第3章_动量与角动量
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第三章 动量和角动量
mi
由n个质点组成的质点系： dpi Fi F外i F内i dt i i i i
质点系
F外i
F内i mi
合外力 F外 零 dp 质点系的动量定理 dpi d dp F外 pi 右边： （微分形式） dt dt dt dt i i p2 持续一段时间： F外dt dp p2 p1
弹性碰撞 碰撞
动量守恒，机械能守恒 动量守恒 动量守恒
非完全弹性碰撞
完全非弹性碰撞
3）若某一方向合外力为零, 则此方向动量守恒 .
F外x 0 , F外y 0 , F外z 0 ,
px mi vix C x pz mi viz C z p y mi viy C y
解：由质点的动量定理，
t1
t2 I Fdt p2 p1
F t mgt p2 p1
4m / s
F/N 30
0-4s： I
t=4s时： v
0
1 0-7s： I (4 7) 30 mg t p2 p1 2
t=7s时： v
x2 x1
x
解得：x1 3.33m, x2 1.67m
小结
动量定理及动量守恒定律 1. 动量定理
t2 对 质 点: I F dt P2 P1 t1 Fdt dP t2 对 质 点 系 I F外 dt P2 P1 t1 F外 dt dP
第三章 动量和角动量
力的累积效应
力对时间的累积冲量 力对空间的累积做功
动量 能量
3-1 质点的动量定理
1、冲量 动量定理 牛顿第二定律
第三章-动量-角动量
对于同一点的角动量对时间的变化率，这一结论称为质点的角
动量定理。
质点的角动量定理可以写为
Mdt dL
其中 Mdt 称为dt 时间内力矩 M对质点的冲量矩。两边
积分有：
t2 t1
Mdt
L2
L1
上式表明：作用于质点的合外力矩M 从 t1 到 t2 时间间隔 内的冲量矩，等于质点在同一时间间隔内角动量的增量。
力心
例4、一质点在x-y平面内运动，已知质点的质量为20 g，在A 、
B 两位置处的速率都是20 m/s ，vA与X轴成45 o角，vB垂 直于y轴。求质点由A点到B点这段时间内，作用在质点
上外力对O点的总冲量矩（已知OA=2m，OB=4m）。
解： 由质点的角动量定理知：
y vB B
由A到B，角动量的方向均垂 直于x-y平面向上
标量式为
(3-5)
对于冲量 I 应注意：
（1）冲量是力对时间的积累作用。
I
t2
Fdt
t1
mv1
mv
mv2
（2）冲量是矢量，其方向与动量增量方向相同。 即 I 的方向与 P 或 mv 的方向相同。
对动量原理应注意：
（1） F 是指物体所受的合外力，I 是合外力的冲量。 （2） 动量原理是矢量式，常用其分量式。 （3） 动量原理用于惯性系。
②已知炮弹对炮车的相对速度为v ，仰角
为时速θ ，度由v速’ 的度水叠平加分原量理为，炮弹对V地的瞬
v’ x = v cosθ – V
系统总动量为 m (v cosθ - V) – MV 系统总动量的水平分量守恒方程：
m (v cos θ - V) – MV = 0
代入数字 解得：
v v
第3章 动量与角动量
1) 人匀速运动，到达车尾时小车的速度为(由上式解得)： u=l/t
v v0
m uv m l 0 M m M mt
2)车的运动路程为： 由于人匀速运动，即u为常量，故小车的运动速度v 也为常量。此时车的运动路程可用 s=vt 进行计算。
m l m s vt (v0 )t v 0 t l Mm t Mm
f AB F f
A
N
mA g
f BA
N AB mB g 外力： 推力F , A的重力mA g , B的重力mB g , 地面对质点系的滑动磨擦力f , 地面对质点质的支持力N . 内力： AB间的静摩擦力f AB和f BA , AB间的正压力N AB和支持力N BA
M 大小：M rF sin 方向：右手螺旋法则
由力矩的定义可知： M r F
2、角动量
O 定义： 一个质点相对于参考点 的角动量等于 质点位置矢量 与其动量mv 的矢量积。 r
o m
L
L r mv mv r
L
L
例：一个物体在空中炸成几块，在忽略空气阻力的情况下， 这些碎块受到的外力只有竖直向下的重力，因此它们的总 动量在水平方向上的分量守恒。（某方向合外力为零，则 该方向动量守恒）
4、动量守恒定律是由牛顿定律导出的，只适用于惯性 系。（更广义的动量守恒定律不依赖于牛顿定律，是 自然界中的基本定律）
例2、 如图,车在光滑水平面上运动,已知人的质量m, 小车的质量M ,车长l ,小车的运动速度v0 人逆车运动,方向从车头经时间t到达车尾. 求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度； 2、车的运动路程； 3、若人以变速率运动，上述结论如何？ m 解：以人和车为研究系统，取 v0 u 地面为参照系。水平方向系统 M 不受外力作用，动量守恒。 x
第03章动量与角动量
第3章 动量与角动量
Momentum and Angular Momentum 主要内容 冲量与动量定理 动量守恒定律 火箭飞行原理 质心 质心运动定理 质点的角动量和角动量定理 角动量守恒定律 质点系的角动量定理
1
3.1 冲量与动量定理 Impulse and the Theorem of Momentum 1.力的冲量
dM (v u) ( M dM )(v dv )
d M dv u , M
vf
Mf
dv u v
i
Mi
dM M
M vf vi u ln M i u ln N f
20
火箭体对喷射的气体的推力：
dm (v u ) dm v F dt dm u dt
SI unit: kgm2/s or Js
e.g. 质点作圆周运动． mv
o
R
大小：mvR 对圆心： L 方向：⊙
37
2.力对固定点的力矩 定义：
M r F
O
力 F 对O点的力矩
大小：Fr 方向：右手螺旋规则
r
r
k z Fz i j y Fy
F
在直角坐标系中表示
o
o
xC 6.8 10
rC 6.8 10
12
m
mi
O
y
d
o d
H C
52.3
o
12
x
52.3
o
H
3.5 质心运动定理
The Theorem of Motion of the Center of Mass
质心运动的速度为
dri mi i mi drc i dt i c dt m m
Momentum and Angular Momentum 主要内容 冲量与动量定理 动量守恒定律 火箭飞行原理 质心 质心运动定理 质点的角动量和角动量定理 角动量守恒定律 质点系的角动量定理
1
3.1 冲量与动量定理 Impulse and the Theorem of Momentum 1.力的冲量
dM (v u) ( M dM )(v dv )
d M dv u , M
vf
Mf
dv u v
i
Mi
dM M
M vf vi u ln M i u ln N f
20
火箭体对喷射的气体的推力：
dm (v u ) dm v F dt dm u dt
SI unit: kgm2/s or Js
e.g. 质点作圆周运动． mv
o
R
大小：mvR 对圆心： L 方向：⊙
37
2.力对固定点的力矩 定义：
M r F
O
力 F 对O点的力矩
大小：Fr 方向：右手螺旋规则
r
r
k z Fz i j y Fy
F
在直角坐标系中表示
o
o
xC 6.8 10
rC 6.8 10
12
m
mi
O
y
d
o d
H C
52.3
o
12
x
52.3
o
H
3.5 质心运动定理
The Theorem of Motion of the Center of Mass
质心运动的速度为
dri mi i mi drc i dt i c dt m m
第三章动量与角动量分解
dP
dt F
dt
dt
dL
v
mv
r F
dt
称：M r F
dL
v mv
rF
dt
为质点所受合外力对同一固定点o的合外力矩
大小：M＝Frsin (为矢径与力之间的夹角)
方向：右手螺旋定则
单位v：mmNv
dL
＝0
M
o
r
F
rF M
dt
M
dL
角动量定理：质点所受的合外力矩
解：卫星在运动中仅受地球的引力（其他引力比此小得多， 可忽略），该引力始终指向地心O，因而对O的外力矩为 零，所以卫星对O的角动量守恒。
卫星在近地点的角动量 L1 mv1 (R l1 )
卫星在远地点的角动量 L2 mv2 (R l2 )
因角动量守恒 mv1 (R l1 ) mv 2 (R l2 )
t
0 (N-mg)dt mvz mv0 m 2gh
Nt mgt m 2gh 6.5
N
1 2h
0.55 56
1
1
mg t g
t
5.5×102
△t为10-1s、10-2s、10-3s、10-4s 5.5×103
计算结果表明，撞击作用持续时间愈短，平均 冲击力N与重力之比就愈大。若作用的持续时间 只有10-4秒时，N比mg要大5500倍，相比之下 重力微不足道。因此，在许多打击和碰撞问题 中，只要持续作用时间足够短，略去诸如重力 这类有限大小的力是合理的。
I
t2
Fdt＝P
mv2
- mv1
t1
质点所受合外力Biblioteka 冲量，等于该质点动量 的增量。这个结论称为质点的动量定理。
第3章 动量与角动量
dp燃
E
例题 如图所示,设炮车以仰角发射一炮弹，炮车和炮弹的质 量分别为M和m，炮弹的出口速度为v，求炮车的反冲速度V。 v 炮车与地面间的摩擦力不计。
M
m
解 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上 的外力有重力 G 和地面支持力 N ，而且 G N ， 在发射过程中G N 并不成立（想一想为什么？）， 系统所受的外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守 E 恒。
Fx
t
冲量可表为
I x Fx t
§3-1 冲量与动量定理
t
E
质点系——多个质点组成的系统。（质点的集合）
质点系的总动量——每个质点动量的矢量和。即
p
i 1
N
pi
i 1
N
mi vi
设第 i 个质点受外力为 Fi ，受质点系其他质点的合力， 即内力为 f i , j f i ,1 f i , 2 f i ,i 1 f i ,i 1 f i , N
v M dm
v+dv M dm t+dt 时刻 x
t 时刻
由动量守恒定律
t 时刻 总动量
Mv (M dm)(v dv) dm(v u) Mv Mdv udm dmdv
t+dt 时刻 总动量
E
Mdv udm 0
dm dM
Mdv udM 0
第三章 动量与角动量
Momentum and Angular Momentum
E
本章主要内容
§3-1冲量与动量定理
§3-2动量守恒定律 §3-3火箭飞行原理
大学物理第3章_动量与角动量
C
N N i 1 i 1
i 1
在任何参考系中，质心的动量都等于质点系 的总动量。
dvc mi ai m 4、质心的加速度 ac dt
N i 1
28
§3.6 质心运动定理和质心参考系
一、质心运动定理
f2外
p2
dP F m a c （惯性系） dt
i
内力可改变各质点的动量， 但合内力为零，对总动量无影 rj 响。 应用质点系动量定理不必 o 惯性系 考虑内力。
ri
f ij f ji
mj
pj
fj
13
证明：对第 i 个质点 d f ij fi d t pi j i 对质点求和
fi
pi
ri
2.火箭所受的反推力 研究对象：喷出气体 dm t 时刻：速度v (和主体速度相同)，动量 vdm t +dt时刻：速度 v - u， 动量dm(v - u)
由动量定理，dt内喷出气体所受冲量
F箭对气dt = dm(v - u) - vdm = - F气对箭dt
由此得火箭所受燃气的反推力为
dm F F气 对 箭 u dt
3
§ 3.1 冲量与动量定理 力的时间积累称为冲量（impulse）：
dI Fdt t I F (t )dt
t0
牛顿第二定律质点的动量定理： dI Fdt dp t I F (t )dt p p0
t0
动量定理常用于碰撞过程。
星（TEMPEL1）的彗核相撞。 据推算，撞击的强度相当于 4.5 吨 TNT 炸药造成的 巨大爆炸，它将会在彗核表面撞出一个约有足球场大
N N i 1 i 1
i 1
在任何参考系中，质心的动量都等于质点系 的总动量。
dvc mi ai m 4、质心的加速度 ac dt
N i 1
28
§3.6 质心运动定理和质心参考系
一、质心运动定理
f2外
p2
dP F m a c （惯性系） dt
i
内力可改变各质点的动量， 但合内力为零，对总动量无影 rj 响。 应用质点系动量定理不必 o 惯性系 考虑内力。
ri
f ij f ji
mj
pj
fj
13
证明：对第 i 个质点 d f ij fi d t pi j i 对质点求和
fi
pi
ri
2.火箭所受的反推力 研究对象：喷出气体 dm t 时刻：速度v (和主体速度相同)，动量 vdm t +dt时刻：速度 v - u， 动量dm(v - u)
由动量定理，dt内喷出气体所受冲量
F箭对气dt = dm(v - u) - vdm = - F气对箭dt
由此得火箭所受燃气的反推力为
dm F F气 对 箭 u dt
3
§ 3.1 冲量与动量定理 力的时间积累称为冲量（impulse）：
dI Fdt t I F (t )dt
t0
牛顿第二定律质点的动量定理： dI Fdt dp t I F (t )dt p p0
t0
动量定理常用于碰撞过程。
星（TEMPEL1）的彗核相撞。 据推算，撞击的强度相当于 4.5 吨 TNT 炸药造成的 巨大爆炸，它将会在彗核表面撞出一个约有足球场大
大学物理-动量与角动量
解：以小孔O为原点，绳对小球的拉力为有心力，其力矩为零。则小球对点的角动量守恒。
因：v = rw
则小球的动能增量为：
例3.18 证明开普勒第二定律：对任一行星，它的位置矢量（以太阳中心为参考点）在相等的时间内扫过相等的面积。
太阳对行星的引力为有心力，故行星角动量守恒，即 L 为常矢量，因此有：
角动量守恒：r1mv1=r2mv2 v1=(r2/r1)v2=1.2857v2
机械能守恒：
代入数据计算时，注意长度单位要统一使用m或km。
空间累积效应
时间累积效应
瞬时效应
动量定理
角动量定理
动能定理
功能定理
质点的角动量守恒定律
力
力矩
动量
角动量
冲量
冲量矩
力与动量
力矩与角动量
动量定理(冲量与动量)
角动量定理(冲量矩与角动量)
动量守恒：某一时间间隔内，质点系所受外力矢量和始终为零，…
角动量守恒：对固定参考点而言，质点受到的合力矩始终为零，…
例2-17：将质量为m 的小球系于轻绳一端，绳的另一端穿过光滑水平面上的小孔O 用手拉住。先使小球以角速度 w1 在水平面上做半径为 r1 的圆周运动，然后慢慢将绳下拉，使半径缩小为 r2 ，求在此过程中小球的动能增量。
力矩
O
力矩的分量式:
对轴的力矩
力矩为零的情况: （1）力 F 等于零； （2）力 F 的作用线与矢径 r 共线（即 sinj = 0 ）
二、角动量定理
角动量 力矩
质点对某固定点的角动量随时间的变化率，等于质点所受的合力对该点的力矩。
表示成积分形式：
冲量矩（合力矩在Δt时间内对定点的冲量矩）
由对称性分析，质心C应在x轴上。
因：v = rw
则小球的动能增量为：
例3.18 证明开普勒第二定律：对任一行星，它的位置矢量（以太阳中心为参考点）在相等的时间内扫过相等的面积。
太阳对行星的引力为有心力，故行星角动量守恒，即 L 为常矢量，因此有：
角动量守恒：r1mv1=r2mv2 v1=(r2/r1)v2=1.2857v2
机械能守恒：
代入数据计算时，注意长度单位要统一使用m或km。
空间累积效应
时间累积效应
瞬时效应
动量定理
角动量定理
动能定理
功能定理
质点的角动量守恒定律
力
力矩
动量
角动量
冲量
冲量矩
力与动量
力矩与角动量
动量定理(冲量与动量)
角动量定理(冲量矩与角动量)
动量守恒：某一时间间隔内，质点系所受外力矢量和始终为零，…
角动量守恒：对固定参考点而言，质点受到的合力矩始终为零，…
例2-17：将质量为m 的小球系于轻绳一端，绳的另一端穿过光滑水平面上的小孔O 用手拉住。先使小球以角速度 w1 在水平面上做半径为 r1 的圆周运动，然后慢慢将绳下拉，使半径缩小为 r2 ，求在此过程中小球的动能增量。
力矩
O
力矩的分量式:
对轴的力矩
力矩为零的情况: （1）力 F 等于零； （2）力 F 的作用线与矢径 r 共线（即 sinj = 0 ）
二、角动量定理
角动量 力矩
质点对某固定点的角动量随时间的变化率，等于质点所受的合力对该点的力矩。
表示成积分形式：
冲量矩（合力矩在Δt时间内对定点的冲量矩）
由对称性分析，质心C应在x轴上。
大学物理课件第3章 动量与角动量
§3.3 动量守恒定律 质点系所受合外力为零， Σ 时间改变，即
Fi = 0 总动量不随
N P pi 常矢量
i 1
1. 合外力为零，或外力与内力相比小很多；
2. 合外力沿某一方向为零；
p i
i
const .
3. 只适用于惯性系； 4. 比牛顿定律更普遍的最基本的定律。
M r F
力
M F d F r sin
提问:力矩为0的情况?
力矩
Lrp
动量
N m 矢量性: r F
单位:
三、角动量定理
pr p v pr F Lr 角动量定理： r F M (力矩)
q
v
V
v sinq
v cosq V
解：设车相对地面的反冲速度为V，方向水平向左 炮弹相对地面的速度水平分量为 v cosq V mv cosq 水平方向动量守恒 m(v cosq V ) MV 0 解得V
炮弹相对地面的速度竖直分量为 v sinq
m M
v sinq tg v cosq V
t2
mg
3秒时物是否被拉起？
F cos f 0 N F sin mg 0 f N t1 1.9 s
I x 0.62 Kgm / s
t1
F
x
dt 1.12t (cos sin ) mg dt
3
I x mvx 0 0.62Kgm / s
6
h
v
0
N =
m 2gh
τ
m 工件
mg
大学物理第三章动量与角动量分解
相碰时的相互作用内力为 f 和f
同时受系统外其它物体的作用外力为 F1和F 2
d P1 对质点m1: F1 f dt d P2 对质点m2:F2 f dt
两式相加,得
13
f f
d P1 d P2 F1 F2 f f dt dt
d F1 F2 ( P1 P2 ) dt ( F1 F2 )dt d ( P1 P2 ) ( m1 1 m2 2 ) ( m1 10 m2 20 )
由牛顿第三定律有： f ij 0
i j i
15
d t d pi 所以有： ( Fi） i i 令 Fi F外 ， pi P
则有：
F外 d t d P
F外 dP dt
i
i
或
质点系动量定理 （微分形式）
t2 F t1 外
m’ N
已知μs
解:箱子是否下滑,决定于物体坠入 箱子时,在冲力的作用下箱子的受力 是否
mgsin f s mg cos s tg
当一物体竖直坠入箱中,在冲力作用下,时的瞬间应满足:
s ( mg cos F cos ) ( mg sin F sin ) ma
力在时间上的积累效应：
平动 冲量，改变动量 转动 冲量矩，改变角动量
2
1、冲量（impulse）
定义:力对一段时间的积累
t2 大小： I ＝ Fdt
t1
F F
方向：速度变化的方向 单位：N· s 0 t
量纲：MLT－1
微分形式: d I F d t d p
v 2 gh 2 9.80 2 6.26 m/s
第三章动量与角动量
mg Mgx / L
F总 F mg 2Mgx / L Mgx / L 3mg
例3：传送带由马达牵引以 v = 2m/s 的速率水平匀速前进。漏 斗中的沙子以 40kg/s 的速率落料。漏斗口在传送带上方 h=0.5m处。求落料过程中落沙对传送带的作用力以及马达对传 送带的牵引力。 解：设落料过程中传送带对沙的作用 力为 F y ︱F ydt︱=︱0-dmVy︱
v M t时刻
(u)
x
v+dv
dm
）
M dm t+dt时刻
由动量守恒定律，有（t 时刻总动量 = t+dt 时刻总动量） Mv ( M dm)(v dv) dm(v u )
Mv Mdv udm dmdv
Mdv udm 0
Mdv udM 0（因 dm dM) dM dv u M
•对称物体的质心就是物体的对称中心。 •重心——地球对物体各部分引力的合力作用点，
•对于不太大的实物，质心与重心重合。
例：一段均匀铁丝弯成半径为R的半圆形，求此半圆形铁丝的 质心。 解：选如图坐标系，取长为dl的铁丝， 质量为dm，以λ 表示线密度，dm=dl. 分析得质心应在y轴上。
d
yc
ydl
例 4，水平地面上一静止的炮车发射炮弹，炮车 质量为 M ，炮身仰角 ，炮弹质量 m ，炮弹刚出 口时，相对炮身的速度为u，不计地面摩擦。 1） 求炮弹刚出口时，炮车的速度。
2） 若炮筒长为l （即在发炮过程中，炮弹相对炮的行 程）求发炮过程中炮车移动的距离。
解：（ A ）以炮弹，炮车为一系统， 地面为参照系（水平向右为坐标正向） 此系统在水平方向 受合外力为零，动 量守恒。
第3章 动量与角动量
i j
Fj
i j
N
f ji
dp j dt
Fi
pj
fi j
· · · fj i
· j
对所有粒子求和
Fj
i 1
N
Fi
i 1 i j
d f ij dt
i 1
N
pi 内力和
i 1 i j
N
f ij 0
(7)
d N Fi dt pi i 1 i 1 N N 合外力：F Fi 总动量：P pi i 1 i 1 t2 2 dP F t1 Fdt 1 dP P2 P1 dt
(12)
例6: 三只质量均为M的小船鱼贯而行速率均为v,如中 间小船以相对速率u向前后二船同时抛出质量均为m 的物体, 求:二物体落在前后二船上以后三只小船速度 各为多少? v 解: 1) 以小船1及m为研究对象, 运用动量守恒定律 u u
Mv m(v u) ( M m)v1 mu v1 v M m
(5)
§3.2 质点系的动量定理 (Theorem of momentum for system of particles) 一、质点系 把相互作用的若干个质点看作为一个整体, 这组质 点就称为质点系. F1 二、质点系的动量定理 F2 f1 内力: f1 , f 2 m1 m1 , m2 系统 m2 外力: F1 , F2 f
(2)
1)冲量 I 的方向: 是动量增量的方向, 并不是合外力
注意:
的方向, Δt 时间内平均合外力的方向是冲量的方向 2)直角坐标系中: I I x i I y j I z k t2 I x Fx dt P2 x P1 x mv2 x mv1 x 分量式:
第3章动量与角动量
再经过 dt 时间，火箭喷出质量 dm 气体，喷出的 速率为 u。
在t+dt 时刻，火箭的速率增加为 v+dv。此时系统 的总动量为：
dm(v u) (M dm)(v dv)
由于喷出气体质量 dm 等于火箭质量的减少-dm， 所以上式可写为：
dm(v u) (M dm)(v dv) Mv
Fxex 0, Fyex 0, Fzex 0,
px mi vix Cx py miviy Cy pz miviz Cz
4)动量守恒定律只在惯性参考系中成立，是自然 界最普遍，最基本的定律之一。
例1 一静止的原子核衰变辐射出一个电子和一
个中微子成为一个新的原子核。已知电子和中微子
1 r2
mv 2
2
位于2点对 参考 点O的 角动量为：
L2 r2 mv
O
很容易算出，两者大小相等， 方向相同，且： L1 L2 L r mv
3.8 质点系的角动量定理
定义：质点系的角动量：
L
ΣLi
对于系内任一质 dLｉ
点，角动量定理给出：dｔ
ri F i
ji
f ij
对于系内所有质点，对上式求和：
O
r
m
v
v
r
角动量
dL
L r P r (mv)
d
rP
r
d
p
d
r
p
dt dt
dt dt
由于第 2 项为 0，所以得到：dL r F
力矩：M r F
dt
角动量定理：M d L dt
质点所受的合外力矩，等于它的角动量对时间
的微分。
3.7 角动量守恒定律
角动量定理：M d L
在t+dt 时刻，火箭的速率增加为 v+dv。此时系统 的总动量为：
dm(v u) (M dm)(v dv)
由于喷出气体质量 dm 等于火箭质量的减少-dm， 所以上式可写为：
dm(v u) (M dm)(v dv) Mv
Fxex 0, Fyex 0, Fzex 0,
px mi vix Cx py miviy Cy pz miviz Cz
4)动量守恒定律只在惯性参考系中成立，是自然 界最普遍，最基本的定律之一。
例1 一静止的原子核衰变辐射出一个电子和一
个中微子成为一个新的原子核。已知电子和中微子
1 r2
mv 2
2
位于2点对 参考 点O的 角动量为：
L2 r2 mv
O
很容易算出，两者大小相等， 方向相同，且： L1 L2 L r mv
3.8 质点系的角动量定理
定义：质点系的角动量：
L
ΣLi
对于系内任一质 dLｉ
点，角动量定理给出：dｔ
ri F i
ji
f ij
对于系内所有质点，对上式求和：
O
r
m
v
v
r
角动量
dL
L r P r (mv)
d
rP
r
d
p
d
r
p
dt dt
dt dt
由于第 2 项为 0，所以得到：dL r F
力矩：M r F
dt
角动量定理：M d L dt
质点所受的合外力矩，等于它的角动量对时间
的微分。
3.7 角动量守恒定律
角动量定理：M d L
第3章动量与角动量
Mx=(yFz-zFy) My=(zFx-xFz) Mz=(xFy-yFx)
要求力对某一轴线的力矩Mz，可先求F对该轴线上某 一点O的力矩M，再投到该直线上即可。
M z k M xFy yFx
角动量：动量对空间某点的矩，只要把力换成动量
即可。 i
j k
LrP x y z
mvx
mvy
mvz
第3章动量与角动 量
§3.5 角动系定理与角动量守恒定律
§3.6 质点系角动量定理
§3.7 质心系角动量定理
【例】 讨论m1,m2两个质点系统的动量定理
解：
两个质点相互作用的内力为f12,f21, 令两个质点在t0时刻的速度为v10,v20,
m1
f21
两个质点在t时刻的速度为v1,v2 。
F1
f12 m2
g
x m2v' v0 cos m2v'v0 sin
m1 m2
g
(m1 m2 )g
可见：①当质点系所受外力在某一轴上投影的代数和等 于零，且需要求速度时，常用动量守和定律求解。
②在应用质点组动量守恒律解题时需注意到：公式中出 现的速度必须是在同一惯性坐标系下的速度。
③本题中任何物体组成的质点系的总动量不守恒，而是 不断地改变着大小和方向，在铅重方向质点系的动量 的投影不守恒，而只是水平轴上的投影才守恒。
令有n个质点形成的质点系（组），每一质点的动力学 方程：
mi
d 2ri dt 2
F int er i
F exter i
n
ri
i 1
mi
d 2 ri dt 2
n
n
ri
F int i
er
ri
要求力对某一轴线的力矩Mz，可先求F对该轴线上某 一点O的力矩M，再投到该直线上即可。
M z k M xFy yFx
角动量：动量对空间某点的矩，只要把力换成动量
即可。 i
j k
LrP x y z
mvx
mvy
mvz
第3章动量与角动 量
§3.5 角动系定理与角动量守恒定律
§3.6 质点系角动量定理
§3.7 质心系角动量定理
【例】 讨论m1,m2两个质点系统的动量定理
解：
两个质点相互作用的内力为f12,f21, 令两个质点在t0时刻的速度为v10,v20,
m1
f21
两个质点在t时刻的速度为v1,v2 。
F1
f12 m2
g
x m2v' v0 cos m2v'v0 sin
m1 m2
g
(m1 m2 )g
可见：①当质点系所受外力在某一轴上投影的代数和等 于零，且需要求速度时，常用动量守和定律求解。
②在应用质点组动量守恒律解题时需注意到：公式中出 现的速度必须是在同一惯性坐标系下的速度。
③本题中任何物体组成的质点系的总动量不守恒，而是 不断地改变着大小和方向，在铅重方向质点系的动量 的投影不守恒，而只是水平轴上的投影才守恒。
令有n个质点形成的质点系（组），每一质点的动力学 方程：
mi
d 2ri dt 2
F int er i
F exter i
n
ri
i 1
mi
d 2 ri dt 2
n
n
ri
F int i
er
ri
3.2第三章-动量与角动量讲义
初 F2 + F1 + F n dt = P末 − P初
若
F i = 0 则有 P末 = P初
动量守恒
i
dL =M= rF
角动量守恒
dt
若 M = 0 则有 L = r mv =常数
例：一个力学系统由两个质点组成，他们之间只有引力 作用。若两质点所受外力的矢量和为零，则系统：
动量守恒？ 机械能守恒？角动量守恒？
质点在有心力作用下运动，角动
量守恒。
L = pr = mvr = 常量
r F
五、质点系的角动量
质元 i ：质量 mi
Fi mi ri • fi
外力Fi 内力 fi
o
L = Li = ri pi = ri mvi
rj
fj •
Fj
mj
i
i
i
由质点的角动量定理 r F = M = dL
dt
mv0 (l0 + ) = ml0v sin( − )
1 2
mv02
+
1 2
k2
=
1 2
mv2
则有
v=
v02
+
k m
2
= arcsin v0 (l0 + )
l0v
A外+A内 = Ek末- Ek初
A外+A非保内 = E末- E初
复习
若 A外+A非保内=0
则有 E末=E初 机械能守恒定律
( ) 末
( ) 末
初 F2 + F1 dt = P末 − P初
或 注意：
I
=
P末
−
P初
……质点系的动量定理
a、外力可改变系统的动量，也可改变某一个质点的动
若
F i = 0 则有 P末 = P初
动量守恒
i
dL =M= rF
角动量守恒
dt
若 M = 0 则有 L = r mv =常数
例：一个力学系统由两个质点组成，他们之间只有引力 作用。若两质点所受外力的矢量和为零，则系统：
动量守恒？ 机械能守恒？角动量守恒？
质点在有心力作用下运动，角动
量守恒。
L = pr = mvr = 常量
r F
五、质点系的角动量
质元 i ：质量 mi
Fi mi ri • fi
外力Fi 内力 fi
o
L = Li = ri pi = ri mvi
rj
fj •
Fj
mj
i
i
i
由质点的角动量定理 r F = M = dL
dt
mv0 (l0 + ) = ml0v sin( − )
1 2
mv02
+
1 2
k2
=
1 2
mv2
则有
v=
v02
+
k m
2
= arcsin v0 (l0 + )
l0v
A外+A内 = Ek末- Ek初
A外+A非保内 = E末- E初
复习
若 A外+A非保内=0
则有 E末=E初 机械能守恒定律
( ) 末
( ) 末
初 F2 + F1 dt = P末 − P初
或 注意：
I
=
P末
−
P初
……质点系的动量定理
a、外力可改变系统的动量，也可改变某一个质点的动
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m a/2
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
把炮车和炮弹看成一个系统.
但在发射过程中 G N 并不成立（为什么？）
系统所受的外力矢量和不为零，系统的总动量不守恒。
但在水平方向上系统的动量守恒
以地面为参考系。由伽里略变换,炮弹相对于地面在 水平方向的速度为
其中：
N F Fi
i 1
i 1 i j
f ij 0
N P pi
i 1
（由牛顿第三定律）
所以
Fdt dP
Fdt dP
或：I P P0
作用于系统的合外力的冲量等于系统 动量的增量。
2. 质点系的动量守恒定律 质点系所受合外力为零，总动量不随时间改变。
2. 动量定理
有
dI Fdt dP （微分形式）
Ft P
d m dP 由 F dt dt
在短时间 t 内
在有限时间内：t0
t
P0
t
t0
P Fdt dP P P0
t I Fdt P P0
5
§3.2 动量守恒定律
1. 质点系的动量定理
设系统由 N个 质 点 组 成 内力： f12 , f 21 , f13, f 31 fij , f ji 外力： F1, F2 , Fi Fj ,
Fj
f ji
j
f ij
i
Fi
第 i个质点受力为：
Mi f i u ln Mf
以火箭为研究对象，求喷出气体对火箭的推力F。
由动量定理
Fdt M dm d Md
dm F u dt
13
Md udM udm
提高火箭速度的途径有二：
第一条是提高火箭喷气速度u(选优质燃料 )
微分形式
t2
t1
M d t L2 L1
积分形式
合外力矩对时间的积累作用 等于它的角动量变化。
注意 力矩、角动量均对惯性系中同一点而言
三、质点的角动量守恒定律
由角动量定理
M 0
t2
t1
M d t L2 L1
L2 L1
对于某一给定点,当作用在质点上的合外 力矩为零时,质点的角动量在运动过程中保持 不变。
* 微分公式
d P dL dP dr F r P dt dt dt dt dr P m 0 dL r F M dt dt
定义为对固定点O的力矩。
角动量定理
Mdt dL
若力矩作用一段有限时间，则有
0
顺时针
则对O点的合外力矩：
c
L
m
mg
M o Rmg Rmg 0
对O点角动量守恒 角动量
T
l
R
L Rmv
o
V
（2）以C点为参考点. 重力矩：
M l mg
方向随时间变化
M lm g sin
张力矩：
M l T 0
dp Fi f ij i dt i j
6ห้องสมุดไป่ตู้
dp 第 i个质点受力为： Fi f ij i dt i j
对质点系所有N个粒子求和：
N d N Fi f ij pi dt i 1 i 1 i 1 i j N
N
m
i
i
i
质点系的质量
质点系的合外力
m mi
F Fi
f fij 0
i j
i
i
质点系的合内力
根据牛顿定律,对于质点系有:
F f mi ai
i
F mac
质点系的质量与其质心加速度的乘积等 于作用在质点系上所有外力的矢量和。
只要外力确定，不管作用点怎样，质心的 加速度就确定，质心的运动轨迹就确定，即质 点系的平动就确定。 系统的内力不会影响质心的运动。
（如抛掷的物体、 跳水的运动员、 爆炸的焰火等， 其质心的运动都 是抛物线）。
例题5 水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球，球 的质量m，纸被拉动时与球的摩擦力为 f。 求：t 秒后球相对桌面移动多少距离？ 解：
第二条是加大火箭质量比M0/M (采取多级火箭)
14
§3.3 质心 质心运动定理 一、质点系的质心 N个粒子的系统，可定义质量中心,即质心。 质点系
z
m1 , m2 ,, mi ,mN
c rc
mi
r1 , r2 ,, ri , rN
m mi
i
ri
y
rc mi ri / m
dm dM
M dm d dm u
12
M dM d dM u
火箭在喷出气体前后系统动量守恒
M M dM d dM u
略去二阶无穷小量 dM d dM d u M
《大学物理学》力学
第三章
动量与角动量
第三章
动量与角动量
§3.1 冲量与动量定理
§3.2 动量守恒定律 §3.3 质心 质心运动定理 §3.5 质点的角动量和角动量守恒定律 §3.6 质点系的角动量定理、 角动量守恒定律
2
§3.1 冲量与动量定理
1. 冲量 dI
力的时间积累，即 冲量。
dI Fdt
u cos V
根据动量守恒定律有
MV m cos V 0
则炮车的反冲速度为
m V cos mM
方向向左
例题3
火箭飞行原理
v u dm v+dv
M
（t）
M-dm
（t+dt）
x
解：系统为 火箭、地球 t 时刻系统的动量 M t+dt 时刻系统的动量 因为 所以
N P pi 常矢量
i 1
（内力不改变系统的总动量，总动量守恒。）
守恒条件说明：
（1）合外力为零，或外力与内力相比小很多； （如碰撞、打击、爆炸等过程） （2）合外力沿某一方向为零；则沿此方向
Pl 常量
（3）只适用于惯性系； （4）比牛顿定律更普遍的最基本的定律。
例题2 如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车 和炮弹的质量分别为M和m，炮弹的出口速度为v，求 炮车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。
i 1
N
x
对连续分布的物体
y
rc r dm / m
m
c＊ dm rc
r
O
xc xdm / m
m
x
z
yc ydm / m
m
说明: 质心是位置的加权平均值 质心处不一定有质量
zc zdm / m
m
例题4
解：
任意三角形的每个顶点有一质量m ,
求质心。
xc
xm m
i i
y
i
（x1，y1）
o
mx1 mx 2 x1 x2 xc 3 3m
my1 y1 yc 3m 3
x2
x
二、质心运动定理
质心的位矢
i rc m i
i
mi ri
质心速度
c i m i
i
mi i
质心加速度
ac
mi ai
m0b ms rs
1
式中m是质子的质量；v0是质子在无限远处的初 速；vs是质子在离原子核最近处的速度；b是初速度 的方向线与原子核间的垂直距离。
取无限远处电势能为零。质子在飞行过程中没有
能量损失，因此质子与原子核系统总能量守恒。
1 1 Ze 2 2 m0 m s k 2 2 rs
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
把炮车和炮弹看成一个系统.
但在发射过程中 G N 并不成立（为什么？）
系统所受的外力矢量和不为零，系统的总动量不守恒。
但在水平方向上系统的动量守恒
以地面为参考系。由伽里略变换,炮弹相对于地面在 水平方向的速度为
其中：
N F Fi
i 1
i 1 i j
f ij 0
N P pi
i 1
（由牛顿第三定律）
所以
Fdt dP
Fdt dP
或：I P P0
作用于系统的合外力的冲量等于系统 动量的增量。
2. 质点系的动量守恒定律 质点系所受合外力为零，总动量不随时间改变。
2. 动量定理
有
dI Fdt dP （微分形式）
Ft P
d m dP 由 F dt dt
在短时间 t 内
在有限时间内：t0
t
P0
t
t0
P Fdt dP P P0
t I Fdt P P0
5
§3.2 动量守恒定律
1. 质点系的动量定理
设系统由 N个 质 点 组 成 内力： f12 , f 21 , f13, f 31 fij , f ji 外力： F1, F2 , Fi Fj ,
Fj
f ji
j
f ij
i
Fi
第 i个质点受力为：
Mi f i u ln Mf
以火箭为研究对象，求喷出气体对火箭的推力F。
由动量定理
Fdt M dm d Md
dm F u dt
13
Md udM udm
提高火箭速度的途径有二：
第一条是提高火箭喷气速度u(选优质燃料 )
微分形式
t2
t1
M d t L2 L1
积分形式
合外力矩对时间的积累作用 等于它的角动量变化。
注意 力矩、角动量均对惯性系中同一点而言
三、质点的角动量守恒定律
由角动量定理
M 0
t2
t1
M d t L2 L1
L2 L1
对于某一给定点,当作用在质点上的合外 力矩为零时,质点的角动量在运动过程中保持 不变。
* 微分公式
d P dL dP dr F r P dt dt dt dt dr P m 0 dL r F M dt dt
定义为对固定点O的力矩。
角动量定理
Mdt dL
若力矩作用一段有限时间，则有
0
顺时针
则对O点的合外力矩：
c
L
m
mg
M o Rmg Rmg 0
对O点角动量守恒 角动量
T
l
R
L Rmv
o
V
（2）以C点为参考点. 重力矩：
M l mg
方向随时间变化
M lm g sin
张力矩：
M l T 0
dp Fi f ij i dt i j
6ห้องสมุดไป่ตู้
dp 第 i个质点受力为： Fi f ij i dt i j
对质点系所有N个粒子求和：
N d N Fi f ij pi dt i 1 i 1 i 1 i j N
N
m
i
i
i
质点系的质量
质点系的合外力
m mi
F Fi
f fij 0
i j
i
i
质点系的合内力
根据牛顿定律,对于质点系有:
F f mi ai
i
F mac
质点系的质量与其质心加速度的乘积等 于作用在质点系上所有外力的矢量和。
只要外力确定，不管作用点怎样，质心的 加速度就确定，质心的运动轨迹就确定，即质 点系的平动就确定。 系统的内力不会影响质心的运动。
（如抛掷的物体、 跳水的运动员、 爆炸的焰火等， 其质心的运动都 是抛物线）。
例题5 水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球，球 的质量m，纸被拉动时与球的摩擦力为 f。 求：t 秒后球相对桌面移动多少距离？ 解：
第二条是加大火箭质量比M0/M (采取多级火箭)
14
§3.3 质心 质心运动定理 一、质点系的质心 N个粒子的系统，可定义质量中心,即质心。 质点系
z
m1 , m2 ,, mi ,mN
c rc
mi
r1 , r2 ,, ri , rN
m mi
i
ri
y
rc mi ri / m
dm dM
M dm d dm u
12
M dM d dM u
火箭在喷出气体前后系统动量守恒
M M dM d dM u
略去二阶无穷小量 dM d dM d u M
《大学物理学》力学
第三章
动量与角动量
第三章
动量与角动量
§3.1 冲量与动量定理
§3.2 动量守恒定律 §3.3 质心 质心运动定理 §3.5 质点的角动量和角动量守恒定律 §3.6 质点系的角动量定理、 角动量守恒定律
2
§3.1 冲量与动量定理
1. 冲量 dI
力的时间积累，即 冲量。
dI Fdt
u cos V
根据动量守恒定律有
MV m cos V 0
则炮车的反冲速度为
m V cos mM
方向向左
例题3
火箭飞行原理
v u dm v+dv
M
（t）
M-dm
（t+dt）
x
解：系统为 火箭、地球 t 时刻系统的动量 M t+dt 时刻系统的动量 因为 所以
N P pi 常矢量
i 1
（内力不改变系统的总动量，总动量守恒。）
守恒条件说明：
（1）合外力为零，或外力与内力相比小很多； （如碰撞、打击、爆炸等过程） （2）合外力沿某一方向为零；则沿此方向
Pl 常量
（3）只适用于惯性系； （4）比牛顿定律更普遍的最基本的定律。
例题2 如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车 和炮弹的质量分别为M和m，炮弹的出口速度为v，求 炮车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。
i 1
N
x
对连续分布的物体
y
rc r dm / m
m
c＊ dm rc
r
O
xc xdm / m
m
x
z
yc ydm / m
m
说明: 质心是位置的加权平均值 质心处不一定有质量
zc zdm / m
m
例题4
解：
任意三角形的每个顶点有一质量m ,
求质心。
xc
xm m
i i
y
i
（x1，y1）
o
mx1 mx 2 x1 x2 xc 3 3m
my1 y1 yc 3m 3
x2
x
二、质心运动定理
质心的位矢
i rc m i
i
mi ri
质心速度
c i m i
i
mi i
质心加速度
ac
mi ai
m0b ms rs
1
式中m是质子的质量；v0是质子在无限远处的初 速；vs是质子在离原子核最近处的速度；b是初速度 的方向线与原子核间的垂直距离。
取无限远处电势能为零。质子在飞行过程中没有
能量损失，因此质子与原子核系统总能量守恒。
1 1 Ze 2 2 m0 m s k 2 2 rs