测量不确定度和数据处理
测量不确定度与数据处理课件
对于某些测量对象，其内部不 同部位可能存在差异，这也会 导致测量结果的不确定度增加
。
测量不确定度的评估方法
根据历史数据建立不确定 度评估模型
通过对历史数据进行统计分析 ，可以建立不确定度评估模型 ，用于预测未来测量结果的不 确定度。
利用仪器设备的校准证书
仪器设备的校准证书通常会提 供有关仪器设备的不确定度信 息，可以用于评估测量结果的 不确定度。
数据整理包括对采集到的数据进行清洗、整理和转换等操作，使其满足后续分析的 要求。
制定数据采集计划：根据研究目的和范围，制定详细的数据采集计划，包括数据采 集的方法、时间、人员和预算等。
数据清洗与预处理
数据清洗包括去除重复数据、处 理缺失值、检测并处理异常值等 操作，以提高数据的质量和准确
性。
数据预处理包括对数据进行转换 、标准化和归一化等操作，以消 除数据间的尺度差异和提高数据
不确定度的来源
分析实验过程中可能产生的误差和不确定度的来源，如仪器设备的 精度、环境因素、操作误差等。
不确定度的计算
根据实验数据的分布和误差传递公式，计算实验结果的合成不确定 度和扩展不确定度。
实际生产中的数据处理与不确定度评估
实际生产中的数据处理
对实际生产过程中的数据进行处理和分析，以发现潜在的 质量问题并采取措施进行改进。
根据标准物质进行比较分 析
通过将测量对象与标准物质进 行比较分析，可以估算测量结 果的不确定度。
采用概率统计方法进行评 估
对于某些测量，可以采用概率 统计方法对测量结果的不确定 度进行评估，如通过重复测量 获取平均值和标准差等。
02
数据处理基础
数据采集与整理
明确数据采集的目的和范围：在数据采集前，需要明确研究的目的和数据的需求， 选择合适的数据来源和采集方法。
不确定度与数据处理
待测物理量(平均值或真值）处在
置信区间的置信概率为68.3%
置信区间的置信概率为99.7%
置信区间的置信概率为95.4%
一 、直接测量量的不确定度
2、直接测量量B类 标准不确定度：
二 、间接测量量的不确定度
——间接测量量的不确定度传递与合成
直接、
有效数字的处理原则
（1）直接测量量：测量结果的有效数字与测量仪器的最小分度值密切相关，读数规则： 1)对于能连续读数仪器，必须估读到最小分度值的下一位：例如，用米尺测长度：130.5mm，130.0mm 长度为130mm 与130.0mm代表不同的测量精度。 2)对于不能连续读数的仪器，读到仪器最小分度值。如，游标类仪器，数字式仪表等。
作图法:用坐标纸或计算机
1)坐标的选择：最常用的是直角坐标，对数坐标、半对数坐标 2)确定坐标轴和标注坐标分度： 选取坐标轴并标出各坐标轴所代表的物理量，即坐标轴名称及物理量的单位。 一般自变量作为横轴， 坐标分度：原则上数据中的可靠数字在图中也应可靠，可疑位在图中应是估计。 3)适当选取x轴和y轴的比例和坐标的起点，使图线比较对称的充满整个图纸 4)标明实验点：根据所测得的数据，选用符号标明实验点。 5)连接实验图线：根据不同函数关系的实验数据点的分布，将点连成直线和光滑的曲线，数据点均匀地分布在图线两侧。作为校准曲线，将各校准点连成折线。 6)标明图名称
2.00
3.00
4.00
5.00
6பைடு நூலகம்00
7.00
8.00
9.00
10.00
l(mm)
47.0
56.9
66.8
76.4
86.4
96.0
§3 测量的不确定度
测量不确定度与数据处理复习纲要§1 测量及其误差1 测量的概念测量：为确定被测对象的测量值，首先要选定一个单位，然后用这个单位与被测对象进行比较，求出它对该单位的比值──倍数，这个数即为数值。
表示一个被测对象的测量值时必须包含数值和单位两个部分。
目前，在物理学上各物理量的单位，都采用中华人民共和国法定计量单位，它是以国际单位制（SI）为基础的单位。
它是以米（长度）、千克（质量）、秒（时间）、安培（电流强度）、开尔文（热力学温度）、摩尔（物质的量）和坎德拉（发光强度）作为基本单位，称为国家单位制的基本单位；其它量（如力、能量、电压、磁感应强度等等）的单位均可由这些基本单位导出，称为国际单位制的导出单位。
2 直接测量、间接测量、等精度测量测量分为直接测量和间接测量。
直接测量是指把待测物理量直接与作为标准的物理量相比较，例如用直尺测某长度，间接测量是指按一定的函数关系，由一个或多个直接测量量计算出另一个物理量。
同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器并在相同的条件下对同一物理量进行的多次测量，叫做等精度测量。
以后说到对一个量的多次测量，如无另加说明，都是指等精度测量。
3 测量的正确度、精密度和精确度正确度表示测量结果系统误差的大小，精密度表示测量结果随机性的大小，精确度则综合反映出测量的系统误差与随机性误差的大小。
4 误差的概念测量值x与真值X之差称为测量误差Δ，简称误差。
Δ＝x-X。
误差的表示形式一般分为绝对误差与相对误差。
绝对误差使用符号±Δx。
x表示测量结果x与直值X之间的差值以一定的可能性（概率）出现的范围，即真值以一定的可能性（概率）出现在x-Δx至x+Δx区间内。
相对误差使用符号β。
由于仅根据绝对误差的大小还难以评价一个测量结果的可靠程度，还需要看测定值本身的大小，故用相对误差能更直观的表达测定值的误差大小。
绝对误差、相对误差和百分误差通常只取1～2位数字来表示。
5 误差的分类与来源一般将误差分为系统误差、随机误差、粗大误差三类。
大学物理实验测量不确定度与数据处理方法
合成标准不确定度 ：测量结果由其他
量间接得出时，按其它量的的方差或胁
方差算出的标准不确定度。测量结果y
的合成标准不确定度记为uc ( y)，也可简 写为 uc 或 u( y)。
相对合成标准不确定度 ur ：合成标准
不确定度的相对值。
ur
u(y) y
二、直接测量量不确定度的（简化）评定
对物理量X做n次等精度测量
x x uc (x)（单位） （p=）
单次测量的不确定度用B类标准不
确定度( uB )来评定。
二、间接测量量标准不确定度的 （简化）评定
—— 不确定度的传递与合成
设间接测量y是由各互不相关的直接测
量量 x1, x2, x3,, xm 通过函数关系求得。
y f (x1, x2, x3,, xm)
L=4.253±0.851ｍ
L=4.2±0.8ｍ
m 56000 200(g)
m (5.60 0.02) 104 (g)
数据处理基本方法
列表法 作图法 最小二乘法
列表法
表名
半导体热敏电阻的电阻与温度的关系
温度 t (C )
20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 45.0
电阻R ()
xLeabharlann n• 过失误差由于观测者未正确地使用仪器、观察
错误或记录错数据等不正常情况下
引起的误差。应将其剔除。
实 • 明确测量对象 验 要 • 选择合理的测量方法 求
• 正确地完成测量操作
• 正确处理测量数据
• 给出完整的测量结果
三、测量结果的完整表述
例： 固体密度测量结果
= 2.7271±0.0003（ g/cm） （ｐ=0.683）
实验测量不确定度与数据处理
2、间接测量量不确定度的评定
表示间接测量量与直接测量量之间不确定关系的关 系式称为不确定度传递公式
1）算术合成
对于间接测量值
N f x1 , x2 , x3 ,, xn
当x1、x2、x3……xn有微小变化dx1、dx2、dx3……dxn 时会引起间接测量量N的微小变化dN 所以对N取全微分
普物实验理论
实验测量不确定度与数据处理
普物实验理论
联系方式： 吴志明：zmwu@ 李丽美：zerollm@
普物实验理论
概要
§1-1 测量与仪器 §1-2 不确定度的评定 §1-3 实验数据处理 —有效数字及其运算
普物实验理论
§1-1 测量与仪器
一、定义
测量：为确定被测量对象的量值而进行的被测 物与仪器相比较的实验过程。 铯原子133基态 测量结果包含三个部分: 的两个超精细能 1.数值 级之间跃迁振荡 2.单位 9192631770周 3.可信度 (用不确定度表示) 所经历的时间为 一个原子时秒
1.3mg （接近滿量程）
三级天平（分 200g 析天平） 0.1mg 1.0mg （1/2量程附近） 0.7mg （1/3量程和以下）
普通温度计 （水银或有机 0-1000C 溶剂）
精密温度计 （水银） 电 表 0-1000C
10 C 0.10C
± 10 C ± 0.20C AmK%
普物实验理论
取方和根
f f f N x x1 x x2 x xn n 1 2
2 2 2
N
ln f ln f ln f x1 x2 xn N x x x 1 2 n
第一章 误差、不确定度和数据处理的基本知识
第一章误差、不确定度和数据处理的基本知识1、测量不确定度的概念是什么？如何对测量不确定度进行评定？怎样对测量结果进行报道？提示：A 类不确定度计算：B 类不确定度计算：合成不确定度计算：本学期的8 个实验中，其中迈克尔逊干涉仪测量光波长实验，声速测量实验均要求对测量进行不确定度评定计算。
2、测量结果有效数字位数是如何确定的？（1）不确定度的位数一般只取一位（而且只入不舍），若首位是1 或2 时可取两位。
相对不确定度为百分之几，一般也只取一、两位。
（2）不确定度决定了测量结果有效数字的位数，即测量结果的有效数字最后一位应与不确定度所在位对齐；若不确定度取两位，则测量结果有效数字的末位和不确定度末位取齐。
（3）有效数字尾数舍入规则：尾数“小于五则舍，大于五则入，等于五凑偶”，这种舍入法则使尾数舍与入的概率相同。
（4）同一个测量值，其精度不应随单位变换而改变。
例：迈克尔逊干涉测量光波波长结果3、作图法是如何处理数据的？（光速测量实验、等厚干涉实验均应用了作图法处理数据）（1）作图规则①作图一定要用坐标纸；②选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小；③标明坐标轴；④标示测量数据点；⑤连成线（要用直尺、曲线板，图线要光滑）；⑥标注图名.（2）图解法求直线的斜率和截距求直线斜率和截距的具体做法是，在描出的直线两端各取一坐标点A（x1，y1）和B（x2，y2），则可从下面的式子求出直线的斜率a 和截距b。
A、B 两坐标点相隔要远一些，一般取在直线两端附近（但不要超出测量数据范围，不要取原来的测量数据点），且自变量最好取为整数。
4、逐差法是如何处理数据的？（牛顿环实验、迈克尔逊干涉仪测量光波长实验、用霍尔传感器测量杨氏模量实验、声速测量实验）提示：看教材数据处理部分。
物理实验 测量不确定度与数据处理
E F
G H I J K
成绩评定方法
最终成绩 = 平时成绩 × 60% + 考试成绩 × 40% 平时成绩 = （试验理论课作业成绩 + 十一个实验的成绩）/12 （各个
实验的平时成绩由各负责老师给出）
考试采取闭卷方式，考察内容为实验理论知识与某个实验的操作知识
（具体的要在考前通过抽签决定）
对于不符合以上四条规定的预习报告和实验报告，或是字迹过于潦草的零乱
的，将由负责该项实验的老师酌情扣分。
突发情况的实验计划调整
如遇节假日放假或别的意外原因未在当周按计划做
的实验，将在复课后接上从这个停做的实验开始， 也就是采取向后顺延的方式
实验安全及实验室卫生
注意用电安全，防火；不能对着激光看。不要穿背
要自己找时间补上，交补做实验报告的时间以补做实验的时间开始算 起
实验报告要求
每次实验的报告分为：预习报告和实验报告，两个报告都必须要使用正规的
厦门大学实验报告纸或作业纸书写（个别需要打印的图表除外）。
预习报告内容：实验名称、实验目的、实验步骤、主要公式和必要的电路图
等、实验数据表格（分清已知量、指定量、待测量和单位）。写预习报告的 目的是让同学们在实验前能够基本清楚这个实验要做些什么注意些什么，即 使有搞不懂的地方也可以引起注意，在上实验课的时候从实验老师那里得到 解答。注意：每次实验课结束时，实验原始数据要用圆珠笔或水笔记录，不 能用铅笔，最后的实验数据要有实验老师签字方为有效，否则以缺做实验论。
七级天平（物 500g 理天平）
0.05g
0.06g（1/2量程附近）
0.04g （1/3量程和以下）
1.3mg （接近滿量程）
计量基础知识-不确定度评定和数据处理
第三节
标准不确定度分量的评定
一、 标准不确定度的A类评定 用对测量数据处理的统计方法进行评定,用 计算得到的实验标准偏差表征。 用算术平均值作为测量结果时，测量结果 _ 的A类标准不确定度为： u A s ( x) s ( x) / n
如果只测量1次，则 如果测量m次，则
u A s( x)
3
第一节
测量不确定度评定的一般要求
一、测量不确定度评定步骤
4、确定各输入量的标准不确定度u(xi) 根据各输入量标准不确定度评定方法的不同，分为标准 不确定度的A类评定和标准不确定度的B类评定。 A类评定：对测量样本统计分析进行不确定度评定的方 法。用 A类评定方法得到的标准不确定度称 A类标准不 确定度。用实验标准偏差表征。 B类评定：用不同于测量样本统计分析的其他方法进行 的不确定度评定的方法。它是基于经验或其他信息的假 定概率分布估算的，也可用标准偏差表征。
8
关于数学模型
(1) 数学模型是测量不确定度评定的依据，但是数学模 型或者说是测量模型可能与计算公式不一致。 (2) 数学模型不是唯一的。如果采用不同的测量方法和 测量程序，就可能有不同的测量模型。 (3) 数学模型可以很复杂，也可以很简单。 (4) 理论上数学模型可由测量原理导出，但实际却不一 定都能做到，有时甚至根本无法写出数学模型。 这时可以先把对Y有影响的Xi找到，xi对y的影响可以 表示为yxi，数学模型可以写为：
6
第二节 不确定度的来源
1、被测量的定义不完全 2、被测量的定义值的复现不理想 3、被测量的样本可能不完全代表定义的被测量 4、对环境条件的影响认识不足 5、人员的读数偏差 6、测量仪器计量性能的局限性（如分辨力等） 7、测量标准或测量设备不完善 8、在数据处理时所引用的常数或其他参数的不准确 9、测量方法、测量系统和测量程序不完善 10、在相同条件下，被测量重复观测值的随机变化。 11、修正不完善 7
不确定度与数据处理
不确定度与数据处理一、 误差与不确定度1．误差与不确定度的关系（1）误差：测量结果与客观真值之差 ∆x =x -A其中A 称为真值，一般不可能准确知道，常用约定真值代替：⎪⎩⎪⎨⎧理论公式计算结果—理论值更高精度仪器测量结果—标准值如物理常数等—公认值对一个测量过程，真值A 的最佳估计值是平均值x 。
在上述误差公式中，由于A 不可知，显然∆x 也不可知，对误差的最佳估计值是不确定度u (x )。
（2）不确定度：对误差情况的定量估计，反映对被测量值不能肯定的程度。
通常所说“误差”一般均为“不确定度”含义。
不确定度分为A 、B 两个分量，其中A 类分量是可用统计方法估计的分量，它的主要成分是随机误差。
2．随机误差： 多数随机误差服从正态分布。
定量描述随机误差的物理量叫标准差。
（1）标准差与标准偏差标准差 kA x i k ∑-=∞→2)(l i mσ∵真值A 不可知，且测量次数k 为有限次 ∴ σ 实际上也不可知，于是：用标准偏差S 代替标准差σ ： 1)()(2--=∑k x x x S i ——单次测量的标准偏差结果表述： x i ± S (x ) （置信概率~68.3%）真值的估计值 单次测量标准差最佳估计值S (x )的物理意义：在有限次测量中，每个测量值平均所具有的标准偏差。
（并不是只做一次测量）通常不严格区分标准差与标准偏差，统称为标准差。
（2）平均值的标准差真值的最佳估计值是平均值，故结果应表述为： x ± S (x ) （置信概率~68.3%）真值的最佳估计值其中 )1()()(2--=∑k k x x x S i ——平均值的标准偏差例1：某观察量的n 次独立测量的结果是X 1, X 2, , X n 。
试用方差合成公式证明平均值的标准偏差是样本标准偏差的n1，即nX S X S )()(=。
解： nX X i∑=由题知X i 相互独立，则根据方差合成公式有 nX u X u X u n )()()(212++=利用样本标准偏差的定义，可知 u (X i )=S (X ) i =1,2, ,n 故 nX S nX nS nX S X S X S X u )()()()()()(222==++==3．系统误差与仪器误差（限）（1）系统误差：在同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可以预知方式变化的那一部分误差称为系统误差。
大学物理实验测量的不确定度和数据处理
测量不确定度的 B类分量
仪器的最大允差Δ仪
测量中凡是不符合统计规律的不确定度统称为B类不确定度，记为ΔB。它包含了由测量者估算产生的部分Δ估和仪器精度有限所产生的最大允差Δ仪。Δ仪包含了仪器的系统误差，也包含了环境以及测量者自身可能出现的变化（具随机性）对测量结果的影响。Δ仪可从仪器说明书中得到，它表征同一规格型号的合格产品，在正常使用条件下，一次测量可能产生的最大误差。一般而言，Δ仪为仪器最小刻度所对应的物理量的数量级（但不同仪器差别很大，一些常用仪器的最大允差见第26页）。
一次测量值的B类标准差为
其中C称为置信系数。在最大允差范围内，对于正态分布，C=√9 =3；对于三角分布，C=√6，对于均匀分布，C=√3。第32页给出几种常用仪器的误差分布以及C的取值，见下表[注2]：
仪器名称
米尺
游标卡尺
千分尺
物理天平
秒表
误差分布
正态分布
均匀分布
正态分布
正态分布
正态分布
C
3
√3
3
其置信概率应记为P≥0.95。
实验数据处理
几种常用方法
列表法、作图法、逐差法和回归法。
误差杆的概念和应用
在研究两个物理量之间的关系时，常用到作图法。在作图法中，一对测量值确定一个点，叫做“数据点”（教材第一册43页）。如果在作图时用线段标示出测量值的不确定度±Δ仪，则将会更全面地反映出实验的精度。线段的长度为2Δ仪，这种小线段称为误差杆。考虑到通常选比较容易测量的物理量作为自变量，常用横坐标表示之，且其Δ仪较小，所以在作图中往往只需沿纵坐标方向画出误差杆。如果绝大多数数据点可以拟合成一条直线（或曲线），只有一个点偏离甚远，就要考虑这一对测量值的可靠性了。严格地讲，应该重新测量。但有时无法或没必要重做实验，可不可以舍弃这个点呢？一般来说，在有限范围内，两个物理量之间的关系多为连续的；反映其关系的曲线不大可能有大的突然起伏。我们可以参照测量不确定度理论中剔除坏值的3σ原则来处理。如果该点到按其他点拟合的曲线的距离大于1.5倍误差杆的长度，就可以舍弃该点。不画出误差杆就难以判断。要注意，曲线拟合是对多个数据点的统计学意义下的操作，若一共只有3、4个点，就不能草率地舍弃任何一个点了。
不确定度与数据处理
不确定度与数据处理一、 误差与不确定度1．误差与不确定度的关系（1）误差：测量结果与客观真值之差x =x -A其中A 称为真值，一般不可能准确知道，常用约定真值代替：⎪⎩⎪⎨⎧理论公式计算结果—理论值更高精度仪器测量结果—标准值如物理常数等—公认值对一个测量过程，真值A 的最佳估计值是平均值x 。
在上述误差公式中，由于A 不可知，显然x 也不可知，对误差的最佳估计值是不确定度u (x )。
（2）不确定度：对误差情况的定量估计，反映对被测量值不能肯定的程度。
通常所说“误差”一般均为“不确定度”含义。
不确定度分为A 、B 两个分量，其中A 类分量是可用统计方法估计的分量，它的主要成分是随机误差。
2．随机误差： 多数随机误差服从正态分布。
定量描述随机误差的物理量叫标准差。
（1）标准差与标准偏差标准差 kA x i k ∑-=∞→2)(limσ∵真值A 不可知，且测量次数k 为有限次 ∴实际上也不可知，于是：用标准偏差S 代替标准差 ： 1)()(2--=∑k x x x S i ——单次测量的标准偏差结果表述： x i ± S (x ) （置信概率~68.3%）单次测量标准差最佳估计值S (x )的物理意义：在有限次测量中，每个测量值平均所具有的标准偏差。
（并不是只做一次测量）通常不严格区分标准差与标准偏差，统称为标准差。
（2）平均值的标准差真值的最佳估计值是平均值，故结果应表述为： x ± S (x ) （置信概率~68.3%）真值的最佳估计值 平均值的标准差最佳估计值其中 )1()()(2--=∑k k x x x S i ——平均值的标准偏差例1：某观察量的n 次独立测量的结果是X 1, X 2, , X n 。
试用方差合成公式证明平均值的标准偏差是样本标准偏差的n1，即nX S X S )()(=。
解： nX X i∑=由题知X i 相互独立，则根据方差合成公式有 nX u X u X u n )()()(212++=利用样本标准偏差的定义，可知 u (X i )=S (X ) i =1,2, ,n 故 nX S nX nS nX S X S X S X u )()()()()()(222==++==3．系统误差与仪器误差（限）（1）系统误差：在同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可以预知方式变化的那一部分误差称为系统误差。
实验测量不确定度与数据处理
数据处理流程
了解数据处理流程，明确各步骤对测 量不确定度的影响，以便更好地控制 和减小不确定度。
统计方法
采用合适的统计方法对数据进行处理， 如最小二乘法、蒙特卡洛模拟等，以 减小数据处理过程中的不确定度。
03 数据处理方法与技术
数据清洗与筛选
01
02
03
数据清洗
去除异常值、缺失值和重 复数据，确保数据质量。
有机化合物分析
有机化合物分析中，测量不确定度可能来源于色谱柱性能、检测器响应等。数据处理方法包括峰面积归一化法、 外标法等，用于定性和定量分析有机化合物。
生物实验的数据处理
蛋白质电泳
蛋白质电泳实验中，测量不确定度主要来源于电泳过程中的电压稳定性、染色过程以及人为读数误差 。数据处理方法包括图像分析、灰度值测量等，用于蛋白质定量和定性分析。
实验测量不确定度的定义
实验测量不确定度是指由于测量过程中随机效应和系统效应 的影响，导致测量结果的不确定性。
它反映了测量结果的可信程度和可靠范围，是评估测量质量 的重要指标。
数据处理的重要性
数据处理是实验过程中的关键环节，它不仅关系到实验数据的准确性和可靠性， 还直接影响到科学结论的正确性和可靠性。
决策依据
在工程、技术、经济和医学等领域，实验测量不确定度与数据处理 的结果是制定决策的重要依据，有助于提高决策的科学性和准确性。
促进技术发展
实验测量不确定度与数据处理技术的发展和应用，有助于推动相关领 域的技术进步和创新。
未来研究方向与挑战
高级数据处理方法
跨学科融合
随着科学技术的不断发展，需要研究和开 发更高级的数据处理方法，以应对更复杂 的数据分析任务和更高的数据处理要求。
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物理实验技术中的数据处理与不确定度评估方法
物理实验技术中的数据处理与不确定度评估方法数据处理和不确定度评估是物理实验中至关重要的环节，它们对实验结果的准确性和可靠性起着决定性的作用。
本文将探讨物理实验技术中的数据处理方法和不确定度评估方法，以及它们在实验研究中的应用。
一、数据处理方法1. 有效数字和四舍五入在数据处理中，我们需要确定有效数字的位数，以确保数据的准确度和可靠性。
有效数字是指一个数字中确实的数字和估计的数字，例如，对于测量到的数值6.723，有效数字为四位，因为小数点后的数字是估计的。
在处理数据时，我们通常使用四舍五入的方法来确定有效数字的位数，确保数据的准确性。
2. 平均值和标准差在物理实验中，我们通常进行多次测量来获取更加准确的结果。
计算测量数据的平均值可以减小测量误差，提高数据的可靠性。
平均值的计算公式为数据之和除以测量次数。
另外，标准差是评估数据的离散程度的指标，表示数据的分散程度。
标准差越小，数据的可靠性越高。
3. 异常值的排除在实验测量中，可能会出现一些异常值，即与其他数据明显不符合的极端数值。
这些异常值可能会对结果产生较大的影响，因此我们需要对其进行排除。
一种常用的方法是通过判断是否与其他数据的差异超过两倍标准差来排除异常值，以确保结果的准确性。
二、不确定度评估方法1. 绝对误差和相对误差在物理实验中，我们很难完全避免测量误差的出现，这些误差会导致实验结果与真实值存在一定的偏差。
绝对误差是指测量结果与真值之间的差异，而相对误差则是绝对误差与真值的比值。
通过评估绝对误差和相对误差，我们可以了解实验结果的准确性和可靠性。
2. 系统误差和随机误差在实验测量中，误差可分为系统误差和随机误差。
系统误差是由于仪器、环境等因素引起的，它会导致测量结果偏离真实值的方向一致。
随机误差是由于测量精度的限制和实验条件的变化引起的，它会导致测量结果在一定范围内波动。
评估和控制系统误差和随机误差是减小不确定度的关键。
3. 不确定度的计算不确定度是评估测量结果的精确程度的指标，它可以通过多种方法进行计算。
测量的不确定度与数据处理
测量的不确定度与数据处理刘玉金测量、测量误差与误差处理 1.测量与测量误差1）直接测量与间接测量直接测量：是用能直接读出被测值的仪器进行测量的方法。
间接测量：是先用直接测量的方法测出几个物理量，然后代入公式计算得到所需物理量。
2）等精度测量和不等精度测量等精度测量：对某一物理量进行多次测量时，如果测量条件保持不变（同一的测量者、仪器、方法及相同的外部环境），这样进行的重复测量称为等精度测量。
不等精度测量：如果测量条件中，一个或几个发生了变化，这时所进行的测量称为不等精度测量。
3）测量误差真值：在一定条件下，任何待测物理量都是客观存在的，不依人的意志为转移的确定值。
测量误差：测量结果与真值之间的差值。
它反映了测量结果的准确程度，可用绝对误差表示，也可用相对误差表示：绝对误差=测量结果-被测量的真值 ()00100⨯=被测量真值绝对误差相对误差E2.误差分类 1）系统误差系统误差总是使测量结果向一个方向偏离，其数值是一定的或以可预知的方式变化的。
它来源于仪器本身的缺陷，或来源于理论公式和测量方法的近似性。
消除和纠正系统误差的方法是对仪器进行校正，修正实验方法，或在计算公式中引入修正项。
2）随机误差由于随机的或不确定的因素所引起的每一次测量值无规律的涨落而造成的误差。
它服从一定的统计分布规律，常见的一般性测量中，基本上属于正态分布，因此可用统计的方法处理随机误差。
3.随机误差的处理方法1） 随机误差的正态分布 2）残差、偏差和误差残差为单次测量值x i 与有限次测量平均值x 之差。
即x x x i -=∆ (i=1,2, …,n)偏差为单次测量值x i 与总体平均值μ之差。
注意，偏差即为随机误差，系统误差为0时，偏差才是误差。
误差为单次测量值x i 与被测量真值x 0之差。
3）σ，S ，x S （1）总体标准偏差σ()nx i ni n 21limμμ-∑==∞→（2）有限次测量时的单次测量值标准差S()121--∑==n x x S i ni（3）x 的标准偏差x S()()121--∑===n n xx nS S i ni x测量的不确定度 1. 不确定度1）不确定度是指由于测量误差的存在而对测量值不能肯定的程度，是表征被测量的真值所处的量值范围的评定。
测量不确定度与数据处理
重复测量称为等精度测量。
在不同条件（观察者、仪器、方法、环境）下的重复测量
称为不等精度测量。
3.重复测量和单次测量
在等精度的条件下对待测量进行多次直接测量，每一次
测量是测量全过程的重新调节，称为重复测量。
对不确定度
v函数为积与商关系------先计算相对不确定度，后计算绝
对不确定度
v函数为先和差后积商关系------先计算相对不确定度，后
计算绝对不确定度
v函数为先积商后和差关系------先计算绝对不确定度，后
计算相对不确定度
§1-3 有效数字及其运算
1. 实验过程中记录应记几位数字？ 2. 实验后，处理实验数据时数据运算后要保留几位数字？
误差分布 正态分布 均匀分布 正态分布 正态分布 正态分布
C
3
3
3
3
3
1）不确定度是正态分布或近似高斯分布
uB
仪 3
P = 68.3%
2）均匀分布
uB
仪 3
P = 68.3%
3）三角形分布
uB
仪 6
P = 68.3%
四、 总不确定度的合成
u uA2 uB2
注意：A、B类不确定度的合成时，两者概率需一致。
U N x f1U x1 2 x f2U x2 2 x fnU xn 2
p 相对不确定度传递公式:
U N N lx 1 n fU x 1 2 lx2 n fU x2 2 lxn n fU xn 2
例如： N=A+B
N=AB
kvnd二测量结果分析的基本概念随机变量的算术平均数等于试验结果的各个可能值与其相应的频率fxx要试验后才能确定因而算术平均数也必须到试验后才能求出而且各次试验后所得到算术平均数也不一定相同具有随机算术平均值与数学期望零件重x公斤99100101件数m255025频率f251005010025100公斤10010025101100501001002599数学期望dxx是连续的在大量试验下频率fxx而随机变量x的算术平均值也一定稳定于随机变量x的各个可能值与其相应概率乘积的总和这个总和是一个常数它是算术平均值的稳定值称为随机变量x的数学期望
物理实验中的数据处理和不确定度分析方法
物理实验中的数据处理和不确定度分析方法引言：物理实验是科学研究的重要手段之一，通过实验可以验证理论，探索未知领域。
然而，实验数据的处理和不确定度分析是实验过程中不可忽视的重要环节。
本文将对物理实验中的数据处理和不确定度分析方法进行探讨。
一、数据处理方法1. 数据收集：在进行物理实验时，首先需要收集实验数据。
可以使用仪器设备进行直接测量，也可以通过观察和记录来获取数据。
在数据收集过程中，应注意记录数据的准确性和完整性。
2. 数据整理：在收集到实验数据后，需要对数据进行整理和归纳。
可以使用表格、图表等形式将数据进行整理，以便更好地分析和理解数据。
3. 数据分析：数据分析是对实验数据进行统计和推理的过程。
可以使用数学统计方法，如平均值、标准差等，对数据进行分析和描述。
此外，还可以使用图像处理和模型拟合等方法，对数据进行更深入的分析。
二、不确定度分析方法1. 系统误差：系统误差是由于实验仪器、环境条件等因素引起的误差。
在进行实验前，应对实验仪器进行校准和调试，以减小系统误差的影响。
此外，还可以通过重复实验和对比实验结果来估计系统误差的大小。
2. 随机误差：随机误差是由于实验中的偶然因素引起的误差。
在实验中，随机误差是不可避免的，但可以通过增加实验次数和使用统计方法来减小其影响。
例如，可以使用标准差和方差等统计指标来描述随机误差的大小。
3. 不确定度表示：不确定度是对实验结果的不确定程度的度量。
在实验中，不确定度可以通过测量误差、重复实验等方法来估计。
常用的表示方法有绝对误差、相对误差和百分比误差等。
4. 不确定度传递：在物理实验中，往往需要通过多个测量值计算得到最终结果。
在进行计算时，需要将每个测量值的不确定度传递到最终结果中。
可以使用不确定度传递公式，根据测量值的不确定度和计算公式来计算最终结果的不确定度。
结论：物理实验中的数据处理和不确定度分析是确保实验结果准确性和可靠性的重要环节。
通过合理的数据处理和不确定度分析方法，可以更好地理解实验数据，评估实验结果的可靠性，并为科学研究提供有力支持。
物理实验技术的数据处理与不确定度分析
物理实验技术的数据处理与不确定度分析在物理实验中，数据处理和不确定度分析是非常重要的环节。
通过对实验数据的处理和分析，科学家和研究人员可以得出准确的结论，并对实验结果的可靠性进行评估。
本文将探讨物理实验技术中的数据处理和不确定度分析方法，希望能为读者提供一些思路和技巧。
一、数据处理的基本原则数据处理是物理实验中必不可少的一步，其目的是从实验测量中获得有用的信息。
在进行数据处理时，有一些基本原则需要遵循：1.合理选择数据处理方法。
不同的实验会涉及到不同的数据处理方法，需要根据实验的性质选择合适的方法。
常见的数据处理方法有平均值、标准差、拟合曲线等。
2.检查数据的准确性和一致性。
在进行数据处理之前，需要对实验数据进行检查，确保数据的准确性和一致性。
如果发现数据存在问题，应该找出原因并进行修正。
3.选择合适的数学模型。
在进行拟合曲线处理时，需要选择合适的数学模型，并根据实验数据找到最佳拟合参数。
选择合适的数学模型可以提高数据处理的准确性。
4.评估数据处理结果的可靠性。
在进行数据处理之后，需要评估数据处理结果的可靠性。
通常可以使用标准差、残差分析等方法来评估处理结果的可靠性。
二、不确定度的定义与计算方法不确定度是对物理量测量结果不确定性的度量。
在进行不确定度分析时，有一些基本概念和计算方法需要了解：1.随机误差与系统误差。
随机误差是由于测量仪器、测量方法等造成的，通常呈现随机分布。
系统误差是由于实验条件、测量方法等原因引起的误差，通常具有一定的规律性。
2.不确定度的定义与表示。
不确定度是对测量结果的估计，通常用标准偏差或标准误差表示。
标准偏差表示测量结果的离散程度，而标准误差表示测量结果与真值之间的差异。
3.不确定度的计算方法。
不确定度的计算需要考虑到随机误差和系统误差。
常见的计算方法有多次测量法、标准差传递法、最小二乘法等。
4.不确定度的合成方法。
在实验中，常常会有多种误差来源。
对于多个误差来源，可以使用不确定度合成方法来计算总的不确定度。
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测量不确定度和数据处理中国科学技术大学轩植华摘要文章澄清了测量不确定度教学中易混淆的一些概念，给出了实用的展伸不确定度公式；在数据处理中，倡导利用回归法；提出在作图法中画出误差杆，以更明确地表明实验的精度。
关键词误差，测量不确定度，标准差，展伸不确定度，数据处理，误差杆，回归法。
测量不确定度采用不确定度的必然性国际计量局等七个国际组织于1993年指定了具有国际指导性的“测量不确定度表示指南 ISO 1993（E）”（以下简称《指南》）。
几年来国际与国内的科技文献开始采用不确定度概念，我国各个高校也不断开展这方面的讨论，改革教学内容与方法，以求与国际接轨。
虽然一些学者对《指南》的有些内容持批评态度[注1]，但总的趋势是在贯彻《指南》的同时，不断改善它。
测量不确定度定义为测量结果带有的一个参数，用以表征合理赋予被测量量的分散性，它是被测量客观值在某一量值范围内的一个评定。
不确定度理论将不确定度按照测量数据的性质分类：符合统计规律的，称为A类不确定度，而不符合统计规律的统称为B类不确定度。
测量不确定度的理论保留系统误差的概念，也不排除误差的概念。
这里的误差指测量值与平均值之差或测量值与标准值（用更高级的仪器的测量值）的偏差。
测量不确定度的B类分量仪器的最大允差Δ仪测量中凡是不符合统计规律的不确定度统称为B类不确定度，记为ΔB。
它包含了由测量者估算产生的部分Δ估和仪器精度有限所产生的最大允差Δ仪。
Δ仪包含了仪器的系统误差，也包含了环境以及测量者自身可能出现的变化（具随机性）对测量结果的影响。
Δ仪可从仪器说明书中得到，它表征同一规格型号的合格产品，在正常使用条件下，一次测量可能产生的最大误差。
一般而言，Δ仪为仪器最小刻度所对应的物理量的数量级（但不同仪器差别很大，一些常用仪器的最大允差见第26页）。
测量者的估算误差Δ估测量者对被测物或对仪器示数判断的不确定性会产生估算误差Δ估。
对于有刻度的仪器仪表，通常Δ估为最小刻度的十分之几，小于Δ仪（因为最大允差已包含了测量者正确使用仪器的估算误差）。
比如，估读螺旋测微器最小刻度的十分之一为0.001毫米，小于其最大允差0.004毫米；估读钢板尺最小刻度的十分之一为0.1毫米，小于其最大允差0.15毫米。
但有时Δ估会大于Δ仪。
比如，用电子秒表测量几分钟的时间，测量者在计时判断上会有0.1-0.2秒的误差。
而电子秒表的稳定性为10-5秒/天，显然仪器的最大允差小得实在可以忽略。
又如第30届国际物理奥林匹克竞赛实验题中要测量一个摆杆的质心到一端的距离。
将摆杆放到一个“⊥”型物上并使之平衡，测量支撑点到摆一端的距离。
由于“⊥”型物棱宽为2mm ，摆杆在棱上移动±1mm均能保持平衡，使得一次测量的估算误差应为±1mm ，大于钢直尺的最大允差Δ仪=0.15mm 。
在拉伸法测金属丝杨氏模量实验中，由于难以对准金属丝被轧头夹住的位置，钢丝长度的估算误差可达±（1-2）mm 。
在暗室中做几何光学实验，进行长度测量时，长度的估算误差也可达±（1-2）mm 。
如果Δ估和Δ仪是彼此无关的，B类不确定度ΔB为它们的合成：若Δ估和Δ仪中，某个量小于另一量的三分之一，平方后将小一个数量级，则可以忽略不计。
由于一般而言，Δ估比Δ仪小（正常使用下已包含其中），在以下的讨论中仅以Δ仪表示ΔB。
B类分量的标准差多次用同一规格型号的不同仪器测量同一物理量，测量值可能不同。
这些测量值与平均值之差也是按一定概率分布的。
正态分布是连续型随机变量中最常用、最重要的分布。
一般而言，在相同条件下大批生产的产品，其质量指标一般服从正态分布。
如某个数量指标X是很多随机因素之和，而每种因素所起的作用均匀微小，则X为服从随机分布的变量。
例如，工厂大量生产某一产品，当设备、技术、原材料、工艺等可控制的生产条件都相对稳定，不存在系统误差的明显因素，则产品的质量指标近似服从正态分布。
如果仪器的测量误差在最大允差范围内出现的概率都相等（如长度块规在一定温度范围内由于热胀冷缩导致的长度值变化），就为均匀分布。
界于两种分布之间则可用三角分布来描述。
一次测量值的B类标准差为其中C称为置信系数。
在最大允差范围内，对于正态分布，C=√9 =3；对于三角分布，C= √6，对于均匀分布，C=√3。
第32页给出几种常用仪器的误差分布以及C的取值，见下表[注2]：仪器名称米尺游标卡尺千分尺物理天平秒表误差分布正态分布均匀分布正态分布正态分布正态分布C 3 √3333符合正态分布的测量列中某次测量值与平均值之差落在[-σ，σ]之间的概率为68.3%,落在[-2σ，2σ]之间为95.55%,落在[-3σ，3σ]之间的概率为99.73%（见图1），所以仪器的最大允差规定为Δ仪=3σ。
不同的分布，在相同范围内的置信概率有所不同。
不明确这一点，在合成不确定度的A类分量和B类分量时，就无法给出正确的置信概率和置信区间。
为了说明这一点，先要做一些数学铺垫。
[ ]三种仪器误差分布按照概率统计理论[注3]，若x是连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则其数学期望值为其方差为标准差为对于等精度测量，随机量其数学期望值（即平均值）为方差为标准差为设随机变量X在[a,b]上服从均匀分布（见图2），即其平均值为其方差为其标准差为特例：当a = -Δ仪 ,b =Δ仪时，σ(X)=Δ仪/√3 ≈0.577Δ仪。
也即如果仪器误差符合均匀分布，其一次测量值与标准值之差落在[-σ，σ]内的概率为57.7%，低于正态分布相应的68.3%；而落在[-√3σ，√3σ]内的概率就已经达到100%，与正态分布有很大不同（比较图1和图2）。
设随机变量X在[-Δ仪,Δ仪]上的分布为三角分布（见图3）由其对称性易得测量列的平均值为方差为标准差X落在[-σ, σ]之间的概率P（σ），如图3中阴影的面积，P（σ）=0.758；而P（2σ）=0.966。
三种分布的标准差以及各置信区间相应的概率如下表：分布 标准差σ P（σ） P（2σ） P（3σ）正态分布 Δ/3 0.683 0.955 0.997三角分布 Δ/√6 0.758 0.966 1均匀分布 Δ/√3 0.577 1 1因此，不能笼统地说测量误差落在标准差范围内的概率为68.3%，落在两倍标准差范围内的概率为95.5%。
在合成标准不确定度时，要注意区分不同的分布。
[ ]合成标准不确定度和展伸不确定度将A类和B类标准差合成得到置信概率P=0.68的合成标准不确定度：若考虑到测量次数，还应t因子修正。
将合成标准不确定度乘以一个与一定置信概率相联系的包含因子（或称覆盖因子）K，得到增大置信概率的不确定度叫做展伸不确定度（或扩展不确定度）。
通常取置信概率为0.95，K=2。
对正态分布，k0.95=1.96 ≈ K=2。
这时的展伸不确定度为考虑到通常测量6次左右,查阅t因子表，t0.95=2.57, t2/6≈1,C=3, K≈k0.95=1.96,(K/C)≈0.5。
所以，置信概率P=0.95的展伸不确定度的便于操作的公式为用均匀分布或三角分布得到的B类标准不确定度与服从正态分布的A类标准不确定度来计算合成不确定度时，要用到卷积运算，其结果和σ与Δ仪之比有关，可参阅[文献4]。
注意到不确定度的统计学意义和在上述操作中的近似，在实际工作中，常常忽略不同分布的差别（有时也不知道是什么分布），而把Δ仪当成均匀分布，取置信因子C=√3。
这样得到一种较为保守的公式其置信概率应记为P≥0.95。
[ ]实验数据处理几种常用方法列表法、作图法、逐差法和回归法。
误差杆的概念和应用在研究两个物理量之间的关系时，常用到作图法。
在作图法中，一对测量值确定一个点，叫做“数据点”（教材第一册43页）。
如果在作图时用线段标示出测量值的不确定度±Δ仪，则将会更全面地反映出实验的精度。
线段的长度为2Δ仪，这种小线段称为误差杆。
考虑到通常选比较容易测量的物理量作为自变量，常用横坐标表示之，且其Δ仪较小，所以在作图中往往只需沿纵坐标方向画出误差杆。
如果绝大多数数据点可以拟合成一条直线（或曲线），只有一个点偏离甚远，就要考虑这一对测量值的可靠性了。
严格地讲，应该重新测量。
但有时无法或没必要重做实验，可不可以舍弃这个点呢？一般来说，在有限范围内，两个物理量之间的关系多为连续的；反映其关系的曲线不大可能有大的突然起伏。
我们可以参照测量不确定度理论中剔除坏值的3σ原则来处理。
如果该点到按其他点拟合的曲线的距离大于1.5倍误差杆的长度，就可以舍弃该点。
不画出误差杆就难以判断。
要注意，曲线拟合是对多个数据点的统计学意义下的操作，若一共只有3、4个点，就不能草率地舍弃任何一个点了。
还要注意，各个数据点的误差杆长度不一定相等。
或者，对数据做某种处理（如取对数）后，再进行作图，误差杆的长度也会变化。
譬如，某1.0级的电压表的量程为100伏，对于测量值为20.0伏、30.0伏、40.0伏和 50.0伏，它们的最大允差均为±1.0伏。
若纵坐标为电压，则误差杆的长度都是2×0.1伏；而若以电压值的对数为纵坐标，则误差杆的长度为2×ΔV/V=0.2/V，电压值不同，误差杆长度就不同。
作图法和回归法的比较作图法的最大优点是直观。
在诸多数据点的拟合中，如果发现有一个点明显偏离所拟合的曲线，就需要在这个点所处物理条件附近，再进行仔细的实验，查明是否是实验误差，还是有新的现象或规律。
但作图法需较长时间，曲线拟合过程中会引入误差；求解实验方程参数及其不确定度比较麻烦。
用回归法只需按动计算器的几个键，就可以确定实验方程的参数及其不确定度。
但如果实验数据有误，或所拟合的方程形式不合适，则相关系数小，必须重新检查数据或方程形式，由于不直观，一时难以断定问题之所在。
若数据点可以拟合为一条直线，线性方程的一般形式为数据为X i和Yi,每次测量的最大允差为ΔX i和ΔY i，i = 1,2,…,n。
拟合直线的斜率m的相对不确定度为* 式中分别为相应测量值最大允差的平方平均值。
截距的不确定度为** 概率论给出回归法线性拟合的斜率的标准差为式中n 为X（或Y）的测量数据个数，r为相关系数。
截距的标准差为如果两组物理量之间的关系确实为线性，按 * 和 ** 式由各个测量值最大允差计算得到的和一实验数据处理方法也应“与时俱进”，充分享用新技术带给人类的方便。
有必要让我们的学生掌握这些方法。
[ ]参考文献注1 钱钟泰编著，执行“测量不确定度表示指南ISO1993（E）”的问题及解决方法，1999 年， 中国计量出版社注2 欧阳九令主编，常用物理测量手册 ，1998年，中国工人出版社注3 许小平等编，概率统计，1996年，中国地质大学出版社注4 刘智敏，不确定度与分布合成，物理实验，vol.19,No.5 (1999/5)标题英译： Teaching of Uncertainty of Measurement and Treatment of Experimental DataAbstract: This article clears up some confusable concepts and gives practical formulae in teaching uncertainty of measurement. Regression is emphasized and the concept of the error bar and its applications is introduced.Keywords:error, uncertainty of measurement, standard error, extended uncertainty, error bar， regression .。