概率论与数理统计 52 中心极限定理资料

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概率论与数理统计第二版第五章大数定律及中心极限定理

( (2)=0.977, 其中 (x)是标准正态分布函数. )
解设Xi表示 “装运的第i箱的重量”(单位:千克), n为所n求箱数,则X1, X2,
, X n相互独立同分布, n箱的总重量 T n =X1+X2+ +X n = Xi ,且 E(Xi)=50,
D(Xi)=25, 由林德伯格-列维中心极限定理知
n
i 1
n
P{Tn
5000}=P{
n i 1
Xi
5000
}=P
i
1
Xi 50n
5n
5000
50n
=P
i 1
5n
Xi 5
50n
1000
10n
n
n
( 1000 10n) >
0.977=(2) ,
解得 n < 98.0199 ,
n
所以每辆汽车最多装 98 箱 .
第五章大数定律及中心极限定理 §5.2 中心极限定理
μ
|
ε}
1,
1 n
lim
n
P{|
n
i 1
Xi
μ|
ε}
0
.
第五章大数定律及中心极限定理 §5.1 大数定律
例1 (P149例1)设随机变量X1 , X2 , , X n , 相互独立同服从参
数为 2的指数分布, 则当n∞时, Yn =
1 n
n
i 1
X
2 i
依概率收敛于
____
.
解因为随机变量 X1 , X2 , , X n 相互独立同分布, 所以
定理1 (伯努利大数定律) 设随机变量序列 X1 , X2 , , X n ,

中心极限定理的内容

中心极限定理的内容一、引言中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了大量独立随机变量之和的分布情况。

该定理在统计学、自然科学、社会科学等领域都有广泛应用。

本文将对中心极限定理进行全面详细的介绍。

二、定义1. 独立随机变量：若随机变量X1，X2，...，Xn相互独立，则称它们是独立随机变量。

2. 标准正态分布：若随机变量Z服从期望为0，方差为1的正态分布，则称Z服从标准正态分布。

3. 中心极限定理：设X1,X2,...,Xn是独立同分布的随机变量，且具有期望E(Xi)=μ和方差Var(Xi)=σ^2(σ>0)，则当n充分大时，其样本均值（Xi的平均数）服从正态分布N(μ,σ^2/n)近似成立。

三、证明中心极限定理有多种证明方法，其中比较常用的是利用特征函数进行证明。

以下是一种比较简单易懂的证明方法：假设X1,X2,...,Xn是独立同分布的随机变量，其期望为μ，方差为σ^2。

设S_n=X1+X2+...+Xn，则其期望为E(S_n)=nμ，方差为Var(S_n)=nσ^2。

我们定义随机变量Y_n=(S_n-nμ)/(σ√n)，则有：E(Y_n)=E[(S_n-nμ)/(σ√n)]=0Var(Y_n)=Var[(S_n-nμ)/(σ√n)]=1因此，Y_n服从标准正态分布。

即：P(Y_n≤x)=(1/√(2π))*∫(-∞)^x exp(-t^2/2)dt将Y_n表示成X1,X2,...,Xn的函数：Y_n=(X1+X2+...+Xn-nμ)/(σ√n)则有：P(Y_n≤x)=P[(X1+X2+...+Xn-nμ)/(σ√n)≤x]=P[(Xi-μ)/σ≤(x√n)] (i=1,2,...,n)由于Xi是独立同分布的随机变量，因此它们的特征函数相同。

设它们的特征函数为φ(t)，则有：φ(t)=E(exp(itXi))考虑到独立性，我们可以得到：φ(t)^n=E[exp(it(X1+X2+...+Xn))]=E[exp(itX1)]*E[exp(itX2)]*...*E[exp(itXn)]=[φ(t)]^n因此，有：φ(t)=[φ(t)]^n即：φ(t)=exp(inLog[φ(t)])当n充分大时，由于对数函数的泰勒展开式中高阶项的系数比较小，因此可以将其截断为一阶项，得到：Log[φ(t)]=in(1+itμ-σ^2t^2/2)+o(1)其中o(1)表示高阶项。

《概率论与数理统计》课件5-2中心极限定理

X X B( 1 0 0 0 0 ,
EX = np = 10000 0.7 = 7000,
DX = npq = 10000 0.7 0.3 = 2100.
a
-
X N(7000,
P{26180000) X 7200} (
)− (
)
7200 − 7000 6800 − 7000
= 2 ( ) −1 = 2 (4.23160)0−1 = 1.
EX = np = 100根0.8 = 80,
DX = npq = 100根0.8根0.2 = 16.
a
X N(80,16)
P{80 试 X 试100} = P〈0(试 X −80试 5 卜)
l
4
J
~ 牵(5) − 牵(0) = 1− 0.5 = 0.5.
3
10000 ,
0.7. .
, 6800 7200
| i=1 n →的
C(x) |
A
|l
J|
|l
J|
B
(n
)
xXi − 入
P〈 i=1
三 x 卜=
→的 | n 入 |l
C(x) |
J|
(n
)
X i− n入
C
D) lim P〈
三 x = C(x) ．
n →的
|
n入
|
D
|l
J|
2
X ~ B(100,0.8) , P恳80 试 X 试
100
X B( 1 0 0 , 0 .
x100
500 −100根
P{ Xi > 500}~ 1− 牵
i=1
10 35
= 1− 牵(8.78) ~ 0

大学《概率论与数理统计》课件第五章大数定律与中心极限定理

n 100, p 0.2, E(X ) np 20, D(X ) npq 16 4,
例5 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？解设有X 部分机同时使用外线，则有其中设有N 条外线.由题意有由德莫佛-拉普拉斯定理得
第五章大数定律与中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
§5.1 大数定律一、切比雪夫Chebyshev不等式二、几个常见的大数定律
定义1 设随机变量序列
在常数 a ，使得对于任意
有:
则称依概率收敛于a ，记为
，如果存
注意
以概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛弱一些，它具有某种不确定性.
且
是独立同分布的随机变量. 且
累计误差即总距离误差为1200 X k 近似 N (0,100) k 1
由定理1可得
下面介绍定理1 的特殊情况.
定理2（棣莫佛-拉普拉斯定理（De Moivre-Laplace）
设随机变量服从参数为
的二项分布
则对任意的x ，有
即或
证因为所以其中相互独立，且都服从（0-1）分布。
定理1（独立同分布的中心极限定理）
设
为一列独立同分布的随机变量，
且具有相同的期望和方差
则对任意实数x,有
即
，或
例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率. 解设第i 只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 由题给条件知，诸Xi 独立，E( Xi ) =100, D( Xi ) =10000 16只元件的寿命的总和为

概率论与数理统计 5.2 中心极限定理.

1 (2) = 0.02275
7
例2、(01年)一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克,标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977？(Φ(2)=0.977, Φ(X)是标准正态分布)。
5.2中心极限定理
1、独立同分布中心极限定理 2、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
1
引言
在实际问题中，许多随机变量，是由大量相互独立的随机因素综合影响形成的。而每一个因
素在总的影响中的作用是微小的。这种随机变
量往往服从或近似服从正态分布。以一门大炮的射程为例，
2
影响大炮的射程的随机因素包括炮身结构导致的
3
2
一、定理5.4(独立同分布中心极限定理):
设随机变量 X1 ,X2 , … , Xn , … 相互独立, 同分布,
且 E ( X k ) = , D( X k ) = 2 0 , k = 1, 2,
则随机变量 Yn =
X
k =1
n
k
n
n
4
有极限分布 lim P Yn x = ( x)
P a X b
b np a np np(1 p) np(1 p)
12
注 (1) 对于随机变量 X ～ B( n , p ) , 在实际应用中
当 n 50 , p 0.1 时, 常常利用推论5.1 来
解：设X i (i 1, 2, n)为装运第 i 箱的重量( 单位：千克) X n 是独立同分布的，且由题意知 X1 , X 2 ,
E( X i ) 50, ( X i ) 5 令 X X1 X 2 X n，则根据中心极限定理

概率论与数理统计中心极限定理

假定每个部件的称量误差 X ~ U (1,1) （单位：kg ），且
每个部件的称量误差相互独立，试求机床重量的总误差的
绝对值不超过 10 kg 的概率。
作业：第115页，习题5-2，A组：2.
则
n
近似
Xi ~ N (n, n 2 ) 或
i 1
即对任意的 x，有
n
X i n 近似
i 1
~ N (0,1)
n
Hale Waihona Puke nlimP
i 1
n
X i n n

x ( x)

例 5.2.1 为了测定一台机床的质量，把它分解成 75 个部件来称量。
第五章中心极限定理
中心极限定理解决的问题：
n
大量的随机变量的和 X i 的近似分布是什么？ i 1
结论
n
一定条件下， X i 近似服从正态分布。 i 1
一独立同分布中心极限定理（列维-林德贝格）
设随机变量序列 X1, X 2, , X n , 独立同分布，且数学
期望和方差存在：E(Xi ) , D(Xi ) 2 (i 1,2, , n)

概率论与数理统计：中心极限定理

中心极限定理无论随机变量12,,,,n X X X 服从什么分布，当n 充分大时，其和的极限分布是正态分布，这就是我们今天要讲的中心极限定理。

定理 5.5（独立同分布中心极限定理）设随机变量12,,,,n X X X 相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差2(),()0,i i E X D X μσ==>1,2,i =,则随机变量之和1ni i X =∑的标准化变量nin Xn Y μ-=∑的分布函数()n F x 对于任意X 满足2/2lim ()lim d ()n i x t n n n X n F x P x t x μΦ-→∞→∞⎧⎫-⎪⎪⎪=≤==⎬⎪⎪⎩⎭∑⎰定理 5.5表明,对于均值为,μ方差为20σ>的独立同分布的随机变量的和1ni i X =∑的标准化随机变量,不论12,,,,n X X X 服从什么分布,当n 充分大时,都有~(0,1)nin Xn Y N μ-=∑近似,从而,当n 充分大时21~(,)nii XN n n μσ=∑近似.定理5.5′ 设随机变量列12,,,,n X X X 相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差2(),()0,i i E X D X μσ==>1,2,i =,令11nn i i X X n ==∑,则当n 充分大时~(0,1)N 近似,即2~(,/)n X N n μσ近似.例5.3 一盒同型号螺丝钉共有100个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是100 g,标准差是10 g,求一盒螺丝钉的重量超过10.2 kg 的概率.解设i X 为第i 个螺丝钉的重量,,100,,2,1 =i Y 为一盒螺丝钉的重量,则1001,i i Y X ==∑12100,,,X X X 相互独立,由()100,i E X=10,σ= 100n =知()100()10 000,i E X E X =⨯=()100()10 000,i D X D X =⨯=由独立同分布中心极限定理,~(10000,10000)Y N 近似,{}{10 200}110 200P Y P Y >=-≤10 00010 20010 0001100100Y P --⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭1(2)10.977 20.022 8.Φ≈-=-=定理5.6（李雅普诺夫定理）设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立,它们具有数学期望和方差2(),()0,1,2,k k k kE X D X k μσ==>=，记.122∑==nk k nB σ若存在正数δ,使得当∞→n 时,,0}|{|1122→-∑=++nk k knXE B δδμ则随机变量之和∑=n k k X 1的标准化变量nnk kn k kn k k n k k nk k n B X X D X E X Z ∑∑∑∑∑=====-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11111μ的分布函数)(x F n 对于任意x ,满足2/211lim ()lim d ().n nk k x t k k n n n n X F x P x t x B μΦ-==→∞→∞⎧⎫-⎪⎪⎪⎪=≤==⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑⎰ 定理5.7（棣莫佛—拉普拉斯定理）设随机变量(1,2,)~(,)(01),n n b n p p η=<<则对任意x ,有22lim d ().t x n P x t x Φ--∞→∞⎧⎫⎪≤==⎬⎪⎭⎰证明由于n η可视为n 个相互独立、服从同一参数p 的(01)-分布的随机变量12,,,n X X X 的和,即有1nn i i X η==∑,其中(),()(1),i i E X p D X p p ==-1,2,i =,故由独立同分布中心极限定理可得22lim lim d ().n i n n t xX np P x P x t x Φ→∞→∞-⎧⎫-⎪⎪⎧⎫⎪⎪≤=≤⎬⎬⎪⎪⎭⎪⎭==∑⎰, 定理5.7表明:若随机变量n η服从二项分布，即~(,)n b n p η，则当n 充分大时,有~(0,1)npN η-近似,从而,当n 充分大时~(,(1))n N np np p η-近似例5.4 假如某保险公司开设人寿保险业务，该保险有1万人购买（每人一份），每人每年付100元保险费,若被保险人在年度内死亡, 保险公司赔付其家属1万元.设一年内一个人死亡的概率为0.005试问:在此项业务中保险公司亏本的概率有多大？保险公司每年利润不少于10万的概率是多少？解设X 表示一年内被保险人的死亡人数，则,~(10000,0.005)X b ,于是()100000.00550,()100000.0050.99549.75E X D X =⨯==⨯⨯=由棣莫佛—拉普拉斯定理,~(50,49.75)X N 近似.保险公司亏本,也就是赔偿金额大于10 000100100⨯=万元,即死亡人数大于100人的概率所以保险公司亏本的概率为(){100}1{100}117.050P X P X P Φ>=-≤=-≈-= 这说明,保险公司亏本的概率几乎是零.如果保险公司每年的利润不少于10万元,即赔偿人数不超过90人，则保险公司每年利润不少于10万的概率为(){90} 5.671P X ≤≈Φ≈Φ=.可见,保险公司每年利润不少于10万元的概率几乎是100%.。

概率论与数理统计电子教案：c5_2 中心极限定理

0.01n }
1/2 n 1/2 n 1/2 n
2020/8/27
11
重复试验次数估计
因为
n
Xi
i 1
n 2
可由 N ( 0, 1 ) 来近似.
1 / 2 n
n
n
所以0.99 P{
0.01n
Xi
i 1
2
0.01n }
1/2 n 1/2 n 1/2 n
2Φ(0.02 n ) 1
Φ(0.02 n ) 0.995
二. 中心极限定理
1. 独立同分布中心极限定理
设{ Xk }，k =1,2…是一个相互独立、具有同分布的
随机变量序列，且E( Xk ) = m， D( Xk ) = s2.
则随机变量序列{ Xk }满足中心极限定理，即有
lim
n
n
P
k
1
Xk
ns
nm
x
பைடு நூலகம்
Φ( x)
重复试验次数估计
2020/8/27
其中 A ={ 出现正面 }。
解：P( A )=1/2，令
1, 第i次出现正面;
Xi 0,
否则,
i 1,2,n
则随机变量序列{ Xi }，i = 1,2,…是相互独立且同分
布的。而且有
E(
X
i
)
1 2
,
D(
X
i
)
1 4
,
i 1,2,
所以随机变量序列{ Xi }，满足独立同分布中心极限定理。
2020/8/27
lim P n
Yn nm
np(1 p)
x
Φ( x)
证明：对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示为 Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn

概率与数理统计第五章-2-中心极限定理

14 14
2
/ 10
1
P
X
n 14 0.2
0
1 (0) 0.5.
例2 计算机在进行数字计算时，遵从四舍五入原则。为简单计，现在对小数点后面
第一位进行舍入运算，则舍入误差X可以认为服从[－0.5 , 0.5]上的均匀分布。若独立进行了100次数字计算，求平均误差落在区间
3 20
在这里，我们只介绍其中两个最基本的结论。
1. 当n无限增大时，独立同分布随机变量“之和”的极限分布是正态分布；
2. 当n 很大时，二项分布可用正态分布近似。
为方便，我们研究 n 个随机变量之和标准化的随机变量
n
n
Xk E( Xk )
Yn k 1
k 1 n
D( Xk )
k 1
的极限分布。
(3) (3) 0.9973
2. 二项分布的极限分布
定理2.2 (棣莫佛——拉普拉斯定理):
设随机变量X1, X2, …, Xn, … 相互独立，
并且都服从参数为 p 的两点分布(0<p<1) ，则
对任意 x∈(-∞,+∞)，有 E(Xi ) p.
n
lim
P
i 1
Xi
np
x
n
i1
i1
lim
P
i
1
Xi
n
x
x
1
-t2
e 2 dt
(x) ，
n n
- 2
其中Φ(x)是标准正态分布N(0, 1)的分布函数。
n
lim
P
i 1
Xi
n
x
x
n n-1Fra bibliotek- t2

概率论与数理统计第5章-大数定律与中心极限定理

又设函数 g ( x , y ) 在点 (a , b ) 连续,
P 则 g( X n , Yn ) g(a , b ).
证明
因为 g( x , y ) 在 (a , b) 连续,
0, 0,
g( x , y ) g(a , b) ,
g ( x, y) g (a, b) ,
因此0 P{ g( X n , Yn ) g(a, b) }
n 0, P X n a P Yn b 2 2
P 则 g( X n , Yn ) g(a , b).
[证毕]
定理5.1(贝努里大数定律) 设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数, p是事件A在一次试验中发生的概率, 则对于任意的 0, 有
P P 注 : 若X n X , Yn Y , 则 P P (1) X n Yn X Y ;(2) X n Yn X Y;
Xn P X (3) X nYn XY ;(4) Yn Y
P
依概率收敛序列的性质
P P 设 Xn a , Yn b, (a , b为常数）
第五章大数定律与中心极限定理
5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
“概率是频率的稳定值”。前面已经提到，当随机试验的次数无限增大时，频率总在其概率附近摆动，逼近某一定值。大数定理就是从理论上说明这一结果。正态分布是概率论中的一个重要分布，它有着非常广泛的应用。中心极限定理阐明，原本不是正态分布的一般随机变量总和的分布，在一定条件下可以渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计中的基本理论，在概率统计中具有重要地位。
大数定律的客观背景大量的随机现象中平均结果的稳定性

概率论与数理统计§中心极限定理

概率论与数理统计之中心极限定理
• 引言 • 中心极限定理的基本概念 • 中心极限定理的证明 • 中心极限定理的应用 • 中心极限定理的扩展与推广 • 案例分析与实践应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
中心极限定理是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了在独立同分布的随机变量序列下，无论这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布将趋近于正态分布。
03
中心极限定理的证明
证明方法概述
方法一：基于特征函数的证明
方法二：基于概率密度函数的证明
ABCD
通过对特征函数的性质进行分析，利用泰勒展开和收敛性质，证明中心极限定理。
通过分析概率密度函数的性质，利用大数定律和收敛定理，证明中心极限定理。
重要极限公式
公式一： $lim_{{n to infty}} frac{S_n}{sqrt{n}} = N(0,1)$
中心极限定理的应用范围广泛，不仅限于金融、保险、医学等领域，还涉来研究的展望
01
随着大数据时代的到来，中心极限定理在处理大规模数据和复杂随机现象方面的应用价值将更加凸显。未来研究可以进一步探索如何优化中心极限定理的应用，提高其在实际问题中的适用性和准确性。
02
随着数学和其他学科的交叉融合，中心极限定理与其他理论或方法的结合应用将成为一个重要的研究方向。例如，如何将中心极限定理与机器学习、人工智能等新兴技术相结合，以解决更加复杂和具体的问题。
03
中心极限定理的理论基础和证明方法仍有进一步完善的空间。未来研究可以深入探讨中心极限定理的数学原理，发现新的证明方法和技巧，推动概率论与数理统计理论的进一步发展。
07
总结与展望

概率论与数理统计52中心极限定理

Xi E Xi
i 1
i1
n
i 1
Xi n n
D Xi
i1
的分布函数 Fn ( x) 对于任意 x 满足
lim
n
Fn
(
x
)
lim
n
P
n i 1
Xi n n
x
x
1
t2
e 2 dt ( x).
2π
定理表明
n
Xi n
i 1
~ N (0,1);
n
n
Xi ~ N (n, n 2 )
1
2 4.36 1 0.99999.
注：与切比雪夫不等式估算的结果相比较--精确得多
例2 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪的冲击, 纵摇角大于 3º的概率为1/3, 若船舶遭受了90 000次波浪冲击, 问其中有29 500～30 500次纵摇角大于 3º的概率是多少？
解将船舶每遭受一次海
解设 X 为一年中投保老人的死亡数, 则
X ~ b(n, p),
其中 n 10000, p 0.017,
由德莫佛－拉普拉斯中心极限定理知,
保险公司亏本的概率
P{10000X 10000 200} P{X 200}
30 500 np(1
np p)
29 500 np(1
np p)
n 90000, p 1 , 3
P{29 500 X 30 500} 5 2 5 2
2 2 0.9995.
例3 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加, 每人每年交200元. 若老人在该年内死亡, 公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017, 试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.

《概率论与数理统计》课件第五章大数定律及中心极限定理

有极其重要的地位？
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量，相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为

概率论与数理统计第5章-大数定律和中心极限定理

DX } 1
(2
DX DX
)2

3 4
．
例 1.2 设随机变量 X ~ P(9) ，试根据切比雪夫不等式估计概率 P{X 19}．解由于 X ~ P(9) ，所以 EX DX 9 ，且
P{X 9 10} P{X 1} 0 ，故有 P{X 19} P{X 9 10}
P{ X 9 10} 9 0.09 ． 102
例 1.3 设随机变量 X ,Y 独立同分布，且 D(X ) 2 ，
试根据切比雪夫不等式估计概率 P{ X Y 2} ．
解由于 X ,Y 独立同分布，所以 E( X Y ) 0 ，且
D(X Y ) DX DY 4
lim
n
FYn
(
x)

(
x)

1
2
x

e
t2 2
dt
，
x

(,
)
．

【注 1】定理 2.1 称为列维—林德伯格中心极限定理，也称为独立同分布随机变量序列的中心极限定理．
【注 2】由定理 2.1 表明，当 n 充分大时， FYn (x) (x) ，
近似
n
近似
即得Yn ~ N (0,1) ，从而有 Xi ~ N (n, n 2 ) ．
P{ X Y 2} 1 D(X Y ) 1 ，
22
2
二、大数定律（了解） 1.相关概念
定义 1.1 设有随机变量序列 X1, X 2 ,L , X n ,L ，如果
存在常数 a ，使得对任意的 0 ，有
lim P{
n
Xn
a
}1，

《概率论与数理统计》5-1 中心极限定理

Y np 1 n lim P x n np 1 p 2
即当 n 充分大时,
np 1 p Yn np

x

e
t2 2
dt ,
近似服从标准正态分布.
例2. 在次品率为1/6的一大批产品中, 任意取出300件产品, 利用中心极限定理, 计算抽取的产品中次品数在40到60 之间的概率. 解以Yn 表示300件产品中次品的总数, 由题意得
且函数
g x, Βιβλιοθήκη 在 a, b 处连续, 则
P g X n , Yn g a, b
下面, 考虑频率的稳定性
定理5.4 贝努里大数定律
设
X1 , X 2 ,
是一个随机变量序列. 且每一个随机变量
P X p
都服从0-1分布B 1, p , 则证明关键步骤:
n
i 1,2,,1200 .
由独立同分布情形下的中心极限定理:
X i n 20 i 1 n 1 1200 12
1 P
X i n i 1 2 n
n
1 2 2
即: 只要供应 320Q 瓦的电力, 就能以99%的把握保证该车间的机器能正常工作.
例5. 为了测定一台机床的质量, 将其分解成若干个部件来称量. 假定每个部件的称量误差（单位: kg ）服从区间 1,1 上的均匀分布, 且每个部件的称量是独立的, 试问至多分成多少个部件才能以不低于99%的概率保证机床的称量总误差的绝对值不超过10.
定义5.1 依概率收敛设
X1 , X 2 ,
是一个随机变量序列. 如果存在一个常数c

52中心极限定理

问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?
解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验
是观察该台车床在某时刻是否工作, 工作的概率0.6 , 共进行200次独立重复试验.
用X表示在某时刻工作着的车床数，
依题意， X~B(200,0.6),
设需N千瓦，现在的问题是：
n
P
n
n i 1
Xi
1
大数定律并未给出保证了其极限是1.P
1 n
n
i 1
X
i
的表达式,但
大数定律与中心极限定理的区别：
而在以上同一条件下，独立同分布的中心极限
定理亦成立，这时，对于任意的ε＞0及某固定的
n，有
n
P
1 n
Xi
P
i 1
X i n n
n
由于 2
n
1
n1，因此，在所给条件下，
E( X ) NE( Xk ) 1.5N
D( X ) ND( Xk ) N
N
由中心极限定理, X Xk 近似 N (1.5N , N )
k 1
由题意 P{ X 60} 0.95
P{ X 1.5N 60 1.5N } 0.95 ( 60 1.5N ) 0.95
N
N
N
0 1.5N 1.645 N
U(0,10)),
E(Vk )=
0+10 2
5,
D(Vk
)=
(10-0)2 12
100 12
{Vk }独立同分布, 满足中心极限定理条件.
20
20
E(V ) E( Vk ) 20* 5 100 k 1
D(V ) D(

概率论及数理统计：5.2 中心极限定理

Ch5-35
*补充：设某农贸市场某种商品每日的价格的变化
是均值为0，方差为 2 = 2的随机变量，即
Yn Yn1 X n (n 1)
其中 Y n 是第 n 天该商品的价格。如果今天的价格为100，求18天后该商品的价格在96与104之间的概率。
19000 28500 47500
1.376 43.589 0.9162
Ch5-33
中心极限定理的意义
在实际问题中，若某随机变量可以看作是有相互独立的大量随机变量综合作用的结果，每一个因素在总的影响中的作用都很微小，则综合作用的结果服从正态分布.
Ch5-34
作业 P166习题五 8、10、11
x t2
e 2 dt
2
Yn
n
Xk 的标准化随机变量
k 1
上式指Yn以标准正态分布为极限
Ch5-23
例如:
P(a
n k 1
Xk
b)
(b n ) (a n
n ) n
重点：
n
Xk
k 1
近似服从
的均值
N (n, n 2 ).
的方差
定理 DeMoivre-Laplace 中心极限定理
Ch5-24
0
120 48
0
120 48
(17.32)
0
a r
120 48
反查标准正态函数分布表，得 3.09 99.9%
令
解得
a 120
a (3.09 48 120)r
r
3.09
48
141r
Ch5-29
例检查员逐个地检查某种产品，每检查一只产品需要用10秒钟 . 但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟. 假设产品需要重复检查的概率为 0.5, 求检验员在 8 小时内检查的产品多于1900个的概率.

高等数学-概率5.2 中心极限定理

不知大家是否还记得街头赌博的演示? 街头赌博
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现在我们用中心极限定理来揭穿这个赌博中的奥秘. 请看演示：
高尔顿钉板试验的理论解释
n次碰钉后小球的位置 Yn近似服从正态分布N(0,n). E(Yn)=0, Var(Yn)=n .
如图,钉板有n=16层，可以求出标准差 16 4 ,
现在你知道为什么摆摊的人敢于在上面放那么值钱的东西了吧!
这一讲我们介绍了中心极限定理
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.
在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理.
定理2(棣莫佛－拉普拉斯定理）设随机变量 ~B (n, p)(0<p<1)，则有
（1）局部极限定理：当 n 时，
P k 1 2 npq

k np 2
2 npq
e

k np npq npq 1
（2）积分极限定理：当 n 时，
X
n
求最小的k,使 P{每部电话需要使用外线时可以打通}≥90% 求最小的k,使P{X1+X2++X200 ≤k}≥90% 求最小的k,使 k 10 10 ( ) ( ) 0.9 9.5 9.5 10 k 10 ( ) 0 求解 ( ) 0.9 9.5 9.5 k 10 查附表二 1.282 k 13.95 9.5 ∴该单位总机至少需要安装14条外线.
第五章第四节
ห้องสมุดไป่ตู้中心极限定理
一、中心极限定理的客观背景在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.