1981年高考理科数学试题

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1981年高考作文

1981年高考作文篇一：1981年全国高考数学试题及其解析1981年全国高考数学试题及其解析文史类一．（本题满分6分）设a表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设a={有理数}，B={无理数}，试写出：1.a∪B,2.a∩B.二．（本题满分8分）化简：[?a7b23(a?b)2]?[2a2?b2a2a2(b?a)3]?[]24三．（本题满分6分）在a、B、c、d四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共四．（本题满分10分）求函数f(x)=sinx+cosx在区间（-π，π五．（本题满分10分）六．（本题满10分）已知正方形aBcd的相对顶点a（0，-1）和c（2，5），求顶点B和d 七．（本题满分17分）设1980年底我国人口以10（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？八．（本题满分15分）aBcd-a1B1c1d1为一正四棱柱，过a、c、B1三点作一截面，求证：截面acB1⊥对角面dBB1d九．（本题满分18分）1．设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为3，求k2．以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形9时，求P理工农医类一、设a表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设a={有理数},B={无理数},试写出:(1)a∪B,(2)a∩B.二、在a、B、c、d四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.三、下表所列各小题中,指出a是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.五、解不等式(x为未知数):六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377lg1.0092=0.00396lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860lg1.2000=0.07918lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340lg1.4859=0.17200lg1.5157=0.18060八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点a和点B.已知点a和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段aB=10.(1)求直线aB和棱a所成的角;(2)求直线aB和平面Q所成的角.(1)过点a(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.十、附加题:计入总分.已知以aB为直径的半圆有一个内接正方形cdEF,其边长为1(如图).设ac=a,Bc=b,作数列U=a-b,1U2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,Uk=ak-ak-1b+ak-2b2-……+(-1)kbk;求证:un=un-1+un-2(n≥3).文史类参考答案及解析一、解：1.a∪B={实数},2.a∩B=Φ二、解：原式=83(b?a)b三、解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：aB、ac、ad、Bc、Bd、cd、Ba、ca、da、cB、dB、2.选举种数c43=4（种）所有可能的选举结果：aBc、aBd、acd、四、解：4是f(x)的一个周期的定义区间,故f(x)在这个区间上取得最大值2.f(x)?2sin(x??),所以f(x)以2为振幅,以2?为周期,区间(??,?)恰好五、答：sinasinBsinc??.abc证：引ad垂直Bc于d;引BE垂直ca的延长线于设△aBc的面积为S，则S??11ac?BE?bcsin(180??a)221bcsina;211Bc?ad?acsinB2211S?Bc?ad?absinc22111?S?bcsina?acsinB?absinc2221sinasinBsinc将上式除以abc,得：??.2abc又S?六、解：设ac中点为m（x,y）,则有x?0?2?1?5?1,y??2.?m(x,y)?m(1,2)22篇二：1981年高考数学全国卷(理科)及其参考答案1981年高考数学全国卷（理科）及其参考答案一．（本题满分6分）设a表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设a={有理数}，B={无理数}，试写出：1.a∪B,2.a∩B.解：1.a∪B={实数},2.a∩B=Φ二．（本题满分6分）在a、B、c、d四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：aB、ac、ad、Bc、Bd、cd、Ba、ca、da、cB、dB、2.选举种数c43=4（种）所有可能的选举结果：aBc、aBd、acd、三．（本题满分8分）下表所列各小题中，指出a是B的充分条件，还是必要条件，还1四．（本题满分8分）写出余弦定理（只写一个公式即可）证二：解析法：以a为原点，射线aB为x轴正向，建立直角坐标系，则得a(0,0),B(c,0),c(bcosa,bsina).由两点距离公式得：a2=|Bc|2=(c-bcosa)2+(-bsina)2=b2+c2-2bccosa.五．（本题满分10分）解不等式（x为未知数）：x?aa?abx?bb?cc?0.x?c解：右式=x2(x-a-b-c)>0原不等式解是x≠六．（本题满分10分）用数学归纳法证明等式2cosxxxx?cos2?cos3??cosn?2222sinxx2sinn2n对一切自然数n七．（本题满分15分）设1980年底我国人口以10（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？解：1.所求人口数x（亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿)2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%)20≤12，（1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.八．（本题满分17分）在1200的二面角P-a-Q的两个面P和Q内，分别有点a和点a和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段aB=10，1．求直线aB和棱a 所成的角;2．求直线aB和平面Q解：1.在平面P内作直线ad⊥a于点d;在平面Q内，作直线BE⊥a于点E，Fdc从点d作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点∴∠aBc等于aB 和a∠adc为两面角P-a-Q的平面角，∴∠adc=1200ad=2，BcdE为矩形，∴连接ac，由余弦定理得ac?27. 又因ad⊥a,cd⊥a,所以a垂直于△acdBc∥a得知Bc垂直于△acd所在的平面，∴Bc⊥在直角△aBc中，sin?aBc?ac7?,aB54??aBc?arcsin752．在△acd所在的平面内，作aF⊥cd交cd的延长线于点因为△acd 所在的平面⊥平面Q，∴aF⊥平面在△adF中，∠adF=600，ad=2，∴aF=2sin60??3连结BF，于是∠aBF是aB和平面Q所成的角，而△aBF为直角三角形，所以sin?aBF?aF33?.?aBF?arcsin.aB1010九．（本题满分17分）y2给定双曲线x??1.221．过点a（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P2．过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程;解：设直线L的方程为y=k(x-2)+1,(1)将（1）式代入双曲线方程，得：(2?k2)x2?(4k2?2k)x?4k2?4k?3?0(2)又设P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(,),则x1,x2必须是（2）的两个实根，所以有4k2?2k2x1?x2?2(k?2?0).k?25篇三：高考优秀作文(81)20XX年天津卷高考满分作文评析：愿景文题诠释]天津卷去年考查了开放性很强的命题作文――“留给明天”，今年依旧是命题作文，选用了新词汇“愿景”作为题目。

1981年试题全国高考数学试题及参考答案

1981年试题(理工农医类)一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A＝{有理数},B＝{无理数},试写出:(1)A∪B,(2)A∩B.[Key]一、解:(1)A∪B＝{实数}.(或A∪B＝R,或A∪B＝实数集合.)(2)A∩B＝.(或A∩B＝{ },或A∩B＝空集.)二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.[Key] 二、解:所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果:ABC,ABD,ACD,BCD.三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.[Key] 三、解: (1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充要条件四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.[Key] 四、公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA.证法一:平面几何证法.如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得a2＝CD2＋DB2＝(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝b2＋c2－2bccosA.如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得a2＝CD2＋BD2＝[bsin(180°－A)]2＋[c＋bcos(180°－A)]2＝b2＋c2－2bccosA.如果∠A是直角,cosA＝0,∴a2＝b2＋c2＝b2＋c2－2bccosA.证法二:解析几何证法以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点间的距离公式得a2＝│BC│2 ＝(c－bcosA)2＋(－bsinA)2＝b2＋c2－2bccosA.五、解不等式(x为未知数):[Key] 五、解:原行列式可逐步简化如下:故原不等式为x2(x－a－b－c)>0.原不等式的解是x≠0,x>a＋b＋c.六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.[Key]所以当n＝1时等式成立.(ii)假设当n＝k时等式成立,即所以当n＝k＋1时等式也成立.根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087＝0.00377 lg1.0092＝0.00396 lg1.0096＝0.00417lg1.0200＝0.00860 lg1.2000＝0.07918 lg1.3098＝0.11720lg1.4568＝0.16340 lg1.4859＝0.17200 lg1.5157＝0.18060[Key] 七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 10×1.02, 10×(1.02)2,……的第21项,即x＝10×(1.02)20,两边取对数,得lgx＝1＋20lg1.02＝1.17200,∴x＝14.859(亿).答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10×(1＋y%)20≤12,即(1＋y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1＋y%)≤lg1.2.即lg(1＋y%)≤0.00396.∴1＋y%≤1.0092,y%≤0.0092.答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.八、在120°的二面角P－a－Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB＝10.(1)求直线AB和棱a所成的角;(2)求直线AB和平面Q所成的角.[Key] 八、解:(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D 作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.∠ADC为二面角P－a－Q的平面角,∴∠ADC＝120°.又AD＝2,BCDE为矩形,∴ CD＝BE＝4.连结AC,由余弦定理得又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.答:直线AB和棱a所成的角等于(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF＝60°,AD＝2,连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以答:直线AB和平面Q所成的角为(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.[Key] 九、解法一:(1)设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1, (i)将(i)式代入双曲线方程,得(2－k2)x2＋(4k2－2k)x－4k2＋4k－3＝0, (ii)到此,若指出所求轨迹的参数方程是这就是所要求的轨迹方程.(2)设所求直线方程为y＝k(x－1)＋1,代入双曲线方程,整理得(2－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－3＝0, (iii)由第二式解出k＝2,但k＝2不满足第一式,所以(Ⅰ)无解. 答:满足题中条件的直线m不存在.解法二:(1)设l的参数方程为其中t是参数,θ为AP的倾斜角.代入所给双曲线方程,整理得: (2cos2θ－sin2θ)t2＋2(4cosθ－sinθ)t＋5＝0.(v)(2)也可用设m的参数方程的方法讨论此问,得出满足条件的直线m不存在的结论.十、附加题:计入总分.已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图).设AC＝a,BC＝b,作数列u1＝a－b,u2＝a2－ab＋b2,u3＝a3－a2b＋ab2－b3,……,u k＝a k－a k－1b＋a k－2b2－……＋(－1)k b k;求证:u n＝u n－1＋u n－2(n≥3).[Key] 十、证法一:通项公式可写为u k＝a k－a k－1b＋a k－2b2－…＋(－1)k b k因a－b＝AC－BC＝AC－AF＝FC＝1,ab＝AC·BC＝CD2＝1.于是有证法二:由平面几何知识算出通项公式可写为要证u n＝u n－1＋u n－2成立,只要证明a n＋1－(－1)n＋1b n＋1＝a n－(－1)n b n＋a n－1－(－1)n－1b n－1,即a n－1·a2－(－1)n－1b n－1·b2＝a n－1·a＋(－1)n－1b n－1·b＋a n－1－(－1)n－1b n－1, 或或上式确是等式,故证得u n＝u n－1＋u n－2.。

1981年全国高考数学试题及答案解析

1981年全国高考数学试题及答案解析(理工农医类)一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:(1)A ∪B,(2)A∩B.[Key]一、解:(1)A∪B={实数}.(或A∪B=R,或A∪B=实数集合.)(2)A∩B=.(或A∩B={ },或A∩B=空集.)二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.[Key] 二、解:所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果:ABC,ABD,ACD,BCD.三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.[Key] 三、解: (1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充要条件四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.[Key] 四、公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.证法一:平面几何证法.如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得a2=CD2+DB2=(bsinA)2+(c-bcosA)2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得a2=CD2+BD2=[bsin(180°-A)]2+[c+bcos(180°-A)]2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是直角,cosA=0,∴a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.证法二:解析几何证法以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点间的距离公式得a2=│BC│2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA.五、解不等式(x为未知数):[Key] 五、解:原行列式可逐步简化如下:故原不等式为x2(x-a-b-c)>0.原不等式的解是x≠0,x>a+b+c.六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.[Key]所以当n=1时等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即所以当n=k+1时等式也成立.根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060[Key] 七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 10×1.02, 10×(1.02)2,……的第21项,即x=10×(1.02)20,两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859(亿).答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10×(1+y%)20≤12,即(1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.(1)求直线AB和棱a所成的角;(2)求直线AB和平面Q所成的角.[Key] 八、解:(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D 作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.∠ADC为二面角P-a-Q的平面角,∴∠ADC=120°.又AD=2,BCDE为矩形,∴ CD=BE=4.连结AC,由余弦定理得又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.答:直线AB和棱a所成的角等于(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF=60°,AD=2,连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以答:直线AB和平面Q所成的角为(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.[Key] 九、解法一:(1)设直线l的方程为y=k(x-2)+1, (i)将(i)式代入双曲线方程,得(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0, (ii)到此,若指出所求轨迹的参数方程是这就是所要求的轨迹方程.(2)设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,整理得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0, (iii)由第二式解出k=2,但k=2不满足第一式,所以(Ⅰ)无解.答:满足题中条件的直线m不存在.解法二:(1)设l的参数方程为其中t是参数,θ为AP的倾斜角.代入所给双曲线方程,整理得: (2cos2θ-sin2θ)t2+2(4cosθ-sinθ)t+5=0.(v)(2)也可用设m的参数方程的方法讨论此问,得出满足条件的直线m不存在的结论.十、附加题:计入总分.已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图).设AC=a,BC=b,作数列u1=a-b,u2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,……,u k=a k-a k-1b+a k-2b2-……+(-1)k b k;求证:u n=u n-1+u n-2(n≥3).[Key] 十、证法一:通项公式可写为u k=a k-a k-1b+a k-2b2-…+(-1)k b k因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,ab=AC·BC=CD2=1.于是有证法二:由平面几何知识算出通项公式可写为要证u n=u n-1+u n-2成立,只要证明a n+1-(-1)n+1b n+1=a n-(-1)n b n+a n-1-(-1)n-1b n-1,即a n-1·a2-(-1)n-1b n-1·b2=a n-1·a+(-1)n-1b n-1·b+a n-1-(-1)n-1b n-1, 或或上式确是等式,故证得u n=u n-1+u n-2.。

1981年全国统一高考数学试卷(理科)

1981年全国统一高考数学试卷（理科）一、解答题（共10小题，满分120分）1．（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：（1）A∪B，（2）A∩B．2．（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．3．（8分）下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是．4．（10分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明．5．（10分）解不等式（x为未知数）：．6．（10分）用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立．7．（16分）设1980年底我国人口以10亿计算．（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？8．（17分）在120°的二面角P﹣a﹣Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B 已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段AB=10，（1）求直线AB和棱a所成的角；（2）求直线AB和平面Q所成的角．9．（17分）给定双曲线．（1）过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程．（2）过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．10．（20分）已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF，其边长为1（如图）设AC=a，BC=b，作数列u1=a﹣b，u2=a2﹣ab+b2，u3=a3﹣a2b+ab2﹣b3，…，u k=a k﹣a k﹣1b+a k﹣2b2﹣…+（﹣1）k b k；求证：u n=u n﹣1+u n﹣2（n≥3）．1981年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分120分）1．（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：（1）A∪B，（2）A∩B．考点：交集及其运算；并集及其运算．分析：根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得A∪B，又由有理数、无理数的定义，可得A∩B．解答：解：（1）根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得A∪B=R，（2）有理数、无理数的定义，没有一个数既是有理数又是无理数，则A∩B=Φ．点评：本题结合实数的分类与有理数、无理数的关系，考查集合间的交集、并集的运算，是概念类型的试题，难度较小．2．（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．考点：组合及组合数公式；排列及排列数公式．专题：计算题；阅读型．分析：（1）由题意知本题是一个从四个元素中选两个元素的问题，只要用排列数表示出来即可，列举时注意可以按照一定的顺序进行，比如先写出包含A的，再写包含B的去掉重复的．（2）本题和前一个问题是有一定的区别的，上一问选正、副班长各一人包括选出来，安排谁当什么，而本题只是选出三个人即可，与顺序无关．解答：解：（1）选举种数A42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC．（2）选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD．点评：排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．3．（8分）下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：阅读型．分析：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行逐一判断即可．解答：解：见表对于第一个：平行四边形不一定是矩形，是矩形一定是平行四边形，故答案为：必要条件；对于第二个：a=3则|a|=3，但|a|=3则a=±3，故答案为：充分条件；对于第三个：θ=150°则sinθ=，但sinθ=则θ可能为30°，故答案为：充分条件；对于第四个：点在圆上，则点的坐标适合圆的方程，反之，点的坐标适合圆的方程则点在圆上，故答案为：充要条件点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．4．（10分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明．考点：余弦定理．专题：证明题．分析：建立坐标系，用解析法证明余弦定理．解答：解：a2=b2+c2﹣2bccosA．下用解析法证明证：以A为原点，射线AB为x轴正向，建立直角坐标系，则得A（0，0），B（c，0），C（bcosA，bsinA）．由两点距离公式得：a2=|BC|2=（c﹣bcosA）2+（﹣bsinA）2=b2+c2﹣2bccosA．点评：解析法证明代数几何中的某些定理与公式是一个很有效的武器．答题者应好好体会在本证明中的作用，并以所得的心得体会来证明余弦定理的其它形式．5．（10分）解不等式（x为未知数）：．考点：三阶矩阵．专题：计算题．分析：根据三阶矩阵的计算法则=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32﹣a13a22a31﹣a12a21a33﹣a11a23a32化简不等式的左边，求出不等式的解集即可．解答：解：不等式的左边==（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）﹣abc﹣abc﹣ac（x﹣b）﹣ab（x﹣c）﹣bc（x﹣a）=x3﹣ax2﹣bx2﹣cx2=x2（x﹣a﹣b﹣c），所以不等式变形为：x2（x﹣a﹣b﹣c）＞0，当x≠0时，x2＞0得到x﹣a﹣b﹣c＞0即x＞a+b+c则原不等式解是x＞a+b+c且x≠0．点评：此题是一道以三阶矩阵为平台，利用它的计算法则对不等式进行变形并会求不等式解集．6．（10分）用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立．考点：数学归纳法．专题：证明题．分析：要证明等式对一切自然数n都成立，则我们要先证明n=1时成立，再假设n=k时成立，进而n=k+1时等式也成立．解答：解：①当n=1时，②假设当n=k时，等式成立，即则当n=k+1时，=•=•=即此时等式也成立，故等式对一切自然数n都成立．点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．7．（16分）设1980年底我国人口以10亿计算．（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？考点：数列的应用．专题：应用题．分析：（1）由题意知所求人口数x（亿）x=10×（1.02）20，两边取对数可的答案．（2）设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%）20≤12，（1+y%）20≤1.2．由此解可得答案．解答：解：（1）所求人口数x（亿）是等比数列10，10×1.02，10×（1.02）2，的第21项，即x=10×（1.02）20，两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200，∴x=14.859（亿）（2）设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%）20≤12，（1+y%）20≤1.2．根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg（1+y%）≤lg1.2，即lg（1+y%）≤0.00396，∴1+y%≤1.0092，y%≤0.0092．点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要注意公式的灵活运用．8．（17分）在120°的二面角P﹣a﹣Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B 已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段AB=10，（1）求直线AB和棱a所成的角；（2）求直线AB和平面Q所成的角．考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：（1）如图所示，在平面P内作直线AD⊥a于点D，在平面Q内，作直线BE⊥a于点E，过点D作DC⊥a，与从点B作CB∥a相交于点C．∠ABC等于AB和a所成的角，∠ADC为两面角P﹣a﹣Q的平面角，利用余弦定理即可得到AC，由a⊥平面ACD，BC∥a即可得到BC⊥平面ACD，在直角△ABC中求出sin∠ABC即可；（2）在△ACD所在的平面内，作AF⊥CD交CD的延长线于点F，利用面面垂直的性质即可证明AF⊥平面Q，从而得到∠ABF是直线AB和平面Q所成的角．解答：解：（1）在平面P内作直线AD⊥a于点D，在平面Q内，作直线BE⊥a于点E，从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C．∴∠ABC等于AB和a所成的角，∠ADC为两面角P﹣a﹣Q的平面角，∴∠ADC=120°，又AD=2，BCDE为矩形，∴CD=BE=4．连接AC，由余弦定理得AC2=AD2+CD2﹣2AD•CDcos∠ADC=22+42﹣2×2×4×cos120°=28．∴．又∵AD⊥a，CD⊥a，∴a⊥平面ACD，∵BC∥a，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC．在直角△ABC中，，∴．（2）在△ACD所在的平面内，作AF⊥CD交CD的延长线于点F．∵平面ACD⊥平面Q，∴AF⊥平面Q．在△ADF中，∠ADF=60°，AD=2，∴AF=．连接BF，于是∠ABF是AB和平面Q所成的角，在△ABF为直角三角形，∴．点评：熟练掌握线面与面面垂直的判定和性质定理、线面角、异面直线所成的角、余弦定理及常作的辅助线是解题的关键．9．（17分）给定双曲线．（1）过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程．（2）过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．考点：双曲线的应用；轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）设直线L的方程代入双曲线方程，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），，根据韦达定理求得x1+x2的表达式，表示出x，把x代入直线方程求得y的表达式，再由的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程即是所求的轨迹方程．（2）设所求直线方程为y=k（x﹣1）+1，代入双曲线方程，设Q1（x1，y1），Q2（x2，y2）根据韦达定理表示出x1+x2求得k，代入判别式结果小于0，进而断定满足题设中条件的直线不存在．解答：解：设直线L的方程为y=k（x﹣2）+1，（1）将（1）式代入双曲线方程，得：（2﹣k2）x2+（4k2﹣2k）x﹣4k2+4k﹣3=0，（2）又设P1（x1，y1），P2（x2，y2），，则x1，x2必须是（2）的两个实根，所以有．按题意，，∴．因为在直线（1）上，所以．再由的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为，这就是所求的轨迹方程．（2）设所求直线方程为y=k （x ﹣1）+1，代入双曲线方程，整理得（2﹣k 2）x 2+（2k 2﹣2k ）x ﹣k 2+2k ﹣3=0，（3）设必须是（3）的两个实根，即如果B 是Q 1Q 2的中点，就有（x 1+x 2）=1，，所以有．综合起来，k 应满足．由第二式解出k=2，但k=2不满足第一式，所以（I ）无解．故满足题设中条件的直线不存在．点评：本题主要考查了双曲线的应用．解题的结果一定注意放到判别式中进行验证．10．（20分）已知以AB 为直径的半圆有一个内接正方形CDEF ，其边长为1（如图）设AC=a ，BC=b ，作数列u 1=a ﹣b ，u 2=a 2﹣ab+b 2，u 3=a 3﹣a 2b+ab 2﹣b 3，…，u k =a k ﹣a k ﹣1b+a k ﹣2b 2﹣…+（﹣1）k b k ；求证：u n =u n ﹣1+u n ﹣2（n≥3）．考点：数列递推式．专题：证明题．分析：要证u n =u n ﹣1+u n ﹣2（n≥3），利用题目中给出的信息先求出通项u n ，然后利用圆中直角三角形的几何性质建立u n ，u n ﹣1，u n ﹣2三者的关系，即可得证．解答：证明：通项公式可写成u k =a k ﹣a k ﹣1b+a k ﹣2b 2﹣+（﹣1）k b k =因a ﹣b=AC ﹣BC=AC ﹣AF=FC=1， ab=AC•BC=CD 2=1．故得，n≥3==，=于是有．n≥3点评：本题是个中档题，主要考查了由数列递推式求数列的通项，以及证明等式的方法，在证明过程中注意几何图形的几何性质的应用．。

一九八一年全国高考数学(理)试题剖析

4 x
,
3 一
2 (种 ) 1
B
(2 )
C三一 C二二 4 (种 )
,
.
题三者都不是
.
下表所列各小题中
指出 A是
的充分条件
还是必要条件
还是充要条件
,
或
…
( 1) (2 )
通 c D 为平、 : 四边形
{
四边形 A:
一
(3
4
…
一
3
。
{ {
“ 四边形 A“ C D 为矩形
那么到 2 0 0 0年底将达到多少 ?
0。。年底
我国人
.
口不
超过 1 2 亿
.
那么每年比上年平均递增率最高是多少 ?
. . .
( 附部分对数表略 ) 答 (1 ) 题八到2
0 0 0年 0
“
底我国人
口将达到 14
一
85 9
亿
2 ) 每年平均增长率最高为 0 9 ( 2 多
一
1 )
2
`
,
一
合
,
’
7 8
7
4
( 图二 )
一
1
是一条双曲线
CD E F
,
.
(2 )
无解
。
题十设
……
AC一
u
Z
(附加题 ) 已知以 A B 为直径的半圆有一其边长为 l
,
个内接正方形
a
,
( 如图三 )

1981年普通高等学校招生全国统一考试数学理.pdf

8B Unit 1 Checkout 【目标诠释】——我来认识 1. 复习本单元出现的一些主要语法和重要的语言现象。

2. 检查对使用现在完成时与一般过去时的语境的理解程度。

3. 评估对一些形容词反义词的掌握程度。

【导学菜单】——我来预习 1. 预习Page23, PartA中的对话，要求：明白对话谈论的话题，熟练掌握所给单词的过去分词。

2. 预习P23，PartB部分，要求：了解1—9部分的释意。

【困惑扫描】——我来质疑 _______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 【感悟平台】——我来探究 Task1. Answer the following questions: 1.Do you like your hometown? 2. Has it changed a lot over the years? 3. What was it like in the past? 4. What is it like now? 5. Would you like to talk about the changes? Task2. Talk about the changes to Sunshine Town, Moonlight Town and Starlight Town. Remind the words learned in the unit. Task3 Do PartB, Page23. Check the answers with your partners. Task4 Complete the following sentences. 1. What do you a_______ mean? I still can’t understand you. 2.It’s very p___ to read in the garden, listening to the music. 3.Mrs Elson was alone, but she never felt l________. st week. President Bush i____ many tourists from Japan. 5.Young Tom had a f________ there was something wrong with his boss. 6.The new-built high way will bring lots of ____( 利益) to us. 7.What he said _______(引起 ) a lot of trouble for him. 8.We have a airport in our city. So it’s very fast and _______(方便 ) to travel. 9.Eating too much is un_____ way of living. 10.There have been great ______(变化) in China since 1983. Task5. Talk something about Grammar. Then finish the dialogue in PartA, Page23. Read the dialogue with your partner. Task6. Finish the dialogue. S1: Hi, Sandy. ______you _______(start) your history project yet? S2: Yes, I ______ (look)on the Internet to get some ideas, but I _____ (not write)the repport yet. S1: What _____ you ______ (decide) to write about? S2: I want to write about Tianjin. ______ you ever _____(be) there? S1: Yes, I _______(go) there with my family last year. I think Tianjin ______ (not change)much. S2: I think there ______ (be)some changes. I ______ already ______ (learn)a lot about the history of the city. 【建立网络】——我来归纳 _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 【过关窗口】——我来练习一、根据上下文以及词缀提示，翻译下列划线单词。

经典理科数学常考题1981

经典理科数学常考题单选题（共5道）1、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D122、的项数为定值，其中．若存在一个正整数，使数列中存在连续的t项和该数列中另一个连续的t项恰好按次序对应相等，则称数列是“t阶数列”，例如，数列：，，，，．因为，与，按次序对应相等，所以数列是“2阶数列”．若项数为的数列一定是“3阶数列”，则的最小值是（）A5B7C9D113、若复数z满足zi=1﹣i，则z等于（）A﹣1﹣iB1﹣iC﹣1+iD1+i4、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D125、已知数列{an}的通项公式是an=2n–49（n∈N），那么数列{an}的前n项和Sn达到最小值时的n的值是（）A23B24C25D26多选题（共5道）6、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）7、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）8、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）9、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）10、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）简答题（共5道）11、、、（1）若的值；（2）若12、、、（1）若的值；（2）若13、（Ⅰ）求的值；（Ⅱ)若角A是钝角，且c=3，求b的取值范围．14、已知、、是中、、的对边,,，。

（1）求；（2）求的值。

15、如图，在四棱锥中，底面，，，，是的中点。

（1）证明：；（2）证明：平面；（3）求二面角的正切值。

书面表达（共5道）16、车身总重量大于40公斤等指标）上了牌照，算是给予它们临时合法的出行身份，但是牌照有效期到今年2月底止，这也就是说，从今年3月1日起，该市城区4万多辆超标电动车已被禁行，违者将受到严厉的处罚。

【高考试题】1981年全国高考数学试题★答案

【高考试题】1981年全国高考数学试题★答案 (理工农医类)一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:(1)A ∪B,(2)A∩B.[Key]一、解:(1)A∪B={实数}.(或A∪B=R,或A∪B=实数集合.)(2)A∩B=.(或A∩B={ },或A∩B=空集.)二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.[Key] 二、解:所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果:ABC,ABD,ACD,BCD.三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.[Key] 三、解: (1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充要条件四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.[Key] 四、公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.证法一:平面几何证法.如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得a2=CD2+DB2=(bsinA)2+(c-bcosA)2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得a2=CD2+BD2=[bsin(180°-A)]2+[c+bcos(180°-A)]2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是直角,cosA=0,∴a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.证法二:解析几何证法以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点间的距离公式得a2=│BC│2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA.五、解不等式(x为未知数):[Key] 五、解:原行列式可逐步简化如下:故原不等式为x2(x-a-b-c)>0.原不等式的解是x≠0,x>a+b+c.六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.[Key]所以当n=1时等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即所以当n=k+1时等式也成立.根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060[Key] 七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 10×1.02, 10×(1.02)2,……的第21项,即x=10×(1.02)20,两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859(亿).答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10×(1+y%)20≤12,即(1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.(1)求直线AB和棱a所成的角;(2)求直线AB和平面Q所成的角.[Key] 八、解:(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D 作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.∠ADC为二面角P-a-Q的平面角,∴∠ADC=120°.又AD=2,BCDE为矩形,∴ CD=BE=4.连结AC,由余弦定理得又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.答:直线AB和棱a所成的角等于(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF=60°,AD=2,连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以答:直线AB和平面Q所成的角为(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.[Key] 九、解法一:(1)设直线l的方程为y=k(x-2)+1, (i)将(i)式代入双曲线方程,得(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0, (ii)。

1981年全国高考数学试题

1981年试题(理工农医类)一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:(1)A ∪B,(2)A∩B.[Key]一、解:(1)A∪B={实数}.(或A∪B=R,或A∪B=实数集合.)(2)A∩B=.(或A∩B={ },或A∩B=空集.)二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.[Key] 二、解:所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果:ABC,ABD,ACD,BCD.三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.[Key] 三、解: (1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充要条件四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.[Key] 四、公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.证法一:平面几何证法.如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得a2=CD2+DB2=(bsinA)2+(c-bcosA)2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得a2=CD2+BD2=[bsin(180°-A)]2+[c+bcos(180°-A)]2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是直角,cosA=0,∴a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.证法二:解析几何证法以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点间的距离公式得a2=│BC│2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA.五、解不等式(x为未知数):[Key] 五、解:原行列式可逐步简化如下:故原不等式为x2(x-a-b-c)>0.原不等式的解是x≠0,x>a+b+c.六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.[Key]所以当n=1时等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即所以当n=k+1时等式也成立.根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060[Key] 七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 10×1.02, 10×(1.02)2,……的第21项,即x=10×(1.02)20,两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859(亿).答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10×(1+y%)20≤12,即(1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.(1)求直线AB和棱a所成的角;(2)求直线AB和平面Q所成的角.[Key] 八、解:(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D 作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.∠ADC为二面角P-a-Q的平面角,∴∠ADC=120°.又AD=2,BCDE为矩形,∴ CD=BE=4.连结AC,由余弦定理得又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.答:直线AB和棱a所成的角等于(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF=60°,AD=2,连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以答:直线AB和平面Q所成的角为(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.[Key] 九、解法一:(1)设直线l的方程为y=k(x-2)+1, (i)将(i)式代入双曲线方程,得(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0, (ii)到此,若指出所求轨迹的参数方程是这就是所要求的轨迹方程.(2)设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,整理得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0, (iii)由第二式解出k=2,但k=2不满足第一式,所以(Ⅰ)无解.答:满足题中条件的直线m不存在.解法二:(1)设l的参数方程为其中t是参数,θ为AP的倾斜角.代入所给双曲线方程,整理得: (2cos2θ-sin2θ)t2+2(4cosθ-sinθ)t+5=0.(v)(2)也可用设m的参数方程的方法讨论此问,得出满足条件的直线m不存在的结论.十、附加题:计入总分.已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图).设AC=a,BC=b,作数列u1=a-b,u2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,……,u k=a k-a k-1b+a k-2b2-……+(-1)k b k;求证:u n=u n-1+u n-2(n≥3).[Key] 十、证法一:通项公式可写为u k=a k-a k-1b+a k-2b2-…+(-1)k b k因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,ab=AC·BC=CD2=1.于是有证法二:由平面几何知识算出通项公式可写为要证u n=u n-1+u n-2成立,只要证明a n+1-(-1)n+1b n+1=a n-(-1)n b n+a n-1-(-1)n-1b n-1,即a n-1·a2-(-1)n-1b n-1·b2=a n-1·a+(-1)n-1b n-1·b+a n-1-(-1)n-1b n-1, 或或上式确是等式,故证得u n=u n-1+u n-2.。

1977-1987年高考理科数学试题参考答案

(5,0)(1,0)(0,5)(3,-4)x =3yx O 15°45°A C B ED A CB 1977年普通高等学校招生考试(北京市)理科数学参考答案满分120分，120分钟1．（本小题满分10分）解：将两边平方，得2169x x x -=-+，即27100x x -+=,解得2,5x x ==, 经检验5x =是增根， ∴原方程的解是2x =． 2．（本小题满分10分）解：原式=1． 3.（本小题满分10分）解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266．4．（本小题满分10分）证明：∵22cos sin (1)cos tg αααα+⎛⎫+= ⎪⎝⎭222cos 2sin cos sin cos ααααα++= 21sin 2cos αα+=，∴等式成立． 5．（本小题满分10分）解：由 70,310x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得2,5x y ==．∴过点(2,5)和(1,1)的直线方程为 430x y --=．6．（本小题满分10分）解：七月份到十月份总产值为2100100(10.2)100(10.2)++++ 3100(10.2)++4100[(1.2)1]1.21⨯-=-100 1.0736536.80.2⨯==（万元）．7.（本小题满分10分）解：（1）2265(3)4y x x x =-+=--， ∴二次函数图象的顶点坐标为(3,4)-，对称轴方程为3x =．（2）如图（列表，描点略）．（3）令0x =，得5y =；令0y =，得1x =或5x =， ∴二次函数图象与坐标轴的交点坐标为(0,5),(1,0),(5,0)8．（本小题满分10分）解：由已知条件及图可得AC =20海里，∠BAC =450，∠ABC =300．由正弦定理可得20sin 21sin 2AC ACB B⋅===（海里）.9.（本小题满分10分）证：连接CE ,在△ABD 和△ACE 中，∠BAD =∠CAE ，∠ABD =∠AEC ， ∴△ABD ~△ACE ,∴AB ADCE AC= 即AD AE AC AB ⋅=⋅.10.（本小题满分10分）解：直线与椭圆的交点适合下面方程组：22, (1)1.(2)169y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩将（1）代入（2）得22()1169x x m ++=，即222532(16144)0x mx m ++-=，22(32)425(16144)m m ∆=-⋅⋅- 2576(25)m =-，当2576(25)0m ∆=-=，即5m =±时，直线与椭圆有一个交点；当2576(25)0m ∆=->，2250m -+>，即5m <时，直线与椭圆有二个交点；当2576(25)0m ∆=-<，即5m >时，直线与椭圆没有交点. 参考题1.（本小题满分10分）解：（1）当0x ≠时，22()2sin cos()f x x x xx x πππ-'=+2sincosx xxπππ=-；当0x =时，(0)(0)(0)limx f x f f x∆→∆+-'=∆20sin0limx x x xπ∆→∆-∆=∆ 0lim sin 0x x xπ∆→=∆=∆. ∴2sin cos .(0)()0(x 0)x x f x x xπππ⎧-≠⎪'=⎨⎪=⎩. （2）旋转体体积2aaV y dx π-=⎰22224(1)3aa xb dx ab a ππ-=-=⎰. 2. （本小题满分10分）解：（1）答：略.（2）证：由()f x 在点0x x =处连续，且0()0f x >，所以，由定义，对于给定的0()02f x ε=>，必存在0δ>, 当0x x δ->时，有00()()()2f x f x f x -<,从而000()()()()022f x f x f x f x >-=>，即在00(,)x x δδ-+内处处有()0f x >.1978年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案满分120分，120分钟（理科考生五，六两题选做一题.文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题）一、（下列各题每题4分，五个题共20分） 1.解：222444x xy y z -+-22(2)(2)x y z =--(22)(22)x y z x y z =---+2.解：设底面半径为r ，则22ra a π=，即2a r π=，∴22224a a V r a a ππππ⎛⎫=⋅=⋅=⎪⎝⎭. 3．解：∵lg(2)0x +≥, ∴21x +≥，即1x ≥-， ∴函数定义域[)1,-+∞.4.解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22. 5. 解：原式12425b = . 二、（本题满分14分）解：1）0k >时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①1k >时,长轴在y 轴上，2a =，b =; ②1k =时,为半径2r =的圆; ③1k <时,长轴在x 轴上，a =，2b =.如图：2) 0k =时，方程为2y =图形是两条平行于x 轴的直线2±=y .如图.3）0k <时，方程为22124x y k-+=，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上.如图：三、（本题满分14分）证：1)连接CA ，CB ，则∠ACB =900∠ACM =∠ABC , ∠ACD=∠ABC ， ∴∠ACM =∠ACD ， ∴△AMC ≌△ADC ， ∴CM =CD .同理CN =CD ，∴CD =CM =CN .2）∵CD ⊥AB ，∠ACD =900， ∴ CD 2=AD ·DB .由1）知AM=AD ，BN=BD ，∴CD 2=AM ·BN . 四、（本题满分12分）解：∵185b=，∴ 18log 5b =， ∴ 183618log 59log 45log 182⋅=⋅18181818log 5log 9log 18log 22a ba++==+-. 五、（本题满分20分）解：由条件得180A B C ++=︒， 2B A C =+，∴60,120B A C =︒+=︒.∵tan tan 2A C = ∴tan tan (1tan tan )tan()A C A C A C +=-+(13=-=，……② ∴由①，②知tan ,tan A C 是方程2(320x x -+=的两个根，解这个方程得121,2x x ==tan 1,tan 2A C ==tan 21A C ==， ∴45,75A C =︒=︒，或 75,45A C =︒=︒，∴45,60,75A B C =︒=︒=︒，或 75,60,45A B C =︒=︒=︒.∵顶点C 的对边c 上的高等于34，∴8,a b ====cos 45cos 60c AD DB b a =+=︒+︒4=，或8a ==，b ==cos 75cos 60c AD DB b a =+=︒+︒8=.六、（本题满分20分）证明：由223sin2sin 1αβ+= 得2c o s 23s i n βα=，由3sin 22sin 20αβ-= 得3sin 2sin 23sin cos 2βααα==， 2249sin cos 9sin ααα+22sin 2cos 21ββ=+=，即29sin 1α=.∵α为锐角，∴1sin 3α=.∴sin(2)sin cos2cos sin 2αβαβαβ+=+2sin (3sin )cos (3sin cos )ααααα=+ 223sin (sin cos )3sin 1αααα=+==.∵,αβ为锐角，∴22παβ+=.七、（本题满分20分）解：已知函数配方法得：2214524m m y x ++⎛⎫=+-⎪⎝⎭，1E DC BA ∴y 的极小值为454m +-. 1）由4504m +-=，得54m =-， ∴当54m =-时，y 的极值是0.2）设函数的顶点坐标为(,)x y ，则21122m x m +=-=--，45544m y m +=-=--，消去m 得1l ：34x y -=，∴不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线1l 上. 当1,0,1m =-时，函数式分别为211()42y x +=-，293()42y x +=+， 251()42y x +=+（图略）.3）设l ：x y a -=为任一条平行于1l 的直线，与抛物线方程22(21)1y x m x m =+++-联立求解，消去y ，得22210x mx m a ++-+=，即2()1x m a +=-.当1-a ≥0，即a ≤1时，直线l 与抛物线相交，而a ＞1时，直线l 与抛物线不相交.当1a ≤时，x m =-直线l 与抛物线两交点的横坐标分别为m m --由条件知直线l 的倾斜角为45︒，直线l 被抛物线截出的线段长为[((m m ---=m 无关，因此直线l 被各抛物线截出的线段都相等.一九七八年副题理科数学参考答案满分120分，120分钟1．（下列各题每题4分，五个题共20分）（1）解：原式=(1)(3)x y x y ---+.(2)解：原式2130124=-+-=⎝⎭. （3）解：由255010x x ⎧->⎨+≠⎩得2x <且1x ≠-，∴函数的定义域∞(-,1)(1,2).（4）解：)(3312131322cm V ππ=-⋅⋅=. （5）解：原式=30. 2．（本题满分14分）解：由已知条件得121239,40x x x x +==-， ∴121212113940x x x x x x ++==-， 1211140x x ⋅=-， ∴所求方程为：2403910x x +-=. 3. （本题满分14分）证：∵AD 是 △ABC 的外接圆的切线，∴∠B =∠1，∴△ABD ∽△ACD ，∴22ABC AB ACD AC ∆=∆的面积的面积作AE ⊥BD 于点E ，则.2121CD BDAE CD AEBD ACD ABC =⋅⋅=∆∆的面积的面积 ∴CDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积. 4．（本题满分12分）F aαN MEDCB A证：作ME BD ⊥ 于E ，由△ABC 是等边三角形知，在直角△MBE 中，12BE BM =，ME =，2tan 122MEED a BM α==-，BM =类似地，过N 作NF BC ⊥于F ，在直角△NFC中，可证：CN = 5．（本题满分20分）证：1）∵244(1)0p q m --+=，∴2414p q m -+=，∴432()444f x x px qx =-+ 222442()44p q p q p x --+⋅+2222(2x )(4)px p q x =---22244(2)()44p q p q px --+⋅+22222244(2x )2(2x )()44p q p q px px --=---⋅+2224(2x )4p q px -=--，∴()f x 恰好是一个二次三项式的平方.2）由条件得43224442(1)(1)x px qx p m m -+++++ 22(2)x ax b =++4322244(4)2x ax a b x abx b =-++++，∴22244(1)44 (2)2(1)2(3)(1)(4)p a q a b p m ab m b-=⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，由（1）得a p =-，代入（2）得244q p b -=，将,a b 代入（3）得242(1)24q p p m p -+=-⋅，即2[44(1)]0p p q m --+=，∵0p ≠，∴244(1)0p q m --+=.6．（本题满分14分）证：∵,a b 不同时为0， ∴①可变形为0x x +=，设in s y y ==，则上式即为sin cos cos sin sin()0x y x y x y -=-=， ∴()x y k k Z π-=+∈，即 ()x y k k Z π=+∈.∴sin 2cos 2A x B x C +-sin(22)cos(22)A y k B y k C ππ=+++- sin 2cos 2A y B y C =+-222sin cos (cos sin )A y y B y y C =---22222220ab a b A B C a b a b -=---=++，即22222()()0abA b a B a b C +-++=. 证（二）：当0,0a b =≠时，由①得cos 0x =，结合②得B C -=，∴22222()()0abA b a B a b C +-++=；同理可得，当0,0a b ≠=时，22222()()0a b A ba B ab C +-++=；当0,0a b ≠≠时，由由①得tan bx a=-，sin 2cos 2A x B x C +-B /P/Pl CBA O y x2222222sin cos cos sin sin cos sin cos x x x x A B C x x x x-=⋅+⋅-++2222tan 1tan 1tan 1tan x x A B C x x -=⋅+⋅-++ 2222222111b b a a A B C b b a a -⋅-=⋅+⋅-++ 22222220ab a b A B C a b a b -=-⋅+⋅-=++,即22222()()0abA b a B a b C +-++=.综上可知，结论成立. 7．（本题满分14分）解：1）直线l ，圆C 和抛物线Q的方程为:L y x =；2:x Q y =； 22:1C x y +=. 草图如右图所示. 2)由221y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得A点横坐标为2x =- 线段PA 的函数关系为1(),()322f x x x =-≤≤-；由2221y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得B 点横坐标为2x =，圆弧AB 的函数关系式为2())22f x x =-≤≤；抛物线上OB 一段的函数表达式为3()(02f x x =≤≤, POP S '∆=724OAB π=扇形S ， 14BOB S '∆=，71244π=+阴S .V D CBA βαPCBA1979年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案满分120分，120分钟一、（本题满分6分）证： 2()4()()z x x y y z ----22()4()4x z x z y y =+-++ 2(2)0x y z =-+=,∴22x z y +=,即,,x y z 成等差数列．二、（本题满分6分）解：原式221111111tan 1cot xx==--+--22211csc 1sin 1csc x xx===-．三、（本题满分6分）解：由条件知，甲中纯酒精与水的重量分别为1111m v m n +，1111n v m n +；乙中纯酒精与水的重量分别为2222m v m n +，2222n v m n +．混合后所得液体中纯酒精量为11221122m v m vm n m n +++112222111122()()()()m v m n m v m n m n m n +++=++；混合后所得液体中水的量为11221122n v n vm n m n +++112222111122()()()()n v m n n v m n m n m n +++=++．混合后所得液体中纯酒精与水之比是11222211[()()]:m v m n m v m n +++ 11222211[()()]n v m n n v m n +++．四、（本题满分6分）略．五、（本题满10分）解：作PC AB ⊥于C ，设PC d =，在直角三角形PAC 中， cot AC d α=；在直角三角形PBC 中，cot BC d β=，∴(cot cot )S AC BC d αβ=+=+．当d D ≤，即cot cot SDαβ+≥时，应向外国船发出警告．六、（本题满10分）证：设,,VA a VB b VC c ===，AB p =，,BC q CA r ==，则222222222,,p a b q b c r c a =+=+=+．在三角形ABC 中，由余弦定理得222222cos CAB ∠=20=>，∴CAB ∠是锐角．同理，∠ABC ， ∠BCA 也是锐角．七、本题满分12分）解：设年增长率为x ，则由条件得40100(1)500x +=,即40(1)5x +=.F 1ED C BA取自然对数有40ln(1)ln 5x +=. 又lg5=1-0.3=0.7 ， ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61．利用ln(1)x x +≈,有x ≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%．答：每年约增长百分之四．八、本题满分12分）证：连接CD ．∵∠CFD =900，∴CD 为圆O 的直径，又AB 切圆O 于D ，∴CD ⊥AB ．又在直角三角形ABC 中，∠ACB =900， ∴2AC =AD ·AB ，2BC =BD ·AB ， ∴22BD BCAD AC =．…⑴ 又∵2BD =BC ·BF ，2AD =AC ·AE ，∴22BD BC BFAD AC AE⋅=⋅．…⑵ 由（1）与（2）得44BC BF BC AC AE AC ⋅=⋅，∴33BF BC AE AC =．九、（本题满分14分）解：记已知数列为{}n a ，则由条件知：11lg(100sin )2(1)lg 242n n a n π-==--，∴数列{}n a 是递减等差数列，且其首项为2．设前k 项的和最大，则由条件得12(1)lg 20,212[(1)1]lg 20.2k k ⎧--≥⎪⎪⎨⎪---<⎪⎩ 解得 13.214.2k <≤，∵k N ∈，∴14k =．11414142a a S +=⨯ 91280.301014.302=-⨯≈．十、（本题满分18分）解：设OP 与x 轴正方向的夹角为α，点P 的坐标为(,)x y ,则OP =sin()PD OP θα=-(sin cos cos sin )OP θαθα=-sin cos x y θθ=-，sin()PF OP θα=+(sin cos cos sin )OP θαθα=+sin cos x y θθ=+由2PD PF PE ⋅=得22222sin cos ()x y h x θθ-=-，……① 22222cos 2cos 0x hx y h θθ-++=．由条件知2cos 0θ≠，332211O 3O 2O 1EDC (c ,0)B (b .0)A (0.a )O y x ∴2222220cos cos h h x x y θθ-++=，即 22222sin ()()cos cos h h x y θθθ-+=．这是以2(,0)cos h θ为圆心，2sin cos h θθ为半径的圆.所求轨迹是此圆在所给等腰三角形内的一部分．2．由PD PE PF +=得sin cos sin cos x y h x x y θθθθ-+-=+，即2cos x y h θ+=．…………………②此直线过点(,0)h 及(0,)2cos hθ．由①，②得222222sin cos 4cos x y y θθθ-=，即 22225cos sin y x θθ=，由PD PE PF +=知0y >，∴y x =．……………③由②，③得(1)x h θ+=，即1h x θ==tan y θ=∴所求点的坐标为P ．1980年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案满分120分，120分钟一、（本题满分6分）解：1. 55449(9)x y xy xy x y -=-2222(3)(3)xy x y x y =+-. 2. 559x y xy -22(3)()()xy x y x x =+. 3. 559x y xy -()()()()xy x x x x =.二、（本题满6分）证：设⊙1O ，⊙2O ， ⊙3O 的半径为1，2，3∵因这三个圆两两外切， ∴12233,5OO O O ==，134O O =，∴()()()222121323O O O O O O +=∴根据勾股定理的逆定理知△123O O O 为直角三角形. 三、（本题满分10分）证：取△ABC 最长一边BC 所在的直线为x 轴，经过A 的高线为y 轴，设,,A B C 的坐标分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，根据所选坐标系，如图，有0,0,0a b c ><>. 直线AB 的斜率AB ak b=-，直线AC 的斜率ACa k c=-；∴高线BE 斜率BE ck a=，高线CD 斜率CD b k a =高线BE 的方程为()cy x b a =-，……⑴高线CD 的方程为()by x c a=-，……⑵由（1）-（2）得 ()0b c x -=， ∵b c ≠，∴0x =.lB AP NMDC BA ∴高线CD 、BE 的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO 上. ∴三条高线交于一点. 四、（本题满分10分）解：见课本. 五、（本题满分10分）证：用反证法假如平面N 与平面M 平行，则PA 也垂直于N ，因此PA 与PB 重合，B 点与A 点重合，但这与题设矛盾，∴平面N 与平面M 相交.设平面N 与平面M 的交线为l∵PA ⊥平面M ，∴PA ⊥l . 又∵PB ⊥平面N ， ∴PB ⊥l ，∴l ⊥平面PAB ，∴l ⊥AB . 六、（本题满分12分）解：1. M =1，1m =-，5210T k kππ⨯==. 2. ()f x 在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m . 而任意两个整数间的距离都≥1.∴要使任意两个整数间函数()f x 至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使()f x 的周期1T ≤，即.4.3110,110 =≥≤ππk k∴32k =就是这样的最小正整数.七、（本题满分14分）解：设,,CD h AB c BD x ===，则AD c x =-， ∴△ACD 的面积为)(21x c h -， △BCD 的面积为hx 21，△ABC 的面积为hc 21，由题意得2111()(),222hx h c x hc =-⋅2()x c c x =-，即220x cx c +-=，解得12x -=或12c -（舍去）由直角三角形的性质，有2()AC AD AB c c x =⋅=-211()22c c c ⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴AC =， ∴215215sin -=-==c cAB AC B ， ∴B ∠=.八、（本题满分14分）证（一）：∵0απ<<， ∴cos22sin 2cot2sin 22sin2ααααα-=-22cos 22sin 22sincos 22αααα=-1cos 2sin 2sin ααα+=-2sin 2sin (1cos )sin αααα-+=24sin cos (1cos )sin αααα-+=24(1cos )cos (1cos )sin αααα--+=214(1cos )(cos )20sin ααα+-=-≤，A (m ,0)当且仅当1cos 2α=，即3πα=时取“=” .证（二）：即证：1cos 2sin 2sin ααα+≤.两端乘以sin α，问题化为证明 2sin αsin2α≤1+cos α.而 2sin αsin2α=4sin αcos 2α=4(1-cos 2α)cos α=4(1-cos α)(1+cos α)cos α ∴问题又化为证明不等式(1+cos α)[4(1-cos α)cos α-1]≤0，即（1+cos α)⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--221cos 4α≤0，∴不等式得证. ∵0απ<<,∴等号成立当且仅当cos α-21=0 即3πα=.九、（本题满分18分）解：设圆心为(,0)A m ，则圆的方程为22()1x a y -+=.设圆与抛物线的一个交点为000(,)(0)P x y x ≥，则00AP y k x a=-，圆A 在点P 处的切线斜率为010x ak y -=-，抛物线在P 点处的切线斜率201k y =.由在P 点处抛物线的切线与圆的切线垂直得0120011x a k k y y -=-⋅=-，即 200y x a =-.…………①由00(,)P x y 是圆与抛物线的交点得 2002y x = , ………………②2200()1x a y -+= . …………③ 由①，②式消去0y ,得0x a =-,将②代入③，得200()21x a x -+=, 将0x a =-代入，得24210a a --=，∴a =或a =.所求圆的方程为22(1x y +=.由对称性，圆与抛物线的另一交点00(,)x y -处的切线也互相垂直. 附加题（成绩不计入总分，只作参考）解：消去参数，得l ：;b mx y +=E ：.1)1(222=+-y ax 消去y ，整理得01)1(2)1(2222222=+-+-++a b a x mb a x m a 由条件知l ，E 有交点，∴22222224(1)4(1)(1)0a mb a m a b a ∆=--+-+≥，即.0)1(2)1(222≥-+--b bm m a对任意m 的值，要使这个不等式恒成立，条件是222210,(1)(1)0;a b a b ⎧->⎪⎨---≤⎪⎩或210,0.a b ⎧-=⎨=⎩即||1,a b >⎧⎪⎨≤≤⎪⎩或||1,0.a b =⎧⎨=⎩ 即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≥.||1||1,1||22a a b a a a 即所求的条件.（注：也可数形结合，由点(0,)P b 在椭圆E 内或E 上求解）1981年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案满分120分，120分钟一、（本题满分6分）解：1.A∪B={实数},2.A∩B=φ.二、（本题满分6分）解：1.选举种数2412P=（种）.所有可能的选举结果：,,,,,AB AC AD BC BD CD，,,,,,BA CA DA CB DB DC.2.选举种数C43=4（种）.所有可能的选举结果：,,,ABC ABD ACD BCD.三、（本题满分8分）解：1.必要条件 2.充分条件3.充分条件4.充要条件四、（本题满分8分）证（一）：解析法：如图①，以C为原点，边CB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设B点的坐标为(,0)a，点A的坐标为(cos,sin)b C b C，则AB==2222cosc a b ab C=+-.同理可证2222cosa b c bc A=+-,2222cosb ac ac B=+-.证（二）：如图②，当ABC∆是直角三角形时，222222cosc a b a b ab C=+=+-.①②如图③，当ABC∆是锐角三角形时，sinAD b A=，cosBD BC CD a b C=-=-，在Rt ABD∆中，由勾股定理得222AB AD BD=+22(sin)(cos)b C a b C=+-，即2222cosc a b ab C=+-.③④如图④，当ABC∆是钝角三角形时，sinAD b C=cosBD CD CB b C a=-=-，在Rt ABD∆中，由勾股定理得222AB AD BD=+22(sin)(cos)b C b AC a=+-，即2222cosc a b ab C=+-.另外两个等式可以类似证明.五、（本题满分10分）解：x a b c x xa xbc x xa b x c a b x c---=----2000()0xx x x x a b ca ab x c==--->-+-，原不等式解是x a b c>++，且0x≠.六、（本题满分10分）用数学归纳法证明等式23sin cos cos cos cos22222sin2nnn x x x x xx ⋅⋅⋅⋅=对一切自然数n都成立.证：略七、（本题满分15分）解：1.所求人口数x（亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lg x=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿) .2．设人口每年比上年平均递增率最高是y %，按题意得10×（1+y %)20≤12，（1+y %)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y %)≤lg1.2，即 lg(1+y %)≤0.00396，∴1+y %≤1.0092, y %≤0.0092. 答：略八、（本题满分17分）解：1.在平面P 内作直线AD ⊥a 于点D ；在平面Q 内，作直线BE ⊥a 于点E ，从点D 作a 的垂线与从点B 作a 的平行线∴∠ABC 等于AB 和a 所成的角∠ADC 为两面角P a Q --的平面角，∴∠ADC =1200AD =2，BCDE 为矩形，∴CD =BE =4.连接AC ，由余弦定理得.72=AC 又因AD ⊥a ,CD ⊥a ,所以a 垂直于△ACD 所在的平面BC ∥a 得知BC 垂直于△ACD 所在的平面，∴BC ⊥AC 在直角△ABC 中，,57sin ==∠AB AC ABC 57arcsin =∠∴ABC .2．在△ACD 所在的平面内，作AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F因为△ACD 所在的平面⊥平面Q ， ∴AF ⊥平面Q在△ADE 中，∠ADE =600，2AD =， ∴AF =360sin 2=︒ 连接BF ，于是∠ABF 是AB 和平面Q 所成的角，而△ABF 为直角三角形，所以.103arcsin .103sin =∠==∠ABF AB AF ABF 九、（本题满分18分）解：1．①当直线l 的斜率不存在时，(2,0)P ． ②当直线l 的斜率为k 时，直线l 的方程为(2)1y k x =-+, …(1) 将（1）式代入双曲线方程，得[]22(2)112k x x -+-=，即2222(2)(42)4430k x k k x k k -+--+-=．… （2）又设111222(,),(,),(,)P x y P x y P x y ，则12,x x 是方程（2）的两个实根，且).02(22422221≠---=+k k k k x x由题意得212212()22k kx x x k -=+=-，122y y y +=12212(21)(4)122k k x x k -=+-+=-，显然2,0x y ==不能同时成立．由,x y 的表达式相除后消去k 得2214()8(1)21(277y x x ---=≠，且 0)y ≠．由①，②可得点P 的轨迹方程为2214()8(1)2177y x ---=． 2．设过点B 的直线方程为(1)1x t y =-+,代入双曲线方程2212y x -=得O F E DC B A []22(1)112y t y -+-=，即222(21)4(1)240t y t t y t t ---+-=（3）设133244(,),(,)Q x y Q x y ，则34,y y 是方程（3）的两个实根，且3424(1)21t t y y t -+=-如果B 是12Q Q 的中点，就有3424(1)21t t y y t -+=-=2，即12t =，代入（3）得1y =，从而1x =，∴ 12,Q Q 重合于点于点，∴满足题设中条件的直线不存在. 十、（附加题，本题满分20分，计入总分）证：由条件得122(1)k k k k kk u a a b a b b --=-+-+-=ba b a k k k +--+++111)1(由条件可得1a b AC BC AC AF FC -=-=-==, 21ab AC BC CD ===.∴1112(1)n n n n a b u a b------=+111(1)=n n n a b ab a b -----+1(1)n n n a b ab a b---=+，1(1)n n nn a b u a b---=+(1)()n n na b a b a b--=-+111(1)(1)n n n n n n a a b ab b a b+++-----=+∴11112(1)n n n n n n a b u u u a b+++----+==+.1982年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案满分120分，120分钟一、（本题满分6分）解：1．{}0；2．R ；3．R ；4．[]1,1-； 5．(0,)+∞；6．R 二、（本题满分8分）解：1.第15项146141520(1)()T C i =- 62038760C =-=-.2.122cos sin ()sin 33333x x x xy ''=-=- .三、（本题满分9分）解：1. 由已知条件得2360x y --=，图形是直线.2.由已知条件得,14)1(22=+-y x 图形是椭圆.四、（本题满分12分）解：设圆柱体半径为r 高为 (0)h h H <<. 由已知条件知△ACD ∽△AOB ， ∴H h rH R -=，即 ()Rr H h H=-，∴圆柱体体积2222()()R V h r h H h h H ππ==-.∵0h H <<， ∴22()422R H h H hV h h Hπ--=⋅⋅⋅⋅2322442727R H R H H ππ≤⋅⋅=，N MP (ρ,θ)BA O x KRQ PN M DCBA当且仅当2H h h -=，即3Hh =时， ()V h 最大，且2max 4()27V h R H π=.（注：可以用求导方法求解）五、（本题满分15分）解一：当1a >时，|log (1)|log (1)a a x x -=--，|log (1)|log (1)a a x x +=+，|log (1)||log (1)|a a x x --+ [log (1)log (1)]a a x x =--++2log (1)a x =--，∵1a >，01x <<，∴2011x <-<，∴2log (1)0a x -->， ∴|log (1)||log (1)|a a x x ->+. 当01a <<时，|log (1)|log (1)a a x x -=-， |log (1)|log (1)a a x x +=-+，2|log (1)||log (1)|log (1)a a a x x x --+=-. ∵1a >，01x <<，∴2011x <-<， ∴2log (1)0a x ->，∴|log (1)||log (1)|a a x x ->+. ∴当01,0,1x a a <<>≠时， |log (1)||log (1)|a a x x ->+.解二：|log (1)||log (1)|a a x x -+1log (1)|log (1)|log (1)a x a x x x +-==-+∵01x <<，∴11,011x x +><-<，2011x <-<， ∴|log (1)||log (1)|a a x x -+ 11|log (1)|log (1)x x x x ++=-=--11211log log 11x x xx x +++==--211log (1)1x x +=-->，∴|log (1)||log (1)|a a x x ->+.六、（本题满分16分）解：设P 的极点坐标为(,)P ρθ，则 ∠POM =αθ-， ∠NOP αθ=+，cos()OM ραθ=-， sin()PM ραθ=-, cos()ON ραθ=+， sin()PN ραθ=+. 1122PMON S OM PM ON PN =⋅+⋅四边形2[cos()sin()2ραθαθ=-- cos()sin()]αθαθ+++，由题意得2[cos()sin()2ραθαθ--2cos()sin()]c αθαθ+++=，即222cos 2sin 2c ρθα=，22222(cos sin )sin 2c ρθθα-=.令cos ,sin x y ρθρθ==，将上面极坐标方程化为普通方程为2222sin 2c x y α-=.这个方程表示双曲线由题意知，动点P 的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB 内的一部分. 七、（本题满分16分）证：连结AC ，在△ABC 中， ∵,AM MB CN NB ==， ∴MN ∥AC . 在△ADC 中， ∵AQ QD =， CP PD =， ∴PQ ∥AC ， ∴MN ∥QP .A 3A 2A 1x 2=2qyy 2=2px x yO 同理，连接BD 可证MQ ∥NP ， ∴MNPQ 是平行四边形.取AC 的中点K ，连,BK DK . ∵AB BC =C ，∴BK ⊥AC ， ∵AD DC =，∴DK ⊥AC . ∴平面BKD 与AC 垂直.∵BD 在平面BKD 内，∴BD ⊥AC . ∵MQ ∥BD ，QP ∥AC ， ∴MQ ⊥QP ，即∠MQP 为直角. ∴MNPQ 是矩形. 八、（本题满分18分）解：不失一般性，设0,0p q >>. 又设22y px =的内接三角形顶点为111222333(,),(,),(,)A x y A x y A x y ，则2221122332,2,2y px y px y px ===.其中123,,y y y 互不相等，且1230y y y ≠. 由题意知，不妨设1223,A A A A 与抛物线22x qy =相切，要证13A A 也与抛物线22x qy =相切.∵12A A 与22x qy =相切， ∴12A A 不能与y 轴平行，即1212,x x y y ≠≠. ∴直线12A A 的方程是211121()y yy y x x x x --=--21112221212()()22y y p x x x x y y y y p p-=-=-+-，即 2111()()2()y y y y p x x +-=-， 2112()20y y y px y y +--=， ∴直线12A A 的方程是2112()20y y y px y y +--=.………①同理可得：直线23A A 的方程是2323()20y y y px y y +--=. 直线13A A 的方程是1313()20y y y px y y +--=.①与22x qy =联立得22112()420y y x pqx qy y +--=，……②由条件知方程②有两个相等的实根，222112168()0p q q y y y y ∆=++=，即221122()0p q y y y y ++=.………③由边23A A 与抛物线22x qy =相切，同理可得223232()0p q y y y y ++=.…………④由③-④得21122323()()0y y y y y y y y +-+=，即 1230y y y ++=.直线13A A 的方程与抛物线方程22x qy =联立得21313()420y y x pqx qy y +--=， 221313168()p q q y y y y ∆=++ 222112168()p q qy y y y =---222112168()0p q qy y y y =++=，∴直线13A A 与抛物线22x qy =相切， ∴只要1223,A A A A 与抛物线22x qy =相切，则13A A 也与抛物线22x qy =相切. 九、（附加题，本题满分20分，计入总分）解：1.∵11,n n a p a pa -==， ∴n n a p =.又1b q =,11(2)n n n b qa rb n --=+≥ ，22211()()q p r b qa rb q p r p r -=+=+=-, 3322322()()q p r b qa rb q p pr r p r-=+=++=-,… 猜想121()()n n n n n n q p r b q p p r r p r----=+++=-.用数学归纳法证明：当2n =时结论显然成立;假设当(2,)n k k k N =≥∈时，等式成立，即,)(rp r p q b k k k --=则1()k k kk k k rq p r b qa rb qp p r+-=+=+-11()k k q p r p r++-=-，即1n k =+时等式也成立. 所以对于一切自然数2n ≥，rp r p q b n n n --=)(都成立. 2．0,0q p r ≠>>，01rp<<.()n n n n q p r -=n n n =[1()]n n r q -==1983年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案满分120分，120分钟一、（本题满分10分）1．D 2．A 3．D 4．C 5．C 二、（本题满分12分）解：1.图形如下图所示.交点坐标是：(0,0),(1,1)O P -.2．曲线名称是：圆.图形如上所示. 三、（本题满分12分）解：1.(2cos2sin 2)x dy e x x dx -=- .2．)(1003416242614种=+⋅+⋅C C C C C ，或：)(1002012036310种=-=-C C .四、（本题满分12分）解：把第一列乘以ϕsin 加到第2列上，再把第三列乘以)cos (ϕ-加到第2列上，得sin cos()cos cos sin()sin sin cos 2cos ααϕαββϕβϕϕϕ+- sin cos()cos()cos cos sin()sin()sin sin cos 2cos 2cos ααϕαϕαββϕβϕβϕϕϕϕ+-+=----sin 0cos cos 0sin 0sin 0cos ααββϕϕ==. 五、（本题满分15分）解：1.∵i t t z |sin ||cos |+=（其中t 是实数），∴||r z ===αF 2F 1A 2A 1N My x OS N ABCMD≤∴42≤r .2. ∵复数i t t z |sin ||co s |+=的实部与虚部都是非负数，∴z 的幅角主值θ一定适合20π≤θ≤.由04πθ≤≤得01tg θ≤≤.由已知复数得0||≠=z r .∵tg θ==∴0||1tg θ≤≤，即11tgt -≤≤，∴()44k t k k Z ππππ-≤≤+∈.这就是所求的实数t 的取值范围. 六、（本题满分15分）证：由已知条件知，SN ⊥底面ABC ，NC 是斜线SC 在底面上的射影，AB ⊥NC ， ∴AB ⊥SC .……① 连接DM .∵AB ⊥DC ，AB ⊥SC ，∴AB ⊥面SCD ，又∵DM ⊂面SCD ，∴AB ⊥DM .∴∠MDC 是截面MAB 与底面ABC 所成二面角的平面角， ∴∠MDC =∠NSC在△MDC 和△NSC 中，因为∠MDC =∠NSC ，∠DCS 是公共角，∴∠DMC =∠NSC =900， ∴DM ⊥SC ，……②∴由①，②得 SC ⊥截面MAB . 七、（本题满分16分）解一：以椭圆焦点1F 为极点，射线12F F 为极轴建立极坐标系.由已知条件可知椭圆长半轴3a =，半焦距c =短半轴1b =，离心率e =左准线方程为4x =-, ∴焦点1F到左准线的距离p =， ∴椭圆的极坐标方程为θ-=θ-=ρcos 2231cos 1e ep .∴11||F M ρ==，22||F N ρ==，∴由1226||298cos MN ρρα=+==-得cos 2α=±，即6πα=或56πα=， ∴当6π=α或65π=α时，|MN |等于短轴的长.解二：以椭圆的中心为原点，12F F 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图）.由已知条件可知椭圆长半轴3a =，半焦距c =1b =，∴椭圆的方程为2219x y +=. 当2πα=时，易求得|MN |223≠，∴2πα≠.设直线MN 的方程为)()22(α=+=tg k x k y 其中.解方程组221,9(x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得0)18(9236)91(2222=-+++k x k x k .设1122(,),(,)M x y N x y ，则12,x x 是上述方程的两个根，且221212229(81),1919k x x x x k k -+=-=++，∴||MN ==222266661919k tg k tg αα++==++. 下同解法一.解三：建立直角坐标系得椭圆方程2219x y +=. 如解二.MN 所在直线的参数方程为cos (sin x t t y t αα⎧=-⎪⎨=⎪⎩是参数），代入椭圆方程得222(cos 9sin ))10t t ααα+--=. 设12,t t 是方程两根，则由韦达定理，1222cos 9sin t t ααα+=+， 12221cos 9sin t t αα-=+，12||||MN t t =-=226cos 9sin αα=+ 下同解一.解四：设|1F M |=x ,则 |2F M |=6x-|12F F |=24，21F F M α∠=，在△21F F M 中，由余弦定理得222(6)cos x x α-=+-，即cos 310x α-+=，∴α-=cos 2231x .同理，设|1F N |=y ，则|2F N |=6y -，在△21F F N 中，由余弦定理得222(6)cos()y y πα-=+--，即3cos 1y α+=，∴y =.∴||MN x y =+= 2698cos α=-. 下同解一. 八、（本题满分16分）解：1.由已知条件得110S a b ==≠且1(1)n n S bp n -=≥.∵当2n ≥时，121n n n n S a a a S a -=+++=+ ,∴21(1)(2)n n n n a S S bp p n --=-=-≥，∴),2()1()1(211≥=--=--+n p p bp p bp a a n n n n∴234,,,,,n a a a a 是一个公比为p 的等比数列.2.解：当2n ≥时，,)1()1(212111p bpp bp bp p bp S a S a n n n n n n n n =--=---++ 且由已知条件可知21p <， ∴数列2233,,,,n n a S a S a S 是公比为2p 的无穷递缩等比数列， ∴2233lim()n n n a S a S a S →∞+++222222(1)111a S b p p b pp p p-===---+. ∴1122lim lim()n n n n n W a S a S a S →∞→∞=+++112233lim lim()n n n n a S a S a S a S →∞→∞=++++22211b p b b p p=-=++.九、（本题满分12分）解：1.当e a b <<时，要证baa b >，只要证ln ln b a a b >，即只要证bba a ln ln >. 构造函数ln ()(0)xf x x x=<<+∞，则21l n ()x f x x -'=.当e x >时，21ln ()0xf x x-'=<， ∴函数ln ()(,)xf x e x=+∞在内是减函数. ∵e a b <<，∴()()f a f b >，即bba a ln ln >， ∴b a a b >.2.证一：由b aa b =，得ln ln b a a b =，即 bba a ln ln =. 构造函数ln ()(0)xg x x x=<<+∞，则 21ln ()xg x x -'=.∴在(0,1)内()0g x '>， ∴()g x 在(0,1)内是增函数. ∵01,0a b <<>,∴1ba <,1abb a =<.由1a b <及0a >,可推出1b <.由01,01a b <<<<,假如b a ≠，则根据()g x 在(0,1)内是增函数，得()()g a g b ≠，即bba a ln ln ≠，从而ab b a ≠这与b aa b =矛盾. ∴a b =.证二：∵01a <<，b aa b =，∴,log log b a a b a a =即aba log =假如a b <，则1>ab，且log log 1a a b a <=， ∴log a b b a >，这与log a bb a =矛盾. ∴a b ≥.假如a b >，则1<ab，且log log 1a a b a >=，这也与b aba log =矛盾，∴a b ≤， ∴a b =.证三：假如a b <，则可设ε+=a b ，其中0ε>.由于01a <<, 0ε>,∴根据幂函数或指数函数的性质，得1<εa ，1)1(>ε+a a ，∴ (1)a a a εε<+，(1)a aa a a a aεε<+，()a a a a εε+<+，即b a a b <.这与baa b =矛盾， ∴a 不能小于b .假如a b >，则1a b >>，可设a b ε=+,其中0ε>,同上可证得b aa b <.这于b aa b =矛盾所以a 不能大于b . ∴a b =.011O y x2O x c b a γβαpc b a γβα1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案（共八道大题，满分120分.第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一、（本题满分15分）解：1-5 CCBAB 二、（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．答：.84ππ或 2.答：(,2)-∞-.3．答：7{|,}12x x n n Z ππ=+∈ {|,}12x x n n Z ππ⋃=-+∈.4．答：-20. 5．答：0. 6．答：!647⋅P . 三、（本题满分12分）本题只要求画出图形.解：1． 2 ．四、（本题满分12分）证：设三个平面为,,αβγ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α ∵,c b αβαγ⋂=⋂=， ∴,c b αα⊂⊂，∴从而b 与c 或交于一点或互相平行.1．若b 与c 交于一点，设c b P ⋂=，则由P c ∈，且c β⊂，有P β∈；又由P b ∈，且b γ⊂，有P γ∈， ∴P a βγ∈⋂=，即,,a b c 交于一点（即P 点）.2.若c ∥b ,则由b γ⊂，有//c γ；又由c β⊂，且a βγ⋂=知，//c a∴ ,,a b c 互相平行. 五、（本题满分14分）设,,c d x 为实数，0c ≠，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xd cx 在什么情况下有解，有解时求出它的解.解：原方程有解的充要条件是：10, (1)0, (2)1, (3)(). (4)x d cx x d cx x d cx x x ->⎧⎪⎪+>⎪⎪⎨+≠⎪⎪⎪+=⎪⎩由条件（4）知1)(=+xdcx x ，∴ 12=+d cx .由0c ≠，可得21d x c-=.又由1)(=+x dcx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中.再由条件（3）及1)(=+xdcx x ，知.1≠x ∴原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①0,1c d ><;②0,1c d <>.再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1 从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它。

1983年高考数学全国卷理科及其参考答案

1981年高考数学全国卷（理科）及其参考答案（这份试题共九道大题，满分120分）一．（本题满分10分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得2分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分1．两条异面直线，指的是（ D ）（A ）在空间内不相交的两条直线（B ）分别位于两个不同平面内的两条直线（C ）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线（D ）不在同一平面内的两条直线2．方程x 2-y 2=0表示的图形是（ A ）（A ）两条相交直线（B ）两条平行直线（C ）两条重合直线（D ）一个点3．三个数a ,b ,c 不全为零的充要条件是（ D ）（A ）a ,b ,c 都不是零（B ）a ,b ,c 中最多有一个是零（C ）a ,b ,c 中只有一个是零（D ）a ,b ,c 中至少有一个不是零4．设,34π=α则)arccos(cos α的值是（ C ）（A ）34π （B ）32π- （C ）32π （D ）3π5．3.0222,3.0log ,3.0这三个数之间的大小顺序是（ C ）（A ）3.0log 23.023.02<< （B ）3.02223.0log 3.0<< （C ）3.02223.03.0log << （D ）23.023.023.0log <<二．（本题满分12分）1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程,x y -=y x -=的图形，并写出它们交点的坐标2．在极坐标系内，方程θ=ρcos 5表示什么曲线？画出它的图形解：1.图形如左图所示交点坐标是：O （0，0），P （1，-1） 2．曲线名称是：圆图形如右所示三．（本题满分12分） 1．已知x e y x 2sin -=，求微分dy2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法解：1.dx x e x e dx x e dy x x x ]2sin )()2(sin [)2sin ('+'='=---.)2sin 2cos 2()2sin 2cos 2(dx x x e dx x e x e x x x -=-=---2．)(1003416242614种=+⋅+⋅C C C C C 或：)(1002012036310种=-=-C C四．（本题满分12分）计算行列式（要求结果最简）：PXβϕ-ββαϕ+ααsin )sin(cos cos )cos(sin解：把第一列乘以ϕsin 加到第2列上，再把第三列乘以)cos (ϕ-加到第2列上，得0cos 0sin sin 0cos cos 0sin cos 2cos 2cos sin sin )sin()sin(cos cos )cos()cos(sin =ϕϕββαα=ϕϕ-ϕϕβϕ-β-ϕ-ββαϕ+α-ϕ+αα=原式五．（本题满分15分）1．证明：对于任意实数t ，复数i t t z |sin ||cos |+=的模||z r = 适合≤r 2．当实数t 取什么值时，复数i t t z |sin ||cos |+=的幅角主值θ适合40π≤θ≤？ 1．证：复数i t t z |sin ||cos |+=（其中t 是实数）的模||z r =为.|sin ||cos |)|sin |()|cos |(22t t t t r +=+=要证对任意实数t ，有42≤r ，只要证对任意实数t ，2|sin ||cos |≤+t t 成立对任意实数t ，因为1|sin ||cos |22=+t t ，所以可令|,sin |sin |,cos |cos t t =ϕ=ϕ且)2,0(π∈ϕ，于是.2)4sin(2sin cos |sin ||cos |≤π+ϕ=ϕ+ϕ=+t t2．因为复数i t t z |sin ||cos |+=的实部与虚部都是非负数，所以z 的幅角主值θ一定适合20≤θ≤从而.1040≤θ≤⇔π≤θ≤tg 显然||≠=z r 因为.111||010,|||cos ||sin |≤≤-⇔≤θ≤⇔≤θ≤==θtgt tg tg tgt t t tg 所以由于).(4411,,22为任意整数的解是因此并且它的周期是内是增函数在k k t k tgt t tgt y π+π≤≤π-π≤≤-ππ<<π-=这就是所求的实数t 的取值范围六．（本题满分15分）如图，在三棱锥S-ABC 中，S 在底面上的射影N 位于底面的高CD 上;M 是侧棱SC 上的一点，使截面MAB 与底面所成的角等于∠NSC ，求证SC 垂直于截面MAB证：因为SN 是底面的垂线，NC 是斜线SC 在底面上的射影，AB ⊥NC ，所以AB ⊥SC （三垂线定理）连结DM 因为AB ⊥DC ，AB ⊥SC ，所以AB 垂直于DC 和SC 所决定的平面又因DM 在这个平面内，所以AB ⊥DM∴∠MDC 是截面与底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC在△MDC 和△NSC 中，因为∠MDC=∠NSC ，∠DCS 是公共角，所以∠DMC=∠SNC=900从而DM ⊥SC 从AB ⊥SC ，DM ⊥SC ，可知SC ⊥截面MAB七．（本题满分16分）如图，已知椭圆长轴|A 1A 2|=6，焦距|F 1F 2|=24，过椭圆焦点F 1作一直线，交椭圆于两点M ，N 设∠F 2F 1M=α（0≤α＜π）当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？SM P C A N D B解一：以椭圆焦点F 1为极点，以F 1为起点并过F 2的射线为极轴建立极坐标系由已知条件可知椭圆长半轴a=3，半焦距c=22，短半轴b=1，离心率e=322，中心到准线距离=429, 焦点到准线距离p=42.椭圆的极坐标方程为 θ-=θ-=ρcos 2231cos 1e ep.2cos 896||,cos 2231||.cos 2231||2212211=α-=ρ+ρ=α+=ρ=α-=ρ=∴MN N F M F解得.656.22cos π=απ=α∴±=α或以上解方程过程中的每一步都是可逆的，所以当6π=α或65π=α时，|MN|等于短轴的长解二：以椭圆的中心为原点，F 1F 2所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为.1922=+y xMN 所在直线方程为)()22(α=+=tg k x k y 其中解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+)22(1922x k y y x消去y 得0)18(9236)91(2222=-+++k x k x k .Xα+α+=++=++++=-+-=22222222222122191669166)91()1(36)1(36)()(||tg tg k k k k k k y y x x MN下同解法一解三：建立坐标系得椭圆如解二， MN 所在直线的参数方程为)(sin cos 22是参数t t y t x ⎩⎨⎧α=α+-=代入椭圆方程得 .01)cos 24()sin 9(cos 222=-α-α+αt t设t 1,t 2是方程两根，则由韦达定理，.sin 9cos 64)(||||.sin 9cos 1,sin 9cos cos 2422212212122212221α+α=-+=-=α+α-=α+αα=+t t t t t t MN t t t t下同解一解四：设|F 1M|=x ,则|F 2M|=6-x |F 1F 2|=24，∠F 2F 1M=α在△MF 1F 2中由余弦定理得13cos 22,cos 28)24()6(222=+-αα-+=-x x x x xα-=cos 2231x同理，设|F 1N|=y ，则|F 2N|=6-y 在△F 1F 2N 中，由余弦定理得.cos 896cos 2231cos 2231||,cos 2231,1cos 223).cos(28)24()6(2222α-=α++α-=α+==α+α-π-+=-MN y y y y y y下同解一已知数列{a n }的首项a 1=b(b ≠0），它的前n 项的和S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),并且S 1，S 2，S n ，…是一个等比数列，其公比为p （p ≠0且|p|＜1）1．证明：a 2,a 3,a 3,…a n ,…(即{a n }从第二项起）是一个等比数列2．设W n =a 1S 1+a 2S 2+a 3S 3+…+a n S n (n ≥1),求n n W ∞→lim（用b,p 表示）1．证：由已知条件得S 1=a 1=b.S n =S 1p n-1=bp n-1(n ≥1）因为当n ≥2时，S n =a 1+a 2+…+a n-1+a n =S n-1+a n ,所以 a n =S n -S n-1=bp n-2(p-1)(n ≥2)从而),2()1()1(211≥=--=--+n p p bp p bp a a n n n n 因此a 2,a 3,a 3,…a n ,…是一个公比为p 的等比数列2．解：当n ≥2时，,)1()1(212111p bpp bp bp p bp S a S a n n n n n n n n =--=---++ 且由已知条件可知p 2<1，因此数列a 1S 1，a 2S 2，a 3S 3，…a n S n …是公比为p 2<1的无穷等比数列于是.11)1(1)(lim 2222223322p p b pp p b p S a S a S a S a n n n +-=--=-=+++∞→ 从而)(lim lim )(lim lim 332211332211n n n n n n n n n S a S a S a S a S a S a S a S a W ++++=++++=∞→∞→∞→∞→.11222pb p p b b +=+-=1．已知a,b 为实数，并且e<ab a . 2.如果正实数a,b 满足a b =b a .且a<1，证明a=b1．证：当e<ab a ，只要证blna>alnb,即只要证b ba a ln ln > 考虑函数0(ln +∞<<=x xxy 因为但e x >时， ,0ln 12<-='x x y 所以函数),(ln +∞=e x x y 在内是减函数因为e<a，即得ab >b a 2．证一：由a b =b a ，得blna=alnb ，从而bba a ln ln = 考虑函数)0(ln +∞<<=x xxy ，它的导数是 .ln 12x x y -='因为在（0，1）内0)(>'x f ，所以f(x)在（0，1）内是增函数由于0<a<1,b>0,所以a b <1,从而b a =a b <1.由b a <1及a>0,可推出b<1.由0<a<1,0<b<1,假如b a ≠，则根据f(x)在（0，1）内是增函数，得)()(b f a f ≠，即bba a ln ln ≠，从而ab b a ≠这与a b =b a 矛盾所以a=b证二：因为0<a<1，a b =b a ，所以,log log b a a b a a =即aba log =假如aab，但因a<1，根据对数函数的性质，得b abb a b a b a a a a log ,log ,1log log =>=<这与从而矛盾所以a 不能小于b假如a>b ，则1<a b ，而1log >b a ，这也与b ab a log =矛盾所以a 不能大于b 因此a=b证三：假如a0由于0<a<1,ε>0,根据幂函数或指数函数的性质，得1<εa 和1)1(>ε+a a，所以 ,)(,)1(,)1(a a a a a a a a aa a a a a ε+<ε+<ε+<ε+εε 即ab 0,同上可证得a b <b a .这于a b =b a 矛盾a 不能大于b因此a=b。

1981年高考作文

1981年全国普通高等学校招生统一考试

1981年全国普通高等学校招生统一考试物理一、(18分)本题分6个小题．每小题提出了四个答案,其中只有一个是正确的．选出你认为正确的答案,把它的号码填写在本小题后的方括号内．每小题选出正确答案的,得3分;选错的,得-1分;不答的,得0分．每小题只许选一个答案．如果写了两个答案,不论写在括号内或括号旁,本小题得-1分．(1)如图,在光滑的水平桌面上有一物体A,通过绳子与物体B相连．假设绳子的质量以及绳子与定滑轮之间的摩擦力都可忽略不计,绳子不可伸长．如果物体B的质量是物体A的质量的3倍,即m B=3m A,那么物体A和B 的加速度的大小等于:(2)在光滑的水平桌面上放一物体A,A上再放一物体B,A、B间有摩擦．施加一水平力F于B,使它相对于桌面向右运动．这时物体A相对于桌面:答( ) (3)平行板电容器,其两板始终保持和一直流电源的正、负极相连接,当两板间插入电介质时,电容器的带电量和两板间的电势差的变化是:1．带电量不变,电势差增大．2．带电量不变,电势差减小．3．带电量增大,电势差不变．4．带电量减小,电势差不变．(4)把一个架在绝缘支座上的导体放在负电荷形成的电场中,导体处于静电平衡时,导体表面上感应电荷的分布如图所示,这时导体:1．A端的电势比B端的电势高．2．A端的电势比B端的电势低．3．A端的电势可能比B端的电势高,也可能比B端的电势低．4．A端的电势与B端的电势相等．(5)一段粗细均匀的镍铬丝,横截面的直径是d,电阻是R．把它拉制成直径是2．10000R4．100R(6)假设火星和地球都是球体,火星的质量M火和地球的质量M地之比M火/M地=p,火星的半径R火和地球的半径R地之比R火/R地=q,那么火星表面处的重力加速度g火和地球表面处的重力加速度g地之比g火/g地等于:1．p/q2．2．pq2．3．p/q 4．pq二、(24分)本题分6个小题,每小题4分．把正确答案填写在题中空白处(不要求写出演算过程)．(1)1标准大气压= 毫米水银柱= 帕斯卡(即牛顿/米2)(水银的密度ρ=13．6克/厘米3,重力加速度g=9．81米/秒2．本题答案要求取三位有效数字)．(2)一照相机,用焦距f=0．20米的凸透镜做镜头,用来为一个站立在镜头前4．2米处的儿童照相时,底片应该离镜头米,底片上像的高度和儿童的身高之比是1: ．(3)把5欧姆的电阻R1和10欧姆的电阻R2串联起来,然后在这段串联电路的两端加15伏特的电压,这时R1消耗的电功率是瓦特,R2消耗的电功率是瓦特．把R1和R2改为并联,如果要使R1仍消耗与原来同样大小的电功率,则应在它们两端加伏特的电压,这时R2消耗的电功率是瓦特．(4)右下图是一列沿x轴正方向传播的机械横波在某一时刻的图像．从图上可看出,这列波的振幅是米,波长是米,P处的质点在此时刻的运动方向．(5)质量是m的质点,以匀速率v作圆周运动,圆心在坐标系的原点O．在质点从位置1运动到位置2(如右图所示)的过程中,作用在质点上的合力的功等于;合力冲量的大小是,方向与x轴正方向成(逆时针计算角度)．三、(10分)(1)用游标卡尺(图1)测一根金属管的内径和外径时,卡尺上的游标位置分别如图2和图3所示．这根金属管的内径读数是厘米,外径读数是厘米,管壁厚是厘米．(2)用下图所示的天平称质量前,先要进行哪些调节?说明调节哪些部件和怎样才算调节好了．(3)用万用电表电阻挡判断一只PNP型晶体三极管的基极时,电表指针的偏转情况如下图所示．哪只管脚是基极?四、(10分)使一定质量的理想气体的状态按图1中箭头所示的顺序变化,图线BC是一段以纵轴和横轴为渐近线的双曲线．(1)已知气体在状态A的温度T A=300K,求气体在状态B、C和D的温度各是多少．(2)将上述状态变化过程在图2中画成用体积V和温度T表示的图线(图中要标明A、B、C、D四点,并且要画箭头表示变化的方向)．说明每段图线各表示什么过程．五、(10分)一光电管的阴极用极限波长λ0=5000埃的钠制成．用波长λ=3000埃的紫外线照射阴极,光电管阳极A和阴极K之间的电势差U=2．1伏特,光电流的饱和值I=0．56微安．(1)求每秒内由K极发射的电子数．(2)求电子到达A极时的最大动能．(3)如果电势差U不变,而照射光的强度增到原值的三倍,此时电子到达A极时的最大动能是多大?(普朗克恒量h=6．63×10-34焦耳·秒,电子电量e=1．60×10-19库仑,真空中的光速c=3．00×108米/秒．)六、(14分)用均匀导线弯成正方形闭合线框abcd,线框每边长8．0厘米,每边的电阻值为0．010欧姆．把线框放在磁感应强度为B=0．050特斯拉的匀强磁场中,并使它绕轴OO＇以ω=100弧度/秒的匀角速度旋转,旋转方向如图所示．已知轴OO＇在线框平面内,并且垂直于B,当线框平面转至和B平行的瞬时(如图所示):(1)每个边产生的感生电动势的大小各是多少?(2)线框内感生电流的大小是多少?在图中用箭头标出感生电流的方向．(3)e、f分别为ab和cd的中点,e、f两点间的电势差U ef(即U e-U f)是多大?七、(14分)在光滑水平面的两端对立着两堵竖直的墙A和B,把一根倔强系数是k的弹簧的左端固定在墙A上,在弹簧右端系一个质量是m的物体1．用外力压缩弹簧(在弹性限度内)使物体1从平衡位置O向左移动距离s,紧靠着1放一个质量也是m的物体2,使弹簧、1和2都处于静止状态,然后撤去外力,由于弹簧的作用,物体开始向右滑动．(1)在什么位置物体2与物体1分离?分离时物体2的速率是多大?(2)物体2离开物体1后继续向右滑动,与墙B发生完全弹性碰撞．B与O之间的距离x应满足什么条件,才能使2在返回时恰好在O点与1相遇?设弹簧的质量以及1和2的宽度都可忽略不计．1981年全国普通高等学校招生统一考试物理参考答案一、(1)〔3〕(2)〔2〕(3)〔3〕(4)〔4〕(5)〔2〕(6)〔1〕评分说明:全题18分,每小题3分．(1)每小题答案正确的给3分,答案错误的给-1分,未答的给0分．(2)每小题选择了两个或两个以上答案的,无论答案写在括号内或括号旁,都给-1分．(3)六个小题分数的代数和,如果是正数或0,这就是本题的得分;如果是负数,本题得分记作0．二、(1)760;1．01×105．评分说明:共4分．第一个答案正确的给2分．错误的给0分．第二个答案,正确的给2分;数量级和前两位有效数字正确而第三位有效数字有出入的,给1分;数量级不对的,给0分．(2)0．21;20评分标准:共4分．两个答案都要求准确到第二位有效数字．每个答案正确的给2分．错误的给0分．(3)5,10,5,2．5评分说明:共4分,每个答案正确的,给1分,错误的,给0分．(4)0．03,2,沿y轴正方向(或向上)．评分说明:共4分．前两个答案,正确的各给1分;错误的给0分．第三个答案正确的给2分;未用文字回答而画一向上箭头表示方向的,同样给2分;错误的给0分．评分说明:共4分．第一个答案1分．第二个答案,正确的给2分;错误的给0分．第三个答案,正确的给1分．评分说明:共4分．每个答案,正确的给2分;错误的给0分．三、(1)2．37,3．03,0．33．评分说明:共3分．每个答案,正确的给1分;错误的给0分．(2)要进行两步调节:1．使天平的底板B水平．调节螺旋S,直到重垂线Q的小锤尖端跟小锥体Z的尖端对正,这就表示底板水平了．2．使天平平衡．调节螺旋S＇,使指针D指在标尺K的中央,这就表示天平平衡了．评分说明:共4分．第一步调节,占2分;只答出要调节底板水平的,给1分;既答对调节S又答出调节好了的标志的,再给1分,二者缺一的,不再给分．第二步调节,也占2分;只答出要调节天平平衡的,给1分;既答对调节S＇又答出调节好了的标志的,再给1分,二者缺一的,不再给分．(3)管脚3是基极．评分说明:本小题3分．用文字答出管脚3是基极或在图中管脚3旁注明基极(或注明b)的,都给3分．不要求说明理由．四、(1)由P-V图上可知,气体在A、B、C、D各状态下的压强和体积分别为P A=4大气压,V A=10升;P B=4大气压;P C=2大气压,V C=40升;P D=2大气压,V D=20升．已知T A=300K,设气体在C、D各状态下的温度分别为T C、T D,则根据理想气体状态方程有:由此可求得:T C=600K;T D=300K．由于在P-V图上．图线BC是一段以纵轴和横轴为渐近线的双曲线,在这一状态变化过程中PV=常数,所以P B V B=P C V C由此可求得:由PV=常数,可断定BC是等温过程,设气体在状态B的温度为T B则:T B=T C=600K．(2)在V-T图上状态变化过程的图线如下:AB是等压过程,BC是等温过程,CD是等压过程．评分说明:全题10分．(1)3分,(2)7分．(1)中,每个答案,正确的给1分;数值错误的,给0分．数值正确而缺单位或单位错误的,无论在几个答案中出现,只扣1分．直接由P-V图上断定V B=20升,并正确求出T B的,同样给分．(2)中,A、B、C、D四个点,每个点正确标明的,各给1分．AB、BC、CD三条图线画正确并说明是什么过程的,各给1分;图线画对而未说明是什么过程的,各给0分;在图上未画箭头或三个箭头未画全的,扣1分．图上两个坐标轴每有一个未注明坐标分度值的,扣1分．五、(1)每秒内发射的电子数为:(2)每个光子的能量为:=6．63×10-19焦耳(b)钠的逸出功为:=3．98×10-19焦耳(c)每个电子在电场中被加速而获得的能量为:eU=1．60×10-19×2．1焦耳=3．36×10-19焦耳(d)根据能量守恒定律,电子的最大动能为:=(6．63-3．98+3．36)×10-19焦耳=6．01×10-19焦耳(或=3．76电子伏特)．(3)当光强增到3倍时,以上结果不变．评分说明:全题10分．(1)3分,(2)6分,(3)1分．(1)中,正确算出结果(a)的,给3分．单纯数字计算错误(包括数字正确而数量级错误)扣1分．(2)中,正确算出光子能量(b)的,给1分．正确算出逸出功(c)的,再给2分．正确算出电子在电场中获得的能量(d)的,再给1分．根据能量守恒关系正确算出电子最大动能的,再给2分．直接列出式(e)并算出正确结果的,同样给6分．如果考生根据爱因斯坦方程,正确算出电子离开K时的最大动能,即只漏去eU一项,把它当作本题答案的,给4分．单纯数字计算错误扣1分．数值正确而缺单位或单位错误的,扣1分．(3)中,答案正确的,给1分,六、(1)令l表示每边边长,R表示其电阻值,则l=0．08米,R=0．010欧姆,设cd段感生电动势的大小为ε1 ,ab段感生电动势的大小为ε2 ,则=×0．05×0．082×100伏特=0．024伏特．(a)da段和bc段不切割磁力线,所以它们的电动势都是零．(2)线框中的总电动势为:ε=ε1 +ε2 = 0．032伏特．(c)线框中的感生电流为:根据楞次定律或右手定则,可判断电流方向沿dcbad．(3)解法一:U e-U f是ebcf一段电路两端的电势差．它应等于eb段的路端电压U eb,bc段两端的电势差U bc与cf段的路端电压U cf的代数和,即:U ef=U eb+U bc+U cf．(e)=0伏特, (f)U bc=-IR=-0．8×0．010伏特=-0．008伏特(g)=0．008伏特, (h)所以:U ef=U eb+U bc+U cf(i)解法二:闭合电路dcbad中的总电动势等于总电势降落．在edcf一段电路中,电动势等于总电动势的一半;电阻等于总电阻的一半,因而电势降落是总电势降落的一半,于是,在这段电路中,电势升正好等于电势降．由此可见,两端的电势差等于零．评分说明:全题14分．(1)5分,(2)4分,(3)5分．(1)中,正确求出ε1和ε2的,各给2分;答出da和bc段电动势都是零的,合给1分;单纯数字计算错误扣1分;ε1和ε2的答案数值正确而缺单位或单位错误的,无论出现一次或二次,只扣1分．因把v=ωr的关系搞错而引起答案错误的,只扣1分．(2)中,正确算出总电动势(c)的,给1分;进一步正确算出电流(d)的,再给2分;直接求出结果(d)的,同样给3分;电流方向正确的再给1分;数值错误和单位错误的扣分同(1)中规定．(3)中,(e)、(f)、(g)和(h)各占1分;利用以上四式进一步正确算出结论(i)的,再给1分;不分步计算,直接正确列出(i)式并算出结果的,同样给5分;单纯运算错误的,扣1分．只有U ef等于零的结论,而无任何推算过程、无任何论述或论述错误的,均不给分．结论正确但论述不够清楚的,酌情给分．七、(1)到达平衡位置O前,1和2一起作加速运动．到O点后,1开始减速,2开始作匀速运动．因而2和1将在O点分离．到达O点前,把1、2和弹簧看作一个系统只有系统内的弹簧的弹性力作功,所以系统的机械能守恒,令v表示1和2到达O点时的速率,则有:这就是分离时物体2的速率．(2)分离后,在下一次相遇前,1以O点为平衡位置作简谐振动,振动的周期为:从1和2分离时开始计时,即令该时刻t=0,则1通过O点的时刻为:- 11 -过O 点后,2以匀速率v 向右作直线运动．与B 相碰时,由于碰撞是完全弹性的,碰撞后2的速率不变,运动反向．令x 表示B 与O 点间的距离,则2返回O 点的时刻为:如2恰好在O 点与1相遇,则:t 2=t 1． (d)将(b)、(c)两式代入(d),即得x 应满足的条件为:评分说明:全题14分．(1)4分,(2)10分．(1)中,答出在O 点分离的,给2分;列出机械能守恒方程并求出2的速率的,再给2分．(2)中,知道和2分离后1作简谐振动,并写出振动周期公式(a)的,给2分;正确列出1经过O 点的时刻t 1,即式(b)的,再给4分．对于t 1,只回答了n=1或n=2一次的,扣3分;只回答了n=1和n=2两次的,扣2分;只回答了n 为奇数或为偶数一种情形的,扣2分．由于这一步考虑不全面,导致本题最后答案不全的,后面不重复扣分．答出2与墙B 碰撞后,速率不变,运动反向的(不要求证明),给1分,又正确求出2返回O 点的时刻(c)的,再给1分．正确列出1和2在O 点相遇的条件,即(d)的,给1分;进一步求出距离x,即(e)的,再给1分．将(d)、(e)两步并作一步直接求出结果的,同样给2分．本题中的单纯演算错误,可视其对物理过程或最后结果的影响程度,酌情扣分．。

1981年全国统一高考数学试卷理科

对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

1981年全国普通高等学校招生统一考试

1981年全国普通高等学校招生统一考试物理一、选择题1．如图,在光滑的水平桌面上有一物体A,通过绳子与物体B相连．假设绳子的质量以及绳子与定滑轮之间的摩擦力都可忽略不计,绳子不可伸长．如果物体B的质量是物体A的质量的3倍,即m B=3m A,那么物体A和B的加速度的大小等于: (3)2．在光滑的水平桌面上放一物体A,A上再放一物体B,A、B间有摩擦．施加一水平力F于B,使它相对于桌面向右运动．这时物体A相对于桌面: (2)答( ) 3．平行板电容器,其两板始终保持和一直流电源的正、负极相连接,当两板间插入电介质时,电容器的带电量和两板间的电势差的变化是:(3)1．带电量不变,电势差增大．2．带电量不变,电势差减小．3．带电量增大,电势差不变．4．带电量减小,电势差不变．4．把一个架在绝缘支座上的导体放在负电荷形成的电场中,导体处于静电平衡时,导体表面上感应电荷的分布如图所示,这时导体: (4)1．A端的电势比B端的电势高．2．A端的电势比B端的电势低．3．A端的电势可能比B端的电势高,也可能比B端的电势低．4．A端的电势与B端的电势相等．5．一段粗细均匀的镍铬丝,横截面的直径是d,电阻是R．把它拉制成直径是(2)2．10000R4．100R6．假设火星和地球都是球体,火星的质量M火和地球的质量M地之比M火/M地=p,火星的半径R火和地球的半径R地之比R火/R地=q,那么火星表面处的重力加速度g火和地球表面处的重力加速度g地之比g火/g地等于: (1)1．p/q2． 2．pq2． 3．p/q 4．pq二、填空题7．质量是m的质点,以匀速率v作圆周运动,圆心在坐标系的原点O．在质点从位置1运动到位置2(如右图所示)的过程中,作用在质点上的合力的功等于 ;合力冲量的大小是 ,方向与x轴正方向成 (逆时针计算角度)．8．9．1标准大气压=760毫米水银柱=1．01×105帕斯卡(即牛顿/米2)(水银的密度ρ=13．6克/厘米3,重力加速度g=9．81米/秒2．本题答案要求取三位有效数字)．10．一照相机,用焦距f=0．20米的凸透镜做镜头,用来为一个站立在镜头前4．2米处的儿童照相时,底片应该离镜头0.21米,底片上像的高度和儿童的身高之比是1:20．11．右下图是一列沿x轴正方向传播的机械横波在某一时刻的图像．从图上可看出,这列波的振幅是0.04米,波长是2米,P处的质点在此时刻的运动方向沿y轴正方向．12．把5欧姆的电阻R1和10欧姆的电阻R2串联起来,然后在这段串联电路的两端加15伏特的电压,这时R1消耗的电功率是5瓦特,R2消耗的电功率是10瓦特．把R1和R2改为并联,如果要使R1仍消耗与原来同样大小的电功率,则应在它们两端加5伏特的电压,这时R2消耗的电功率是2.5瓦特．三、实验题13．用游标卡尺(图1)测一根金属管的内径和外径时,卡尺上的游标位置分别如图2和图3所示．这根金属管的内径读数是2.37厘米,外径读数是 3．03厘米,管壁厚是0.33厘米．14．用下图所示的天平称质量前,先要进行哪些调节?说明调节哪些部件和怎样才算调节好了．解析：要进行两步调节:1．使天平的底板B水平．调节螺旋S,直到重垂线Q的小锤尖端跟小锥体Z的尖端对正,这就表示底板水平了．2．使天平平衡．调节螺旋S＇,使指针D指在标尺K的中央,这就表示天平平衡了．评分说明:共4分．第一步调节,占2分;只答出要调节底板水平的,给1分;既答对调节S 又答出调节好了的标志的,再给1分,二者缺一的,不再给分．第二步调节,也占2分;只答出要调节天平平衡的,给1分;既答对调节S＇又答出调节好了的标志的,再给1分,二者缺一的,不再给分．15．用万用电表电阻挡判断一只PNP型晶体三极管的基极时,电表指针的偏转情况如下图所示．哪只管脚是基极?解析：管脚3是基极．评分说明:本小题3分．用文字答出管脚3是基极或在图中管脚3旁注明基极(或注明b)的,都给3分．不要求说明理由．四、计算题16．(14分)在光滑水平面的两端对立着两堵竖直的墙A和B,把一根倔强系数是k的弹簧的左端固定在墙A上,在弹簧右端系一个质量是m的物体1．用外力压缩弹簧(在弹性限度内)使物体1从平衡位置O向左移动距离s,紧靠着1放一个质量也是m的物体2,使弹簧、1和2都处于静止状态,然后撤去外力,由于弹簧的作用,物体开始向右滑动．(1)在什么位置物体2与物体1分离?分离时物体2的速率是多大?(2)物体2离开物体1后继续向右滑动,与墙B发生完全弹性碰撞．B与O之间的距离x应满足什么条件,才能使2在返回时恰好在O点与1相遇?设弹簧的质量以及1和2的宽度都可忽略不计．解析：(1)到达平衡位置O前,1和2一起作加速运动．到O点后,1开始减速,2开始作匀速运动．因而2和1将在O点分离．到达O点前,把1、2和弹簧看作一个系统只有系统内的弹簧的弹性力作功,所以系统的机械能守恒,令v表示1和2到达O点时的速率,则有:这就是分离时物体2的速率．(2)分离后,在下一次相遇前,1以O点为平衡位置作简谐振动,振动的周期为:从1和2分离时开始计时,即令该时刻t=0,则1通过O点的时刻为:过O点后,2以匀速率v向右作直线运动．与B相碰时,由于碰撞是完全弹性的,碰撞后2的速率不变,运动反向．令x表示B与O点间的距离,则2返回O点的时刻为:如2恰好在O点与1相遇,则:t2=t1．(d)将(b)、(c)两式代入(d),即得x应满足的条件为:评分说明:全题14分．(1)4分,(2)10分．(1)中,答出在O点分离的,给2分;列出机械能守恒方程并求出2的速率的,再给2分．(2)中,知道和2分离后1作简谐振动,并写出振动周期公式(a)的,给2分;正确列出1经过O点的时刻t1,即式(b)的,再给4分．对于t1,只回答了n=1或n=2一次的,扣3分;只回答了n=1和n=2两次的,扣2分;只回答了n为奇数或为偶数一种情形的,扣2分．由于这一步考虑不全面,导致本题最后答案不全的,后面不重复扣分．答出2与墙B碰撞后,速率不变,运动反向的(不要求证明),给1分,又正确求出2返回O 点的时刻(c)的,再给1分．正确列出1和2在O点相遇的条件,即(d)的,给1分;进一步求出距离x,即(e)的,再给1分．将(d)、(e)两步并作一步直接求出结果的,同样给2分．本题中的单纯演算错误,可视其对物理过程或最后结果的影响程度,酌情扣分．17使一定质量的理想气体的状态按图1中箭头所示的顺序变化,图线BC是一段以纵轴和横轴为渐近线的双曲线．(1)已知气体在状态A的温度T A=300K,求气体在状态B、C和D的温度各是多少．(2)将上述状态变化过程在图2中画成用体积V和温度T表示的图线(图中要标明A、B、C、D四点,并且要画箭头表示变化的方向)．说明每段图线各表示什么过程．解析：(1)由P-V图上可知,气体在A、B、C、D各状态下的压强和体积分别为P A=4大气压,V A=10升;P B=4大气压;P C=2大气压,V C=40升;P D=2大气压,V D=20升．已知T A=300K,设气体在C、D各状态下的温度分别为T C、T D,则根据理想气体状态方程有:由此可求得:T C=600K;T D=300K．由于在P-V图上．图线BC是一段以纵轴和横轴为渐近线的双曲线,在这一状态变化过程中PV=常数,所以P B V B=P C V C由此可求得:由PV=常数,可断定BC是等温过程,设气体在状态B的温度为T B则:T B=T C=600K．(2)在V-T图上状态变化过程的图线如下:AB是等压过程,BC是等温过程,CD是等压过程．评分说明:全题10分．(1)3分,(2)7分．(1)中,每个答案,正确的给1分;数值错误的,给0分．数值正确而缺单位或单位错误的,无论在几个答案中出现,只扣1分．直接由P-V图上断定V B=20升,并正确求出T B的,同样给分．(2)中,A、B、C、D四个点,每个点正确标明的,各给1分．AB、BC、CD三条图线画正确并说明是什么过程的,各给1分;图线画对而未说明是什么过程的,各给0分;在图上未画箭头或三个箭头未画全的,扣1分．图上两个坐标轴每有一个未注明坐标分度值的,扣1分．18．(10分)一光电管的阴极用极限波长λ0=5000埃的钠制成．用波长λ=3000埃的紫外线照射阴极,光电管阳极A和阴极K之间的电势差U=2．1伏特,光电流的饱和值I=0．56微安．(1)求每秒内由K极发射的电子数．(2)求电子到达A极时的最大动能．(3)如果电势差U不变,而照射光的强度增到原值的三倍,此时电子到达A极时的最大动能是多大?(普朗克恒量h=6．63×10-34焦耳·秒,电子电量e=1．60×10-19库仑,真空中的光速c=3．00×108米/秒．)解析：(1)每秒内发射的电子数为:(2)每个光子的能量为:=6．63×10-19焦耳(b)钠的逸出功为:=3．98×10-19焦耳(c)每个电子在电场中被加速而获得的能量为:eU=1．60×10-19×2．1焦耳=3．36×10-19焦耳(d)根据能量守恒定律,电子的最大动能为:=(6．63-3．98+3．36)×10-19焦耳=6．01×10-19焦耳(或=3．76电子伏特)．(3)当光强增到3倍时,以上结果不变．评分说明:全题10分．(1)3分,(2)6分,(3)1分．(1)中,正确算出结果(a)的,给3分．单纯数字计算错误(包括数字正确而数量级错误)扣1分．(2)中,正确算出光子能量(b)的,给1分．正确算出逸出功(c)的,再给2分．正确算出电子在电场中获得的能量(d)的,再给1分．根据能量守恒关系正确算出电子最大动能的,再给2分．直接列出式(e)并算出正确结果的,同样给6分．如果考生根据爱因斯坦方程,正确算出电子离开K时的最大动能,即只漏去eU一项,把它当作本题答案的,给4分．单纯数字计算错误扣1分．数值正确而缺单位或单位错误的,扣1分．(3)中,答案正确的,给1分,19．(14分)用均匀导线弯成正方形闭合线框abcd,线框每边长8．0厘米,每边的电阻值为0．010欧姆．把线框放在磁感应强度为B=0．050特斯拉的匀强磁场中,并使它绕轴OO＇以ω=100弧度/秒的匀角速度旋转,旋转方向如图所示．已知轴OO＇在线框平面内,并且垂直于B,当线框平面转至和B平行的瞬时(如图所示):(1)每个边产生的感生电动势的大小各是多少?(2)线框内感生电流的大小是多少?在图中用箭头标出感生电流的方向．(3)e、f分别为ab和cd的中点,e、f两点间的电势差U ef(即U e-U f)是多大?解析：(1)令l表示每边边长,R表示其电阻值,则l=0．08米,R=0．010欧姆,设cd段感生电动势的大小为ε1 ,ab段感生电动势的大小为ε2 ,则=×0．05×0．082×100伏特=0．024伏特．(a)da段和bc段不切割磁力线,所以它们的电动势都是零．(2)线框中的总电动势为:ε=ε1 +ε2 = 0．032伏特．(c)线框中的感生电流为:根据楞次定律或右手定则,可判断电流方向沿dcbad．(3)解法一:U e-U f是ebcf一段电路两端的电势差．它应等于eb段的路端电压U eb,bc段两端的电势差U bc与cf段的路端电压U cf的代数和,即:U ef=U eb+U bc+U cf．(e)=0伏特, (f)U bc=-IR=-0．8×0．010伏特=-0．008伏特(g)=0．008伏特, (h)所以:U ef=U eb+U bc+U cf(i)解法二:闭合电路dcbad中的总电动势等于总电势降落．在edcf一段电路中,电动势等于总电动势的一半;电阻等于总电阻的一半,因而电势降落是总电势降落的一半,于是,在这段电路中,电势升正好等于电势降．由此可见,两端的电势差等于零．评分说明:全题14分．(1)5分,(2)4分,(3)5分．(1)中,正确求出ε1和ε2的,各给2分;答出da和bc段电动势都是零的,合给1分;单纯数字计算错误扣1分;ε1和ε2的答案数值正确而缺单位或单位错误的,无论出现一次或二次,只扣1分．因把v=ωr的关系搞错而引起答案错误的,只扣1分．(2)中,正确算出总电动势(c)的,给1分;进一步正确算出电流(d)的,再给2分;直接求出结果(d)的,同样给3分;电流方向正确的再给1分;数值错误和单位错误的扣分同(1)中规定．(3)中,(e)、(f)、(g)和(h)各占1分;利用以上四式进一步正确算出结论(i)的,再给1分;不分步计算,直接正确列出(i)式并算出结果的,同样给5分;单纯运算错误的,扣1分．只有U ef等于零的结论,而无任何推算过程、无任何论述或论述错误的,均不给分．结论正确但论述不够清楚的,酌情给分。