2014人教数学必修五【课件】 2.4等比数列(二)

(1)证明
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§2.4（二）
∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
an＋1＋1 ∴ ＝2，且a1＋1＝2. an＋1 ∴{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
(2)解 由(1)知{an＋1}是等比数列．
公比为2，首项为2.
∴an＋1＝2n.∴an＝2n－1.
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通过上面的例子，可以得出下列结论：
§2.4（二）
当q＜0时，等比数列既不是递增数列，也不是递减数列，而是
摆动 _____数列；
当a1＞0，q＞1时，等比数列是 递增 数列；
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当a1＞0,0＜q＜1时，等比数列是 递减 数列； 当a1＜0，q＞1时，等比数列是 递减 数列； 当a1＜0,0＜q＜1时，等比数列是 递增 数列．
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s，t∈N*)．
证明 ∵am＝a1qm 1，an＝a1qn 1，
－ －
∴am·n＝a2·m＋n－2，同理，as·t＝a2qs＋t－2， a a 1q 1 ∵m＋n＝s＋t，∴am·n＝as·t. a a
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§2.4（二）
2 探究 2 在等比数列{an}中，若 m＋n＝2k，证明 am·n＝ak(m，n， a
由于c1c3－c2＝a1b1(p－q)2≠0，因此c2≠c1·3， c 2 2 故{cn}不是等比数列．
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例3
§2.4（二）
某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的 产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开 始超过30万吨(保留到个位)？(lg 6＝0.778，lg 1.2＝0.079)
【典型例题】 例1 已知{an}为等比数列． (1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
§2.4（二）
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋„＋log3a10的值．
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2 2 解 (1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a3＋2a3a5＋a5＝(a3＋a5)2＝25，
§2.4（二）
跟踪训练1
设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且
a1·2·3· a30＝215，求a2·5·8· a29的值． a a „· a a „·
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解 a1·2·3· a30＝(a1a30)· 2a29)· (a15·16)＝(a1a30)15＝215， a a „· (a „· a
解析 设三边为a，aq，aq2 (q>1)，
( C )
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则(aq2)2＝(aq)2＋a2，
5＋1 ∴q ＝ . 2
2
5－1 1 较小锐角记为θ，则sin θ＝ 2＝ . q 2
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§2.4（二）
4．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入 的6个数的积为________． 8
a ＞0 1 q＞1 a ＜0 1 或 0＜q＜1
综上所述，等比数列单调递增⇔ 等比数列单调递减⇔
a ＞0 1 0＜q＜1
；
a ＜0 1 或 q＞1 .
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§2.4（二）
探究点二
等比数列的性质
探究 1 在等比数列{an}中， m＋n＝s＋t， 若 证明 am·n＝as·t(m， a a n，
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§2.4（二）
【学习目标】 1．灵活应用等比数列的定义及通项公式． 2．熟悉等比数列的有关性质．
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3．系统了解判断是否成等比数列的方法． 【学法指导】 1．等差数列与等比数列联系十分紧密，既有诸多相似之处，又 有不同的地方，充分准确地把握它们之间的联系，会为我们 解题带来诸多便利． 2．等比数列的通项公式是研究等比数列各种性质的关键所在．
an＋1 小结 利用等比数列的定义 a ＝q(q≠0)是判定一个数列是等 n 比数列的基本方法．要判断一个数列不是等比数列，举一组反 例即可，例如a2≠a1a3. 2
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跟踪训练2
§2.4（二）
设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋
bn，证明数列{cn}不是等比数列．
2 am·n＝ak·l a a __________，特别地，当 m＋n＝2k 时，am·n＝ ak . a
4．若{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，
a 即 a1·n＝a2· n－1 a
＝„＝ak·an＋1－k .
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§2.4（二）
探究点一
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k∈N*)．
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证明
∵am＝a1qm 1，an＝a1qn 1，
－
－
∴am·n＝a2qm＋n－2， a 1 ∵ak＝a1qk－1，∴a2＝a2·2k－2. k 1q ∵m＋n＝2k，∴am·n＝a2. a k
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§2.4（二）
问题 在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a5＝4，则 a1a2a3a4a5a6a7＝_____. 128
q(常数)．
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§2.4（二）
问题3 已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是否是等比数列？
答
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不是等比数列．
∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a2， 2 ∴数列{an}不是等比数列．
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等比数列的单调性
探究 观察下面几个等比数列中项的变化趋势： ①1,2,4,8,16，„ 1 1 1 1 ②－1，－ ，－ ，－ ，－ ，„ 2 4 8 16 1 1 ③9,3,1， ， ，„ 3 9 ④－1，－2，－4，－8，－16，„ 1 1 1 1 ⑤1，－ ， ，－ ， ，„ 2 4 8 16
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§2.4（二）
问题 2 若数列{an}为等比数列，公比为 q，且 an>0，bn＝lg an，试 问数列{bn}是什么数列？并证明你的结论．
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答
数列{bn}是等差数列．
an＋1 a ＝lg n
∵bn＋1－bn＝lg an＋1－lg an＝lg ∴{bn}为等差数列．
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算机？
解 每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为a1＝80，公比为q
＝20的等比数列．
则a5＝a1q4＝80×204＝1 280×104＝1 280(万台)．
答 到第5轮可以感染到1 280万台计算机．
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§2.4（二）
1．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则
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§2.4（二）
问题 1
答
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若数列{an}为等差数列，公差为 d，bn＝c an (c>0 且 c≠1)，
数列{bn}是等比数列．
n 1 nLeabharlann 试问数列{bn}是什么数列？并证明你的结论．
bn＋1 c a ∵ b ＝ a ＝c an＋1－an＝cd(常数)． n c ∴{bn}为等比数列．
填一填·知识要点、记下疑难点
§2.4（二）
1．等比数列的通项公式：an＝ a1q (n，m∈N*)．
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n－1
q ，推广形式：an＝am·
n－m
2．如果一个数列{an}的通项公式为 an＝aqn，其中 a，q 都是不 为 0 的常数，那么这个数列一定是等比数列，首项为 aq ，公 比为 q . 3．一般地，如果 m，n，k，l 为正整数，且 m＋n＝k＋l，则有
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解析 ∵a3a5＝a2＝4，an>0，∴a4＝2. 4 ∴a1a2a3a4a5a6a7＝(a1a7)· 2a6)· 3a5)·4＝43×2＝128. (a (a a
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§2.4（二）
探究点三 等比数列的判断方法
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探究1 判断或证明一个数列是等比数列的常用方法有哪些？ an＋1 答 (1)定义法： ＝q(常数)； an
解 记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，„，an，„. an 则依题意可得a1＝5， ＝1.2(n≥2且n∈N*)， an－1 从而an＝5×1.2n－1，这里an＝30， lg 6 0.778 故1.2n－1＝6，即n－1＝log1.26＝lg 1.2＝0.079≈9.85.
故n＝11. 答 从2021年开始该糖厂年制糖量开始超过30万吨．
(2)等比中项法：a2＋1＝anan＋2(an≠0，n∈N*)； n (3)通项法：an＝a1qn 1(a1q≠0，n∈N*)．
－
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§2.4（二）
探究2 如何判断或证明一个数列不是等比数列？
答
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如果判断或证明一个数列不是等比数列， 只要找到连续
的三项不成等比数列即可，即存在 an0 ，an0+1 ，an0+2 ，且 2 an0 1 ≠a n0 · n0+2 . a
证明 设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠0，q≠0，p≠q， cn＝an＋bn.
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要证{cn}不是等比数列，只需证c2≠c1·3成立即可． c 2
2 事实上，c2＝(a1p＋b1q)2＝a2p2＋b2q2＋2a1b1pq， 1 1