1数学建模入门

数学建模与数学应用题的区别
数学应用题： 求解数学问题的条件及需要解决的问题是确 定的，恰到好处； 数学建模： ①题目的条件及需要解决的问题都可能有许多 不确定的因素。 ②数学建模没有唯一正确的答案 ③有不同的建模方法 ④模型与建模目的有关
数学建模在实际中的应用
1．【华罗庚的生产应用】
上世纪70年代，华罗庚教授亲自率领研究小组， 深入到工厂、农村、矿山，大力推广优选法与统筹 法，足迹遍及23个省市，成果遍及许多行业，解决 了许多实际问题．例如，纺织业中提高织机效率与 染色质量，减少细纱断头率；电子行业中试制新的 160V电容器，使100万米废钼丝复活；农业中提高加 工中的出米率、出油率、出酒率等等，为国家经济 建设做出了贡献．
B´ B A´
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置
• 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 A C 距离是的函数 O x 四个距离 两个距离 C´ D´ (四只脚) 正方形 D 对称性 正方形ABCD A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() 绕O点旋转 B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
模型构成
数学建模在实际中的应用
3．【军事】
海湾战争中，美国运用运筹学和优化的方法，只 用了短短一个月时间就将大批人员和物资调运到位．
第一次世界大战是化学战（火药） 第二次是物理战（原子弹） 海湾战争则是数学战
全国大学生数学建模竞赛介绍
全国大学生数学建模竞赛是由国家教委高教 司和中国工业与应用数学学会共同主办的一年一 次的竞赛。 竞赛是在紧张的三天中进行的。 学生三个人组成一个队，在A、B（或者C、D） 两道赛题中任选一题。 竞赛题目来源于工程技术和管理科学等方面 经过简化加工的实际问题，有较大的灵活性供参 赛者发挥创造能力。 学生可以自由地查阅资料、使用计算机及软 件，完成一篇包括假设、建模、分析、求解和自 我评价等内容的论文。
5 模型检验
将模型分析结果与实际情形进行比较， 以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。 如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给 出其实际含义，并进行解释。如果模型与实 际吻合较差,则应该回头修改假设，再次重复 建模过程。
提出实际问题 抽象、简化、假设 确定变量、参数 建立数学模型 用数学方法进行求解 用实际问题的实测数据 若不符合实际 等来检验该数学模型
数学建模在实际中的应用
2. 【预测与控制】
自然科学的主要任务是预测、预见各种自然现 象．数学是预测的重要武器，而预测则是管理工作， 如资金的投放、商品的产销、人员的组织等的重要 依据．我国数学工作者在天气、台风、地震、病虫 害、鱼群、海浪等方面进行过大量的统计预测．中 科院系统所对我国粮食产量的预测，获得了很好的 结果，连续11年的预测产量与实际产量平均误差只 有1％，保证了国家政策的科学性，确保了13亿中国 人的温饱．
数学建模的几个过程
模型求解
要求：一定要有详细的求解过程，而且计算公式 与方法、中间结果等应尽量写出。
数学建模的几个过程
5 模型分析
对所得的结果进行数学上的分析，能否 对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的 模型能否达到更高的档次。要记住，不论那种 情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。
数学建模的几个过程
数学建模的几个过程 1 模型准备 （问题重述）
1）了解问题的实际背景； 2）明确问题的实际意义与建模目的； 3）掌握对象的各种信息（包括分析影响建 模的各种因素、搜集各种统计数据等）。 黑箱模型 灰箱模型 白箱模型
数学建模的几个过程
准备阶段的工作： 1）反复读题； 2）与组内同学共同讨论问题； 3）查阅和搜集相关资料（上网、上书店、上图书 馆等形式），进一步弄清问题的陈述和要求。 4）弄清问题的要求，初步理清思路（可能用到哪 部分数学知识，是否为本组的特长）。
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性 质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
数学模型的特点
3.模型的逼真性与可行性
尽管人们总是希望模型尽可能逼近研究对象，但是 一个非常逼真的模型在数学上通常是难于处理的， 因而达不到通过建模解决实际问题的目的，即实用 上不可行.因此，在建模时不必追求模型的完美无 缺而只要符合实际问题的基本要求即可.
数学模型的特点
4.模型的渐近性
稍复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功 ，往往要反复几次建模过程，包括由简到繁，也包 括由繁到简，以期获得越来越满意的模型，这也符 合人们认识问题的规律性.
建立模型
注意：在这部分，要求一定要有明确的 模型。
数学建模的几个过程
4 模型求解
利用获取的数据资料，对模型的所有参数做 出计算（估计）。可以采用解方程、画图形、证 明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近 代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问 题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将 系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟 悉数学软件包能力便举足轻重。 要求：掌握Matlab、Mathematics、Maple、Lingo
数学建模中的群体思维方法
平等地位、相互尊重、充分交流 杜绝武断评价 不要回避责任 不要对交流失去信心
怎样才能学好数学建模
作为一名初学者，首先应当清楚“数学建模” 完全不同于其他数学分支，学习本课程的困难不 在于学习和理解所用的数学，而在于明白在何处 用它，怎样用它，而 “ 学着用 ” 数学和 “ 学 ” 数学是 根本不同的。
数学建模的几个过程
3 建立模型
根据所作的假设分析对象的因果关系，利用 对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量 间的等式关系或其它数学结构。可能用到高数、 概率统计、图论、排队论、线性规划、对策论等 知识。但要牢记，建立数学模型是为了让更多的 人明了并能加以应用，因此工具越简单越有价值。
数学建模的几个过程
数学模型的分类
按建立模型的数学方法分类： 几何模型 微分方程模型 图论模型 规划论模型 评价模型
什么是数学建模
数学建模（Mathematical Modelling） 是一种数学的思考方法，是“对现实的现象 通过心智活动构造出能抓住其重要且有用 的特征的表示，常常是形象化的或符号的 表示。”从科学，工程，经济，管理等角度 看数学建模就是用数学的语言和方法，通 过抽象，简化建立能近似刻画并“解决”实 际问题的一种强有力的数学工具。
数学模型的分类
按模型的应用领域分类： 生物数学模型 医学数学模型 地质数学模型 数量经济学模型 数学社会学模型
按是否考虑随机因素分类： 确定性模型 随机性模型
数学模型的分类
按是否考虑模型的变化分类： 静态模型 动态模型 按应用离散方法或连续方法分类： 离散模型 连续模型
数学模型的特点
1.答案的不唯一性
数学建模的结果无所谓“对”与“错”，但却有优 与劣的区别，评价一个模型优劣的唯一标准是实践 检验.
1.方法的不统一性
对同一个问题，各人因其特长和偏好等方面的差 别，所采取的方法可以不同.使用近代数学方法 建立的模型不一定就比采用初等数学方法建立的 模型好，因为我们建模的目的是为了解决实际问 题.
数学建模竞赛的组队
组队是根据分工而来的： 一个要数学功底深厚，理论扎实 一个要擅长算法实践 一个则要写作水平良好，弥补专业知识不足
数学建模竞赛的关键
1、热心参赛、激情高昂 2、协调与配合 3、建模、计算机、写作 其中配合最为重要，否则“强强不强”，结 果可想而知。
CUMCM评阅标准
假设的合理性，建模的创造性， 结果的正确性，表述的清晰性。 合理性：关键假设(不欣赏罗列大量无关紧要的假设); 要对假设的合理性进行解释，正文中引用 创造性：特别欣赏独树一帜、标新立异，但要合理 正确性：不强调与“参考答案”的一致性和结果的精度； 好方法的结果一般比较好；但不一定是最好的 清晰性：摘要应理解为详细摘要，提纲挈领 表达严谨、简捷，思路清新 格式符合规范，严禁暴露身份
若符合实际
交付使用，从而可产 生经济、社会效益
数学模型模仿了一个现实系统，但建立
数学建模始于现实世界而终于 数学模型并非以模仿为目标，而是为了解决 现实世界，是一道理想的桥梁。
实际问题。数学模型是对现实对象的信息加 以分析、提炼、归纳、翻译的结果，它用精 确的语言表达了对象的内在特性，是利用函 数、方程等数学概念创立的模型。当我们建 立一个数学模型时，我们从现实世界进入充 满数学概念的抽象世界。
怎样才能学好数学建模
• 我的建议是去做，去实践，去积极参与。学 习建模就像学习游泳一样必须亲身实践，站在岸 边永远学不会游泳。 • 只是欣赏别人的数学模型的人，他也永远不
会有让人欣赏的数学模型。 • 我们强调：亲身参与，并有意识地培养自己
在上述各个方面的能力。
数学建模的几个过程
1、模型准备 3、模型建立 5、模型分析与检验 2、模型假设 4、模型求解
数学建模示例
1 椅子能在不平的地面上放稳吗
放稳 ~ 四只脚着地
问题分析 通常 ~ 三只脚着地 模 型 假 设
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 • 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性
1 数学建模入门
王 科 2014.3.20
什么是数学建模
模型是实物、过程的一种表示形式，是人们认识事物 的一种概念框架。也就是用某种形式来近似地描述或模拟 所研究的对象或过程。模型可以分为具体和抽象模型两类， 数学模型就是抽象模型的一种。 数学模型是关于部分现实世界的，为一定目的而作的 抽象、简化的数学结构。它用数学符号、公式、图表等刻 划客观事物的本质属性与内在规律。数学模型是系统的某 种特征的本质的数学表达式，数学模型是对所研究对象的 数学模拟，是一种理想化和抽象化的方法，是科学研究中 一种重要的方法。
数学模型的特点
5.模型的可转移性(可推广性 )
ห้องสมุดไป่ตู้
模型是对现实对象进行抽象化和理想化的产物，常 常不为对象的所属领域所独有，完全可能转移到另 外的领域中去，这个特点也是使用类比法建模的基 础.
数学建模中的发散性思维方法
借助于一系列问题来展开思路
这个问题与什么问题相似？ 如果将问题分解成两个或几个部分会怎样？ 极限情形（或理想状态）如何？ 综合问题的条件可得到什么结果？ 要实现问题的目标需要什么条件？ 借助于下意识的联想（灵感）来展开思路 抓住问题的个别条件或关键词展开联想或猜想 综合所得到的联想和猜想，得到一些结论 进一步思考找出新思路和方法
数学建模的几个过程
2 模型假设（含变量假设或符号说明）
根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进 行必要的、合理的简化，并用精确的语言进行表述 是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一 概考虑，无疑是将很难转化成数学模型，即便转化 成功，也可能难以求解；而假设不合理或过份简单 也同样会因为与实际相去甚远而使建模归于失败.
评注和思考
建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定 考察四脚呈长方形的椅子
假设条件的本质与非本质
例2：城市间的电话次数
问 题
已知上海、北京、广州三个城市的市区人口（千人）及相 互间的距离见下表，求三个城市之间，在某一确定时间内 的电话次数。
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 f() , g()是连续函数 对任意, f(), g() 至少一个为0
数学 问题
已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) > 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.