湖北省宜昌市高中数学 第二章 基本初等函数Ⅰ指、对数运算强化训练1新人教A版1 精
新人教A版必修1第二章基本初等函数
logc b loga b (a 0,且a 1; c 0,且c 1; b 0) logc a
三、重点内容
（三）基本性质：
y a x (a 0,且a 1)
0<a<1
y
a>1
y
1
图象
0
1
x
0
x
定义域 值域 性质
(0, )
当x>0时0<y<1； 当x<0时y>1； 当x=0时y=1； 在R上是减函数
R
(0, )
当x>0时y>1； 当x<0时0<y<1； 当x=0时y=1； 在R上是增函数
R
三、重点内容
（三）基本性质： y loga x(a 0,且a 1)
0 a 1
y
a 1
y
图象
定义 域 值域 性质
O
1
x
O
1
x
(0, )
R
(0, )
R
( 3 )) 0过定点 x 1时， y 0; (1)(过定点 3) x 1时， y 0; (1,0) ( 1 (1,0)
四、例题分析 若f ( x) x 2 x b, 且f (log 2 a ) b, log 2 [ f (a )] 2(a 1).
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.1.3对数的运算(2)练习(含解析)新人教A版必修1
课时23 对数的运算(2)换底公式的应用a b c abc A ．1 B ．2 C ．3 D ．5答案 A解析 ∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12. 同理log x c ＝16，log x b ＝13. ∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1. 2．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________.答案 9解析 由换底公式，得lg 4lg 3×lg 8lg 4×lg m lg 8＝lg m lg 3＝log 416＝2，∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.3．设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值． 解 由已知分别求出x 和y ，∵3x ＝36,4y＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得： x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝log 3636＝1. 4．计算：(1)log 89×log 2732；(2)log 927；(3)log 21125×log 3132×log 513； (4)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)．解 (1)log 89×log 2732＝lg 9lg 8×lg 32lg 27＝lg 32lg 23×lg 25lg 33＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3＝109； (2)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32； (3)log 21125×log 3132×log 513＝log 25－3×log 32－5×log 53－1＝－3log 25×(－5log 32)×(－log 53)＝－15×lg 5lg 2×lg 2lg 3×lg 3lg 5＝－15； (4)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ＝12＋14＋13＋16＝54.运用换底公式不熟练致误23A.14 B.12C ．2D ．4 易错分析 本题易在使用对数的运算公式时，尤其换底公式的使用过程中发生错误． 答案 D正解 log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝2×2＝4.一、选择题1.log 29log 23＝( )A.12 B ．2 C.32 D.92答案 B解析 由换底公式log 39＝log 29log 23.∵log 39＝2，∴log 29log 23＝2.2．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝() A ．a ＋b B ．a －b C ．ab D.ab答案 C解析 log 27＝log 23×log 37＝ab .3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100答案 A解析 ∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m .1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10.又∵m >0，∴m ＝10，选A.4.1log 1419＋1log 1513等于( )A ．lg 3B ．－lg 3C.1lg 3 D ．－1lg 3答案 C解析 原式＝log 1914＋log 1315＝log 1312＋log 1315＝log 13110＝log 310＝1lg 3.选C. 5．已知2a ＝3b ＝k (k ≠1)，且2a ＋b ＝ab ，则实数k 的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18答案 D解析 a ＝log 2k ，b ＝log 3k ，由2a ＋b ＝ab 得2log 2k ＋log 3k ＝log 2k ·log 3k ，即2lg k lg 2＋lg k lg 3＝k2lg 2lg 3，得2lg 3＋lg 2＝lg k ，即k ＝18.二、填空题6．方程log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)的解是________．答案 4解析 由换底公式得log 9(x ＋5)＝12log 3(x ＋5)．∴原方程可化为2log 3(x －1)＝log 3(x ＋5)，即log 3(x －1)2＝log 3(x ＋5)，∴(x －1)2＝x ＋5.∴x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或x ＝－1.又∵⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，x ＋5>0，∴x >1，故x ＝4.7．若log a b ·log 3a ＝4，则b 的值为________．答案 81解析 log a b ·log 3a ＝4，即log 3a ·log a b ＝4，即log 3b ＝4，∴34＝b ，∴b ＝81.8．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y ＝1，则A 的值是________．答案 98解析 ∵2x ＝72y ＝A ，∴x ＝log 2A,2y ＝log 7A .∴1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A＝log A 2＋2log A 7＝log A 2＋log A 49＝log A 98＝1.∴A ＝98.三、解答题9．计算下列各式的值：(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 5－lg 4；(2)lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06. 解 (1)原式＝1－3lg 2lg 5－2lg 2＝1－3lg 21－3lg 2＝1； (2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2＝3lg 5×lg 2＋3lg 5＋3lg 22－2＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1.10．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py .(1)求p ；(2)求证：1z －1x ＝12y. 解 (1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k >0，且k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3k log 34. ∵log 3k ≠0，∴p ＝2log 34.(2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12y ，∴1z －1x ＝12y.►2.2.2 对数函数及其性质。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.2.1 对数与对数运算 第2课时 对数运算应用案巩固提升
【优化方案】2017高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.2.1 对数与对数运算 第2课时 对数运算应用案巩固提升 新人教A 版必修1[A 基础达标]1．2lo g 510＋lo g 50.25＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4 解析：选C.原式＝lo g 5102＋lo g 50.25＝lo g 5(102×0.25)＝lo g 525＝2.2．下列各等式正确的为( )A ．lo g 23·lo g 25＝lo g 2(3×5)B ．l g 3＋l g 4＝l g (3＋4)C ．lo g 2x y ＝lo g 2x －lo g 2yD ．l g n m ＝1nl gm (m >0，n ＞1，n ∈N *) 解析：选D.A 、B 显然错误，C 中，当x ，y 均为负数时，等式右边无意义．3．若l gx －l gy ＝t ，则l g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－l g ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝( ) A ．3tB ．32tC ．tD.t 2 解析：选A.l g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－l g ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝3l g x 2－3l g y 2＝3l g x y ＝3(l gx －l gy )＝3t . 4．2lo g 32－lo g 3329＋lo g 38的值为( ) A .12B ．2C ．3 D.13解析：选B ．原式＝lo g 34－lo g 3329＋lo g 38 ＝lo g 34×8329＝lo g 39＝2. 5．若lo g 513·lo g 36·lo g 6x ＝2，则x 等于( )A ．9B ．19C ．25 D.125解析：选D.由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6＝2， l gx ＝－2l g 5，x ＝5－2＝125. 6．计算lo g 927＋lo g 224＝________． 解析：lo g 927＋lo g 224＝lo g 9932＋lo g 22－lo g 24＝32＋12－2＝0. 答案：0 7．已知m ＞0，且10x ＝l g (10m )＋l g 1m，则x ＝__________． 解析：l g (10m )＋l g 1m ＝l g 10＋l gm ＋l g 1m＝1， 所以10x ＝1＝100，所以x ＝0.答案：08．若l gx ＋l gy ＝2l g (x －2y )，则x y＝__________．解析：因为l gx ＋l gy ＝2l g (x －2y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，xy ＝（x －2y ）2.由xy ＝(x －2y )2，知x 2－5xy ＋4y 2＝0，所以x ＝y 或x ＝4y .又x ＞0，y ＞0且x －2y ＞0，所以舍去x ＝y ，故x ＝4y ， 则x y＝4.答案：49．计算下列各式的值： (1)lo g 535＋2lo g 122－lo g 5150－lo g 514； (2)[(1－lo g 63)2＋lo g 62·lo g 618]÷lo g 64；(3)(lo g 43＋lo g 83)(lo g 32＋lo g 92)．解：(1)原式＝lo g 535＋lo g 550－lo g 514＋2lo g 12212＝lo g 535×5014＋lo g 122 ＝lo g 553－1＝2.(2)原式＝[(lo g 66－lo g 63)2＋lo g 62·lo g 6(2×32)]÷lo g 64＝[⎝⎛⎭⎪⎫log 6632＋lo g 62·(lo g 62＋lo g 632)]÷lo g 622＝[(lo g 62)2＋(lo g 62)2＋2lo g 62·lo g 63]÷2lo g 62＝lo g 62＋lo g 63＝lo g 6(2×3)＝1.(3)(lo g 43＋lo g 83)(lo g 32＋lo g 92)＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9 ＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ＝5lg 36lg 2×3lg 22lg 3＝54. 10．已知地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(l gE －11.4)．若A 地地震级别为9.0级，B 地地震级别为8.0级，求A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的多少倍．解：由R ＝23(l gE －11.4)，得32R ＋11.4＝l gE ， 故E ＝10．设A 地和B 地地震释放的能量分别为E 1，E 2，则E 1E 2＝10（32×9.0＋11.4）10（32×8.0＋11.4）＝1010， 即A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的1010倍．[B 能力提升]1．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．lo g a b ·lo g c b ＝lo g c aB ．lo g a b ·lo g c a ＝lo g c bC ．lo g a (b c)＝lo g a b ·lo g a cD ．lo g a (b ＋c)＝lo g a b ＋lo g a c解析：选B ．由对数的运算公式lo g a (b c)＝lo g a b ＋lo g a c 可判断选项C ，D 错误．选项A ，由对数的换底公式知，lo g a b ·lo g c b ＝lo g c a ⇒lg b lg a ·lg b lg c ＝lg a lg c⇒l g 2b ＝l g 2a ，此式不恒成立．选项B ，由对数的换底公式知，lo g a b ·lo g c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝lg b lg c＝lo g c b ，故恒成立． 2．若l ga ，l gb 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实根，则⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2的值等于__________． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝(l ga －l gb )2＝(l ga ＋l gb )2－4l ga ·l gb ＝22－4×12＝2. 答案：23．已知2x ＝3，lo g 483＝y ，求x ＋2y 的值． 解：因为2x ＝3，所以x ＝lo g 23.又lo g 483＝y ， 所以x ＋2y ＝lo g 23＋2lo g 483＝lo g 23＋2(lo g 48－lo g 43)＝lo g 23＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32log 22－12log 23 ＝lo g 23＋3－lo g 23＝3.4．(选做题)已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z ，2x ＝py .(1)求p 的值；(2)证明：1z －1x ＝12y. 解：(1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k >0且k ≠1)，则x ＝lo g 3k ，y ＝lo g 4k ，z ＝lo g 6k .由2x ＝py 得：2lo g 3k ＝p lo g 4k ＝p ·log 3k log 34， 因为lo g 3k ≠0，所以p ＝2lo g 34＝4lo g 32.(2)证明：因为1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝lo g k 6－lo g k 3＝lo g k 2＝12lo g k 4＝12log 4k ＝12y. 所以原式得证．。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 对数函数及其性质 习题课课件 新人教A必修1
D．[1，＋∞)
❖ [答案] A
❖ [解析] 3x>0⇒3x＋1>1⇒log2(3x＋1)>log21 ＝0，选A.
4．设函数f(x)＝
21－x－1
lgx
(x<1) (x≥1)
，若f(x0)>1，则x0
的取值范围是
()
❖ A．(－∞，0)∪(10，＋∞) ❖ B．(－1，＋∞) ❖ C．(－∞，－2)∪(－1,10) ❖ D．(0,10) ❖ [答案] A
运算法则)和对数恒等式求解；(2)运用对 数的运算法则求解．
[解析] (1)解法一：原式＝
＝75.
解法二：原式＝
＝75.
(2) 原 式 ＝[(log66 － log63)2 ＋ log62·log6(2×32)]÷log64 ＝
log6632＋log62(log62＋log632)÷log622 ＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62×log63]÷2log62 ＝log62＋log63＝log6(2×3)＝log66＝1.
ax的图象，再通过关于直线y＝x对称来得
到其反函数的图象．③可以通过特殊点和
单调性来选择．
❖ 4．对数函数的图象与性质是核心内容， 应重点落实图象的分布特征和单调性应 用．时刻牢记定义域的限制．
❖ [例4] 解不等式2loga(x－4)>loga(x－2)． ❖ [分析] 这是对数不等式，可利用对数函
❖ [解析] (1)因为9x＝32x,4x＝22x,6x＝2x·3x， ❖ 所以原方程可化为2·32x－5·3x·2x＋2·22x＝0，
❖1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 ❖2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 ❖3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 ❖4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 ❖5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 ❖6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 ❖7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 ❖8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/182022/1/182022/1/182022/1/18
高中数学第二章基本初等函数§2.1.1指数(第1—2课时)教案新人教A版必修1
第二课时
提问： 1．习初中时的整数指数幂，运算性质？
an a a a a, a0 1 (a 0) ,0 0无意义
an
1 an
(a 0)
a m a n a m n ; (a m )n a mn
(an )m a mn, (ab) n a nb n
什么叫实数？
有理数，无理数统称实数 . 2．观察以下式子，并总结出规律：
三．学法与教具 1 ．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法 2．教具：多媒体
四、教学设想：
第一课时
一、复习提问：
什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？
归纳：在初中的时候我们已经知道：若
x2 a ，则 x 叫做 a 的平方根 . 同理，若 x3 a ，则 x 叫做 a
的立方根 .
3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念， 目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模
型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展
.
4. 教材对幂函数的内容做了削减， 仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数， 并且安排的顺序向后调
整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担
.
5. 通过运用计算机绘制指数函数的动态图象
思考： a n n ( n a ) n 是否成立，举例说明 .
课堂练习： 1. 求出下列各式的值
(1) 7 ( 2)7
(2) 3 (3a 3)3 ( a 1)
4
(3) (3a
3)4
2．若 a2 2a 1 a 1,求 a的取值范围 .
3．计算 3 ( 8)3 4 (3 2)4 3 (2 3)3
三．归纳小结：
即： a n
1
m
人教A版高中数学必修1《第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.2 对数函数 习题2.2》_14
第6节对数与对数函数考试要求 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3.知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数(a>0，且a≠1)．知识梳理1.对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log a m M n＝nm log a M(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. [微点提醒]1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a ；(2)log a m b n ＝nmlog a b . 其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R .2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限. 基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( ) (3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( ) (4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 解析 (1)log 2x 2＝2log 2|x |，故(1)错.(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错. (4)当x ＞1时，log a x ＞log b x ，但a 与b 的大小不确定，故(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.(必修1P73T3改编)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.∴c >a >b . 答案 D3.(必修1P74A7改编)函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是________.解析 由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.∴12<x ≤1.∴函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤12，14.(2019·杭州检测)计算log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A.0B.2C.4D.6解析 原式＝2log 23×(2log 32)＋log 5(102×0.25) ＝4＋log 525＝4＋2＝6. 答案 D5.(2019·上海静安区检测)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1. 答案 D6.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a ).若f (3)＝1，则a ＝________. 解析 由f (3)＝1得log 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7. 答案 －7考点一 对数的运算【例1】 (1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________.(2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.解析 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 6 63·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.答案 (1)－20 (2)1规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练1】 (1)若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于( ) A.1B.0或18C.18D.log 23(2)(2019·成都七中检测)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.解析 (1)由题意知lg 2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x ＋1)， ∴2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，(2x )2－9＝0，2x ＝3，x ＝log 23. (2)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52， 所以t ＝2，则a ＝b 2. 又a b ＝b a ，所以b 2b ＝bb 2，即2b ＝b 2，又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4. 答案 (1)D (2)4 2考点二 对数函数的图象及应用【例2】 (1)(2019·潍坊一模)若函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2]D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 (1)由f (x )在R 上是减函数，知0<a <1.又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图象由y ＝log a x 向右平移一个单位得到.因此选项D 正确.(2)由题意，易知a >1.在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象.若y ＝log a x 过点(2，1)，得log a 2＝1，所以a ＝2.根据题意，函数y ＝log a x ，x ∈(1，2)的图象恒在y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2].答案 (1)D (2)C规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】 (1)(2018·湛江模拟)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A.0<a －1<b <1B.0<b <a －1<1C.0<b －1<a <1D.0<a －1<b －1<1(2)(2019·日照一中调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x <1，log 2x ，x ≥1，若方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)由函数图象可知，f (x )在R 上单调递增，又y ＝2x ＋b －1在R 上单调递增，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，即log a a －1<log a b <log a 1，所以，a －1<b <1. 综上有0<a －1<b <1.(2)作出函数y ＝f (x )的图象(如图所示).方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 恰有一个公共点，故a ＝0或a ≥2，即a 的取值范围是{0}∪[2，＋∞). 答案 (1)A (2){0}∪[2，＋∞) 考点三 对数函数的性质及应用多维探究角度1 对数函数的性质【例3－1】 已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C角度2 比较大小或解简单的不等式【例3－2】 (1)(一题多解)(2018·天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >aD.c >a >b(2)若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.(0，1)∪(1，＋∞)解析 (1)法一 因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a >1，所以c >a >b .法二 log 1213＝log 23，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝ln x 的图象，由图知c >a >b .(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案 (1)D (2)C角度3 对数型函数性质的综合应用 【例3－3】 已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎨⎧3－2a >0，log a （3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】 (1)若a >b >0，0<c <1，则( ) A.log a c <log b c B.log c a <log c b C.a c <b cD.c a >c b(2)若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)由y ＝x c 与y ＝c x 的单调性知，C ，D 不正确； ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确； log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.又a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负， ∴log a c 与log b c 的大小不能确定.(2)令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32， 所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞). 答案 (1)B (2)(0，＋∞)[思维升华]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决. 3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定. [易错防范]1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论.2.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数).3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.24B.16C.12D.8解析 因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24. 答案 A2.(2018·天津卷)已知a ＝log 3 72，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log 13 15，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >aD.c >a >b解析 log 1315＝log 3－15－1＝log 35，因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数，所以log 35>log 3 72>log 33＝1，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 在(－∞，＋∞)上为减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1413<⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝1，故c >a >b . 答案 D 3.(2019·张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax ，g (x )＝log a (x ＋2)(a >0，且a ≠1)的图象大致为()解析 由题意，知函数f (x )＝2－ax (a >0，且a ≠1)为单调递减函数，当0<a <1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a >2，且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数，C ，D 均不满足；当a >1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a <2，且x ＝2a >0，又g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，排除B ，综上只有A 满足.答案 A4.(2019·宁波二模)已知f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x )，则( )A.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是增函数B.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是增函数C.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是减函数D.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是减函数解析 由⎩⎨⎧10＋x >0，10－x >0，得x ∈(－10，10)， 且f (x )＝lg(100－x 2).∴f (x )是偶函数，又t ＝100－x 2在(0，10)上单调递减，y ＝lg t 在(0，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在(0，10)上单调递减.答案 D5.(2019·临汾三模)已知函数f (x )＝|ln x |，若f (m )＝f (n )(m >n >0)，则2m ＋1＋2n ＋1＝( )A.12B.1C.2D.4 解析 由f (m )＝f (n )，m >n >0，可知m >1>n >0，∴ln m ＝－ln n ，则mn ＝1.所以2m ＋1＋2n ＋1＝2（m ＋n ）＋4mn ＋m ＋n ＋1＝2（m ＋n ＋2）m ＋n ＋2＝2. 答案 C二、填空题6.lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________. 解析 lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1. 答案 －17.(2019·昆明诊断)设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________.解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1，1). 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x <1，∴－1<x <0. 答案 (－1，0)8.(2019·潍坊调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－log 2（3－x ），x <2，2x －2－1，x ≥2，若f (2－a )＝1，则f (a )＝________.解析 当2－a <2，即a >0时，f (2－a )＝－log 2(1＋a )＝1.解得a ＝－12，不合题意.当2－a ≥2，即a ≤0时，f (2－a )＝2－a －1＝1，即2－a ＝2，解得a ＝－1，所以f (a )＝f (－1)＝－log 24＝－2.答案 －2三、解答题9.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值. 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3).(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈[0，1]时，f (x )是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32时，f (x )是减函数， 故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ). 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以|x2－1|<4，解得－5<x<5，即不等式的解集为(－5，5).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·天津和平区二模)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝log a(x＋x2＋b)在区间(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)＝log a||x|－b|的图象是()解析∵函数f(x)＝log a(x＋x2＋b)在区间(－∞，＋∞)上是奇函数，∴f(0)＝0，∴b＝1，又函数f(x)＝log a(x＋x2＋b)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，所以a>1. 所以g(x)＝log a||x|－1|，当x>1时，g(x)＝log a(x－1)为增函数，排除B，D；当0<x<1时，g(x)＝log a(1－x)为减函数，排除C；故选A.答案 A12.设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z解析令t＝2x＝3y＝5z，∵x，y，z为正数，∴t>1.则x＝log2t＝lg tlg 2，同理，y＝lg tlg 3，z＝lg tlg 5.∴2x－3y＝2lg tlg 2－3lg tlg 3＝lg t（2lg 3－3lg 2）lg 2×lg 3＝lg t （lg 9－lg 8）lg 2×lg 3>0， ∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t （2lg 5－5lg 2）lg 2×lg 5＝lg t （lg 25－lg 32）lg 2×lg 5<0， ∴2x <5z ，∴3y <2x <5z .答案 D13.(2019·衡水中学检测)已知函数f (x )＝lg(mx 2＋2mx ＋1)，若f (x )的值域为R ，则实数m 的取值范围是________.解析 令g (x )＝mx 2＋2mx ＋1值域为A ，∵函数f (x )＝lg(mx 2＋2mx ＋1)的值域为R ，∴(0，＋∞)⊆A ，当m ＝0时，g (x )＝1，f (x )的值域不是R ，不满足条件；当m ≠0时，⎩⎨⎧m >0，4m 2－4m ≥0，解得m ≥1. 答案 [1，＋∞)14.已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2，6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m （x －1）（7－x ）恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x ).∴f(x)＝ln x＋1x－1是奇函数.(2)由于x∈[2，6]时，f(x)＝ln x＋1x－1>lnm（x－1）（7－x）恒成立，∴x＋1x－1>m（x－1）（7－x）>0，∵x∈[2，6]，∴0<m<(x＋1)(7－x)在x∈[2，6]上恒成立.令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x∈[2，3]时函数g(x)单调递增，x∈[3，6]时函数g(x)单调递减，即x∈[2，6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0<m<7.故实数m的取值范围为(0，7).。
高中数学 第2章 基本初等函数(1)(1.1 指数与指数幂的运算 第1课时)示范教案 新人教A版必修
某某省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修1第2章 基本初等函数〔1〕-1.示X 教案〔1.1 指数与指数幂的运算 第1课时〕本章教材分析教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题.本章总的教学目标是:了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=a x 的符号及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质〔单调性、值域、特别点〕,通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型;理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用;通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=log a x 的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质〔单调性、值域、特殊点〕;知道指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数〔a ＞0,a≠1〕,初步了解反函数的概念和f -1(x)的意义;通过实例了解幂函数的概念,结合五种具体函数y=x,y=x 2,y=x 3,y=x -1,y=x 21的图象,了解它们的变化情况.本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质,要在理解定义的基础上,通过几个特殊函数图象的观察,归纳得出一般图象及性质,这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的有关内容作了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想.建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展.教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且安排的顺序向后调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生的学习负担.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能.教材安排了“阅读与思考〞的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算整体设计我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂.教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫. 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,充分关注与实际问题的结合,表达数学的应用价值.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.三维目标1.通过与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质.掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质.培养学生观察分析、抽象类比的能力.2.掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化〞的数学思想.通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯,让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.3.能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.4.通过训练及点评,让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解.(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质.(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值.教学难点:(1)分数指数幂及根式概念的理解.(2)有理指数幂性质的灵活应用.课时安排3课时教学过程第1课时指数与指数幂的运算(1)导入新课思路 1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化,又怎样判断它们所处的年代?(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的,第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的.教师板书本节课题:指数函数——指数与指数幂的运算.思路2.同学们,我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的,这就是我们本堂课研究的课题:指数函数——指数与指数幂的运算. 推进新课提出问题(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？(2)如x4=a,x5=a,x6=a根据上面的结论我们又能得到什么呢?(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗?(4)可否用一个式子表达呢?活动：教师提示,引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的,对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子,对问题②的结论进行引申、推广,相互交流讨论后回答,教师及时启发学生,具体问题一般化,归纳类比出n次方根的概念,评价学生的思维. 讨论结果：(1)假设x2=a,那么x叫做a的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4的平方根为±2,负数没有平方根,同理,假设x3=a,那么x叫做a的立方根,一个数的立方根只有一个,如:-8的立方根为-2.(2)类比平方根、立方根的定义,一个数的四次方等于a,那么这个数叫a的四次方根.一个数的五次方等于a,那么这个数叫a的五次方根.一个数的六次方等于a,那么这个数叫a的六次方根.(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a,那么这个数叫a的n次方根.(4)用一个式子表达是,假设x n=a,那么x叫a的n次方根.教师板书n次方根的意义:一般地,如果x n=a,那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n＞1且n∈N*.可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.提出问题(1)你能根据n次方根的意义求出以下数的n次方根吗?(多媒体显示以下题目).①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根.(2)平方根,立方根,4次方根,5次方根,7次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有什么特点?4,±8,16,-32,32,0,a6分别对应什么性质的数,有什么特点?(3)问题〔2〕中,既然方根有奇次的也有偶次的,数a有正有负,还有零,结论有一个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢?(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢?活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念,求一个数a的n次方根,就是求出的那个数的n次方等于a,及时点拨学生,从数的分类考虑,可以把具体的数写出来,观察数的特点,对问题〔2〕中的结论,类比推广引申,考虑要全面,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：〔1〕因为±2的平方等于4,±2的立方等于8,±2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a6,所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a6的立方根分别是±2,±2,±2,2,-2,0,a2.〔2〕方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总的来看,这些数包括正数,负数和零.〔3〕一个数a的奇次方根只有一个,一个正数a的偶次方根有两个,是互为相反数.0的任何次方根都是0.〔4〕任何一个数a的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没有一个数的偶次方是一个负数.类比前面的平方根、立方根,结合刚才的讨论,归纳出一般情形,得到n 次方根的性质:①当n 为偶数时,a 的n 次方根有两个,是互为相反数,正的n 次方根用n a 表示,如果是负数,负的n 次方根用n a -表示,正的n 次方根与负的n 次方根合并写成±n a (a ＞0).②n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,这时a 的n 次方根用符号n a 表示.③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零.上面的文字语言可用下面的式子表示:a 为正数:⎪⎩⎪⎨⎧±.,,,n n a n a n a n a n 次方根有两个为的为偶数次方根有一个为的为奇数 a 为负数:⎪⎩⎪⎨⎧.,,,次方根不存在的为偶数次方根只有一个为的为奇数n a n a n a n n 零的n 次方根为零,记为n 0=0.可以看出数的平方根、立方根的性质是n 次方根的性质的特例.思考根据n 次方根的性质能否举例说明上述几种情况?活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握,即正数的奇偶次方根,负数的奇次方根,零的任何次方根,这样才不重不漏,同时巡视学生,随机给出一个数,我们写出它的平方根,立方根,4次方根等,看是否有意义,注意观察方根的形式,及时纠正学生在举例过程中的问题. 解答：答案不唯一,比如,64的立方根是4,16的四次方根为±2,-27的5次方根为527-527-也表示方根,它类似于n a 的形式,现在我们给式子n a 一个名称——根式. 根式的概念: 式子n a 叫根式,其中a 叫被开方数,n 叫根指数. 如327-中,3叫根指数,-27叫被开方数.思考n n a 表示a n 的n 次方根,等式n n a =a 一定成立吗？如果不一定成立,那么n n a 等于什么？ 活动：教师让学生注意讨论n 为奇偶数和a 的符号,充分让学生多举实例,分组讨论.教师点拨,注意归纳整理. 〔如33)3(-=327-=-3,44)8(-=|-8|=8〕.解答：根据n 次方根的意义,可得:(n a )n =a.通过探究得到：n 为奇数,n na =a.n 为偶数,n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a因此我们得到n 次方根的运算性质： ①(n a )n=a.先开方,再乘方〔同次〕,结果为被开方数. ②n 为奇数,n n a =a.先奇次乘方,再开方〔同次〕,结果为被开方数.n 为偶数,n n a =|a|=a,⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 先偶次乘方,再开方〔同次〕,结果为被开方数的绝对值.应用示例思路1例1求以下各式的值: (1)33)8(-;(2)2)10(-;(3)44)3(π-;(4)2)(b a -(a>b).活动：求某些式子的值,首先考虑的应是什么,明确题目的要求是什么,都用到哪些知识,关键是啥,搞清这些之后,再针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况,让学生展示结果,抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药.求以下各式的值实际上是求数的方根,可按方根的运算性质来解,首先要搞清楚运算顺序,目的是把被开方数的符号定准,然后看根指数是奇数还是偶数,如果是奇数,无需考虑符号,如果是偶数,开方的结果必须是非负数. 解：(1)33)8(-=-8; (2)2)10(-=10; (3)44)3(π-=π-3; (4)2)(b a -=a-b(a>b).点评：不注意n 的奇偶性对式子n n a 的值的影响,是导致问题出现的一个重要原因,要在理解的基础上,记准,记熟,会用,活用.变式训练求出以下各式的值: (1)77)2(-; (2)33)33(-a (a≤1); (3)44)33(-a .解：(1)77)2(-=-2, (2)33)33(-a (a≤1)=3a -3,(3)44)33(-a =⎩⎨⎧<-≥-.1,33,1,33a a a a点评：此题易错的是第(3)题,往往忽视a 与1大小的讨论,造成错解.思路2例1以下各式中正确的选项是( ) (1)44a =a; (2)62)2(-=32-;(3)a 0=1; (4)105)12(-=)12(-.活动：教师提示,这是一道选择题,此题考查n 次方根的运算性质,应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解,既要考虑被开方数,又要考虑根指数,严格按求方根的步骤,体会方根运算的实质,学生先思考哪些地方容易出错,再回答.解：(1)44a =a,考查n 次方根的运算性质,当n 为偶数时,应先写n n a =|a|,故此题错. (2)62)2(-=32-,本质上与上题相同,是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,结论为62)2(-=32,故此题错.(3)a 0=1是有条件的,即a≠0,故此题也错.(4)是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,故此题正确.所以答案选(4).点评：此题由于考查n 次方根的运算性质与运算顺序,有时极易选错,选四个答案的情况都会有,因此解题时千万要细心. 例223++223-=_________活动：让同学们积极思考,交流讨论,此题乍一看内容与本节无关,但仔细一想,我们学习的内容是方根,这里是带有双重根号的式子,去掉一层根号,根据方根的运算求出结果是解题的关键,因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了,从何处入手?需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式.正确分析题意是关键,教师提示,引导学生解题的思路. 解：223+=2)2(221++=2)21(+=2+1. 223-=122)2(2+-=2)12(-=2-1. 所以223++223-=22.点评：不难看出223-与223+形式上有些特点,即是对称根式,是B A 2±形式的式子,我们总能找到办法把其化成一个完全平方式.思考上面的例2还有别的解法吗?活动：教师引导,去根号常常利用完全平方公式,有时平方差公式也可,同学们观察两个式子的特点,具有对称性,再考虑并交流讨论,一个是+,一个是-,去掉一层根号后,相加正好抵消.同时借助平方差,又可去掉根号,因此把两个式子的和看成一个整体,两边平方即可,探讨得另一种解法.另解：利用整体思想,x=223++223-,两边平方得x 2=3+22+3-22+2(223+)(223-)=6+222)22(3-=6+2=8,所以x=22.点评：对双重二次根式,特别是B A 2±形式的式子,我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式,问题迎刃而解,另外对B A B A 22-±+的式子,我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解.变式训练 假设12a -a 2+=a-1，求a 的取值X 围.解：因为12a -a 2+=a-1,而12a -a 2+=2)1(-a =|a-1|=a-1,即a-1≥0,所以a≥1.点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号,是解题的关键.知能训练(教师用多媒体显示在屏幕上)1.以下说法正确的选项是( )n a 表示(以上n ＞1且n∈N *).答案：C2.化简以下各式: (1)664;(2)42)3(-;(3)48x ;(4)636y x ;(5)2y)-(x .答案：(1)2;(2)9;(3)x 2;(4)|x|y ;(5)|x-y|.407407-++=__________. 解：407407-++ =2222)2(252)5()2(252)5(+•-++•+ =22)25()25(-++=5+2+5-2- =25.答案：25拓展提升 问题：n n a =a 与(n a )n =a 〔n ＞1,n∈N 〕哪一个是恒等式,为什么?请举例说明.活动：组织学生结合前面的例题及其解答,进行分析讨论,解决这一问题要紧扣n 次方根的定义.通过归纳,得出问题结果,对a 是正数和零,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下.再对a 是负数,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下,就可得到相应的结论.解答：①〔n a 〕n =a 〔n ＞1,n∈N 〕.如果x n =a 〔n ＞1,且n∈N 〕有意义,那么无论n 是奇数或偶数,x=n a 一定是它的一个n 次方根,所以〔n a 〕n =a 恒成立.例如：〔43〕4=3,33)5(-=－5. ②n n a =⎩⎨⎧.|,|,,为偶数当为奇数当n a n a当n 为奇数时,a∈R ,n n a =a 恒成立. 例如：552=2,55)2(-=－2. 当n 为偶数时,a∈R ,a n ≥0,n n a 表示正的n 次方根或0,所以如果a≥0,那么n n a 443=3,40=0；如果a ＜0,那么n n a =|a|=－a,如2(-3)=23=3. 即〔n a na 〕n =a 〔n ＞1,n∈N 〕是恒等式,n n a =a 〔n ＞1,n∈N〕是有条件的.点评：实质上是对n 次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解.课堂小结学生仔细交流讨论后,在笔记上写出本节课的学习收获,教师用多媒体显示在屏幕上. n =a,那么x 叫a 的n 次方根,其中n ＞1且n∈N *.用式子n a 表示,式子n a 叫根式,其中a 叫被开方数,n 叫根指数.(1)当n 为偶数时,a 的n 次方根有两个,是互为相反数,正的n 次方根用n a 表示,如果是负数,负的n 次方根用-n a 表示,正的n 次方根与负的n 次方根合并写成±n a (a ＞0).(2)n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,这时a 的n 次方根用符号n a 表示.(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零.2.掌握两个公式：n 为奇数时,(n a )n =a,n 为偶数时,n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 作业课本P 59习题2.1A 组 1.补充作业:1.化简以下各式： (1)681;(2)1532-;(3)48x ;(4)642b a .解：(1)681=643=323=39; (2)1532-=1552-=32-; (3)48x =442)(x =x 2; (4)642b a =622)|(|b a •=32||b a •.2.假设5<a<8,那么式子22)8()5(---a a 的值为__________.分析:因为5<a<8,所以22)8()5(---a a =a-5-8+a=2a-13.答案：2a-13. 3.625625-++=__________.分析：对双重二次根式,我们觉得难以下笔,我们考虑只有在开方的前提下才可能解出,由此提示我们想办法去掉一层根式, 不难看出625+=22)(3+=3+2. 同理625-=22)(3-=3-2.所以625++625-=23. 答案：23设计感想学生已经学习了数的平方根和立方根,根式的内容是这些内容的推广,本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解,在引入根式的概念时,要结合已学内容,列举具体实例,根式n a 的讲解要分n 是奇数和偶数两种情况来进行,每种情况又分a>0,a<0,a=0三种情况,并结合具体例子讲解,因此设计了大量的类比和练习题目,要灵活处理这些题目,帮助学生加以理解,所以需要用多媒体信息技术服务教学.。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质教材梳理素材新人教A版必修1(new)
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2 对数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华一、对数函数及其性质1.对数函数一般地，函数y=log a x （a>0，a ≠1）叫对数函数，其中x 是自变量,函数的定义域是（0,+∞）。
因为对数函数是由指数函数变化而来的,对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是（0，+∞）,指数函数与对数函数的定义域和值域是互换的。
只有形如y=log a x （a>0，a ≠1，x>0)的函数才叫对数函数。
像y=log a (x+1）,y=2log a x ，y=log a x+3等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数。
对数函数同指数函数一样都是基本初等函数，它来自于实践.2.对数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=log 2x 及y=log 1/2x 图象列出x ，y 的对应值表，用描点法画出图象：描点即可完成y=log 2x,y=x 21log 的图象，如下图.0 1 2 4 8 x—1—2 y=log 1/2x-3s由表及图可以发现:我们可以通过函数y=log 2x 的图象得到函数y=log 0。
5x 的图象．利用换底公式可以得到：y=log 0。
5x=-log 2x ，点（x,y)与点(x,-y ）关于x 轴对称，所以y=log 2x 的图象上任意一点(x ，y ）关于x 轴对称点(x ，-y ）在y=log 0。
5x 的图象上，反之亦然．根据这种对称性就可以利用函数y=log 2x 的图象画出函数y=log 0.5x 的图象．方法点拨 注意此处空半格①作对数函数图象,其关键是作出三个特殊点（a 1,-1),（1，0)，(a ，1）．一般情况下，作对数函数图象有这三点就足够了.不妨叫做“三点作图法。
"②函数y=log a x 与y=x a 1log 的图象关于x 轴对称。
（2）对数函数y=log a x 在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示: a ＞1 0＜a ＜1图 象定义域（0，+∞） 值 域R 性 质 （1)过点（1,0），即x=1时，y=0要点提示（1）对数函数的图象恒在y轴右方.（2)对数函数的单调性取决于它的底数。
秋高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.1对数与对数运算练习新人教A版必修1(20
2018年秋高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算练习新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算练习新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.2.1 对数与对数运算A级基础巩固一、选择题1．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是（）A．a〉5或a<2 B．2〈a<3或3<a〈5C．2〈a<5 D．3<a〈4解析:由对数的定义知错误!即错误!所以2<a〈3或3<a<5.答案：BA．x＝错误!B．x＝错误!C．x＝错误!D．x＝9解析：因为＝2－2,所以log3x＝－2,所以x＝3－2＝1 9 .答案：A3．化简（log43＋log 8 3）(log32＋log92）＝( ) A.错误!B。
错误!C．1 D．2解析：原式＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!.答案：B4.错误!的值是( ）A．2 B。
错误! C．1 D。
错误!解析：log849log27＝错误!÷log27＝错误!.答案：D5．若lg 2＝a,lg 3＝b，则错误!等于( )A.错误!B。
错误!C。
错误! D.错误!解析：错误!＝错误!＝错误!＝错误!。