极限的四则运算教案
极限的四则运算PPT教学课件
• 孔子并不像后来我国封建社会的统治者所吹捧、所神化的那 样，是什么不食人间烟火的“文宣王”“大成至圣先师”等 等，他也是一个有血有肉的现实社会中的人。
• 他赞美颜回安于贫困，又汲汲于追求富贵，甚至奔走于权贵 之门，国君召唤他，他等不及驾好车马，就赶快跑了去。
• 孔子对他的学生很严厉，批评起来不讲情面，他批评“宰予 昼寝”说：“朽木不可雕也，粪土之墙不可圬也”（《论 语·公冶长》）；而有时对他的学生也很亲切
方法——因式分解法(再转化为代入法)
[注]:函数在某一点的极限,考察的是函 数值的变化趋势,与函数在这一点是否有定 义,是否等于在这一点处的函数值无关.故 本例可约去公因式x-1.
例2：(1)求lim x 1 1
x 0
x
(2)求 lim x（ x 3 x
x 2）
——方法: 分子(分母)有理化法(与分子 分母同除x的最高次幂相结合)
x x 0
xx0
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) a b
x x 0
x x 0
x x 0
lim [f(x)• g(x)] lim f(x)• lim g(x) a • b
x x 0
x x 0
x x 0
lim
f(x)
lim f(x)
x x 0
a (b 0)
xx0 g(x) lim g(x) b
点评对“0 型” 或“ 0 ” 的极限，应通过 0 分 解 因 式 约 去 “ 零 因 子” 或 根 式 有 理 化
例3：（1）
求
lim
x
x
x2 2
x
1
1
（2）
求
lim
中小学优质课件极限四则运算课件.ppt
a (b 0)
b n
b
n
lim C • an C • a n
注：1、上述法则可推广到有限个数列的加，减，乘，除。
例2：求下列极限
lim n
1 ( n2
2) n
lim 2n2 n
n 3n2 2
3n 2
lim
n
n
lim 3n3 n
n 2n4 n2
一般地， 若a0b0 0，k ,l N , 有
3、lim x
2x2 x2
3x 1
４、lim x
tan
2x
•
tan(
4
x)
4
5、lim x( x2 1 x2 1) 6、lim (1 1 )100
x
x
x
数列极限的四则运算：
如果
lim
a n
n
a
lim
b n
n
b 那么
lim
(
a n
b ) n
a
b
n
lim
(a n
•b ) n
a
•b
a n lim n
0 lk
lim l k l k n
a0nl a1nl1 al b0nk b1nk1 bk
a0 b0
不存在
练习：P88 1，2
P90 1，2
例3:求下列极限
1 2 3 n
lim n
n2
1/2
lim [ 4 7 3n 1 ]
n n(n 1) n(n 1)
n(n 1)
3/2
lim [ 1 1
1
]
n 1• 4 4 • 7
(3n 2)(3n 1)
1/3
高中数学教案极限的运算法则与无穷小量
高中数学教案极限的运算法则与无穷小量高中数学教案：极限的运算法则与无穷小量一、引言数学中的极限是一种重要的概念，在高中数学中也是一个重要的内容。
本教案将重点介绍极限的运算法则与无穷小量的相关知识。
通过深入了解这些内容，学生将能够更好地理解和应用极限的概念。
二、极限的运算法则与无穷小量的定义1. 无穷小量的定义及性质无穷小量是指当自变量趋于某一确定值时，函数值也趋于零的量。
常见的无穷小量有极限为零的数列和极限为零的函数。
2. 极限的四则运算法则在计算极限时，可以利用四则运算法则简化计算过程。
四则运算法则包括：- 两个极限的和等于极限的和；- 两个极限的差等于极限的差；- 两个极限的积等于极限的积；- 两个极限的商等于极限的商（其中除数极限不为零）。
三、极限的运算法则的应用1. 极限的运算示例通过具体的例子来演示极限的运算法则的应用，例如计算以下极限：- lim(x→2) [3x^2 + 2x - 1]- lim(x→1) [√(2x+1) + 4]2. 极限的运算法则的推理在应用极限的运算法则时，有时需要进行推理和证明。
通过给出一些列的推理步骤和相应的证明过程，学生可以更好地理解极限的运算法则的原理。
四、极限的运算法则与函数的性质1. 连续函数的性质连续函数在定义域内具有连续性的特点，具体包括：- 在定义域内无间断点；- 函数值与自变量在定义域内的微小变化成正比。
2. 极限的运算法则与连续函数的关系利用极限的运算法则，可以更好地理解和证明连续函数的性质。
通过给出一些典型的连续函数和相应的极限运算，学生可以加深对连续函数性质的理解。
五、总结通过学习本教案，我们对极限的运算法则与无穷小量有了更深入的了解。
极限的四则运算法则为我们计算极限提供了方便，而无穷小量的概念则帮助我们更好地理解函数的趋势。
希望同学们通过本教案的学习，能够在高中数学中更加熟练地运用极限的运算法则与无穷小量的概念。
《高等数学》极限的四则运算
（1）
lim
x2
x2 x2
5 3
（3）
lim
x0
4
x3 3x2
2x2 2x
x
（5） lim (x h)2 x2
h0
h
（2）
lim
x 3
x2 x2
3 1
（4） lim x1
x2
2x 1 x2 1
（6） lim x 1 x1 x 1
《高等数学》 1.5 极限的四则运算
【例1.5.3】 求下列极限
（1）
lim
x
x2 2x
3x 2x
5 3
（2）
lim
x
x2 3x 5 2x3 x2 3
解(1)：原式
lim
x
1 2
3
x 1
x
5 式
lim x
lim x
1 x
3 x2
5 x3
2 2
1 1x x
3 x33 x3
1 x
3 x2
5 x3
0
定理1 （极限的四则运算法则）设极限 lim f (x) 与 lim g(x) 均存在 ，则
（1） lim[ f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) （2） lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) （3） lim f (x) lim f (x) ，(lim g(x) 0)
《高等数学》
【练习2】求下列极限
（1）
lim
x
2x2 3x2
5x 2x
1 3
（2）
lim
x
4
x3 3x2
2x2 2
x
x
（3）
高中数学极限教案
高中数学极限教案
教学内容：极限的概念及运算法则
教学目标：
1. 了解极限的概念，掌握极限的定义；
2. 掌握求极限的常用方法，如代入法、夹逼定理等；
3. 能够熟练运用极限的运算法则，解决相关题目。
教学重点：
1. 极限的定义及性质；
2. 极限的计算方法。
教学难点：
1. 运用夹逼定理求极限；
2. 掌握极限的运算法则。
教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等。
教学步骤：
一、复习导入（5分钟）
通过回顾前几节课的内容，引导学生了解极限的基本概念及性质。
二、新知讲解（15分钟）
1. 讲解极限的定义及性质；
2. 介绍极限的运算法则：四则运算法则、三角函数的极限、指数函数的极限等。
三、示例演练（20分钟）
1. 通过几道例题，让学生熟悉求极限的常用方法；
2. 演示如何运用极限的运算法则解题。
四、练习巩固（15分钟）
布置一定数量的练习题，让学生独立完成，并及时纠正错误。
五、课堂总结（5分钟）
对本节课的内容进行总结，强调学生应掌握的重点和难点。
教学反思：
1. 学生是否能够理解极限的定义及性质；
2. 学生是否能够熟练运用极限的运算法则解题；
3. 教学过程中是否能够引导学生主动思考及互动讨论。
教学扩展：
可以通过拓展练习或应用题，加深学生对极限概念的理解及掌握。
2.4 极限的四则运算 第一课时 极限的四则运算(一)
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5x2＋1 变式训练 21：求极限：lim →∞ 3 . x x －1
5 1 5 1 ＋ 3 lim →∞ ＋ 3 x x x x x 5x2＋1 解：lim →∞ 3 ＝lim →∞ ＝ x x 1 1 x －1 1－ 3 lim →∞1－ 3 x x x 1 1 5lim →∞ ＋lim →∞ 3 x x x x 5×0＋0 ＝ ＝ ＝0. 1 1－0 lim →∞1－lim →∞ 3 x x x
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0 “ ”型极限的运算 0
x2＋2x－3 【例 1】 求lim . x→1 x3－1
x2＋2x－3 0 思路点拨：将 x＝1 代入 3 为 ，不存在极限，所以应将分子、分母因式分解，约 0 x －1 去公因式后再求．
x2＋2x－3 x＋3x－1 解：lim ＝lim 2 x→1 x→1 x－1x ＋x＋1 x3－1 x＋3 1＋3 4 ＝lim 2 ＝ 2 ＝ . x→1 x ＋x＋1 1 ＋1＋1 3
x 1 x 1 x 1
＝lim → x＋lim → (2 x)＋lim → 1
x 1 x 1
＝4.
答案：4
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知识要点：应用函数极限的四则运算法则的注意点 1．注意极限的运算法则成立的前提条件，若 limx→x f(x)和 limx→x g(x)有一个不存 0 0 在，法则就不成立(如果是商的运算，limx→x g(x)≠0)．
第四部分极限的运算法则教学课件
xa
其中a 为 x0 , x0 0, x0 0, , - , ；并且当a 为 x0, x0 -, x0时，此过程进行到一定程度以后恒有
x = j (t ) x0 )。
例13 求极限
y= 1
(1)
limln
x
1 x2
x2
lim lny = .
y00
(2) lime x y = - x lim e y = 1.
=
x 0
x0
l i(mx-1 ) l i(mx2 )
x0
x0
=(01)12
1 =2
注 只要极限运算与四则运算交换顺序后 的算式有意义 <包括出现 >,就可交换顺序.
sin
例2
求 lim
n
1 n。 1
n
解
原式=
l i ms i nπ
n
n
lim1 1
=
0 01
=0。
n n
例3
求 limx2 。 x1 x2 1
x0
y 0
(3) limtan(1)= limtan(1)
n
2n
x 2 x
y= 1
2 x lim tan y = . y 2
= lim 2 n
n2
=lim1(11) = 1 .
n2
n2
例10 求 lim sin x .
x x
解 当x 时，1 为无穷小，
x
而sin x是有界函数，
limsinx =0. x x
y = sin x x
例11
设 f(x )= x 1 2 x 1 ,,
x 0 ,求 lif m (x ). x 0 x 0
极限的运算教案
极限的运算 教案一、学习要求1．掌握极限的四则运算法则． 2．会用两个重要极限公式求极限．3. 知道什么是高（低）阶无穷小、什么是同阶无穷小以及什么是等阶无穷小． 重点 极限的求法，两个重要极限，等阶无穷小代换．难点 灵活运用极限的四则运算法则、两个重要极限和等阶无穷小代换求极限.二、内容提要在上一节极限的定义中我们学习了函数的极限、数列的极限，极限的性质、无穷小的定义及其性质、无穷大的定义及其与无穷小的关系。
本节课我们一起学习极限的运算。
极限的求法是本课程的基本运算之一，这种运算涉及的类型多、技巧性强，我们平时应注意适量地多做一些练习，特别要切实掌握基本方法。
1. 极限的四则运算法则设x 在同一变化过程中，)(lim x f 及)(lim x g 都存在（此处省略了自变量x 的变化趋势），则有下列运算法则：法则1 [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=±； 法则2 [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f =， 法则3 )(lim )(lim )()(limx g x f x g x f = （0)(lim ≠x g ）． 上述极限四则运算法则对自变量的其他变化过程下的极限同样成立． 下面我们来证明法则2，其他法则证法类同。
证 设B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则知βα=-=-B x g A x f )(,)(， 即βα+=+=B x g A x f )(,)(（α，β都是无穷小）于是)())(()()(αβαββα+++=++=⋅B A AB B A x g x f ．由无穷小的性质知αβαβ++B A 仍为无穷小，再由极限与无穷小的关系，得[])(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ==．例1 p28思考题1（1）、（2）例2 求下列函数的极限：(1) )143(lim 22+-→x x x ， (2)659lim 223+--→x x x x ， (3) )1112(lim 21xx x ---→，(4) 2231lim 22-++-+∞→x x x x x ， (5) 31sin lim xx x x ++∞→．解 (1) )143(lim 22+-→x x x =223lim x x →-x x 4lim 2→+1=5．(2) 当3→x 时，分子、分母极限均为零，呈现“”型，不能直接用商的极限法则，可先分解因式，约去使分子分母为零的公因子，再用商的运算法则．原式=623lim )2)(3()3)(3(lim33=-+=--+-→→x x x x x x x x ．(3) 当1→x 时，x x --11,122的极限均不存在，式xx --11,122呈现“∞-∞”型，不能直接用“差的极限等于极限的差”的运算法则，可先进行通分化简，再用商的运算法则．即原式=)11)1)(1(2(lim 1x x x x --+-→)1)(1()1(2lim 1x x x x +-+-=→=21)1(1lim1=+→x x ． (4) 当+∞→x 时，分子分母均无极限，呈现“∞∞”型．需分子分母同时除以2x ，将无穷大的2x 约去，再用法则求原式=222222222231lim x x x x x x x x x x x -++-+∞→=3122311lim 2222=-++-+∞→x x x x x x x ． (5) 不能直接运用极限运算法则，因为当+∞→x 时分子，极限不存在，但x sin 是有界函数，即1sin ≤x ,而0111lim1lim33=+=++∞→+∞→xx x x x x ，因此当+∞→x 时，31x x +为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得31sin limxx x x ++∞→=0．小结 （I ）应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存在（对于除法，分母极限不为零）才能适用．（II ）求函数极限时，经常出现,,00∞∞∞-∞等情况，都不能直接运用极限运算法则，必须对原式进行恒等变换、化简（约分、通分、有理化、变量代换等），然后再求极限．（III ）利用无穷小的性质求极限2． 两个重要极限(1)1sin lim 0=→x xx 我们来证明上述重要极限：作如右图所示单位圆，取)(rad x AOB =∠，于是有x x OB BC sin sin ==，x OBx AB ==⋂，x x OA AD tan tan ==．由图得x x x tan 2121sin 21<<， 所以1sin cos <<xxx 上述不等式是当20π<<x 时得到的，但因当x 用x -代换时x cos ，xxsin 都不变号，所以x 为负时，关系式也成立．因为1cos lim 0=→x x ，又11lim 0=→x ，由极限的夹逼准则知介于他们之间的函数xxsin 当0→x 时，极限也是1．这样就证明了1sin lim 0=→x xx 注意：这个重要的极限是“”型的，为了强调其形式，我们可以把它写成1sin lim 0=∇∇→∇（其中∇代表同一变量）． 例4 求下列函数的极限： （1）x x x 4sin 3sin lim 0→， （2）20cos 1lim xx x -→解（1）原式=43114344sin lim33sin lim43lim )444sin 333sin (lim 0000=⋅=⋅=→→→→xx x xx x x x x x xx x x x x ． DA即扇形,OAD OAB OAB S S S ∆∆<<（2）先利用二倍角公式2sin21cos 2x x -=，将分子转变成2sin 22x ． 原式=2122sin lim 212sin 2lim 20220=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→x x x x x x ． (2)e x xx =+∞→)11(lim ． 关于这个重要极限，我们不作理论讨论，可以列出xx)11(+的数值表（如下表所示）来从上表可看出，当x 无限增大时，函数x x )1(+的值大致趋势，当∞→x 时，x x)1(+的极限确实存在，且为无理数 718281828.2=e （在此不作证明），即e x xx =+∞→)11(lim 注意：此重要极限也有两个特征，一它是“∞1”型的极限；二它可以表示为e =∇∇+∞→∇)11(lim ．（其中∇代表同一变量）．例4 求下列函数的极限：（1）x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→31lim ， （2） xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛--∞→32lim ． 解 （1）所求极限是“∞1”型，令ux 13=，那么u x 3=． 原式=33311lim )11(lim e u uu u u u =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→． （2）x x x --=--31132，所以所求极限是“∞1”型，令ux 131=--，解得u x +=3，当∞→x 时，∞→u ．所以，原式=e u u u u u u uu =⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→+∞→3311lim 11lim 11lim ．小结 用两个重要极限公式求极限时，往往用三角公式或代数公式进行恒等变形或作变量代换，使之成为重要极限的标准形式。
高数教案_极限四则运算5
课 题: 极限的四则运算 目的要求：熟练掌握极限的四则运算 熟练应用两类多项式除法x →xo, x →∞两类求极限的方法初步掌握一些特殊函数的极限求解方法掌握复合函数求极限的方法 教学重点：熟练掌握极限的四则运算 教学难点：熟练掌握极限的四则运算 教学课时：2教学方法：讲练结合 教学内容与步骤：极限运算法则:设lim ()f x 及lim ()g x 都存在（假定x 在同一变化过程中），则有下列运算法则：法则１ lim[()()]lim ()lim ()f x g x f x g x ±=±． 法则２ lim[()()]lim ()lim ()f x g x f x g x ⋅=⋅．法则３ ()lim ()lim()lim ()f x f xg x g x = (lim ()0).g x ≠ 下面我们来证明法则２，其他证法类同． 证 设lim (),lim ()f x A g x B ==，则知(),()f x A g x B αβ=+=+（ α，β都是无穷小量）于是 ()()()()()f x g x A B AB A B αββααβ⋅=++=+++由无穷小的性质知A B βααβ++仍为无穷小，再由极限与无穷小的关系，得lim[()()]f x g x ⋅=AB =lim ()lim ()f x g x ⋅．推论： 设lim f (x )存在. C 为常数, n 为自然数. 则：(1) lim[Cf (x )] = C lim f (x )， (2) lim[f (x )]n = [lim f (x )]n练习１ 求22lim(341)x x x →-+．解 22222lim(341)lim3lim415x x x x x x x →→→-+=-+=练习２ 求22124lim 32x x x x →-+-+解 因为21lim(32)50x x →-+=≠,所以 2212211lim(24)243lim.32lim(32)5x x x x x x x x x →-→-→-+-+-==-++例３ 求224712lim 54x x x x x →-+-+．解 当4x =时，分子分母都为０，故可约去公因式22444712(3)(4)31lim lim lim .54(1)(4)13x x x x x x x x x x x x x →→→-+---===-+--- 例4 求2223lim 32x x x x x →∞++-+.解 2222132232lim lim 123233x x x x x x x x x x→∞→∞++++==-+-+． 一般地: 101(),n n n f x a x a x a -=+++L 设 101()m m m g x b x b x b -=+++L0,,()lim ,,()0,.x m n a f x m n g x b m n →∞⎧∞<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩当当当 0()lim()x x f x g x →= 00000000()()0()()()0 ,()0,()0f xg x g x x x f x g x g x f x ≠-==∞=≠想法约去因子但练习：求limx =limx例5 10,()sin 0,x e x f x x b x ⎧+>=⎨+≤⎩当时设当时问常数b 为何值时,0lim ().x f x →存在解: 这是一分段函数. 分段点x =0. 分段函数,在分段点处极限要分左, 右极限讨论.练习 求下列函数极限：(1) 3131lim()11x x x→---；(2) 011lim x x x →+； (3)3lim1x x→+∞+.解：(1)当1x →时,上式两项极限均为不存在(呈现∞-∞形式),我们可以先通分,再求极限.232221111313(1)(2)(1)2lim()lim lim lim 1.11(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x xx x x x x x x x →→→→-+++-+-====---++-++++ (2) 当0x →时,分子分母极限均为零(呈现 0形式),不能直接用商的极限法则,这时,可先对分子有理化,然后再求极限.0011(11)(11)1.2(11)(11)11x x x x x x x x x x x x →→→→+-+-++====++++++ (3) 因为当x →∞时, cos x x 极限不存在,也不能直接用极限法则,注意到cos x 有界(因为|cos |x ≤1),又：32limlim0,11x x x x x x→+∞==++根据有界乘无穷小仍是无穷小的性质,得33limlim cos 0.11x x xx→+∞==++小结： (1)运用极限法则时,必须注意只有各项极限存在(除式,还要分母极限不为零)才能适用；(2)如果所求极限呈现00,∞∞等形式不能直接用极限法则,必须先对原式进行恒等变形(约分,通分,有理化，变量代换等)，然后再求极限．(3)利用无穷小的运算性质求极限.复合函数的极限求复合函数的极限时, 常可用“ 换元法” 简化运算定理 y=f [ϕ(x )]由y =f (u ), u =ϕ(x )复合而成. 00lim (),x x x u ϕ→=若 0lim ().u u f u A →=而且在x 0的某去心邻域Û (x 0)内, ϕ(x ) ≠ u 0, 0:lim (())lim ()x x u u f x f u A ϕ→→==则例：2lim ln sin .x x π→求解: 令u =sin x . ,sin sin1.22x u x ππ→=→=当时代入.12lim ln sin limln u x x u π→→=ln10== 例：10lim xx e -→求解: 1.u x =令10,.x u x-→=→-∞当时代入,10lim lim 0u xu x e e -→-∞→==有 10lim ?xx e →+=若改为作 业：教学总结：。
极限运算教学设计
极限运算教学设计极限运算是高等数学中的一个重要概念，对于学生来说可能是一个难点。
为了帮助学生更好地理解和掌握极限运算，我设计了如下的教学活动。
活动1：引入极限的概念在开始讲解极限运算之前，先让学生回顾一下函数的基本概念。
通过实例让学生理解函数的定义域、值域和图像等基本概念。
然后引入极限的概念，向学生解释何为极限，并通过图像和具体的数学公式进行解释和说明。
让学生明白极限是描述函数在某处的值的性质。
活动2：直观理解极限为了帮助学生更好地理解极限，可以通过生动的图片和实例进行展示。
例如，选择一个大学生晨跑的实例，让学生通过观察晨跑的轨迹图和实时速度的变化，看是否能够判断出他的极限速度是多少。
通过这个实例的引导，让学生明白极限是指当自变量趋近于某个值时，函数的极限值。
活动3：极限的计算在学生理解了极限的概念之后，进入极限运算的计算部分。
首先从函数极限的基本性质开始讲解，例如极限的唯一性和有界性等。
然后逐步引入极限的四则运算法则，并通过具体的例子进行说明和运算。
让学生明白极限运算的基本法则和要点，并在教学过程中鼓励学生积极思考和参与讨论。
活动4：极限运算的应用在学生掌握了极限运算的基础之后，引入一些极限的应用问题，例如极限的求导法则、极限的计算和极限的函数性质等。
通过具体的应用问题，让学生知道极限在实际生活中的应用，并培养学生的数学建模能力和问题解决能力。
活动5：小组合作学习为了加强学生对极限运算的掌握和运用能力，可以组织学生进行小组合作学习。
将学生分为小组，给每个小组分配一道极限运算的问题，要求小组成员共同讨论解决方法，并在规定时间内给出解答。
鼓励小组内成员之间的相互讨论和合作，培养学生的合作和团队意识。
这些教学活动的设计旨在帮助学生更好地理解和掌握极限运算。
通过直观的图像和实例，让学生对极限的概念有一个直观的认知；通过具体的计算和应用问题，让学生对极限运算的方法和应用能有更深入的理解。
激发学生的学习兴趣和思考能力，提高学生的数学素养和解决问题的能力。
高三数学教案：2.4极限的四则运算(三)
课 题：2.4极限的四则运算(三)教学目的：1．熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限．2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力．3．正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想4. 掌握无穷等比数列各项的和公式.教学重点：使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件教学难点：使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a ，那么就说数列}{n a 以a 为极限.记作lim n n a a →∞=． 2.几个重要极限：（1）01lim =∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞→q q n n 3.函数极限的定义:(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a .记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a .记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .4.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞→x lim f (x )=c . ∞→x lim f (x )存在，表示+∞→x lim f (x )和-∞→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义5. 趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作0lim ()x x f x →=特别地，C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→ 6. 000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔== 其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限7. 对于函数极限有如下的运算法则：如果B x g A x f o o x x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么B A x g x f ox x +=+→)]()([lim , B A x g x f o x x ⋅=⋅→)]()([lim , )0()()(lim ≠=→B BA x g x f o x x 当C 是常数，n 是正整数时:)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→=,nx x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用8 数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么 B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(lim B A b a n n n .).(lim =∞→ )0(lim ≠=∞→B B A b a nn n 二、讲解范例：（一）运用极限的四则运算法则求数列的极限 例1 求100)21(lim xx +∞→.(利用公式法，∞→x lim ［f (x )］n =［∞→x lim f (x )］n .) 解：11)]21(lim [)21(lim 100100100==+=+∞→∞→xx x x 例2 11lim 22+++∞→x x x x .(利用n x x1lim ∞→=0) 解：111111lim 11lim 2222=+++=+++∞→∞→x x x x x x x x例3 xx x 11lim 0-+→.(分子有理化法.) 解：21111lim )11(lim 11lim 000=++=++⋅=-+→→→x x x x x x x x x 例4 )11(lim 22--+∞→x x x x .(分子有理化法) 解：112lim)11(lim 2222-++=--+∞→∞→x x x x x x x x 111211112lim 22=+=-++=∞→x x x 例5 求下列有限：（1）1312lim ++∞→n n n （2）1lim 2-∞→n n n 分析：（1）（2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用解：（1）1112lim(2)lim 2lim 212lim lim 1113133lim(3)lim3lim n n n n n n n n n n n n n n nn →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞++++====++++ （2）22211lim lim lim 01111lim(1)n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞===---（二）先求和再求极限例6 求下列极限：（1） )112171513(lim 2222+++++++++∞→n n n n n n ；（2）)39312421(lim 11--∞→++++++++n n n 解：（1） )112171513(lim 2222+++++++++∞→n n n n n n 222222[3(21)]1357(21)22lim lim lim lim 111111n n n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞→∞+++++++++=====++++（2）11212[()]1242212(21)33lim()lim lim lim 011139331(31)123n n n n n n n n n n n n n --→∞→∞→∞→∞-++++--====++++--- （三）公比绝对值小于1的无穷等比数列前n 项和的极限公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和.设无穷等比数列 ,,,,,112111-n q a q a q a a 的公比q 的绝对值小于1，则其各项的和S 为 q a S -=11 )1(<q例7 求无穷等比数列0.3， 0.03， 0.003，… 各项的和.解：0.3， 0.03， 0.003，…的首项10.3a =，公比0.1q =所以 s=0.3+ 0.03+ 0.003+…=0.3110.13=-例8 将无限循环小数。
函数极限的四则运算法则教案1
函数极限的四则运算法则教案1
教学目的
使同学掌握函数极限的运算法则；并能运用这些法则，根据几个已知的函数的极限，求出较复杂的有理函数的极限．
教学重点和难点
有理分函数的极限的求法．
教学过程
一、复习提问
1．复习数列极限的四则运算法则(包括乘方的极限的法则)．
2．复习几个简单函数的极限．即：
二、新课
1．指出对于函数，也有类似于数列极限的四则运算法则．即：
对上述定理可通过如下例题作简要说明．
例1根据函数极限定义和函数的图象，说出下列极限，并验证所给结论．
(其中f(x)为有理分函数)．
如果有理分函数f(x)的分子的最高次项为ax m，分母的最高次项为bx n(a≠0，b≠0)，那么
所以，若f(x)为有理整函数，则有
解：因为当x→x0时，分子、分母皆有极限且分母的极限不为零，因此有
判断下列各极限是否存在？如果存在，求其极限；如果不存在，说明理由．
利用上述例题和判断题可归纳如下：
三、小结
四、布置作业1．求下列极限：
2．求下列极限：
3．求下列极限：
4．求下列极限：。
极限的四则运算教案
极限的四则运算教案教学目标1．熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限．2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力．3．正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想．教学重点与难点使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件．教学过程设计（一）运用极限的四则运算法则求数列的极限师：高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个常用极限：例1 求下列极限：师：（1）中的式子如何转化才能求出极限．生：可以分子、分母同除以n3，就能够求出极限．师：（2）中含有幂型数，应该怎样转化？师：分子、分母同时除以3n-1结果如何？生：结果应该一样．师：分子、分母同时除以2n或2n-1，能否求出极限？（二）先求和再求极限例2 求下列极限：由学生自己先做，教师巡视．判断正误．生：因为极限的四则运算法则只适用于有限个数列加、减、乘、除的情况．此题当n→∞，和式成了无限项的和，不能使用运算法则，所以解法1是错的．师：解法2先用等差数列的求和公式，求出分子的和，满足了极限四则运算法则的条件，从而求出了极限．第（2）题应该怎样做？生：用等比数列的求和公式先求出分母的和．=12．师：例2告诉我们不能把处理有限项和问题的思路及方法随意地搬到无限项和的问题中去，要特别注意极限四则运算法则的适用条件．例3求下列极限：师：本例也应该先求出数列的解析式，然后再求极限，请同学观察所给数列的特点，想出对策．生：（1）题是连乘积的形式，可以进行约分变形．生：（2）题是分数和的形式，可以用“裂项法”变形．例4设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为S n，师：等比数列的前n项和S n怎样表示？师：看来此题要分情况讨论了．师：综合两位同学的讨论结果，解法如下：师：本例重点体现了分类讨论思想的运用能够使复杂问题条理化．同（三）公比绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限师：利用无穷等比数列所有各项和的概念以及求极限的知识，我们已经得到了公比的绝对值小于1的无穷等比数列各项和的公式：例5计算：题目不难，可由学生自己做．师：（1）中的数列有什么特点？师：（2）中求所有奇数项的和实质是求什么？（1）所给数列是等比数列；（2）公比的绝对值小于1；（四）利用极限的概念求数的取值范围师：（1）中a在一个等式中，如何求出它的值．生：只要得到一个含有a的方程就可以求出来了．师：同学能够想到用方程的思想解决问题非常好，怎样得到这个方程？生：先求极限．师：（2）中要求m的取值范围，如何利用所给的等式？|q|＜1，正好能得到一个含有m的不等式，解不等式就能求出m的范围．解得0＜m＜4．师：请同学归纳一下本课中求极限有哪些类型？生：主要有三种类型：（1）利用极限运算法则和三个常用极限，求数列的极限；（2）先求数列的前n项和，再求数列的极限；（3）求公比绝对值小于1的无穷等比数列的极限．师：求数列极限应注意的问题是什么？生甲：要注意公式使用的条件．生乙：要注意有限项和与无限项和的区别与联系．上述问答，教师应根据学生回答的情况，及时进行引导和必要的补充．（五）布置作业1．填空题：2．选择题：则x的取值范围是[ ]．的值是[ ]．A．2 B．-2C．1 D．-1作业答案或提示（7）a．2．选择题：（2）由于所给两个极限存在，所以a n与b n的极限必存在，得方程以上习题教师可以根据学生的状况，酌情选用．课堂教学设计说明1．掌握常用方法，深化学生思维．数学中对解题的要求，首先是学生能够按部就班地进行逻辑推理，寻找最常见的解题思路，当问题解决以后，教师要引导学生立即反思，为什么要这么做？对常用方法只停留在会用是不够的，应该对常用方法所体现的思维方式进行深入探讨，内化为自身的认知结构，然后把这种思维方式加以运用．例1的设计就是以此为目的的．2．展示典型错误，培养严谨思维．求数列极限的基本方法，学生并不难掌握，因此，例2采取让学生自己做的方式，有针对性地展示出此类题目在解题中容易出现的典型错误，让学生从正确与谬误的对比中，辨明是非、正误，强化求极限时应注意的条件，培养思维的严谨性．这种做法，会给学生留下难忘的印象，收到较好的教学效果．3．贯穿数学思想，提高解题能力．本课从始至终贯穿着转化的思想．而例4中的分类讨论思想，例6中的方程思想的应用，都对问题的解决，起到了决定性的作用，使复杂问题条理化，隐藏的问题明朗化．因此，只有培养学生良好的思维品质，在教学过程中不断渗透和深化数学思想方法，才能达到系统概括知识内容，沟通各类知识的纵横联系，提高解题能力的要求．。
极限的运算教案
极限的运算教案教案标题：极限的运算教案教案目标：1. 理解极限的概念及其运算规则。
2. 掌握极限运算的基本技巧。
3. 能够应用极限运算解决实际问题。
教案内容：一、导入（5分钟）1. 引入极限的概念，通过提问和实例引导学生思考。
2. 回顾函数的极限定义和求解方法。
二、理论讲解（15分钟）1. 介绍极限的四则运算法则，包括加法、减法、乘法和除法。
2. 解释每个运算法则的推导过程和应用条件。
3. 提供示例演示运用运算法则解决极限问题。
三、练习与讨论（20分钟）1. 分发练习题册，让学生独立完成一些基础的极限运算练习。
2. 鼓励学生在小组内相互讨论解题思路和方法。
3. 选取几道典型题目进行讲解和解答，帮助学生理解和掌握运算法则的应用。
四、拓展应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生运用极限运算解决。
2. 引导学生思考如何将实际问题转化为数学表达式，并进行极限运算。
3. 学生展示解题过程和结果，并进行讨论和评价。
五、总结与归纳（5分钟）1. 总结极限的运算法则及其应用要点。
2. 强调极限运算在数学和实际问题中的重要性。
3. 鼓励学生在课后继续练习和应用。
教案评估：1. 观察学生在课堂上的参与度和表现。
2. 检查学生完成的练习题和解题过程。
3. 针对学生的学习情况，提供个别辅导和指导。
教案延伸：1. 鼓励学生自主探究更复杂的极限运算问题。
2. 引导学生研究不同函数类型的极限运算规律。
3. 扩展到多元函数的极限运算。
教案备注：1. 教师应提前准备好教学材料和示例题目。
2. 鼓励学生积极参与讨论和解答问题，激发他们的学习兴趣。
3. 根据学生的实际情况，适当调整教学内容和难度。
极限的运算法则教案03
年级
专业
授课教师
授课时间
学时
授课
题目
极限的运算法则
教学
目标
知识目标：
熟悉极限的四则运算法则和复合函数的极限法则；提高理解能力与运算技能。
技能目标：
会利用高等数学的知识解决问题
素质目标：
学会用高数的思维考虑问题
教学
重点
极限的四则运算法则，复合函数的极限求解。
教学
难点
极限运算法则的熟练掌握。
教学
设limf(x)=A，limg(x)=B，C是任意常数，n是正整数。
法则Ⅰ 。
法则Ⅱ
特别地，当g(x)=C时，有 。
这就是说，求极限时，常数因子可以提到极限符号外面。又 。
法则Ⅲ
法则Ⅳ如果f(x)≥g(x)，那么A≥B。
必须注意，上述法则成立的前提是参与运算的函数存在极限，否则法则不能使用。
例6求 , , , 。
例7求 , 。
２、复合函数的极限法则
可以证明下述复合函数的极限法则：
定理2设函数 与函数 满足条件：（１） ；（２）当 时， ，且 。则复合函数 当 时的极限存在，且 。
思考
回答
理解
识记
理解
识记
小结
本节介绍了无穷大与无穷小的概念，无穷小的比较，以及它们在求极限中的应用；介绍了极限的四则运算法则与复合函数的极限法则，要熟练掌握。
作业
P49:4,5
教学反馈
教研室
审阅意见
方法
启发引导式讲授法
教学
准备
教师:教案
学生：预习相关知识
教学过程设计
教学内容
教师活动
学生活动
Ⅰ.观察法求极限，一般函数的极限的计算有其法则和技巧吗？
极限运算教学设计
极限运算教学设计导语：极限运算是数学分析的核心概念之一，对于大多数学科专业的学生来说，掌握极限运算是提高数学素养的关键。
本文将针对高中数学教学设计，介绍如何进行极限运算的教学设计，以帮助学生理解和掌握这一重要概念。
一、教学目标1. 掌握极限运算的基本定义和性质；2. 理解极限运算的概念在数学和实际问题中的应用；3. 能够运用极限运算解决相关数学问题；4. 发展学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学内容1. 极限运算的基本定义与性质：介绍极限的概念及其表示方法，探究极限运算的基本性质，如极限唯一性、有界性、保序性等；2. 极限运算的四则运算法则：教授四则运算法则以及极限的乘法法则、取极限的倒数法则等；3. 极限运算的应用：以实际问题为背景，引导学生将极限运算应用于求函数的极限、无穷小量比较、无穷远量比较等相关数学问题。
三、教学过程1. 导入：通过提问和讨论，引导学生思考函数在特定点处的变化趋势，激发学生对极限运算的兴趣和好奇心。
2. 知识点讲解：分别说明极限运算的基本定义与性质，引导学生理解“极限”的概念和运算规则。
通过讲解和示例，说明极限的四则运算法则及其应用场景。
3. 练习与探究：组织学生进行基础练习，巩固和应用所学的极限运算的基本法则，并指导学生探究函数极限的性质和规律。
通过小组合作、讨论和展示的形式，让学生发现极限运算的特点和应用。
4. 案例分析：提供一些实际问题和案例，引导学生将极限运算运用于解决问题。
例如，讨论无穷小量比较和无穷远量比较问题，培养学生分析和推理的能力。
5. 拓展与延伸：根据学生的兴趣和能力，提供一些有挑战性的练习和问题，激发学生独立思考和探索的能力。
鼓励学生进行深入的数学探究，并提供相关的参考资料和学习资源。
6. 总结与归纳：对本节课所学的极限运算的基本定义、性质和应用进行归纳总结，让学生对所学内容有一个清晰的认识和理解。
同时，复习已学知识点，帮助学生巩固所学。
四、教学评价1. 通过课堂练习、作业和小组合作等多种方式，检测学生对极限运算的掌握情况；2. 通过学生的参与和互动，观察学生对于极限运算的理解和应用能力；3. 通过课后答疑和个别辅导，帮助学生解决极限运算中遇到的困惑和问题；4. 定期进行综合性评价，如小测验或考试，评估学生对极限运算的全面掌握程度。
《 极限 极限的四则运算》优秀教案
分类讨论求极限例 已知数列{}n a 、{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为q p ,，其中q p >，且1≠p ，1≠q ，设n n n b a c +=，n S 为数列{}n C 的前n 项和，求1lim-∞→nnn S S（1997年全国高考试题，理科难度033）解： ()()111111--+--=q q b p p a S n n n ()()()()()()()()111111111111111--+----+--=---n n n n n n q p b p q a q p b p q a S S 分两种情况讨论；（1）当1>p 时，∵ 0>>q p ，故10<<pq， ∴1lim-∞→n nn S S()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------1111111111111111111lim n n n n n n n n n np p q p b p q a p p p q p b p q a p ()()()()()()01011010111111⨯-+--⨯-+--⋅=p b q a p b q a p()()p q a q a p =--⋅=1111 （2）当1<p 时，∵ 10<<<p q ， ∴ 1lim-∞→n nn S S()()()()()()()()11111111lim111111--+----+--=--∞→n n n n n q p b p q a q p b p q a ()()()()()()()()1011011011011111--+---⨯-+-⨯-=p b q a p b q a ()()()()111111111=--------=p b q a p b q a说明：该题综合考查了数列的基础知识、恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和求极限的方法．自变量趋向无穷时函数的极限例 求下列极限：（1）42242115lim x x x x x --+-∞→（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--∞→1212lim 223x x x x x 分析：第（1）题中，当∞→x 时，分子、分母都趋于无穷大，属于“∞∞”型，变形的一般方法是分子、分母同除以的最高次幂，再应用极限的运算法则．第（2）题中，当∞→x 时，分式1223-x x 与122+x x 都趋向于∞，这种形式叫“∞－∞”型，变形的一般方法是先通分，变成“∞∞”型或“00”型，再求极限．解：（1）211151lim 2115lim 24424224--+-=--+-∞→∞→xx x x x x x x x x .212000012lim 1lim 1lim 1lim 5lim 1lim 2442-=--+-=--+-=∞→∞→∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x xx（2）)12)(12()12()12(lim 1212lim 2223223+---+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∞→∞→x x x x x x x x x x x x )12)(12(11lim)12)(12(lim2223xx xx x xx x x +-+=+-+=∞→∞→ 41)02)(02(01)12(lim )12(lim )11(lim 2=+-+=+-+=∞→∞→∞→xx x x x x说明：“∞∞”型的式子求极限类似于数列极限的求法．无穷减无穷型极限求解例 求极限：（1）)11(lim 22x x x x x +--++-∞→（2）)11(lim 22x x x x x +--+++∞→分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限． 解：（1）原式22112limxx x x xx +-+++=-∞→222112limxx x x x x +-+++-=-∞→.11111112lim22-=+-+++-=-∞→xx xx x（2）原式22112limxx x x xx +-+++=+∞→.11111112lim22=+-+++=+∞→xx x x x说明：当0<x 时，2x x ≠，因此211111121122222→+-+++≠+-+++x xx xxx x x x．利用运算法则求极限例 计算下列极限： （1）⎪⎭⎫⎝⎛+-+++++++∞→123171411lim 2222n n n n n n ； （2）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++--∞→n n n 3112719131lim 1 （1992年全国高考试题，文科难度063）解： （1）原式()11321lim 2+-=∞→n n n n()232213lim 123lim 222=+-=+-=∞→∞→nn n n n n n （2）原式⎪⎭⎫⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞→31131131lim nn []41014131141lim =-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞→nn说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则的适用范围，下面的计算是错误的： （1）原式123lim 14lim 11lim 222+-+++++=∞→∞→∞→n n n n n n n（2）原式()4131131027********lim 271lim 91lim 31lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+++-=-+++-=-∞→∞→∞→∞→ n n n n n n 用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限例 设*N p ∈，求nn p n 1111lim1-⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→．分析：把111+⎪⎭⎫⎝⎛+p n 用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得．解：111221111)1()1(1111++++++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+p p p p p p nC n C n C n pp p p p p p nC C n C n C nn )1()1(111111131221111++++++++++=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴11111lim 111+==-⎪⎭⎫⎝⎛+∴++∞→p C nn p p n或：逆用等比数列求和公式：原式⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∞→pn n n n 1111111lim 211111+=+++=+p p个说明：要注意111+⎪⎭⎫⎝⎛+p n .)1(lim n n n n -+∞→∞→n ∞⋅0∞∞n n n n )1(lim -+∞→.211111lim 1lim)1()1)(1(lim=++=++=++++-+=∞→∞→∞→nnn n n n n n n n n n n n ∞⋅0n n n++1∞∞n 161)2(44lim 2=+++∞→n n n n m 的取值范围． 分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决．解：16142161lim )2(44lim 2=⎪⎭⎫⎝⎛++=++∞→+∞→nn n n nn m m 于是142<+m ，即26,424<<-<+<-m m ． 说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由16142161lim =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→n n m 可知，nm ⎪⎭⎫ ⎝⎛+42的极限必为0，而0→nq 的充要条件是1<q ，于是解不等式142<+m ． 零比零型的极限例 求xx x 11lim10-+→． 分析：这是一个00型的极限，显然当0→x 时，直接从函数xx 1110-+分子、分母中约去有困难，但是1110-+x 当0→x 时也趋近于0，此时化为1)1(1010-+x ，这就启发我们通过换元来解决这一难题，即设101x y +=，则110-=y x ．解：设101x y +=，则110-=y x ，于是，当0→x 时，1→y ． 原式10111lim 11lim891101=++++=--=→→y y y y y y y说明：本题采用的换元法是把0→x 化为01→-y ，这是一种变量代换．灵活地运用这种代换，可以解决。
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2.4 极限的四则运算（一）
古浪五中---姚祺鹏
【教学目标】
（一）知识与技能
1．掌握函数极限四则运算法则；
2．会用极限四则运算法则求较复杂函数的极限；
3．提高问题的转化能力，体会事物之间的联系与转化的关系；
（二）过程与方法
1.掌握极限的四则运算法则，并能使用它求一些复杂数列的极限.
2.从函数极限联想到数列极限，从“一般”到“特殊”.
（三）情态与价值观
1.培养学习进行类比的数学思想
2.培养学习总结、归纳的能力，学会从“一般”到“特殊”，从“特殊”到“一般”转化的思想.同时培养学生的创新精神，加强学生的的实践能力。
(四)高考阐释：
高考对极限的考察以选择题和填空题为主，考察基本运算，此类题目的特点在于需要进行巧妙的恒等变形，立足课本基础知识和基本方法
【教学重点与难点】
重点：掌握函数极限的四则运算法则；
难点：难点是运算法则的应用（会分析已知函数由哪些基本函数经过怎样的运算结合而成的）．
【教学过程】
1．提问复习，引入新课
对简单函数，我们可以根据它的图象或通过分析函数值的变化趋势直接写出它们的极
限．如 1lim ,21
21lim
1
1==→→x x x x ． 让学生求下列极限： （1）x x 1
lim →； （2）x x 21
lim
1→； （3）)12(lim 21+→x x ； （4）x x 2lim 1
→
对于复杂一点的函数，如何求极限呢？例如计算⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+→x x x 21lim 1即x x x 212lim 21+→，显然通过画
图或分析函数值的变化趋势找出它的极限值是不方便的．因此、我们有必要探讨有关极限的运算法则，通过法则，把求复杂函数的极限问题转化为求简单函数的极限． 板书课题：极限的四则运算． 2．特殊探路，发现规律
考察x
x x 21
2lim 21+→完成下表：
根据计算（用计算器）和极限概念，得出23212lim 21=+→x x x ，与1lim 21
21lim 11==→→x x x x 、 对
比发现：2321121lim lim 21lim 212lim
11121=+=+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=+→→→→x x x x x x x x x x ． 由此得出一般结论：函数极限的四则运算法则： 如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0
，那么
特别地:（1）[])(lim )(lim 0
x f C x f C x x x x →→⋅=⋅（C 为常数）
（2）[])N ()(lim )(lim *00∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=→→n x f x f n
x x n
x x
（3）这些法则对∞→x 的情况仍然成立．
（4）两个常用极限n
n x x x x 00lim =→，)N (01lim *∈=∞→n x
n x
3．应用举例，熟悉法则
例1 求1
21
2lim 2321-+++→x x x x x
问：已知函数中含有哪些简单函数？它是经过怎样的运算结合而成的？是否适用法则？适用哪一条法则？师生共同分析，边问边答规范写出解答过程．
解：21
12111121lim 2lim lim 1lim lim 2lim )12(lim )12(lim 1212lim 2321
21
31
1
121231
212321=-⨯+++⨯=-+++=-+++=-+++→→→→→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x （1）讲解时注意提问每一步的依据，做到“言必有据”，培养严谨的思维． （2）书写时，由于极限符号“lim ”有运算意义，因此在未求出极限值时，丢掉符号是错误的．
点评：例1说明，求某些函数（到底是哪些函数，学了2.6节就知道了．激发学生学习积极性，为讲连续函数埋下伏笔）在某一点0x x =处的极限值时，只要把0x x =代入函数解析式中就可得到极限值，此种求极限值的方法不妨叫代入法 巩固练习：教科书第88页第1题．
例2 求1
21lim 221---→x x x x ．
问：本题还能用代入法求其极限值吗？为什么？引导分析：如果把1=x 直接代入
1
21
22---x x x 中，那么分子、分母都为零．虽然分子、分母的极限都存在，但不适合用商
的法则（为什么？），不能简单用代入法求这个极限．根据极限概念和思想，所求极限只取决于点1=x 处附近的点（即可认为1≠x ），故可把分子、分母分解因式后约去公因式1-x ，从而转化为可用代入法求极限的情形．通过本例，不仅对法则的适用条件加深了理解，而且进一步深化了对极限概念和思想本质的认识． 解：原式
点评：函数在某一点的极限，考察的是函数值的变化趋势，与函数在这一点是否有定义、是否等于在这一点的函数值无关，故本例可约去公因式1-x ． 巩固练习：教科书第88页练习第2题 4．归纳小结，掌握通法
（1）函数极限四则运算法则．
（2）一般地，中学阶段接触到的函数，若要求其在某一点处的极限值，通常可直接用代入法，或者是先变形（主要是约去公因式），转化为可用代入法求极限的情形． 5.布置作业
教科书习题2.5第1题．
思考题：已知53
2lim 2
23=--++→x x b
ax x x ，求常数a 、b 的值． 6.板书设计 7.教学反思。