第六讲 平 面 向 量

第六讲 平 面 向 量【命题角度聚焦】(1)以客观题形式命制考查向量的概念、线性运算、数量积及几何意义的题目，解答这类题目只需熟悉基本概念、运算、公式即可获解，一般为容易题，这是主要考查方式．(2)向量与三角函数、函数、数列、解析几何等的综合．其中对向量的考查仍然是基本运算，通过向量运算，把题目从向量中“脱”出来，转化为其他知识解答．客观题、主观题都可能出，一般为容易题或中等题． 【核心知识整合 】 1．向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量．(2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0. (3)长度等于1的向量叫单位向量．(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行． 2．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . 3．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. 4．两向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a 与b 的夹角． 5．向量的坐标表示及运算(1)设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则 a±b ＝(x1±x2，y1±y2)，λa ＝(λx1，λy1)．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB →＝(x2－x1，y2－y1)． 6．平面向量共线的坐标表示 已知a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a 与b 共线． 7．平面向量的数量积 设θ为a 与b 的夹角． (1)定义：a·b ＝|a||b|cosθ.(2)投影：a·b|b|＝|a|cosθ叫做向量a 在b 方向上的投影． 8．数量积的性质 (1)a ⊥b ⇔a·b ＝0； (2)当a 与b 同向时，a·b ＝|a|·|b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a|·|b|；特别地，a·a ＝|a|2； (3)|a·b|≤|a|·|b|；(4)cosθ＝a·b|a|·|b|.9．数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2) (1)a·b ＝x1x2＋y1y2； (2)|a|＝x21＋y21；(3)a ⊥b ⇔x1x2＋y1y2＝0； (4)cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.1．两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a ，b 〉为锐角不等价；a·b<0与〈a ，b 〉为钝角不等价． 2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．3．a 在b 方向上的投影为a·b |b|，而不是a·b|a|.4．若a 与b 都是非零向量，则λa ＋μb ＝0⇔a 与b 共线，若a 与b 不共线，则λa ＋μb ＝0⇔λ＝μ＝0. 【命题热点突破】考点1：平面向量的概念、线性运算及平面向量基本定理例1、正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →＝( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD → C.13AB →＋12DA → D.12AB →－23AD → 变式1、(理)在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.变式2、(2014·哈三中二模)在平行四边形ABCD 中，AE →＝EB →，CF →＝2FB →，连接CE 、DF 相交于点M ，若AM →＝λAB →＋μAD →，则实数λ与μ的乘积为________． [方法规律总结]1.解答向量的线性表示的题目，要抓住向量的起点、终点，按照“首尾相接，首指向尾”的加法运算法则和“同始连终，指向被减”的减法运算法则进行，运用平行四边形法则时，两向量起点必须重合，运用三角形法则时，两向量必须首尾相接，否则就要把向量平移．2.在两直线相交(或三点共线)问题中，常应用待定系数法，将共线的向量中一个用另一个表示，再通过运算确定待定系数．经常依据平面向量基本定理，某向量用同一组基向量的表示式唯一来求待定系数． 考点2：向量的平行与垂直 例2、 (2013·新课标Ⅰ文，13)已知两个单位向量a 、b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________. 变式3、(2014·辽宁理，5)设a 、b 、c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是( ) A.p ∨q B ．p ∧q变式4、(理)(2013·青岛二中模拟)已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3sinCcosC －cos2C ＝12，且c ＝3. (1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sinA)与n ＝(2，sinB)共线，求a 、b 的值．[方法规律总结]平面向量的平行与垂直是高考命题的主要方向之一，此类题常见命题形式是：①考查坐标表示；②与三角函数、三角形、数列、解析几何等结合，解题时直接运用向量有关知识列出表达式，再依据相关知识及运用相关方法加以解决．考点3：平面向量的数量积、夹角、模例3、 (2013·安徽文，13)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________变式5、(理)设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，则向量a ＝2m ＋n 和b ＝－3m ＋2n 的夹角为________．变式6、(2014·天津理，8)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，BE →＝λBC →，DF→＝μDC →.若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.712【命题角度1】三角函数与平面向量交汇例4、(2014·乌鲁木齐地区5月诊断)已知a ＝(cosx,23cosx)，b ＝(2cosx ，sinx)，且f(x)＝a ·b. (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若(a ＋2c)cosB ＝－bcosA 成立，求f(A)的取值范围．变式7、(2014·辽宁理，17)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a>c ，已知BA →·BC →＝2，cosB ＝13，b ＝3，求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C)的值．变式8、(理)(2013·保定市一模)已知向量a ＝(sin ωx 2，12)，b ＝(cos ωx 2，－12)(ω>0，x ≥0)，函数f(x)＝a ·b 的第n(n ∈N*)个零点记作xn(从左向右依次计数)，则所有xn 组成数列{xn}．(1)若ω＝12，求x2；(2)若函数f(x)的最小正周期为π，求数列{xn}的前100项和S100.[方法规律总结]1．不含坐标的向量综合问题，解答时，按向量有关概念、性质、法则等通过运算解决，若条件方便建立坐标系，用坐标表示时，建立坐标系用坐标运算解决，给出坐标的向量综合问题，直接按向量各概念、法则的坐标表示将向量问题转化为代数问题处理．2．向量与其他知识交汇的题目，先按向量的概念、性质、法则脱去向量外衣，转化为相应的三角、数列、不等式、函数、解析几何等问题，再按相应的知识选取解答方法. 【命题角度1】构造法解题例5、设x ，y ∈R ，且满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2 3＋2x ＋sin x －2 ＝2，y －2 3＋2y ＋sin y －2 ＝6，则x ＋y ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例6、(2014·郑州市质检)已知x 、y ∈(－12，12), m ∈R 且m ≠0, 若⎩⎪⎨⎪⎧ln2－x2＋x＝tanx ＋2m ln 1－y 1＋y ＝2tany 1－tan2y －2m，则y x＝________.第六讲 平 面 向 量课堂检测一、选择题1．(2014·新课标Ⅱ理，3)设向量a 、b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．52．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．103．(2014·福建理，8)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) 4．如果不共线向量a 、b 满足2|a |＝|b |，那么向量2a ＋b 与2a －b 的夹角为( )A.π6B.π3C.π2D.2π35．(理)若两个非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．若a 、b 、c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2二、填空题7．(理)(2014·江西理，14)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.8．(2013·重庆)若OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，则实数k ＝________. 9．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________．10．如图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．一、选择题11．设向量a ，b 满足|a |＝2，a ·b ＝32，|a ＋b |＝22，则|b |等于( )A.12 B ．1 C.32D ．212．(理)(2014·新课标Ⅰ理，10)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52C ．3D ．213．(理)(2014·湖南文，10)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1]14．(2014·浙江理，8)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥yx ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2 二、填空题15．(2014·山东理，12)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________.16． (理)(2013·南昌高三调研)已知O 为坐标原点，点M (3,2)，若N (x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x ＋y ≤4.则OM →·ON →的最大值为________． 三、解答题17．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，向量b ＝(3，－1)．(1)若a ⊥b ，求θ的值；(2)若|2a －b |<m 恒成立，求实数m 的取值范围．18．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的对边长分别为a 、b 、c .(1)设向量x ＝(sin B ，sin C )，向量y ＝(cos B ，cos C )，向量z ＝(cos B ，－cos C )，若z ∥(x ＋y )，求tan B ＋tan C 的值；(2)若sin A cos C ＋3cos A sin C ＝0，证明：a 2－c 2＝2b 2.。