教育最新专题16 数列的通项公式的求解方法-名师揭秘2019年高考数学(理)命题热点全覆盖

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求数列通项公式方法

求数列通项公式方法求数列的通项公式是数学中常见的一种问题。

通项公式是指可以用一个公式来表示数列中的每一项。

它允许我们通过简单的计算就能够得到数列中的任意一项的数值，而不必逐个计算每一项。

本文将介绍几种常见的方法来求解数列的通项公式。

一、直接法直接法是最简单、最直接的方法。

当数列的前几项具有明显的规律时，可以通过观察和猜测来得到数列的通项公式。

例如，对于简单的等差数列，可以通过观察差值的规律来得到通项公式。

而对于等比数列，则可以通过观察比值的规律来得到通项公式。

此外，还可以通过对数列前几项进行数学运算，如加减乘除、乘方、开方等，来得到数列的通项公式。

二、递推法递推法是一种通过已知项来推导下一项的方法。

递推法适用于数列的每一项都可以通过前面若干项来求得的情况。

我们可以观察数列的前几项，找到数列项与前面项之间的关系，然后利用这个关系来求得下一项。

通过递推法得到的关系式，可以通过数学归纳法进行证明，从而得到数列的通项公式。

三、代数法代数法是一种通过代数运算来求解数列的通项公式的方法。

该方法适用于数列的每一项都可以用一个代数式来表示的情况。

我们可以假设数列的通项公式为特定形式的代数式，然后通过已知项的数值计算来确定代数式中的参数。

一般情况下，参数的个数与已知项的个数相等。

通过求解这个参数的方程组，可以得到数列的通项公式。

代数法更加灵活，可以应用于各种类型的数列，如等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

四、差分法差分法是一种通过计算数列的差分来求解数列的通项公式的方法。

差分法适用于数列的每一项与前面若干项之间的差分性质具有明显规律的情况。

我们可以计算数列的差分，即相邻项之间的差值，然后继续计算差分的差分，直到得到一个恒定的差值。

这个恒定的差值就是数列通项公式中的一个系数。

通过这种方法，我们可以得到数列的通项公式中的参数，并且可以验证其正确性。

综上所述，求解数列的通项公式是一项重要的数学问题。

不同的数列可能需要不同的方法来求解其通项公式。

高考数学难点突破：数列通项公式推导技巧

高考数学难点突破：数列通项公式推导技巧在高考数学中，数列一直是重点和难点内容，而数列通项公式的推导更是重中之重。

掌握了数列通项公式的推导技巧，就相当于握住了解决数列问题的关键钥匙。

接下来，让我们一起深入探讨数列通项公式的推导技巧。

一、等差数列通项公式的推导等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。

这个常数称为等差数列的公差，通常用字母 d 表示。

假设等差数列的首项为\（a_1\），公差为 d，那么第二项就是\（a_2 ＝ a_1 ＋ d\），第三项\（a_3 ＝ a_2 ＋ d ＝ a_1 ＋ 2d\），第四项\（a_4 ＝ a_3 ＋ d ＝ a_1 ＋ 3d\）……以此类推，我们可以发现第 n 项\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\）。

通过这种逐步推导的方式，我们很容易理解等差数列通项公式的由来。

二、等比数列通项公式的推导等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。

这个常数称为等比数列的公比，通常用字母 q 表示。

设等比数列的首项为\（a_1\），公比为 q，那么第二项\（a_2 ＝a_1q\），第三项\（a_3 ＝ a_2q ＝ a_1q^2\），第四项\（a_4 ＝ a_3q ＝a_1q^3\）……依此类推，第 n 项\（a_n ＝ a_1q^｛n 1}＼）。

理解这个推导过程，对于掌握等比数列的通项公式至关重要。

三、累加法推导通项公式对于形如\（a_{n ＋ 1} a_n ＝ f(n)＼）的递推关系式，我们可以使用累加法来推导通项公式。

例如，已知\（a_{n ＋ 1} a_n ＝ 2n\），且\（a_1 ＝ 1\）。

那么\（a_2 a_1 ＝ 2×1\），＼（a_3 a_2 ＝ 2×2\），＼（a_4 a_3 ＝ 2×3\），……，＼（a_n a_{n 1} ＝ 2(n 1)＼）。

将上述式子相加：＼＼begin{align}a_n a_1&＝ 2×1 ＋ 2×2 ＋ 2×3 ＋＼cdots ＋ 2(n 1)＼＼＆＝ 2×（1 ＋ 2 ＋ 3 ＋＼cdots ＋（n 1)）＼＼＆＝ 2×＼frac{（n 1)n}｛2}＼＼＆＝ n(n 1)＼end{align}＼因为\（a_1 ＝ 1\），所以\（a_n ＝ n(n 1) ＋ 1\）。

求数列通项公式的各种方法

求数列通项公式的各种方法
1、数列通项公式的求法
正确求解数列通项公式需要正确使用正确的数学方法，一般有以下几
种方法：
(1)数值计算法
数值计算法是运用一定的运算规则进行计算，可以求出数列通项公式。

运用的计算规则可以是把数列值转化到一个函数中求解，也可以是求出数
列中一组值的和，从而求出数列的一般项的系数。

(2)函数拟合法
函数拟合法是一种采用曲线拟合的方法来求解数列通项公式，它通过
将数列中的数据拟合到其中一种函数形式上来求出数列的通项公式。

一般
来说，采用函数拟合法求解数列的通项公式，需要先建立一种准确的函数
模型，然后通过拟合得到数列的通项公式。

(3)递推法
递推法是一种利用给出的数列中的两项或几项来求出数列中剩余的项，从而求出数列的通项公式的方法。

这种方法的原理是：当给出数列中的两
项或几项时，如果能够找到他们之间的关系或规律，就可以利用这种规律
来求出其他的项，最终求出数列的通项公式。

(4)特殊数列通项公式
特殊数列通项公式是一种将给出数列中的几项拆分开来，再套用一些
特殊的数列通项公式，从而求出数列的通项公式的方法。

常见的特殊数列
通项公式有等差数列的通项公式、等比数列的通项公式和其他一些特殊数列的通项公式。

数列通项公式求法

数列通项公式求法数列是由一系列数字按照一定的规律排列形成的序列。

其中通项公式（或叫递推公式）是指可以通过一个整数n来表示第n项的公式。

求数列的通项公式的方法有几种，下面将详细介绍常用的两种方法：等差数列和等比数列的通项公式的求法。

（一）等差数列的通项公式的求法：1.首先，我们需要先来了解等差数列的基本概念。

等差数列是指数列中的每一项与其前一项之间的差相等。

2.设等差数列的首项为a1，公差为d。

则该等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项。

3.利用已知条件求解a1和d的具体值，并将这些值代入通项公式中，我们就可以得到该等差数列的通项公式。

举例说明：假设我们要求解一个等差数列，已知首项a1=3，公差d=2、那么我们可以利用通项公式an = a1 + (n-1)d来求解后续的项。

当n=1时，an=a1+(n-1)d=3+(1-1)×2=3；当n=2时，an=a1+(n-1)d=3+(2-1)×2=5；当n=3时，an=a1+(n-1)d=3+(3-1)×2=7；...可以发现，该数列的通项公式为an=2n+1（二）等比数列的通项公式的求法：1.首先，我们需要了解等比数列的基本概念。

等比数列是指数列中的每一项与前一项的比值相等。

2.设等比数列的首项为a1，公比为q。

则该等比数列的通项公式可以表示为：an=a1*q^(n-1)，其中an表示第n项。

3.利用已知条件求解a1和q的具体值，并将这些值代入通项公式中，我们就可以得到该等比数列的通项公式。

举例说明：假设我们要求解一个等比数列，已知首项a1=2，公比q=3、那么我们可以利用通项公式an=a1*q^(n-1)来求解后续的项。

当n=1时，an=a1*q^(n-1)=2*3^(1-1)=2；当n=2时，an=a1*q^(n-1)=2*3^(2-1)=6；当n=3时，an=a1*q^(n-1)=2*3^(3-1)=18；...可以发现，该数列的通项公式为an=2*3^(n-1)。

数列求通项公式方法总结

数列求通项公式方法总结数列是数学中的一种常见概念，它在很多应用领域中发挥着重要作用。

数列的通项公式是指能够通过一个公式来表示数列的每一项的方法。

在数学中，求解数列的通项公式是一种重要的技巧和思维训练。

本文将总结一些常见的数列求通项公式的方法。

方法一：递推法递推法是数列求解的一种常见方法。

它基于数列中每一项与前一项之间的关系，通过逐项递推来找到通项公式。

例如，考虑一个等差数列 2，5，8，11，14......，我们可以observe 最终一项与前一项之间的关系，即 +3。

因此，我们可以推断出该数列的通项公式为 2+3(n-1)，其中 n 为项数。

通过递推法，我们可以求解出许多常见的数列。

方法二：代数法代数法是一种通过代数方程来表示数列通项的方法。

对于一些特殊的数列，我们可以通过数学运算和等式推导来找到通项公式。

例如，考虑一个等比数列 2，4，8，16，32......，我们可以发现每一项与前一项之间的关系都是乘以2。

因此，我们可以写出等式an = a(n-1) * 2，其中 a(n-1) 表示前一项。

通过解这个等式，我们可以得到通项公式 an = 2^(n-1)。

方法三：配方法配方法是一种通过把数列分解成两个已知数列的和或差的方法，从而找到通项公式的方法。

这种方法常用于一些复杂的数列。

例如，考虑一个斐波那契数列 1，1，2，3，5，8......，我们可以发现每一项都是前两项之和。

通过设定两个已知数列 a(n) 和b(n)，满足 a(1) = a(2) = 1，b(1) = 2，b(2) = 3，并通过递推求解出 a(n) = a(n-1) + a(n-2) 和 b(n) = b(n-1) + b(n-2)。

因此，我们可以得到数列通项公式 F(n) = a(n) + b(n)。

方法四：生成函数法生成函数法是一种利用生成函数来表示数列的方法。

生成函数是一个形式化的工具，用于处理数列和序列的问题。

例如，考虑一个斐波那契数列 1，1，2，3，5，8......，我们可以将该数列转变为一个生成函数来表示。

数列通项公式常见求法

数列通项公式常见求法数列通项公式是数列的通项公式，用来表示数列中的一般项。

求数列通项公式是数列的重要性质之一，能够帮助我们了解数列的规律以及计算数列中的任意项。

在数学中，存在许多常见的方法来求解数列的通项公式，下面将介绍几种常见的方法。

1. 直接法：数列如果具有明显的规律性，我们可以直接观察并找出数列的通项公式。

例如，对于等差数列an=a1+(n-1)d，其中a1为第一项，d为公差，n为项数，我们可以通过观察数列的前几项发现，每一项与前一项之间的差值都相等，因此可以得到等差数列的通项公式。

2. 递推法：数列的递推法是一种常见的求解通项公式的方法。

该方法通过观察数列中相邻项之间的关系，构造递推公式从而求得通项公式。

例如，对于斐波那契数列an=an-1+an-2，其中a0=0，a1=1，通过观察数列可以发现每一项都是前两项之和，因此可以通过递推公式求得斐波那契数列的通项公式。

3. 换元法：有时候我们可以通过引入一个新的变量来求解数列的通项公式。

例如，对于幂次数列an=2^n，我们可以通过引入变量k=log2(n)来将问题转化为求解k与n之间的关系，从而得到数列的通项公式。

4. 差分法：差分法是一种常用的求解递推数列通项公式的方法。

该方法通过将数列中相邻项之间的差值构造成新的数列，然后再对新的数列进行求解。

例如，对于等差数列an，可以构造新的数列bn=an-an-1，然后再对数列bn进行观察和求解，最终得到等差数列an的通项公式。

5.等比数列的通项公式：对于等比数列an=a1*r^(n-1)，其中a1为第一项，r为公比，n为项数。

求解等比数列的通项公式可以采用多种方法，如利用等比数列的性质进行观察，或采用对数换元法等。

6. 转化法：有时候我们可以将原始数列通过一些变换转化为已知的数列，然后再利用已知数列的通项公式求解原始数列的通项公式。

例如，对于等差数列an，我们可以通过将数列an进行平移或缩放变换，转化为已知的等差数列或等比数列，然后再求解通项公式。

数列通项公式的求法

数列通项公式的求法首先，为了更好地理解数列通项公式的求法，我们先了解一些基本的数列概念。

数列是按照一定规律排列的数字或者符号的序列。

数列中的每个数字称为项，用a1, a2, a3,…, an,…表示，其中a1表示第一个项，a2表示第二个项，以此类推。

通项公式也称为数列的递推公式，是指通过已知的数列项之间的关系，利用一个通项变量n来表示数列中任意一项。

通项公式的形式可以是一个公式或者一个递推关系。

下面我们将介绍几种常见数列的通项公式的求法。

1.等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻项之差都相等的数列。

假设等差数列的第一个项为a1，公差为d，则等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

2.等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻项之比都相等的数列。

假设等比数列的第一个项为a1，公比为q，则等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。

3.斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是指数列中每一项是前两项之和的数列。

假设斐波那契数列的第一个项为a1，第二项为a2，则斐波那契数列的通项公式为an = a(n-1) + a(n-2)，其中n≥3以上是几种常见数列的通项公式的求法。

但是并不是每个数列都可以通过明显的规律来推导出通项公式。

对于一些复杂的数列，可以通过以下几种方法来求解其通项公式：4.直接法直接法是指通过观察数列中数项之间的规律，直接写出通项公式。

这种方法适用于数列的规律比较明显的情况。

5.递推法递推法是指通过已知数列中的几个连续项之间的关系，通过递推的方式求解数列的通项公式。

需要注意的是，递推法只适用于数列中每一项都与前几项相关的情况。

6.差分法差分法是指通过将数列的项逐次相减，得到一个新的数列，再求解这个新数列的通项公式。

差分法适用于含有常数项或者n的多项式项的数列。

7.递归法递归法是指通过已知数列前几项的通项公式，将数列的第n项表示为前几项的函数形式。

需要注意的是，递归法只适用于递归关系明显的数列。

数列通项公式常见求法

数列通项公式常见求法1.等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。

对于等差数列an，其通项公式可以通过以下方法求得：- 直接法：当等差数列已知首项a1和公差d时，通项公式可以通过观察数列的特点进行直接推导。

常用的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

-递推法：对于等差数列，可以通过递推方法得到通项公式。

具体步骤是观察数列的前几项，找到相邻两项之间的关系，然后递推得到通项公式。

- 代数法：利用等差数列的性质，可以通过代数方法求得通项公式。

例如，可以使用方程an = a1 + (n-1)d，联立已知条件求解未知数。

2.等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变的数列。

对于等比数列an，其通项公式可以通过以下方法求得：- 直接法：当等比数列已知首项a1和公比q时，通项公式可以通过观察数列的特点进行直接推导。

常用的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。

-递推法：对于等比数列，可以通过递推方法得到通项公式。

具体步骤是观察数列的前几项，找到相邻两项之间的关系，然后递推得到通项公式。

- 代数法：利用等比数列的性质，可以通过代数方法求得通项公式。

例如，可以使用方程an = a1 * q^(n-1)，联立已知条件求解未知数。

3.斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项的和的数列。

斐波那契数列的通项公式可以通过以下方法求得：- 通项公式法：斐波那契数列有一个特殊的通项公式，即an = φ^n - (1-φ)^n / √5，其中φ为黄金分割比(约等于1.618)。

这个公式可以通过矩阵求解、特征方程、黄金分割法等方法推导得到。

4.幂方数列：幂方数列是指数列中每一项都是公比为一个固定值k的幂函数的数列。

幂方数列的通项公式可以通过以下方法求得：-递推法：对于幂方数列，可以通过递推方法得到通项公式。

具体步骤是观察数列的前几项，找到相邻两项之间的关系，然后递推得到通项公式。

如何求数列的通项公式

求数列的通项公式是高中数学试题中常见的一类题目，这类题目通常要求根据已知的递推关系式求得数列的通项公式.解答此类问题需重点研究数列的递推关系式，将其进行合理的变形.求数列的通项公式常用的方法有利用S n与a n之间的关系、观察法、累加法、累乘法.下面将结合例题谈一谈这几种方法的特点和应用技巧.一、利用S n与a n之间的关系若已知数列的前n项和S n，或S n与a n的关系式，就可以根据数列的前n项和S n与通项公式a n之间关系：a n={S1，n=1，Sn-Sn-1,n≥2，(n∈N*)，来求得数列的通项公式.首先分别求得S n、S n-1的表达式，然后将二者作差.例1.已知数列{}a n的前n项和为S n，且S n=2a n+1，求数列的通项公式a n.解：令n=1，可得a1=S1=2a1+1，即a1=-1.当n≥2时，由S n=2a n+1可得S n-1=2a n-1+1，根据数列的前n项和S n与通项公式a n之间关系可得，a n=S n-S n-1=()2an+1-()2an-1+1=2an-2an-1，即a n=2a n-1，所以{}a n是首项为a1=-1，公比为q=2的等比数列.由等比数列的通项公式可得an=-1∙2n-1=-2n-1.由于a n=S n-S n-1在n≥2的情况下成立，所以根据数列的前n项和S n与通项公式a n之间的关系求数列的通项公式，需分n=1和n≥2两种情况进行讨论.二、观察法若已知数列的若干项，则需仔细观察数列的各项，寻找其中的规律，明确数列的项数n与对应项之间的关系，进而写出数列的通项公式.例2.求下列数列的通项公式.①1，4，9，16，25；②2，5，10，17，26.解：①a1=1=12，a2=4=22，a3=9=32，a4=16=42，a5=25=52，所以数列的通项公式为a n=n2.②a1=2=12+1，a2=5=22+1，a3=10=32+1，a4=17=42+1，a5=26=52+1，所以数列的通项公式为an=n2+1.观察法一般只适用于求解较为简单的数列通项公式题.在求得数列的通项公式后，往往还需将其他项代入该式中，以验证所求的通项公式是否满足数列中的所有项.三、累加（乘）法累加法适用于由形如a n+1-a n=f()n的递推关系式求数列的通项公式；累乘法适用于由形如an+1an=f()n的递推关系式求数列的通项公式.在运用累加（乘）法求数列的通项公式时，要将n=1,2,3，…，n时的n个式子累加（乘），通过化简，求得a n的表达式.例3.在数列{}a n中，a1=1，若a n-a n-1=n-1，求数列{}a n的通项公式.解：由a n-a n-1=n-1可得an-an-1=n-1，an-1-an-2=n-2，…，a3-a2=2，a2-a1=1，将上述各式累加可得a n-a1=1+2+3+…+(n-1)=[]1+()n-1∙()n-12，由a1=1，得a n=n2-n+22.根据递推关系式写出n=1,2,3，…，n-1时的表达式，并将这n-1个式子累加，即可求得数列的通项公式.例4.已知数列{}a n满足anan-1=n-1n(n≥2),a1=1，求该数列的通项公式.解：由anan-1=n-1n，n≥2，可得：an-1an-2=n-2n-1，an-2an-3=n-3n-2，…，a3a2=23，a2a1=12，将上述各式累乘可得，anan-1·∙an-1an-2∙…∙a3a2·a2a1=n-1n·n-2n-1∙…∙23∙12，因为a1=1,所以a n=1n，当n=1时，a1=1，满足上式.所以数列的通项公式为a n=1n.将n=1，2，3，…，n-1时的各式相乘，其中部分项的分子与分母相互抵消，即可得到a n的表达式.但要注意的是，求出数列的通项公式后，要讨论n=1时的式子是否满足所求的数列通项公式.总之，对于不同类型的题目，要根据题目中已知递推关系式的结构特征，选择合适的方法进行求解，这样可以快速求出数列的通项公式.（作者单位：江苏省盐城市大丰区新丰中学）王爱春思路探寻43Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

数列的通项公式的求法

要求解数列的通项公式，首先需要了解数列的生成规律。

通项公式也称为递推公式或递归关系式，它描述了数列中每一项与前面一项（或多项）之间的关系。

以下介绍两种常见的求解通项公式的方法：
根据前项与后项之间的关系推导：如果可以观察到数列的前一项与后一项之间的数学关系，可以通过分析这种关系来推导出通项公式。

例如，对于等差数列，前一项与后一项之间的差值是恒定的。

假设第一项为a₁，公差为d，那么第n项可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1) * d 在这个例子中，通过观察前一项与后一项之间的差值恒定，我们可以推导出等差数列的通项公式。

利用已知的数列性质或数学方法：有些数列可以通过已知的数列性质或数学方法来求解通项公式。

例如，对于几何数列，每一项与前一项的比值是恒定的。

假设第一项为a₁，公比为r，那么第n项可以表示为：aₙ = a₁ * r^(n-1) 在这个例子中，通过观察前一项与后一项之间的比值恒定，我们可以推导出几何数列的通项公式。

在实际求解中，有时可能需要根据数列的性质或使用不同的数学方法来推导通项公式。

此外，对于复杂的数列，也可能不存在简单的通项公式，而需要使用递归关系或其他方法来计算数列的项。

总之，求解数列的通项公式的关键是观察数列中项之间的关系，并根据这种关系推导出通项公式。

这需要一定的数学技巧和思维能力。

数列的通项公式求法

数列的通项公式求法数列是数学中常见的概念，指由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。

数列的研究在数学学科中有着广泛的应用，而研究数列的通项公式求法也是数学学习的基础之一。

本文将介绍数列的通项公式的定义以及求解方法。

一、数列的通项公式定义数列是由若干个元素按一定顺序组成的序列。

具体来说，数列可以表示为：$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$其中，$a_n$ 表示数列的第 $n$ 项，$n$ 表示项数。

如果数列的每一项都可以用一个公式表示出来，那么这个公式称为数列的通项公式。

二、数列的通项公式求解方法对于一个数列，要确定它的通项公式，一般需要进行以下三步：1. 推导出数列的首项和公差在数列中，如果每一项与前一项之间的差为一个固定的数，称为数列的公差。

那么可以通过求出数列前两项之间的差，来计算出数列的公差。

假设数列的第一项为 $a_1$，公差为 $d$，那么数列的第 $n$ 项可以表示为：$a_n=a_{n-1}+d$而数列的首项 $a_1$ 可以直接由数列的题目给出或者通过求出数列前几项之间的关系得到。

2. 列出数列的通项公式在知道了数列的首项和公差之后，可以尝试列出数列的通项公式。

大多数数列的通项公式可以表示为：$a_n=a_1+(n-1)d$其中，$a_n$ 表示数列的第 $n$ 项，$a_1$ 表示数列的首项，$d$ 表示数列的公差。

这个公式通常也被称为等差数列的通项公式。

需要注意的是，对于有些数列，它们的通项公式并不是等差数列的通项公式，这时需要根据数列的特点选择适当的公式来求解。

3. 验证数列的通项公式是否正确在求解出数列的通项公式之后，需要进行验证，确保这个公式可以正确地表示出数列的每一项。

验证方法一般是通过随机选取数列中的某几项，将它们代入通项公式进行计算，得到的结果是否与实际数列中对应的项相符。

三、数列的通项公式求解实例下面通过一个实例来演示如何求解数列的通项公式。

数列求通项公式方法总结

数列求通项公式方法总结数列是数学中的重要概念，它在数学领域的各个分支都有广泛的应用。

对于一个数列而言，求解其通项公式是一个非常重要的问题。

通项公式能够帮助我们快速计算数列中任意一项的值，有效地简化计算过程。

本文将总结几种常见的数列求通项公式的方法。

一、等差数列的通项公式等差数列是最常见的数列之一，其特点是数列中每一项与前一项之间的差值都是相等的。

求解等差数列的通项公式可以利用等差数列的性质——任意一项与首项的差值等于项数与公差的乘积。

具体方法如下：1. 已知首项与公差，求通项公式：对于等差数列{an}，首项为a1，公差为d。

我们可以根据等差数列的性质推导出通项公式如下：an = a1 + (n - 1) * d。

2. 已知前两项，求通项公式：对于等差数列{an}，已知a1和a2。

我们可以利用a1和a2的值推导出通项公式如下：an = a1 + (n - 1) * (a2 - a1)。

二、等比数列的通项公式等比数列是指数列中每一项与前一项之间的比值都是相等的数列。

求解等比数列的通项公式可以利用等比数列的性质——任意一项与首项的比值等于项数与公比的幂次方。

具体方法如下：1. 已知首项与公比，求通项公式：对于等比数列{an}，首项为a1，公比为r。

我们可以根据等比数列的性质推导出通项公式如下：an = a1 * r^(n - 1)。

2. 已知前两项，求通项公式：对于等比数列{an}，已知a1和a2。

我们可以利用a1和a2的值推导出通项公式如下：an = a1 * (a2 / a1)^(n - 1)。

三、其他常见数列的通项公式除了等差数列和等比数列，还有一些其他常见的数列，它们的通项公式可以利用数列的性质进行推导。

1. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和。

其通项公式可以通过迭代的方法得到：当n大于等于3时，an = a(n-1) + a(n-2)，其中，a1 = 1，a2 = 1。

高考数学复习专题讲座数列通项公式的求法

高考数学复习专题讲座数列通项公式的求法(总15页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除高考数学复习专题讲座数列通项公式的求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

二、公式法若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解。

例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。

解：由1121111=⇒-==a a S a当2≥n 时，有,)1(2)(211nn n n n na a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3212---+=n n n a点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

高考数列通项解题公式

高考数学中，数列通项公式的写法如下：
对于等差数列，通项公式为：an = a1 + (n-1)d
其中，an表示第n个数；a1表示首项；d表示公差。

对于等比数列，通项公式为：an = a1 × q^(n-1)
其中，an表示第n个数；a1表示首项；q表示公比。

在高考数学中，还需要掌握一些变形技巧，如将数列中的项数及求和公式转化为等差数列或等比数列的形式，以便于运用通项公式进行计算。

需要注意的是，数列通项公式只是一种求解数列中特定项的方法，需要进行合理选择应用。

同时，需要注意每种数列的特点和应用场景，如等差数列常用于计算等差数列前n项和、求解等差数列中的某个未知项等问题；等比数列常用于计算等比数列前n项和、求解等比数列中的某个未知项等问题，特别是在复利计算、几何分布、指数衰减等领域具有广泛的应用。

因此，在高考复习中，需要多练习各种数列计算题型，熟练掌握数列通项公式的应用和转换技巧，才能在考试中更好地解决数学题目。

数列通项公式求法大全

数列通项公式求法大全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。

而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。

本文给出了求数列通项公式的常用方法。

一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。

二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项)例1．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式.②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式. ③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式。

三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。

也可以猜想出规律，然后正面证明。

四、累加（乘）法对于形如)(1n f a a n n +=+型或形如n n a n f a )(1=+型的数列，我们可以根据递推公式，写出n 取1到n 时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。

例4. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。

例5. 在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+（*N n ∈），求通项n a 。

五、取倒（对）数法a 、r n n pa a =+1这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解b 、数列有形如0),,(11=--n n n n a a a a f 的关系，可在等式两边同乘以,11-n n a a 先求出.,1n na a 再求得 c 、)()()(1n h a n g a n f a n n n +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。

数列的通项公式求解

数列的通项公式求解数列是数学中重要的概念之一，它是由一系列按照特定规律排列的数字组成。

在数列中，我们常遇到的问题之一就是求解数列的通项公式，即能够直接给出数列第n项的公式。

本文将介绍数列通项公式求解的几种常见方法和应用。

一、等差数列的通项公式求解等差数列是指数列中的每一项与其前一项之间的差都相等的数列。

已知等差数列的首项为a1，公差为d，要求推导出等差数列的通项公式。

考虑等差数列的通项公式形式，假设第n项的通项公式为an，则有：an = a1 + (n-1)d。

二、等比数列的通项公式求解等比数列是指数列中的每一项与其前一项之间的比都相等的数列。

已知等比数列的首项为a1，公比为q，要求推导出等比数列的通项公式。

考虑等比数列的通项公式形式，假设第n项的通项公式为an，则有：an = a1 * q^(n-1)。

三、斐波那契数列的通项公式求解斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列。

已知斐波那契数列的首项为a1，第二项为a2，要求推导出斐波那契数列的通项公式。

考虑斐波那契数列的通项公式形式，假设第n项的通项公式为an，则有：an = a1 * α^(n-1) + a2 * β^(n-1)，其中α和β为常数，满足α+β=1。

四、其他数列的通项公式求解除了等差数列、等比数列和斐波那契数列，还有许多其他类型的数列，它们的通项公式求解方式各不相同。

一般情况下，我们可以通过观察数列的规律或运用数学方法来求解其通项公式。

对于一些经典的数列，已经有了常见的通项公式，如等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

对于非经典的数列，可能需要更复杂的方法来求解其通项公式。

五、应用举例：利用通项公式解题数列的通项公式在解题中有着广泛的应用。

例如，我们可以利用数列的通项公式来计算数列中某一项的值，或者根据已知的数列的前几项来推导数列的规律。

举例来说，对于等差数列1, 4, 7, 10, 13, ...，可以通过等差数列的通项公式求解第n项的值，或者通过已知的数列前几项计算出公差。

数列求通项公式的9种方法

例14
已知满足+2 = 3+1 − 2 ，2 = 2, 1 = 1，求的通项公式
九、奇偶分项求通项公式
核心思想：
n为奇数时，设n=2k-1
n为偶数时，设n=2k
例15 数列满足 = ቊ
2，为奇数时
，求的通项公式。

2 ，为偶数时
变式训练15
n2

a n ，求 {an } 的通项公式.
n
变式训练 6 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1 2n an ，求 {an } 的通项公式.
变式训练 7 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an n(an1 an ) ，求 {an } 的通项公式.
四、加法构造
数列求通项公式常见的9种方法
知识复习
1、等差数列通项公式： an＝a1＋ (n－1)d
an＝am＋(n－m)d
2、等比数列通项公式： an＝ a1·
qn－1
am＝ a1·qn－m
一、利用 an 与 Sn 关系求 an
S1，
n＝1，
an＝
Sn－Sn－1， n≥2.
例1
n＋3.
已知数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n－1；(2)Sn＝2n2＋
17
3
变式训练 10 已知数列 {an } 满足 a1
， an an1 5( n 2) ，求 {an } 的通项公式.
2
2
五、倒数构造
型如 an1
m an

(m pq 0) 的数列直接取倒数
pan q

例 8 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1

数列求通项的通解方法原理

数列求通项的通解方法原理数列是指按照一定规律排列的一系列数字或数值的集合。

通项是指数列中每一项的一般形式或规律，可以通过通项公式来表示。

求数列的通项是数学中的一个重要问题，通解方法可以用于解决一类特定形式的数列，如等差数列、等比数列等。

1. 等差数列的通项求解：等差数列是指数列中的每一项与前一项之差都是一个常数d，即a(n) = a(n-1) + d。

我们可以通过观察数列的规律来求解通项公式。

首先，我们可以找到数列的首项a(1)，然后观察数列中两个相邻项之间的差值d。

如果数列从首项开始，每一项都加上d，那么就能得到后一项。

根据这个规律，我们可以得到通项公式为：a(n) = a(1) + (n-1)d。

这里的n表示数列中的第n项，a(n)表示第n项的数值，a(1)表示首项的数值，d表示数列的公差。

2. 等差数列的变形求解：有时候，对于一些变形的等差数列，我们需要根据数列的已知条件来求解通项。

例如，如果已知等差数列的首项a(1)和第n项a(n)，我们可以通过观察数列中的差值d和项数n来求解。

根据等差数列的通项公式，我们可以得到两个方程：a(n) = a(1) + (n-1)da(n) = a(1) + nd通过联立这两个方程，我们可以解得公差d的值。

然后，再将公差d带入其中一个方程，可以求解首项a(1)的值。

最后，将公差d和首项a(1)带入通项公式，就可以得到等差数列的通项。

3. 等比数列的通项求解：等比数列是指数列中的每一项与前一项之比都是一个常数q，即a(n) = a(n-1) * q。

我们可以通过观察数列的规律来求解通项公式。

与等差数列类似，我们可以找到数列的首项a(1)，然后观察数列中两个相邻项之间的比值q。

如果数列从首项开始，每一项都乘以q，那么就能得到后一项。

根据这个规律，我们可以得到通项公式为：a(n) = a(1) * q^(n-1)。

这里的n表示数列中的第n项，a(n)表示第n项的数值，a(1)表示首项的数值，q表示数列的公比。

专题16+数列的通项公式的求解方法-名师揭秘2019年高考数学(理)命题热点全覆盖

一．【学习目标】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.3.会利用已知数列的通项公式或递推关系式求数列的某项.4.会用数列的递推关系求其通项公式.二．【方法总结】1.利用通项公式，应用函数思想是研究数列特征的基本方法之一，应善于运用函数观点认识数列，用函数的图象与性质研究数列性质.练习1. 已知数列{}n a 满足11a =，，则数列(){}1nna -的前40项的和为（）A.1920 B. 325462 C. 4184 D. 2041【答案】D【方法总结】：这个题目考查的是数列的求和问题。

首先数列求和选用的方法有，裂项求和，主要用于分式能够通过写成两项相减的形式从而消掉中间的项；分组求和，用于相邻两项之和是定值，或者有规律的；错位相减求和，用于一个等差一个等比乘在一起求和的数列。

练习2. 数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*n N ∈都有，则等于（）A.20162017 B. 40322017 C. 20172018 D. 40342018【答案】D【方法总结】：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．练习3. 已知数列{}n a 满足11a =， 213a =，若，则数列{}n a 的通项n a =（）A.112n - B. 121n - C. 113n - D. 1121n -+【答案】B【解析】, , ,则,数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列，，利用叠加法，，，则121n n a =-.选B. 【方法总结】：由前几项归纳数列通项或变化规律的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用处理.练习1. 数列的一个通项公式可能是（）A. ()112nn - B. ()112n n - C. ()1112n n -- D. ()1112n n--【答案】D练习2.数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的通项公式是a n ＝( )A. (10n －1)B.C. (10n －1)D.(10n －1).【答案】B 【解析】1－＝0.9，1－＝0.99，…，故原数列的通项公式为a n ＝.选B.练习3．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如下图中实心点的个数5，9，14，20，…为梯形数.根据图形的构成，记此数列的第2017项为2017a ，则20175a -=（）A. B.C. 10082023⨯D. 20171008⨯【答案】C【方法总结】：根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．4.项和互化求通项例4.设是数列的前项和，且，则n a =（）A. 11132n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ B. 11223n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ C. 11233n⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭ D. 13n⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意可得：，考查所给选项：，则选项B 错误；当2n =时：，即，考查ACD 选项：,则选项AC 错误，本题选择D 选项.【方法规律总结】：给出n S 与n a 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .练习1. 设数列{}n a 满足，通项公式是（）A. 12n a n =B. 112n n a -=C. 12n n a =D. 112n n a +=【答案】C练习2. 设数列{}n a 满足，通项公式是（）A. 12n a n =B. 112n n a -=C. 12n n a =D. 112n n a +=【答案】C【解析】当1n =时， 112a =，…………...(1) ，……....(2),(1)-(2)得： 1122n n a -=， 12n n a =， 112a =符合，则通项公式是12n n a =，选C.练习3. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且， 1a m =，现有如下说法：①25a =；②当n 为奇数时，；③．则上述说法正确的个数为（）A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】D【方法总结】：给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.5.构造辅助数列求通项（1）的形式例5.数列{}n a 满足则6a =（）A. 33B. 32C. 31D. 34【答案】A【解析】数列{}n a 满足，是以2为公比的等比数列，首项为1，得到633.a =故答案为：A 。

高考数学复习专题讲座数列通项公式的求法

高考数学复习专题讲座数列通项公式的求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S nn n ．求数列{}n a 的通项公式。

解：由1121111=⇒-==a a S a当2≥n 时，有,)1(2)(211nn n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3212---+=n n n a 点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

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