离散型随机变量的期望2

离散型随机变量的 期望与方差
例：已知离散型随机变量ξ1的分布列： 已知离散型随机变量 的分布列： ξ1 1 2 3 4 5 6 P ξ1 P 与离散型随机变量ξ 的分布列： 与离散型随机变量 2的分布列： 3.7 3.8 3.9 4
7
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 4.1 4.2 4.3
⋯ + ( x n − Eξ ) 2⋅ pn + ⋯ + 1)意义 意义: 意义
Dξ = ( x1 − Eξ ) 2⋅ p1 + ( x 2 − Eξ ) 2⋅ p2
2)计算公式： 计算公式： 计算公式
方差反映了ξ取值的稳定 方差反映了 取值的稳定 与波动， 与波动，集中与离散程度
(1) E (aξ + b) = aEξ + b
2)计算公式： 计算公式： 计算公式
(2)若ξ~B（n,p） 若 （ ） 则Eξ= np
(1) D(aξ + b ) = a 2 Dξ 2 = Eξ 2 − ( E ξ ) 2 ( 2) Dξ = E (ξ − Eξ )
(3)若ξ~B（n,p） 若 （ ） 则Dξ= npq,(q=1－p) －
例:甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下 甲 乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下: 射手乙 射手甲 击中环数ξ 击中环数ξ 击中环数 1 8 9 10 击中环数 1 8 9 10 0.2 0.6 0.2 0.2 0.6 0.2 概率P 概率P 概率 概率 用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平 Eξ1= 8x0.2+9x0.6+10x0.2 =9 Dξ1= (8－9)2x0.2 + (9 － 9)2x0.6 + (10 － 9)2x0.2 =0.4 － Eξ2= 8x0.4+9x0.2+10x0.4 =9 (8－9)2x0.4+ (9 － 9)2x0.2+ (10 － 9)2x0.4 =0.8 － Dξ2= 由上知 Eξ1= Eξ2， ， Dξ1＜Dξ2
问：若抛掷n枚枚硬币，正面朝上的次数ξ的期望. 若抛掷n枚枚硬币，正面朝上的次数ξ的期望.
一次英语单元测验由20个选择题构成， 20个选择题构成 例 、一次英语单元测验由20个选择题构成，每 个选择题有4个选项， 个选择题有4个选项，其中有且仅一个选项是正 确答案，每题选择正确答案得5 确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择 或选错不得分，满分100 100分 或选错不得分，满分100分。学生甲选队任一题 的概率为0.9 学生乙则在测验中对每题都从4 0.9， 的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4 个选项中随机选择一个。 个选项中随机选择一个。求学生甲和乙在这一次 单元测验中的成绩的期望。 单元测验中的成绩的期望。
复习：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 复习：一般地，若离散型随机变量 的概率分布为
ξ P x1 p1 x2 p2 … … xn pn … …
一、期望的概念： 期望的概念：
Eξ = x1 p1 + x 2 p2 + ⋯ + x n pn + ⋯ 1)意义 意义: 意义
二、方差的概念
期望反映了ξ取值 期望反映了 取值 的平均水平。 的平均水平。
问：若抛掷n枚枚硬币，正面朝上的次数ξ的期望. 若抛掷n枚枚硬币，正面朝上的次数ξ的期望.
一、服从二项分布的随机变量的期望
若ξ~B（n,p），则Eξ= np ξ~B（n,p），则 ）， 证明: 证明:
练习: 练习:1、抛掷3枚硬币，正面朝上的次数ξ的期望. 抛掷3枚硬币，正面朝上的次数ξ的期望. 2、某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题， 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题， 竞赛规则规定：每题回答正确得分100 100分 竞赛规则规定：每题回答正确得分100分，回答不 正确得- 100分 正确得- 100分，假设这名同学每题回答正确的概 率均为0.8 0.8， 率均为0.8，且每题回答正确与否相互之间没有影 求这名同学回答三个问题的总得分ξ 响.（1）求这名同学回答三个问题的总得分ξ的概 率分布和期望. 率分布和期望.
例:甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下 甲 乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下: 射手乙 射手甲 击中环数ξ 击中环数ξ 击中环数 1 8 9 10 击中环数 1 8 9 10 0.2 0.6 0.2 0.2 0.6 0.2 概率P 概率P 概率 概率 用击中环数的， 用击中环数的，比较两名射手的射击水平 Eξ1= 8x0.2+9x0.6+10x0.2 =9 Eξ2= 8x0.4+9x0.2+10x0.4 =9 由上知 Eξ1= Eξ2， ，
二、方差的概念 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 一般地，若离散型随机变量 的概率分布为 x1 ξ x2 … xn … p1 p2 pn P … … 则称 Dξ = ( x1 − Eξ ) ⋅ p1 + ( x 2 − Eξ ) ⋅ p2
2 2
⋯ + ( x n − Eξ ) 2⋅ pn + ⋯ +
1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7
求这两个随机变量的期望、 求这两个随机变量的期望、方差与标准差
练：P7
练习1~3 练习
作业：习题 作业：习题1.2
4~8
Eη = E (aξ + b) = aEξ + b
练习: 练习:1、抛掷3枚硬币，正面朝上的次数ξ的期望. 抛掷3枚硬币，正面朝上的次数ξ的期望. 2、某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题， 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题， 竞赛规则规定：每题回答正确得分100 100分 竞赛规则规定：每题回答正确得分100分，回答不 正确得- 100分 正确得- 100分，假设这名同学每题回答正确的概 率均为0.8 0.8， 率均为0.8，且每题回答正确与否相互之间没有影 求这名同学回答三个问题的总得分ξ 响.（1）求这名同学回答三个问题的总得分ξ的概 率分布和期望. 率分布和期望.
的均方差， 为ξ的均方差，简称方差。 的均方差 简称方差。
Dξ 称为 ξ 的标准差，记作 σξ 的标准差，
它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动， 它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集 中与离散程度。 越小 稳定性越高， 越小， 中与离散程度。Dξ越小，稳定性越高，波动越小
1)当a=0时, D(b)=0 当 时 2)当a=1时, D(ξ+b)=Dξ 当 时 3)当b=0时, D(aξ)=a2Dξ 当 时
复习： 复习： 1、期望的含义： 期望的含义： 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 期望公式： 2、期望公式：
Eξ = x1 p1 + x 2 p2 + ⋯ + x n pn + ⋯
3、求期望的步骤 ： (1)列出相应的分布列 (1)列出相应的分布列 (2)利用公式 (2)利用公式 4、随机变量函数η=aξ+b的期望 随机变量函数η=aξ+b的期望 η=aξ+b
解:设学生甲和学生乙选择了正确答案的选择题个数分别 是ξ和η，则 ξ~B(20,0.9), η~B(20,0.25)
∴ Eξ=20×0.9=18， Eη=20× 0.25=5， × ， × ， 那么他们在测验中成绩的期望分别是 E(5ξ)=5 Eξ=5×18=90，E(5η)=5 Eη=5×5=25 × ， ×