数学建模1
数学建模活动(1)-练习题
课后练习
请同学们仿照上述过程开展一次建立模型解决实际问题的活动，可以继续研究不同室温下泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，也可以从下列选题中选择一个：
1、应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？
2、根据某一同学的身高和体重，判断该同学是否超重.
3、用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率设定方法.
4估计阅读一本书所需要的时间.
也可以根据自己的兴趣成3—5人的研究小组，每位同学参加其中一个小组。在小组内，要确定一个课题负责人，使每位成员都有明确的分工.拟定研究课题、确定研究方案、规划研究步骤、编制研究手册，然后在班里进行一次开题报告。
数学建模基础练习一及参考答案
数学建模基础练习一及参考答案数学建模基础练习一及参考答案练习1matlab练习一、矩阵及数组操作：1．利用基本矩阵产生3×3和15×8的单位矩阵、全1矩阵、全0矩阵、均匀分布随机矩阵（[-1，1]之间）、正态分布矩阵（均值为1，方差为4）,然后将正态分布矩阵中大于1的元素变为1，将小于1的元素变为0。
2．利用fix及rand函数生成[0，10]上的均匀分布的10×10的整数随机矩阵a，然后统计a中大于等于5的元素个数。
3．在给定的矩阵中删除含有整行内容全为0的行，删除整列内容全为0的列。
4．随机生成10阶的矩阵，要求元素值介于0~1000之间，并统计元素中奇数的个数、素数的个数。
二、绘图：5．在同一图形窗口画出下列两条曲线图像，要求改变线型和标记：y1=2x+5；y2=x^2-3x+1，并且用legend标注。
6．画出下列函数的曲面及等高线：z=sinxcosyexp(-sqrt(x^2+y^2))．7．在同一个图形中绘制一行三列的子图，分别画出向量x=[158101253]的三维饼图、柱状图、条形图。
三、程序设计：8．编写程序计算（x在[-8，8]，间隔0.5）先新建的，在那上输好，保存，在命令窗口代数；9．用两种方法求数列：前15项的和。
10．编写程序产生20个两位随机整数，输出其中小于平均数的偶数。
11．试找出100以内的所有素数。
12．当时，四、数据处理与拟合初步：13.随机产生由10个两位随机数的行向量A,将A中元素按降序排列为B,再将B重排为A。
14．通过测量得到一组数据：t12345678910y4.8424.3623.7543.3683.1693.0383.0343.0163.0123.005分别采用y=c1+c2e^(-t)和y=d1+d2te^(-t)进行拟合，并画出散点及两条拟合曲线对比拟合效果。
15．计算下列定积分：16．（1）微分方程组当t=0时，x1(0)=1，x2(0)=-0.5，求微分方程t在[0，25]上的解，并画出相空间轨道图像。
数学建模1例题解析
1.贷款问题小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。
目前，银行的利率是%/月。
他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。
(1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？(2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？(3)如果在第6年初，银行的贷款利率由%/月调到%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少？(4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。
但条件是：(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2；(ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。
试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。
解答：(1)贷款总月数为N=20*12=240，第240个月的欠款额为0，即。
利用式子(元)，即每个月还款元，共还款(元)，共计付利息元。
(2)贷款5年(即5*12=60个月)后的欠款额为，利用公式：，所以，(元)(3)元，即第六年初，贷款利率，所以余下的15年，每个月还款额为：(元)(4)按照借贷公司的条件(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的，付款的时间缩短，但是前17年的付款总额不变。
帮忙提前三年还清需要资金数：。
对于条件(ii)佣金数：分析：因为预付佣金20000元，按照银行存款利率/月，17年的存款本息为即在第17年需要给付借贷公司的钱少于给付银行的钱。
所以建议请这家借贷公司帮助还款。
2.冷却定律与破案按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为的环境中冷却的速度与温差成正比。
用此定律建立相应的微分方程模型。
凌晨某地发生一起凶杀案，警方于晨6时到达案发现场，测得尸温26℃，室温10℃，晨8时又测得尸温18℃。
数学建模作业(1)
数学建模作业(1)
数模
数模
1.学校共学校共1000名学生，235人住在宿名学生，人住在A宿名学生人住在人住B宿舍人住在C宿舍舍，333人住宿舍，432人住在宿舍人住宿舍，人住在宿舍.学生们要组织一个10人的委员会人的委员会，学生们要组织一个人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：列办法分配各宿舍的委员数：(1)按比例分配取整数的名额后，剩下的名按比例分配取整数的名额后，按比例分配取整数的名额后额按惯例分给小数部分较大者。
额按惯例分给小数部分较大者。
(2)用Q值方法。
值方法。
用值方法
数模
如果委员会从10人增至人如果委员会从人增至15人，用以上人增至2种方法再分配名额。
将2种方法两次分配种方法再分配名额。
种方法再分配名额种方法两次分配的结果列表比较。
的结果列表比较。
(3)你能提出其它的方法吗？用你的方你能提出其它的方法吗？你能提出其它的方法吗法分配上面的名额。
法分配上面的名额。
数模
2.考察模拟水下爆炸的比例模型.爆炸物质量m,在距爆炸点距离r处设置仪器，接收到的冲击波压强为p,记大气初始压强p0,水的密度ρ,水的体积弹性模量k,用量纲分析法已经得到
p0ρrp=p0(,)km3
数模
设模拟实验与现场的p0,ρ,k相同，而爆炸物模型的质量为原模型的1/1000.为了使实验中接收到与现场相同的压强p,问实验时应如何设置接收冲击波的仪器，即求实验仪器与爆炸点之间的距离是现场的多少倍？
p0,ρ,k。
数学建模问题1
在习题1-8中，情景是模糊地陈述的。
从这些模糊的情景中，识别要研究的问题。
哪些变量影响到问题识别中你已经识别的行为？哪些变量最重要？记住，实际上没有正确的答案．1．单种群的总量增长．2．一家零售店要建造一个新的停车场，停车场应该怎样照明？3．一位农民期望他的地里种植的粮食农作物的产量达到最大，他正确地识别了问题吗？试讨论另一种目标．4．怎样设计一个供大班级用的演讲厅？5．一个物体从很高的地方掉下来．何时它撞击到地面？撞击到地面的力度有多大？6．某种产品的制造商应该怎样决定每年应该生产多少件产品，以及每件产品应该标价多少？7．美国食品及药物管理局(FDA)想要了解一种新药对控制人口中的某种疾病是否有效．8．滑雪者滑下山坡有多快？对于习题9～17中提出的情景，识别值得研究的问题并列出会影响你已经识别的行为的变量．哪些变量可以完全忽略？哪些变量在开始时可以认为它们是常数？你能识别出你想仔细研究的子模型吗？识别任何你想收集的数据．9．一位植物学家有兴趣研究叶子的形状以及影响叶子长成这种形状的各种支配力量，她从一棵白橡树的底部剪下几片叶子，发现叶子相当宽，没有很明显的锯齿形．当她到树的顶部去看时，她发现有很明显的锯齿形而几乎没有展得很宽的叶子．10. 不同大小的动物其他特性也不同．小动物比之于较大的动物，叫声尖细、心跳较快以及呼吸次数更多．另一方面，较大的动物的骨骼比小动物的骨骼更为强健，较大的动物的直径和体长之比大于小动物．所以，当体格从小到大增加时，存在着以和动物尺寸的比例相应的规则的变形．11．一位物理学家想要研究光的性质．他想了解当光线从空气进入平滑的湖中，特别是在两种不同介质的交界处，光线的路径．12. 拥有一队卡车的一家公司面临着因卡车使用年限和油耗而增加的维修费用．13. 人们偏爱于计算机的速度．哪些计算机系统提供了最快的速度？14. 怎样提高我们的能力，使得每学期都能报名上最好的班级？15．怎样才能节约我们的一部分收入？16. 考虑在竞争市场情况下一家刚开始运转的生产单一产品的新公司．讨论该公司营业初期的短期和长期目标，这些目标会怎样影响到雇员工作的指派？该公司有必要决定短期运行的最大利润吗？17. 讨论利用模型来预测实际系统和利用模型来解释实际系统之间的差别．想象某些你要利用模型来解释实际系统的情景；类似地，想象你要利用模型来预测实际系统的其他情景．研究课题1．考虑冲泡咖啡的味道问题. 什么是影响味道的变量？哪些变量一开始可以忽略？假定除了水温外，已经固定了所有的变量，多数咖啡壶都用沸水以某种方式从底部的咖啡中蒸馏出滋味. 你认为用沸水是产生最佳滋味的最优方式吗？你将怎样检验这个子模型？你将收集什么样的数据以及怎样去收集这些数据？2．一家运输公司正在考虑用直升飞机在纽约市摩天楼之间运送人员，你被聘为顾问确定所需直升飞机的数量．精确地识别适当的问题，运用模型构建的过程来确定你所选定的变量之间的关系所需要的数据．当你着手进行时，可能需要重新定义你的问题．3．考虑酿酒问题. 提出若干商业制造商可能会有的目标．把考虑品位作为一个子模型，什么是影响品位的变量？哪些变量一开始就可以忽略？怎样把余下的变量关联起来？为确定这些关系，什么样的数据将是有用的？4．一对夫妇应该买房子还是租房子？因为抵押的费用上涨，直观上看，似乎存在一个抵押费用的价位，高于这个价格决不要去抵押贷款买房．什么变量决定了总的抵押费用？5．考虑一家诊所的运作问题．病人个人的病历档案必须保存，而会计程序是一项日常工作，该诊所应该购买或者租用一个小型的计算机系统吗？提出可能要考虑的目标．什么变量你会加以考虑？你怎样建立变量之间的关系？为决定你所选择的变量之间的关系，需要什么样的数据？为什么不同诊所对这个问题会有不同的解决办法？6．什么时候车主应该更新汽车？什么因素会影响到做出决定？哪些变量一开始可以忽略？识别你要的数据以决定所选择的变量之间的关系．7．一个人能跳多远？在1968年墨西哥城举行的奥运会上，美国的鲍勃·比蒙把世界纪录提高了10%，该记录一直保持到1996年的奥运会，列出影响跳远距离的变量．你认为墨西哥城的低空气密度可以解释这个10%的差别吗？8．上大学是一项可靠的金融投资吗？四年里没有收入，而且大学的费用极高，什么因素决定大学教育的总费用？怎么确定为使这项投资有利可图的必要条件？。
数学建模习题课1
习 题 课一、初等模型与常用的建模方法1. 奇偶校验法例11，9，8，6四个数字，问能否在余下的方格各填入一整数，使得方格区上的每一行每一列都构成等差数列？解这就产生了矛盾的结果，故所要求的填法不存在.例2 利用奇偶校验法证明，空间中不存在“有奇数个面，且每个面又都有奇数条边的多面体”.证 用反证法.必为奇数.另一方面，在多面体中，每两个相邻的面都有一条公共边，即多面体的棱，而且每一条棱又都为两个面所共有，每一条棱都被重复地计算了一次，于是产生了矛盾. 故由奇偶校验法知根本不存在具有奇数个面，且每个面又都有奇数条棱的多面体.例3. 证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积.证用反证法.系数多项式的乘积，则必有（1）（2）2）.另一方面，由(1)奇数立为奇数，因而（2）右端. 因此由奇偶校验法知满足条件积.2. 席位分配问题例4 比利时的d’Hondt曾提出过如下一种席位分配方案：将甲、乙、丙三个系的人数都用1,2,3…去除，然后将商从大到小排列，取前21个最大的商数考虑，规定在这21个商中，各系占有几个就分配给几个席位。
试通过数学建模探讨这种方法的合理性。
解以教材中甲、乙、丙三个系人数分别为103,63,34为例：系别人数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12甲 103 103 51.5 34.33 25.75 20.6 17.17 14.71 12.875 11.44 10.3 9.36 8.58乙 63 63 31.5 21 15.75 12.6 10.5 9 7.875 7 6.3丙 34 34 17 11.33 8.5 6.8从表中可以看出，按照比利时方法，在21个席位中甲占11席、乙占7席、丙占3席。
说明：（1）此席位分配方案明显不合理；（2）此方法与Q值方法比较有明显的缺陷，特别是当上述商值相等或十分接近时难以排序。
例5 某系共有1000名学生，其中235人住在A楼，333人住在B楼，432人住在C楼。
北师大版高中数学课件必修第1册第八章 数学建模活动(一)
§3 数学建模活动的主要过程
刷基础
解析
(1)由 17 时测得的平均行车速度为 3 km/h，n＝－2(|17－12|－5)2＋100＝100，
600 ，n≤9，
n＋10
代入 v＝ 3n32＋ 00k0，n≥10n∈N＋，可得1303002＋ 00k＝3，解得 k＝1 000.
600n 600
600×9
§3 数学建模活动的主要过程
刷能力
解析
2．无标准答案，可以借助网络等资源查询相关资料，得到解决问题的思路．
≈0.69，无理数 e＝2.718 28…)
§3 数学建模活动的主要过程
刷基础
解析
(1)∵ω＝2，m0＝160，mk＝40，∴v＝ωlnm0＝2×ln160＝2ln 4＝4ln 2≈2.8，
mk
40
∴该单级火箭的最大理想速度为 2.8 千米/秒．
(2)∵m0≤10，ω＝2，∴vmax＝ωlnm0＝2ln 10，
数学 BS 必修第一册
§1
§1 走近数学建模
§2
§2 数学建模的主要步骤
§3
§3 数学建模活动的主要过程
§3 数学建模活动的主要过程
刷基础
1．2021 年 12 月 9 日 15 时 40 分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，
某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，
§3 数学建模活动的主要过程
刷能力
解析
k
k
(1)设 y1＝ (k≠0)，y2＝mx(m≠0)，其中 x>0，当 x＝9 时，y1＝ ＝2，y2＝9m＝7.2，解得 k＝20，
数学建模作业1——火箭上升问题的模型建立教学提纲
数学建模作业1——火箭上升问题的模型建立题目：火箭上升问题的模型建立组员：摘要本文研究的是火箭上升问题，并针对有燃料和燃料已用尽两个问题分别建立了符合实际的数学模型。
在模型的求解过程中，通过运用MATLAB及微分方程，对建立的模型进行求解，得出了符合实际的结果。
关键字：火箭上升；数学模型；微分方程一、问题重述小型火箭初始质量为900千克，其中包括600千克燃料。
火箭竖直向上发射时燃料以15千克每秒的速度燃烧掉，由此产生30000牛顿的恒定推力。
当燃料用尽时引擎关闭。
设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数为0.4（千克/米），重力加速度取10米/秒 2（1）建立火箭升空过程的数学模型；（2）求引擎关闭瞬间火箭到达最高点的时间和高度。
二、基本假设1.火箭在喷气推动下作直线运动，火箭飞行时所受的地球自传与公转忽略不计。
2.火箭正常飞行，忽略其他因素对火箭飞行的影响。
3.假设产生影响的各个因素相互独立。
4.火箭上升初速度忽略不计，引擎足够强大。
5.火箭上升时所受到的重力加速度不变。
三、符号说明t ：火箭上升过程的时间。
0t ：第一个过程持续的时间。
M ：第一阶段向上加速过程中火箭的质量。
m ：第二阶段火箭剩余的质量。
f ：火箭上升整个过程中空气阻力。
v ：火箭的速度。
y ：火箭上升的高度。
g ：物体所受重力加速度。
F ：火箭受到的恒定推力。
四、问题分析这是一个研究火箭竖直向上发射的问题。
火箭在竖直向上发射中，根据有燃料和燃料已用尽，可以分为两个阶段。
第一阶段是燃料产生推力的过程，第二阶段是燃料全部消耗之后的上升过程。
在第一阶段中，燃料燃烧产生的推力是恒定的，但随着燃料的不断消耗，火箭的质量是变化的，因此，火箭的速度以及加速度是变化的，由牛顿第二定律，根据速度与时间关系，建立微分方程组。
在第二阶段中，燃料已经完全消耗，因此，火箭的质量恒定。
引擎关闭即第一阶段终止第二阶段开始的时刻。
由于火箭运动受到阻力的作用，火箭先加速，后减速。
第1讲_什么是数学建模
合理化假设
显然该问题与瓶子和石子的形状及 其排列方式有关，为简单起见我们假设： • 瓶子是正方体的且不考虑瓶口的体积。 • 乌鸦投进的石子是大小相同的球体。 • 瓶子中摆放的方法如图1所示
图1
合理化假设
• 瓶子的边长是石子直径的整数倍，不妨 设为n倍（显然，如果不是整数倍的话， 那石子间的空隙会更大，不利于乌鸦喝 到水） • 石头内部渗进的水忽略不计。
与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性
数学建模的全过程
现 实 世 界
现实对象的信息
验证 现实对象的解答
表述
(归纳)
解释
数学模型
求解 (演绎) 数学模型的解答
数 学 世 界
表述 求解 解释
根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问 题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象
原比(l/h)
０．６０７１ ０．６０７１ ０．６０７１ ０．６０７１
身高(cm) 鞋跟高度(cm) 新比值
１６８ １６８ １６８ １６８ ２．５ ３．５５ ４．５ ４．７７４８ ０．６１２９ ０．６１５１ ０．６１７３ ０．６１８
问题的检验
• 又如，按照上述模型，身高153CM，下肢 长为92CM的女士，应穿鞋跟高为6.6CM的 高跟鞋显得比较美。
明确建模目的 掌握对象特征
形成一个 比较清晰 的‘问题’
数学建模的一般步骤
模 型 假 设 建 立 模 型 针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设
在合理与简化之间作出折中
用数学的语言、符号描述问题
发挥想像力
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤
模型 求解 模型 分析 模型 检验 模型应用 各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析
数学建模之概率统计-1
概率与统计
概率论中所研究的随机变量的分布都是 已知的。 统计学中所研究的随机变量的分布是未 知的或部分未知的，必须通过对所研究 的随机变量进行重复独立的观察和试验， 得到所需的观察值（数据），对这些数 据分析后才能对其分布做出种种判断， 即“从局部推断总体”。
统计学
给定一组数据，统计学可以摘要并且描述这
……
……
Matlab相关命令介绍
normfit 正态分布中的参数估计
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x,alpha) 对样本数据 x 进行参数估计，并计算置信度为 1-alpha 的置信区间 alpha 可以省略，缺省值为 0.05，即置信度为 95%
频率
随机试验进行次数
概率
基本知识
随机变量 数字特征（均值、方差、相关系数、特征函数…）
统计分析（假设检验、相关分析、回归分析…)
Matlab 中的随机函数
rand(m,n)
生成一个满足均匀分布的 m n 随机矩阵，矩阵的每
个元素都在 (0,1) 之间。
注：rand(n)=rand(n,n)
Matlab中的取整函数
fix(x) floor(x) ceil(x) round(x)
: 截尾取整，直接将小数部分舍去 : 不超过 x 的最大整数 : 不小于 x 的最小整数
: 四舍五入取整
取整函数举例
x1=fix(3.9);
x2=fix(-3.9); x3=floor(3.9); x4=floor(-3.2); x5=ceil(3.1); x6=ceil(-3.9); x7=round(3.9); x1=3 x2=-3 x3=3 x4=-4 x5=4 x6=-3 x7=4 x8=-3 x9=-4
大学生数学建模竞赛题目1
A题系泊系统的设计
近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。
某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。
系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。
锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。
钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。
要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度错误！未找到引用源。
，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。
水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。
钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。
钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。
若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。
钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。
为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。
图1 传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例）系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。
1。
数学建模综合评价模型1
如何对有关问题给出定量分析呢？
按国家的评价标准,评价因素一般分为五 个等级，如A，B，C，D，E。
如何将其量化？若A-，B+，C-，D+等又如 何合理量化？
根据实际问题，构造模糊隶属函数的量化 方法是一种可行有效的方法。
（1）使所有的指标都从同一角度说明总体，这就提 出了如何使指标一致化的问题；
• （2）所有的指标可以相加，这就提出了如何消除 指标之间不同计量单位（不同度量）对指标数值 大小的影响和不能加总（综合）的问题，即对指 标进行无量纲化处理——计算单项评价值。
4．确定各个评价指标的权重 5．求综合评价值——将单项评价值综合而成。
（1）标准差方法:
令xij
xij x j sj
(i 1, 2,
, n; j 1, 2,
, m) ，
其中 xj
1 n
n i 1
xij , s j
[1 n
n i 1
( xij
x
j
)
2
]
1 2
(
j
1, 2,
, m) 。
显然指标 xij (i 1, 2, , n; j 1, 2, , m) 的均值和均方差分别为 0
- 定性指标
1、评价指标类型的一致化
1.1 将极小型化为极大型
倒数法：
xj'
1 xj
平移变换法 xj' M j xj
其中
M j
max
1in
数学建模运筹模型1
为3吨、6吨、5吨、6吨，运输表如下表，试制定最优运送
方案。
B1
B2
B3
B4 产量 ai
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
需求量 bj
3
6
5
6
20
运输问题
解：1.确定初始基可行解 最小元素法：
B1
B2
B3
B4
ai
3
11
3
10
A1
7
x11
x12
x13
x14
1
9
2
8
A2
4
x21
x22
x23
目录
• 线性规划 • 运输问题 • 指派问题 • 网络优化 • 动态规划
线性规划
例 某工厂在计划期内要安排Ⅰ，Ⅱ两种产品的生产，已知生产 单位产品所需的设备台时及A，B两种原材料的消耗、资源的 限制，如下表。问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ，Ⅱ产品 才能使工厂获利最多？
线性规划
例 下料问题 某工厂要做100套钢架，每套用长为 2.9m，2.1m，1.5m的圆钢各一根，已知原料每 根长7.4m。应如何下料，可使所用原料最省？
i 1
j 1
2.
m
ai
n供bj 不应求，引入虚拟的产地，并假设它的产量为
i 1
j 1
n
m
bj ai
j 1
i 1
由于虚拟销地是不存在的，实际上这个差值是在产地贮存的， 故从产地到虚拟销地的单位运价为0；
同理，由于虚拟产地是不存在的，所以虚设的产地到各个销 地的单位运价也为0.
线性代数数学建模案例(1)
其增广矩阵
(A, b) =
1 1 0 0 500
1 0 0 1 100
1
0 0
0 1 0
0 1 1
1 0 1
100
300 300
初等行变换
0
0 0
1 0 0
0 1 0
1 1 0
600
300 0
由此可得
x1 x4 100
百甚至上千未知量和线性方程。
一个网络由一个点集以及连接部分或全部 点的直线或弧线构成。 网络中的点称作联结点
(或节点)，网络中的连接线称作分支. 每一分支 中的流量方向已经指定，并且流量(或流速)已 知或者已标为变量。
x3
x1
60
x4
80
x2
(a)
x5 (b)
网络流的基本假设是（1）网络中流入与流 出的总量相等；（2）每个节点上流入和流出 的总量也相等。例如，上面两图（a）、（b）。 流量在每个节点守恒。 在类似的网络模式中， 每个结点的流量都可以用一个线性方程来表示。
线性代数数学建模案例 （1）
一、网络流模型
网络流模型广泛应用于交通、运输、通讯、电力 分配、城市规划、任务分派以及计算机辅助设计等众 多领域。当科学家、工程师和经济学家研究某种网络 中的流量问题时,线性方程组就自然产生了,例如,城市 规划设计人员和交通工程师监控城市道路网格内的交 通流量,电气工程师计算电路中流经的电流,经济学家 分析产品通过批发商和零售商网络从生产者到消费者 的分配等. 大多数网络流模型中的方程组都包含了数
Matlab练习题
某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是 单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图 中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉 路口进入和离开的车数相等, 整个图中进入和离 开的车数相等。
数学建模1
0
xm/2
xm x
0
t
x (t )
xm xm rt 1 ( 1)e x0
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
阻滞增长模型(Logistic模型)
参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合
y rt a,
其中：y ln x.a ln x0 。
⑷
以1790年到1900年的数据拟合⑷式，可得
r 0.2743/10年, x0 4.1884.
以1790年到2000年的全部数据拟合⑷式，可得
r 0.2022/10年, x0 6.0450.
模型检验
用上面得到的参数
r ( x) r sx (r, s 0)
r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
r ( xm ) 0
r s xm
x r ( x) r (1 ) xm
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt
dx x r ( x) x rx(1 ) dt xm
C
O D´
A
x
D
正方形 对称性
C´
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 f() , g()是连续函数
对任意, f(), g() 至少一个为0
能无限增长，这是因为人口的增长率实际上是在不断
数学建模第1章线性规划
数学
建模
例 1.6
min{max
xi
yi
|
ei
|}，其中e i
=
xi -
yi 。
取v
=
max yi
|
e
i
|，这样，上面的问题就变换成
min v，
s.t.
ìïïíïïî
x1 y1
-
y1 ? x1 ?
v,L , xn v,L , yn
yn ? v, n ? v.
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基础部数学教研室
数学 建模
2x1 - 5x2 + x3 ? 10， x1 + 3x2 + x3 ? 12， x1, x2 , x3 ³ 0.
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基础部数学教研室
数学 建模
解 （1）化成 Matlab 标准型
min w = - 2x1 - 3x2 + 5x3，
s.t.
轾 犏- 2 犏 臌1
5 3
-1 1
轾 犏x1 犏 犏x2 犏 臌x3
a=1 -1 -1 1 1 -1 1 -3 1 -1 -2 3;
enddata
min=@sum(col:c*@abs(x));
@for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)*x(j))<b(i));
@for(col:@free(x)); !x的分量可正可负;
end
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基础部数学教研室
@for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)*x(j))<b(i));
@sum(col:x)=7;
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end
基础部数学教研室
数学 建模
例 1.2 求解下列线性规划问题 max z = 2x1 + 3x2 - 5x3， s.t. x1 + x2 + x3 = 7， 2x1 - 5x2 + x3 ? 10， x1 + 3x2 + x3 ? 12， x1, x2 , x3 ³ 0.
高中数学建模教学(1)
浅析高中数学建模教学摘要：为增强学生应用数学的意识，切实培养学生解决实际问题的能力，分析了高中数学建模的必要性，并通过对高中学生数学建模能力的调查分析，发现学生数学应用及数学建模方面存在的问题，并针对问题提出了关于高中进行数学建模教学的几点意见。
关键词：数学建模数学应用意识数学建模教学一、数学建模是从现实问题中建立数学模型的过程.在对实际问题本质属性进行抽象提炼后,用简洁的数学符号、表达式或图形,形成便于研究的数学问题,并通过数学结论解释某些客观现象,预测发展规律,或者提供最优策略.它的灵魂是数学的运用并侧重于来自于非数学领域,但需要数学工具来解决的问题.这类问题要把它抽象,转化为一个相应的数学问题,一般可按这样的程序:进行对原始问题的分析、假设、抽象的数学加工.数学工具、方法、模型的选择和分析.模型的求解、验证、再分析、修改假设、再求解的迭代过程.数学建模可以提高学生的学习兴趣，培养学生不怕吃苦、敢于战胜困难的坚强意志，培养自律、团结的优秀品质，培养正确的数学观。
具体的调查表明，大部分学生对数学建模比较感兴趣，并不同程度地促进了他们对于数学及其他课程的学习．有许多学生认为：”数学源于生活，生活依靠数学，平时做的题都是理论性较强，实际性较弱的题，都是在理想化状态下进行讨论，而数学建模问题贴近生活，充满趣味性；数学建模使我更深切地感受到数学与实际的联系，感受到数学问题的广泛，使我们对于学习数学的重要性理解得更为深刻”。
数学建模能培养学生应用数学进行分析、推理、证明和计算的能力；用数学语言表达实际问题及用普通人能理解的语言表达数学结果的能力；应用计算机及相应数学软件的能力；独立查找文献，自学的能力，组织、协调、管理的能力；创造力、想象力、联想力和洞察力。
由此，在高中数学教学中渗透数学建模知识是很有必要的。
二、那么当前我国高中学生的数学建模意识和建模能力如何呢？学生数学建模意识和建模能力的现状不容乐观。
数学建模作业(一)1
第一题: 某班共45人，要去离校7.7千米的风景区旅游。
学校派了一辆可坐12人的校车接送。
为了尽快又同时到达目的地，校车分段分批接送学生。
已知校车速度为每小时70千米，学生步行的速度为每小时5千米。
如果上午七点出发，问最快什么时候全班同时到达目的地？（班长作为联系人要始终跟车）
第二题：某人为了锻炼身体,每天早晨坚持晨跑30分钟, 其中从A到B为800米上坡路，从B到C为1000米平路。
问在30分钟内跑完1800米，怎样安排跑步计划，才能使锻炼效果最佳？（即总疲劳程度伟为最低）
第三题：一辆小汽车与一辆大卡车在一段狭路上相遇，只有倒车才能继续通行。
如果小汽车的速度为大卡车的3倍，两车倒车的速度是各自正常速度的1/5，在这段狭路上，小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车路程的4倍。
那么，为了使后通过狭路的那辆车尽早地通过这段狭路，问怎样倒车较为合理？
第四题：某人在一家公司工作，目前年薪为1万元。
老板说，现在有两种方案可供选择：第一种，每一年加1000元；第二种，每半年加300元。
试问：
（1）如果你在该公司工作5年，用哪一种方案收入高？
（2）如果你在该公司工作5年，将第二种方案中的每半年加300元改为a元时，那一种方案收入高？
（3）如果你在该公司工作n年，用哪一种方案收入高？
第五题：一个直角走廊宽为1.5米，有一辆转动灵活的平板水平推车，宽为1米，长为2.2米，问能否将其推过直角走廊？说明理由。
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（１）设购买A ．．．Ｅ五种证劵的数量分别为ｘ１．．ｘ５；A ．．．Ｅ五种证劵税卡收益（％）用ｃ表示；A ．．．Ｅ五种证劵信用等级用ｄ表示；A ．．．Ｅ五种证劵到期年限用ｙ表示；获得最大利润用ｚ表示，51*z ci xi =∑；约束条件：511000 xi=∑51*di1400; xi<=∑51*5000 yi xi<=∑21400; xi>=∑编写程序：model:sets:var1/1..5/:c,y,b,x; endsetsmax=@sum(var1:c*x*y); @sum(var1:x)=1000;x2+x3+x4>=400;@sum(var1:y*x)<=5000;@sum(var1:b*x)<=1400;@for(var1:@bnd(0,x,1000));data:y=9 15 4 3 2;b=2 2 1 1 5;c=0.043 0.027 0.025 0.022 0.045;enddataend运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 174.2400Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 3Variable Value Reduced Cost X2 0.000000 0.000000 0.000000X3 0.000000 0.000000 0.000000X4 400.0000 0.000000 0.000000C( 1) 0.4300000E-01 0.000000 C( 2) 0.2700000E-01 0.000000 C( 3) 0.2500000E-01 0.000000 C( 4) 0.2200000E-01 0.000000 C( 5) 0.4500000E-01 0.000000 Y( 1) 9.000000 0.000000 Y( 2) 15.00000 0.000000 Y( 3) 4.000000 0.000000 Y( 4) 3.000000 0.000000 Y( 5) 2.000000 0.000000 B( 1) 2.000000 0.000000 B( 2) 2.000000 0.000000 B( 3) 1.000000 0.000000 B( 4) 1.000000 0.000000 B( 5) 5.000000 0.000000 X( 1) 336.0000 0.000000X( 2) 0.000000 0.2844000X( 3) 0.000000 0.1640000E-01X( 4) 648.0000 0.000000X( 5) 16.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 174.2400 1.0000002 0.000000 -0.10380003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.5040000E-015 0.000000 0.1860000E-01 A=336, B=0, C=0，D=648, E=16.(2).借到利润K元；设购买A ．．．Ｅ五种证劵的数量分别为ｘ１．．ｘ５；A ．．．Ｅ五种证劵税卡收益（％）用ｃ表示；A ．．．Ｅ五种证劵信用等级用ｄ表示；A ．．．Ｅ五种证劵到期年限用ｙ表示；获得最大利润用ｚ表示，51*z ci xi =∑；约束条件：51xi1000;k <=+∑51*50005; xi yi K<=+∑51*d i14001.4*; x i k<=+∑23440x x x++>=编写程序：model:sets:var1/1..5/:c,y,b,x;var2/1..1/:e;endsetsmax=@sum(var1:c*x*y)-100*e1*2;@sum(var1:x)=1100;x2+x3+x4>=400;@sum(var1:y*x)<=5500;@sum(var1:b*x)<=1540;@for(var2:@bnd(0,k,100));@for(var1:@bnd(0,x,1100));data:y=9 15 4 3 2;b=2 2 1 1 5;c=0.043 0.027 0.025 0.022 0.045;e=0.0275;enddataend运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 191.6640Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 3Variable Value Reduced CostE1 0.000000 900.0000X2 0.000000 0.000000X3 0.000000 0.000000X4 400.0000 0.000000K 0.000000 0.000000C( 1) 0.4300000E-01 0.000000C( 2) 0.2700000E-01 0.000000C( 3) 0.2500000E-01 0.000000C( 4) 0.2200000E-01 0.000000C( 5) 0.4500000E-01 0.000000Y( 1) 9.000000 0.000000Y( 2) 15.00000 0.000000Y( 3) 4.000000 0.000000Y( 4) 3.000000 0.000000Y( 5) 2.000000 0.000000B( 1) 2.000000 0.000000B( 2) 2.000000 0.000000B( 3) 1.000000 0.000000B( 4) 1.000000 0.000000B( 5) 5.000000 0.000000X( 1) 369.6000 0.000000X( 2) 0.000000 0.2844000X( 3) 0.000000 0.1640000E-01 X( 4) 712.8000 0.000000X( 5) 17.60000 0.000000E( 1) 0.2750000E-01 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 191.6640 1.0000002 0.000000 -0.10380003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.5040000E-015 0.000000 0.1860000E-01A=369.6, B=0, C=0，D=712.8, E=17.6 借用100万元.（3）表示如(1)所示；编程如下：model:sets:var1/1..5/:c,y,b,x;endsetsmax=@sum(var1:c*x*y);@sum(var1:x)=1000;x2+x3+x4>=400;@sum(var1:y*x)<=5000;@sum(var1:b*x)<=1400;@for(var1:@bnd(0,x,1000));data:y=9 15 4 3 2;b=2 2 1 1 5;c=0.045 0.027 0.024 0.022 0.045;enddataend运行结果： Global optimal solution found.Objective value: 180.2880Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 3Variable Value Reduced Cost X2 0.000000 0.000000 X3 0.000000 0.000000 X4 400.0000 0.000000 C( 1) 0.4500000E-01 0.000000 C( 2) 0.2700000E-01 0.000000 C( 3) 0.2400000E-01 0.000000 C( 4) 0.2200000E-01 0.000000 C( 5) 0.4500000E-01 0.000000 Y( 1) 9.000000 0.000000 Y( 2) 15.00000 0.000000 Y( 3) 4.000000 0.000000 Y( 4) 3.000000 0.000000 Y( 5) 2.000000 0.000000 B( 1) 2.000000 0.000000B( 2) 2.000000 0.000000B( 3) 1.000000 0.000000B( 4) 1.000000 0.000000B( 5) 5.000000 0.000000X( 1) 336.0000 0.000000X( 2) 0.000000 0.3196800X( 3) 0.000000 0.2328000E-01 X( 4) 648.0000 0.000000X( 5) 16.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 180.2880 1.0000002 0.000000 -0.11316003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.5328000E-015 0.000000 0.1932000E-01A=336, B=0, C=0，D=648, E=16.投资不变。