三角函数模型的简单应用(2个)

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课题：三角函数模型的简单应用（一）
一、三维目标
知识与技能：1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式;(2)根据解析式作出
图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 2.利用收集到的数据作出散点
图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型
过程与方法:经历三角函数模型的产生过程，利用模型解决实际问题
情感态度与价值观:感受失败，体会挫折，经历从失败到成功的快乐
二、教学重点：用三角函数模型刻画变化规律，用函数思想解决具有周期变化的实际问题
教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型
三、学法指导
我们已经学习过函数模型,例如指数函数、对数函数、幂函数的模型是用来描述现实世界中
不同不同增长规律的模型，而数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来
反映或近似地反映实际问题时，所得到的关于实际问题的数学描述。
四、知识链接
1．三角函数的周期性
y＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝_____；y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝_____；
y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝__ __.
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质

(1)ymax＝________，ymin＝________.
(2)ω可由__________确定，其中周期T可观察图象获得．
(3)由ωx1＋φ＝______，ωx2＋φ＝__________，ωx3＋φ＝__________，ωx4＋φ＝
__________，ωx5＋φ＝________中的一个确定φ的值．
五、学习过程
题型一：已知函数图像建立函数解析式

例1.如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(x＋)＋
b
2

(1) 求这一天6~14时的最大温差；
(2) 写出这段曲线的函数解析式.

方法指导：本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲
线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特
别注意自变量的变化范围.

题型二：根据解析式画函数图像
例2.画出函数y＝|sinx|的图象并观察其周期和单调区间.

方法指导：利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问
题的常用方法.显然，函数xysin与正弦函数有紧密的联系.

变式2: 画出函数sinyx的图像
例3.如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，

O
10
20
30
6
10

14t /h812

T /oC

B
C
太阳光

－



北回归线

南回归线
¦Õ-¦Ä

太阳光
－


3

那么这三个量之间的关系是 ＝90º－| － |.当地夏半年取正值，冬半年取负值.如果
在北京地区(纬度数约为北纬40º)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太
阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？

方法指导：本题是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角
函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。应当注意在复杂的背景中抽取基本
的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。

六、达标检测：
A1.某人的血压满足函数式)24sin(160)110ftt（，其中)ft（为血压，t为时间(单位:分)，
则此人每分钟心跳的次数为（ ）
A.60 B.70 C.80 D.90

B2．据市场调查，某商品一年内每件出厂价在7千元基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b
的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条
件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin)44(ππx＋7(1≤x≤12，xN*) B．f(x)＝9sin)44(ππx (1≤x≤12，xN*)

C．f(x)＝22sinx4π＋7(1≤x≤12，xN*) D．f(x)＝2sin)44(ππx＋7(1≤x≤12，xN*)
B3.直径为1.4m的飞轮，每小时按逆时针方向转24000转，求
（1）飞轮每1秒转过的弧度数
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（2）轮周上一点每1秒所转过的弧长
（3）轮周上一点转动2000°所经过的距离

七、课堂小结
八、课后反思：
友好三中高一数学学案 主备人：张 伟 备课时间：2013/11 授课时间：
课题：三角函数模型的简单应用（二）
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一、三维目标
知识与技能：1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式;(2)根据解析式作出
图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 2.利用收集到的数据作出散点
图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型
过程与方法:经历三角函数模型的产生过程，利用模型解决实际问题
情感态度与价值观:感受失败，体会挫折，经历从失败到成功的快乐
二、教学重点：用三角函数模型刻画变化规律，用函数思想解决具有周期变化的实际问题
教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型
三、学法指导
我们已经学习过函数模型,例如指数函数、对数函数、幂函数的模型是用来描述现实世界中
不同不同增长规律的模型，而数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来
反映或近似地反映实际问题时，所得到的关于实际问题的数学描述。
四、知识链接
再现正弦函数与余弦函数的图像与性质，联想现实生活中相关问题（可跨学科寻找问题）
五、学习过程
题型一：三角函数模型在物理学科中的应用
例1．一根为Lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开

平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是),0[,6sin3ttlgs
（1）求小球摆动的周期和频率；
（2）已知g=980cm/s2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度L应当是多少？

题型二：三角函数模型在实际问题中的应用
例2．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.
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在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在
某季节每天的时间与水深的关系表：
时刻 水深/米 时刻 水深/米 时刻 水深/米
0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0
3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5
6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0
(1) 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似
数值(精确到0.001).
(2) 一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间
隙(船底与洋底的距离) ，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
(3) 若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时
0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

方法指导：本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条
件，另一方面还要注意考虑实际意义。关于课本第64页的 “思考”问题，实际上，在货船的
安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船
有足够的时间发动螺旋桨。
六、达标检测：
A1.单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离Scm和时间ts的函数关系为
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8sin(2)3St
，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）

A．2s B. s C. 0.5s D. 1s

A2.单位圆上又两个动点M、N，同时从P（1,0）点出发，沿圆周转动，M点按逆时针方向转，
速度为/6rads，N点按顺时针方向转，速度为/3rads，则它们出发后第三次相遇时各自
走过的弧度数分别为（ ）
A．2， B. 4， C. 24， D. 48，

B3.电流I（mA）随时间t（s）变化的函数关系是3sin(100)3It，则电流I变化的最小
正周期、频率和振幅分别为

B4：一半径为3m的水轮如右图所示,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动4圈,如果当
水轮上P点从水中浮现时(图中P0)点开始计算时间.
（1）求P点相对于水面的高度h(m)与时间t(s)之间的函数关系式;
（2）P点第一次达到最高点约要多长时间?

七、课堂小结
处理收集数据的方法：先画散点图，再分析它的变化趋势，确立合适的函数模型。

x
y
P

P
0

O


-2
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八、课后反思