2020年河南省郑州市实验中学高三数学(文)高考模拟测试卷三
河南省郑州市2020届高中毕业年级第三次质量预测(文数)
河南省郑州市2020届高中毕业年级第三次质量预测数 学（文科）注意事项:1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1． 已知集合2{1,2,4,8},{|log ,},A y y x x B A =∈==则A B =IA ．｛1,2}B ．｛1，2，4｝C ．｛2，4，8｝D ．｛1，2，4，8｝2． 若复数z 满足()212,i z i -=+则复数z 的虚部是A ．iB ．－iC ．1D ．－13． 函数()2||2x y x x =-∈R 的部分图象可能是4． 在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .3sin cos a B c b A =-,则角B 等于A ．π6B ．π4C ．π3D ．12π5． 两个非零向量a ,b 满足||2+=-=a b a b a |,则向量b 与a －b 夹角为A ．56πB ．π6C ．2π3D ．π36． 下列说法正确的是A ．命题p ,q 都是假命题,则命题“⌝p ∧q ”为真命题B ．将函数y =sin2x 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到sin 4y x =C ．R ∈∀ϕ，函数sin(2)x ϕ=+都不是奇函数D ．函数()23f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像关于直线x =512π对称7． 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的体积为A 6πB ．86πC ．332πD ．664π8． 已知直线y=kx+m(k<0)与抛物线x y C 8:2=及其准线分别交于A ,B 两点,F 为抛物线的焦点,若2,FA AB =u u u r u u u r则m 等于A ．3B ．32C ．22D ．629． 若函数()()2,0132,0x e x a x f x a x a x ⎧-+>⎪=∞∞⎨---≤⎪⎩在（-,+)上是单调函数,则a 的取值范围是 A ．[1,+∞) B ．（1,3] C ．)1,21[ D ．（1,2]10．若将函数()()cos 2f x x ϕ=+的图象向右平移π6个单位长度,得到函数()g x 的图象,且()g x 的图象关于原点对称,则|φ|的最小值为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π611．已知函数)(x f 是R 上的奇函数()fx '是其导函数,当x >0时(),ln ,x x x f f x '⋅<-（）<则不等式()21)0x f x ->（的解集是A ．），（），（1001Y -B ．），（），（∞+-∞-11YC ．），（），（∞+-101YD ．），（），（101--∞-Y12．已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为21,,F F 过F 2的直线与双曲线左、右两支分别交于点A ,B ,若1ABF ∆为等边三角形,则双曲线E 的渐近线方程为A ．x y 7±=B ．x y 6±=C ．x y 22±=D ．x y 72±=二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．已知x ,y 满足约束条件40,201x y x y x ⎧⎪⎨⎪-+≥+≥⎩≤，，则3z x y =+的最大值为 ▲14．某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件,在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所 示,已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20,则m +n = ▲ .15．在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a 、b 、sin 2,,32sin sin2b Cc C a b A C ππ<<=--, 2,a =15sin B =,则b = ▲ . 16．设数列}{n a 的前n 项和为n S ,已知13a =，对任意的正整数n 满足n n n n n a a a n n S S +-++=++11)12(3)2cos(π，则19a = ▲ .三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分 17．(本题满分12分)已知数列1411{}4256n a a a ==是首项，的等比数列,设()*423log .n n b a n =∈--N （I ）求数列}{n b 的通项公式; （Ⅱ)记11n n n c b b +=,求数列}{n c 的前n 项和n S .18．(本题满分12分)2019年郑开国际马拉松比赛,于2019年3月31日在郑州、开封举行。
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)(含答案解析)
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，4，，，则A. B. 1，2， C. 2， D.2.已知复数z满足为虚数单位，则z的虚部为A. 1B.C. 0D. i3.函数的部分图象可能是A. B.C. D.4.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，若，则角B等于A. B. C. D.5.两个非零向量，满足，则向量与夹角为A. B. C. D.6.下列说法正确的是A. 命题p，q都是假命题，则命题“”为真命题B. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到C. ，函数都不是奇函数D. 函数的图象关于直线对称7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为A.B.C.D.8.已知直线与抛物线C：及其准线分别交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，则m等于A. B. C. D.9.若函数在上是单调函数，则a的取值范围是A. B. C. D.10.若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于原点对称，则的最小值为A. B. C. D.11.设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的x的取值范围是A. B.C. D.12.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l与双曲线C左，右两支交于点B，A，若为正三角形，则双曲线C的渐近线方程为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y满足约束条件，则的最大值为______．14.某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则______．15.在中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，，，则，则______．16.设数列的前n项和为，已知，对任意的正整数n满足，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列是首项，的等比数列，设Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ记，求数列的前n项和．18.2019年郑开国际马拉松比赛，于2019年3月31日在郑州、开封举行．某学校本着“我运动，我快乐，我锻炼，我提高”精神，积极组织学生参加比赛及相关活动，为了了解学生的参与情况，从全校学生中随机抽取了150名学生，对是否参与的情况进行了问卷调查，统计数据如表：会参与不会参与男生6040女生2030根据如表说明，能否有的把握认为参与马拉松赛事与性别有关？Ⅱ现从参与问卷调查且参与赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人参加2019年马拉松比赛志愿者宣传活动求男、女学生各选取多少人；若从这8人中随机选取2人到校广播站开展2019年赛事宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．附：，其中．19.如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，底面，侧面底面ABCD，，．Ⅰ求证：面PAC；Ⅱ过AC的平面交PD于点M，若，求三棱锥的体积．20.已知椭圆C：，圆：，圆：，椭圆C与圆、圆均相切．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ直线l与圆相切同时与椭圆C交于A、B两点，求的最大值．21.设函数，．当时，求函数的极值；Ⅱ若关于x的方程在区间上有两个实数解，求实数m的取值范围．22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为：为参数，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为，曲线：．Ⅰ求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；Ⅱ若曲线与曲线交于A，B两点，求的取值范围．23.已知函数，．Ⅰ当时，求不等式的解集；Ⅱ若，且对任意，恒成立，求m的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的定义，对数的运算性质，以及交集的运算．【解答】解：2，4，，1，2，；．故选：A．2.答案：A解析：解：由，得．则z的虚部为1．故选：A．把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解；显然原函数是偶函数，立即排除B，取，则排除A．故选：C．先判断函数为偶函数，再根据函数值的特点即可判断本题考查了函数图象的识别，考查了函数的奇偶性和函数值的特点，属于中档题4.答案：A解析：解：，由正弦定理可得：，，，，，，可得，，．故选：A．由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合，可得，结合范围，可求B的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.答案：A解析：【分析】由题意画出图象，数形结合，求得向量与夹角．本题主要考查两个向量的夹角的求法，直角三角形中的边角关系，属于中档题．【解答】解：两个非零向量，满足，如图，设，，则，，则四边形OACB为矩形，．设向量与夹角为，则，，，，故选：A．6.答案：D解析：解：选项A，因为p是假命题，所以是真命题，但q是假命题，所以命题“”为假命题，即A错误；选项B，将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到，即B错误；选项C，例如，当时，函数，是奇函数，即C错误；选项D，，所以其图象关于直线对称，即D正确．故选：D．A，因为p是假命题，所以是真命题，但q是假命题，根据复合命题中“”命题一假则假的原则，所以命题“”为假命题；B，将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到；C ，举特例，当时，函数，是奇函数；D ，把代入函数解析式中计算其结果是否为1或，由于，所以其图象关于直线对称．本题考查命题的真假判断，主要包含复合命题的真假判断、正弦函数的性质及图象变换，考查学生的推理论证能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图如图所示：该几何体为三棱锥体．所以几何体的外接球的半径设为r，则：，解得，所以，故选：B．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的外接球的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：B解析：解：因为，所以点A，B，F共线，所以直线经过抛物线的焦点，所以，因为抛物线的准线为，所以得，即因为，所以，所以，解得，将点A的坐标代入抛物线方程得：，解得，所以．故选：B．因为，所以点A，B，F共线，即直线经过抛物线的焦点，得，联立得，因为，所以，解得A坐标，将点A的坐标代入抛物线方程解得，进而得出结论．本题考查直线与抛物线方程，向量问题，属于中档题．9.答案：B解析：解：当时，，在上恒成立，即在上单调递增，又函数在上是单调函数，，解得．故选：B．先利用导数与函数单调性的关系可知，当时，单调递增，于是在R上单调递增，还需要满足，解之即可得a的取值范围．本题考查分段函数的单调性，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．10.答案：A解析：解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，的图象关于原点对称，，．令，可得的最小值为，故选：A．利用函数的图象变换规律得到的解析式，再利用三角函数的图象的对称性，求得的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：C解析：【分析】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，函数奇偶性的应用，属于难题．根据题意，设，对求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得在上为减函数，结合函数的单调性分析可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，然后将不等式变形转化可得关于x的不等式组，求解得答案．【解答】解：根据题意，设，其导数，又由当时，，则有，即函数在上为减函数，又由，则在区间上，，又由，则，在区间上，，又由，则，则在和上，，又由为奇函数，则在区间和上，都有，由，得或，解可得：或，则x的取值范围是．故选：C．12.答案：D解析：解：设，根据双曲线的定义可知：，即，且，即，所以，则，在中，，整理得，所以，则，所以渐近线方程为，故选：D．设，利用双曲线定义，可得，，利用余弦定理可得，进而得到a，b关系，可得渐近线方程．本题考查双曲线的定义，考查双曲线渐近线求法，余弦定理，整体思想，属于中档题．13.答案：8解析：解：画出满足条件的平面区域，如图示：由得：，将直线向上平移，可知当直线经过点时，的截距取得最大值，z的最大值，，故答案为：8．画出满足条件的平面区域，由得：，将直线向上平移，结合图象求出z的最大值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．14.答案：11解析：解：甲组工人在单位时间内加工的合格零件数的平均数为20，即，解得；乙组工人在单位时间内加工的合格零件数的平均数为10，即，解得．故；故答案为：11．根据茎叶图中的数据，利用平均数的定义，即可求出m、n的值．本题考查了利用茎叶图求平均数的应用问题，是基础题目．15.答案：解析：解：，，，由正弦定理可得：，，，可得，或，若，由于，可得，可得舍去，，可得，可得：，，，，由，可得，由余弦定理可得．故答案为：．由正弦定理化简已知等式，结合，可得，可得，或，由于若，可得推出矛盾，可得，根据三角形内角和定理可得，可求范围，利用同角三角函数基本关系式可求cos B的值，进而根据余弦定理可求b的值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握相关公式定理及其变形应用是解题的关键，属于难题．16.答案：解析：解：，，，，；；；；；；；故答案为：．根据递推关系式得到；再利用累加法即可求得结论．本题主要考查数列递推关系式的应用以及累加法的应用，属于中档题目．17.答案：解：由，得，，所以．．由，得，．所以数列的前n项和．解析：利用已知条件推出数列的公比，然后求解数列的通项公式．利用裂项消项法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式以及数列求和的方法的应用，是基本知识的考查．18.答案：解：因为，所以有的把握认为参与马拉松赛事与性别有关；根据分层抽样方法得，男生有人，女生有2人，所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人；设抽取的6名男生分别为A，B，C，D，E，F；2名女生为a，b；从中抽取两人，分别记为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28种情形；其中2男的共15种情形，所以所求的概率值为．解析：根据列联表计算观测值，对照临界值得出结论；根据分层抽样法求得男生、女生抽取人数；利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．19.答案：Ⅰ证明：由题意，，，则，又侧面底面ABCD，面面，面PAB，面ABCD．面ABCD，则，又，ABCD为平行四边形，则，又，则为等边三角形，可得ABCD为菱形，则．又，面PAC；Ⅱ解：由，得M为PB中点，由Ⅰ知，ABCD为菱形，又，，．又面ABCD，且，．解析：Ⅰ由题意，，得到，再由平面与平面垂直的性质可得面ABCD，从而得到，结合已知条件证明ABCD为菱形，则由直线与平面垂直的判定可得面PAC；Ⅱ由，得M为PB中点，然后利用求解．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：Ⅰ由题易知的半径，圆的半径，又椭圆与、同时相切，则，则C：．Ⅱ当l斜率为0时，l与椭圆C相切，不符合题意，斜率不为0时，设l：，原点到l的距离．则，由，可得：，设，由根与系数的关系得：，，，将代入得，令则，在上单调递增，则，即时，．解析：Ⅰ利用已知条件求出椭圆的长半轴与短半轴的长，即可得到椭圆方程．Ⅱ当l斜率为0时，l与椭圆C相切，不符合题意；斜率不为0时，设l：，通过原点到l的距离则，由，，设，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解即可．本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，是难题．21.答案：解：依题意知的定义域为，当时，，，令，解得则单调递增，，单调递减．所以当时函数取得极小值，且极小值为，当时函数取得极大值，且极大值为．由，可得，又，所以，．令，则，由，得；由，得，在区间上是增函数，在区间上是减函数．当时函数有最大值，且最大值为，又，当时，方程在区间上有两个实数解．实数m的取值范围为．解析：当把代入，然后对函数求导，结合导数与单调性及极值的关系即可求解；由，可得，构造函数，然后对函数求导，结合导数可分析函数的性质，进而可求．本题主要考查了利用导数求解函数的极值及利用分离法求解参数范围问题，构造函数并利用导数知识是求解问题的关键．22.答案：解：Ⅰ直线l的参数方程为：为参数，转换为曲线的普通方程为：，曲线：根据整理得普通方程为：；Ⅱ将为参数代入：化简整理得：，设A、B两点对应的参数分别为、，则恒成立，，，，所以：．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．23.答案：解：Ⅰ当时，，原不等式等价于或或，解得：或无解或，所以，的解集为分Ⅱ，．则所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．所以当时，取得最小值，．因为对任意恒成立，所以．又因为，所以，解得不合题意．所以m的最小值为分解析：Ⅰ通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；Ⅱ求出函数的单调区间，求出的最小值，得到关于m的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数的单调性，最值问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道常规题．。
2020年河南省郑州市高考数学第三次质量预测试卷（文科）（三模）
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.I.(5 分)已知集合A = {1, 2, 4, 8}, 3={)*=log 小.正A},则 AC1B=(A. {1, 2}B. {0, 1, 2, 3}C. {L 2, 3}D. {().3}【解答】解：A = {1, 2, 4, 8}, B={0,1, 2, 3}；•.•AC8={1, 2).故选：2.（5分）己知复数z 满足（2・D z=l+2/3为虚数单位），则z 的虚部为（A. 1B. - 1C. 0D. /)【解答】解：由（2・i ） z=l+2nl+2i (l+20(2+i) Si 得2 =打=(2r)(2+i) =5='则Z 的虚部为1.故选：A.3.（5分）函数y=A- - 2lr, （.veR ）的部分图象可能是（【解答】解：显然原函数是偶函数，立即排除D.取x=0,则），排除A・故选：C.4.（5分）在△A8C 中，角A, B, C 所对的边分别为s b 9c 若=c ・ bcosA .则7T A.—67T B.-47T c.—3n D・—12【解答】解:•/v ；3</sinB=c - bcos4,角B 等于（)由正弦定理可得：V^sia4sinB=sinC - sinFcosA./. V3sia4sinB+sinBco5i4 = sinC,VsinC=s in(A+B)=sin/lcosB+coSsinB,/.V3sin4sin5=siMcosB，VsinA^O..•.V5sinB=cos8，可得taiiB=孕,VBE(0.n).••・b=m故选：5.（5分）两个非零向量b满足诺+刎=福一州=2局,则向量b与，方夹角为（5 A.一7T6nB.-62C.-7T3nD.-3【解答】解：•.•两个非零向量"，E满足馈+；1=苻一；1=2赤如图.设OA=a.OB=b.贝lj OC=a+b9BA=a—b9则四边形OAC8为矩形BA=2OA.OB=yj^OA.设向量b与a-b夹角为S则NOBA=n・。
【精准解析】河南省郑州市2020届高三第三次质量预测数学(文)试题
右两支分别交于点 A，B，若 ABF1 为等边三角形，则双曲线 E 的渐近线方程为（ ）
A. y 7x
B. y 6x
C. y 2 2x
D.
y 2 7x,
【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据双曲线的定义得到 BF2 2a ， AB AF1 BF1 4a ， 进而得到 AF2 AB BF2 6a ，再利用余弦定理得到 c2 7a2 ，再求渐近线方程即可.
a
的取值范围是
（）
A. 1,
B. 1,3
C.
1 2
,1
D. 1, 2
【答案】B 【解析】 【分析】
利用导数可知函数 y f x 在区间 0, 上为增函数，由此可知该函数在区间 , 0 上也
为增函数，且有 3a 2 e0 2a ，进而可得出关于 a 的不等式组，即可解得实数 a 的取值范
围.
【详解】
f
x
e x
a
x 2a, x 0
1 x 3a 2,
x
，当
0
x
0 时，
f
x
ex
1
0，
所以，函数 y f x 在区间 0, 上为增函数，
由于该函数在 -,+ 上是单调函数，则该函数在 -,+ 上为增函数，
-6-
a 1 0 所以 3a 2 e0 2a ，解得1 < a £ 3 .
7.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接
球的体积为（
）
A. 6
【答案】B
B. 8 6
C. 32 3 π
D. 64 6
-4-
【解析】 【分析】 根据三视图得到三棱锥是从长为 4，宽为 2，高为 2 的长方体中截取而来，其外接球即为长方 体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线的长.
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．(★)已知集合A={1，2，4，8}，B={y|y=log 2x，x∈A}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{0，1，2，3}C．{1，2，3}D．{0，3}2．(★)已知复数z满足（2-i）z=1+2i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．1B．-1C．0D．i3．(★★)函数y=x 2-2 |x|（x∈R）的部分图象可能是（）A．B．C．D．4．(★★)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若asinB=c-bcosA，则角B 等于（）A．B．C．D．5．(★★)两个非零向量，满足| |=| |=2| |，则向量与夹角为（）A．B．C．D．6．(★)下列说法正确的是（）A．命题p，q都是假命题，则命题“￢p∧q”为真命题B．将函数y=sin2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到y=sin4xC．∀φ∈R，函数y=sin（2x+φ）都不是奇函数D．函数的图象关于直线x=对称7．(★★)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．πB．8πC．32πD．64π8．(★★)已知直线y=kx+m（k＜0）与抛物线C：y 2=8x及其准线分别交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若2 ，则m等于（）A．B．2C．2D．29．(★)若函数f（x）= 在（-∞，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，3]C．[，1）D．（1，2]10．(★★)若将函数f（x）=cos（2x+φ）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，且g（x）的图象关于原点对称，则|φ|的最小值为（）A．B．C．D．11．(★★★)设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，当x＞0时，xlnx•f'（x）＜-f（x），则使得（x 2-1）f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（-1，0）∪（0，1）B．（-∞，-1）∪（1，+∞）C．（-1，0）∪（1，+∞）D．（-∞，-1）∪（0，1）12．(★★★)如图，已知双曲线 C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l与双曲线C左，右两支交于点B，A，若△ABF 1为正三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．(★★)已知x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为 8 ．14．(★★)某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则m+n= 11 ．15．(★★★★)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，，a=2，则sinB= ，则b= ．16．(★★)设数列{a n}的前n项和为S n，已知a 1=3，对任意的正整数n满足S n+1=S n+ （2n-1）a n a n+1+a n，则a 19= - ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．(★★)已知数列{a n}是首项a 1= ，a 4= 的等比数列，设b n=-2-3log 4a n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n= ，求数列{c n}的前n项和S n．18．(★★)2019年郑开国际马拉松比赛，于2019年3月31日在郑州、开封举行．某学校本着“我运动，我快乐，我锻炼，我提高”精神，积极组织学生参加比赛及相关活动，为了了解学生的参与情况，从全校学生中随机抽取了150名学生，对是否参与的情况进行了问卷调查，统计数据如表：（I）根据如表说明，能否有97.5%的把握认为参与马拉松赛事与性别有关？（Ⅱ）现从参与问卷调查且参与赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人参加2019年马拉松比赛志愿者宣传活动（i）求男、女学生各选取多少人；（ii）若从这8人中随机选取2人到校广播站开展2019年赛事宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．附：K 2= ，其中n=a+b+c+d．会参与不会参与男生6040女生2030P（K2≥k0）0.100.050.0250.010.005k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87919．(★★★)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，底面ABCD=120°，侧面PAB⊥底面ABCD，PB=2 ，AB=AC=PA=2．（Ⅰ）求证：BD⊥面PAC；（Ⅱ）过AC的平面交PD于点M，若V M-PAC= V P-ACD，求三棱锥P-AMB的体积．20．(★★)已知椭圆C：，圆C 1：x 2+y 2=3，圆C 2：x 2+y 2=4，椭圆C与圆C 1、圆C 2均相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l与圆C 1相切同时与椭圆C交于A、B两点，求|AB|的最大值．21．(★★★)设函数f（x）=lnx+2x 2-（m-1）x，m∈R．（I）当m=6时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=2x 2在区间[1，4]上有两个实数解，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．(★★)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为C 1：（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为（1，0），曲线C 2：ρ2= ．（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 1与曲线C 2交于A，B两点，求|PA|+|PB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．(★★)已知函数f（x）=|mx+1|+|2x-1|，m∈R．（Ⅰ）当m=3时，求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）若0＜m＜2，且对任意x∈R，f（x）≥恒成立，求m的最小值．。
河南省郑州市2020届高三数学第三次质量检测试题 文(含解析)
河南省郑州市2020届高三数学第三次质量检测试题 文（含解析）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}13A x N x =∈-<<，{}0B x x π=<<，则A B ⋂=（ ） A. {}03x x <<B. {}0,1,2C. {}1,2D.{}0x x π<<【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A 中的所有元素，然后求解两个集合的交集. 【详解】{}0,1,2A =,所以{}1,2A B =I ，故选C.【点睛】本题主要考查集合的表示和集合的交集运算，求解交集时，明确集合的公共元素是求解的关键.2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()12z i i -=+，则在复平面内z 对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数的除法，求出复数z ，再求共轭复数，然后判定所在象限. 【详解】因为()12z i i -=+，所以2(2)(1)131(1)(1)2i i i i z i i i ++++===--+，1322z i =-由于130,022>-<，所以复平面内z 对应的点在第四象限，故选D. 【点睛】本题主要考查复数的运算，共轭复数等，侧重考查数学运算的核心素养.3.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期，某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A.35B.710C.45D.910【答案】D 【解析】 【分析】利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.【详解】《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为,,,,a b c d e ，其中,,a b c 产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有,,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de 共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce ，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为910m P n ==．故选D ．【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.4.已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点(，则双曲线的离心率为（ ）D. 3【答案】C 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，代入点的坐标可得,a b 的关系式，然后可得离心率.【详解】因为双曲线的焦点在y 轴上，所以渐近线的方程为ay x b=±，因为经过点(，所以b =，222b a =；由于222b c a =-，所以223c a =，即离心率e =【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求解，双曲线求解离心率时，关键是寻求,,a b c 之间的关系式.5.同时具有性质“①最小正周期是π”②图象关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数的一个函数可以是（ ） A. 4sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B. sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C. 2cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用所给条件逐条验证，最小正周期是π得出2ω=，把②③分别代入选项验证可得. 【详解】把6x π=代入A 选项可得sin()0y π=-=，符合；把6x π=代入B 选项可得sin 00y ==，符合；把6x π=代入C 选项可得cos 1y π==-，不符合，排除C ；把6x π=代入D 选项可得sin12y π==，不符合，排除D ； 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，4452[,]336x πππ-∈--，此时为减函数；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πππ2[,]336x -∈-，此时为增函数；故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养.6.在ABC ∆中，若点D 满足2CD DB =u u u v u u u v ，点M 为AC 中点，则MD u u u u v=（ ）A. 2136AB AC -u u ur u u u rB. 1136AB AC -u u ur u u u rC. 2133AB AC -u u ur u u u rD.2136AB AC +u u uv u u u v 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，结合平面向量的线性运算，用基底,AB AC u u u r u u u r表示MD u u u u v. 【详解】作出图形如下，1212()2323MD MC CD AC CB AC AB AC =+=+=+-u u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2136AB AC =-u u uv u u u v ,故选A.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，利用基底向量表示目标向量注意向量方向和模长之间的关系.7.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，若()1a f =-，142log b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.32c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. a c b <<C. b c a <<D.a b c <<【答案】B 【解析】【分析】利用函数奇偶性和单调性可得，距离y 轴近的点，对应的函数值较小，可得选项.【详解】因为函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，所以可知距离y 轴近的点，对应的函数值较小；2221log log 224-==-，0.30221>=且0.31222<=，所以b c a >>，故选B.【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.8.在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为（ ） A. 2 B. 2C. 12x xD. 4【答案】A 【解析】 【分析】作出截面图，结合圆柱的表面积等于圆锥的侧面积建立等式，从而可得. 【详解】如图，截面图如下设圆柱底面半径为r ，高为h ，圆锥的底面半径为R ，则母线为2l R =,则R h rR R-=,即h R r =-.圆柱表面积为222222()2r rh r r R r rR πππππ+=+-=； 圆锥的侧面积为22Rl R ππ=，因为圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，所以222rR R ππ=，即2R r =，故选A.【点睛】本题主要考查旋转体的表面积的计算，熟记公式是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.9.已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，113n n n nb a a b ++-==，n N *∈.则数列{}na b 的前10项和为（ ） A.()101312- B.()101918- C.()9127126- D.()10127126- 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目条件判定{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，分别求出通项公式，然后求和. 【详解】因为113n n n nb a a b ++-==，所以{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列且公差，公比均为3，所以13(1)32n a n n =+-=-，11133n n n b --=⨯=，所以331327n n n a b --==，易知{}n a b 是以1为首项，27为公比的等比数列，所以前10项和为10101(127)1(271)12726-=--，故选D.【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式及等比数列求和，侧重考查数学运算的核心素养.10.如图所示，网格纸上小正方形的边长为I ，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A.6423π- B.6423π- C.6483π- D.6443π-【答案】A 【解析】 【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，结合几何体的体积公式，求解几何体的体积即可. 【详解】由三视图可知，该几何体是在一个底面边长为4， 高为4的四棱锥中挖掉18个半径为22的球， 故该几何体的体积为()321144422383π⨯⨯-⨯⨯ 64823π-=，故选A.【点睛】该题考查的是有关几何体的体积的问题，涉及到的知识点有利用三视图还原几何体，求有关几何体的体积，属于中档题目.11.函数()f x 的定义域为D ，若()f x 满足在D 内是单调函数且存在使()f x 在上的值域为,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称()y f x =为“半保值函数”，若函数()()log x a f x a t =+，（0a >且1a ≠）是“半保值函数”，则正实数t 的取值范围是（ ）A. 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B.C. ()0,∞+D.1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出函数()()log xa f x a t =+的值域，可得t 的范围.【详解】当1a >时，,log xa y a y x ==均为增函数，所以()f x 为增函数；当01a <<时，,log x a y a y x ==均为减函数，所以()f x 为增函数；所以当[,]x m n ∈时，()[log (),log ()]m na a f x a t a t ∈++，根据题意可得log (),log ()22m n a a m na t a t =+=+， 所以,m n 是方程222()0xxa a t -+=的两个不等的实数根，所以有140t ∆=->，结合t 为正实数，即有104t <<，故选B. 【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，信息提供型题目，注意对题意的准确理解上.侧重考查数学建模的核心素养.12.已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与双曲线222:19y C x -=有公共焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（ ） A. 2878a =B. 212a =C. 298b =D. 21b =【答案】C 【解析】 【分析】结合椭圆和双曲线有公共的焦点可得2210a b -=，再利用1C 恰好将线段AB 三等分，可求得22,a b .【详解】因为椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线222:19y C x -=有公共焦点，所以2210a b -=；双曲线的一条渐近线为3y x =，设渐近线与椭圆的交点为C,D,如图，设(,3)C m m ，代入椭圆可得222291m m a b+=①因为1C 恰好将线段AB 三等分，所以3a OC =，即有22299a m m +=②联立①②可得22119010a b+=，结合2210a b -=可得298b =，故选C. 【点睛】本题主要考查圆、椭圆和双曲线的综合，寻求题目中的等量关系是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上.）13.若实数x ，y 满足条件10,10,330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则32z x y =-的最大值为__________．【答案】5. 【解析】 【分析】作出可行域和目标函数图象，找到最值点，代入目标函数，求出最大值. 【详解】作出可行域及0:320l x y -=如图，平移直线0l 可知在点A 处目标函数32z x y =-取到最大值，联立10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩可得(3,2)A ,代入可得max 5z =.【点睛】本题主要考查线性规划，求解线性规划问题时，准确作出可行域是求解关键，侧重考查直观想象的核心素养.14.在三棱锥D ABC -中，2AB AC AD ===2BC BD CD ===，则三棱锥D ABC -外接球的表面积为__________． 【答案】6π. 【解析】 【分析】根据所给数据可得垂直关系，结合模型可求外接球的表面积. 【详解】因为2AB AC AD ===，2BC BD CD ===；所以,,AD AC AD AB AB AC ⊥⊥⊥,所以三棱锥D ABC -的外接球就是以,,AD AC AB 分别为长宽高的长方体的外接球，故其对角线就是外接球的直径， 设外接球的半径为r ，则22226r AD AB AC =++=,即62r =，故外接球的面积为22644()62r πππ==. 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的表面积，借助长方体这个模型可以简化求解过程，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.15.在数列{}n a 中，满足11a =，24,2n a na =()()1111n n n a n a -+=-++（2n ≥且n N *∈），则__________．【答案】254. 【解析】 【分析】根据已知条件可得{}n na 为等差数列，借助等差数列的通项公式可得.【详解】因为()()11211n n n na n a n a -+=-++，所以{}n na 为等差数列，公差2127d a a =-=，首项为1，所以其通项公式为17(1)76n na n n =+-=-，所以8502584a ==. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，根据递推关系式得出等差数列是求解关键，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.16.已知函数()21ln 2f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若在区间()1,+∞上函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的图象的下方，则实数a 的取值范围是__________．【答案】11[,]22-.【解析】 【分析】先把图象位置关系转化为不等关系，即212()ln 02ax a x x --->，然后利用导数求解最值可得.【详解】设21()2()ln 2g x ax a x x =---，由题意可知，()0g x >在区间()1,+∞上恒成立；1(1)[(12)1]()2(21)x a x g x a a x x x--+=---'=，当120a -≥时，()1,x ∈+∞，()0g x '>，所以()g x 为增函数，所以有1(1)202g a a =-+≥，即1122a ≥≥-； 当120a -<时，总存在()0,x x ∈+∞，使得()0g x '<，即()g x 为减函数，不合题意； 综上可得11[,]22a ∈-.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数图象之间的位置关系，通常是转化为不等关系，求解最值，侧重考查数学建模的核心素养.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4AC =，1cos 3CAB ∠=.点D 的线段BC 上，且12BD CD =，AD =. （Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求ABD ∆面积.【答案】（Ⅰ）6.（Ⅱ）3.【解析】 【分析】（Ⅰ）在ABC ∆，,ACD ABD ∆∆中分别使用余弦定理可求AB 的长； （Ⅱ）先求ABC ∆的面积，利用ABD ∆与ABC ∆面积之间的关系可求 【详解】（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理得2221483a c c =+-⋅① 又在ACD ∆中，222264416cos 2a AD CD AC ADC AD CD +-+-∠==⋅在ABD ∆中，2222264cos 2a c AD BD AB ADB BD AD +-+-∠==⋅又ADB ADC π∠+∠=cos cos 0ADB ADC ∴∠+∠= ,即222403a c -+=②联立①②得，6c = , 即6AB =.（Ⅱ）1cos sin 33CAB CAB ∠=∴∠=Q1sin 2ABC S b c CAB V =⨯⨯⨯∠=133ABD ABC S S ∆∆==. 【点睛】本题主要考查利用余弦定理求解三角形的边长及三角形面积，侧重考查数学运算的核心素养.18.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形.（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（Ⅱ）若2AB FO BD ===，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=u u u v u u u v，三棱锥B AHC -的体积等于四棱锥D AOFE -体积的一半，求λ的值. 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）12. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先证明AO BD ⊥,AO FO ⊥,利用//EF AO 得到EF ⊥平面BDF ,从而得证结论； （Ⅱ）利用三棱锥B AHC -的体积等于四棱锥D AOFE -体积的一半，建立等量关系，从而求得λ的值.【详解】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AO BD ⊥． ∵FO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， ∴AO FO ⊥．又四边形OAEF 为平行四边形， ∴//EF AO ，∴EF BD ⊥，EF FO ⊥，∵BD FO O ⋂=，∴EF ⊥平面BDF ． ∵EF ⊂平面DEF ， ∴平面DEF ⊥平面BDF ．（Ⅱ）∵2AB FO BD ===，四边形ABCD菱形，∴ABD ∆为等边三角形，且3AO =1DO BO ==．∵,,BD AC BD FO AC FO O ⊥⊥⋂=,∴BD ⊥平面OAEF ， ∴四棱锥D AOFE -的体积为1123(32)133D AOFE AOFE V S DO -=⋅⋅=⨯⨯⨯=． ∵FO ⊥平面ABCD ，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=u u u v u u u v， 所以点H 到平面ABCD 的距离(1)2(1)h FO λλ=-=-．所以11123(1)322sin1202(1)33233B AHC H ABC ABC V V S h λλ︒---⎛⎫==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯-==⎪⎝⎭，解得12λ=. 【点睛】本题主要考查空间中面面垂直关系的证明及几何体的体积问题，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.19.某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量()1,2,,10i y i =L 的数据，得到散点图如图所示：（Ⅰ）利用散点图判断，y a bx =+和dy c x =⋅（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）； （Ⅱ）对数据作出如下处理：令ln i u x =，ln i y υ=，得到相关统计量的值如下表：根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中 2.71828e =L ），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u u u υυυL ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆnniii i i i nniii i u u u nu u u unuυυυυβ====---==--∑∑∑∑，ˆˆˆu αυβ=- 【答案】（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型y c x α=⋅更适合； （Ⅱ）13y e x =⋅；（Ⅲ）要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据散点图的特点可知，相关关系更接近于幂函数类型； （Ⅱ）根据所给数据，代入公式求得回归直线的方程；（Ⅲ）先求出年利润的表达式，结合不等式特点利用导数可得最值. 【详解】（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型dy c x =⋅更适合．（Ⅱ）对dy c x =⋅两边取对数，得ln ln ln y c d x =+，即ln v c du =+ 由表中数据得： 1.5u v ==，∴()()()1122221130.510 1.5 1.5146.510 1.53ˆn niii i i i nni ii i u u v v u v nuvdu u unu ====----⨯⨯====-⨯--∑∑∑∑，∴1ln 1.5 1.51,3ˆc v duc e =-=-⨯=∴=，∴年研发费用x 与年销售量y 的回归方程为13y e x =⋅. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，13()27z x x x =-， ∴23()91z x x -='-， 令23()910z x x--'==，得27x =，且当(0,27)x ∈时，()0z x '>,()z x 单调递增； 当(27,)x ∈+∞时，()0z x '<,()z x 单调递减．所以当27x =千万元时，年利润z 取得最大值，且最大值为(27)54z =千万元. 答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.【点睛】本题主要考查非线性回归方程的求解及决策判断，非线性回归方程一般是转化为线性回归方程求解，侧重考查数学建模和数据分析的核心素养.20.已知抛物线()220y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点()2,M m -在抛物线上，且52MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k . （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标. 【答案】（Ⅰ）22y x =-； （Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据52MF =及抛物线定义可求p ，从而得到方程； （Ⅱ）设出直线方程，与抛物线方程相联立，写出韦达定理，结合122k k +=-可得,k b 关系，从而得到定点坐标.【详解】（Ⅰ）由抛物线的定义可以5(2)22p MF =--=，1p ∴=,抛物线的方程为22y x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点M 的坐标为(2,2)- 当直线l 斜率不存在时，此时,A B 重合，舍去. 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+ 设()()1122,,,A x y B x y ，将直线l 与抛物线联立得：2222(22)02y kx b k x kb x b y x=+⎧+++=⎨=-⎩ 212122222,kb b x x x x k k--+==① 又12121222222y y k k x x --+=+=-++， 即()()()()()()1221122222222kx b x kx b x x x +-+++-+=-++，()()()()12121212121222248248kx x k x x b x x x x b x x x x ++++-++-=--+-， ()1212(2+2)(2+2)40k x x k b x x b ++++=，将①代入得，222(1)0b b k b ---+= 即(1)(22)0b b k +--= 得1b =-或22b k =+当1b =-时，直线l 为1y kx =-，此时直线恒过(0,1)-;当22b k =+时，直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++，此时直线恒过(2,2)-（舍去） 所以直线l 恒过定点(0,1)-.【点睛】本题主要考查抛物线的定义及直线和抛物线的综合问题，直线过定点一般是寻求,k b 之间的关系式.侧重考查数学运算的核心素养.21.设函数()xf x ae x =-，()lng x b x =.（Ⅰ）设()()()h x f x g x =+，函数()h x 在()()1,1h 处切线方程为21y x =-，求a ，b 的值；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，当0x >时，()()10x k f x x '-++>成立，求k 的最大值. 【答案】（Ⅰ）2,1a b e==； （Ⅱ）2. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先求()h x 的导数，结合导数的几何意义，可求,a b ；（Ⅱ）分离参数，构造新函数，利用导数求解新函数的最值，可得k 的最大值. 【详解】（Ⅰ）()()()ln xh x f x g x ae b x x =+=+-，()1x bh x ae x +'=-，由题意可知(1)112,1(1)12h ae a b h ae b e =-=⎧∴===='⎨+-⎩. （Ⅱ）当0x >时，()()10x k f x x ++'->等价于11x x k x e +<+- 设1()1xx F x x e +=+- ，()()22()1x x xe e x F x e--=-' ，令()2xR x e x =--,()1xR x e =-';当0x >时，()0R x '>恒成立.∴()R x 在(0,)+∞上单调递增 ， 又(1)0,(2)0R R ,∴()R x 在(0,)+∞上有唯一零点0x ，且0(1,2)x ∈，0020xe x --=， ∴()F x 单减区间为0(0,)x ，单增区间为0(,)x +∞， ∴()F x 在(0,)+∞的最小值为()0000011(2,3)1x x F x x x e +=+=+∈- ()0max ,2k F x k ∴<∴=.【点睛】本题主要考查导数的几何意义和利用导数求解函数的最值问题，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.22.在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为2,1x ty t=--⎧⎨=+⎩（t为参数），曲线1:C y=以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4πρα⎛⎫=-⎪⎝⎭.（Ⅰ）若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，点P在1C上，求BA BP⋅u u u v u u u v的取值范围；（Ⅱ）若直线l与2C交于M，N两点，点Q的直角坐标为()2,1-，求QM QN-的值. 【答案】（Ⅰ）1]；.【解析】【分析】（Ⅰ）利用参数方程表示出目标式BA BP⋅u u u v u u u v，结合三角函数知识求解；（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线2C，结合参数的几何意义可求.【详解】（Ⅰ）由题意可知：直线l的普通方程为10,(1,0),(0,1)x y A B++=∴--.1C的方程可化为221(0)x y y+=≥，设点P的坐标为(cos,sin),0θθθπ≤≤，cos sin111]4BA BPπθθθ⎛⎫∴⋅=-++=-+∈⎪⎝⎭u u u v u u u v.（Ⅱ）曲线2C的直角坐标方程为：22(2)(2)8x y++-=.直线l的标准参数方程为2212x my m⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（m为参数），代入2C得：270m-=设,M N两点对应的参数分别为12,m m121270m m m m+==-< ,故12,m m异号12QM QN m m∴-=+=‖‖【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标之间的转化及参数方程的应用，利用参数的几何意义能简化计算过程，达到事半功倍的效果.23.已知函数()12f x x a x =+++. （Ⅰ）求1a =时，()3f x ≤的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值. 【答案】（Ⅰ）[3,0]-； （Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）把1a =代入，利用分类讨论的方法去掉绝对值求解；（Ⅱ）利用零点分段讨论法去掉绝对值，然后根据函数单调性求解最值情况.【详解】（Ⅰ）当1a =时，232()12121231x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+≥-⎩∵()3f x ≤当2x -≤时()233f x x =--≤解得32x -≤≤- 当21x -<<-时()13f x =≤恒成立当1x -≥时()233f x x =+≤解得10x -≤≤ 综上可得解集[3,0]-.（Ⅱ）(1)212()12(1)2121(1)211a x a x f x x a x a x a x a x a x -+--≤-⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++≥-⎩当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值； 当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-；当(1)0a -+<且10a -≤，即11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= 当(1)0a -+<且10a ->，即1a >时， min ()(2)1f x f =-=综上：当1a <-时，()f x 无最小值；当1a =-时，()f x 有最小值1-；当11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= ；当1a >时， min ()(2)1f x f =-=；【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法，零点分段讨论法是常用方法，侧重考查数学运算的核心素养.。
【精准解析】河南省郑州市2020届高三第三次质量预测数学(文)试题
2020年高中毕业年级第三次质量预测文科数学试题卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{1,2,4,8},{|log ,},A y y x x B A =∈==则A B =（ ）A. {1，2}B. {1,2,4}C. {2,4,8}D.{1,2,4,8}【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，将1,2,4,8x =分别代入函数2log y x =中，求出的值组成的集合就是集合B ，然后再求集合A 和集合B 的公共元素可得结果.【详解】解：因为2{1,2,4,8},{|log ,},A y y x x B A =∈== 所以22221,2,4,{log log log log }{0,1,,382}B ==， 所以A B ={1，2}故选：A【点睛】此题考查了对数的运算，集合的交集运算，属于基础题. 2.若复数z 满足()212,i z i -=+则复数z 的虚部是（ ） A. i B. -iC. 1D. -1【答案】C 【解析】 【分析】根据复数z 满足()212,i z i -=+得到122iz i+=-，再利用复数的乘除法求解. 【详解】因为复数z 满足()212,i z i -=+ 所以()()()()1221252225i i i iz i i i i +++====--+， 所以复数z 的虚部是1.【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.函数()22xy x x R =-∈的部分图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由奇偶性排除,B D ，由特殊点排除A ，从而可得结果.【详解】因为()()2222?xxf x x x f x --=--=-=（），所以()y f x =是偶函数，图象关于y 轴对称， 可排除选项,B D ；取0x =，则1y =-，可排除A ，故选C.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.4.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 3sin cos a B c b A =-，则角B 等于（ ） A.6πB.4π C.3π D.12π【解析】 【分析】根据正弦定理边化角,再利用三角形中()sin sin C A B =+以及三角恒等变换求解即可.【详解】由正弦定理有sin sin sin cos A B C B A=-,又()()sin sin sin C A B A B π=--=+,故()sin sin sin cos sin cos A B A B B A A B=+-=,因为sin 0A ≠,故cos B B =,即tan 3B =,又()0,B π∈,故6B π=.故选：A【点睛】本题主要考查了解三角形中正弦定理边角互化以及三角恒等变换化简的方法.属于基础题.5.两个非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则向量b 与a b -夹角为（ ） A. 56π B.6π C.23π D.3π 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件计算得到0a b ⋅=，3b a =，再利用夹角公式计算得到答案.【详解】()()22||||=0a b a b a ba b a b +=-∴+-∴⋅=()2222||2||243a b a a ba b a b a b a +=∴+=++⋅=∴=()25cos 2cos cos 6b a b b b a b b a θθθθπ⋅-=-=⋅-=⋅∴== 故选：A【点睛】本题考查了向量的夹角，意在考查学生的计算能力，也可以建立直角坐标系求解. 6.下列说法正确的是（ ）A. 命题p 、q 都是假命题，则命题“p q ⌝∧”为真命题B. 将函数sin 2y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到sin 4y x =C. R ϕ∀∈，函数()sin 2y x ϕ=+都不是奇函数D. 函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于直线512x π=对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合命题的真假可判断A 选项的正误；利用三角函数图象变换可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用正弦函数的对称性可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若命题p 、q 都是假命题，则命题“p q ⌝∧”为假命题，A 选项错误； 对于B 选项，将函数sin 2y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到sin y x =，B 选项错误；对于C 选项，取2ϕπ=，则()()sin 2sin 22sin 2y x x x ϕπ=+=+=为奇函数，C 选项错误； 对于D 选项，()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，55sin 2sin 1121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于直线512x π=对称，D 选项正确. 故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及复合命题、全称命题真假，同时也考查三角函数图象变换以及正弦型函数对称性的判断，考查推理能力，属于中等题.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）6π B. 86π C. 3 D. 646π【答案】B【解析】 【分析】根据三视图得到三棱锥是从长为4，宽为2，高为2的长方体中截取而来，其外接球即为长方体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线的长.【详解】由三视图可知，该几何体从长为4，宽为2，高为2的长方体中截取的三棱锥P ABC -，如图所示：所以其外接球即为长方体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线的长：222242226R ++=，所以6R =所以该三棱锥的外接球的体积为34863V R ππ==， 故选：B【点睛】本题主要考查长方体和三棱锥的三视图以及外接球的体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题.8.已知直线(),0y kx m k =+<与抛物线2:8C y x =及其准线分别交于A ,B 两点,F 为抛物线的焦点,若2,FA AB =则m 等于（ ） 3 B. 3 C. 22 D. 26【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知直线:l y kx m =+过抛物线的焦点,得2m k =-,过A 做AM ⊥准线2x =- ,垂足为M ,由MAB ∠与直线l 倾斜角相等,根据抛物线的定义即可求得tan MAB ∠,即可求得k 的值,进而得m .【详解】抛物线2:8C y x =的焦点()2,0F ,因为2,FA AB =所以直线:l y kx m =+过抛物线的焦点,所以02k m =+,即2m k =-,过A 做AM ⊥准线2x =- ,垂足为M ,由抛物线的定义,AM AF =,由MAB ∠与直线l 倾斜角相等且2,FA AB =则1cos 2AM MAB AB ∠== ,则tan 1MAB ∠==因为k 0<∴直线l 的斜率k =即m =故选：B ．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的定义和同角三角函数的关系,属于中档题．9.若函数()()2,0132,0x e x a x f x a x a x ⎧-+>⎪=⎨-+-≤⎪⎩在()∞∞-,+上是单调函数，则a 的取值范围是（ ） A. [)1,+∞ B. (]1,3C. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (]1,2 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数可知函数()y f x =在区间()0,∞+上为增函数，由此可知该函数在区间(],0-∞上也为增函数，且有0322a e a -≤+，进而可得出关于a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】()()2,0132,0x e x a x f x a x a x ⎧-+>⎪=⎨---≤⎪⎩，当0x >时，()10xf e x ='->，所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上为增函数，由于该函数在()∞∞-,+上是单调函数，则该函数在()∞∞-,+上为增函数，所以010322a a e a ->⎧⎨-≤+⎩，解得13a . 因此，实数a 的取值范围是(]1,3. 故选：B.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了导数的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 10.将函数()cos(2)f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位长度可得函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于原点对称，则||ϕ的最小值为（ ）A . 6π B.3π C.23π D.56π 【答案】A 【解析】 【分析】求出平移后函数解析式，由图象关于原点对称，即函数为奇函数，结合诱导公式可得ϕ，从而得出结论．【详解】平移后解析式为()cos[2()]cos(2)63g x x x ππϕϕ=-+=-+，其图象关于原点对称，则,32k k Z ππϕπ-=+∈，56k πϕπ=+，k Z ∈，易知ϕ最小时6πϕ=-．故选A ． 【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换，考查函数的奇偶性，掌握诱导公式是解题关键．平移变换时要注意平移单位是对自变量x 而言．11.设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，ln ()()x x f x f x '⋅<-，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A. (1,0)(0,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (1,0)(1,)D. (,1)(0,1)-∞-【答案】D 【解析】 【分析】由题得(ln ())0,xf x '<构造函数()ln ()g x xf x =（x ＞0），求出函数的单调性，分析出函数f(x)的取值情况，再解不等式2(1)()0x f x ->得解. 【详解】由题得11ln ()(),ln ()()0x f x f x x f x f x x x⋅<-∴+'⋅<'， 所以(ln ())0,xf x '< 设()ln ()g x xf x =（x ＞0）所以函数g(x)在（0，+∞）上单调递减. 因为g(1)=ln1f(1)=0,所以在（0,1）上g(x)＞0，因为此时lnx ＜0，所以f(x)＜0， 因为在（1，+∞）上g(x)＜0，因为此时lnx ＞0，所以f(x)＜0. 所以函数f(x)在（0,1）和（1，+∞）上，f(x)＜0. 因为f(x)是奇函数，所以函数f(x)在区间（-1,0）和（-∞，-1）上，f(x)＞0.所以2(1)()0x f x ->等价于221010,101()0()0x x x x f x f x ⎧⎧->-<∴<-<<⎨⎨><⎩⎩或或. 故选D【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性的应用，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,,F F 过F 2的直线与双曲线左、右两支分别交于点A ，B ，若1ABF ∆为等边三角形，则双曲线E 的渐近线方程为（ ）A. y =B. y =C. y =±D.,y =±【答案】B 【解析】 【分析】首先根据双曲线的定义得到22BF a =，114AB AF BF a ===，进而得到226AF AB BF a =+=，再利用余弦定理得到227c a =，再求渐近线方程即可.【详解】如图，1ABF ∆为等边三角形，60A ︒∴∠=，∴设11AB AF BF ==，则21212=a AF AF AB BF AF -=+-2BF =，又由122BF BF a -=，得114BF a AB AF ===，226AF AB BF a =+=， 在12AF F ∆中，利用余弦定理，2221212122cos AF AF A AF AF F F ⋅⋅⋅=+-，则有 222246cos6016364a a a a c ︒⋅⋅⋅=+-，化简得227c a =，则222222271c a b b a a a+===+，得 226b a=，所以，双曲线E 的渐近线方程为6y x = 故答案选：B【点睛】本题主要考查双曲线渐近线的求法，根据题意找到,,a b c 的关系式为解题的关键，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知x ，y 满足约束条件40,201x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，则3z x y =+的最大值为__________【答案】8 【解析】 分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线，即可求出z 的最大值.【详解】作出不等式组40201x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的可行域，如图中阴影部分所示，因3+z x y=，所以3y x z=-+，显然直线过40x y-+=与1x=的交点时，z最大，401x yx-+=⎧⎨=⎩，解得15xy=⎧⎨=⎩，此时3358z x y=+=+=，所以，3z x y=+的最大值为8.故答案为：8.【点睛】本题主要考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属基础题.求目标图数最值的一般步骤：一画、二移、三求.（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则m+n=___________【答案】11【解析】 【分析】根据平均数公式分别计算得到,m n 的值，再求和.【详解】甲组的平均数11718202220205mx +++++==，解得：3m =乙组的平均数21019202122205n x +++++==，解得：8n =， 所以11+=m n . 故答案为：11【点睛】本题考查根据茎叶图中数据的平均数补全茎叶图，属于基础题型，本题重点考查平均数公式.15.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为,,,a b c sin 2,32sin sin 2b CC a b A C ππ<<=--,2,a =则sin B =则b =______．【解析】 【分析】结合正弦定理化简sin 2sin sin 2b C a b A C =--可知sin sin 2B C =,进而根据32C ππ<<可知2B C π+=,进而得到A C =,再结合余弦定理求解b 即可.【详解】因为sin 2sin sin 2b Ca b A C=--,故sin sin 2sin 2a b A C b C --=,故sin sin 2a A b C =,由正弦定理得sin sin sin sin 2A AB C=,故sin sin 2B C =. 又因为2323C C ππππ<<⇒<<,故()sin sin 2B C π-= ,所以2B C A C π-==+,即C A =.故2c a ==.故222222cos 222226b a c ac B =+-=+-⨯⨯=.故b =.【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用,需要根据题意边角互化,并根据所给条件确定合适的正余弦定理.属于中档题.16.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知13a =对任意的正整数n 满足()()11cos 2213,n n n n n n S S n a a a π++-=+-+则19a =______．【答案】3.17- 【解析】 【分析】根据数列通项与前n 项和的关系可得()()1cos 211213n n n n a a π+--=--,再累加求和即可. 【详解】由()()11cos 2213,n n n n n n S S n a a a π++-=+-+得()()11cos 2213n n n n n a a n a a π++--=-.又因为13a =,故0n a ≠.故()()1cos 211213n n n n a a π+--=--. 故()21cos 113a a π--=-,3211cos 033a a -=-⨯…，191811cos16353a a π-=-⨯. 累加可得1911113573529 (6333333)a a -⨯-=-+-+-==-. 故191117633a =-+=-,故193.17a -= 故答案为：3.17-【点睛】本题主要考查了数列通项与前n 项和的关系,同时也考查了累加求和以及余弦函数的周期性.属于中档题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17.已知数列{}n a 是首项14114256a a ==，的等比数列，设()*423log .n n b a n =∈--N （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）32n b n =-；（Ⅱ）31n nS n =+． 【解析】 【分析】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意求出q 的值，利用等比数列的通项公式可求得n a ，再利用对数的运算性质可求得数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求出数列{}n c 的通项公式，然后利用裂项求和法可求得n S .【详解】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则341164a q a ==，可得14q =，1114nn n a a q -⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，423log 32n n b a n ∴=--=-；（Ⅱ）由（Ⅰ），得()()111111323133231n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， 因此，11111111113447323133131n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.18.2019年郑开国际马拉松比赛，于2019年3月31日在郑州、开封举行．某学校本着“我运动，我快乐，我锻炼，我提高”精神，积极组织学生参加比赛及相关活动，为了了解学生的参与情况，从全校学生中随机抽取了150名学生，对是否参与的情况进行了问卷调查，统计数据如下：（1）根据上表说明，能否有97.5%的把握认为参与马拉松赛事与性别有关?（2）现从参与问卷调查且参与赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人参加2019年马拉松比赛志愿者宣传活动，①求男、女学生各选取多少人；②若从这8人中随机选取2人到校广播站开展2019年赛事宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．附：参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++【答案】（1）有97.5％的把握认为参与马拉松赛事与性别有关；（2）①男生选6人，女生选2人；②15 28.【解析】【分析】（1）利用22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++计算结果，通过比较即可判断能否有97.5%的把握认为参与马拉松赛事与性别有关；（2）①根据分层抽样方法可得，选取的8人中，男生和女生人数；②通过列举，可得出8人中选取两人共有28种情况，而选到2男的共15种情况，利用古典概型概率的求法即可求出结果.【详解】（1）因为22150(30604020)5.357 5.024100508070K⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有97.5％的把握认为参与马拉松赛事与性别有关．（2）①根据分层抽样方法得，男生3864⨯=人，女生2人，所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人．②设抽取的6名男生分别为,,,,,A B C D E F，2名女生为,a b；从中抽取两人，分别记为(),A B ，(,),(,),(,),(,)A C A D A E A F ,(,),(,)A a A b ,(),B C ，(,),(,),(,)B D B E B F ,(,),(,)B a B b ,(,),(,),(,),(,),(,)C D C E C F C a C b ,(,),(,)D E D F ,(,),(,)D a D b ,(,),(,),(,)E F E a E b ,(,),(,),(,)F a F b a b 共28种情况，其中抽取到2名男生的共15种情况， 所以，恰好选到2名男生的概率1528p =． 【点睛】本题考查独立性检验思想的应用，分层抽样的应用以及古典概型概率的求法，属中档题.19.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，120BCD ︒∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，22PB =， 2.AB AC PA ===（1）求证：BD ⊥平面PAC（2）过AC 的平面交PD 于点M ，若——12P AC PAC D M V V =，求三棱锥P AMB -的体积． 【答案】（1）见解析；（23 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可以证出PA AB ⊥，利用平面与平面垂直的性质可以证出PA ⊥面ABCD ，再通过直线与平面垂直的性质可证PA BD ⊥，通过平面几何知识可证得BD AC ⊥，最后利用直线与平面垂直的判定可证明BD ⊥面PAC ；（2）利用等体积法，将P AMB V -转化成M PAB V -，然后再转化成求三棱锥D APB -的体积，即可得出答案.【详解】（1）证明：由题意222PA AB PB +=，所以90BAP ︒∠=，则PA AB ⊥，又侧面PAB ⊥底面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，PA ⊂面PAB ， 则PA ⊥面ABCD ．BD ⊂面ABCD ，则PA BD ⊥，又因120BCD ∠=，ABCD 为平行四边形，则60ABC ∠=，又AB AC =，则ABC ∆为等边三角形，则ABCD 为菱形，则BD AC ⊥． 又PAAC A =，则BD ⊥面PAC ．（2）由12M PAC P ACD V V --=，则M 为PB 中点，由2AB AC ==，120BCD ︒∠=，得BD =因此12P AMB M PAB D PAB V V V ---==11122233P ABD V -==⨯= 【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质，线面垂直的证明，利用等体积法转化求三棱锥体积，属中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，圆2123:C x y +=，圆2C ：224x y +=，椭圆C与圆C 1、圆C 2均相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与圆C 1相切同时与椭圆C 交于A 、B 两点，求|AB |的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2． 【解析】 【分析】（1）由椭圆C 与圆C 1、圆C 2均相切，可得出椭圆的,a b 与圆C 1、圆C 2半径的关系，进而求出椭圆C 的方程；（2）假设直线l 方程，由直线方程与椭圆C 方程联立，计算出弦长|AB |，根据直线与圆相切需满足的条件进一步求出|AB |的最大值.【详解】（1）由题易知1C 的半径1r =2C 圆的半径22r =．又椭圆与12C C 、同时相切，则212a rb r ==⎧⎪⎨==⎪⎩则椭圆C 的方程：22143x y +=．（2）①当l 斜率为0时，l 与椭圆C 相切，不符合题意． ②当l 斜率不为0时，设l ：x my n =+， 原点到l的距离1d r ===2233n m =+.由22,1,43x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()2223463120m y mny n +++-=，设()()1122,A x y B x y ，，，由韦达定理得： 122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -=+，AB ==可得1AB ==，令t =1t ≥，()g t =3t +1t 在)1+⎡∞⎣，上单调递增， 则1t =，即0m =时，max AB =．【点睛】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，属较难题. 21.设函数()()2R ln 21,f x x x m x m =+-∈-．（1）当m =6时，求函数()f x 的极值;（2）若关于x 的方程()22f x x =在区间[1，4]上有两个实数解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）极小值3-，极大值9ln 48--；（2）ln 211,12e ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭． 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域以及导函数，根据单调性求解出函数的极值； （2）关于x 的方程()22f x x =可化简为ln 1xm x=+，问题转化为直线y m =与函数()ln 1xg x x=+有两个交点，通过研究函数()g x 的图像即可得到答案. 【详解】（1）依题意知()f x 的定义域为()0+∞，， 当6m =时，2()ln 25f x x x x =+-，∴1(41)(1)()45x x f x x x x--=+-='， 令()0f x =，解得1x =或14.则当104x <<或1x >，()0f x '>，()f x 单调递增；当114x <<，()0f x '<，()f x 单调递减． ∴所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，且极小值为(1)3f =-， 当14x =时，函数()f x 取得极大值，且极大值为19()ln 448f =--．（2）由2()2f x x =，可得ln (1)x m x =-， 又0x >，所以ln 1x m x =-，即ln 1xm x=+． 令()()ln 10xg x x x =+>，则()21ln x g x x-'=， 由()0g x '≥，得1x e ≤≤；由()0g x '≤，得4e x ≤≤， ∴ ()g x 在区间[]1,e 上是增函数，在区间[,4]e 上是减函数． ∴当x e =时函数()g x 有最大值，且最大值为()11g e e=+， 又(1)1g =，ln 2(4)12g =+，∴ 当ln 21112m e+≤<+时，方程在区间[1,4]上有两个实数解． 即实数m 的取值范围为ln 211,12e ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求极值，考查方程解的个数问题，属于较难题．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为C 1:1cos ,sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为(1，0)，曲线22:C ρ=2212.3cos 4sin θθ+ （Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程;（Ⅱ）若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点求|PA |+|PB |的取值范围【答案】（Ⅰ）sin cos sin 0x y θθθ--=，22143x y +=； （Ⅱ）[]3,4.【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程和极坐标方程公式化简得到答案.（Ⅱ）将直线参数方程代入椭圆方程得到根与系数关系，再根据12PA PB t t +=-，代入数据根据三角函数有界性得到范围.【详解】（Ⅰ）1cos ,sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩，消去t 得到曲线1C 的普通方程为：sin cos sin 0x y θθθ--=， 222123cos 4sin ρθθ=+，()2223cos 412sin θθρ=+，即223412x y +=， 即曲线2C 的普通方程为：22143x y +=.（Ⅱ）将11cos :sin x t C y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入2C ：22143x y +=，化简整理得：()22sin 36cos 90t t θθ++-=，设A B 、两点对应的参数分别为12t t 、，则()22363631440cos sin θθ∆=++=>恒成立，1212226cos 9,sin 3sin 3t t t t θθθ--+==++，1212212sin 3PA PB t t t t θ∴+=+=-==+ ，[]2sin 0,1θ∈ []3,4PA PB ∴+∈.【点睛】本题考查看了直线的参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用韦达定理求根与系数关系是解题的关键. 23.已知函数()|1||21|f x mx x =++-，m R ∈. （Ⅰ）当3m =时，求不等式()4f x >的解集； （Ⅱ）若02m <<且对任意x ∈R ，3()2f x m≥恒成立，求m 的最小值. 【答案】（Ⅰ）44(,)(,)55-∞-⋃+∞；（Ⅱ）1. 【解析】 【分析】（Ⅰ）通过讨论x 的范围，得到各个区间上的x 的范围，取并集即可； （Ⅱ）3()2f x m ≥恒成立等价于3()2min f x m≥恒成立，根据绝对值的意义将函数()f x 表示成分段函数进而求得()min f x ，再解关于m 的不等式即可得解. 【详解】（Ⅰ）当3m =时，()3121f x x x =++-，原不等式()4f x >等价于1354x x ⎧<-⎪⎨⎪->⎩ 或113224x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+>⎩ 或1254x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩，解得：45x <-或无解或45x >， 所以，()4f x >的解集为44(,)(,)55-∞-⋃+∞； （Ⅱ）02m <<，112m ∴-<，20m +>，20m -<，则1(2),,11()121(2)2,,21(2),2m x x m f x mx x m x x m m x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩所以函数()f x 在1(,)m -∞-上单调递减，在11[,]2m -上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增， 所以当12x =时，()f x 取得最小值，1()()122min m f x f ==+， 因为对任意x ∈R ，3()2f x m≥恒成立， 所以3()122min m f x m =+≥， 又因为0m >，所以2230m m +-≥，解得m 1≥（3m ≤-不合题意）．所以m 的最小值为1．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，解题关键是正确去掉绝对值号，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.。
河南省郑州市2020届高三第三次质量预测考试数学试卷含答案
(一)必考题:共 60分
17.(本小题满分 12分)
的内角 A,B,C的对边分别为
(Ⅰ)求 A (Ⅱ)求b＋ac的取值范围 18.(本小题满 12分) 依法纳税是公民应尽的义务,随着经济的发展,个人收入的提高,自 2018年 10月 1 日起,个人所得税起征点和税率进行了调整,调整前后的计算方法如下表，2018年 12月 22日国务院又印发了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》(以下简称《办 法》),自 2019年 1月 1日起施行,该《办法》指出,个人所得税专项附加扣除,是指 个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租 金、赡养老人等 6项专项附加扣除。简单来说，2018年 10月 1日之前,“应纳税 所得额”=“税前收入”—“险金”—“基本减除费用(统一为 3500元)”—“依法扣除的其 他扣除费用”;自 2019年 1月 1日起,“应纳税所得额”=“税前收人”—“险金”—“基本 减除费用(统一为 5000元)”—“专项附加扣除费用”—“依法扣除的其他扣除费用。 调整前后个人所得税税率表如下:
∴AF⊥平面 BCF.……………5分
又∵AF 平面 ADF，∴平面 ADF 平面 BCF.………………………………6分 （Ⅱ）∵BC∥AD，AD 平面 ADF，∴BC∥平面 ADF.
∵
和
均为等腰直角三角形，且
90°，
∴∠FAB=∠ABE=45°，∴AF∥BE，又 AF 平面 ADF，∴BE∥平面 ADF，
(Ⅰ)当 m=3时,求不等式
的解集:
且对任意 x∈R,
恒成立,求 m 的最小值
一、选择题
DACAB CBDBA CD
二、填空题
13.11；
14.8；
答案
河南省实验中学2020届高三数学第三次模拟考试
河南省实验中学2020届高三第三次数学模考一、选择题（每题5分）1. 设全集U = {1，3，5，7}，M = {1，a －5}，∁U M = {5，7}，则实数a 的值为 A ．－2 B ．2 C ．－8 D ．8 2已知)(cos 3sin )(R x x x x f ∈+=，函数)(ϕ+=x f y 的图象关于直线0=x 对称，则ϕ的值可以是( ) A.2πB.3π C.4π D.6π 3．不等式log a x ＞sin2x(a ＞0且a ≠1)对任意x ∈(0，π4)都成立，则a 的取值范围为 A (0，π4) B (π4，1) C (π4，1)∪(1，π2) D [π4，1)4、（理）等比数列｛a n ｝满足()31lim 21=++⋯∞→nn a a a ，则1a 的取值范围是 ( ) A ．(一21，32) B ．(0，32) C ．(0，31) D ．(0，31)U(31，32) （文）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在[)5.64,5.56的学生人数是（ ） （A ）20 （B ）30 （C ）40 （D ）505、设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++L ，则01211a a a a ++++L 的值为（ ） Ａ．2Ｂ．1-Ｃ．2-Ｄ． 16、设f(x)是连续的偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f(2x)=f(14x x ++)的所有x 之和为A 、92-B 、 72- C 、－8 D 、87．在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010．若最长边为1，则最短边的长为 （ ）A ．455B ．355C ．255D ．558．（理）若a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则||2||2b a ab +的最大值为（ ）A.1552 B.42 C.55 D.22（文）设a >0，b >0，则以下不等式中不恒成立．．．．的是 （ ） A ．(a ＋b )(1 a ＋1b)≥4 B ．a 3＋b 3≥2ab 2C ． a 2＋b 2＋2≥2a ＋2bD ．|a －b | ≥ a － b9. 2020年5月12日14时28分04秒，8级强震猝然袭来，大地颤抖，山河移位，满目疮痍，无数个鲜活的生命瞬间撒手人寰。
2020年6月郑州市三测试文科数学试题答案
2020年郑州市高三三测数学文科试题评分参考一、选择题二、填空题13. 8 ； 14.11； 15.6； 16.3.17- 三、解答题 17．（1）由2561,4141==a a ，得41,641143=∴==q a a q ，所以n n a )41(=.……………2分 23)41(log 324-=--=n b n n .……………………………………5分由（1），得)131231(31)13)(23(111+--=+-==+n n n n b b c n n n ，………8分 S n =13(1−14+14−17+⋯+13n−2−13n+1)=13(1−13n+1)=n3n+1.12分18．（1）因为.024.5357.5708050100)20406030(150K 22>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=，……………2分 所以有97.5％的把握认为参与马拉松赛事与性别有关.……………3分 （2）（i ）根据分层抽样方法得，男生6438=⨯人，女生2人， 所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人.……………5分 （ii ）设抽取的6名男生分别为F E D C B A ,,,,,，2名女生为b a ,；从中抽取两人，分别记为(A,B)，),(),,(),,(),,(F A E A D A C A ,),(),,(b A a A ,(B,C),),(),,(),,(F B E B D B ,),(),,(b B a B ,),(),,(),,(),,(),,(b C a C F C E C D C ,),(),,(F D E D ,),(),,(b D a D ,),(),,(),,(b E a E F E ,),(),,(),,(b a b F a F 共28种情形，……………8分其中2男的共15种情形，……………10分 所以，所求概率2815=p .……………12分19．（1）证明：由题意222PB AB PA =+， 所以∠BAP =90°，则PA ⊥AB （……………2分又侧面PAB ⊥底面ABCD ，面PAB ∩面ABCD =AB ，PA ⊂面PAB （ 则PA ⊥面ABCD.……………4分BD ⊂面ABCD ，则PA ⊥BD,又因为∠BCD =120∘，ABCD 为平行四边形， 则∠ABC =60∘，又AB =AC ，则ΔABC 为等边三角形，则ABCD 为菱形，则BD ⊥AC. 又PA ∩AC =A ，则BD ⊥面PAC.……………6分 （2）由ACD P PAC M V V --=21，则M`为PB 中点， 由AB =AC =2，∠BCD =120°，得BD =2√3.……………8分 由(I )知，,21PAB D PAB M AMB P V V V ---==……………10分11122233P ABD V -==⨯=……………12分 20.⑴由题易知C 1的半径r 1=√3，C 2圆的半径r 2=2.……………2分又∵椭圆与C 1、C 2同时相切，则212,a r b r ==⎧⎪⎨==⎪⎩……………4分则C ：x 24+y 23=1.……………5分⑵①当l 斜率为0时，l 与椭圆C 相切，不符合题意.……………6分 ②l 斜率不为0时，设l ：x =my +n ， 原点到l 的距离d =√m 2+1=r 1=√3.则n 2=3m 2+3 (i )由22,1,43x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩……………7分可得：(3m 2+4)y 2+6mny +3n 2−12=0， 设A (x 1,y 1) B (x 2,y 2)，由求根公式得: y 1+y 2=−6mn3m 2+4，y 1y 2=3n 2−123m 2+4，|AB |=√m 2+1√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√m 2+1√48(3m 2−n 2+4)(3m 2+4)2，将(i )代入得|AB |=√m 2+14√33m +4=√3√2+1+12，……………9分令t =2+1则t ≥1，g (t )=3t +1t在[1，+∞)上单调递增，……………11分则t =1，即m =0时，|AB |max =√3.……………12分21.（1）依题意知f (x )的定义域为(0,+∞)，……………1分 当6=m 时，,52ln )(2x x x x f -+=（,)1)(14(541)(xx x x x x f --=-+='……………2分 令0)(=x f ，解得41,1==x x则当0<x <14或x >1时，f ′(x )>0,f (x )单调递增，……………3分当14<x <1时，f ′(x )<0，)(x f 单调递减．……………4分 （所以当1=x 时函数)(x f 取得极小值，且极小值为3)1(-=f ， 当41=x 时函数)(x f 取得极大值，且极大值为894ln )41(--=f ．…………5分 （2）由22)(x x f =，可得x m x )1(ln -=， 又x >0，所以lnx x=m −1，1ln +=∴xxm ．……………7分 令g (x )=1+lnx x(x >0)，则g ′(x )=1−lnx x 2，由g ′(x )≥0，得1≤x ≤e ；由g ′(x )≤0，得4≤≤x e ，……………8分 （ g (x )在区间[1,e]上是增函数，在区间]4,[e 上是减函数.（当x =e 时函数g (x )有最大值，且最大值为g (e )=1+1e ，……………9分又,22ln 1)4(g ,1)1(g +==……………10分 （ 当em 1122ln 1+<≤+时，方程在区间]4,1[上有两个实数解.……………11分 （实数m 的取值范围为em 1122ln 1+<≤+．……………12分 22.（（）曲线1C 的普通方程为：0sin cos sin =--θθθy x ,曲线2C 的普通方程为：13422=+y x ;………………………………………………5分 （（）将⎩⎨⎧θ=θ+=.sin t ,cos t 1:1y x C （t 为参数）代入2C ：13422=+y x 化简整理得：(sin 2θ+3)t 2+6tcosθ−9=0, 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则Δ=36cos 2θ+36(sin 2θ+3)=144>0恒成立， t 1+t 2=−6cosθsin 2θ+3,t 1t 2=−9sin 2θ+3，∴|PA |+|PB |=|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=12sin 2θ+3,∵sin 2θ∈[0,1] ∴|PA |+|PB |∈[3,4].……………………………………………10分 23.（1）当3=m 时，1213)(-++=x x x f ，原不等式4)(>x f 等价于⎪⎩⎪⎨⎧>--<4531x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤-422131x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>>4521x x （解得：54-<x 或无解或54>x （ 所以，4)(>x f 的解集为),54()54,(+∞--∞Y （………………………………………5分（2（02,02,211,20<->+<-∴<<m m m m Θ（则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+--<+-=-++=21,)2(,211,2)2(,1,)2(121)(x x m x m x m m x x m x mx x f所以函数)(x f 在)1,(m --∞上单调递减，在]21,1[m -上单调递减，在),21(+∞上单调递增． 所以当x =12时，f(x)取得最小值，21)21()(min m f x f +==（因为对任意m x f R x 23)(,≥∈恒成立，所以mm x f 2321)(min ≥+=.又因为0>m （所以0322≥-+m m （解得1≥m （3-≤m 不合题意）．所以m 的最小值为1．……………………………………………10分。
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）（解析版）
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{1，2，4，8}，B ＝{y|y ＝log 2x ，x ∈A}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2}B ．{0，1，2，3}C ．{1，2，3}D ．{0，3}2．已知复数z 满足（2﹣i ）z ＝1+2i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A ．1B ．﹣1C ．0D ．i3．函数y ＝x 2﹣2|x|（x ∈R ）的部分图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若√a sin B ＝c ﹣b cos A ，则角B 等于（）A ．6B ．??4C ．??3D ．??125．两个非零向量→，→满足|??→+??→|＝|??→-??→|＝2|??→|，则向量??→与??→-??→夹角为（）A ．56B ．6C ．23??D ．??36．下列说法正确的是（）A ．命题p ，q 都是假命题，则命题“￢p ∧q ”为真命题B ．将函数y ＝sin2x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到y ＝sin4xC ．?φ∈R ，函数y ＝sin （2x+φ）都不是奇函数D ．函数()=(????-3)的图象关于直线x =5??12对称7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．√??πB．8√??πC．32√??πD．64√??π8．已知直线y＝kx+m（k＜0）与抛物线C：y2＝8x及其准线分别交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若2→=→，则m等于（）A．√??B．2√??C．2√??D．2√??9．若函数f（x）={-??+，??＞??(??-??)??+-??，??≤??在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，3]C．[12，1）D．（1，2]10．若将函数f（x）＝cos（2x+φ）的图象向右平移6个单位长度，得到函数g（x）的图象，且g（x）的图象关于原点对称，则|φ|的最小值为（）A．6B．??3C．2??3D．5??611．设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，当x＞0时，xlnx?f'（x）＜﹣f（x），则使得（x2﹣1）f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）12．如图，已知双曲线C：22-??22=??(??＞??，??＞??)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与双曲线C左，右两支交于点B，A，若△ABF1为正三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±√??x B．y＝±√??x C．y＝±√33x D．y＝±√??x 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知x，y满足约束条件{-??+??≥????+≥??≤??，则z＝3x+y的最大值为．14．某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则m+n＝．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，3＜＜??2，????-??=2??-??????2??，a＝2，则sin B=√154，则b＝．16．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝3，对任意的正整数n满足S n+1＝S n+(??-2)??3（2n﹣1）a n a n+1+a n，则a19＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知数列{a n}是首项a1=14，a4=1256的等比数列，设b n＝﹣2﹣3log4a n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=1???+1，求数列{c n}的前n项和S n．18．2019年郑开国际马拉松比赛，于2019年3月31日在郑州、开封举行．某学校本着“我运动，我快乐，我锻炼，我提高”精神，积极组织学生参加比赛及相关活动，为了了解学生的参与情况，从全校学生中随机抽取了150名学生，对是否参与的情况进行了问卷调查，统计数据如表：会参与不会参与男生6040女生2030（I ）根据如表说明，能否有97.5%的把握认为参与马拉松赛事与性别有关？（Ⅱ）现从参与问卷调查且参与赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人参加2019年马拉松比赛志愿者宣传活动（i ）求男、女学生各选取多少人；（ii ）若从这8人中随机选取2人到校广播站开展2019年赛事宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．附：K 2=(-)2(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)，其中n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥k 0）0.100.050.0250.010.005k 02.7063.8415.0246.6357.87919．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，底面ABCD ＝120°，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PB ＝2√??，AB ＝AC ＝PA ＝2．（Ⅰ）求证：BD ⊥面PAC ；（Ⅱ）过AC 的平面交PD 于点M ，若V M ﹣PAC =12V P ﹣ACD ，求三棱锥P ﹣AMB 的体积．20．已知椭圆C ：22+??2??2=??(??＞??＞??)，圆C 1：x 2+y 2＝3，圆C 2：x 2+y 2＝4，椭圆C 与圆C 1、圆C 2均相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 1相切同时与椭圆C 交于A 、B 两点，求|AB |的最大值．21．设函数f（x）＝lnx+2x2﹣（m﹣1）x，m∈R．（I）当m＝6时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝2x2在区间[1，4]上有两个实数解，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为C1：{=??+，=（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为（1，0），曲线C2：ρ2=1232??+42??．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|PA|+|PB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|mx+1|+|2x﹣1|，m∈R．（Ⅰ）当m＝3时，求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）若0＜m＜2，且对任意x∈R，f（x）≥32??恒成立，求m的最小值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{1，2，4，8}，B＝{y|y＝log2x，x∈A}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{0，1，2，3}C．{1，2，3}D．{0，3}【分析】求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：A＝{1，2，4，8}，B＝{0，1，2，3}；∴A∩B＝{1，2}．故选：A．2．已知复数z满足（2﹣i）z＝1+2i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．1B．﹣1C．0D．i【分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（2﹣i）z＝1+2i，得=1+2??2-??=(1+2??)(2+??)(2-??)(2+??)=5??5=??．则z的虚部为1．故选：A．3．函数y＝x2﹣2|x|（x∈R）的部分图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先判断函数为偶函数，再根据函数值的特点即可判断【解答】解；显然原函数是偶函数，立即排除B，D．取x＝0，则y＝﹣1．排除A．故选：C．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若√??asinB＝c﹣bcosA，则角B等于（）A ．6B ．??4C ．??3D ．??12【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合sin A ≠0，可得tan B =√33，结合范围B ∈（0，π），可求B 的值．解：∵√??a sin B ＝c ﹣b cos A ，∴由正弦定理可得：√sin A sin B ＝sin C ﹣sin B cos A ，∴√sin A sinB+sin BcosA ＝sinC ，∵sinC ＝sin （A+B ）＝sin AcosB +cosA sinB ，∴√sin A sinB ＝sinA cosB ，∵sinA ≠0，∴√sin B ＝cosB ，可得tan B =√33，∵B ∈（0，π），∴B=6．故选：A ．5．两个非零向量→，→满足|??→+??→|＝|??→-??→|＝2|??→|，则向量??→与??→-??→夹角为（）A ．56B ．6C ．23??D ．??3【分析】由题意画出图象，数形结合，求得向量→与??→-??→夹角．解：∵两个非零向量→，→满足|??→+??→|＝|??→-??→|＝2|??→|，如图，设→=??→，→=??→，则→=??→+??→，→=??→-??→，则四边形OACB 为矩形BA ＝2OA ，OB =√??OA ．设向量→与??→-??→夹角为θ，则∠OBA ＝π﹣θ，∴cos （π﹣θ）==√32，∴π﹣θ=??6，θ=5??6，故选：A ．6．下列说法正确的是（）A ．命题p ，q 都是假命题，则命题“￢p ∧q ”为真命题B ．将函数y ＝sin2x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到y ＝sin4xC ．?φ∈R ，函数y ＝sin （2x+φ）都不是奇函数D ．函数()=(????-3)的图象关于直线x =5??12对称【分析】A ，因为p 是假命题，所以￢p 是真命题，但q 是假命题，根据复合命题中“∧”命题一假则假的原则，所以命题“￢p ∧q ”为假命题；B ，将函数y ＝sin2x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到y ＝sin x ；C ，举特例，当φ＝0时，函数y ＝sin2x ，是奇函数；D ，把x =5??12代入函数解析式中计算其结果是否为1或﹣1，由于??(5??12)=(??×5??12-3)=??2=??，所以其图象关于直线x =5??12对称．解：选项A ，因为p 是假命题，所以￢p 是真命题，但q 是假命题，所以命题“￢p ∧q ”为假命题，即A 错误；选项B ，将函数y ＝sin2x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到y ＝sinx ，即B 错误；选项C ，例如，当φ＝0时，函数y ＝sin2x ，是奇函数，即C 错误；选项D ，(5??12)=(??×5??12-??3)=??2=??，所以其图象关于直线x =5??12对称，即D 正确．故选：D ．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．√??πB．8√??πC．32√??πD．64√??π【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的外接球的体积．解：根据几何体的三视图转换为直观图如图所示：该几何体为三棱锥体A﹣BCD．所以几何体的外接球的半径设为r，则：（2r）2＝42+22+22，解得r=√??，所以V=43×??×(√??)=??√，故选：B．8．已知直线y＝kx+m（k＜0）与抛物线C：y2＝8x及其准线分别交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若2→=→，则m等于（）A．√??B．2√??C．2√??D．2√??【分析】因为2→=→，所以点A，B，F共线，即直线y＝kx+m经过抛物线y2＝8x的焦点F（2，0），得m＝﹣2k，联立{=-??=+??得B（﹣2，﹣4k），因为2→=→，所以{-??=-??-????=--????，解得A坐标，将点A的坐标代入抛物线方程解得k=-√??（k＜0），进而得出结论．解：因为2→=→，所以点A，B，F共线，所以直线y＝kx+m经过抛物线y2＝8x的焦点F（2，0），所以2k+m ＝0，m ＝﹣2k 因为抛物线的准线为x ＝﹣2，所以{=-??=+??得B （﹣2，﹣2k+m ），即B （﹣2，﹣4k ）因为2→=→，所以2（x A ﹣2，y A ）＝（﹣2﹣x A ，﹣4k ﹣y A ），所以{??-??=-??-????=--????，解得{??=23??=-4??3，将点A 的坐标代入抛物线方程得：（-4??3）2＝8×23，解得k =-√??（k ＜0），所以m ＝﹣2k ＝﹣2（-√??）＝2√．故选：B ．9．若函数f （x ）={-??+，??＞??(??-??)??+-??，??≤??在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则a 的取值范围是（）A ．[1，+∞）B ．（1，3]C ．[12，1）D ．（1，2]【分析】先利用导数与函数单调性的关系可知，当x ＞0时，f （x ）单调递增，于是f （x ）在R 上单调递增，还需要满足{-??＞??-??≤??+，解之即可得a 的取值范围．解：当x ＞0时，f （x ）＝e x ﹣x+2a ，∴f'（x ）＝e x ﹣1＞0在（0，+∞）上恒成立，即f（x ）在（0，+∞）上单调递增，又∵函数f （x ）在（﹣∞，+∞）上是单调函数，∴{-??＞??-??≤??+，解得1＜a ≤3．故选：B ．10．若将函数f （x ）＝cos （2x+φ）的图象向右平移6个单位长度，得到函数g （x ）的图象，且g （x ）的图象关于原点对称，则|φ|的最小值为（）A ．6B ．??3C ．2??3D ．5??6【分析】利用函数y ＝Asin （ωx+φ）的图象变换规律得到g （x ）的解析式，再利用三角函数的图象的对称性，求得|φ|的最小值．解：将函数f（x）＝cos（2x+φ）的图象向右平移6个单位长度，得到函数g（x）＝cos（2x-3+φ）的图象，∵g（x）的图象关于原点对称，∴-3+φ＝kπ+??2，k∈Z．令k＝﹣1，可得|φ|的最小值为6，故选：A．11．设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，当x＞0时，xlnx?f'（x）＜﹣f（x），则使得（x2﹣1）f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【分析】根据题意，设g（x）＝lnx?f（x）（x＞0），对g（x）求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得g（x）在（0，+∞）上为减函数，分析g（x）的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间（0，1）和（1，+∞）上，都有f（x）＜0，结合函数的奇偶性可得在区间（﹣1，0）和（﹣∞，﹣1）上，都有f（x）＞0，然后将不等式（x2﹣1）f（x）＜0变形转化可得关于x的不等式组，求解得答案．解：根据题意，设g（x）＝lnx?f（x）（x＞0），其导数g′（x）＝（lnx）′f（x）+lnxf′（x）=1f（x）+lnxf′（x），又由当x＞0时，f'（x）?xlnx+f（x）＜0，则有g′（x）=1f（x）+lnxf′（x）＜0，即函数g（x）在（0，+∞）上为减函数，又由g（1）＝ln1?f（1）＝0，则在区间（0，1）上，g（x）＝lnx?f（x）＞0，又由lnx＜0，则f（x）＜0，在区间（1，+∞）上，g（x）＝lnx?f（x）＜0，又由lnx＞0，则f（x）＜0，则f（x）在（0，1）和（1，+∞）上，f（x）＜0，又由f（x）为奇函数，则在区间（﹣1，0）和（﹣∞，﹣1）上，都有f（x）＞0，（x2﹣1）f（x）＜0?{-??＞??()＜??或{????-??＜????(??)＞??，解可得：x ＞1或﹣1＜x ＜0，则x 的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．故选：D ．12．如图，已知双曲线C ：22-??22=??(??＞??，??＞??)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与双曲线C 左，右两支交于点B ，A ，若△ABF 1为正三角形，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．y ＝±√xB ．y ＝±√??x C ．y ＝±√33xD ．y ＝±√??x 【分析】设AB ＝BF 1＝AF 1＝m ，利用双曲线定义，可得AF 2＝2a ，BF 2＝6a ，利用余弦定理可得c 2＝7a 2，进而得到a ，b 关系，可得渐近线方程．解：设AB ＝BF 1＝AF 1＝m ，根据双曲线的定义可知：BF 2﹣BF 1＝2a ，即m +AF 2﹣m ＝AF 2＝2a ，且AF 1﹣AF 2＝2a ，即m ﹣2a ＝2a ，所以m ＝4a ，则BF 2＝6a ，在△BF 1F 2中，cos ∠F 1BF 2=12+12-??1??22212=16??2+36??2-4??22?46??=12，整理得c 2＝7a 2，所以b 2＝c 2﹣a 2＝6a 2，则b =√??a ，所以渐近线方程为y ＝±√??x ，故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知x ，y 满足约束条件{-??+??≥????+≥??≤??，则z ＝3x +y 的最大值为8．【分析】画出满足条件的平面区域，由z ＝3x+y 得：y ＝﹣3x+z ，将直线y ＝﹣3x 向上平移，结合图象求出z 的最大值即可．解：画出满足条件的平面区域，如图示：由z＝3x+y得：y＝﹣3x+z，将直线y＝﹣3x向上平移，可知当直线经过点A（1，5）时，y＝﹣3x+z的截距取得最大值，z的最大值，z max＝3×1+5＝8，故答案为：8．14．某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则m+n＝11．【分析】根据茎叶图中的数据，利用平均数的定义，即可求出m、n的值．解：甲组工人在单位时间内加工的合格零件数的平均数为20，即??甲=15（17+18+20+m+20+22）＝20，解得m＝3；乙组工人在单位时间内加工的合格零件数的平均数为10，即??乙=15（10+n+19+20+21+22）＝20，解得n＝8．故m+n＝11；故答案为：11．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，3＜??＜??2，????-??=2??-??????2??，a＝2，则sin B=√154，则b＝√??．【分析】由正弦定理化简已知等式，结合sinA≠0，可得sin B＝sin2C，可得B＝2C，或B+2C＝π，由于若B＝2C，可得B+C＞π推出矛盾，可得B+2C＝π，根据三角形内角和定理可得A＝C，可求范围0＜B＜3，利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值，进而根据余弦定理可求b的值．解：∵-=2??-??????2??，∴bsinA﹣bsin2C＝asin2C﹣bsin2C，∴bsinA＝asin2C，由正弦定理可得：sin BsinA＝sinAsin2C，∵sinA≠0，∴sinB＝sin2C，∴可得B＝2C，或B+2C＝π，∵若B＝2C，由于3＜C＜2，可得2??3＜B＜π，可得B+C＞π（舍去），∴B+2C＝π，可得A＝C，可得：a＝c＝2，∵3＜C＜2，2??3＜A+C＜π，∴0＜B＜3，∴由sin B=√154，可得cos B=14，∴由余弦定理可得b=√??+????-=√??+??-??×??×??×14=√??．故答案为：√．16．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝3，对任意的正整数n满足S n+1＝S n+(??-2)??3（2n﹣1）a n a n+1+a n，则a19＝-317．【分析】根据递推关系式得到1-1????+1═(??-2)??3（2n﹣1）；再利用累加法即可求得结论．解：∵S n+1＝S n+(??-2)??3（2n﹣1）a n a n+1+a n，∴S n+1﹣S n=(??-2)??3（2n﹣1）a n a n+1+a n，∴a n+1=(??-2)??3（2n﹣1）a n a n+1+a n，∴a n+1﹣a n=(??-2)??3（2n﹣1）a n a n+1，∴1-1????+1═(??-2)??3（2n﹣1）；∴11-1??2=1×(-??)3=-13；1 2-1??3=3×3=33；1 3-1??4=5×3=-53；…1 18-1??19=35×16??3=353；∴11-1??19=-13+33-53+?+（-333）+353=-1+3-5+?+31-33+353=183；∴13-1??19=183?a19=-317；故答案为：-317．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知数列{a n}是首项a1=14，a4=1256的等比数列，设b n＝﹣2﹣3log4a n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=1???+1，求数列{c n}的前n项和S n．【分析】（1）利用已知条件推出数列的公比，然后求解数列的通项公式．（2）利用裂项消项法求解数列的和即可．解：（1）由=14，????=1256，得????=41=164，∴??=14，所以=(14).????=-??-??(14)??=-??．（2）由（1），得??=1??+1=1(3??-2)(3??+1)=13(13??-2-13??+1)，=13(??-14+14-17+?+13??-2-13??+1)=13(??-13??+1)=??3??+1．所以数列{c n}的前n项和S n=3??+1．18．2019年郑开国际马拉松比赛，于2019年3月31日在郑州、开封举行．某学校本着“我运动，我快乐，我锻炼，我提高”精神，积极组织学生参加比赛及相关活动，为了了解学生的参与情况，从全校学生中随机抽取了150名学生，对是否参与的情况进行了问卷调查，统计数据如表：会参与不会参与男生6040女生2030（I ）根据如表说明，能否有97.5%的把握认为参与马拉松赛事与性别有关？（Ⅱ）现从参与问卷调查且参与赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人参加2019年马拉松比赛志愿者宣传活动（i ）求男、女学生各选取多少人；（ii ）若从这8人中随机选取2人到校广播站开展2019年赛事宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．附：K 2=(-)2(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)，其中n ＝a+b+c+d ．P （K 2≥k 0）0.100.050.0250.010.005k 02.7063.8415.0246.6357.879【分析】（1）根据列联表计算观测值，对照临界值得出结论；（2）（i ）根据分层抽样法求得男生、女生抽取人数；（ii ）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．解：（1）因为=150(30×60-40×20)2100×50×80×70≈??.?＞??.?，所以有97.5%的把握认为参与马拉松赛事与性别有关；（2）（i ）根据分层抽样方法得，男生有×34=??（人），女生有2人，所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人；（ii ）设抽取的6名男生分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ；2名女生为a ，b ；从中抽取两人，分别记为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（A ，F ），（A ，a ），（A ，b ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（B ，F ），（B ，a ），（B ，b ），（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ），（C ，a ），（C ，b ），（D，E），（D，F），（D，a），（D，b），（E，F），（E，a），（E，b），（F，a），（F，b），（a，b）共28种情形；其中2男的共15种情形，所以所求的概率值为P=1528．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，底面ABCD＝120°，侧面PAB⊥底面ABCD，PB＝2√，AB＝AC＝PA＝2．（Ⅰ）求证：BD⊥面PAC；（Ⅱ）过AC的平面交PD于点M，若V M﹣PAC=12V P﹣ACD，求三棱锥P﹣AMB的体积．【分析】（Ⅰ）由题意，PA2+AB2＝PB2，得到PA⊥AB，再由平面与平面垂直的性质可得PA⊥面ABCD，从而得到PA⊥BD，结合已知条件证明ABCD为菱形，则BD⊥AC．由直线与平面垂直的判定可得BD⊥面PAC；（Ⅱ）由-=12????-，得M为PB中点，然后利用????-=????-=12????-=12-求解．【解答】（Ⅰ）证明：由题意，PA2+AB2＝PB2，∴∠BAP＝90°，则PA⊥AB，又侧面PAB⊥底面ABCD，面PAB∩面ABCD＝AB，PA?面PAB，∴PA⊥面ABCD．∵BD?面ABCD，则PA⊥BD，又∵∠BCD＝120°，ABCD为平行四边形，则∠ABC＝60°，又AB＝AC，则△ABC为等边三角形，可得ABCD为菱形，则BD⊥AC．又PA∩AC＝A，∴BD⊥面PAC；（Ⅱ）解：由-=12????-，得M 为PB 中点，由（Ⅰ）知，ABCD 为菱形，又AB ＝AC ＝2，∠BCD ＝120°，∴△=12×??×??×°=√??．又PA ⊥面ABCD ，且PA ＝2，∴-=????-=12????-=12????-=12×13×√??×??=√33．20．已知椭圆C ：22+??2??2=??(??＞??＞??)，圆C 1：x 2+y 2＝3，圆C 2：x 2+y 2＝4，椭圆C 与圆C 1、圆C 2均相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 1相切同时与椭圆C 交于A 、B 两点，求|AB |的最大值．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出椭圆的长半轴与短半轴的长，即可得到椭圆方程．（Ⅱ）①当l 斜率为0时，l 与椭圆C 相切，不符合题意；②l 斜率不为0时，设l ：x ＝my+n ，通过原点到l 的距离=|??|√2+1=????=√??．则n 2＝3m 2+3，由{=+??，24+??23=??，，（3m 2+4）y 2+6mny +3n 2﹣12＝0，设A （x 1，y 1）B （x 2，y 2），利用韦达定理以及弦长公式，转化求解即可．解：（Ⅰ）由题易知C 1的半径??=√??，C 2圆的半径r 2＝2，又∵椭圆与C 1、C 2同时相切，则{=???=??，=????=√??，，则C ：24+??23=??．（Ⅱ）①当l 斜率为0时，l 与椭圆C 相切，不符合题意，②l 斜率不为0时，设l ：x ＝my+n ，原点到l 的距离=|??|√2+1=???=√??．则n 2＝3m 2+3（i ），由{=+??，24+??23=??，，可得：（3m 2+4）y 2+6mny+3n 2﹣12＝0，设A （x 1，y 1）B （x 2，y 2），由根与系数的关系得：??+????=-63??2+4，??????=3??2-123??2+4，||=√??+??√(??+????)??-??????=√????+??√48(3??2-??2+4)(3??2+4)2，将（i ）代入得||=√??+??4√33??2+4=4√33√??2+1+1√2+1，令=√??+??则t ≥1，g （t ）＝3t +1在[1，+∞）上单调递增，则t ＝1，即m ＝0时，||=√??．21．设函数f （x ）＝lnx +2x 2﹣（m ﹣1）x ，m ∈一、选择题．（I ）当m ＝6时，求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）＝2x 2在区间[1，4]上有两个实数解，求实数m 的取值范围．【分析】（I ）当把＝6代入，然后对函数求导，结合导数与单调性及极值的关系即可求解；（II ）由f （x ）＝2x 2，可得=+??，构造函数??(??)=??+??(??＞??)，然后对函数求导，结合导数可分析函数的性质，进而可求．解：（I ）依题意知f （x ）的定义域为（0，+∞），当m ＝6时，f （x ）＝lnx +2x 2﹣5x ，∴′(??)=1+-??=(4??-1)(??-1)??，令f （x ）＝0，解得=??，??=14则当??＜??＜14或??＞??时，??′(??)＞??，??(??)单调递增，当14＜＜??时，??′(??)＜??，f （x ）单调递减．∴所以当x ＝1时函数f （x ）取得极小值，且极小值为f （1）＝﹣3，当=14时函数f （x ）取得极大值，且极大值为??(14)=--98．（II ）由f （x ）＝2x 2，可得lnx ＝（m ﹣1）x ，又x ＞0，所以=??-??，∴=+??．令()=??+(??＞??)，则??′(??)=1-2，由g ′（x ）≥0，得1≤x ≤e ；由g ′（x ）≤0，得e ≤x ≤4，∴g （x ）在区间[1，e ]上是增函数，在区间[e ，4]上是减函数．∴当x ＝e 时函数g （x ）有最大值，且最大值为()=??+1，又()=??，??(??)=??+22，∴当+22≤??＜??+1??时，方程在区间[1，4]上有两个实数解．∴实数m 的取值范围为+22≤??＜??+1??．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为C 1：{=??+，=（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为（1，0），曲线C 2：ρ2=1232??+42??．（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求|PA|+|PB |的取值范围．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（Ⅰ）直线l 的参数方程为C 1：{=??+，=（t 为参数），转换为曲线C 1的普通方程为：xsin θ﹣ycos θ﹣sin θ＝0，曲线C 2：ρ2=1232??+42??．根据{=??=+????=????整理得普通方程为：24+??23=??；（Ⅱ）将??：{=??+=（t 为参数）代入C 2：24+??23=??化简整理得：（sin 2θ+3）t 2+6tcos θ﹣9＝0，设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则△＝36cos2θ+36（sin2θ+3）＝144＞0恒成立，?+????=-62??+3，????????=-92??+3，∴||+||=|??|+|????|=|????-????|=√(????+????)-??????=122??+3，∵sin2θ∈[0，1]，所以：|PA|+|PB|∈[3，4]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|mx+1|+|2x﹣1|，m∈R．（Ⅰ）当m＝3时，求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）若0＜m＜2，且对任意x∈R，f（x）≥32??恒成立，求m的最小值．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）求出函数的单调区间，求出f（x）的最小值，得到关于m的不等式，解出即可．解：（Ⅰ）当m＝3时，f（x）＝|3x+1|+|2x﹣1|，原不等式f（x）＞4等价于{＜-13-＞??或{-13≤??≤12??+??＞??或{??＞12＞??，解得：＜-45或无解或??＞45，所以，f（x）＞4的解集为(-∞，-45)∪(45，+∞）．……………………………………………（Ⅱ）∵0＜m＜2，∴-1＜12，??+??＞??，??-??＜??．则??(??)=|+??|+|-??|={-(??+??)??，??＜-1，(??-??)??+??，-1≤??≤12，(??+??)??，??＞12所以函数f（x）在(-∞，-1)上单调递减，在[-1??，12]上单调递减，在(12，+∞）上单调递增．所以当=12时，f（x）取得最小值，??(??)=??(12)=??+??2．因为对任意∈??，??(??)≥32??恒成立，所以()=??+2≥32??．又因为m＞0，所以m2+2m﹣3≥0，解得m≥1（m≤﹣3不合题意）．所以m的最小值为1．……………………………………………。
2020年河南郑州文科高三三模数学试卷-学生用卷
2020年河南郑州文科高三三模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年河南郑州高三三模文科第1题5分已知集合A={1,2,4,8}，B={y|y=log2x,x∈A}，则A∩B=（）．A. {1,2}B. {1,2,4}C. {2,4,8}D. {1,2,4,8}2、【来源】 2020年河南郑州高三三模文科第2题5分若复数z满足(2−i)z=1+2i，则复数z的虚部是（）．A. iB. −iC. 1D. −13、【来源】 2020年河南郑州高三三模文科第3题5分函数y=x2−2|x|(x∈R)的部分图象可能是（）．A.B.C.D.4、【来源】 2020年河南郑州高三三模文科第4题5分在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若√3asinB =c −bcosA ，则角B 等于（ ）．A. π6B. π4C. π3D. π125、【来源】 2020年河南郑州高三三模文科第5题5分2020年河南郑州高三三模理科第4题5分两个非零向量a →，b →满足|a →+b →|=|a →−b →|=2|a →|，则向量b →，a →−b →夹角为（ ）． A. 56πB. π6C. 23πD. π36、【来源】 2020年河南郑州高三三模文科第6题5分下列说法正确的是（）．A. 命题p，q都是假命题，则命题“¬p∧q”为真命题B. 将函数y=sin2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到y=sin4xC. ∀φ∈R，函数y=sin(2x+φ)都不是奇函数D. 函数f(x)=sin(2x−π3)的图象关于直线x=5π12对称7、【来源】 2020年河南郑州高三三模文科第7题5分2020年河南郑州高三三模理科第9题5分如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（）．A. √6πB. 8√6πC. 32√3πD. 64√6π8、【来源】 2020年河南郑州高三三模文科第8题5分已知直线y=kx+m（k<0）与抛物线C：y2=8x及其准线分别交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若2FA→=AB→，则m等于（）．A. √3B. 2√3C. 2√2D. 2√69、【来源】 2020年河南郑州高三三模文科第9题5分若函数f(x)={e x−x+2a,x>0(a−1)x+3a−2,x⩽0在(−∞,+∞)上是单调函数，则a的取值范围是（）．A. [1,+∞)B. (1,3]C. [12,1)D. (1,2]10、【来源】 2020年河南郑州高三三模文科第10题5分2019~2020学年广东广州南沙区广州外国语学校高二下学期期末第3题5分2019~2020学年广东广州越秀区广州大学附属中学高二下学期期末第3题5分2020年河南郑州高三三模理科第10题5分2019~2020学年广东广州越秀区广州市铁一中学高二下学期期末第3题5分若将函数f (x )=cos(2x +φ)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，且g (x )的图象关于原点对称，则|φ|的最小值为（ ）．A. π6B. π3C. 2π3D. 5π611、【来源】 2020年河南郑州高三三模文科第11题5分已知函数f(x)是R 上的奇函数，f ′(x)是其导函数，当x >0时，xlnx ⋅f ′(x)<−f(x)，则不等式(x 2−1)f(x)>0的解集是（ ）．A. (−1,0)∪(0,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)C. (−1,0)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(0,1)12、【来源】 2020年河南郑州高三三模文科第12题5分已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a >0，b >0）的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线左，右两支分别交于点A ，B ，若△ABF 1为等边三角形，则双曲线E 的渐近线方程为（ ）．A. y =±√7xB. y =±√6xC. y =±2√2xD. y =±2√7x二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年河南郑州高三三模文科第13题5分2020年河南郑州高三三模理科第14题5分已知x ，y 满足约束条件{x −y +4⩾0x +2y ⩾0x ⩽1，则z =3x +y 的最大值为 ．14、【来源】 2020年河南郑州高三三模文科第14题5分2020年河南郑州高三三模理科第13题5分某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示．已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则m +n = ．15、【来源】 2020年河南郑州高三三模文科第15题5分在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，π3<C <π2，b a−b =sin2C sinA−sin2C ，a =2，sinB =√154，则b = ．16、【来源】 2020年河南郑州高三三模文科第16题5分设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=3，对任意的正整数n 满足S n+1=S n +cos(n+2)π3(2n −1)a n a n+1+a n ，则a 19= ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年河南郑州高三三模文科第17题12分已知数列{a n }是首项a 1=14，a 4=1256的等比数列，设b n =−2−3log 4a n (n ∈N ∗)．(1) 求数列{b n }的通项公式．(2) 记c n =1b n b n+1，求数列{c n }的前n 项和S n ．18、【来源】 2020年河南郑州高三三模文科第18题12分2019年郑开国际马拉松比赛，于2019年3月31日在郑州、开封举行．某学校本着“我运动，我快乐，我锻炼，我提高”精神，积极组织学生参加比赛及相关活动，为了了解学生的参与情况，从全校学生中随机抽取了150名学生，对是否参与的情况进行了问卷调查，统计数据如下：(1) 根据上表说明，能否有97.5%的把握认为参与马拉松赛事与性别有关？(2) 现从参与问卷调查且参与赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人参加2019年马拉松比赛志愿者宣传活动．① 求男、女学生各选取多少人．② 若从这8人中随机选取2人到校广播站开展2019年赛事宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．附：K 2=n(ab−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ，其中n =a +b +c +d ．19、【来源】 2020年河南郑州高三三模文科第19题12分2019~2020学年江苏盐城高一下学期期末第19题2020~2021学年安徽高二上学期期中（皖南名校）第19题12分如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，侧面PAB⊥底面ABCD，PB=2√2，AB=AC=PA=2．(1) 求证：BD⊥面PAC．(2) 过AC的平面交PD于点M，若V M−PAC=12V P−ACD，求三棱锥P−AMB的体积．20、【来源】 2020年河南郑州高三三模文科第20题12分已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)，圆C1：x2+y2=3，圆C2：x2+y2=4，椭圆C与圆C1、圆C2均相切．(1) 求椭圆C的方程．(2) 直线l与圆C1相切同时与椭圆C交于A、B两点，求|AB|的最大值．21、【来源】 2020年河南郑州高三三模文科第21题12分设函数f(x)=lnx+2x2−(m−1)x，m∈R．(1) 当m=6时，求函数f(x)的极值．(2) 若关于x的方程f(x)=2x2在区间[1,4]上有两个实数解，求实数m的取值范围．四、选考题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年河南郑州高三三模文科第22题10分2020年河南郑州高三三模理科第22题10分2019~2020学年陕西西安雁塔区西安电子科技大学附属中学高二下学期期末理科第19题12分在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为C 1:{x =1+tcosθy =tsinθ（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为(1,0)，曲线C 2:ρ2=123cos 2θ+4sin 2θ． (1) 求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程．(2) 若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求|PA |+|PB |的取值范围．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年河南郑州高三三模文科第23题10分2020年河南郑州高三三模理科第23题10分已知函数f (x )=|mx +1|+|2x −1|，m ∈R ．(1) 当m =3时，求不等式f (x )>4的解集．(2) 若0<m <2，且对任意x ∈R ，f (x )⩾32m 恒成立，求m 的最小值．1 、【答案】 A;2 、【答案】 C;3 、【答案】 C;4 、【答案】 A;5 、【答案】 A;6 、【答案】 D;7 、【答案】 B;8 、【答案】 B;9 、【答案】 B;10 、【答案】 A;11 、【答案】 D;12 、【答案】 B;13 、【答案】8;14 、【答案】11;15 、【答案】√6;16 、【答案】−317;17 、【答案】 (1) b n=3n−2．;(2) S n=n3n+1．;18 、【答案】 (1) 所以有97.5%的把握认为参与马拉松赛事与性别有关．;(2)①根据分层抽样方法得男生有8×34=6人，女生有2人．②1528．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √33．;20 、【答案】 (1) x24+y23=1．;(2) |AB|max=√3．;21 、【答案】 (1) 极小值为f(1)=−3，极大值为f(14)=−ln4−98．;(2) [1+ln22,1+1e)．;22 、【答案】 (1) xsinθ−sinθ−ycosθ=0；x24+y23=1．;(2) [3,4]．;23 、【答案】 (1) (−∞,−45)∪(45,+∞)．; (2) 1．;。
河南省郑州市示范性普通中学2020年高三数学文模拟试题含解析
河南省郑州市示范性普通中学2020年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 右图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为（）A．11 B．10 C．9 D．8参考答案：C2. 已知复数：，则z的共轭复数为（A） (B) (C) (D)参考答案：C略3. 某企业投入100万元购入一套设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业（）年后需要更新设备.A. 10B. 11C.13 D. 21参考答案：A由题意可知年的维护费用为，所以年平均污水处理费用为，由均值不等式得，当且仅当，即时取等号，所以选A.4. “或”为真命题是“且”为真命题的A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C5. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．3024 B．1007 C．2015 D．2016参考答案：A【考点】程序框图．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；算法和程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式S是求数列的和，且数列的每4项的和是定值，由此求出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：S=a1+a2+a3+a4+…+a2013+a2014+a2015+a2016=（0+1）+（﹣2+1）+（0+1）+（4+1）+…+（0+1）+（﹣2014+1）+（0+1）+（2016+1）=6+…+6=6×=3024；所以该程序运行后输出的S值是3024．故选：A．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题的关键是模拟程序运行的过程，得出程序运行后输出的算式的特征，是基础题目．6. 已知命题“”，命题“”，若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A略7. 设集合M=[1,2]，，则M∩N=（）A. [1,2]B. (－1,3)C. {1}D. {1,2}参考答案：D【分析】首先化简集合N得，结合交集的定义可求结果。
2020年郑州市高三数学文科试题三测含答案
2020年郑州市高三三测数学文科试题评分参考一、选择题二、填空题13. 8 ； 14.11； 15.6； 16.3.17−三、解答题17．（1）由2561,4141==a a ，得41,641143=∴==q a a q ，所以n n a )41(=.……………2分 23)41(log 324−=−−=n b n n .……………………………………5分 由（1），得)131231(31)13)(23(111+−−=+−==+n n n n b b c n n n ，………8分 S n =13(1−14+14−17+⋯+13n−2−13n+1)=13(1−13n+1)=n 3n+1.12分 18．（1）因为.024.5357.5708050100)20406030(150K 22>≈⨯⨯⨯⨯−⨯= ，……………2分 所以有97.5％的把握认为参与马拉松赛事与性别有关.……………3分（2）（i ）根据分层抽样方法得，男生6438=⨯人，女生2人， 所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人.……………5分（ii ）设抽取的6名男生分别为F E D C B A ,,,,,，2名女生为b a ,；从中抽取两人，分别记为(A,B)，),(),,(),,(),,(F A E A D A C A ,),(),,(b A a A ,(B,C), ),(),,(),,(F B E B D B ,),(),,(b B a B ,),(),,(),,(),,(),,(b C a C F C E C D C ,),(),,(F D E D ,),(),,(b D a D ,),(),,(),,(b E a E F E ,),(),,(),,(b a b F a F 共28种情形，……………8分 其中2男的共15种情形，……………10分所以，所求概率2815=p .……………12分19．（1）证明：由题意222PB AB PA =+，所以∠BAP =90°，则PA ⊥AB ，……………2分又侧面PAB ⊥底面ABCD ，面PAB ∩面ABCD =AB ，PA ⊂面PAB ，则PA ⊥面ABCD.……………4分BD ⊂面ABCD ，则PA ⊥BD,又因为∠BCD =120∘，ABCD 为平行四边形，则∠ABC =60∘，又AB =AC ，则ΔABC 为等边三角形，则ABCD 为菱形，则BD ⊥AC.又PA ∩AC =A ，则BD ⊥面PAC.……………6分（2）由ACD P PAC M V V −−=21，则M`为PB 中点， 由AB =AC =2，∠BCD =120°，得BD =2√3.……………8分 由(I )知，,21PAB D PAB M AMB P V V V −−−==……………10分11122233P ABD V −==⨯=……………12分 20.⑴由题易知C 1的半径r 1=√3，C 2圆的半径r 2=2.……………2分又∵椭圆与C 1、C 2同时相切，则212,a r b r ==⎧⎪⎨==⎪⎩……………4分 则C ：x 24+y 23=1.……………5分⑵①当l 斜率为0时，l 与椭圆C 相切，不符合题意.……………6分②l 斜率不为0时，设l ：x =my +n ，原点到l 的距离d =√2=r 1=√3.则n 2=3m 2+3 (i )由22,1,43x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩……………7分 可得：(3m 2+4)y 2+6mny +3n 2−12=0，设A (x 1,y 1) B (x 2,y 2)，由求根公式得:y 1+y 2=−6mn 3m 2+4，y 1y 2=3n 2−123m 2+4， |AB |=√m 2+1√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√m 2+1√48(3m 2−n 2+4)(3m 2+4)2，将(i )代入得|AB |=√m 2+14√33m 2+4=√33√m 2+1+1√2，……………9分令t =√m 2+1则t ≥1， g (t )=3t +1t 在[1，+∞)上单调递增，……………11分 则t =1，即m =0时，|AB |max =√3.……………12分21.（1）依题意知f (x )的定义域为(0,+∞)，……………1分当6=m 时，,52ln )(2x x x x f −+= ∴,)1)(14(541)(xx x x x x f −−=−+='……………2分 令0)(=x f ，解得41,1==x x 则当0<x <14或x >1时，f ′(x )>0,f (x )单调递增，……………3分 当14<x <1时，f ′(x )<0，)(x f 单调递减．……………4分∴所以当1=x 时函数)(x f 取得极小值，且极小值为3)1(−=f ，当41=x 时函数)(x f 取得极大值，且极大值为894ln )41(−−=f ．…………5分 （2）由22)(x x f =，可得x m x )1(ln −=，又x >0，所以lnx x =m −1，1ln +=∴x x m ．……………7分 令g (x )=1+lnx x (x >0)，则g ′(x )=1−lnxx 2，由g ′(x )≥0，得1≤x ≤e ；由g ′(x )≤0，得4≤≤x e ，……………8分∴ g (x )在区间[1,e]上是增函数，在区间]4,[e 上是减函数.∴当x =e 时函数g (x )有最大值，且最大值为g (e )=1+1e ，……………9分 又,22ln 1)4(g ,1)1(g +==……………10分 ∴ 当em 1122ln 1+<≤+时，方程在区间]4,1[上有两个实数解.……………11分 ∴实数m 的取值范围为e m 1122ln 1+<≤+．……………12分 22.（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为：0sin cos sin =−−θθθy x ,曲线2C 的普通方程为：13422=+y x ;………………………………………………5分 （Ⅱ）将⎩⎨⎧θ=θ+=.sin t ,cos t 1:1y x C （t 为参数） 代入2C ：13422=+y x 化简整理得：(sin 2θ+3)t 2+6tcosθ−9=0, 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则Δ=36cos 2θ+36(sin 2θ+3)=144>0恒成立， t 1+t 2=−6cosθsin 2θ+3,t 1t 2=−9sin 2θ+3，∴|PA |+|PB |=|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=12sin 2θ+3 ,∵sin 2θ∈[0,1] ∴|PA |+|PB |∈[3,4].……………………………………………10分23.（1）当3=m 时，1213)(−++=x x x f ，原不等式4)(>x f 等价于⎪⎩⎪⎨⎧>−−<4531x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤−422131x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>>4521x x ， 解得：54−<x 或无解或54>x ， 所以，4)(>x f 的解集为),54()54,(+∞−−∞Y ．………………………………………5分 （2）02,02,211,20<−>+<−∴<<m m m m Θ． 则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤≤−+−−<+−=−++=21,)2(,211,2)2(,1,)2(121)(x x m x m x m m x x m x mx x f 所以函数)(x f 在)1,(m −−∞上单调递减，在]21,1[m −上单调递减，在),21(+∞上单调递增． 所以当x =12时，f(x)取得最小值，21)21()(min m f x f +==． 因为对任意mx f R x 23)(,≥∈恒成立， 所以m m x f 2321)(min ≥+=. 又因为0>m ，所以0322≥−+m m ，解得1≥m （3−≤m 不合题意）．所以m 的最小值为1．……………………………………………10分。
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科) (含答案解析)
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|y=ln(x−1)}，B={0,1，2，3}，则A∩B=()A. {0}B. {2,3}C. {1,2，3}D. {0,1，2，3}2.若z=−2+3ii(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部是()A. 2iB. −2iC. −2D. 23.函数e|x|3x的部分图象可能是()A. B.C. D.4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos A=bsin A，且B>π2，则sin A+sin C 的最大值是()A. √2B. 98C. 1 D. 785.已知|a⃗|=1,|b|=6,a⃗⋅(b⃗ −a⃗ )=2则向量a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π2B. π3C. π4D. π66.下列说法正确的是()A. “f(0)=0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件B. 若p：∃x0∈R，x02−x0−1>0，则¬p：∀x∈R，x2−x−1<0C. “若α=π6，则sinα=12”的否命题是“若α≠π6，则sinα≠12”D. 若p∧q为假命题，则p,q均为假命题7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为()A. 2√5+4√2+10B. 43 C. 83D. 1638. 已知直线y =kx +m(k >0)与抛物线C ：y 2=4x 及其准线分别交于M ，N 两点，F 为抛物线的焦点，若3FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m 等于( ) A. −√2 B. −2√2 C. −2√3 D. −2√69. 函数f(x)={ax 2+1,x ≥0(a +2)e ax ,x <0为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A. (0,+∞)B. [−1,0)C. (−2,0)D. (−∞,−2)10. 将函数的图象向右平移π6个单位长度可得函数g(x)的图象，若函数g(x)的图象关于原点对称，则|φ|的最小值为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π611. 函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的x ∈R ，都有2f′(x)>f(x)成立，则( )A. 3f(2ln2)>2f(2ln3)B. 3f(2ln2)<2f(2ln3)C. 3f(2ln2)=2f(2ln3)D. 3f(2ln2)与2f(2ln3)的大小不确定12. 如图，F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线分别交于点A ，B ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线的斜率为( )A. ±√3B. ±2C. ±√6D. ±√2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x ，y 满足约束条件{1≤x +y ≤2x ≥0y ≥0，则z =2x +y 的最大值为______ ．14. 如图是甲、乙两人在10天中每天加工零件个数的茎叶图，若这10天甲加工零件个数的中位数为a ，乙加工零件个数的平均数为b ，则a +b =______．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cosA =13，a =√2，b =√32，则sinB =______ 16. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n ，则a 3+a 4=______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的首项为a 1=1，且a n+1=2(a n +1)(n ∈N ∗)．(Ⅰ)证明数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)若b n =log 2(a n+1+23)，求数列{1bn b n+1}的前n 项和T n ．18. 进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”，该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：赞同限行不赞同限行合计没有私家车9020110有私家车7040110合计16060220 (Ⅰ)根据上面的列联表判断，能否有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车”有关；(Ⅱ)为了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“没有私家车”人员的概率．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.100.050.0100.0050.001 k 2.706 3..841 6.6357.87910.82819.如图，四棱锥A−BCDE中，侧面ABC⊥底面BCDE，△ABC是等边三角形，BE//CD，BC⊥CD，BC=CD=2BE=2，F是棱AD的中点．(1)证明：EF⊥平面ACD；(2)求三棱锥D−ACE的体积．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且椭圆经过点M(−√2,1)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l与圆O：x2+y2=1相切，与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值．21.已知函数f(x)=ln(x+a)−x2−x在x=0处取得极值．(1)求实数a的值;(2)若关于x的方程f(x)=−52x+b在区间[0,2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．22.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+t21−t2y=t1−t2(t为参数).以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=√54．(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；(2)若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求1|PA|+1|PB|的值．23.已知函数f(x)=|2x−4|+a|x+1|，a>0．(1)若a=1，求关于x的不等式f(x)≤7的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥3恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A={x|x>1}；∴A∩B={2,3}．故选：B．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：D解析：解：∵z=−2+3ii =(−2+3i)(−i)−i2=3+2i，∴复数z的虚部是2．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的解析式，利用函数图象的特点进行排除是解决本题的关键．属于中档题.根据函数解析式，分别从对称性，单调性以及函数取值进行排除即可．解：函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=e3<1，排除A，当x→+∞时，e|x|3x→+∞，排除D，故选：C．4.答案：B解析：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用正弦定理求出C的大小是解决本题的关键．根据正弦定理求出角B和A的关系，利用辅助角公式即可得到结论．解：∵acosA=bsinA，∴由正弦定理可得sinAcosA=sinBsinA,∴cosA=sinB,∴A=B−π2,C=3π2−2B，∴sinA+sinC=sin(B−π2)+sin(3π2−2B)=−2cos2B−cosB+1,当cosB=−14,(sinA+sinC)max=98，故选B．5.答案：B解析：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量数量积的运算，属于基础题．由条件求得a⃗⋅b⃗ =3，再由cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=31×6=12，求得向量a⃗与b⃗ 的夹角．解：由于a⃗⋅(b⃗ −a⃗ )=a⃗⋅b⃗ −a⃗2=2，所以a⃗⋅b⃗ =3，所以cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=31×6=12，所以<a⃗,b⃗ >=π3，故选B．6.答案：C解析：本题考查了命题真假的判断问题，是基础题．根据充分必要条件、复合命题、含量词命题的真假判断对选项中的命题分析、判断正误即可．解：A.f(0)=0时，函数f(x)不一定是奇函数，如f(x)=x2，x∈R；函数f(x)是奇函数时，f(0)不一定等于0，如f(x)=1x，x≠0；是既不充分也不必要条件，故A错误；B.命题p：∃x0∈R，x02−x0−1>0，则￢p：∀x∈R，x2−x−1≤0，故B错误；C.若α=π6，则sinα=12的否命题是“若α≠π6，则sinα≠12”，故C正确．。
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数学试卷一、选择题1.若全集{1,2,3,4},U =集合{1,2},{2,3}M N ==，则()U M N =U ð（ ） A.{}1,2,3B.{}2C.{}1,3,4D.{}42.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（ ）A. B.C.D.3.已知m ,n 表示两条不同直线, α表示平面,下列说法正确的是( ) A.若//m α,//n α,则//m n B. 若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥ C.若m α⊥,m n ⊥,则//n αD.若//m α,m n ⊥,则n α⊥4.在空间直角坐标系O xyz -中，点()1,2,3P 关于xOy 平面的对称点是（ ） A.()1,2,3-B.()1,2,3--C.()1,2,3-D.()1,2,3--5.阅读如图所示的程序框图，若运行该程序后输出y 的值为4，则输入x 的值为（ ）A.2B.0C.1-D.4-6.从甲、乙、丙三人中任选2人，分别担任周一和周二的值日生，则甲被选中的概率为（ ）时间距学校的距离O2337.函数()sin f x x x =，[]π,0x ∈-的单调递增区间是（ ）A.5ππ,6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B.5ππ,66⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8.若1sin ,34απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则cos 23απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.78-B.14-C.14D.789.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为（ ） A.7B.8C.9D.1010.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积(单位：2cm )是（ ）A.36+B.36+C.40+D.40+11.不等式2620x x +-≤的解集是（ ） A.21|32x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B.21|32x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或C.12|23x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ D.12|23x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或 12.过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y x +-=所截得的弦长为（ ） A.1B.2C.3D.413.为估计π的近似值，可以用随机模拟方法近似计算．先产生两组（每组N 个）区间[]1,1-上的均匀随机数12,,,N x x x L 和12,,,N y y y L ，由此得到N 个点(),i i x y （1,2,,i N =L ）．再数出其中满足221i i x y +≤（1,2,,i N =L ）的点数1N ，那么由随机模拟方法可得π的近似值为（ ）NN4N2N14.钝角ABC △的面积是12，1AB =,BC =AC = （ ）C.2D.315.正方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，1AD =，1AA =O 为长方形ABCD 对角线的交点，E 为棱1CC 的中点，则异面直线1AD 与OE 所成的角为（ ）A.30°B.45°C.60°D.90° 二、填空题16.已知向量()()()1,1,1,1,1,2--a =b =c =．若m n =+c a b ，则m = ，n = ． 17.已知02x π<<，且1sin cos 5x x -=，则24sin cos cos x x x -的值为________________________18.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝______________m ．19.设,x y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+⎧⎪--⎨⎪⎩…„„则23z x y =+的最小值为________．20.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 件． 三、解答题21.ABC △中, D 是BC 上的点, AD 平分BAC ∠,ABD ∆面积是ADC △面积的2倍. 1.求sin sin BC∠∠;2.若1AD =,DC =,求BD 和AC 的长. 22.已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠。
（1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （2）若53132S =,求λ。
23.某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4/元立方米收费，超出w 立方米的部分按10/元立方米收费．从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（1）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4/元立方米，w 至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当3w =时，估计该市居民该月的人均水费．24.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，060BAD ∠=，PA PD =，O 为AD 边的中点，点M 在线段PC 上.(1)证明：平面POB ⊥平面PAD ；(2)若AB PA PB ==//PA 平面MOB ，求棱锥M BODC -的体积.25.在平面直角坐标系xOy 中，圆22:80C x y y +-=，过点()2,2P 的动直线l 与圆C 交于,A B 两点，线段AB的中点为M．（1）求M的轨迹方程；（2）当||||OP OM时，求l的方程及POM△的面积．参考答案1.答案：D 解析：2.答案：C解析：应先弄清小明的运动规律,再根据图像的含义,借助图像作出判断,注意运用图像的特殊点与区域的变化.方法一:出发时距学校最远,先排除A;中途堵塞停留,距离不变,再排除D;堵塞停留后比原来骑得快,因此排除B,故选C.方法二:由小明的运动规律知,小明距学校的距离应逐渐减小或不变,由于小明先是匀速运动,故前段是直线段,途中停留时距离不变,后段加速,后段比前段下降得快,故应选C. 3.答案：B解析：对于选项A, m 与n 还可以相交或异面; 对于选项C,还可以是n α⊂;对于选项D,还可以是 //n α或n α⊂或n 与α相交.【点拨】根据空间线面、面面、线线平行的判定与性质、垂直的判定与性质逐个进行判断,注意空间位置关系的各种可能情况. 4.答案：C解析：空间直角坐标系中任一点P (a ,b ,c )关于坐标平面xOy 的对称点为()1,,P a b c -;由题意可得：点P (1,2,3)关于xoy 平面的对称点的坐标是(1,2,−3). 故选：C. 5.答案：B解析：由程序框图，得()22,02,0x x x y x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若4y =，则有()224x x ≥⎧⎪⎨+=⎪⎩或024x x <⎧⎨=⎩，解得0x = 6.答案：C 解析： 7.答案：C解析：()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因π4ππ,333x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，故πππ,323x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，得π,06x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故选C 8.答案：A解析：设该女子第一天织布x 5=，得x =，∴前n 天所织布的尺数为(552231-)52230-≥，得52187≥，则n 的最小值为8. 10.答案：B解析：根据几何体的三视图知，该几何体是上部为正方体， 下部为正四棱台的组合体，结合图中数据，计算该几何体的表面积为：()221524424362S =⨯++⨯⨯+=+表面积()2cm故选：B ． 11.答案：A解析：∵2620x x +-≤，∴()()21320x x -+≤， ∴21|32x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭，∴不等式2620x x +-≤的解集是21|32x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． 故选A ． 12.答案：B 解析： 13.答案：B 解析： 14.答案：B⎛⎫16.答案：,22-解析：17.答案：39 25解析：20.答案：8021.答案：1. 1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅⋅∠,1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠. 因为2,ABD ADC S S BAD CAD ∆∆=∠=∠, 所以2AB AC =, 由正弦定理可得 sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.2.因为 ::ABD ADC S S BD DC ∆∆=,∴2BD DC =.在ABD ∆和ADC ∆中,由余弦定理知, 2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠, 2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠,故222222326AB AC AD BD DC +=++=. 由1知2AB AC =,所以1AC =. 解析：22.答案：（1）由题意得1111a S a λ==+， 故1λ≠，111a λ=-，10a ≠ 由1n n S a λ=+，111n n S a λ++=+得11n n n a a a λλ++=-， 即1(1)n n a a λλ+-=。
由10,0a λ≠≠得0n a ≠，所以11n n a a λλ+=-。
因此{}n a 是首项为11λ-，公比为1λλ-的等比数列， 于是1111n n a λλλ-⎛⎫= ⎪--⎝⎭（2）由1得11nn S λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭ 由53132S =得5311132λλ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭， 即51132λλ⎛⎫=⎪-⎝⎭，解得1λ=- 解析：23.答案：（1）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[]0.5,1,(]1,1.5,(]1.5,2,(]2,2.5,(]2.5,3内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15．所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%．依题意，w 至少定为3．（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水量费用的数据分组与频率分布表：40.1⨯+60.15⨯+80.2⨯+100.25⨯+120.15⨯+170.05⨯+220.05⨯+270.05⨯=10.5（元）． 解析：24.答案： （1）证明：连接BD ，因为底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=o ，所以ABD ∆是正三角形， 因为O 为AD 边的中点，PA PD =， 所以AD PO ⊥，AD BO ⊥，PO BO O =I ，所以AD ⊥平面POB ， 因为AD ⊂平面PAD ，所以平面POB ⊥平面PAD ．（2）连接AC ，交OB 于点N ，连接MN ， 因为PA ∥平面MOB ，所以PA ∥MN ，易知点N 为ABD 的重心，所以13AN AC =， 故13PM PC =， 因为AB =PA PD =， 所以3OB =，2OP =，因为PB =所以90POB ∠=o ，即OP OB ⊥，且AD PO ⊥，所以OP ⊥平面BODC ，由13PM PC =知23CM CP =，故点M 到平面BODC 的距离为2433PO =，因为23312sin 60442BODC ABCD S S ==⨯⨯⨯⨯o =所以四棱锥M BODC -的体积为1433=解析：25.答案：（1）圆C 的方程可化为()22416x y +-=，所以圆心为(04)C ,，半径为4．设(,)M x y ，则(,4)CM x y =-u u u u r ，(2,2)MP x y =--u u u r ，由平面几何知识可知0CM MP ⋅=u u u u r u u u r ， 故()()()2420x x y y -+--=，即()()22132x y -+-=． 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是()()22132x y -+-=（2）由（1）可知M 的轨迹是以点(1,3)N由于OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON PM ⊥．因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为13-，直线l 的方程为：1833y x =-+． 所以点O 到l的距离为3d ==，又OM OP ==PM ==， 所以POM △的面积为165 解析：。