Bessel函数
Bessel函数介绍
第一类贝塞尔函数图2 0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数（贝塞尔J函数）曲线（在下文中，第一类贝塞尔函数有时会简称为“J函数”，敬请读者留意。
）第一类α阶贝塞尔函数Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须满足在x= 0 时有限。
这样选取和处理Jα的原因见本主题下面的性质介绍；另一种定义方法是通过它在x= 0 点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于α为非整数）：上式中Γ(z)为Γ函数（它可视为阶乘函数向非整型自变量的推广）。
第一类贝塞尔函数的形状大致与按速率衰减的正弦或余弦函数类似（参见本页下面对它们渐进形式的介绍），但它们的零点并不是周期性的，另外随着x的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。
图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数Jα(x)的曲线（α = 0,1,2）。
如果α不为整数，则Jα(x)和J−α(x)线性无关，可以构成微分方程的一个解系。
反之若α是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系：于是两函数之间已不满足线性无关条件。
为寻找在此情况下微分方程与Jα(x)线性无关的另一解，需要定义第二类贝塞尔函数，定义过程将在后面的小节中给出。
贝塞尔积分α为整数时贝塞尔函数的另一种定义方法由下面的积分给出：（α为任意实数时的表达式见参考文献[2]第360页）这个积分式就是贝塞尔当年提出的定义，而且他还从该定义中推出了函数的一些性质。
另一种积分表达式为：和超几何级数的关系贝塞尔函数可以用超几何级数表示成下面的形式：第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）图3 0阶、1阶和2阶第二类贝塞尔函数（贝塞尔Y函数）曲线图（在下文中，第二类贝塞尔函数有时会简称为“Y函数”，敬请读者留意。
）第二类贝塞尔函数也许比第一类更为常用。
这种函数通常用Yα(x)表示，它们是贝塞尔方程的另一类解。
x = 0 点是第二类贝塞尔函数的（无穷）奇点。
Yα(x)又被称为诺依曼函数（Neumann function），有时也记作Nα(x)。
贝塞尔函数的有关公式
贝塞尔函数的有关公式贝塞尔函数是数学中一类特殊的函数，广泛应用于物理学、工程学和数学物理学等领域。
贝塞尔函数一族的定义包括第一类贝塞尔函数、第二类贝塞尔函数以及修正的贝塞尔函数。
本文将介绍这些贝塞尔函数的基本定义和性质，并给出一些常见的贝塞尔函数公式。
一、第一类贝塞尔函数(Bessel Function of the First Kind)第一类贝塞尔函数是非负整数阶的解特殊二阶常微分方程贝塞尔方程的解。
第一类贝塞尔函数通常用J_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。
它的定义为：J_n(x) = (1/π) ∫[0,π] cos(nθ - xsinθ) dθ其中,J_0(x)是常数函数。
第一类贝塞尔函数有一些重要的性质：1.对于所有的实数x和n≥0，J_n(x)是实函数。
2.J_0(x)在x=0处取得最大值，而在其他地方有若干个零点。
3.J_n(x)在x→0时的行为类似于x^n，即J_n(x)~(x/2)^n/(n!)。
第一类贝塞尔函数的递推公式:J_{n+1}(x)=(2n/x)J_n(x)-J_{n-1}(x)其中J_{1}(x)=(2/x)J_0(x)。
第一类贝塞尔函数的导数计算公式:dJ_n(x)/dx = J_{n-1}(x) - (n/x) J_n(x)利用这个公式可以计算贝塞尔函数的导数。
二、第二类贝塞尔函数(Bessel function of the second kind)第二类贝塞尔函数是贝塞尔方程的另一类解，通常用Y_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。
第二类贝塞尔函数的定义为：Y_n(x) = (1/π) ∫[0,π] sin(nθ - xsinθ) dθ其中,Y_0(x)是称作“诺依曼函数”。
第二类贝塞尔函数的性质如下：1.对于所有的实数x和n≥0，Y_n(x)是实函数。
2.Y_0(x)在x=0处不取得最大值，而在其他地方有若干个零点。
3. Y_n(x)在x→0时的行为类似于(2/π)(ln(x/2) + γ) + O(x^2)。
贝塞尔函数详细介绍(全面)
y x 1J m (x) x J m (x)
y 1x 2 Jm (x) x 1Jm (x) x 1Jm (x) x 2 Jm(x)
x 2 Jm(x) 2x 1Jm (x) 1 x 2 Jm (x)
x 2 Jm(x) 2x 1Jm (x) 1x 2 Jm (x)
xnYn1(x)
d
dx
xnYn (x)
x
Y n n1
(
x)
Yn1 ( x)
Yn1 ( x)
2n x
Yn
(x)
Yn1(x) Yn1(x) 2Yn(x)
例1 求下列微积分
(1)
d dx
J0
(
x)
J 0
(x)
J1(x)
(2)
J0(x)
1 x
J0(x)
J1(x)
1 x
J1(x)
1 2
J
0
(x)
1 2 x
x 1Jm (x) x Jm (x)
2
2
m2 x2
x
J
m
(x)
x 2 Jm(x) x 1Jm (x) x2 2 m2 x 2 Jm (x)
x 2 x2 2 Jm(x) xJm (x) x2 2 m2 Jm (x)
x2 t 2Jm(t) tJm (t) t 2 m2 Jm (t)
J
(x)
y AJn (x) BYn (x)
数学物理方程与特殊函数
x2 y xy x2 n2 y 0
J
n
(
x)
m0
(1)m m!(n m
1)
x 2
n2m
Yn
(
x)
lim
n
Excel公式和函数 贝赛耳函数
Excel 公式和函数 贝赛耳函数贝赛尔（Bessel ）函数是数学上一种特殊的函数。
1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架 该函数用于理论物理研究、应用数学、大气科学以及无线电等工程领域。
在Excel 中一共提供了4个贝赛耳函数，下面以BESSELI 函数为例进行介绍。
该函数返回修正Bessel 函数值，它与用纯虚数参数运算时的Bessel 函数值相等。
其中，变量x 与n 阶修正Bessel 函数公式为：In （x ）=（i ）-nJn （ix ）。
语法：BESSELI(x,n)在BESSELI 函数中，主要包含两个参数，其中，x 为参数值。
N 为函数的阶数，如果n 不是整数，则截尾取整。
例如，在Excel 中，A 列显示了运算公式，C 列为函数的计算说明。
然后，在B2中，输入“=BESSELI(3,0)”公式，即可求出相应的结果，并运用相同的方法，输入不同的公式，即可得到如图15-1所示的效果。
图15-1 BESSELI 函数提 示从上述的实例中，用户可以发现参数x 与参数n 之间的成反比例关系，当x 固定时，n 的取值越大，则得出的计算结果越小；反之，则计算结果越大。
在该函数的计算过程中，需注意以下几点说明：●如果参数x 为非数值型，则BESSELI 函数返回错误值#V ALUE!。
●如果参数n 为非数值型，则BESSELI 函数返回错误值#V ALUE!。
● 如果参数n<0，则BESSELI 函数返回错误值#NUM!。
另外，在Excel 中还为用户提供3种有关贝赛尔函数的用法，其功能如表15-1所示。
表15-1 贝赛尔函数功能表输入。
贝塞尔函数详细介绍(全面)
(−1) m x 2 n + 2 m −1 = x n J ( x) = x n ∑ n + 2 m−1 n −1 2 m!⋅Γ(n + m) m =0
∞
d x n J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) dx
y = AJ n ( x) + BYn ( x)
A、B为任意常数， n为任意实数
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
三 贝塞尔函数的性质
(−1) m x J n ( x) = ∑ ⋅ m = 0 m! Γ ( n + m + 1) 2
∞ n+2m
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ
= −3J1 ( x) + 2 J1 ( x) + J1 ( x) − J 3 ( x) = − J 3 ( x)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
(4)
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x) dx = − xJ1 ( x ) + ∫ x −1 J1 ( x )dx 2 = − xJ1 ( x) + 2 ∫ J1 ( x)dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) = − xJ1 ( x ) − 2 ∫ dJ 0 ( x) = − xJ1 ( x) − 2 J 0 ( x ) + C dx ′ (5) ∫ x 3 J 0 ( x )dx = ∫ x 2 dxJ1 ( x ) = x 3 J 1 ( x ) − 2 ∫ x 2 J1 ( x)dx J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ( x) 2n J n −1 ( x) + J n +1 ( x) = J n ( x) 3 2 3 2 = x J 1 ( x ) − 2 ∫ dx J 2 ( x ) = x J 1 ( x ) − 2 x J 2 ( x ) + C x
贝塞尔函数详细介绍(全面)
n阶贝塞尔方程
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
二 贝塞尔方程的求解
n阶贝塞尔方程 n任意实数或复数
x2 y xy x2 n2 y 0
假设 n 0
令：y xc (a0 a1x a2 x 2 ak x k ) ak xck k 0 (c k)(c k 1) (c k) (x2 n2 ) ak xck 0 k 0
Jn (x)
2 cos x 1 n x 4 2
Yn (x)
2
x
sin
x
1
4
n
2
x , Jn (x) 0,Yn (x) 0
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
性质8 正交性
R
0 rJn
(n) m R
r
J
n
(n) k R
r dr
R2
2
J
2 n1
(m(n)
3
(1)m 2m1
52m 1
(
1
)
x 2
1 2
2m
2
(1)m 22m1
x
1 2
2m
m0 2m 1 ! 2
(1)m 2 x2m1
m0 2m 1! x
2
x
(1)m x2m1
m0 2m 1 !
2 sin x
x
J 1 (x) 2
2 cosx
x
J n1 (x) (1)n 2
2
x
n
(c 2 n2 )a0 xc (c 1)2 n2 a1xc1 (c k )2 n 2 ) ak ak2 xck 0
k 0
(c2 n2 )a0 0
(c 1)2 n2 a1 0 (c k)2 n2 ) ak ak2 0
bessely函数
bessely函数贝塞尔函数（Bessel function）是数学中的一类特殊函数，由德国数学家弗里德里希·贝塞尔（Friedrich Bessel）在19世纪初引入和研究的。
贝塞尔函数在物理学、工程学和数学中有广泛的应用。
贝塞尔函数可以分为第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数两类。
第一类贝塞尔函数一般记作Jn(z)，其中n为阶数，z为自变量。
第二类贝塞尔函数一般记作Yn(z)。
贝塞尔函数满足贝塞尔方程，即二阶常微分方程：z^2 * d^2y/dz^2 + z * dy/dz + (z^2 - n^2) * y = 0贝塞尔函数的性质和特点使其在科学和工程领域中拥有广泛的应用，特别是在波动理论、电磁学、热力学和量子力学中。
以下是贝塞尔函数的一些重要应用：1.振动问题：贝塞尔函数可以描述弦、鼓膜、声音等的振动情况。
通过解贝塞尔方程，可以得到这些系统的振动模式和频率。
2.圆柱波：贝塞尔函数是描述无限长圆柱体中的波动现象的基本工具。
例如，电磁波在圆柱体中的传播可以用贝塞尔函数来描述。
3.散射和辐射问题：贝塞尔函数的特殊性质使其在散射和辐射问题中有重要应用。
例如，电磁波在球体上的散射和辐射问题可以通过贝塞尔函数来求解。
4.热传导问题：贝塞尔函数可以描述热传导问题中的温度分布。
例如，考虑一个半径为R的无限长圆柱体，在柱体表面施加边界条件后，可以通过贝塞尔函数来求解圆柱体内部的温度分布。
5.量子力学：贝塞尔函数在量子力学中有重要的应用，特别是在氢原子问题中。
贝塞尔函数可以用来描述氢原子中电子的径向波函数。
除了上述的应用，贝塞尔函数还在其他领域中发挥着重要的作用，如电磁场分析、激光传输、声学等。
贝塞尔函数的定义和性质可以通过级数展开、递归关系或微分方程等多种方法来推导和求解。
总结起来，贝塞尔函数是一类特殊函数，具有广泛的应用领域。
它可以用来描述振动问题、圆柱波、散射和辐射问题、热传导问题以及量子力学中的一些问题。
第7章贝塞尔(Bessel)函数
(4) 三类函数的关系:
Jν
(x)
=
1 2
⎡⎣ Hν(1)
(x)
+
Hν( 2 )
( x) ⎤⎦
Nν
(x)
=
1 2i
⎡⎣Hν(1) (x)
−
Hν(2) (x)⎤⎦
15
7.2 贝塞尔函数的母函数,递推关系等
1. 母函数
P68, 例3.4.2
∑ ∑ ∑ f
( x, t )
=
x (t−1)
e2 t
=
∞ n=−∞
k =0
s=0
k =0
s=0
k =0
要使上式在 z < R 的区域内成立，左边 z 的各次幂的系数必须等于零。
5
由 z 的最低次幂的系数为零得：
C0[ρ(ρ −1) + a0ρ + b0 ] = 0
( a0 , b0 已知)
C0 ≠ 0 ⇒ ρ(ρ −1) + a0 ρ + b0 = 0
(10)
—— ρ 的二次方程，指标方程
k =0
k+v
=
∞
C2n X
n=0
2n+v
=
∞ n=0
(−1)n Γ(ν 22n n!Γ(ν
+ 1)C0 + n +1)
X
2 n +ν
另一个特解为: (ρ2 = −ν )
∑ ∑ ∑ y2(x) =
∞
Ck X k −ν
k =0
=
∞
C2n X 2n−ν
n=0
=
∞ (−1)n Γ(−ν +1)C0 n=0 22n n!Γ(−ν + n +1)
§4.2 虚宗量Bessel函数
§ 4.2 虚宗量Bessel 函数()()()()0'''222=−++ρμρρρρρR m R R当0>μ时，令()()ρρμR x y x ==,0)()()(')(''222=−++x y m x x xy x y x m 阶Bessel 方程 当0<μ时，令()()ρρμR x y x =−=,0)()()(')(''222=+−+x y m x x xy x y x m 阶虚宗量Bessel 方程一、虚宗量Bessel 方程通解1、第一类虚宗量Bessel 函数()()k m k m x k m k x I 2021!1+∞=∑⎟⎠⎞⎜⎝⎛++Γ=当≠m 整数时，通解()()()x I c x I c x y m m −+=21 当=m 整数时，)()(x I x I m m =−，因此另外一个特解需要另外构造。
2、第二类虚宗量Bessel 函数()()()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=+=−−→−→−→−→νπνπνπνπνπνπνπνπνπνννπνννννννννννννsin lim sin cos sin lim sin cos sin lim sin cos lim 1x J x J e i x J x J x iJ i x iJ x iJ x J x J x J i x J x iN x J H i m m m m m m m()()x J i x I x J i x I v v v v v v −−−==)(),(Q()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=∴−−→−−−→−−−→−−−−→−−−→νπνπνπππππνπνπνπννπννπννπνπνπννπνsin )()(lim sin )()(lim sin )(2sin 2cos )(2sin 2cos lim sin )()(lim sin )()(lim 2222221x I x I e i x I i i x I i i e i x I i i x I i i e i x I i e x I i e e i x I i x I i e i H v v i m v v v v v v i m v v v v v v i m v v i v v i i m v v v v i m m 为了令此特解为实函数，乘以常数22ππim e i ，得到另一个实特解，称为第二类虚宗量Bessel函数 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−→νππνsin )()(lim 2x I x I x K v v m m 所以，当=m 整数时，虚宗量Bessel 函数通解：()()()x K c x I c x y m m 21+=二、第一类、第二类虚宗量Bessel 函数性质当0→x 时，()()()∞====0),,3,2,1(00,100m m K m I I L 当∞→x 时，()()0,→∞→x K x I m mBessel 方程通解()()()x K c x I c x y m m 21+=1、 当在圆柱内部求解定解问题时，存在自然边界条件()=→x y x 0lim 有限 所以 02=c ，通解退化为()()x I c x y m 1=2、 当在圆柱外部求解定解问题时，存在自然边界条件()=∞→x y x lim 有限 所以 01=c ，通解退化为()()x K c x y m 2=。
Bessel方程及Bessel函数
1.1 第一类Bessel函数的定义式
Bessel函数的定义式为 （8）
当不为整数时，例如，，非整数阶Bessel函数为 （9）
注：求的方法 方法1）先求的数值解，再用（9）式求。 方法2）非整数阶Bessel函数也可以通过后文的递推关系得
出。 当为正整数或零时，，整数阶Bessel函数的表达式为 （10）
上面（14）、（15）的第二种写法在Penny-shaped crack问题中有重要
应用。其推导为：
两边同除以得：；
同理：
两边同除以得：
-------------------------------------------------------------------------------------------（16）
其中，， 。 （10） （11）
此二式还可以表示为如下更一般的形式： ；
（12）
（13） （14）
此二式还可以表示为如下更一般的形式： ；
(15)
(16) (17)
此二式还可以表示为如下更一般的形式： (18) (19)
(20)
4.2 第一类Bessel函数的正交性
求如下问题的固有值及固有函数 （a）式的通解为
由自然边界条件，得 ，所以
将上式代入(b)式，可得 所以，固有值为： （） 与固有值相对应的固有函数为
（42）
（）
（43）
上述固有函数系 （） 具有如下的正交性
（44）
5．将函数展开为Fourier-Bessel级数（或称为“广
（37） （38） （为非负整数） （为非负整数，） 递推公式： （与、不一样！） （与、不一样！） 还可得： （与、一样！） （与、一样！） （与、不一样！） （与、一样！） （与、不一样！）
Bessel函数介绍
贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在 18 世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬 链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利，欧拉、拉格朗 日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817 年，德国数学家贝塞尔在研究开 普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架， 后人以他的名字来命名了这种函数 [1] [2]。
和超几何级数的关系
贝塞尔函数可以用超几何级数表示成下面的形式：
第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）
图 3 0 阶、1 阶和 2 阶第二类贝塞尔函数（贝塞尔 Y 函数）曲线图 （在下文中，第二类贝塞尔函数有时会简称为“Y 函数”，敬请读者留意。）
第二类贝塞尔函数也许比第一类更为常用。 这种函数通常用 Yα(x)表示，它们是贝塞尔方 程的另一类解。x = 0 点是第二类贝塞尔函数的（无穷）奇点。 Yα(x)又被称为诺依曼函数（Neumann function），有时也记作 Nα(x)。它和 Jα(x)存在如下 关系：
第一类α阶贝塞尔函数 Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须满足在 x = 0 时 有限。这样选取和处理 Jα的原因见本主题下面的性质介绍；另一种定义方法是通过它在 x = 0 点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于α为非整数）：
上式中Γ(z)为Γ函数（它可视为阶乘函数向非整型自变量的推广）。第一类贝塞尔函数的
以上形式保证了当宗量 x 为实数时，函数值亦为实数。这两个函数构成了下列修正贝塞尔 方程（与一般贝塞尔方程的差别仅在两个正负号）的一个相互线性无关的解系：
修正贝塞尔函数与一般贝塞尔函数的差别在于：一般贝塞尔函数随实宗量是振荡型的，而修 正贝塞尔函数 Iα 和 Kα则分别是指数增长和指数衰减型的。和第一类贝塞尔函数 Jα一样， 函数 Iα当α > 0 时在 x=0 点等于 0，当α=0 时在 x=0 点趋于有限值。类似地，Kα在 x=0 点 发散（趋于无穷）。
贝塞尔函数
贝塞尔函数贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。
它们与其他功能结合形成圆柱谐波功能。
除基本功能外，贝塞尔功能是物理学和工程学中最常用的功能。
它们以19世纪德国天文学家贝塞尔（F.W. Bessel）的名字命名，后者于1824年首次对其进行了描述。
贝塞尔函数是数学中一类特殊函数的总称。
常规贝塞尔函数是以下常微分方程（通常称为“贝塞尔方程”）的标准解函数。
这种方程的解不能用基本函数来系统地表示。
但是，可以将自动控制理论中的相平面法用于定性分析。
在这里，它被称为其对应的贝塞尔函数的顺序。
在实际应用中，最常见的情况是整数，相应的解称为阶贝塞尔函数。
尽管在上面的微分方程中，符号本身不会改变方程的形式，但在实际应用中仍然习惯定义两个不同的Bessel函数（这可以带来好处，例如消除点处的函数不平滑性）。
定义贝塞尔方程是二阶常微分方程，必须有两个线性独立的解。
针对各种特定情况，提出了这些解决方案的不同形式。
下面描述了不同类型的贝塞尔函数。
历史瑞士数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）在18世纪中叶提出了几个正整数阶的Bessel函数，这在当时引起了数学界的轰动。
Jacobs Bernoulli，Leonhard Euler和Joseph Louis Lagrange为Bessel函数的研究做出了重要贡献。
1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔（Friedrich Wilhelm Bessel）在研究约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler）提出的三体重力系统的运动问题时，首次提出了贝塞尔函数的理论框架。
后人以他的名字命名这个功能。
现实背景和适用范围贝塞尔方程是通过使用变量分离方法在圆柱坐标或球坐标中求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程而获得的。
因此，贝塞尔函数在波动问题和涉及势场的各种问题中起着重要作用。
*电磁波在圆柱波导中的传播；*圆柱体中的热传导定律|导热问题；*圆形（或环形）膜的振动模式分析；贝塞尔函数的一个示例：鼓鼓表面在中心被击中后，沿拉紧鼓表面的二阶振动模式的半径方向的振幅分布是贝塞尔函数（考虑正负号）。
贝塞尔函数
1 2
J 1 2 ( x)
Ynx n1 2 x dx x 2
n
J n1 2 ( x)
（与
J ( n1 2) ( x)
不一样！）
Y( n1 2) ( x)
2
( m 1, 2,) 的正交性。
rJ
0
R
n
(
m
(n)
R
r ) Jn(
k
( n)
R
r )d r
0, 2 2 R R 2 ( n) 2 (n) J ( ) J ( ), n 1 m n1 m 2 2
mk mk.
Jn (
m ( n)
R
r)
m 1 在【0，R】上，带权重r正交。
数值解，再用（1）式求
J v ( x)
的
当n为正整数或零时， 表达式为
，整数阶Bessel函数
(n k 1) (n k )!
（ 2）
k n 2 k
J n ( x)
(1) x J n ( x) k 0 k!(n k )! 2
第一类贝塞尔函数
k
n2k
nv
J v ( x)
k
（ 1）
(1) x J v ( x) k 0 k!(v k 1) 2
n 2 k
第一类贝塞尔函数
求
1.先求的
的方法： J v (x )
2.非整数阶Bessel函数也可以通过递推关系得出。
(v k 1)
当为整数时，例如， v n，
Yn ( x) lim
n
besselk函数
besselk函数
Bessel函数是一类特殊函数，主要用于求解线性常微分方程组，作用类似于正弦函数和余弦函数。
它在数值分析和应用数学中有广泛的应用，特别是在复杂函数插值、拟合和函数逼近中都有着重要的作用。
Bessel函数的主要性质：
（1）Bessel函数具有正则性：即Bessel函数有几阶就是正则的函数。
（2）Bessel函数具有零点：每一阶Bessel函数都有n个零点。
（3）Bessel函数具有周期性：即Bessel函数有几阶就具有几个周期。
（4）Bessel函数具有对称性：Bessel函数的零点都是对称的。
（5）Bessel函数具有函数比性：即Bessel函数有几阶就具有几个函数值比性。
（6）Bessel函数具有单调性：Bessel函数在单调增区间内是单调递增的，在单调减区间内是单调递减的。
（7）Bessel函数具有振幅缩小性：Bessel函数总是随着自变量的增加而减小，在一定范围内振幅随着自变量的增加而缩小。
（8）Bessel函数具有函数加性性：即Bessel函数的和等于左右函数的和。
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Bessel函数学习指导
§6.2 Bessel 函数一、Bessel 方程的解 Bessel 函数1.Bessel 方程的级数解 第一类Bessel 函数2.第二类Bessel 函数(Neumann 函数)3.第三类Bessel 函数(Hankel 函数)4.常用Bessel 函数的级数表示 二、Bessel 函数的基本性质1.与Bessel 函数有关的微分公式和递推关系2.渐近性质3.Bessel 函数的零点三、生成函数与积分表示 1.Bessel 函数的生成函数 2.Bessel 函数的积分表示四、与Bessel 方程有关的本征问题1.方程的通解2.本征值和本征函数3.本征函数的正交归一关系4.按本征函数的广义Fourier 展开五、可化为Bessel 方程的微分方程六、变型(或虚案量)的Bessel 函数 七、例题一、Bessel 方程的解 Bessel 函数1.Bessel 方程的级数解 第一类Bessel 函数 （1）Bessel 方程的级数解阶Bessel 方程(6.2 - 1)为方便起见将上列方程变形为222()()()()0x y x xy x x y x ν'''++-=x=0为其正则奇点。
① 设方程的解为(≠0)代入上列方程，② 归并同次幂系数，得③ 使x 的同次幂系数为零，有(6.2 - 3)(6.2 - 4)n ≥2 (6.2 - 5)④因为≠0,从(6.2 - 3)得到指标方程解得它的两个根为,设,。
⑤令，由(6.2 - 4)式得，由(6.2 - 5)式得到系数递推关系，n≥2 (6.2 - 6)所有的系数(n≥2)，当n为偶数时可由表示；当n奇数时，可由表示。
因为= 0，故所有的,k=0,1,2,…。
而…因此，求得方程(6.1-1)式的一个解（2）第一类Bessel函数取，则(6.2 - 7)此式称为阶(第一类) Bessel贝塞尔函数。
返回页首（3）*解的讨论1）非负整数，方程有两个Frobenius级数解。
bessel函数
bessel函数贝塞尔函数（Bessel Function）是一个在数学中具有广泛应用的特殊函数。
它得名于德国数学家弗里德里希·贝塞尔（Friedrich Bessel），他在19世纪早期首次引入了这个函数。
贝塞尔函数可以分为第一类贝塞尔函数（Bessel Function of the First Kind）和第二类贝塞尔函数（Bessel Function of the Second Kind），分别用J(x)和Y(x)表示。
这两个函数都是解贝塞尔微分方程而得到的，其方程形式为：x^2*y''(x)+x*y'(x)+(x^2-n^2)*y(x)=0其中，y(x)是贝塞尔函数，y'(x)和y''(x)分别表示y(x)的一阶和二阶导数，n是贝塞尔函数的阶数。
第一类贝塞尔函数J(x)在数学和物理学中应用非常广泛。
它在波动现象、电磁场理论、量子力学、光学等领域都有重要的作用。
贝塞尔函数具有周期性，其性质和三角函数类似。
当x趋近于无穷大时，贝塞尔函数的振幅会逐渐减小，并呈现振幅快速振荡的特点。
这种振荡现象在光学中有重要应用，例如描述光的衍射和干涉。
第二类贝塞尔函数Y(x)在数学和物理学中的应用较少，主要用于表示贝塞尔函数的通解形式。
贝塞尔函数的解可以表示为线性组合的形式，其中包括第一类和第二类贝塞尔函数。
第二类贝塞尔函数在x趋近于零的时候有发散的性质，因此在物理问题中较少使用。
除了第一类和第二类贝塞尔函数外，还存在修正贝塞尔函数（Modified Bessel Function），通常用I(x)和K(x)表示。
修正贝塞尔函数在数学分析中也有广泛的应用，特别是在处理边界值问题和椭圆型方程时会经常出现。
贝塞尔函数的计算通常使用数值方法进行，尤其是在高阶贝塞尔函数的计算中。
常用的数值计算方法包括泰勒展开法、渐进展开法、递推关系等。
此外，贝塞尔函数还有一系列的性质和恒等式，如递推关系、积分关系、级数展开等，这些性质可以用于简化贝塞尔函数的计算和分析。
Bessel函数
J0(x)、J1(x)和J2(x)的图形分布示意图
J0(x) J1(x) J2(x)
图4 Bessel函数的图形
2°Bessel函数的性质 ° 函数的性质 Bessel函数有很多性质，例如： 1)
ω
∫
0
ω ' J 0 (ω ' )dω ' = ωJ1 (ω )
1 2) 2π
∫
2π
0
exp( jω cos θ )dθ = J 0 (ω )
k
当n为偶数时，有Jn(-x)= Jn(x)，Jn(x)为偶数； 当n为奇数时，有Jn(-x)=-Jn(x)，Jn(x)为奇函数； 所以只要知道了x>0时的曲线形状，便可知道当x<0 时的曲线形状。 常用的Bessel函数有J0(x)、J1(x)和J2(x)。各种数 学手册中均列有Bessel函数表，可以查到J0(x)、 J1(x)和J2(x)以及 J 1 ( x ) 与x的数值关系。
(n，k为整数)
Γ函数的定义为：
Γ( p ) = ∫ exp( − x) x p −1dx
0
∞
Γ函数具有以下性质：
Γ(1) = 1
pΓ( p) Γ( p ) = ( p − 1)!
p为有限实数 p为正整数
可见，p为正整数时，Γ(p)又称为阶乘函数。
x 0 Γ ( k + 1)Γ ( n + k + 1)
Bessel函数 函数
• 1° n阶第一类 阶第一类Bessel函数的定义 ° 阶第一类 函数的定义 • 2°Bessel函数的性质 ° 函数的性质
1° n阶第一类Bessel函数是Bessel方程的一个特 °
解，记作Jn(x)，其定义形式为：
Bessel方程及Bessel函数
第一部分 Bessel 函数(阶数或自变量趋于0或无穷时，各种Bessel 函数的极限值,可以利用Mathematica 试算推得。
)一、Bessel 方程及其通解0)(22222=-++y n x dx dy x dxy d x （1） 上式称为以x 为宗量的n 阶Bessel 方程.●当n 为整数时，（1）式的通解为)()(x BY x AJ y n n += （2）其中，A 、B 为任意实数；)(x J n 为n 阶第一类Bessel 函数;)(x Y n 为n 阶第二类Bessel 函数（或称为“诺依曼（Neumann ）函数")。
●当n 不为整数时，例如，v n =，（1）式的通解可表示为如下两种形式)()(x BJ x AJ y v v -+= （3） )()(x BY x AJ y v v += （4)其中，A 、B 为任意实数；)(x J v 和)(x J v -分别称为v 阶和v -阶第一类Bessel 函数； )(x Y v 称为v 阶第二类Bessel 函数。
另外，Bessel 方程的通解还可以表示为)()()2()1(x BH x AH y v v +=其中，)()()()1(x iY x J x H v v v +=，)()()()2(x iY x J x H v v v -=分别称为称为第一类和第二类汉克尔（Hankel)函数，或统称为第三类Bessel 函数。
●值得注意的是， ∞=-→)(lim 0x J v x ，∞=→)(lim 0x Y v x ，∞=→)(lim 0x Y n x ,当所研究的问题的区域包含0=x 时，由于要求Bessel 方程的解在0=x 处取有限值,所以，此时对（2）、（3）、（4）式而言,必有0=B 。
此条件称为“Bessel 方程的自然边界条件"。
例1：022=+'+''y x y x y x λ （10<≤x ）此式为以x λ为宗量的0阶Bessel 方程,其通解为)()(00x BY x AJ y λλ+=另外,由于所求解问题的区域10<≤x 包含0=x ,根据Bessel 方程的自然边界条件，必然有0=B ,通解最后简化为)(0x AJ y λ=例2：0)413(22=-+'+''y x y x y x 为以x 3为宗量的21阶Bessel 方程,其通解为)3()3(2121x BJ x AJ y -+= 或 )3()3(2121x BY x AJ y +=例3：0)(1222=-+'+''y xm k y x y上式两边同乘以2x ，可将其化为如下的以kx 为宗量的m 阶Bessel 方程0)(2222=-+'+''y m k x y x y x （0≠x ）例4：012=+'+''y k y xy 上式两边同乘以2x ，可将其化为如下的以kx 为宗量的0阶Bessel 方程0222=+'+''y k x y x y x (0≠x )即：0)0(2222=-+'+''y k x y x y x （0≠x )例5：0)]1([222222=+-++R l l r k rd R d r r d R d r 令r k x =,xx y r R 2)()(π=，则可以将上式化为如下的21+l 阶Bessel 方程0])21([22222=+-++y l x xd y d x x d y d x 二、虚宗量Bessel 方程及其通解0)(22222=+-+y n x dx dy x dxy d x （5) 上式称为“n 阶虚宗量的Bessel 方程”或“n 阶修正的Bessel 方程”，其通解为)()(x BK x AI y n n += （6)其中,A 、B 为任意实数;)(x I n 为“n 阶第一类修正的Bessel 函数”，或称为“n 阶第一类虚宗量Bessel 函数”； )(x K n 为“n 阶第二类修正的Bessel 函数”，或称为“n 阶第二类虚宗量Bessel 函数”。
贝塞尔函数
贝塞尔函数贝塞尔函数是贝塞尔方程的解，它们和其他函数组合成柱调和函数。
贝塞尔函数和初等函数是在物理和工程中最常用的函数。
贝塞尔函数是以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名的，他在1824年第一次描述过它们。
贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。
一般贝塞尔函数是一些常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。
贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。
针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。
下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。
这类方程的解无法用初等函数系统地表示。
但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。
这里被称为其对应贝塞尔函数的阶数。
实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数。
这样做能带来好处，比如消除了函数在=0点的不光滑性。
几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。
雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。
1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。
贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位。
因为贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的。
最典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导定律|热传导问题；以及圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题。