高三数学数学归纳法及其应用PPT优秀课件
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人教版高中数学第三章第二节《数学归纳法及其应用》PPT课件
知识准备
学生对等差（比）数列、数列求和、 二项式定理等知识有较全面的把握和 较深入的理解，同时也具备一定的从 特殊到一般的归纳能力，但对归纳的 概念是模糊的．
学生经过中学五年的数学学习，已具
教
能学力储备教
方 教 板 有一定的推理能力，数学思维也逐步
向理性层次跃进，并逐步形成了辨证
材
生
学 思维体法系．但学生学自主探究问书题的能
最后证明你的结论．
分宜三20926中
第三阶段:操作阶段 基础反馈练习, 巩固方法应用
（1）（第63页例1）用数学归纳法证明： 1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2 .
（2）（第64页练习3）首项是a1 , 公比是 q 的 等比数列的通项公式是 an=a1qn－1.
分宜三20926中
第三阶段:操作阶段
分宜三20926中
第一阶段:输入阶段 回顾数学旧知，追溯归纳意识
(1) 不完全归纳法实例
给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式．
(2) 完全归纳法实例
证明圆周角定理分圆心在圆周角内 部、外部及一边上三种情况．
分宜三20926中
第一阶段:输入阶段
借助数学史料, 促使学生思辨
问题1 已知 an= (n2 5n 5)2(n∈N*), (1)分别求 a1, a2 , a3, a4 .
(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、 分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．
分宜三20926中
第三阶段:操作阶段 布置课后作业, 巩固延伸铺垫
(1) 课本第64页练习第1, 2题；第67页习题2.1第2题． (2) (辨析与思考)
用数学归纳法证明 1+2+22+23+…+2n－１ = 2n－1 (n∈ N*)时, 其中第二步采用下面的证法：
高三数学数学归纳法PPT课件
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/4
注意：当n只出现在底数中时， 采用把k+1的幂展开后，分段 组合，往归纳假设的n=k的式子 上“凑”的方法。
当n同时出现在指数和底数中时， 先按出现在指数中思考，用加一 “项”，再减这“项”的方法，让这 一“项”含有因为指数k变成k+1而 使幂增加的那个因子，又要含有 有n=k时的式子中，底数含 有k 的某项可作为另一因子。
般步骤是什么？
一、用数学归纳法证明 整除问题
注意：用数学归纳法证明多 项式的整除问题。当n只出现在 指数中时，采用加一“项”，再减 去这一“项”的方法。这个“项” 构造应观察题目的具体特点，以 有利于分段因式分解后，达到便 于归纳假设成立的那个式子上 “凑”的目的。
二、证明图形中与自然数n有 关的命题。
说明：用数学归纳法证明图 形问题，关键是：要结合图形进 行思考，特别是对于从n=k 到n=k+1的图形变化的情景要细 致地弄清楚。
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/4
《数学归纳法》ppt课件
第5课时 数学归纳法
导.学. .固 思
1.使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质. 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法 ”证明简单的与自然数有关的命题.
导.学. .固 思
多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块 骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第 二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我 们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推 倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨 牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的.
导.学. .固 思
【解析】其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,则当 n=k时也不成立”为真,故n=5时不成立可知n=4时不成立.
3
用数学归纳法证明不等式
������
1+
+1 ������
1 +…+
+2
������
1 +������
>13
24
的过程中1,由
n=k 推导 n=k+1 时,不等式的左边增加的式子是 (2������ + 1)(2������ + 2.)
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4
【解析】n=1时,n+3=4.
2 某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么 可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不 成立,那么可以推得C( ). A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立
导.学. .固 思
1.使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质. 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法 ”证明简单的与自然数有关的命题.
导.学. .固 思
多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块 骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第 二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我 们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推 倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨 牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的.
导.学. .固 思
【解析】其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,则当 n=k时也不成立”为真,故n=5时不成立可知n=4时不成立.
3
用数学归纳法证明不等式
������
1+
+1 ������
1 +…+
+2
������
1 +������
>13
24
的过程中1,由
n=k 推导 n=k+1 时,不等式的左边增加的式子是 (2������ + 1)(2������ + 2.)
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4
【解析】n=1时,n+3=4.
2 某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么 可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不 成立,那么可以推得C( ). A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立
高三数学-21(1)数学归纳法及其应用举例 精品
（2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论也正确
（3）由（1）、（2）得出结论
写明结论 才算完整
用上假设 递推才真
定州市第二中学
高二1班、2班数学课件
课堂练习
用数学归纳法证明:
数学归纳法及其应用举例
1 (1) 1 2 3 n n(n 1) 2
1 证明: (1)当n=1时,左边=1,右边= 1 (1 1) 1 等式成立 2
（2）不完全归纳法:考察部分对象，得到一般结论的推理方法
（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）
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高二1班、2班数学课件
数学归纳法及其应用举例
完全归纳法： 优点：考查全面，结论正确。
缺点 ：工作量大，有些对象无法全面考查。
不完全归法：
优点：考查对象少，得出结论快。
缺点 ：观察片面化，结论不一定正确。
定州市第二中学 高二1班、2班数学课件
问题情境
数学归纳法及其应用举例
问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？
模拟演示 完全归纳法
问题 2: 如果{an}是一个等差数列，怎样得到 an=a1+(n-1)d
在等差数列{an}中，已知首项为a1，公差为d，那么
a1=a1+0d, a2=a1+1d, a3=a1+2d,
= a1+(k-1)d+d
= a1+[(k+1)-1]d 从n=k到n=k+1 ∴当n=k+1时，结论也成立。 有什么变化 由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。
凑假设
结论
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高二1班、2班数学课件
高三数学总复习优秀ppt课件(第46讲)数学归纳法及其应用(39页)
思路 1：数学归纳法证明
思路 2：公式展开重组后证明
1 1 1 1 2 (1 )(1 ) n n n
求解过程
例 1 证明：
1 1 1 1 n 1 (1 )(1 )(1 ) (1 2 ) (n N , n ≥ 2) . 4 9 16 n 2n
证明（思路 1）
求解过程
1 1 1 1 (1 )(1 ) (1 2 )[1 ] 2 4 9 k (k 1) k 1 1 [1 ] 2 2k (k 1) k 1 k (k 2) 目标实现！ 2 2k (k 1) k2 (k 1) 1 , 2(k 1) 2(k 1)
1 平面分为 f (n) n(n 1) 1个部分. 2
分析:本题的关键是 n 从 k 个变成 k+1 个时， 平面区 域增加了多少个，借助图形分析.
思路分析
k条直线相交 第பைடு நூலகம்+1条直线
多出k+1部分
求解过程
证明
（1） n 3时，三条直线将平面化分为 7 个部分，而
（ n n 1) 1＝7 ，所以 n 3时，命题成立. 2 1 （2）设 n k 时，命题成立， f (k ) k (k 1) 1， 2
1 3 3 （1） n 2时，左边 1 ，右边 ，∴等式成立. 4 4 4 （2）假设 n k (k ≥ 2且 k N )时等式成立，即 1 1 1 k 1 (1 )(1 ) (1 2 ) ． 4 9 k 2k
则 n k 1时，
(k 1) 1 2(k 1)
第46讲 数学归纳法及其应用
主要内容
一、聚焦重点
高三数学课件：数学归纳法及其应用举例课件1
2010-11-11 14
时命题正确” “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 假设 时命题正确 并写出命题形式。 分析“ 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k” 时 命题是什么，并找出与“
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, + ⋯ + k (3 k + 1)
＋ ( k + 1 ) [3 ( k + 1 ) + 1 ] = k (k + 1)
2
那么 1 × 4 + 2 × 7 + 3 × 10
+ ( k + 1 ) [3 ( k + 1 ) + 1 ] + 4 k + 4)
= ( k + 1 )[ k ( k + 1 ) + 3 ( k + 1 ) + 1 ] = ( k + 1 )( k
1.先证明当 取第一个值 0时命题成立； 先证明当n取第一个值 时命题成立； 先证明当 取第一个值n 2.然后假设当 然后假设当n=k(k∈N*，k≥n0)时命题 然后假设当 ∈ ， 时命题 成立，证明当n=k+1时命题也成立。 时命题也成立。 成立，证明当 时命题也成立 这种证明方法就叫做 数学归纳法
让更多的孩子得到更好的教育
3）当n=k+1时，命题的形式是 ） 时
1× 4 + 2 × 7 + 3 × 10 + ⋯ + k (3k + 1) ＋( k + 1)[3( k + 1) + 1] = ( k + 1)[( k + 1) + 1]
数学归纳法应用精品PPT教学课件
让更多的孩子得到更好的教育
《数学归纳法及应用》
一.由系列有限的特殊事例得出一般结论 的推理方法叫
举例说明: (1)等差数列通项的推导;
(2 )a n=(n 2-5 n+ 5 )2(n∈ N )
2020/12/6
1
北京四中龙门网络教育技术有限公司 Beijing Etiantian Net Educational Technology C1o.,Ltd
1 (k 1 )lg x k (k 1 )l2 g x k (k 1 )l3 g x
2
2
20 20/1 12 /6 (k 1 )7lg x k(k 2 1 )lBe2 g ijx in( g放 Etiantia)n 北Ne京B 缩 t E四k d中1 uc龙at门ion网al络Te教ch育n技olo术gy有C7限o.公,L司td
2020/12/6
3
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1.已f知 (n)111 1 ,则n当 1时 2 3 3n1
让更多的孩子得到更好的教育
左 边
2.用数学归纳: 法证明 (n1)(n2)(nn)2n123(2n1)(nN), 从k到k1左端需增乘的代数式为
并用数学归纳法证明. 2020/12/6
8
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9.已 让更多的知 孩{子a得n到}更是 好的教育首项2公 为比为 12的等比数 , 列 sn为它的n前 项的.和 (1)用sn表示 sn1;
[分析]:
3.已知 f(n) 1 1 1 n1 n2 3n1
《数学归纳法及应用》
一.由系列有限的特殊事例得出一般结论 的推理方法叫
举例说明: (1)等差数列通项的推导;
(2 )a n=(n 2-5 n+ 5 )2(n∈ N )
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1 (k 1 )lg x k (k 1 )l2 g x k (k 1 )l3 g x
2
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20 20/1 12 /6 (k 1 )7lg x k(k 2 1 )lBe2 g ijx in( g放 Etiantia)n 北Ne京B 缩 t E四k d中1 uc龙at门ion网al络Te教ch育n技olo术gy有C7限o.公,L司td
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1.已f知 (n)111 1 ,则n当 1时 2 3 3n1
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左 边
2.用数学归纳: 法证明 (n1)(n2)(nn)2n123(2n1)(nN), 从k到k1左端需增乘的代数式为
并用数学归纳法证明. 2020/12/6
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9.已 让更多的知 孩{子a得n到}更是 好的教育首项2公 为比为 12的等比数 , 列 sn为它的n前 项的.和 (1)用sn表示 sn1;
[分析]:
3.已知 f(n) 1 1 1 n1 n2 3n1
数学归纳法及其应用PPT优秀课件
不完全归纳法
可能 错误， 如何 避免
穷 举 法 作业：
数 学 归 纳 法
递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉
P67 习题2.1 1，2
谢谢! 请多多指导!!
~ 完~
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰· 夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯· 米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子] 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron] 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰· 鲁斯金]
高考理科数学数学归纳法及其应用复习资料PPT课件
18
参考题
题型 用数学归纳法证明几何命题
• 平面内有n个圆，其中每两个圆都相交，任 何三个圆都无公共点，证明：这n个圆把平 面分成n2-n+2个区域.
• 证明：(1)当n=1时，一个圆把平面分成两 个区域，而12-1+2=2，所以命题成立.
• (2)假设当n=k时命题成立，即k个圆把平面 分成k2-k+2个区域.
• 第一步：验证当n取③ 第一个值n0时命题 成立；
• 第二步：假设当④ n=k(k∈N*，k≥n0) 时
命题成立，证明当⑤n=k+1 时命题也成 立.
• 在完成了这两n个0 步骤以后，就可以断定命题
对于从⑥
开始的所有正整数n都成立，3
• 3.数学归纳法需要完成两个步骤的证明， 缺一不可.其中第一步是奠基步骤，是⑦— —推递—关—推—系归—，—纳即—的命基题础的；正第确二性步具反有映⑧了传无递限性递. 若只有第一步，而无第二步，则只是证明 了命题在特殊情况下的正确性；若只有第 二步，而无第一步，那么假设n=k时命题 成立就没有根据，递推无法进行.
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2 2k 1 2 2k 1 2 2k 1
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• 所以当n=k+1时，不等式也成立. • 综合(1)(2)知，对于一切大于1的自然数, • 不等式都成立.
• (2)假设当n=k时，
参考题
题型 用数学归纳法证明几何命题
• 平面内有n个圆，其中每两个圆都相交，任 何三个圆都无公共点，证明：这n个圆把平 面分成n2-n+2个区域.
• 证明：(1)当n=1时，一个圆把平面分成两 个区域，而12-1+2=2，所以命题成立.
• (2)假设当n=k时命题成立，即k个圆把平面 分成k2-k+2个区域.
• 第一步：验证当n取③ 第一个值n0时命题 成立；
• 第二步：假设当④ n=k(k∈N*，k≥n0) 时
命题成立，证明当⑤n=k+1 时命题也成 立.
• 在完成了这两n个0 步骤以后，就可以断定命题
对于从⑥
开始的所有正整数n都成立，3
• 3.数学归纳法需要完成两个步骤的证明， 缺一不可.其中第一步是奠基步骤，是⑦— —推递—关—推—系归—，—纳即—的命基题础的；正第确二性步具反有映⑧了传无递限性递. 若只有第一步，而无第二步，则只是证明 了命题在特殊情况下的正确性；若只有第 二步，而无第一步，那么假设n=k时命题 成立就没有根据，递推无法进行.
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• 所以当n=k+1时，不等式也成立. • 综合(1)(2)知，对于一切大于1的自然数, • 不等式都成立.
• (2)假设当n=k时，
高考数学一轮复习课件6.8数学归纳法及其应用
【审题视点】 观察前4个式子，左边的项数及分母的 1 1 1 n 变化，不难发现一般的不等式为1＋ ＋ ＋…＋ n ＞ 2 3 2 －1 2 (n∈N*)，并用数学归纳法证明．
1 1 1 n 【尝试解答】 一般结论：1＋ ＋ ＋…＋ n ＞ 2 3 2 －1 2 (n∈ N*)，证明如下： (1)当 n＝ 1时，由题设条件知命题成立． (2)假设当n＝ k(k∈ N*)时，猜想正确， 1 1 1 k 即 1＋ ＋ ＋ …＋ k ＞ . 2 3 2 －1 2 1 1 1 1 1 当 n＝ k＋ 1时，1＋ ＋ ＋…＋ k ＋ k＋ …＋ k＋1 2 3 2 －1 2 2 －1 k 1 1 1 ＞ ＋ k＋ k ＋ …＋ k＋ 1 2 2 2 ＋1 2 －1
1 1 1 1 【解析】 ∵f(n)＝1＋ ＋ ＋ ＋…＋ ， 2 3 4 3n－1 1 1 1 1 1 1 ∴f(n＋1)＝1＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＋ . 2 3 3n－1 3n 3n＋1 3n＋2 1 1 1 ∴f(n＋1)－f(n)＝ ＋ ＋ . 3n 3n＋1 3n＋2
1 1 1 【答案】 ＋ ＋ 3n 3n＋1 3n＋2
•【答案】 2k
用数学归纳法证明： n（n＋1） 12 22 n2 ＋ ＋…＋ ＝ 1×3 3×5 （2n－1）（2n＋1） 2（2n＋1） (n∈N*)．
•【审题视点】 (1)第一步验证n＝1时等式成 立． •(2)第二步假设n＝k(k∈N*)时等式成立，证 明n＝k＋1时，等式成立．
12 1 【尝试解答】 ①当n＝ 1时，左边＝ ＝ ， 1· 3 3 1×（ 1＋1） 1 右边＝ ＝ ，左边＝右边，等式成立． 2×（ 2× 1＋ 1） 3 ②假设 n＝ k(k≥ 1)时，等式成立． 12 22 k2 即 ＋ ＋… ＋ ＝ 1· 3 3· 5 （ 2k－ 1）（ 2k＋ 1） k（ k＋ 1） ， 2（ 2k＋ 1） 当 n＝ k＋ 1时，左边 12 22 k2 ＝ ＋ ＋ …＋ ＋ 1· 3 3· 5 （ 2k－ 1）（ 2k＋ 1）
1 1 1 n 【尝试解答】 一般结论：1＋ ＋ ＋…＋ n ＞ 2 3 2 －1 2 (n∈ N*)，证明如下： (1)当 n＝ 1时，由题设条件知命题成立． (2)假设当n＝ k(k∈ N*)时，猜想正确， 1 1 1 k 即 1＋ ＋ ＋ …＋ k ＞ . 2 3 2 －1 2 1 1 1 1 1 当 n＝ k＋ 1时，1＋ ＋ ＋…＋ k ＋ k＋ …＋ k＋1 2 3 2 －1 2 2 －1 k 1 1 1 ＞ ＋ k＋ k ＋ …＋ k＋ 1 2 2 2 ＋1 2 －1
1 1 1 1 【解析】 ∵f(n)＝1＋ ＋ ＋ ＋…＋ ， 2 3 4 3n－1 1 1 1 1 1 1 ∴f(n＋1)＝1＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＋ . 2 3 3n－1 3n 3n＋1 3n＋2 1 1 1 ∴f(n＋1)－f(n)＝ ＋ ＋ . 3n 3n＋1 3n＋2
1 1 1 【答案】 ＋ ＋ 3n 3n＋1 3n＋2
•【答案】 2k
用数学归纳法证明： n（n＋1） 12 22 n2 ＋ ＋…＋ ＝ 1×3 3×5 （2n－1）（2n＋1） 2（2n＋1） (n∈N*)．
•【审题视点】 (1)第一步验证n＝1时等式成 立． •(2)第二步假设n＝k(k∈N*)时等式成立，证 明n＝k＋1时，等式成立．
12 1 【尝试解答】 ①当n＝ 1时，左边＝ ＝ ， 1· 3 3 1×（ 1＋1） 1 右边＝ ＝ ，左边＝右边，等式成立． 2×（ 2× 1＋ 1） 3 ②假设 n＝ k(k≥ 1)时，等式成立． 12 22 k2 即 ＋ ＋… ＋ ＝ 1· 3 3· 5 （ 2k－ 1）（ 2k＋ 1） k（ k＋ 1） ， 2（ 2k＋ 1） 当 n＝ k＋ 1时，左边 12 22 k2 ＝ ＋ ＋ …＋ ＋ 1· 3 3· 5 （ 2k－ 1）（ 2k＋ 1）
高三数学精品课件： 数学归纳法
[主干知识·自主梳理] [考点分类·深度剖析] 课时作业
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考点三 归纳猜想证明 (核心考点——合作探究)
解析：(1)当 n＝1 时，由已知得 a1＝a21＋a11－1，a12＋2a1－2＝ 0.∴a1＝ 3－1(a1＞0)． 当 n＝2 时，由已知得 a1＋a2＝a22＋a12－1， 将 a1＝ 3－1 代入并整理得 a22＋2 3a2－2＝0. ∴a2＝ 5－ 3(a2＞0)．同理可得 a3＝ 7－ 5. 猜想 an＝ 2n＋1－ 2n－1(n∈N*)．
法的原理．
素养
2.能用数学归纳
☆
形成
法证明一些简单
的数学命题.
考查 主要通过数学归纳法证明问题，考查
角度 逻辑推理能力.
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1．数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n 取 第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立． (2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成立．
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考点二 证明不等式 (核心考点——合作探究)
当 n＝k＋1 时，左边＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋3k1＋3＝(k＋1 1＋k＋1 2 ＋k＋1 3＋…＋31k)＋3k1＋1＋3k1＋2＋3k1＋3－k＋1 1>56＋3k1＋3×3 －k＋1 1＝56， 所以当 n＝k＋1 时，命题也成立． 综合①②可知原命题成立．
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考点一 证明等式 (核心考点——合作探究)
第十二章 第3节 数学归纳法及其应用29ppt
8
知识衍化体验
考点聚集突破
4.(2019·新余月考)用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2(a≠1，n∈N+)，在验证
n＝1 时，等式左边的项是( )
A.1
B.1＋a
C.1＋a＋a2 解析 当n＝1时，n＋1＝2，
D.1＋a＋a2＋a3
∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2.
第3节 数学归纳法及其应用
最新考纲 1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
1
知识衍化体验
考点聚集突破
知识梳理
1.数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取__第__一__个__值__n_0_(n_0_∈__N_+_)_时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N+)时命题成立，证明当___n_＝__k_＋__1___时命题也 成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明 方法叫作数学归纳法.
解析 假设当 n＝k 时，公式成立，只需把公式中的 n 换成 k 即可，即 Sk＝ka1＋k(k－2 1)d.
答案 C
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知识衍化体验
考点聚集突破
6.(2019·安庆检测)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k 到n＝k＋1，左边需增添的代数式是________________. 解析 当n＝k时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)， 当n＝k＋1时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)， 所以从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3). 答案 (2k＋2)＋(2k＋3)
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第十二章 极限与导数
第讲
（第二课时）
题型3 用数学归纳法探求数列的通项公式
•an(a1n+.1已-1)知=n数(a列n+{1a- na}n满)(n足≥：2)，a1求=1数，列a2{=a14 n}的，通 项公式.
• • •
解 因a4：为3由2a-a1a已3=31知，11可0a， 2 得= 14an由1 ，此所n n 猜以 a1 想a 3n a ：ann2(n a2 a322 n1)-.217.，
1
1
.
• • •
因(则2)为假a设k1当0＜ naa=k1＜ k时321 2a 不k21等 1a1 k式(， 所1成以32立不ak，)等即式成0立＜.ak＜k11.
k12•k2ak•123ak.
因为 k 2 a k ＞ 0 ， 1 3 2 a k ＞ 1 3 2 • k 1 1 1 2 k 3 2 ＞ 0 ，
• •
因所为以a2+b b2 2 =1 1 ，b 1 a …1 2 由1 3 ， 此a 猜2 测a 1 ：b 2a n3 2 +， bn=1.
• 证明：(1)当n=1时，a1+b1=1显然成立.
• (2)假设当n=k时，ak+bk=1， • 即bk=1-ak成立， • 则ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(ak+1)bk+1
• •
((21))当 假n设=当1时n=，k时ab，11aS414a1aaS14k=所b4， ka以k+43a成1S立1=, b1a4成立.
•即 •则
S Sk k1 bk4S aakk1 3 b . k1bk 4 a ak1 3bk1ak4 ba k11bk1
ak4 a4 1a1•bk1ak a1 4d4•bk1ak4 4 a b1 k1，
3
• 所以 f(ak)＜ f(k11)，
• 所以4a1Sk+1=bk+1ak+4， • 即n=k+1时，有4a1Sn=bnan+3成立. • 综合(1)(2)知，存在常数p=4，
• 使对一切n∈N*， • 都有pa1Sn=bnan+3成立.
题型5 用数学归纳法证数列不等式
• • •
3证. 法已a 1n 知 ：1数 (a 1列n )当 {a3 2 nna =}n 2 满1(n 时足 ，:N * )， 0＜证a1＜明12：，an＜n
• 解：(1)当n=1时，a1=S1=2-a1,所以a1=1;
• 当n=2时，a1+a2=S2=2×2-a2,所以a2= 3 ;
• 当n=3时，a1+a2+a3=S3=2×3-a3,所以a32= 7 ;
• 当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,
4
• 所以a4= 1 5.由此猜想
2n1
• 当n=2时，
• 所a 以2 不a 等1 式3 2 a 成1 2 立 .3 2 a 1 1 3 2 1 6 1 6 ＜ 1 3 2 1 1 ，
• (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立，
• •
即因为函0＜ 数ak＜ kf1 x11 3x.3x2
2
• 在［0， ］1 上是增函数，
• •
证(2)明假:设(1当)当nn==k时1时结，a论1成3立11，2即a1， k 结3k论12成. 立.
• 则当n=k+1时，
ak1kk1akak kk 1•1 3k12k3kk 2 11
3k2
k1
k1
1
1
• 所3以k2当2nk= k1 +1时3，k结1论k也1成 立3.k综合1(13)(k2 )知1，2.
8
an2n1 (nN*).
• (2)证明:①当n=1时，a1=1，结论成立.
• ②假设n=k(k≥1且k∈N*)时,结论成立，
• •
即那么当akn=2k2k+k111(k. ≥1且k∈N*)时，
• ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.
• • •
所所这以以表明2anka +=k 1 k=1+2 1+2 时a 2 k，,a k结2 论 也2 2 2 k 成k 1 1 立 . 2k 2 1 k 1,
• 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，且 a4是a2与a8的等比中项，设bn=anan+1an+2， Sn为数列{bn}的前n项和，试推断是否存在 常数p，使对一切n∈N*都有pa1Sn=bnan+3 成立？说明你的理由.
• 解：设数列{an}的公差为d(d≠0). • 由已知，得a2a8=a42， • 所以(a1+d)(a1+7d)=(a1+3d)2， • 则a1=d，所以an=nd.
所以
k
2ak
•(1
3 2ak
)
［k
2ak
1
3 2
ak
2］2
1 ［
k
21ak
1 ］2＜［
(k
1) 2
•
k
1 1］2
2
2
2k 1 2
1
2k 2 2
＜
112 2
1，
• 所以
ak1＜k
1即.当n=k+1时，
2
• 不等式成立.综合(1)(2)知，
• • •
证 所法以an＜ 不2：n等1(1式1)对当成任n立=意1. 时n∈，N*0都＜ a 成1＜ 立1 2.1 11，
• 由①②知，猜想
ห้องสมุดไป่ตู้
2n1
成立.
an2n1 (nN*)
题型4 用数学归纳法探求数列的有关性质
• 2. 已知两个数列{an}、{bn}满足：a1=2，b1=-1， 且推测an=aan+n-b1·nb的=变，化规b律n，1 并ban证n 21明1(你n 的2)结， 论. 试
• 解：当n=1时，a1+b1=1.
• 所以当 n=a kk+ 11 时•，1 b 结k a k 2 论 成1 b 立k a k . 1 .
• 综合(1)(2)知，对任意n∈N*，都有an+bn=1. • 故an+bn=1，为定值.
• 点评：探求数列中的有关性质，一般是先 观察n=1，2，3时的命题的性质，对这几
项进行归纳、分析，猜想出一般性的结论， 然后用数学归纳法来证明.
•
数列{an}的通项公式是
1 an3n2(nN *).
• 点评：“归纳—猜想—证明”是求数列的 通项公式与前n项和公式的常用方法，也是 近几年高考理科数学试卷中数列问题的一 个主要类型，应引起足够的重视.
• 数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*). • (1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an; • (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.
第讲
（第二课时）
题型3 用数学归纳法探求数列的通项公式
•an(a1n+.1已-1)知=n数(a列n+{1a- na}n满)(n足≥：2)，a1求=1数，列a2{=a14 n}的，通 项公式.
• • •
解 因a4：为3由2a-a1a已3=31知，11可0a， 2 得= 14an由1 ，此所n n 猜以 a1 想a 3n a ：ann2(n a2 a322 n1)-.217.，
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• • •
因(则2)为假a设k1当0＜ naa=k1＜ k时321 2a 不k21等 1a1 k式(， 所1成以32立不ak，)等即式成0立＜.ak＜k11.
k12•k2ak•123ak.
因为 k 2 a k ＞ 0 ， 1 3 2 a k ＞ 1 3 2 • k 1 1 1 2 k 3 2 ＞ 0 ，
• •
因所为以a2+b b2 2 =1 1 ，b 1 a …1 2 由1 3 ， 此a 猜2 测a 1 ：b 2a n3 2 +， bn=1.
• 证明：(1)当n=1时，a1+b1=1显然成立.
• (2)假设当n=k时，ak+bk=1， • 即bk=1-ak成立， • 则ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(ak+1)bk+1
• •
((21))当 假n设=当1时n=，k时ab，11aS414a1aaS14k=所b4， ka以k+43a成1S立1=, b1a4成立.
•即 •则
S Sk k1 bk4S aakk1 3 b . k1bk 4 a ak1 3bk1ak4 ba k11bk1
ak4 a4 1a1•bk1ak a1 4d4•bk1ak4 4 a b1 k1，
3
• 所以 f(ak)＜ f(k11)，
• 所以4a1Sk+1=bk+1ak+4， • 即n=k+1时，有4a1Sn=bnan+3成立. • 综合(1)(2)知，存在常数p=4，
• 使对一切n∈N*， • 都有pa1Sn=bnan+3成立.
题型5 用数学归纳法证数列不等式
• • •
3证. 法已a 1n 知 ：1数 (a 1列n )当 {a3 2 nna =}n 2 满1(n 时足 ，:N * )， 0＜证a1＜明12：，an＜n
• 解：(1)当n=1时，a1=S1=2-a1,所以a1=1;
• 当n=2时，a1+a2=S2=2×2-a2,所以a2= 3 ;
• 当n=3时，a1+a2+a3=S3=2×3-a3,所以a32= 7 ;
• 当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,
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• 所以a4= 1 5.由此猜想
2n1
• 当n=2时，
• 所a 以2 不a 等1 式3 2 a 成1 2 立 .3 2 a 1 1 3 2 1 6 1 6 ＜ 1 3 2 1 1 ，
• (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立，
• •
即因为函0＜ 数ak＜ kf1 x11 3x.3x2
2
• 在［0， ］1 上是增函数，
• •
证(2)明假:设(1当)当nn==k时1时结，a论1成3立11，2即a1， k 结3k论12成. 立.
• 则当n=k+1时，
ak1kk1akak kk 1•1 3k12k3kk 2 11
3k2
k1
k1
1
1
• 所3以k2当2nk= k1 +1时3，k结1论k也1成 立3.k综合1(13)(k2 )知1，2.
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an2n1 (nN*).
• (2)证明:①当n=1时，a1=1，结论成立.
• ②假设n=k(k≥1且k∈N*)时,结论成立，
• •
即那么当akn=2k2k+k111(k. ≥1且k∈N*)时，
• ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.
• • •
所所这以以表明2anka +=k 1 k=1+2 1+2 时a 2 k，,a k结2 论 也2 2 2 k 成k 1 1 立 . 2k 2 1 k 1,
• 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，且 a4是a2与a8的等比中项，设bn=anan+1an+2， Sn为数列{bn}的前n项和，试推断是否存在 常数p，使对一切n∈N*都有pa1Sn=bnan+3 成立？说明你的理由.
• 解：设数列{an}的公差为d(d≠0). • 由已知，得a2a8=a42， • 所以(a1+d)(a1+7d)=(a1+3d)2， • 则a1=d，所以an=nd.
所以
k
2ak
•(1
3 2ak
)
［k
2ak
1
3 2
ak
2］2
1 ［
k
21ak
1 ］2＜［
(k
1) 2
•
k
1 1］2
2
2
2k 1 2
1
2k 2 2
＜
112 2
1，
• 所以
ak1＜k
1即.当n=k+1时，
2
• 不等式成立.综合(1)(2)知，
• • •
证 所法以an＜ 不2：n等1(1式1)对当成任n立=意1. 时n∈，N*0都＜ a 成1＜ 立1 2.1 11，
• 由①②知，猜想
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2n1
成立.
an2n1 (nN*)
题型4 用数学归纳法探求数列的有关性质
• 2. 已知两个数列{an}、{bn}满足：a1=2，b1=-1， 且推测an=aan+n-b1·nb的=变，化规b律n，1 并ban证n 21明1(你n 的2)结， 论. 试
• 解：当n=1时，a1+b1=1.
• 所以当 n=a kk+ 11 时•，1 b 结k a k 2 论 成1 b 立k a k . 1 .
• 综合(1)(2)知，对任意n∈N*，都有an+bn=1. • 故an+bn=1，为定值.
• 点评：探求数列中的有关性质，一般是先 观察n=1，2，3时的命题的性质，对这几
项进行归纳、分析，猜想出一般性的结论， 然后用数学归纳法来证明.
•
数列{an}的通项公式是
1 an3n2(nN *).
• 点评：“归纳—猜想—证明”是求数列的 通项公式与前n项和公式的常用方法，也是 近几年高考理科数学试卷中数列问题的一 个主要类型，应引起足够的重视.
• 数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*). • (1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an; • (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.