的参数方程的方法讨论此问，得出满足条件的直线m不存在的结论.
十、附加题:计入总分.
已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF，其边长为1(如图).
设AC=a，BC=b，作数列
u1=a-b，
u2=a2-ab+b2，
u3=a3-a2b+ab2-b3，
……，
u k=a k-a k-1b+a k-2b2-……+(-1)k b k;
求证:u n=u n-1+u n-2(n≥3).
[Key] 十、证法一:通项公式可写为
u k=a k-a k-1b+a k-2b2-…+(-1)k b k
因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1，
ab=AC·BC=CD2=1.
于是有
证法二:由平面几何知识算出
通项公式可写为
要证u n=u n-1+u n-2成立，只要证明
a n+1-(-1)n+1
b n+1=a n-(-1)n b n+a n-1-(-1)n-1b n-1，
即
a n-1·a2-(-1)n-1
b n-1·b2=a n-1·a+(-1)n-1b n-1·b+a n-1-(-1)n-1b n-1，或
或
上式确是等式，故证得
u n=u n-1+u n-2.。