第二章 平面简单力系

A
h
v M O (F ) ——代数量（标量） 代数量（ 代数量 标量）
使物体逆时针转时力矩为正； 逆时针转时力矩为正 “＋ ”—— 使物体逆时针转时力矩为正； 顺时针转时力矩为负 使物体顺时针转时力矩为负。 “－” —— 使物体顺时针转时力矩为负。
O —— 矩心 h —— 力臂
2. 合力矩定理
平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于所有各分力对于 该点之矩的代数和。 该点之矩的代数和。
B C M2 B M1 A D M1 A
解: (1)取AB为研究对象 取 为研究对象
∑ M = 0, FBa cos 30o − M1 = 0
解得
3 M1 = aFB 2
(2) 取CD为研究对象 为研究对象
∑ M = 0, M 2 − FCa sin 30o = 0
FB
D
解得
FA
FC
C M2
1 M 2 = aFC 2
｛
汇交力系 平行力系 力偶系 任意力系
§2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
1. 合成的几何法 (即力多边形法则 即力多边形法则) 即力多边形法则
FR 2
F1 F2
FR1
A F4 A F3
F2
F1
F3
FR
F4
F1
F2
FR
F3
C
F3
D
F2 FR1 F R2
A F4
B
F1 A
B
C
F3
D
F2
F1 A FR
M
力偶对物体的转动效应，取决于三个要素： 力偶对物体的转动效应，取决于三个要素：力偶矩的 三个要素 大小、力偶的转向、力偶所在平面。 大小、力偶的转向、力偶所在平面。 4. 平面力偶系的合成
因为力偶是代数量， 因为力偶是代数量， 所以合力偶矩是各个分 力偶矩的代数和
M = ∑ Mi
(代数和)
平衡条件： 平衡条件：
力偶矩 —— 度量力偶使物体产生的转动效果
M = ± Fd ⇒ 力偶矩
＋
3. 平面力偶的性质 1.力偶不能合成为一个力，也不能用一个力来平衡。 1.力偶不能合成为一个力，也不能用一个力来平衡。 力偶不能合成为一个力 力和力偶是静力学的两个基本要素。 力和力偶是静力学的两个基本要素。 2.力偶对其作用面任意点的矩都恒等于力偶矩， 2.力偶对其作用面任意点的矩都恒等于力偶矩， 力偶对其作用面任意点的矩都恒等于力偶矩 与矩心的位置无关。 与矩心的位置无关。
P
C D
∑ X = 0 , P − FA cosα = 0
5 解得 ⇒ FA = P 2
FAy FAx
A B
∑ Y = 0 , FB − FA sinα = 0
1 解得 ⇒ FB = P 2
FA
yFBx源自已知： 例 题 3 已知：F，α 求：物块M的压力。 的压力。 物块 的压力 解：（1）取销钉 为研究对象 ）取销钉B为研究对象
FB = P tanα = 0.5P 5 FA= P + F = P 2
2 2 B
P
C
D
FAy FAx
A B
FA FA
α
FB FB
P
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
1. 力的投影与分解
y
B
力在坐标轴上的投影 X = F cosα Y = F cos β = F sinα 力的投影是代数量， 力的投影是代数量，当力与轴之 间的夹角为锐角时，其值为正， 间的夹角为锐角时，其值为正，当夹 角为钝角时，其值为负。 角为钝角时，其值为负。 力沿坐标轴的分解 v v v v Fx = Xi , Fy = Yj v v v v v F = Fx + Fy = Xi + Yj
∑ X = 0 ∑Y = 0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是： 坐标轴上投影的代数和等于零。 坐标轴上投影的代数和等于零。
2a
例 题 2
已知：P，a 已知：
P a
C
D
求：A、B处约束反力。 处约束反力。 、 处约束反力
A
B
解： （1）取刚架为研究对象 （2）画受力图 （3）建立坐标系，列方程求解 建立坐标系，
②在直角坐标系下，力的投影的绝对值与力的分力的模相等： 在直角坐标系下，力的投影的绝对值与力的分力的模相等： ③在非直角坐标系下，力的投影与力的分力无上述关系. 在非直角坐标系下，力的投影与力的分力无上述关系.
2. 合力投影定理
表述：合力在某轴上的投影， 表述：合力在某轴上的投影，等于各个分力在同一轴上投影的代 y 数和。 数和。 F2 C FRx = FR cos α = A′ D′ α3 α2 B F3 F1 F1 x = F1 cos α1 = A′ B′ D FR α1 α A ′C ′ F2 x = F2 cos α 2 = B F3 x = F3 cos α 3 = C ′D′
F Fy
A
β
Y
α
Fx
j
O
i
X
x
反之，已知力的投影， 反之，已知力的投影，也可 以求力的大小和方向
F = X 2 +Y cos α = X F
2

问题：力的投影与力的分解是否相同？ 问题：力的投影与力的分解是否相同？
y
比较： 比较：
Y θ
F x
X
①力的投影是代数量，而分力是矢量； 力的投影是代数量，而分力是矢量；
A F4
2 2 FR = FRx + FRy = ( ∑ X )2 + ( ∑Y )2 FRx cos( FR , i ) = FR
3. 平面汇交力系的平衡方程
平衡的必要和充分条件是：该力系的合力 等于零。 平衡的必要和充分条件是：该力系的合力FR等于零。
2 2 FR = FRx + FRy = (∑ X ) 2 + (∑ Y ) 2 = 0
i i
合力方向
∑X cos α =
FR
i
3. 合成的解析法
v FR =
v ∑ Fi =
n i =1
v ∑F
根据合矢量投影定理： 根据合矢量投影定理：
y F2
F1
FR
F3 x
FRx = X 1 + X 2 + L + X n = ∑ X i FRy = Y1 + Y2 + L + Yn = ∑ Yi
∑ Mi = 0
已知： 例 题 7 已知：a, M
a
M
B
求：A、 C 处约束反力。 处约束反力。 解：（1）取AB为研究对象 ） 为研究对象
A
C
a
a
∑ M = 0, M − FA 2a = 0
2 ′ FA = FB = M 2a
（2）取BC为研究对象 ） 为研究对象 FA
M
FB
B B
2 ′ FC = FB = FB = M 2a
v M O ( FR ) = ∑( xiYi − y i X i )
§2-4 平面力偶理论
1. 力偶与力偶矩
力偶——两个大小相等、方向相反且不 两个大小相等、 力偶 两个大小相等 共线的平行力组成的力系。记作m或 共线的平行力组成的力系。记作 或m （F，F′） ， ′ 力偶臂——力偶的两力之间的垂直距离。 力偶的两力之间的垂直距离。 力偶臂 力偶的两力之间的垂直距离 力偶的作用面——力偶所在的平面。 力偶所在的平面。 力偶的作用面 力偶所在的平面
第二章 平面简单力系
※ 平面汇交力系合成与平衡的几何法 ※ 平面汇交力系合成与平衡的解析法 ※ 平面力对点之矩的概念及计算 ※ 平面力偶理论 ※ 结论与讨论
引
言
平面力系 空间力系
根据力的作用线是否共面可分为： 根据力的作用线是否共面可分为：
根据力的作用线是否汇交可分为： 根据力的作用线是否汇交可分为：
解得
FNC
′ F CB
F FM = FCB cosα = cotα 2
FM
例 题 4
已知：图示简易起重机， ＝ 已知：图示简易起重机，P＝20kN
C 60° ° 30° ° D 30° ° B
求：BA、BC杆的内力。 杆的内力。 、 杆的内力 解：取销钉B为研究对象 取销钉 为研究对象
FBA − FD cos 30 − P cos 30 = 0
FBA B
α α
A
F
∑ X = 0, F − ( FBA + FBC ) sin α = 0 ∑ Y = 0, FBC cosα − FBA cosα = 0
解得
B FBC
F
C M
FBC
F = FBA = 2 sin α
′ F BC
（2）取挡板 为研究对象 ）取挡板C为研究对象
FCB
C
∑ Y = 0, FM − FCB cosα = 0
A y
P
∴ FBA = 2 P cos 30o = 20 3kN
FBC
B
∑Y = 0
FD sin 30o − FBC − P sin 30o = 0
FD
30° ° P 30° °
FBA
x
∴ FBC = 0
例 题 5
已知：铰接连杆机构， 已知：铰接连杆机构，在图示位 置处于平衡状态，杆重不计。 置处于平衡状态，杆重不计。
B 90° F2 ° A
C 30° ° 45° ° 60° °
求：F1、F2的关系。 的关系。 解：取销钉B为研究对象 取销钉 为研究对象 轴投影， 沿x轴投影，得 轴投影
FBC
B 45° ° x