2.7 向量的应用举例 学案 高中数学必修4(北师大版)
(北师大版)高中数学必修四：2.7《向量在物理中的应用举例》例题讲解
向量在物理中的应用举例向量起源于物理，是从物理学中抽象出来的数学概念.物理学中的许多问题，如位移、速度、加速度等都可以利用向量来解决.用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问题，即根据题目的条件建立数学模型，再转化为数学中的向量运算来完成．１．解决力学问题例1 质量为m 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，求斜面对于物体的摩擦力和支持力的大小．解：如图1，物体受三个力：重力G （竖直向下，大小为mg Ｎ），斜面对物体的支持力F （垂直于斜面，向上，设其大小为F Ｎ），摩擦力f （与斜面平行，向上，大小为f Ｎ）．由于物体静止，故这三个力平衡，合力为0， 即G F f ++=0． ①记垂直于斜面向下、大小为1N 的力为e 1，与斜面平行向下、大小为1N 的力为2e ，以e 1，e 2为基底，则()()F F f f =-=-00，，，，由e 1旋转到G 方向的角为θ，则=G (cos sin )θθ，mg mg ．由①得过且过++=G F f （cos θ-mg F ，sin θ-mg f ）(00)=，， cos mg θ∴-F 0=，sin θ-mg f 0=，故F cos mg θ=，f sin mg θ=．例2 有两根柱子相距20m ，分别位于电车的两侧，在两柱之间连结一条水平的绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点，如果送电线在这点垂直向下的作用力是17.8N ，则这条成水平的绳子的中点下降0.2m ，求此时绳子所受的张力．的力分别记为解：如图2所示，设重力作用点为C ，绳子AC BC ，所承受CE CF ，，重力记为CG ．由C 为绳子的中点知CE CF =．由CE CF CG +=，知四边形CFGE 为菱形．又cos cos 0.02FCG DCB ∠=∠=≈，18.92445cos 0.02CGCE CFFCG ∴====∠．即绳子所受的张力为445N ．2．解决与位移、速度有关的问题例3 一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30，风速为4m/s ，这时气象台报告实际风速为2m/s ．试求风的实际方向和汽车的速度大小．分析：这是一个需要用向量知识解决的物理问题，因此，先要用物理概念建立解题意向，再使用向量形象描述，进而分析题意，创建数学模型，最后利用解直角三角形的技巧把问题解决．解：依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v 车地，风对车的速度为v 风车，风对地的速度为v 风地． 风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v 风地=v 风车+v 车地． 如图3，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v 风地的有向线段AD 是ACDB 的对角线．4m/s AC =，302m/s ACD AD ∠==，，90ADC ∴∠=．在Rt ADC △中，cos3023(m/s)DC AC ==·．即风向的实际方向是正南方向；汽车速度的大小为．例4 一位模型赛车手摇控一辆赛车，向正东方向前进1米，逆时针方向转弯α度，继续按直线向前行进1米，再按逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此法继续操作下去．（1） 作图说明，当45α=时，操作几次赛车的位移为0．（2） 若按此操作赛车能回到出发点，α应满足什么条件，请写出其中两个． 解：（1）作图，如图4，赛车位移路线构成一个正八边形． 赛车所行路程为8米，操作8次赛车的位移为0．（2）若按此法操作n 次赛车能回到出发点，则操作n 次赛车的位 移为0，赛车位移路线构成一个正n 边形，由平面几何知识，360n α=（多边形外角和定理），360(3)n n n α*∴=∈N 且≥．若60α=，则6n =，即操作6次可回到起点． 若15α=，则24n =，即操作24次可回到起点．评注：本题是向量位移的应用，培养了同学们动手操作绘图能力，分析问题及解决问题的能力．。
2.7.2向量的应用举例 课件高中数学必修4(北师大版)
→ → → → 2 2 2 即| AC | ＋| BD | ＝2(| AB | ＋| AD |2).
2.7.2
探究点二 向量的线性运算在物理中的应用
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向量有丰富的物理背景.向量源于物理中的力、速度、加速 度、位移等“矢量”；向量在解决涉及上述物理量的合成 与分解时，实质就是向量的线性运算.
1 1
→ CD ＝(x ，y )，则用坐标证明 x x ＋y y ＝0 即可.
2 2 1 2 1 2
a· b (5)常用|a|＝ a· a和 cos θ＝|a||b|处理有关长度与角度的问题.
2.7.2
例如， 在平行四边形中有下列的结论： 平行四边形两条对角线 的平方和等于两条邻边平方和的 2 倍.请用向量法给出证明.
2.7.2
探究点一
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平面向量在几何中的应用
用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、线 共点以及角度等问题时有独到之处， 且解法思路清晰、 简洁 直观 .其基本方法是：
→ → (1)要证明线段 AB＝ CD，可转化为证明|AB |＝ | CD |.
(2)要证明 AB∥ CD，只需证明存在一个不为零实数 λ，使得
2.7.2
①建立平面几何与向量的联系， 用向量表示问题中涉及的几 何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
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③把运算结果“翻译”成几何关系. 2.平面向量知识在物理问题中的应用 (1)力、速度、加速度、位移以及运动的合成与分解就是向 量的加减法， 利用向量的平行四边形法则或三角形法则加以 解决. (2)物体在力 F 的作用下，发生位移 s 时，力 F 所做的功就 是力 F 与位移 s 的数量积. (3)动量是质量与速度的数乘向量.
高中数学 第二章 平面向量 2.7 向量应用举例学案(含解析)北师大版必修4-北师大版高二必修4数学
§7 向量应用举例知识点一 向量在解析几何中的应用[填一填]1．若M (x 0，y 0)是平面上一定点，它到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.2．与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，则它的方向向量为(B ，－A )，它的法向量为(A ，B )．[答一答]1．向量在解析几何中的作用是什么？提示：在平面直角坐标系中，有序实数对(x ，y )既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．知识点二 向量在平面几何中的应用[填一填]3．可运用向量的方法证明有关直线平行和垂直、线段的相等及点共线等问题，其基本方法有：(1)要证明两线段AB ＝CD ，可转化为证明AB →2＝CD →2；(2)要证明两线段AB ∥CD ，只要证明：存在一实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立； (3)要证明两线段AB ⊥CD ，只要证明它们的数量积AB →·CD →＝0即可；(4)要证明A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →；或若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，只要证明存在一个实数t ，使c ＝t a ＋(1－t )b ；(5)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝a ·b|a ||b |. [答一答]2．用向量法证明或解决几何问题的基本步骤是什么？提示：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．知识点三 向量在物理中的应用[填一填]4．(1)求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的三角形法则或平行四边形法则求解．(2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用向量表示；②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； ③结果还原为物理问题．[答一答]3．用向量理论讨论物理中的相关问题，应遵循什么步骤？提示：一般来说分为三步：①问题的转化，把物理问题转化为数学问题；②建立模型，建立以向量为主体的数学模型，求出数学模型的相关解；③问题的答案，回到物理现象中去，用已经获得的数值去解释一些物理现象．对直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量及法向量的两点说明(1)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)为直线上不重合的两点，则P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)及其共线的向量λP 1P 2→均为直线的方向向量．显然当x 1≠x 2时，向量(1，y 2－y 1x 2－x 1)与P 1P 2→共线，因此向量(1，－A B )＝1B(B ，－A )为直线l 的方向向量，由共线向量的特征可知(B ，－A )为直线l 的方向向量． (2)结合法向量的定义可知，向量(A ，B )与(B ，－A )垂直，从而向量(A ，B )为直线l 的法向量.类型一 直线的方向向量与法向量的应用 【例1】 已知点A (2，－1)，求：(1)过点A 且与向量a ＝(5,1)平行的直线的方程； (2)过点A 且与向量a ＝(5,1)垂直的直线的方程．【思路探究】 可利用直线的方向向量和弦向量求直线的方程．【解】 解法一：(1)设所求直线上任意一点P (x ，y )，由题意，知AP →∥a .AP →＝(x －2，y ＋1)，a ＝(5,1)，∴5(y ＋1)－(x －2)＝0， 即x －5y －7＝0.故过点A 且与向量a ＝(5,1)平行的直线方程为x －5y －7＝0. (2)设所求直线上任意一点P (x ，y )． 由题意，知AP →⊥a ，即AP →·a ＝0. ∵AP →＝(x －2，y ＋1)，a ＝(5,1)， ∴5(x －2)＋(y ＋1)＝0，即5x ＋y －9＝0.故过点A 且与向量a ＝(5,1)垂直的直线方程为5x ＋y －9＝0. 解法二：(1)∵所求直线与向量a ＝(5,1)平行， ∴所求直线的斜率为15.又所求直线过点A (2，－1)，∴所求直线方程为y －(－1)＝15(x －2)，即x －5y －7＝0.(2)∵所求直线与向量a ＝(5,1)垂直，∴所求直线的斜率为－5，又所求直线过点A (2，－1)， ∴所求直线方程为y －(－1)＝－5(x －2)， 即5x ＋y －9＝0.规律方法 解法一采用了求轨迹方程的方法，先在所求直线上设一动点P (x ，y )，再利用向量平行、垂直的条件建立x ，y 的关系；解法二应用了直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系求解．过点A (－1,2)且与直线l ：4x －5y ＋1＝0垂直的直线m 的方程是5x ＋4y －3＝0. 解析：取直线l 的法向量n ＝(4，－5)．设点P (x ，y )在所求直线m 上， 则AP →＝(x ＋1，y －2)． 由题意，知AP →与n 平行， 即4(y －2)－(－5)(x ＋1)＝0， 故直线m 的方程为5x ＋4y －3＝0.类型二 向量在平面几何中的应用【例2】 如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝3，点D 在线段BC 上，且BD ＝12DC .求：(1)AD 的长； (2)∠DAC 的大小．【思路探究】 (1)由于AB →，AC →的模及夹角已知，因此可以以AB →，AC →为基底表示AD →，结合向量的数量积求解|AD →|；(2)∠DAC 的求解需利用公式cos ∠DAC ＝AD →·AC→|AD →||AC →|.【解】 (1)设AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝23a ＋13b .∴|AD →|2＝AD →2＝(23a ＋13b )2＝49a 2＋2×29a ·b ＋19b 2＝49×9＋2×29×3×3×cos120°＋19×9＝3.故AD ＝ 3.(2)设∠DAC ＝θ，则θ为向量AD →与AC →的夹角．∵cos θ＝AD →·AC→|AD →||AC →|＝(23a ＋13b )·b 3×3＝13b 2＋23a ·b 33＝13×9＋23×3×3×cos120°33＝0，∴θ＝90°，即∠DAC ＝90°.规律方法 利用向量解决平面几何问题的两种方法(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模长或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，坐标易表示或易建立平面直角坐标系的题目适合用坐标法．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB .求证：BC ⊥AC .证明：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系． 设CD ＝1，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)， ∴BC →＝(－1,1)，AC →＝(1,1)．∵BC →·AC →＝－1×1＋1×1＝0，∴BC ⊥AC .类型三 向量在物理中的应用【例3】 设作用于同一点O 的三个力F 1，F 2，F 3处于平衡状态，若|F 1|＝1，|F 2|＝2，F 1和F 2的夹角为2π3(如图所示)．求：(1)F 3的大小． (2)〈F 3，F 2〉的大小．【思路探究】 第(1)问根据受力平衡原理可知F 3＝－(F 1＋F 2)，从而|F 3|＝|F 1＋F 2|＝(F 1＋F 2)2；第(2)问以点O 为坐标原点，F 2的方向为x 轴正方向，建立直角坐标系，将F 1，F 3正交分解，根据受力平衡建立方程并求解．【解】 (1)F 1，F 2，F 3处于平衡状态，故F 1＋F 2＋F 3＝0，即F 3＝－(F 1＋F 2)， 所以|F 3|＝|F 1＋F 2|＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝1＋4＋2×1×2cos 2π3＝ 3.(2)如图，以点O 为坐标原点，F 2的方向为x 轴正方向，建立直角坐标系．将向量F 1，F 3正交分解，设∠MOF 3＝θ.由受力平衡知|F 3|sin θ＝|F 1|cos π6，即3sin θ＝32，所以θ＝π6，所以〈F 3，F 2〉＝π－π6＝5π6.规律方法 用向量解决物理问题的步骤(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；(2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题．(1)如果一架飞机先向东飞行200 km ，再向南飞行300 km ，设飞机飞行的路程为s km ，位移为a ，则( A )A ．s >|a |B ．s <|a |C ．s ＝|a |D ．s 与|a |不能比较大小(2)已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4＝( D )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)解析：(1)物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s ＝500，由位移的合成易得|a |<500，故s >|a |.(2)由题意知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝－[(－2，－1)＋(－3，2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2)．类型四 向量在平面解析几何中的应用【例4】 已知点P (－3,0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →.当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．【思路探究】 设出M 点坐标，利用AM →＝－32MQ →，可以将A 点的坐标用M 点的坐标表示出来，从而用P A →·AM →＝0确定所求轨迹．以向量为载体考查解析几何的问题．【解】 设点M (x ，y )为轨迹上的任一点，设A (0，b )，Q (a,0)(a >0)，则AM →＝(x ，y －b )，MQ →＝(a －x ，－y )．∵AM →＝－32MQ →，∴(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )．∴a ＝x 3，b ＝－y2，即A (0，－y 2)，Q (x 3，0).P A →＝(3，－y 2)，AM →＝(x ，3y2)．∵P A →·AM →＝0，∴3x －34y 2＝0.即所求轨迹方程为y 2＝4x (x >0)．规律方法 利用向量的运算求轨迹要理解几何关系与向量表示的内在联系，正确理解向量条件是解题的基础．向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有利工具，对于证明垂直、求夹角、写直线方程等问题显示出了它的优越性，在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．解：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)．因为MA →＝2AN →， 所以(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 0＝2x －2，1－y 0＝2y －2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y ，又因为点M (x 0，y 0)在圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4上， 所以(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4， 所以(2x )2＋(2y )2＝4，即x 2＋y 2＝1， 所以点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.——易错警示—— 向量在几何应用中的误区【例5】 在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，则△ABC 的形状为________．【错解】 直角三角形【正解】 因为向量AB →|AB →|，AC →|AC →|①分别表示与向量AB →，AC →同向的单位向量，所以以AB→|AB →|，AC→|AC →|为邻边的平行四边形是菱形．根据平行四边形法则作AD →＝AB →|AB →|＋AC →|AC →|②(如图所示)，则AD 是∠BAC 的平分线．因为非零向量满足(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线AD 垂直于BC ，所以AB ＝AC ，又cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，且∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．【错解分析】 解答过程中，若未能分析出①所表示的几何意义，或者未能根据平行四边形法则分析出②所表示的几何意义，就会直接根据数量积为零的条件判断△ABC 是直角三角形．【答案】 等边三角形【防范措施】 1.注意知识的积累向量线性运算和数量积的几何意义是解决向量问题的依据，如本例中AB →|AB →|，AC→|AC →|的含义，邻边相等的平行四边形是菱形，菱形的对角线平分对角．2．树立数形结合意识推导图形的形状时要以题目条件为依据全面进行推导，回答应力求准确，如本例求解时，以图形辅助解题，较为形象直观．O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 是( B )A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形解析：由题知，(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝CB →·(AB →＋AC →)＝0，如图所示，其中AB →＋AC →＝2AD →(D 为BC 中点)， 所以AD ⊥BC ，即AD 是BC 的中垂线，所以AB ＝AC ， 即△ABC 为等腰三角形，故选B.一、选择题1．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为( A )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形解析：根据题目提供的选项，首先要看是否有两边平行．因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，所以AD →∥BC →.而AB →与CD →不平行，则四边形ABCD 为梯形，应选A.2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( D ) A ．1 B. 3 C ．2D. 5解析：本小题主要考查点到直线的距离公式． 由点到直线的距离公式得d ＝|0＋2·0－5|12＋22＝55＝ 5.3．某人骑自行车的速度为v 1，风速为v 2(|v 1|>|v 2|)，则逆风行驶的速度大小为( C ) A ．v 1－v 2B ．－v 1－v 2C ．|v 1|v 2|D ．|v 1v 2|解析：逆风行驶的速度为v ＝v 1＋v 2，因为v 1∥v 2，且方向相反，,所以|v |＝|v 1|v 2|(|v 1|>|v 2|)．二、填空题4.在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为O (0,0)，B (1,1)，则AB →·AC →＝1.解析：如图所示，AB →＝(0,1)，AC →＝(－1,1)，AB →·AC →＝(0,1)·(－1,1)＝1.5.已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|等于2.解析：∵OA →－3OB →＋2OC →＝0，∴(OA →－OB →)－2(OB →－OC →)＝0.∴BA →＝2CB →. ∴|BA →|＝2|CB →|.∴|AB →||BC →|＝2.三、解答题6.如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线DB 的延长线及反向延长线上分别取E 、F 两点，使BE ＝DF ，求证：四边形AECF 也是平行四边形．证明：由题意得：BE →＝FD →，AB →＝DC →，,所以AE →＝AB →＋BE →＝DC →＋FD →＝FC →. 即AE ∥FC ，且|AE →|＝|FC →|.所以四边形AECF 是平行四边形．。
2.7向量应用举例教案高中数学必修四北师大版
§7 向量应用举例7．1点到直线的距离公式7．2向量的应用举例●三维目标1．知识与技能(1)理解点到直线的距离公式的推导并能应用．(2)会用向量方法处理简单的物理和几何问题．2．过程与方法通过本节的学习，研究向量法和坐标法处理物理和几何问题的思想．3．情感、态度与价值观(1)培养分析事物间相互联系的能力，提高学科间相互渗透的学习方法．(2)通过对实际问题的抽象思考，培养分析问题和应用知识解决问题的意识与能力．(3)培养热爱生活、热爱自然的高尚情怀．●重点难点重点：掌握点到直线的距离公式，并能用向量处理简单实际问题．难点：用向量法解决平面几何问题．(教师用书独具)●教学建议本小节包括向量在两方面的应用，一是向量在平面几何中的应用，二是向量在解析几何中的应用．教科书通过例题说明向量在这两方面的应用．教学中要注意通过例题教学，总结用向量解题的一般方法，让学生体会向量的工具作用，从而建立向量与平面几何、解析几何的联系，提高学生分析问题、解决问题的能力．向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．教学中要让学生注意两个方面，一是通过实例，体会如何把物理问题转化成数学问题，即如何将物理量之间的关系抽象成数学模型，另一方面是如何利用数学模型的解来解释相应的物理现象．●教学流程由直线的方向向量引入学习直线的法向量．⇒引导学生推导点到直线的距离公式．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握向量方法解决平面几何问题的思路．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握向量在解析几何中的应用．⇒掌握向量在物理中的应用，引导学习例3及变式训练．⇒归纳整理本节知识，整体把握向量的应用．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.类比直线的方向向量的定义思考，与直线l 垂直的非零向量是否也是特殊向量？ 【提示】 是，为直线的法向量．1．与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量．2．若直线l 的方向向量v ＝(B ，－A )，则直线l 的法向量为n ＝(A ，B )，与直线l 的法向量n 同向的单位向量n 0＝n|n |＝(A A 2＋B 2，B A 2＋B 2).n 为直线l 的法向量，P 为直线l 上任一点，点M 是平面内一定点且不在直线l 上，那么点M 到直线l 的距离d 与向量PM →，n 有怎样的关系？【提示】 点M 到直线l 的距离d 即为向量PM →在向量n 方向上的射影的绝对值，即d ＝|PM →·n ||n |.若M (x 0，y 0)是平面上一定点，它到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.图2－7－1如图，正三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的一个三等分点，且AE 、CD 交于点P .求证：BP ⊥DC .【思路探究】选择一组基底来表示BP →，DC →→ BP →·DC →＝0→BP →⊥DC →→BP ⊥DC【自主解答】 设PD →＝λCD →并设正三角形ABC 的边长为a ，则有 P A →＝PD →＋DA →＝λCD →＋13BA →＝λ(23BA →－BC →)＋13BA →＝13(2λ＋1)BA →－λBC →，又EA →＝BA →－13BC →，P A →∥EA →，设P A →＝kEA →，∴13(2λ＋1)BA →－λBC →＝kBA →－13kBC →， 于是有⎩⎨⎧13(2λ＋1)＝k λ＝13k，解得λ＝17，∴PD →＝17CD →，∴CP →＝67CD →，∵CD →＝23BA →－BC →，∴BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋67CD →＝BC →＋67(23BA →－BC →)＝17BC →＋47BA →， ∴BP →·CD →＝(17BC →＋47BA →)·(23BA →－BC →)＝221BC →·BA →－17BC →2＋821BA →2－47BA →·BC →＝221a 2cos 60°－17a 2＋821a 2－47a 2cos 60° ＝521a 2－1021a 2×12＝0， ∴BP →⊥CD →，∴BP ⊥CD .1．解决此类问题通常先选取一组基底，基底中的向量最好已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果还原为几何关系．2．如果题目中有垂直关系，也可建立适当的坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题转化为代数运算．图2－7－2如图2－7－2所示，已知▱ABCD 中，E 、F 在对角线BD 上，且BE ＝FD . 求证：四边形AECF 是平行四边形．【解】 由已知可设AB →＝DC →＝a ，BE →＝FD →＝b ，故AE →＝AB →＋BE →＝a ＋b ，FC →＝FD →＋DC →＝b ＋a . 又∵a ＋b ＝b ＋a ，则AE →＝FC →，即AE 、FC 平行且相等， 故四边形AECF 是平行四边形.已知点A (－1,2)，直线l ：4x －3y ＋9＝0，求：(1)过点A 且与直线l 平行的直线方程； (2)过点A 且与直线l 垂直的直线方程．【思路探究】 法一 先由直线的方程找到直线的方向向量u ，再设所求直线上一点P ，(1)利用AP →∥u 求方程，(2)利用AP →·u ＝0求方程．法二 先由直线的方程找到直线的法向量n ，再设所求直线上一点Q ，(1)利用AQ →·n ＝0求方程．(2)利用AQ →∥n 求方程．【自主解答】 法一 (1)与直线l 平行的一个向量为u ＝(3,4)， 设P (x ，y )为所求直线上一动点，则AP →＝(x ＋1，y －2)， ∵所求直线与已知直线平行， ∴AP →∥u ，∴3(y －2)－4(x ＋1)＝0， 化简得4x －3y ＋10＝0.即所求直线的方程为4x －3y ＋10＝0. (2)已知直线的一个方向向量为u ＝(3,4)， 设P (x ，y )为所求直线上一动点， 则AP →＝(x ＋1，y －2)， ∵所求直线与已知直线垂直， ∴AP →·u ＝0，∴3(x ＋1)＋4(y －2)＝0， 化简得3x ＋4y －5＝0.即所求直线的方程为3x ＋4y －5＝0.法二 (1)已知直线的一个法向量为n ＝(－4,3)， 设Q (x ，y )为所求直线上一动点，则AQ →＝(x ＋1，y －2)， ∵所求直线与已知直线平行，∴AQ →·n ＝0，∴－4(x ＋1)＋3(y －2)＝0， 化简得4x －3y ＋10＝0.即所求直线的方程为4x －3y ＋10＝0. (2)已知直线的一个法向量为n ＝(－4,3)，设Q (x ，y )为所求直线上一动点，则AQ →＝(x ＋1，y －2)， ∵所求直线与已知直线垂直， ∴AQ →∥n ，∴－4(y －2)－3(x ＋1)＝0，化简得3x ＋4y －5＝0. 即所求直线的方程为3x ＋4y －5＝0.利用方向向量及法向量求直线的方程，其关键在于探寻所求直线的方向向量同已知直线方向向量或法向量的关系．1．所求直线与已知直线平行则和已知直线的方向向量平行，和已知直线的法向量垂直． 2．所求直线与已知直线垂直则和已知直线的方向向量垂直，和已知直线的法向量平行．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．【解】 设N (x ，y )，M (x 0，y 0)，∴MA →＝(1－x 0,1－y 0)，AN →＝(x －1，y －1)． 依题设MA →＝2AN →，则(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 0＝2x －21－y 0＝2y －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y .又∵点M (x 0，y 0)在圆C 上，∴(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，则x 2＋y 2＝1. 故点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.。
高一数学教学案2.7平面向量应用举例北师大版必修4
五课后巩固练习
1.在平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长。
2在平面上的三个力 作用于一点且处于平衡状态， 的夹角为 ，求：（1） 的大小；（2） 与 夹角的大小。
4.掌握向量理论在相关物理问题中的初步运用，实现学科与学科之间的融合，会用向量知识解决一些物理问题.
教学过程
一自主学习
⑴力、速度、加速度、位移向量.（填是、不是）
⑵动量 是实数与向量的.
⑶功是力 与所产生位移 的.
⑷向量是既有又有的量，物理中的很多量都是向量，如
等.（至少要填四个物理量）
5）点到直线的距离公式：
二师生互动
例1平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如下图， ， ，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
式：在 中，若 ，判断 的形状.
例2已知两恒力 、 作用于同一质点，使之由点 移动到点 ，试求：
⑴ 分别对质点所做的功；
⑵ 的合力 对质点所做的功.
已知 作用一物体，使物体从 移动到 ，则力 对物体所做的功是多少？
三巩固练习
1.在 中，若 ，则 为（）
A.正三角形B.直接三角形
C.等腰三角形D.无法确定
2.已知在 中， ， ， , 为 边上的高，则点 的坐标为（）
A. B. C. D.
3.已知 ， ， ，则 的形状为.
4已知正方形 的边长为 ， ， ， ，则 等于多少？
4在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？
教案、学案用纸Biblioteka 年级高一学科数学课题
高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例学案北师大版必修4
2.7 向量应用举例1．假设M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C ＝0距离为____________．预习交流1点(2,4)到直线y＝2x－1距离是__________．2．与直线方向向量垂直向量为该直线法向量．设直线l：Ax＋By＋C＝0，那么它方向向量为________，它法向量为________．3．可运用向量方法证明有关直线平行与垂直、线段相等及点共线等问题，其根本方法有：(1)要证明两线段AB＝CD，可转化为证明AB→2＝CD→2；(2)要证明两线段AB∥CD，只要证明：存在一实数λ≠0，使AB→＝λCD→成立；(3)要证明两线段AB⊥CD，只要证明它们数量积AB→·CD→＝0即可；(4)要证A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB→＝λAC→；或假设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，只要证明存在一个实数t，使c＝t a＋(1－t)b；(5)求与夹角相关问题，往往利用向量夹角公式cos θ＝a·b|a||b|.预习交流2(1)假设四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，那么该四边形一定是( )．A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形(2)在平面直角坐标系中，正方形OABC对角线OB两端点分别为O(0,0)，B(1,1)，那么AB→·AC→＝__________.4．向量在物理中应用：(1)求力向量，速度向量常用方法：一般是向量几何化，借助于向量求与三角形法那么或平行四边形法那么求解．(2)用向量方法解决物理问题步骤：①把物理问题中相关量用向量表示；②转化为向量问题模型，通过向量运算使问题解决；③结果复原为物理问题．预习交流3向量可以解决哪些物理问题？答案：1．d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2预习交流1：d ＝|2×2－4－1|22＋(－1)2＝55.2．(B ，－A ) (A ，B )预习交流2：(1)B (2)1 解析：如下图，AB ＝(0,1)，AC ＝(－1,1)，A B ·A C ＝(0,1)·(－1,1)＝1.预习交流3：提示：解决物理中力、速度、加速度、位移等有关矢量合成与分解问题，以及与力做功相关问题．1．向量在平面几何中应用设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同四点，假设A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，那么称A 3，A 4调与分割A 1，A 2.平面上点C ，D 调与分割点A ，B ，那么下面说法正确是( )．A ．C 可能是线段AB 中点 B ．D 可能是线段AB 中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 延长线上在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD中点，AE 延长线与CD 交于点F ，假设AC →＝a ，BD →＝b ，那么AF →＝( )．A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14bD.13a ＋23b用向量证明平面几何问题方法，常见有两种思路．(1)向量线性运算法： (2)向量坐标运算法：2．向量在平面解析几何中应用点P (－3,0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →.当点A 在y 轴上移动时，求动点M 轨迹方程．思路分析：设出M 点坐标，利用AM →＝－32MQ →，可以将A 点坐标用M 点坐标表示出来，从而用PA→·AM →＝0确定所求轨迹．以向量为载体考察解析几何问题．点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上一点，假设RA →＝2AP→，求点P 轨迹方程．利用向量运算求轨迹要理解几何关系与向量表示内在联系，正确理解向量条件是解题根底．向量坐标表示，使向量成为解决解析几何问题有利工具，对于证明垂直、求夹角、写直线方程等问题显示出了它优越性，在处理解析几何问题时，需要将向量用点坐标表示，利用向量有关法那么、性质列出方程，从而使问题解决．3．向量在物理学中应用(1)一质点受到平面上三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)作用而处于平衡状态．F1，F2成60°角，且F1，F2大小分别为2与4，那么F3大小为( )．A．6 B．2 C．2 5 D．27(2)点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P 运动方向与v一样，且每秒移动距离为|v|个单位)．设开场时点P0坐标为(－10,10)，那么5秒后点P坐标为( )．A．(－2,4) B．(－30,25)C．(10，－5) D．(5，－10)如图，无弹性细绳OA，OB一端分别固定在A，B处，同质量细绳OC下端系着一个秤盘，且使得OB⊥OC，试分析OA，OB，OC哪根绳受力最大？用向量解与物理相关题目思路首先应根据题目条件作出向量图，从图中观察合力与分力关系．在向量合成中，注意向量模并不是两向量模简单相加，只有在两向量方向一样时才可以相加．求合力大小，实际上是解三角形问题．注意：力、速度、加速度、位移都是向量；其中功W＝F·s即功是力F与所产生位移s数量积；动量m v是数乘向量等．答案：活动与探究1：D 解析：∵C，D调与分割点A，B，∴AC ＝λAB ，AD ＝μAB ，且1λ＋1μ＝2(*)，不妨设A (0,0)，B (1,0)，那么C (λ，0)，D (μ，0)，对A ，假设C 为AB 中点，那么AC ＝12AB ，即λ＝12，将其代入(*)式，得1μ＝0，这是无意义，故A 错误；对B ，假设D 为AB 中点，那么μ＝12，同理得1λ＝0，故B 错误；对C ，要使C ，D 同时在线段AB 上，那么0＜λ＜1且0＜μ＜1，∴1λ＞1，1μ＞1，∴1λ＋1μ＞2，这与1λ＋1μ＝2矛盾；故C 错误；显然D 正确．迁移与应用：B 解析：如图，∵E 是OD 中点，∴OE ==14b .又∵△ABE ∽△FDE ，在△AOE 中，11.24AE AO OE a b =+=+活动与探究2：解：设点M (x ，y )为轨迹上任一点，设A (0，b )，Q (a,0)(a ＞0)，那么AM ＝(x ，y －b )，MQ ＝(a －x ，－y )．∵AM ＝－32MQ ，∴(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )．∴a ＝x 3，b ＝－y2，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－y 2，Q ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 3，0. PA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，－y 2，AM ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ，3y 2.∵PA ·AM ＝0，∴3x －34y 2＝0.即所求轨迹方程为y 2＝4x (x ＞0)．迁移与应用：解：设P (x ，y )，R (x 1，y 1)， 那么RA ＝(1－x 1，－y 1)，AP ＝(x －1，y )． 由2RA AP =，得(1－x 1，－y 1)＝2(x －1，y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2x ＋3，y 1＝－2y .代入直线l 方程得y ＝2x .所以，点P 轨迹方程为y ＝2x .活动与探究3：(1)D (2)C 解析：(1)因为力F 是一个向量，由向量加法平行四边形法那么知F 3大小等于以F 1，F 2为邻边平行四边形对角线长，故|F 3|＝|F 1|2＋|F 2|2－2|F 1||F 2|cos 120°＝4＋16＋8＝28，所以|F 3|＝27.(2)由题意知，0P P ＝5v ＝(20，－15)，设点P 坐标为(x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10＝20，y －10＝－15，解得点P 坐标为(10，－5)．迁移与应用：解：设OA ，OB ，OC 三根绳子所受力分别是a ，b ，c ，那么a ＋b ＋c ＝0，a ，b 合力为c ′＝a ＋b ，|c ′|＝|c |，如图，在平行四边形OB ′C ′A ′中， 因为OB '⊥OC '，B C ''=OA '，所以|OA |＞|OB |，|OA |＞|OC |. 即|a|＞|b|，|a|＞|c|， 所以细绳OA 受力最大．1．假设向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，那么|F 1＋F 2|为( )．A ．(5,0)B ．(－5,0) C. 5D ．－52．在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b .当a ·b ＜0时，△ABC 为( )．A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形3．直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，那么实数m 值是( )．A ．－1B ．1C ．2D ．－1或24．平面上不共线四点O ，A ，B ，C .假设OA→－3OB →＋2OC →＝0，那么|AB→||BC→|等于_______．5．两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从A (20,15)移到点B (7,0)．其中i ，j 是x 轴，y 轴正方向上单位向量．求：(1)F 1，F 2分别对该质点做功； (2)F 1，F 2合力F 对该质点做功．答案：1．C 解析：|F 1＋F 2|＝|(1,1)＋(－3，－2)|＝|(－2，－1)|＝ 5.2．C 解析：∵a·b ＝|a|·|b|·cos A ＜0， ∴cos A ＜0，∴A 为钝角． ∴△ABC 为钝角三角形．3．D 解析：由于11－m ＝－m2，得m ＝－1或m ＝2.4．2 解析：∵OA －3OB ＋2OC ＝0，∴(OA OB -)－2(OB OC -)＝0. ∴BA ＝2CB .∴|BA |＝2|CB |.∴AB BC＝2.5．解：(1)AB ＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)， ∴W F 1＝F 1·AB ＝－13－15＝－28(J)，W F 2＝F 2·AB ＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23(J)． (2)F ＝F 1＋F 2＝(5，－4)，∴W ＝F ·AB ＝5×(－13)＋(－4)×(－15)＝－5(J)．。
2.7向量应用举例2.7.2向量的应用举例教案北师大版必修4
2.7.2 向量的应用举例整体设计教学分析向量与物理学天然相联. 向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念, 向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中, 可以使物理题解答更简捷、更清晰. 并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象, 研究相关物理问题,可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量, 比如力、速度、加速度、位移等都是向量, 这些物理现象都可以用向量来研究.用向量研究物理问题的相关知识.(1) 力、速度、加速度、位移等既然都是向量, 那么它们的合成与分解就是向量的加、减法, 运动的叠加亦用到向量的合成;(2) 动量是数乘向量;(3) 功即是力与所产生位移的数量积.用向量知识研究物理问题的基本思路和方法. ①通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题; ②认真分析物理现象, 深刻把握物理量之间的相互关系; ③利用向量知识解决这个向量问题, 并获得这个向量的解; ④利用这个结果, 对原物理现象作出合理解释,即用向量知识圆满解决物理问题. 教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较, 得出抽象的数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型. 同时, 注重向量模型的运用, 引导解决现实中的一些物理和几何问题. 这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用.三维目标1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型, 掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤, 明了向量在物理中应用的基本题型, 进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.2.通过对具体问题的探究解决, 进一步培养学生的数学应用意识, 提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用. 养成善于发现生活中的数学, 善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.重点难点教学重点:1. 运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算. 2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.教学难点: 将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.课时安排1 课时教学过程导入新课思路1. (情境导入)生活中,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系.说明了向量的研究对象及研究方法. 那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像高速公路一样, 是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中, 教师展示物理模型, 由此展开新课. 思路2. ( 问题导入)你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等, 既有大小又有方向, 都是向量, 学生很容易就举出来. 进一步, 你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗?你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具, 对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识. 我们可以通过对下面若干问题的研究, 体会向量在物理中的重要作用. 由此自然地引入新课.推进新课 应用示例例1在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单 杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力•你能从数学的角度解释这种现象吗？图1活动:这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型，引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题 •这样物理中用力的现象就转化为数学中的向量问题•只要分析清楚F 、G 0三者之间的关系（其中，F 为F i 、F 2的合力）， 就得到了问题的数学解释•在教学中要尽可能地采用多媒体，在信息技术的帮助下让学生来动态地观察 | F|、|G 、0之间在变化过程中所产生的相互影响 •由学生独立完成本例后，与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤 ，也可以由学生自己完成，还可以用信息技术来验证•用向量解决物理问题的一般步骤是：①问题的转化 ，即把物理问题转化为数学问题；②模 型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；③参数的获得，即求出数学模型的有关解一一理 论参数值；④问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象• 解:不妨设|F i |=| F 2|，由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道通过上面的式子，我们发现：当0由0°到180。
2020-2021学年北师大版数学必修4学案：2.7 向量应用举例 Word版含解析
7向量应用举例考纲定位重难突破1.了解直线法向量的概念．2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题．3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.重点：向量方法在几何、物理中的应用．难点：1.法向量的理解．2.平面向量在应用中如何灵活选择表达方式.授课提示：对应学生用书第52页[自主梳理]1．直线的法向量(1)直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的一个方向向量是(b，－a)，它的一个法向量是(a，b)．(2)直线l：y＝kx＋b的一个方向向量是(1，k)，它的一个法向量是(k，－1)．所以，一条直线的法向量有无数个，它们都是共线向量．2．点到直线的距离公式设点M(x0，y0)为平面内任一点，则点M到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的距离d＝|ax0＋by0＋c|a2＋b2.3．两平行线间距离直线l1：ax＋by＋c1＝0与直线l2：ax＋by＋c2＝0(a2＋b2≠0且c1≠c2)的距离d＝|c1－c2|a2＋b2.[双基自测]1．直线2x－y－1＝0的法向量是()A．(2，－1)B．(2,1)C．(－1,2) D．(1,2)解析：由法向量的定义知A＝2，B＝－1，∴一个法向量为(A，B)＝(2，－1)．答案：A2．在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0,0)，B(1,1)，则AB→·AC→＝________.解析：如图所示，AB→＝(0,1)，AC→＝(－1,1)，AB→·AC→＝(0,1)·(－1,1)＝1.答案：13．点P (1,0)到直线y ＝3x ＋2的距离d ＝________. 解析：直线为3x －y ＋2＝0， 点P (1,0)到该直线的距离d ＝|3＋2|32＋12＝102. 答案：102授课提示：对应学生用书第52页探究一 向量在解析几何中的应用[典例1] 已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．[解析] 设M (x 0，y 0)，N (x ，y )，则MA →＝(1－x 0,1－y 0)，AN →＝(x －1，y －1)，由MA →＝2AN →，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2(x －1)，1－y 0＝2(y －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2x ＋3，y 0＝－2y ＋3. 又点M 在已知圆C 上，即(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4， ∴(－2x ＋3－3)2＋(－2y ＋3－3)2＝4，即x 2＋y 2＝1. ∴适合题意的点的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.在用向量法解决与解析几何有关的问题时，要注意正确写出点的坐标，并由已知条件转化为向量坐标，同时在求相关轨迹方程时，要判断是否每个点都符合题意．1．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解析：设M (x ，y )，A (a,0)，Q (0，b )(b ＞0)， 则P A →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )． 由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.①由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝(32x ，32(y －b ))，∴⎩⎨⎧x －a ＝32xy ＝32y －32b，∴⎩⎨⎧a ＝－x 2b ＝y3.把a ＝－x 2代入①，得－x 2(x ＋x 2)＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．∴动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)．探究二 向量在平面几何中的应用[典例2] 已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P .求证： (1)BE ⊥CF ； (2)AP ＝AB .[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB ＝2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝(－1,2)， CF →＝(－2，－1)．∴BE →·CF →＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF .(2)设点P 坐标为(x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，FC →＝(2,1)， ∵FP →∥FC →，∴x ＝2(y －1)，即x ＝2y －2， 同理，则BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎨⎧x ＝65，y ＝85，∴点P 坐标为⎝⎛⎭⎫65，85.∴|AP →|＝⎝⎛⎭⎫652＋⎝⎛⎭⎫852＝2＝|AB →|，即AP ＝AB .利用向量证明几何问题有两种途径：(1)基向量法：通常先选取一组基底(模及两者之间的夹角已知的向量)，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律运算，最后把运算结果还原为几何关系．(2)坐标法：利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系，实现向量的坐标化．2．已知Rt △ABC ，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n . (1)若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12AB ；(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于F .求AF 的长度(用m ，n 表示)． 解析：以C 为坐标原点，以边CB ，CA 所在的直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，m )，B (n,0)．(1)∵D 为AB 的中点， ∴D (n 2，m 2)，∴|CD →|＝12n 2＋m 2，|AB →|＝m 2＋n 2.∴|CD →|＝12|AB →|，即CD ＝12AB .(2)∵E 为CD 的中点，∴E (n 4，m4)．设F (x,0)，则AE →＝(n 4，－34m )，AF →＝(x ，－m )．∵A 、E 、F 共线，∴AF →＝λAE →，即(x ，－m )＝λ(n 4，－34m )，∴⎩⎨⎧x ＝n 4λ，－m ＝－34mλ，即x ＝n 3，即F (n3，0)，∴AF →＝(n 3，－m )．∴|AF →|＝13n 2＋9m 2.探究三 向量在物理中的应用[典例3] 在日常生活中，有时要用两根同样长的绳子挂一个物体，如图所示，如果绳子能承受的最大拉力为F ，物体受到的重力为G ，两绳子之间的夹角为θ(θ∈[0，π))．(1)求绳子受到的拉力F 1；(2)当θ逐渐增大时，|F 1|的大小怎样变化，为什么？ (3)θ为何值时，|F 1|最小？(4)已知|F |＝500 N ，|G |＝500 3 N ，为使绳子不会断，试求θ的取值范围？[解析] (1)由题意，得|F 1|cos θ2＋|F 2|·cos θ2＝|G |，且|F 1|＝|F 2|，所以|F 1|＝|G |2cosθ2.(2)由θ∈[0，π)，得θ2∈[0，π2)，cos θ2∈(0,1]，当θ逐渐增大时，cos θ2逐渐减小，则|G |2cosθ2逐渐增大，即|F 1|增大，所以当角度θ增大时，|F 1|也增大． (3)由(2)，知当θ最小时，|F 1|最小， 故当θ＝0时，|F 1|最小，且最小值为|F 1|＝|G |2. (4)因为|F 1|＝|G |2cosθ2≤|F |，所以cos θ2≥|G |2|F |＝50032×500＝32.又由θ2∈[0，π2)，得θ2∈[0，π6]，故θ∈[0，π3]．1．用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．3.如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝500 m ，一艘船从A 点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为|v 1|＝10 km/h ，水流速度的大小为|v 2|＝4 km/h ，设v 1和v 2的夹角为θ(0°＜θ＜180°)．(1)当cos θ多大时，船能垂直到达对岸？(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？解析：(1)船垂直到达对岸，即v ＝v 1＋v 2与v 2垂直，即(v 1＋v 2)·v 2＝0.所以v 1·v 2＋v 22＝0，即|v 1||v 2|cos θ＋|v 2|2＝0.所以40 cos θ＋16＝0，解得cos θ＝－25.(2)设船航行到对岸所需的时间为t ， 则t ＝d |v 1|sin θ＝0.510sin θ＝120sin θ.故当θ＝90°时，船的航行时间最短，而当船垂直到达对岸，所需时间并不是最短．向量在几何应用中的误区[典例] 在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝12，则△ABC 的形状为________．[解析] 因为向量AB →|AB →|，AC →|AC →|分别表示与向量AB →，AC →同向的单位向量，所以以AB →|AB →|，AC →|AC →|为邻边的平行四边形是菱形．根据平行四边形法则作AD →＝AB →|AB →|＋AC→|AC →|(如图所示)，则AD 是∠BAC 的平分线．因为非零向量满足 ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0， 所以∠BAC 的平分线AD 垂直于BC ，所以AB ＝AC ，又cos ∠BAC ＝AB → ·AC →|AB →||AC →|＝12，且∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．[答案] 等边三角形[错因与防范] (1)解答本题常会给出错误的答案为“直角三角形”，原因在于未能正确分析挖掘题设中的条件，直接根据数量积为零，就判断△ABC 为直角三角形．(2)为杜绝上述可能发生的错误，应该： ①注意知识的积累向量线性运算和数量积的几何意义是解决向量问题的依据，如本例中AB →|AB →|，AC→|AC →|的含义，邻边相等的平行四边形是菱形，菱形的对角线平分对角．②树立数形结合意识推导图形的形状时要以题目条件为依据全面进行推导，回答应力求准确，如本例求解时，以图形辅助解题，较为形象直观．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
2019-2020学年数学北师大版必修4学案： 2.7 向量应用举例 含解析
§7向量应用举例Q错误!错误!向量的加法、减法可以用三角形法则、平行四边形法则进行计算．因此可以借助向量解决平面几何中的三角形问题、四边形问题．又向量的坐标在直角坐标平面上对应着相应的点，因此可用向量坐标解决平面解析几何中的直线问题、圆的问题．向量在物理力学中有着广泛地应用，当飞机采用了推力矢量之后，发动机喷管上下偏转,产生的推力不再通过飞机的重心，产生了绕飞机重心的俯仰力矩,这时推力就发挥了和飞机操纵面一样的作用．装备了推力矢量技术的战斗机由于具有了过失速机动能力，拥有强大的空中优势，如美国的F－22和俄罗斯的Su－37就装备了这一先进技术．X错误!错误!1．点到直线的距离公式若M(x0，y0）是平面上一点，它到平面内直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝__错误!__,与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的__法向量__.2．向量在几何中的应用用向量的方法解决几何问题的步骤是:建立几何与向量的联系，将__几何问题转化为向量问题__通过__向量运算__研究几何元素之间的关系；还原到几何问题中作答．3．向量在物理中的应用力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的__减法与加法__相类似，可以用向量的方法来解决．Y错误!错误!1．若向量错误!＝（2,2）,错误!＝（－2，3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( D )A．（0，5）B．(4，－1）C．2错误!D．5［解析］|F1＋F2｜＝｜错误!＋错误!|＝|(2,2）＋(－2,3)｜＝｜（0,5)｜＝5.2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为（ D )A．1 B．错误!C．2 D．错误!［解析] 本小题主要考查点到直线的距离公式由点到直线的距离公式得d＝错误!＝错误!＝错误!。
3．已知A（2，1），B(3,2)，C（－1,4），则△ABC是（ C ）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形［解析］错误!＝(1,1），错误!＝（－3，3）,所以AB·错误!＝（1，1)·(－3，3）＝－3＋3＝0,故错误!⊥错误!，所以△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．4．过点B（0，－3）且垂直于直线2x－3y＋2＝0的直线方程为__3x＋2y＋6＝0__。
高中数学第2章平面向量7向量应用举例学案北师大版必修4
§7 向量应用举例向量应用举例(1)点到直线的距离公式若M (x 0，y 0)是平面上一定点，它到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为：d (2)直线的法向量①定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．②公式：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，取其方向向量v ＝(B ，－A )，则直线l 的法向量n ＝(A ，B )．(3)向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用． 思考：向量的数量积与功有什么联系？[提示] 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．1．直线2x －y ＋1＝0的一个法向量是( ) A ．(2,1) B ．(－1，－2) C ．(1,2) D ．(2，－1)[答案] D2．若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A ．(5,0) B ．(－5,0) C. 5 D ．－ 5 [答案] C3．点P 0(－1,2)到直线l ：2x ＋y －10＝0的距离为________． [答案] 2 54．已知F ＝(2,3)作用一物体，使物体从A (2,0)移动到B (4,0)，则力F 对物体作的功为________．[答案] 4【例1】 AF ⊥DE .[证明] 法一：设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a ·b ＝0. 又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋b 2＝－12a 2－34a ·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .法二：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，则AF →＝(2,1)，DE →＝(1，－2)．因为AF →·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0. 所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .利用向量解决垂直问题的方法和途径方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0. 途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．1．求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．[解] 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x 轴、y 轴建立直角坐标系． 设A (2a,0)，B (0,2a )，则D (a,0)，C (0，a )， 从而可求：AC →＝(－2a ，a )，BD →＝(a ，－2a )，不妨设AC →、BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝(－2a ，a )·(a ，－2a )5a ·5a ＝－4a 25a 2＝－45.故所求钝角的余弦值为－45.【例2】 12A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i ，j 分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求：(1)F 1，F 2分别对该质点做的功； (2)F 1，F 2的合力F 对该质点做的功．[解] AB →＝(7－20)i ＋(0－15)j ＝－13i －15j .(1)F 1做的功W 1＝F 1·s ＝F 1·AB →＝(i ＋j )·(－13i －15j )＝－28.F 2做的功W 2＝F 2·s ＝F 2·AB →＝(4i －5j )·(－13i －15j )＝23.(2)F ＝F 1＋F 2＝5i －4j ，所以F 做的功W ＝F·s ＝F ·AB →＝(5i －4j )·(－13i －15j )＝－5.1．用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．2．某人在静水中游泳，速度为4 3 km/h.(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h ，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进的速度大小为多少？[解] (1)如图①，设人游泳的速度为OB →，水流的速度为OA →，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则此人的实际速度为OA →＋OB →＝OC →，根据勾股定理，|OC →|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人实际沿与水速夹角60°的方向前进，速度大小为8 km/h.(2)如图②，设此人的实际速度为OB →，水流速度为OA →. ∵实际速度＝游速＋水速，故游速为OB →－OA →＝AB →， 在Rt △AOB 中，|AB →|＝43，|OA →|＝4，|OB →|＝4 2. ∴cos ∠BAO ＝33， 故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为33，且逆着水流方向，实际前进速度的大小为4 2 km/h.[1．教材中在证明点到直线的距离公式时，为什么有d ＝|PM →·n 0|?[提示] 如图所示，过M 作MN ⊥l 于N ，则d ＝|NM →|.在Rt △MPN 中，|NM →|是PM →在NM →方向上的射影的绝对值，则|NM →|＝||PM →|cos ∠PMN |＝||PM →|×1×cos∠PMN |＝|PM →|×|n 0|×|cos∠PMN |＝|PM →·n 0|，∴d ＝|PM →·n 0|.2．你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？[提示] 关键是把点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算．【例3】 已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4，及点A (1,1)，M 是⊙C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．[思路探究] 要求点N 的轨迹方程，需设出点N 的坐标，然后利用已知条件，转化为向量关系，再利用代入法求解．[解] 设N (x ，y )，M (x 0，y 0)， 由MA →＝2AN →，得(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2(x －1)，1－y 0＝2(y －1).即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y ，代入⊙C 方程，得(3－2x －3)2＋(3－2y －3)2＝4， 即x 2＋y 2＝1.∴点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.将例3的条件变为“已知直线l 过点A (1,1)，且它的一个法向量为n ＝(－2,1)”．试求直线l 的方程．[解] ∵直线l 的一个法向量为n ＝(－2,1)， ∴直线l 的一个方向向量为ν＝(1,2)． ∴直线l 的斜率为2.∴直线l 的点斜式方程为y －1＝2(x －1)． 整理得2x －y －1＝0.故直线l 的方程为2x －y －1＝0.向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一.解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质.1．用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题．对具体的问题是选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键．2．用向量解决物理问题需注意：(1)用向量方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来． (2)要根据它的物理意义列出数学模型，将物理问题转化为数学问题求解． (3)要将数学问题还原为物理问题.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)△ABC 是直角三角形，则AB →·BC →＝0.( ) (2)若AB →∥CD →，则直线AB 与CD 平行．( )(3)向量AB →，CD →的夹角与直线AB ，CD 的夹角相等或互补．( ) (4)直线y ＝kx ＋b 的一个法向量是(k ，－1)．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．已知直线l ：5x －y －7＝0，向量p ＝(k ＋1,2k －3)，且p ∥v (向量v 为l 的方向向量)，则k 的值为( )A.73 B.136C.163D.－83D [l 的方向向量v ＝(1,5)，由v 与p 平行得： 5(k ＋1)＝2k －3.解得k ＝－83.]3．已知A (1,2)，B (－2,1)，以AB 为直径的圆的方程是________．x 2＋y 2＋x －3y ＝0 [设P (x ，y )为圆上任一点，则AP →＝(x －1，y －2)，BP →＝(x ＋2，y －1)，由AP →·BP →＝(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y －1)＝0， 化简得x 2＋y 2＋x －3y ＝0.]4．正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，试求cos ∠DOE 的值． [解] 以OA ，OC 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：OD →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，12，OE →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，1，故cos ∠DOE ＝OD →·OE →|OD →|·|OE →|＝1×12＋12×152×52＝45.。
2014-2015学年高中数学 2.7向量应用举例课时作业 北师大版必修4
向量应用举例一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·榆林高一检测)若向量=(1,1),=(-3,-2)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为( )A. B.2 C. D.【解析】选C.由于F1+F2=(1,1)+(-3,-2)=(-2,-1),所以|F1+F2|==.2.在四边形ABCD中,·=0,且=,则四边形ABCD是( )A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形【解析】选C.由·=0,得AB⊥BC,又=,所以AB与DC平行且相等,从而四边形ABCD是矩形.3.(2014·安庆高一检测)如图所示,一力作用在小车上且力F的大小为10N,方向与水平面成60°,当小车向前运动10m时,力F做的功为( )A.100焦耳B.50焦耳C.50焦耳D.200焦耳【解题指南】先定位移,再求功.【解析】选B.设小车位移为s,则|s|=10,W F=F·s=|F|·|s|·cos60°=10×10×=50(焦耳).4.过点A(2,3),且垂直于向量a=(2,1)的直线方程为( )A.2x+y-7=0B.2x+y+7=0C.x-2y+4=0D.x-2y-4=0【解析】选A.设P(x,y)为直线上一点,则⊥a,即(2-x)×2+(3-y)×1=0,即2x+y-7=0.5.(2014·渭南高一检测)在△ABC中,AB=4,∠ABC=30°,D是边上的一点,且·=·,则·的值等于( )A.-4B.0C.4D.8【解析】选C.由·=·得·(-)=·=0,即⊥,所以||=2,∠BAD=60°, 所以·=2×4×=4.【变式训练】点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足·=·=·,则点O是△ABC的( )A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点【解析】选D.由·=·,得·=0,即⊥,同理可得⊥,⊥.故点O是△ABC的三条高的交点.6.(2013·宿州高一检测)在△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是( )A. B. C. D.【解题指南】关键将面积之比转化为PC与AC之比求解.【解析】选C.由++=,得+++=0,即=2,所以点P是CA边上的三等分点,如图所示.故==.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·汉中高一检测)已知向量a表示“向东航行3km”,b表示“向南航行3 km”,则a+b表示.【解析】作出图形可知.知a+b表示向东南航行3km.答案:向东南航行3km【误区警示】本题易忽视a+b的物理意义,只关注数量而没有指出方向导致错误.8.(2014·江苏高考)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·的值是.【解题指南】选取一组不共线向量为基底,一般选取,,用这组向量表示题目中的其他向量进而用数量积公式求解.【解析】由题干图知,在三角形ADP中=+=+,在三角形BPC中=+=+=-,所以·=·=-·-=2,即25-·-×64=2,·=22.答案:229.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB上的动点,则·的最大值为.【解析】设与的夹角为θ,则·=||·||cosθ,而||cosθ就是向量在方向上的射影,要想让·最大,即让射影最大,此时E点与B点重合,射影为||,所以最大值为1.答案:1【变式训练】(2013·通州高一检测)在边长为1的等边△ABC中,D为BC边上一动点,则·的取值范围是.【解析】因为D在BC上,所以设BD=x,0≤x≤1,则=x.所以·=·(+)=+·=1+xcos120°=1-x,因为0≤x≤1,所以≤1-x≤1,即·的取值范围是.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·阜阳高一检测)如图所示,正方形ABCD中,P为线段BD上任一点,PECF为矩形,求证:(1)PA=EF.(2)PA⊥EF.【证明】以D为坐标原点,DC,DA所在直线为x轴,y轴建立坐标系.设C(1,0),A(0,1),P(x,x),则E(x,0),F(1,x),故=(-x,1-x),=(1-x,x),(1)||==,||==,所以||=||,所以PA=EF.(2)因为·=(-x)(1-x)+(1-x)x=0.所以⊥,所以PA⊥EF.11.如图,重力为G的均匀小球放在倾斜角为α的斜面上,球被与斜面夹角为θ的木板挡住,斜面、木板均光滑,若使球对木板压力最小,求木板与斜面间的夹角θ应为多大.【解析】如图所示,小球重力为G(竖直向下),设斜面对小球的压力为N1(垂直于斜面向上),木板对小球的压力为N2(垂直于木板向下),则N1+N2+G=0.所以N1与N2的合力大小为|G|,方向竖直向上,如图,于是|N 2|=||sinsinG.所以当sinθ=1,即θ=90°时,|N2|取最小值|G|sinα.故要使球对木板压力最小,木板与斜面间的夹角应为90°.一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知A,B是圆心为C,半径为的圆上两点,且||=,则·等于( ) A.-B.C.0D.【解析】选A.易知△ABC 为正三角形,·=·cos120°=-.2.(2014·马鞍山高一检测)一条河的宽度为d,一船从A 出发到河的正对岸B 处,船速为|v 1|,水速为|v 2|,则船行到B 处时,行驶速度的大小为 ( ) A.v 12-v 22B.|v 1|2-|v 2|2C.2212v vD.2212||v v【解析】选D.如图,由平行四边形法则和解直角三角形知识知|v |2=|v 1|2-|v 2|2.所以行驶速度的大小为|v |=2212||v v .3.(2013·兰州高一检测)已知平面上三点A,B,C 满足(+)·=0,则△ABC 的形状是 ( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选A.设AC 的中点为D, 则+=2,所以2·=0,所以AC ⊥BD,所以△ABC 是等腰三角形.【变式训练】已知A(1,2),B(4,1),C(0,-1),则△ABC 的形状为 . 【解析】因为A(1,2),B(4,1),C(0,-1), 所以=(3,-1),=(-1,-3),所以||=||=,·=(3,-1)·(-1,-3)=3×(-1)+(-1)×(-3)=0,所以⊥,所以△ABC是等腰直角三角形.答案:等腰直角三角形4.(2014·南昌高一检测)如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=1,则·= ( )A.2B.C.D.【解析】选D.因为=+=+,所以·=(+)·=·+·, 又因为AB⊥AD,所以·=0,所以·=·=||·||·cos∠ADB=||·cos∠ADB=·||=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(x,y),合力F1+F2+F3=0,则F3的坐标为.【解析】由F1+F2+F3=0,得(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0),即所以所以F3=(-5,1).答案:(-5,1)6.(2014·宝鸡高一检测)已知向量a=(6,2),b=,过点A(3,-1)且与向量a+2b平行的直线l的方程为.【解析】由题意得a+2b=(-2,3),则直线l的方程为3(x-3)+2(y+1)=0,即3x+2y-7=0.答案:3x+2y-7=0【拓展延伸】向量在解析几何中的作用(1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用:利用a⊥b等价于a·b=0,a∥b等价于a=λb(b≠0),可解决垂直、平行问题,特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上),F的大小为50N,F拉着一个重80N的木块在摩擦系数μ=0.02的水平平面上运动了20m,由力F和摩擦力f所做的功分别是多少?【解析】力在位移上所做的功是向量乘积的物理含义,设木块的位移为s,则F·s=|F|·|s|cos30°=50×20×=500(J).F在铅垂方向上合力大小为|F|sin30°=50×=25(N),所以摩擦力f的大小为|f|=(80-25)×0.02=1.1(N),所以f·s=|f|·|s|cos180°=1.1×20×(-1)=-22(J),所以F,f所做的功分别是500J,-22 J.8.(2014·合肥高一检测)如图,正三角形ABC中,D,E分别是AB,BC上的一个三等分点,且AE,CD交于点P.用向量法求证:BP⊥CD.【解题指南】先将,分别用向量与表示,再计算·=0即可. 【证明】设=λ(λ∈R),正三角形ABC的边长为a,则=+=λ+=λ+=(2λ+1)-λ.又=-,∥,所以=k(k∈R),所以(2λ+1)-λ=k-k.于是有解得所以=,=,=+=+=+,所以=+,=-,从而·=·=a2-a2-a2cos60°=0, 即⊥,故BP⊥CD.。
[推荐学习]高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例学案北师大版必修4
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§7 向量应用举例1．了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离．(重点)2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题．(难点) 3．进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具．[基础·初探]教材整理 向量应用举例阅读教材P 101～P 103，完成下列问题． 1．点到直线的距离公式若M (x 0，y 0)是平面上一定点，它到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.2．直线的法向量(1)定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．(2)公式：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，取其方向向量v ＝(B ，－A )，则直线l 的法向量n ＝(A ，B )．3．向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)△ABC 是直角三角形，则AB →·BC →＝0.( ) (2)若AB →∥CD →，则直线AB 与CD 平行．( )(3)向量AB →，CD →的夹角与直线AB ，CD 的夹角不相等．( ) (4)直线Ax ＋By ＋C ＝0的一个法向量是(A ，B )．( )【解析】 △ABC 是直角三角形，若∠A ＝90°，则AB →·BC →≠0，∴(1)×；两向量平行，对应的两直线可以是重合，∴(2)×；(3)(4)均正确．【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]已知ADB ＝60°，求证：AB 是△BCD 外接圆的切线．图2－7－1【自主解答】 设△BCD 外接圆的圆心为O ， 半径为R ，连接OB ，OC ，OD ，取OB →＝b ， OC →＝c ，OD →＝d ，则|b |＝|c |＝|d |，又由题意，知BDC 和BD 分别为120°和90°的弧． ∴b ·d ＝0，b ·c ＝|b ||c |cos 120°＝－12R 2.又∵OA →＝OC →＋CA →＝c ＋3CD →＝c ＋3(d －c )＝3d －2c ，AB →＝OB →－OA →＝b －3d ＋2c .∴AB →·OB →＝(b －3d ＋2c )·b ＝R 2＋2c ·b ＝R 2－R 2＝0， 即AB →⊥OB →，∴AB 是⊙O 的切线．1．解决此类问题，通常利用平面向量基本定理，将一些相关向量用选定的基底来表示，再利用运算法则，运算律以及一些重要性质进行运算，最后把结果还原为几何关系．2．本题是将切线问题转化为两向量的垂直关系．[再练一题]1．已知Rt △ABC ，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n ，若D 为斜边AB 的中点， (1)求证：CD ＝12AB ；(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于F ，求AF 的长度(用m ，n 表示)． 【解】 以C 为坐标原点，以边CB ，CA 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，A (0，m )，B (n,0)，AB →＝(n ，－m )．(1)证明：∵D 为AB 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，m2， ∴|CD →|＝12n 2＋m 2，|AB →|＝m 2＋n 2，∴|CD →|＝12|AB →|，即CD ＝12AB .(2)∵E 为CD 的中点，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，m4，设F (x,0)，则 AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n4，－34m ，AF →＝(x ，－m )．∵A ，E ，F 共线，∴AF →＝λAE →， 解得(x ，－m )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n4，－34m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n4λ，－m ＝－34m λ，即x ＝n 3，即F ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3，0，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3，－m ， ∴|AF →|＝13n 2＋9m 2，即AF ＝13n 2＋9m 2.(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h ，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进的速度大小为多少？【精彩点拨】 解本题首先要根据题意作图，再把物理问题转化为向量的有关运算求解． 【自主解答】 (1)如图①，设人游泳的速度为OB →，水流的速度为OA →，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则此人的实际速度为OA →＋OB →＝OC →，根据勾股定理，|OC →|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人实际沿与水速夹角60°的方向前进，速度大小为8 km/h.(2)如图②，设此人的实际速度为OB →，水流速度为OA →. ∵实际速度＝游速＋水速，故游速为OB →－OA →＝AB →， 在Rt △AOB 中，|AB →|＝43，|OA →|＝4，|OB →|＝4 2. ∴cos ∠BAO ＝33， 故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为33，且逆着水流方向，实际前进速度的大小为42km/h.1．用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．[再练一题]2．一架飞机从A 地向北偏西60°方向飞行1 000 km 到达B 地，因大雾无法降落，故转向C 地飞行，若C 地在A 地的南偏西60°方向，并且A ，C 两地相距2 000 km ，求飞机从B 地到C 地的位移．图2－7－2【解】 法一：由题意得|AB →|＝1 000，|AC →|＝2 000，∠BAC ＝60°， ∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝|AC →|2＋|AB →|2－2|AC →|·|AB →|·cos 60°＝2 0002＋1 0002－2×1 000×2 000×12＝3×106，∴|BC →|＝1 0003(km)，∠ABC ＝90°.取AC 的中点D ，由|AC →|＝2|AB →|且∠BAD ＝60°， 知BD →为正南方向，有∠ABD ＝60°，于是∠DBC ＝30°.所以飞机从B 地到C 地的位移的大小为1 0003km ，方向为南偏西30°.法二：建立如图所示坐标系，并取a ＝500，则AB →＝(2a cos 150°，2a sin 150°)＝(－3a ，a )，AC →＝(4a cos 210°，4a sin 210°)＝(－23a ，－2a )，∴BC →＝(－3a ，－3a )，|BC →|＝23a ， 即|BC →|＝1 0003(km)． 又cos C ＝AC →·BC→|AC →|·|BC →|＝6a 2＋6a24a ×23a＝32，∠C ＝30°.结合图形可知BC →的方向为南偏西30°，所以飞机从B 地到C 地的位移的大小为1 0003km ，方向为南偏西30°.[探究共研型]探究1 教材中在证明点到直线的距离公式时，为什么有d ＝|PM ·n 0|?【提示】 如图所示，过M 作MN ⊥l 于N ，则d ＝|NM →|.在Rt △MPN 中，|NM →|是PM →在NM →方向上的射影的绝对值，则|NM →|＝||PM →|cos ∠PMN |＝||PM →|×1×cos ∠PMN |＝|PM →|×|n 0|×|cos∠PMN |＝|PM →·n 0|，∴d ＝|PM →·n 0|.探究2 你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？【提示】 关键是把点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算． 探究3 用向量法解决几何问题常用到哪些知识？【提示】 相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4，及点A (1,1)，M 是⊙C 上的任意一点，点N在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．【精彩点拨】 要求点N 的轨迹方程，需设出点N 的坐标，然后利用已知条件，转化为向量关系，再利用代入法求解．【自主解答】 设N (x ，y )，M (x 0，y 0)， 由MA →＝2AN →，得(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝x －，1－y 0＝y －即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y ，代入⊙C 方程，得(3－2x －3)2＋(3－2y －3)2＝4， 即x 2＋y 2＝1.∴点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．[再练一题]3．已知过点A (0,2)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点，若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 及直线l 的方程．【解】 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由题意知，l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x －2＋y －2＝1，得(1＋k 2)x 2－(4＋2k )x ＋4＝0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝4＋2k 1＋k 2，x 1x 2＝41＋k2. ∵OM →·ON →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝12，y 1＝kx 1＋2，y 2＝kx 2＋2，∴x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝0， 即(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)－8＝0，∴(1＋k 2)×41＋k 2＋2k ×4＋2k 1＋k 2－8＝0，解得k ＝12，∴直线l 的方程为y ＝12x ＋2，即x －2y ＋4＝0.[构建·体系]1．一物体受到相互垂直的两个力F 1，F 2的作用，两力大小都为53N ，则两个力的合力的大小为( )A ．5NB ．52NC ．53ND ．56N【解析】 根据向量的平行四边形法则，合力F 的大小为2×53＝56(N)． 【答案】 D2．在四边形ABCD 中，AB →·BC →＝0，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 是( ) A ．梯形 B ．菱形 C ．矩形D ．正方形【解析】 由AB →·BC →＝0，得AB →⊥BC →，又AB →＝DC →，所以AB →与DC →平行且相等，从而四边形ABCD 是矩形．【答案】 C3．过点P (1，－1)且垂直于向量n ＝(2，－1)的直线方程为________.【导学号：66470059】【解析】 所求直线的方向向量为m ＝(1,2)， ∴所求直线的斜率为k ＝2，∴所求直线方程为y ＋1＝2(x －1)，即2x －y －3＝0. 【答案】 2x －y －3＝04．已知点A (1,1)，M (x ，y )，且A 与M 不重合，若向量AM →与向量a ＝(1,2)垂直，则点M 的轨迹方程为________．【解析】 由题意得AM →＝(x －1，y －1)． 因为AM →⊥a ，所以AM →·a ＝0，所以(x －1，y －1)·(1,2)＝x －1＋2(y －1)＝0， 即x ＋2y －3＝0(x ≠1)． 【答案】 x ＋2y －3＝0(x ≠1)5．已知△ABC 为直角三角形，设AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b .若C ＝90°，试证：c 2＝a 2＋b 2. 【证明】 以C 点为原点建立如图所示的直角坐标系．则A (b,0)，B (0，a )．∴AB →＝(0，a )－(b,0)＝(－b ，a )， ∴|AB →|＝－b2＋a 2＝c .故c 2＝a 2＋b 2.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。
北师版数学高一北师大版必修4学案 2.7.2 向量的应用举例
7.2 向量的应用举例明目标、知重点 1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其它一些实际问题的过程.2.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其它一些实际问题的过程.3.体会向量是一种处理几何、物理问题的有力工具．1．向量方法在几何中的应用已知，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式． 2．向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是向量．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量m ν是数乘向量．(4)功即是力F 与所产生位移s 的数量积．[情境导学] 向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数运算．这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便．本节专门研究平面几何以及物理中的向量方法． 探究点一 平面向量在几何中的应用导引 用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、线共点以及角度等问题时有独到之处，且解法思路清晰、简洁直观．其基本方法是： (1)要证明线段AB ＝CD ，可转化为证明|AB →|＝|CD →|.(2)要证明AB ∥CD ，只需证明存在一个不为零实数λ，使得AB →＝λCD →，且A 、B 、C 、D 不共线即可．(3)要证明A 、B 、C 三点共线，只需证明AB →∥AC →或AB →∥BC →.(4)要证明AB ⊥CD ，只需证明AB →·CD →＝0，或若AB →＝(x 1，y 1)，CD →＝(x 2，y 2)，则用坐标证明x 1x 2＋y 1y 2＝0即可． (5)常用|a |＝a ·a 和cos θ＝a ·b|a ||b |处理有关长度与角度的问题． 思考1 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？答 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．思考2 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型. 如右图，AC →＝AB →＋AD →，DB →＝AB →－AD →，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？答 平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.思考3 请用向量法给出上述结论的证明． 证明 在平行四边形ABCD 中， AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，∴AC →2＝(AB →＋AD →)2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD →； BD →2＝(AD →－AB →)2＝AD →2＋AB →2－2AB →·AD →. ∴AC →2＋BD →2＝2AB →2＋2AD →2. 即|AC →|2＋|BD →|2＝2(|AB →|2＋|AD →|2)．例1 如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？解 选{AB →，AD →}为基底． 设AR →＝mAC →，AT →＝nAC →.则BR →＝AR →－AB →＝mAC →－AB →＝m (AB →＋AD →)－AB → ＝(m －1)AB →＋mAD →， BE →＝AE →－AB →＝－AB →＋12AD →.∵BR →与BE →共线，∴(m －1)×12－(－1)×m ＝0，∴m ＝13.同理解得n ＝23.∴AR ＝RT ＝TC .反思与感悟 解答过程易出现无从下手的情况，导致此种情况的原因是不能灵活选定基底，无法集中条件建立几何元素与向量之间的联系．跟踪训练1 如图，已知PQ 过△OAB 的重心G ，设OA →＝a ，OB →＝b .若OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3.证明 选{a ，b }为基底．延长OG 交AB 于M 点， ∵G 为△OAB 的重心， ∴M 为AB 的中点，如图． ∴PG →＝OG →－OP →＝23OM →－OP →＝23×12(OA →＋OB →)－m a ＝13(a ＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b . 同理QG →＝13a ＋⎝⎛⎭⎫13－n b . ∵PG →与QG →共线，∴⎝⎛⎭⎫13－m ×⎝⎛⎭⎫13－n －13×13＝0. 化简得m ＋n ＝3mn ，∴1m ＋1n＝3.探究点二 向量的线性运算在物理中的应用 思考1 向量与力有什么相同点和不同点？答 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的. 用向量知识解决力的问题，往往是把向量起点平移到同一作用点上．思考2向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？答速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成．小结向量有丰富的物理背景．向量源于物理中的力、速度、加速度、位移等“矢量”；向量在解决涉及上述物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算．思考3请利用向量的方法解决下列问题：如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.(1)求|F1|，|F2|随θ角的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，求θ角的取值范围．答(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G＝F1＋F2，|F1|＝|G| cos θ，|F2|＝|G|tan θ，当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．(2)由|F1|＝|G|cos θ，|F1|≤2|G|，得cos θ≥12.又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°.例2帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．解建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20(km/h)，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20(km/h)，设帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2.由题意，可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10,103)，向量v2＝(20,0)，则帆船的行驶速度v＝v1＋v2＝(10,103)＋(20,0)＝(30,103)，所以|v|＝302＋(103)2＝203(km/h)．因为tan α＝10330＝33(α为v 和v 2的夹角，α为锐角)，所以α＝30°.所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 3 km/h.跟踪训练2 某人在静水中游泳，速度为4 3 km/h ，水的流速为4 km/h ，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 解 如图所示，设此人的实际速度为OB →，水流速度为OA →. ∵实际速度＝游速＋水速， ∴游速为OB →－OA →＝AB →，在Rt △AOB 中，|AB →|＝43，|OA →|＝4，|OB →|＝42，cos ∠BAO ＝|OA →||AB →|＝ 33.故此人应沿与河岸夹角余弦值为33，逆着水流方向前进，实际前进速度的大小为4 2 km/h. 探究点三 向量的数量积在物理中的应用 思考1 向量的数量积与功有什么联系？答 物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W ＝|F||s |cos 〈F ，s 〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零．力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它实质是向量F 与s 的数量积．思考2 已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N ，一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m ．问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？(g ＝10 m/s 2)答 如右图所示，设木块的位移为s ， 则F ·s ＝|F ||s |cos 30°＝50×20×32＝5003(J)． 将力F 分解，它在竖直方向上的分力F 1的大小为 |F 1|＝|F |sin 30°＝50×12＝25(N)，所以，摩擦力f 的大小为|f |＝|μ(G －F 1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此，f ·s ＝|f ||s |cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．例3 已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)．(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功；(2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功． 解 (1)AB →＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)， W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J. (2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)． ∴合力F 对质点所做的功为－102 J.反思与感悟 物体在力F 作用下的位移为s ，则W ＝F·s ＝|F|·|s |cos θ，其中θ为F 与s 的夹角．跟踪训练3 已知F ＝(2,3)作用于一物体，使物体从A (2,0)移动到B (－2，3)，求F 对物体所做的功．解 AB →＝(－4,3)，W ＝F·s ＝F ·AB →＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1 (J)．∴力F 对物体所做的功为1 J.1．已知一个物体在大小为6 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为100 m ，且F 与s 的夹角为60°，则力F 所做的功W ＝________ J. 答案 300解析 W ＝F ·s ＝|F ||s |cos 〈F ，s 〉 ＝6×100×cos 60°＝300(J)．2.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．答案2解析∵O是BC的中点，∴AO→＝12(AB→＋AC→)．又∵AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，∴AO→＝m2AM→＋n2AN→.∵M，O，N三点共线，∴m2＋n2＝1.则m＋n＝2.3．正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求cos∠DOE的值．解以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：OD→＝⎝⎛⎭⎫1，12，OE→＝⎝⎛⎭⎫12，1，故cos∠DOE＝OD→·OE→|OD→|·|OE→|＝1×12＋12×152×52＝45.即cos∠DOE的值为45.4．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 3 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．解如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.易求得a的方向是北偏东30°，a 的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v.方向由南向北，大小为2 3 km/h，船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，数形结合知v3的方向是北偏西60°，大小是 3 km/h.[呈重点、现规律]1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．一、基础过关1．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是( ) A ．2 5 B.525 C ．3 5 D.725 答案 B解析 BC 中点为D ⎝⎛⎭⎫32，6，AD →＝⎝⎛⎭⎫－52，5， ∴|AD →|＝525.2．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点 答案 D解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴(OA →－OC →)·OB →＝0. ∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ，∴O 为三条高的交点．3．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( ) A ．40 N B ．10 2 N C ．202N D ．10 3 N答案 B解析 |F 1|＝|F 2|＝|F |cos 45°＝102， 当θ＝ 120°，由平行四边形法则知： |F 合|＝|F 1|＝|F 2|＝10 2 N.4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 答案 B解析 ∵|OB →－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|， |OB →＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|，∴四边形ABDC 是矩形，且∠BAC ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．5．若OF 1→＝(2,2)，OF 2→＝(－2,3)分别表示F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为________． 答案 5解析 ∵F 1＋F 2＝(0,5)，∴|F 1＋F 2|＝02＋52＝5.6．如图，两根固定的光滑硬杆OA ，OB 成θ角，在杆上各套一小套P ，Q ，P ，Q 用轻线相连，现用恒力F 沿OB →方向拉环Q ，则当两环稳定时，轻线上的拉力的大小为__________． 答案|F |sin θ解析 做受力分析，依题意，重力可以忽略不计，Q 受轻线的拉力为T ，由于受力平衡，只能是轻线与杆垂直，即轻线与OB 的夹角为π2－θ，T cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝F ，故|T |＝|F |sin θ. 7.如图所示，若ABCD 为平行四边形，EF ∥AB ，AE 与BF 相交于点N ，DE 与CF 相交于点M .求证：MN ∥AD . 证明 ∵EF ∥AB ， ∴△NEF ∽△NAB ，设AB →＝μEF →(μ≠1)，则AN EN ＝μ，AE →＝(μ－1)EN →，同理，由EF →∥CD →，可得DE →＝(μ－1)EM →， ∴AD →＝ED →－EA →＝AE →－DE →＝(μ－1)MN →， ∵μ≠1，令λ＝μ－1， ∴AD →＝λMN →，∴AD ∥MN . 二、能力提升8．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰(非等边)三角形 D ．等边三角形 答案 D解析 设AB →与AC →夹角为θ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得角A 的平分线垂直于BC .∴AB ＝AC . 而AB →|AB →|·AC →|AC →|＝cos θ＝12，又θ∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°.故△ABC 为等边三角形，选D. 9．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5C ．5D ．10答案 C解析 因为AC →·BD →＝0，∴AC ⊥BD .∴四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →||BD →|＝12×5×25＝5. 10．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5.则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝______.答案 －25解析 △ABC 中，B ＝90°，cos A ＝35，cos C ＝45， ∴AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝⎛⎭⎫－45＝－16， CA →·AB →＝5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝－9. ∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25.11．求证：△ABC 的三条高线交于一点．证明 如图所示，已知AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高．设BE ，CF 交于H 点，令AB →＝b ，AC →＝c ，AH →＝h ，则BH →＝h －b ，CH →＝h －c ，BC →＝c －b .∵BH →⊥AC →，CH →⊥AB →，∴(h －b )·c ＝0，(h －c )·b ＝0，即(h －b )·c ＝(h －c )·b整理得h·(c －b )＝0，∴AH →·BC →＝0，∴AH ⊥BC ，∴AH →与AD →共线．AD、BE、CF相交于一点H.12．质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离．(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？解 (1)木块受三个力的作用，重力G ，拉力F 和支持力F N ，如图所示．拉力F 与位移s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为： W F ＝F ·s ＝|F ||s |cos 0°＝20(J)．支持力F N 与位移方向垂直，不做功，所以W N ＝F N ·s ＝0.重力G 对物体所做的功为：W G ＝G ·s ＝|G ||s |cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．(2)物体所受各力对物体做功的代数和为：W ＝W F ＋W N ＋W G ＝0.4(J)．三、探究与拓展13.如图所示，正三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的一个三等分点，且分别靠近点A 、点B ，且AE 、CD 交于点P .求证：BP ⊥DC .证明 设P D →＝λC D →，并设△ABC 的边长为a ，则有P A →＝P D →＋D A →＝λC D →＋13B A →＝λ(23B A →－B C →)＋13B A →＝13(2λ＋1)B A →－λB C →，又E A →＝B A →－13B C →.∵P A →∥E A →，∴13(2λ＋1)B A →－λBC →＝kBA →－13kBC →.于是有：⎩⎨⎧ 13(2λ＋1)＝k ，λ＝13k .解得，λ＝17.∴P D →＝17C D →.∴B P →＝B C →＋C P →＝17B C →＋47B A →，C D →＝23B A →－B C →.从而B P →·C D →＝(17B C →＋47B A →)·(23B A →－B C →)＝821a 2－17a 2－1021a 2cos 60°＝0.∴BP →⊥CD →.∴BP⊥DC.。
北师大版数学高一(北师大)必修4学案 2.7向量的应用举例
2.7 平面向量应用举例一.教学目标：1.知识与技能（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.（2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.二.教学重、难点重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图像的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此可用向量方法解决平面几何中的一些问题.例题讲评（教师引导学生去做）例1 证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.1//.2∆=DE ABC DE BC DE BC 已知是的中位线，用向量的方法证明：，且例2例3 如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。
练习1：用向量方法证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.DACEFH预备知识：1.设P 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使−→−P P 1=λ−→−2PP ，λ叫做点P 分−→−21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0) 注意几个问题：①λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ≠-1 若P 与P 1重合，λ=0 P 与P 2重合 λ不存在②始点终点很重要，如P 分−→−21P P 的定比λ=21则P 分−→−12P P 的定比λ=22．线段定比分点坐标公式的获得：设−→−P P 1=λ−→−2PP 点P 1, P, P 2坐标为(x 1,y 1) (x,y) (x 2由向量的坐标运算−→−P P 1=(x-x 1,y-y 1) −→−2PP =( x 2-x 1, y 2-y 1)∵−→−P P 1=λ−→−2PP 即(x-x 1,y-y 1) =λ( x 2-x 1, y 2-y 1)∴⎩⎨⎧-=--=-)()(2121y y y y x x x x λλ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇒λλλλ112121y y y x x x 定比分点坐标公式 3.中点坐标公式：若P 是−→−21P P 中点时，λ=1222121y y y x x x +=+= 中点公式是定比分点公式的特例。