离散数学本科考前辅导3
20春国家开放大学离散数学形考任务3资料参考答案
离散数学形考任务3-图论部分概念及性质单项选择题题目1以下结论正确的是( D )．选择一项：A. 无向完全图都是平面图B. 有n个结点n－1条边的无向图都是树C. 无向完全图都是欧拉图D. 树的每条边都是割边题目2设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图五所示，则下列结论成立的是( A )．图五选择一项：A. （a）是强连通的B. （d）是强连通的C. （c）是强连通的D. （b）是强连通的题目3无向完全图K4是（ C ）．选择一项：A. 非平面图B. 树C. 汉密尔顿图D. 欧拉图题目4设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( )条边，才能确定G的一棵生成树．选择一项：（C）A.B.C.D.题目5设图G＝<V, E>，v V，则下列结论成立的是( B ) ．选择一项：A.B.C. deg(v)=2| E |D. deg(v)=| E |题目6如图二所示，以下说法正确的是( A )．图二选择一项：A. e是割点B. {a,e}是点割集C. {b, e}是点割集D. {d}是点割集题目7无向树T有8个结点，则T的边数为( D )．选择一项：A. 9B. 8C. 6D. 7图G如图四所示，以下说法正确的是( A ) ．选择一项：A. {(a, d) ,(b, d)}是边割集B. {(a, d)}是割边C. {(a, d)}是边割集D. {(b, d)}是边割集题目9图G如图三所示，以下说法正确的是( C )．选择一项：A. {b, d}是点割集B. {c}是点割集C. {b,c}是点割集D. a是割点若G是一个欧拉图，则G一定是( C )．选择一项：A. 平面图B. 对偶图C. 连通图D. 汉密尔顿图。
国家开放大学《离散数学(本)》形考任务1-3参考答案
）。
A.f°g={<a，5>, <b，4>}
B.g° f ={<a，5>, <b，4>}
C.f°g={<5，a >, <4，b >}
D.g° f ={<5，a >, <4，b >}
19.设集合 A={1,2,3}上的函数分别为：f={<1,2>，<2,1>，<3,3>}，g={<1,3>，<2,2>，
（
）个。
A.0
B.2
C.1
D.3
13.设集合 A={1,2,3,4}上的二元关系 R={<1,1>，<2,2>，<2,3>，<4,4>}，S={<1,1>，
<2,2>，<2,3>，<3,2>，<4,4>}，则 S 是 R 的（
）闭包。
A.自反
B.传递
C.对称
D.自反和传递
14.设 A={1,2,3,4,5,6,7,8}，R 是 A 上的整除关系，B={2,4,6}，则集合 B 的最大元、
（
）。
A.自反的
B.对称的
C.传递且对称的
D.反自反且传递的
11.集合 A={1,2,3,4}上的关系 R={<x，y>|x=y 且 x,y∈A}，则 R 的性质为（
A.不是自反的
）。
B.不是对称的
C.传递的
D.反自反
12.如果 R1 和 R2 是 A 上的自反关系，则 R1∪R2，R1∩R2，R1-R2 中自反关系有
02324离散数学知识点
02324离散数学知识点
离散数学是研究离散对象和离散结构的数学分支，其知识点包括但不限于集合论、图论、逻辑学、组合数学等。
以下是其中一些重要的知识点：
1. 集合论：集合论是离散数学的基石，它研究集合、集合之间的关系和集合的性质。
2. 图论：图论是离散数学的重要组成部分，它研究图（由节点和边构成的结构）的性质和分类。
3. 逻辑学：逻辑学是离散数学的另一个重要组成部分，它研究推理的规则和形式。
在离散数学中，逻辑通常用于描述和证明一些结构或系统的性质。
4. 组合数学：组合数学是离散数学的一个分支，它研究计数、排列和组合问题。
5. 离散概率论：离散概率论是离散数学的另一个分支，它研究离散随机事件的数学模型。
6. 离散概率分布：离散概率分布是描述离散随机事件发生概率的数学模型。
7. 离散随机变量：离散随机变量是能够取到可数无穷多个值的随机变量。
8. 离散概率空间：离散概率空间是一个集合，它包含一个可数无穷多的元素，每个元素都有一个与之相关的概率值。
9. 离散随机过程：离散随机过程是离散随机事件在时间或空间上的序列。
这些知识点都是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、数学、物理学等领域都有广泛的应用。
《离散数学》课程复习指导
《离散数学》课程复习指导一、考试题型：（1）单项选择题（每小题3分，本题共15分）（2）填空题（每小题3分，本题共15分）（3）逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）（4）判断说明题（每小题7分，本题共14分）（5）计算题（每小题12分，本题共36分）（6）证明题（本题共8分）期末考试采用半开卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟。
二、考试说明：Ⅰ．关于课程考核说明与实施要求1．考核对象：本课程考核说明适用于中央广播电视大学开放教育本科电气信息类计算机科学与技术专业的学生．2．考核依据：本考核说明是以本课程的教学大纲（2007年6月审定）和指定的参考教材为依据制定的．本课程指定的参考教材是李伟生主编的、中央广播电视大学出版社出版的《离散数学》．3．考核方式：本课程的考核实行形成性考核和终结性考核相结合的方式．4．课程综合成绩的记分方法：形成性考核占课程考核成绩的30%，即形成性考核的成绩满分为30分；终结性考核成绩占课程考核成绩的70%，即终结性考核成绩满分70分．课程考核成绩满分100分，60分以上为合格，可以获得课程学分．5．形成性考核的说明：见附件一。
6．终结性考试的说明：终结性考核实行全国统一考核，根据本课程考试说明，由中央电大统一命题，统一评分标准，统一考核时间．(1) 考核要求：本课程考核要求分三个层次，有关概念、性质和定理等理论方面的要求从高到低为理解，了解和知道；有关方法、公式和法则等的要求从高到低为熟练掌握，掌握和会．(2) 组卷原则：终结性考核的考核内容和要求以本考核说明为准，要求考核基本概念、基本原理和基本运算．命题覆盖面可适当宽些，但试题难度要适中，题量要适当．易、中、较难题目在试卷中分配为4：4：2．(3) 试题类型及结构：单项选择题的分数占15％，填空题的分数占15％，公式翻译题的分数占12％，判断说明题的分数占14％，计算题的分数占36％；证明题的分数占8％．单项选择题和填空题主要涉及基本概念、基本理论、重要性质和结论、公式及其简单计算．单项选择题给出四个备选答案，其一是正确选项．填空题只需填写正确结论，不写计算、推论过程或理由．逻辑公式翻译题主要是利用命题逻辑和谓词逻辑的基本概念及命题联结词、谓词量词，将一个陈述句翻译成命题公式或谓词公式．判断说明题是对给定的一个命题或结论作出对与错的判断，并给出简单的说明．计算题主要考核学生的基本运算技能和速度，要求写出化简、计算过程．证明题主要考查应用概念、性质、定理及重要结论进行逻辑推理的能力，要求写出推理过程．(4) 考核形式：采用半开卷、笔试方式，试卷满分100分．半开卷考试允许考生携带指定的一张专用A4纸（统一印制），考生可以将自己对全课程学习内容的总结归纳写在这张A4纸上带入考场，作为答卷时参考．(5) 考核时间：90分钟．三．重点复习内容第1章集合及其运算1．理解集合的概念，容斥原理．2．理解集合的包含、子集、相等和幂集等概念，熟练掌握集合的表示方法和集合的并、交、补、差和对称差等运算，会用文氏图表示集合的各种运算．3．掌握用集合运算基本规律证明集合恒等式的方法．4．掌握利用容斥原理进行计数的方法．第2章关系与函数1．了解有序对和笛卡儿积的概念，掌握笛卡儿积的运算．2．理解关系的概念：包括二元关系、空关系、全关系、恒等关系．掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图，掌握关系的运算．3．掌握求复合关系和逆关系的方法．4．理解关系的性质(自反性和反自反性、对称性和反对称性、传递性)，掌握其判别方法．5．理解等价关系和偏序关系概念，掌握等价关系、偏序关系的判定，掌握等价类、复盖集的求法和作偏序关系哈斯图的方法．知道极大(小)元，最大(小)元的概念，会求极大(小)元、最大(小)元、最小上界和最大下界．6．理解函数概念：函数(映射)，函数相等，复合函数和反函数．7．理解单射、满射和双射等概念，掌握其判别方法．第3章图的基本概念与性质1．理解图的基本概念：结点、边、有向图，无向图、简单图、完全图、结点的度数、图的同构子图等，理解握手定理．2．了解通路与回路的概念：简单通路、初级通路和复杂通路，简单回路、初级回路和复杂回路，会求通路和回路的长度．3．了解无向图的连通性，会求无向图的连通分支．了解点割集、割点、边割集、割边、点连通度、边连通度等概念．4．了解有向图的强连通性、单向连通性、弱连通性；会判别有向图连通性的类型．5．理解图的矩阵表示法、邻接矩阵、可达性矩阵的概念，掌握邻接矩阵、可达性矩阵的有关计算．6．知道最短路径的概念，会最短路径的算法．第4章几种特殊图1．了解欧拉回路、欧拉图的概念及性质，掌握欧拉图的判别方法．2．了解汉密尔顿回路、汉密尔顿图的概念及性质，掌握汉密尔顿图的判别方法． 3．了解平面图的概念：平面图、面、边界、面的次数和非平面图，掌握平面图的判别方法，掌握欧拉公式的应用．4．理解平面图与对偶图的关系、对偶图在图着色中的作用，掌握着色算法； 5．掌握图论中常用的证明方法第5章树及其应用1．了解无向树、树叶、分支点、平凡树、生成树和最小生成树等概念及性质，掌握最小生成树的Kruskal 算法．2．了解有向树、根树、有序树、最优二元（叉）树等概念及性质，掌握最优树的Huffman 算法．3．掌握利用最优树产生前缀码的方法．第6章命题逻辑1．理解命题联结词概念，掌握命题公式的翻译（命题符号化）及判断语句是不是命题的方法．2．熟练掌握求给定公式真值表的方法．3．掌握基本等值式以及用真值表法和等值演算法判别公式类型和公式等值的方法． 4．了解析取(合取)范式概念，理解极小(大)项的概念和主析取(合取)范式概念，熟练掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取(合取)范式的方法． 5．掌握命题公式的的直接证明方法与间接证明方法．第7章谓词逻辑1．理解谓词、量词、个体词、个体域、全域、原子公式、谓词公式和变元等概念．掌握谓词公式的翻译．2．掌握在有限个体域下消去公式的量词和求公式在给定解释下真值的方法． 3．掌握谓词演算的等值式和重言蕴含式．4．了解前束范式的概念，会求谓词公式的前束范式的方法． 5．了解谓词逻辑推理的规则，掌握谓词公式的证明与推导方法． *．各种试题类型及解答举例一、单项选择题1．设a 是集合A 的元素，则以下正确的是( )． A ．a a ⊆}{B ．A a ⊆}{C ．A a ⊆D ．A a ∈}{选项B 正确，填写答案：“B ”．（容易题）2．有向完全图D ＝<V ，E >， 则图D 的边数是( )．A ．∣E ∣(∣E ∣－1)/2B ．∣V ∣(∣V ∣－1)/2C ．∣E ∣(∣E ∣－1)D ．∣V ∣(∣V ∣－1) 选项D 正确，填写答案：“D ”．（中等题）二、填空题3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 ． 填写答案：“(P ∧Q ∧R )∨(P ∧Q ∧⌝R )”．（较难题）4．设集合A ={1, 2, 3, 4 }，B ={6, 8, 12}， A 到B 的二元关系R ＝},,2,{B y A x x y y x ∈∈=>< 那么R －1＝填写答案：{<6,3>,<8,4> }．（容易题）三、公式翻译题5．请将语句“除非你去，否则我不去”翻译成命题公式． 解：设命题P ：你去；Q ：我去．则命题公式为：Q →P 或者┐P →┐Q ．（中等题）6．请将语句“尽管有人努力工作了，但未必一切人都努力工作．”翻译成谓词公式． 解：设P （x ）：x 是人；Q （x ）：x 努力工作．则谓词公式：(∃x )(P (x )∧Q (x ))∧┐((∀x )(P (x )→Q (x ))) （较难题）四、判断说明题7．设R ，S 是集合A 上传递的关系，判断R ⋃S 是否具有传递性，并说明理由． 解：R ⋃S 不一定是传递的关系．例如集合A = {1 , 2 , 3 }上的关系R = {<1 , 2>}，S ={<2 , 3>}，都是A 上传递的关系．但是，R ⋃S = {<1 , 2>，<2 , 3>}不是A 上传递的．（中等题）8．用真值表判断命题公式))(()(P Q P Q P ∨∧→→的类型．解：命题公式))(()(P Q P Q P ∨∧→→的真值表如下五、计算题9．设},{},,,{},,{},,,,,{42=521=41=54321=C B A E ，求：（1）(A ⋂B )⋃~C ； （2）P (A )－P (C )； （3）A ⊕B ．解：（1）(A ⋂B )⋃~C ={1}⋃}5,3,1{}5,3,1{=（2）}}4,2{},4{},2{,{}}4,1{},4{},1{,{)()(φφ-=-C P A P}}4,1{},1{{=（3）A ⊕B =(A ⋃B )－（A ⋂B ）=}5,4,2{}1{}5,4,2,1{=- （容易题）10．（1）求命题公式)()(Q P Q P ⌝→∧→⌝的主析取范式； （2）求该命题公式的成假赋值．解：（1）()()()()P Q P Q P Q P Q ⌝→∧→⌝⇔∧⌝∧⌝∨⌝P Q ⇔∧⌝（2）因为该命题公式的成真赋值是（1，0），所以成假赋值为 （0，0），（0，1），（1，1） （中等题）六、证明题11．设G 是连通简单平面图，则它一定有一个度数不超过5的结点．（提示：用反证法） 证：因为G 是连通简单平面图，它的每个面至少有3条边，所以有e r 23≤，即32er ≤（其中r ，e 分别为图G 的面数和边数）假设结论不成立，则每个结点的度数都大于等于6．则有e v 26≤，即有3ev ≤（其中v 是图G 的结点数） 由欧拉公式：2=e e e e r v -+≤-+323=0 矛盾．所以G 中至少有一个结点的度数小于或等于5． （较难题）IV ．样卷（一）一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．若集合A ＝{2，a ，{3}，4}，则下列表述正确的是( )． A ．{a }∈AB ．{3}⊆AC ．{3}∈AD ．∅∈A2．设集合A ={a , b }，则A 上的二元关系R={<a , a >, <b , b >}是A 上的( )关系．A ．是等价关系但不是偏序关系B ．是偏序关系但不是等价关系C ．既是等价关系又是偏序关系 A ．不是等价关系也不是偏序关系 3．设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100000100则G 的边数为( )．A ．5B ．6C ．3D ．44．无向图G 存在欧拉通路，当且仅当( )． A ．G 中所有结点的度数全为偶数B ．G 中至多有两个奇数度结点C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数D ．G 连通且至多有两个奇数度结点5．下列命题公式是等值的为( )．A ．⌝P ∧⌝Q ，P ∨QB ．A →(⌝B →A )，⌝A →(A →B )C ．Q →(P ∨Q )，⌝Q ∧(P ∨Q )D ．⌝A ∨(A ∧B )，B二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设A , B 为任意集合，命题A -B =∅的条件是．7．设集合A ＝{a ,b ,c }，R 是A 上的二元关系，其关系图如图一所示：图一那么R 的关系矩阵为：M R ＝．8．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v , e 和r 满足的关系式是．9．设G ＝<V,E>是有p 个结点，s 条边的连通图，则从G 中删去条边，才能确定图G 的一棵生成树．10．设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为．三、公式翻译题（每小题6分，本题共12分）11．请将语句“今天不是天晴”翻译成命题公式．12．请将语句“如果天不下雪，我有时间，那么我就去市里”翻译成命题公式．四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）13．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，判断 结论：“R 1∪R 2是自反的” 是否成立？并说明 理由．14．图G (如图二所示)能否一笔画出？说明 理由．若能画出，请写出一条通路或回路．五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．设谓词公式)(),()),,(),((y F z y yR z x y zQ y x P x ↔∀∧∀→∃． （1）试写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元．16．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 2)，(v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }．（1）试给出G 的图形表示；cv 12图二（2）写出其邻接矩阵； （3）求出每个结点的度数．17．设集合A ＝{a , b , c , d }上的二元关系R 的 关系图如图三所示．（1）写出R 的表达式； （2）写出R 的关系矩阵； （3）求出R 2．六、证明题（本题共8分）19．试证明集合等式：A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．样卷（二）一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．非空集合A 上的二元关系R ，满足( )，则称R 是等价关系．A ．自反性，对称性和传递性B ．反自反性，对称性和传递性C ．反自反性，反对称性和传递性D ．自反性，反对称性和传递性 2．下列数组中，能构成无向图的度数列的数组是( )．A ．(1,1,2,3)B ．(1,2,3,4,5)C ．(2,2,2,2)D ．(1,3,3)3．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树．A ．1m n -+B ．m n -C ．1m n ++D ．1n m -+ 4．命题公式)(Q P →⌝的主析取范式是( )． A ．Q P ⌝∧B Q P ∧⌝C ．Q P ∨⌝D ．Q P ⌝∨5．表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是( )． A ．P (x , y ) B ．P (x ,y )∨Q (z ) C ．R (x ,y ) D ．P (x ,y )∧R (x ,y )二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合A ＝{ b ，c }，那么集合A 的幂集合P (A )=．7．设A ，B 为有限集，且|A|=m ,|B|=n ,那末A 与B 间存在双射，当且仅当．8．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是．9．设G=<V ，E >是具有n 个结点的简单图，若在G 中每一对结点度数之和大于等于，则在G 中存在一条汉密尔顿路．10．命题公式()P Q P →∨的真值是．三、公式翻译题（每小题6分，本题共12分）11．请将语句“如果天不下雨，我就去书店”翻译成命题公式．12．请将语句“若a 是偶数，b 是偶数，则a +b 也是偶数．”翻译成命题公式．四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）13．设A 、B 、C 为任意的三个集合，如果A ∪B =A ∪C ，判断结论B =C 是否成立？并说明理由．图三14．给定两个图G 1，G 2（如下图所示），试判断它们是否为欧拉图、哈密顿图？并说明理由．五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．（1）化简集合表达式：((A ⋃B ⋃C )⋂(A ⋃B ))－((B ⋃(B －C ))－A )； （2）设集合A ＝{1,2}，求A ×P (A )．16．设A ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，R 是A 上的整除关系，B ={2,4,6}． （1）写出关系R 的表示式； （2）画出关系R 的哈斯图；（3）求出集合B 的最大元、最小元． 17．图G =<V , E >，其中V ={a ,b ,c ,d ,e ,f }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ),(b , d ),(b , e ), (c , e ), (d , e ), (d , f ), (e , f ) }，对应边的权值依次为5，2，1，2，6，1，9，3及8．（1）画出G 的图形；（2）求出G 权最小的生成树．六、证明（本题共8分）18．试证明逻辑式：(A →B )∧┐B ∧┐(C ∧┐A )⇒┐C附件一离散数学课程基于网络考核改革试点方案（2010年6月修改）离散数学是中央电大计算机科学与技术专业（本科）的一门统设必修学位课程。
离散数学形考任务3代数结构部分概念及性质
离散数学形考任务3代数结构部分概念及性质一、概念介绍代数结构是离散数学中的一个重要概念。
它描述了在特定集合上定义的运算规则和性质。
常见的代数结构主要包括：1. 群（Group）：群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构。
它是一种基本的抽象代数结构，并具有丰富的性质和应用。
2. 环（Ring）：环是一种具有加法和乘法两种运算的代数结构。
它具有封闭性、结合律、单位元、交换律和分配律等性质。
3. 域（Field）：域是一种具有加法、乘法、减法和除法四种运算的代数结构。
它是一种高级的代数结构，并满足多种性质，如交换性、维数等。
二、性质探讨不同的代数结构具有不同的性质，下面我们分别探讨一下群、环和域的性质：1. 群的性质：- 封闭性：对于群G中的任意元素a和b，它们的运算结果ab 也属于G。
- 结合律：对于群G中的任意元素a、b和c，(ab)c = a(bc)，即运算顺序不影响结果。
- 单位元：群G中存在一个元素e，使得对于任意元素a，ae = ea = a。
- 逆元：对于群G中的任意元素a，存在一个元素b，使得ab = ba = e。
2. 环的性质：- 封闭性：对于环R中的任意元素a和b，它们的加法运算结果a+b和乘法运算结果ab都属于R。
- 结合律：对于环R中的任意元素a、b和c，(a+b)+c = a+(b+c)和(ab)c = a(bc)，即运算顺序不影响结果。
- 单位元：环R中存在一个元素0，使得对于任意元素a，a+0 = 0+a = a。
- 交换律：对于环R中的任意元素a和b，a+b = b+a和ab = ba。
- 分配律：对于环R中的任意元素a、b和c，a(b+c) = ab+ac和(a+b)c = ac+bc。
3. 域的性质：- 封闭性：对于域F中的任意非零元素a和b，它们的加法运算结果a+b和乘法运算结果ab都属于F。
- 结合律、单位元和逆元：与群和环的性质类似，域也具有结合律、单位元和逆元的性质。
离散数学复习资料
离散数学复习资料离散数学是计算机科学与数学领域中的重要学科，它研究的是离散的数学结构和离散的数学对象。
在计算机科学领域，离散数学是构建算法和设计计算机系统的基础。
为了更好地复习离散数学，我们可以从以下几个方面入手。
一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是集合及其运算。
在集合论中，我们需要了解集合的定义、基本运算和集合间的关系。
此外，还需要掌握集合的代数运算法则，如交、并、差和补集等。
复习时可以通过解题来加深理解，例如证明集合之间的等价关系、集合的幂集等。
二、逻辑与命题逻辑是离散数学中的重要分支，它研究的是推理和论证的规则。
在逻辑中，命题是最基本的逻辑单位。
复习时需要了解命题的定义和常见的逻辑运算符，如非、与、或、异或等。
此外，还需要熟悉命题的真值表和命题之间的逻辑等价关系。
通过解题和推理，可以提高对逻辑的理解和应用能力。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是图及其性质。
在图论中，我们需要了解图的基本概念，如顶点、边、路径、环等。
此外，还需要熟悉图的表示方法，如邻接矩阵和邻接表。
复习时可以通过解题来加深对图的理解，例如求最短路径、判断图的连通性等。
四、代数系统代数系统是离散数学中的一个重要内容，它研究的是代数结构及其性质。
在代数系统中，我们需要了解群、环、域等代数结构的定义和性质。
此外，还需要熟悉代数运算法则和代数结构之间的关系。
复习时可以通过解题来加深对代数系统的理解，例如证明一个集合构成一个群、判断一个环是否是域等。
五、概率论与统计学概率论与统计学是离散数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件和随机变量的概率性质。
在概率论与统计学中，我们需要了解概率的定义和性质，掌握常见的概率分布和统计方法。
此外，还需要熟悉概率的运算法则和统计推断的基本原理。
复习时可以通过解题和实际问题的分析来加深对概率论与统计学的理解。
总之，离散数学作为计算机科学与数学领域中的重要学科，对于计算机科学专业的学生来说具有重要意义。
南京邮电大学《离散数学》考试复习重点精讲
典型例题1-1
设P表示命题“天下雪”，Q表示命题“我将去镇上”， R表示命题“我有时间”。 以符号形式写出下列命题： a ) 如果天不下雪和我有时间，那么我将去镇上。 b) 我将去镇上，仅当我有时间。
解：(a ) (P R ) Q (b) (1)"仅当"表示必要条件，有：Q R (2)"当"表示充分条件，有：R Q (3)"当且仅当"表示充要条件，有：R Q （本题正确答案）
典型例题1-2
求公式(P∨Q)∧(Q∨R)的主析取范式
解：法一：(P∨Q)∧(Q∨R) =(P∧Q)∨(P∧R) ∨(Q∧Q ) ∨(Q∧R) =(P∧Q∧(R∨R)) ∨(P∧(Q∨Q)∧R)∨((P∨P) ∧Q∧R) =(P∧Q∧R) ∨(P∧Q∧R) ∨(P∧Q∧R) ∨(P∧Q∧R)
《离散数学》考试复习指南
南京邮电大学 计算机学院
《离散数学》课程组
考试题型
1、填空题（ 10空，20分） 2、判断题（10小题，20分）
3、简答题（5小题，40分）
4、证明题（2小题，20分）
第一章 命题逻辑
命题的概念、命题的表示法 五个基本联结词的含义 命题公式与命题翻译。
命题公式的真值表（万能的真值表！）
第二章 谓词逻辑
谓词的概念与表示 量词的含义 谓词公式与翻译
判断谓词公式的真值
谓词演算的等价式与蕴含式证明
谓词演算的推理
典型例题2-1
他就不喜欢乘汽车；每一个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑 自行车；有的人不爱骑自行车。因而有的人不爱步行。 （请假设 P(x): x喜欢步行, Q(x): x喜欢乘汽车，R(x): x
离散数学专升本试题详解
离散数学专升本试题详解离散数学是计算机科学及相关领域的基础课程之一，对于计算机专业的学生来说，掌握离散数学的知识是非常重要的。
在专升本考试中，离散数学通常也是考察的重点内容之一。
本文将对离散数学专升本试题进行详细解析，帮助大家更好地理解离散数学的相关概念和方法。
在离散数学试题中，往往涉及到集合论、组合数学、图论等内容。
下面就让我们逐个解析这些知识点。
一、集合论1. 集合的基本概念在集合论中，一个集合由若干个元素组成。
试题中可能出现对集合的定义、集合的表示方法等问题。
在回答这类问题时，可以使用数学符号和语言来描述集合的性质，同时也要注明所使用的符号和术语的含义。
2. 集合的运算集合的运算包括交集、并集、差集和补集等。
在试题中，可能要求计算给定集合的运算结果，或者给出满足某些条件的集合。
解答这类问题时，要注意根据集合运算的定义和性质进行计算和推理。
3. 集合的关系和函数集合的关系和函数是集合论中的重要概念。
在试题中，可能出现对集合之间的关系和函数的性质进行分析和判断的问题。
为了回答这类问题，要熟练掌握集合之间关系和函数的定义，并能够应用相关定理和性质进行推理和证明。
二、组合数学组合数学是离散数学的一个重要分支，主要涉及排列组合、概率论、图论等内容。
1. 排列组合在组合数学中，排列和组合是常见的问题类型。
试题中可能出现计算排列组合的问题，或者给出满足某些条件的排列组合的个数。
在解答这类问题时，要熟练掌握排列组合的计算公式和性质，同时要注意根据问题的要求进行适当的变形和推理。
2. 概率论概率论是研究随机事件发生的规律性和数量关系的数学分支。
在试题中，可能出现计算概率、求条件概率和期望值等问题。
为了解答这类问题，要掌握概率论的基本概念和计算方法，同时要善于运用概率的公式和定理进行推理和计算。
3. 图论图论是研究图和图的性质的数学分支。
在离散数学试题中，可能出现对图的性质进行分析和判断的问题。
解答这类问题时，要熟悉图的基本概念和性质，能够应用相关定理和算法进行推理和计算。
离散数学辅导
离散数学辅导
对于离散数学，以下是一些辅导建议：
1.熟悉基础概念：学习离散数学的第一步是掌握基础概念，如集合论、逻辑、图论等。
建议花费时间逐一学习，通过练习来加深印象。
2.进一步学习：掌握基础概念后可以学习一些进阶的主题，如算法分析、离散概率、图算法等。
这些主题需要一些数学基础，但是可以帮助你
理解离散数学在现代计算机科学中的重要性。
3.实践练习：对于离散数学来说，实践练习尤其重要。
尽可能多地做
习题和编写代码，这将有助于您深入理解学习的概念和主题。
4.寻找辅导：如果你在学习离散数学的过程中遇到困难，可以通过寻
找同样在学习离散数学的同学或咨询辅导人员来解决问题。
5.学习资源：有很多学习资源可以帮助你学习离散数学，如教科书、
网上课程、视频教程等。
建议你选定一个适合你的学习资源来提高学习效率。
离散数学复习资料
离散数学复习资料离散数学是计算机科学与工程中的一门重要课程，对于学生来说离不开的内容就是集合、关系、图、逻辑等等。
由于离散数学的知识点比较多，所以需要用心复习备考。
本文就是为了给大家提供一些离散数学的复习资料，希望对大家的备考有所帮助。
1. 《离散数学及其应用》（Discrete Mathematics and its Applications）这本书是一本经典的教材，由美国著名数学家Kenneth H. Rosen编写，已经出版了七版。
书中内容系统、全面、深入，并且重视应用。
里面讲解的内容包括集合论、命题逻辑、谓词逻辑、证明技巧、图论、组合数学等等，每个知识点都有大量的例题和习题，适用于各个层次的学生。
此外，书中还有详细的解答和答案解析，让学生能够深入理解各个知识点的含义和应用，是一本很好的复习资料。
2. 离散数学MOOCMOOC是全称为Massive Open Online Course，中文名为大规模开放式在线课程，是指通过互联网向全球提供大规模课程，任何人都可以免费参加。
目前国内外各大高校都推出了MOOC课程，离散数学也不例外。
学生可以通过其官网或各大视频站搜索离散数学相关的MOOC，比如中国大学MOOC、Coursera等。
只要积极参与学习，基本可以达到一个不错的学习效果，同时也是一种便捷的复习方式。
3. 常见错题整理离散数学复习也需要练题，但是很多同学在复习时会出现死记硬背的情况，对于一些基础知识点掌握的不够扎实，导致在做题时出现错误。
所以整理自己的错题也是一种很好的复习方式。
学生可以以章节为单位，把做错的题目整理出来，并进行分析总结，找出其中的规律和易错点，以便更好地消化和理解这些知识点，提高做题的准确率。
4. 参考资料在复习时，参考资料也是非常重要的。
学生可以准备一本参考书或棕色折页，里面可以收集相关的定理、公式、图像等，方便随时查阅。
同时也可以利用网络资源，比如百度学术、Google Scholar等，搜索相关的论文和文献，从专业角度深入了解离散数学的各个方面，提高学习的水平和技巧。
离散数学 复习资料
离散数学复习资料离散数学复习资料离散数学是计算机科学和数学领域的重要基础课程，它涉及到离散结构和离散对象的研究，如集合论、图论、逻辑、代数和组合数学等。
在计算机科学领域，离散数学为算法设计、数据结构和计算机网络等问题提供了理论基础。
本文将为大家提供一些离散数学复习资料，帮助大家更好地掌握这门课程。
一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是集合及其元素之间的关系。
在集合论中，我们需要了解集合的定义、运算、关系和函数等基本概念。
此外，还需要熟悉集合的证明方法，如直接证明、间接证明、归谬证明等。
在复习集合论时，可以通过做一些练习题来加深理解，同时也可以查阅一些相关的教材和参考资料。
二、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是图及其性质和应用。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
在图论中，我们需要了解图的基本概念，如有向图和无向图、路径和回路、连通性和强连通性等。
此外，还需要掌握一些图的算法，如最短路径算法、最小生成树算法和网络流算法等。
复习图论时，可以通过绘制图和解决一些图的实际问题来加深理解。
三、逻辑逻辑是离散数学中的另一个重要分支，它研究的是推理和证明的规则。
在逻辑中，我们需要了解命题逻辑和谓词逻辑的基本概念，如命题、命题变量、逻辑连接词、真值表和推理规则等。
此外，还需要熟悉一些逻辑证明的方法，如直接证明、间接证明和数学归纳法等。
复习逻辑时，可以通过做一些逻辑推理题和证明题来提高逻辑思维能力。
四、代数代数是离散数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构和运算。
在代数中，我们需要了解集合的代数结构，如半群、幺半群、群、环和域等。
此外，还需要掌握一些代数运算，如集合的并、交和补运算，以及代数方程的求解方法。
复习代数时，可以通过做一些代数运算题和代数方程的求解题来加深理解。
五、组合数学组合数学是离散数学中的一个重要分支，它研究的是离散对象的组合和排列问题。
在组合数学中，我们需要了解组合和排列的基本概念，如组合数、排列数、二项式系数和多项式系数等。
离散数学形考任务3数理逻辑部分概念及性质
离散数学形成性考核作业3数理逻辑部分的概念及性质判断题●含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P∧Q的主析取范式是(P∧Q∧R)∨(P Q∧┐R)．( ) 对●命题公式┐(P→Q)的主析取范式是P∨┐Q．( ) 错●命题公式┐P∧(P→┐Q)∨P为永真式．( ) 对●命题公式┐P∧(P∨Q)⇒Q成立．( ) 对●命题公式┐P∧P的真值是T．( ) 错●命题公式P→(Q∨P)的真值是T．( ) 对●设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，那么命题“有人去上课．”为∃x(P(x)→Q(x))．( ) 错●设P(x)：x是人，Q(x)：x学习努力，那么命题““所有的人都学习努力．”为(∀x)(P(x)∧Q(x))．( ) 错●设P：他生病了，Q：他出差了，R：我同意他不参加学习．那么命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P∨Q) →┐R．( ) 错●设P：我们下午2点去礼堂看电影，Q：我们下午2点去教室看书．那么命题“我们下午2点或者去礼堂看电影或者去教室看书”符号化的结果为P∨Q．( ) 错●设P：小王来学校，Q：他会参加比赛．那么命题“如果小王来学校，则他会参加比赛”符号化的结果为P→ Q．( ) 对●设P：昨天下雨，Q：今天下雨．那么命题“昨天下雨，今天仍然下雨”符号化的结果为P∧Q．( ) 对●设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x小于3”，则谓词公式(∃x)A(x) 的真值为T．( ) 对●设个体域D＝{1,2, 3, 4}，A(x)为“x大于5”，则谓词公式(∀x)A(x)的真值为T．( ) 错●设个体域D＝{a, b},那么谓词公式∃xA(x)∨∀yB(y)消去量词后的等值式为A(a)∨B(b)．( ) 错●设个体域D＝{a, b}，则谓词公式(∀x)(A(x)∧B(x))消去量词后的等值式为(A(a)∧B(a))∧(A(b)∧B(b))．( ) 对●谓词公式┐(∀x)P(x) ⇔(∃x) ┐P(x)成立．( ) 对●谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x))∨C(y))中的自由变元为x．( ) 错●谓词命题公式(∀x)(P(x)→Q(x)∨R(x，y))中的约束变元为x．( ) 对●下面的推理是否正确．( )(1) (∀x)A(x)→B(x)前提引入(2) A(y)→B(y) US (1) 错单选∀的辖域是( )．B．P(x, ●表达式(∀x)(P(x，y)∨Q(z))∧∃y (R(x, y) →∀z Q(z))中x。
离散数学 教案 第3章复习总结
答案： 答案：(1). ③ (2). ⑦ (3). ⑤ 供选择的答案： 供选择的答案： ①(S∩M)-T； ②S∪M ； ③ (S∪M)-T； ； ∪ ∪ ； ④ (T⊕M) -S；⑤S∩(T∪M)；⑥ (T∪M) -S；⑦T-(S∪M)； ⊕ ； ∪ ； ∪ ； ∪ ； ⑧T-(S-M)； ⑨(S-T)∩M； ⑩(S∩M)∪(S-T)； ； ； ∪ ；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
答案： (5). ④ 答案：(4). ⑩ 供选择的答案： 供选择的答案： ①(S∩M)-T； ②S∪M ； ③ (S∪M)-T； ； ∪ ∪ ； ④ (T⊕M) -S；⑤S∩(T∪M)；⑥ (T∪M) -S；⑦T-(S∪M)； ⊕ ； ∪ ； ∪ ； ∪ ； ⑧T-(S-M)； ⑨(S-T)∩M； ⑩(S∩M)∪(S-T)； ； ； ∪ ；
Discrete Mathematics
第三章 集合
复习总结
西南科技大学
1
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 一、本章主要内容及学习要求 集合表示法 元素与集合的关系 集合与集合间的关系 集合的基本运算 集合运算的文氏图表示 有穷集合的计数问题。 本章重点是集合表示法，集合间的关系，集合 重点是集合表示法，集合间的关系， 重点是集合表示法 运算,有穷集合的计数。 运算,有穷集合的计数。
西南科技大学
10
补考辅导课(离散数学)
(P∧Q∧(R∨﹁R))∨(﹁P∧R∧(Q∨﹁Q))∨(Q∧R∧(P∨﹁P))
(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧﹁R)∨(﹁P∧R∧Q)∨(﹁P∧R∧﹁Q) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧﹁R)∨(﹁P∧Q∧R)∨(﹁P∧﹁Q∧R)
化归方法步骤：
1. 化为析取范式。 2. 删去析取范式中永假的析取项。 3. 将析取式中重复的合取项和相同的变元合并。 4. 对合取项补入没有出现的变元，即添加 P∨﹁P等。 5. 用分配律展开。
主要内容
第4章：二元关系和函数
盖住：设R为非空集合A上的偏序关系, x, y∈A, 如 果 x ≺ y且不存在 zA 使得 x ≺ z ≺ y, 则称 y 盖住 x. 实例：{ 1, 2, 4, 6 }集合上的整除关系, 2 盖住 1, 4 和 6 盖住 2. 4 不盖住 1.
主要内容
第4章：二元关系和函数
主要内容
第8章：一些特殊的图
掌握欧拉图（欧拉回路）的判别方法，及其与Kn的关 系。 了解哈密尔顿图的相关定理。
主要内容
第9章：树
掌握树的相关定理，比如，结点数与边数的关系。
离散数学 答疑辅导课
目录
考试题型
主要内容
考试题型
选择题 基本概念的掌握、理解，基本原理的考核。 分值20分。 填空题 基本概念的掌握、理解。 分值20分。 判断题 易混淆的概念、知识点，易出错的一些基本结论，基本 原理的考核。 分值10分。 解答题 基本方法、基本技能的考核。 分值30分。
考试题型
证明题
用一些基本、重要的结论或方法来证明新的结 论。 基本方法是教材中常用方法、知识点是教学大 纲中比较重要的内容。 分值20分。 试题难度基本与习题相同。
《离散数学》本科期末复习提要
《离散数学》本科期末复习提要《离散数学》本科期末复习提要四川电⼤周勇2007年5⽉《离散数学》使⽤的教材为中央电⼤出版的《离散数学》（刘叙华等编）和《离散数学学习指导书》（虞恩蔚等编）。
离散数学主要研究离散量结构及相互关系，使学⽣得到良好的数学训练，提⾼学⽣抽象思维和逻辑推理能⼒，为从事计算机的应⽤提供必要的描述⼯具和理论基础。
其先修课程为：⾼等数学、线性代数；后续课程为：数据结构、数据库、操作系统、计算机⽹络等。
课程的主要内容1、集合论部分（集合的基本概念和运算、关系及其性质）；2、数理逻辑部分（命题逻辑、谓词逻辑）；3、图论部分（图的基本概念、树及其性质）。
4、布尔代数学习建议离散数学是理论性较强的学科，学习离散数学的关键是对离散数学（集合论、数理逻辑和图论）有关基本概念的准确掌握，对基本原理及基本运算的运⽤，并要多做练习。
教学要求的层次各章教学要求的层次为了解、理解和掌握。
了解即能正确判别有关概念和⽅法；理解是能正确表达有关概念和⽅法的含义；掌握是在理解的基础上加以灵活应⽤。
⼀、各章复习要求与重点第⼀章集合[复习知识点]1、集合、元素、集合的表⽰⽅法、⼦集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、De Morgan 律等），⽂⽒（Venn）图3、序偶与迪卡尔积本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明[复习要求]1、理解集合、元素、⼦集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。
2、掌握集合的表⽰法和集合的交、并、差、补等基本运算。
3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的⽅法。
4、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。
[本章重点习题]P5~6，4、6；P14~15，3、6、7；P20，5、7。
[疑难解析]1、集合的概念因为集合的概念学⽣在中学阶段已经学过，这⾥只多了⼀个幂集概念，重点对幂集加以掌握，⼀是掌握幂集的构成，⼀是掌握幂集元数为2n。
离散数学形考任务3布尔代数部分概念及性质
离散数学形考任务3布尔代数部分概念及性质布尔代数是一种数学分支，研究的是逻辑运算以及相关的逻辑结构和代数系统。
它是以数学家___（___ Boole）的名字命名的。
布尔代数在计算机科学、电路设计、逻辑推理等领域有广泛的应用。
1.布尔代数的基础概念1.1 变量（Variable）在布尔代数中，变量可以取两个值中的一个，分别为0和1.这些值分别代表了真和假。
1.2 运算符（Operators）布尔代数使用运算符进行逻辑运算，常见的包括与（AND）、或（OR）、非（NOT）等。
这些运算符可以用来对变量进行逻辑操作。
2.布尔代数的性质2.1 结合律（Associative Law）在布尔代数中，与和或运算符满足结合律。
即，对于任意的布尔变量a、b和c，以下等式成立：a AND (b AND c) = (a AND b) AND ca OR (b OR c) = (a OR b) OR c2.2 分配律（Distributive Law）在布尔代数中，与和或运算符满足分配律。
即，对于任意的布尔变量a、b和c，以下等式成立：a AND (b OR c) = (a AND b) OR (a AND c)a OR (b AND c) = (a OR b) AND (a OR c)2.3 吸收律（n Law）在布尔代数中，吸收律是与运算和或运算之间的关系。
即，对于任意的布尔变量a和b，以下等式成立：a AND (a OR b) = aa OR (a AND b) = a2.4 互补律（Complement Law）在布尔代数中，非运算满足互补律。
即，对于任意的布尔变量a，以下等式成立：NOT(NOT a) = a3.总结布尔代数是逻辑运算的数学基础，它提供了一套规则和性质，可以用来描述和分析逻辑问题。
熟悉布尔代数的概念和性质对于理解计算机科学和逻辑推理等领域的相关知识非常重要。
计算机数学基础离散数学辅导(3)
《计算机数学基础》离散数学辅导(3)−−第3章 集合论本章重点：集合概念，集合的运算，集合恒等式的证明，笛卡儿积.一、重点内容 1. 集合的概念集合与元素，具有确定的，可以区分的若干事物的全体称为集合，其中的事物叫元素.集合A 中元素的个数为集合的元数∣A ∣.集合的表示方法：列举法和描述法.列举集合的元素，元素不能重复出现，集合中的元素无顺序之分. 集合与其元素之间存在属于“∈”或不属于“∉”关系.2. 集合的关系：包含，子集，集合相等.包含(子集)，若B a A a ∈⇒∈∀，则B 包含A (或A 包含于B )，称A 是B 的子集，记B A ⊆，又A ≠B ，则A 是B 的真子集，记A ⊂B .集合相等，若A ⊆B ，B ⊆A ，则A ＝B. 注意：元素与集合,集合与子集，子集与幂集，∈与⊂(⊆)，空集∅与所有集合等的关系. 3. 特殊集合：全集、空集和幂集.全集合E ，在一个具体问题中，所涉及的集合都是某个集合的子集，该集合为全集. 空集∅，不含任何元素的集合为空集. 空集是惟一的，它是任何集合的子集.集合A 的幂集P (A )，集合A 的所有子集构成的集合 P(A)=}{A x x ⊆. 若∣A ∣＝n , 则∣P (A )∣=2n .4. 集合的运算集合A 和B 的并A ⋃B ，由集合A 和B 的所有元素组成的集合.集合A 和B 的交A ⋂B ，由集合A 和B 的公共元素组成的集合.集合A 的补集~A ，属于E 但不属于集合A 的元素组成的集合，~A. 补集总相对于一个全集.集合A 与B 的差集A －B ，由属于A ，而不属于B 的所有元素组成的集合..集合A 与B 的对称差A ⊕B ，A ⊕B ＝(A －B )⋃(B －A )或A ⊕B ＝）A ⋃B 〕－（A ⋂B ）应该很好地掌握10条运算律(运算的性质)(教材P71～72)，即交换律、结合律、分配律、幂等律、同一律、零律、补余律、吸收律、摩根律和双补律等.5. 恒等式证明集合运算部分有三个方面的问题：其一是进行集合的运算；其二是集合运算式的化简；其三是集合恒等式的推理证明.集合恒等式的证明方法通常有二：(1)要证明A ＝B ，只需要证明A ⊆B ，又A ⊇B ；(2)通过运算律进行等式推导.6. 有序对与笛卡儿积有序对，就是有顺序的数组，如<x ,y >，x ,y 的位置是确定的，不能随意放置.注意：有序对<a ，b >≠<b ,a >，以a ,b 为元素的集合{a ,b }={b ,a }；有序对(a ,a )有意义，而集合{a ,a }是单元素集合，应记作{a }.笛卡儿积，把集合A ，B 合成集合A ×B ，规定 A ×B ＝{<x ,y >∣x ∈A ∧y ∈B }由于有序对<x ,y >中x ,y 的位置是确定的，因此A ×B 的记法也是确定的，不能写成B ×A.笛卡儿积也可以多个集合合成，A 1×A 2×…×A n .笛卡儿积的运算性质. 一般不能交换.二、实例例3.1 已知S ＝{2,a ,{3},4},R ={{a },3,4,1},指出下列命题的真值. (1) {a }∈S ; (2) {a }∈R ;(3) {a ,4,{3}}⊆S ; (4) {{a },1,3,4}⊆R ;(5) R =S ; (6) {a }⊆S(7) {a }⊆R (8) ∅⊂R(9) ∅⊆{{a }}⊆R (10) {∅}⊆S(11) ∅∈R (12) ∅⊆{{3},4}解 集合S 有四个元素：2，a ，{3}，4，而元素{3}又是集合. 集合R 类似.(1) {a }，这是单元素的集合，{a }不是集合S 的元素. 故命题“{a }∈S ”的真值为0.(2) {a }是R 的元素，故命题“{a }∈R ”的真值为1.(3) a ,4,{3}都是S 的元素,以此为元素构成S 的子集. 故命题“{a ,4,{3}}⊆S ”的真值为1.(4) {a },1,3,4都是R 的元素，构成R 的子集，故命题“{{a },1,3,4}⊆R ”的真值为1.(6), (8)，(9)和(12)题号的命题真值为1；而(5),(7),(10)题号命题真值为0。
离散数学期末3-4章复习精品PPT课件
(AB)C={<<1,1>,1>}, A(BC)={<1,<1,1>>}.
3. 笛卡尔积分配律：（对或运算满足） （1） A(BC) = (AB)(AC) （2） A(BC) = (AB)(AC) （3） (BC)A = (BA)(CA) （4） (BC)A = (BA)(CA)
（4） 全集
[定义] 全集: 在一定范围内，如果所有集合均为某一集合的 子集,则称这个集合是全集,记作E。 E={x | P(x) P(x)}，P(x)为任何谓词 全集是相对的, 视情况而定, 因此不唯一。 例如, 讨论(a,b)区间里的实数性质时, 可以选 E=(a,b), E=[a,b), E=(a,b], E=[a,b], E=(a,+), E=(-,+)等
3-4.2 三元组(ordered triple)
定义［三元组］：<a,b,c>=<<a,b>,c>. 定义［ n(2)元组］：
<a1,a2,…,an>=<<a1,a2,…,an-1>,an>.
定理: <a1,a2,…,an>= <b1,b2,…,bn> ai = bi, i =1,2,…,n.
集合恒等式证明(方法)
（1）逻辑演算法: 利用逻辑等价式和逻辑推理规则
（2）集合演算法: 利用集合恒等式和已知的集合结论
（1）逻辑演算法(格式)
题型: A B.
题型: A=B.
证明: x, xA 证明： x, xA
…(????)
…(????)
xB A B证毕.
word版,《离散数学(第三版)》方世昌期末复习知识点总结,文档
《失散数学》期末复习概要《失散数学》是中央电大“数学与数学应用专业”（本科）的一门选修课。
该课程使用新的教课纲领，在原有失散数学课程的基础上减少了教课内容（主假如群与环、格与布尔代数这两章及图论的后三节内容），使用的教材为中央电大第一版的《失散数学》（刘叙华等编）和《失散数学学习指导书》（虞恩蔚等编）。
失散数学主要研究失散量构造及互相关系，使学生获得优秀的数学训练，提升学生抽象思想和逻辑推理能力，为从事计算机的应用供给必需的描绘工具和理论基础。
其先修课程为：高等数学、线性代数；后续课程为：数据构造、数据库、操作系统、计算机网络等。
课程的主要内容1、会合论部分（会合的基本观点和运算、关系及其性质）；2、数理逻辑部分（命题逻辑、谓词逻辑）；3、图论部分（图的基本观点、树及其性质）。
学习建议失散数学是理论性较强的学科，学习失散数学的要点是对失散数学（会合论、数理逻辑和图论）相关基本观点的正确掌握，对基来源理及基本运算的运用，并要多做练习。
教课要求的层次各章教课要求的层次为认识、理解和掌握。
认识即能正确鉴别相关观点和方法；理解是能正确表达相关观点和方法的含义；掌握是在理解的基础上加以灵巧应用。
一、各章复习要求与要点第一章集合[复习知识点]1、会合、元素、会合的表示方法、子集、空集、全集、会合的包含、相等、幂集2、会合的交、并、差、补等运算及其运算律（互换律、联合律、分派律、汲取律、DeMorgan律等），文氏（Venn）图3、序偶与迪卡尔积本章要点内容：会合的观点、会合的运算性质、会合恒等式的证明[复习要求]11、理解会合、元素、子集、空集、全集、会合的包含、相等、幂集等基本观点。
2、掌握会合的表示法和会合的交、并、差、补等基本运算。
3、掌握会合运算基本规律，证明会合等式的方法。
4、认识序偶与迪卡尔积的观点，掌握迪卡尔积的运算。
[本章要点习题]P5~6，4、6；P14~15，3、6、7；P20，5、7。
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解：对！根据关系矩阵中主对角线以外的元素
个数即可得知。
3、集合
满足
，则
上有
个不同的反对
称关系。
解：对！
解：对！ 手
手解：对！
解：错！
解：错！应该是： ()csRRR..
7()()ABBCAC.....、
..................6,,,........、
所以
即为所求。手4008254133125166200........
CBACACBBACBACBA
...........
...
6004001000~~~.....CBA
证明题四、集合、二元关系的
)()()(CABACBA......
、证明下题：1
证明：
.右式
)~(~)()(~)(CABACABA.......
（4）循环群中的生成元一定是唯一的。
（5）群,G...的任意两个子群的交集，在“
.
”运
算下还是子群。
（A）2； （B）3； （C）4； （D）1
手
手29、
范式二、化主析取、主合取
析取、主合取范式：求解下列命题公式的主手1、
(()())(())PQRPRQP..........
)~()~(CBAABA......
)~(CBA.....
)~(CBA...
)(CBA...
左式.——证毕手)~(BABA...利用性质：
2{1,2,3,4,5,,298,299,300}
3{,|(mod3),,
}.
AARxyxyxyA
.
....
.
、已知集合，以及
上的“同余模”的关系
对
y
过
敏。则命题“不是所有狒狒对所有食物都不过敏。”可
符号化为（ ）。
（A）
)),()()((yxFxLx..
；
（B）
)),()()()()((yxFyExLyx....
；
（C）
)),()()()()((yxFyExLyx....
；
（D）
)),()()()()((yxFyExLyx....
×
×
×
×
.
R1oR2
×
.
.
.
×
R1–R2
× × Biblioteka . . .
R1.R2
.
.
.
.
.
R1.R2
.
.
.
.
{1,2,4}B.
的最小元，极大
元，上确界。
解：最小元：4；极大：1，2；上确界：无。
0054
3
1
2
、循环群等的证明题六、半群、群、交换群手、1幺
手幺
幺幺
。阿贝尔群（即交换群）
是个是幺元，证明其中都有素
中的每个元是个独异点，并且对于、设
.....
解：依题意，有
原式
(()())(())
(()())(())
(()())(()())
()()()
PQRPRQPPQRPRQPPQRPRPQPPQRPRP
.............
...........
............
.........
()()()
()()
PQRPQRPQRPQRPQR
解：对！
解：对！
解：错！
解：对！但要注意逆命题不成立！ 手10、哈密尔顿图没有割点！
9、良序集一定是全序集。
11AA、集合的两个划分的交集一定是集合的交叉划分。
解：错！因为G未必连通！
解：错！也是因为G未必连通！
解：不对！ 手15、集合
{011,10,001,110,000,010}
().A解：手()ABAAB....
25、连通平面图的欧拉公式是（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
手
26、对一个无向图
而言，其中奇点的个数（ ）。
（A）一定为偶数； （B）一定为奇数；
（C）可奇可偶； （D）以上都不对
27、对于一个只含5个不同元素的集合
A
来说，集合
（3）求
A
的子集
{1,2,4}B.
的最小元，极大
元，上确界。 005
手2、右下图给出了集合
上的一个
偏序关系R的关系图，
（1）、求出
COVA；
解：COVA={<4,3>,<3,1>,<3,2>}
（2）、画出
R
的哈斯图；
解：哈斯图如右所示：
（3）求
A
的子集
（1）、
{,,,}Babdg.
的上界、上确界；
（2）、
{,,}Chie.
的下界、下确界；
（3）、
{,,,}Dbceh.
的极大元、极小元；
004
手解答如下：
（1）、
{,,,}Babdg.
的上界、上确界；
解：上界：g,i,e；上确界：g.
（2）、
{,,}Chie.
中满足交换性，在即G.
是个阿贝尔群。综合即得...,G手
3、手
手
手幺
手幺
手y
yy
yy
y
y
手,.Re....(2)求的幺元，零元
手
手008
009手
手
、图的作图题七、图论中几类特殊树
图（形）：、画出符合下列要求的1手解：画图如下：
(0)
.
..
.
..
.
.B
,12581000
.
..
.
..
.
.C,33301000
.
..
.
..
.
..BA
,41241000
.
..
.
..
.
..CB,25401000
.
..
.
..
.
..AC
,81201000
.
..
.
..
.
...CBA
由包含排斥原理，有
IMG_08122华东理工大学网络学院
本科《离散数学》考前辅导
主讲教师：施劲松副教授
20120307年月日
本次辅导主要内容
.课程主要内容及考试中所占比例
.考试主要题型及各题分值比例
课程主要内容及考试中所占比例
120%、命题逻辑（约）
240%、集合与二元关系（约）
——解毕手
手
手
手
手:Q
1、75个金寨县宝冶希望小学的小学生来到锦江
乐园，他们在那里可以骑旋转木马，坐云霄飞
车，乘高空飞艇，已知其中20人这三种东西都
乘坐过，其中55人至少乘坐过其中的两种。若
每样乘坐一次的费用都是20元，这批学生在锦
江乐园共花费了2800元，试确定有多少小学生
性质。
(注:
{1,7,7,1,3,6,6,3,5,5,7,4,4,7,9,3,3,9,11,2,2,11,13,1,1,13}
R...............
............
) 手
手()B解：选.
21、设
)(xL：
x
是狒狒；
)(xE：
是食物；
),(yxF：
x
...
,,
,2GeexxxGG
由都有,Gx..成立，exx..是幺及e
元，即知,1xx..其自身。中每个元素的逆元都是亦即G
已经是个群了。故...,G
,Gba..、又，由封闭性，显然有Gab..且有前
段结论，又有,1aa..,1bb..,)(1abab....进而有
ababbaba..........111)(
不是前缀码。
解：错！
解：错！
()C解：。手
手。解：选)(B
20、设
R
是在正整数集合
Z.
上如下定义的二元关系
..,(,)((215)(2+15))RxyxyZxyxy..........
，
则它一共有 13 个二元序偶，且有自反性、对称
性、传递性、反自反性和反对称性诸性质中的 对称性
、欧拉图、汉密尔顿图3
、平面图4
5、图的色数
最优树”）及其应用、树、根树（主要是“6手
1114,..、“如果那么许嵩就唱《素颜》。”是
个真命题。
PQPPQ
.
.
解：对!对而言，若为“假”，则
必为“真”。
2()()ABCABC......、；
解：对！手一、判断、选择题（各章知识点均有）
..............
........
0010111001011101,3,4,5,6mmmmm....... 主析取范式
利用主析取范式和主合取范式的关系，进而可得
原式
()()()PQRPQRPQR............
1110100000,2,7MMM.....主合取范式