2018版中考数学《6.4锐角三角函数》导向(含答案)

§6.4 锐角三角函数

一、选择题

1．(改编题)如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，

则sin A 的值为

( ) A.12

B.55

C.1010

D.255

解析 设格点的边长是单位“1”，构造

直角三角形如右图：由勾股定理可得

AO ＝22，OC ＝2，AC ＝10.∵AC 2

＝AO 2＋OC 2，∴△AOC 是直角三角

形．∴sin A ＝CO AC ＝210

＝55.故选B. 答案 B

2．(原创题)在平面直角坐标系xOy 中，已

知点A (2，1)和点B (3，0)，则sin ∠AOB 的值等于

( )

A.55

B.52

C.32

D.12 解析 根据题意可画图，如图，根据勾股定理得，OA

＝5，则sin ∠AOB ＝AC AO ＝15

＝55.故选A. 答案 A

3．(原创题)如图，在塔AB 前的平地上选择一点C ，测出

看塔顶的仰角为30°，从C 点向塔底B 走100米到达

D 点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB 的高为( )

A ．503米

B ．1003米

C.100

3＋1

米 D.

100

3－1

米

解析由题意知∠ADB＝45°，∠ACB＝30°，设AB＝x米，则BD＝AB＝x

米，BC＝(100＋x)米．在Rt△ACB中，∠ACB＝30°，∴tan 30°＝AB BC＝

x 100＋x ，即

x

100＋x

＝

3

3.解得x＝

100

3－1

.故选D.

答案 D

4．(改编题)学校大门出口处有一自动感应栏杆，

点A是栏杆转动的支点，当车辆经过时，栏杆

AE会自动升起，某天早上，栏杆发生故障，

在某个位置突然卡住，这时测得栏杆升起的角

度∠BAE＝127°，已知AB⊥BC，支架AB高

1.2米，大门BC打开的宽度为2米，以下哪

辆车可以通过(栏杆宽度，汽车反光镜忽略不计)(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75.车辆尺寸：长×宽×高) () A．宝马Z4(4 200 mm×1 800 mm×1 360 mm)

B．奇瑞QQ(4 000 mm×1 600 mm×1 520 mm)

C．大众朗逸(4 600 mm×1 700 mm×1 400 mm)

D．奥迪A4(4 700 mm×1 800 mm×1 400 mm)

解析如图，过点A作BC的平行线AG，过点

N作NQ⊥BC于Q，交AG于点R，则∠BAG

＝90°.∵∠BAE＝127°，∠BAG＝90°，∴

∠EAG＝∠EAB－∠BAG＝37°.在△NAR中，

∠ARN＝90°，∠EAG＝37°，当车宽为1.8 m

时，则GR＝1.8 m，故AR＝2－1.8＝0.2(m)，

∴NR＝AR tan 37°＝0.2×0.75＝0.15(m)，∴NQ＝1.2＋0.15＝1.35＜1.36，∴宝马Z4(4 200 mm×1 800 mm×1 360 mm)无法通过，奥迪A4(4 700 mm×1 800 mm×1 400 mm)无法通过，故此选项A，D不合题意；当车宽为1.6 m时，则GR＝1.6 m，故AR＝2－1.6＝0.4(m)，∴NR＝AR tan 37°＝0.4×0.75＝

0.3(m)，∴NQ ＝1.2＋0.3＝1.5＜1.52，∴奇瑞QQ(4 000 mm ×1 600 mm ×1 520 mm)无法通过，故此选项不合题意；当车宽为1.7 m 时，则GR ＝1.7 m ，故AR ＝2－1.7＝0.3(m)，∴NR ＝AR tan 37°＝0.3×0.75＝0.225(m)，∴NQ ＝1.2＋0.225 ＝1.425 ＞1.4，∴大众朗逸(4 600 mm ×1 700 mm ×1 400 mm)可以通过，故此选项符合题意．故选C.

答案 C

二、填空题

5．(改编题)如图，已知tan O ＝43，点P 在边OA 上，OP

＝5，点M ，N 在边OB 上，PM ＝PN ，如果MN ＝2，

那么PM ＝________．

解析 过P 作PD ⊥OB ，交OB 于点D ，∵tan O ＝PD OD

＝43，∴设PD ＝4x ，则OD ＝3x .

∵OP ＝5，由勾股定理得：(3x )2＋(4x )2＝52，

∴x ＝1，∴PD ＝4.

∵PM ＝PN ，PD ⊥OB ，MN ＝2

∴MD ＝ND ＝12MN ＝1.

在Rt △PMD 中，由勾股定理得：

PM ＝MD 2＋PD 2＝17，

答案 17

6．(改编题)如图，为了测量电线杆AB 的高度，小明将测

角仪放在与电线杆的水平距离为9 m 的D 处，若测角

仪CD 的高度为1.5 m ，在C 处测得电线杆顶端A 的仰

角为36°，则电线杆AB 的高度约为________ m ．(精

确到0.1 m)(参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈

0.81，tan 36°≈0.73)

解析 作CE ⊥AB 于E ，在Rt △ACE 中，tan 36°

＝AE CE ，AE ＝CE ·tan 36°≈9×0.73＝6.57，AB ＝AE ＋BE ≈6.57＋1.5＝8.07≈8.1.故答案填：8.1.

答案 8.1

三、解答题

7．(原创题)如图，已知灯塔A 的周围7海里的范围内有暗

礁，一艘渔轮在B 处测得灯塔A 在北偏东60°的方向，向正东航行8海里到C 处后，又测得该灯塔在北偏东30°方向，渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁危险？请通过计算说明理由．(参考数据3≈1.732) 解 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于D .

设AD ＝x .

在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，

∴CD ＝x ·tan 30°＝33x .

在Rt △ABD 中，∠ABD ＝30°，

∴BD ＝3x .

∵BC ＝8，∴3x －33x ＝8.

解得x ＝43≈6.928.

∵6.928海里<7海里．

∴有触礁危险．

答：有触礁危险．