高中数学北师大版必修一3.3.3《指数函数的图像和性质》ppt课件

• [规律总结] 对于形如y＝af(x)(a>0且a≠1)一类的
函数，有以下结论：
• (1)函数y＝af(x)的定义域、奇偶性与f(x)的定义
域、奇偶性相同；
• (2)先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的单调 性，求函数y＝af(x)的值域；
• (3)当a>1时，函数y＝af(x)与函数f(x)在相应区间上 的单调性相同；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数 f(x)在相应区间上的单调性相反．具体可用下表表
在[1，＋∞)上单调递减． 又∵y＝(12)u 是减函数， ∴y＝(21)－x2＋2x 的单调递减区间为(－∞，1]， 单调递增区间为[1，＋∞)． (2)y＝22x－2·2x＋3， 令 t＝2x，x∈(－∞，1]，∴t∈(0,2]， ∴y＝t2－2t＋3＝(t－1)2＋2.
当 t＝1 时，ymin＝2； 当 t＝2 时，ymax＝22－2×2＋3＝3. ∴函数值域为[2,3]． 当 1≤t≤2 时，1≤2x≤2,0≤x≤1， 当 0<t<1 时，0<2x<1，x<0， ∵y＝(t－1)2＋2 在[1,2]上递增，t＝2x 在[0,1]上递增， ∴y＝22x－2·2x＋3 的单调递增区间为[0,1]； ∵y＝(t－1)2＋2 在(0,1)上递减，t＝2x 在(－∞，0)上递增， ∴y＝22x－2·2x＋3 的单调递减区间为(－∞，0)．
和43－15
；
(3)0.8－2 和54－12
1
；(4)a3
1
和 a2
，(a>0，ຫໍສະໝຸດ a≠1)．[思路分析] 当两个幂函数底数相同时，要比较这两个数
的大小可根据它们的特征构造相应的指数函数，借助函数的单
调性来比较大小．
[规范解答] (1)考察函数 y＝ 47x，∵0< 47<1，
1
－2 .
(4)当
a>1
时，y＝ax
在
R
上为增函数，又13<12，所以
1
a3
1
<a2
；
当
0<a<1
时，y＝ax
在
R
上为减函数，又13<12，所以
1
a3
1
>a2
.
• [规律总结] 两个幂值大小比较的一般方法：
• (1)同底数的幂考查指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的
单调性．
• (2)底数、指数各不相同，寻找“中间数”来传递大 小关系．如第(3)小题的两个数不能看成某个指数函 数的两个函数值，此时可以借助一些特殊数如0或1 来搭桥间接比较两个数的大小，而(2)小题则可以通 过指数运算化为底数相同的两个幂，可构造指数函
(2)函数 u＝x2－6x＋17 在[3，＋∞)上是增函数，即对任意 x1，x2∈[3，＋∞)且 x1<x2，有 u1<u2，从而(12)u1>(21)u2，即 y1>y2， 所以函数 y＝(12)x2－6x＋17 在[3，＋∞)上是减函数，同理可知 y＝ (21)x2－6x＋17 在(－∞，3)上是增函数．
• 1.指数函数的图像与性质
定义
指数函数 y＝ax(a>0，a≠1，x∈R)
图像
性质
(1)定义域：___R_____.
(2)值域：(_0_，__＋__∞__). (3)过点__(_0_,_1_)__． (4)当 a>1 时，在 R 上是____增____函数；
当 0<a<1 时，在 R 上是___减_____函数.
(3)解法 1：因为 0.8－2＝(45)－2， 而54－12 ＝4512 ， 由 y＝45x 在(－∞，＋∞)上是减函数， 可知 0.8－2>54－12 . 解法 2：因为 0.8－2＝(54)－2>1，(54)－21 ＝(45)21 <1，所以 0.8－2>(54)
∵－1.8>－2.6，∴23－1.8<23－2.6. (2)y＝56x 为单调减函数，1＝560， ∵－23<0，∴56－32 >1. (3)∵y＝0.8x 为单调减函数，而－2<0， ∴0.8－2>0.80＝1，即(0.8)－2>1. 同理，可知43－13 <1，∴(0.8)－2>43－13 .
(4)指数函数的底数越大，当 x>0 时，其函数值增长得就 __越__快____．
• 1.若2x＋1<1，则x的取值范围是( )
• A．(－1,1) B．(－1，＋∞) • C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1) • [答案] D
• [解析] ∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数， • ∴x＋1<0，∴x<－1.
• [答案] B
• [解析] 取x＝1，则a<b<1.
• 4．函数f(x)＝3x＋1的值域为________．
• [答案] (1，＋∞) • [解析] ∵3x>0，∴3x＋1>1，
• 函数f(x)＝3x＋1的值域为(1，＋∞)．
• 5．已知f(x)＝a－x(a>0且a≠1)且f(－2)>f(－3)， 则a的取值范围是________．
2.y＝ax 与 y＝(1a)x 的关系
一般地，当函数 y＝ax 与函数 y＝1ax 的自变量的取值互为 相反数时，其函数值__相__等____ ，这两个函数的图像是关于 ___y轴_____对称的．
3．函数 y＝ax 与 y＝bx 的特点(a>b>1) (1)当 x<0 时，总有 ax____<____bx____<____1. (2)都过点___(0_,_1_) __． (3)当 x>0 时，总有 ax____>____bx____>____1.
• 故a∈(1，＋∞)，b∈(－∞，－1)．
• [点评] 利用熟悉的函数图像作图，再利用图像的 平移、对称等变换，平移需分清向哪个方向移，再 移多少个单位．
• 利用指数函数单调性比较大小
比较下列各组数的大小：
(1)
70.1 4
和
470.2；(2)3416
• [答案] (0,1)
• [解析] ∵f(x)＝a－x且f(－2)>f(－3)， • 即a2>a3，∴a<1. • 又∵a>0，故0<a<1.
课堂典例讲练
• 指数函数的图像及应用
•
如图所示是指数函数①y＝ax，②y＝
bx，③y＝cx，④y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的
大小关系是( )
• A．a<b<1<c<d
[正解] 令 t＝12x，则 y＝t2＋t＋1＝t＋212＋43. 因为 t>0，y＝t＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数． 所以 y>1，即函数的值域为(1，＋∞)．
∴y＝
7x 4
在(－∞，＋∞)上是减函数，又
0.1<0.2，
故 470.1> 470.2.
(2)3416 ＝43－16 ，由 y＝43x 的单调性可得，
43－61 >43－15 即3416 >43－15 .
B．b<a<1<d<c
• [思路分析] 作直线x＝1，其与函数的交点纵坐标
即为底数的值．
• [规范解答] 解法1：在①②中底数小于1且大于
零，在y轴右边，底数越小，图像向下越靠近x轴， 故有b<a；在③④中底数大于1，在y轴右边，底数越 大，图像向上越靠近y轴，故有d<c.故选B.
• 解法2：作直线x＝1，与四个图像分别交于A、B、C、 D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数
的大小，所以若四个交点的纵坐标越大，则底数越
大，由图可知b<a<1<d<c.故选B.
• [答案] B
[规律总结] 1.求形如 y＝af(x)(a>0，且 a≠1)恒过定点的问 题，一般思路为： 令fx＝0 → 求出x → 得坐标x，1
2．直线 x＝1 与指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图像交点 的纵坐标就是底数 a 的大小，在第一象限内，指数函数 y＝ ax(a>0，且 a≠1)的图像底数大的在上边，也可以说底数越大越 靠近 y 轴．
易错疑难辨析
求函数 y＝14x＋12x＋1 的值域．
[错解] 令 t＝12x，则 y＝t2＋t＋1＝t＋212＋43，所以 t＝－ 12时，ymin＝34，所以函数的值域为34，＋∞.
[辨析] 在换元时，t＝12x，因为12x>0，所以在错解中忽 略了这一点．
示：
u＝f(x) y＝au y＝af(x) 增 增(a>1) 增 增 减(0<a<1) 减 减 增(a>1) 减 减 减(0<a<1) 增
一般规律：“同增异减”，即 u＝f(x)与 y＝au 单调性相同 时，复合函数 y＝af(x)为增函数，单调性不同时，复合函数 y＝ af(x)为减函数．
已知函数 y＝(12)x2－6x＋17，
• 指数函数性质的综合应用
求下列函数的值域和单调区间． (1)y＝(12)－x2＋2x； (2)y＝4x－2x＋1＋3，x∈(－∞，1]．
[思路分析] 这两个小题均以指数函数形式出现但都是由 两个函数复合而成．
(1)中 y＝(12)u，u＝－x2＋2x； (2)中 y＝t2－2t＋3，t＝2x. 先考虑其定义域，再求其值域．求单调区间可由复合函数 的单调性来确定．
(1)求函数的定义域及值域；
(2)确定函数的单调区间． [解析] (1)设 u＝x2－6x＋17，由于函数 y＝(21)u 及 u＝x2－ 6x＋17 的定义域为(－∞，＋∞)，故函数 y＝(12)x2－6x＋17 的定义 域为 R.因为 u＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，所以(21)u≤(21)8， 又(21)u>0，故函数的值域为(0，2156]．