浅谈椭圆离心率取值范围的求解策略
椭圆离心率取值范围解题策略
椭圆离心率取值范围解题策略离心率是高中“圆锥曲线”的一个重要几何性质，是三种圆锥曲线统一定义的桥梁和纽带，是研究圆锥曲线其他性质的基础，它是一个比值椭圆的离心率是刻画椭圆“扁圆”程度的基本量之一.在我们的教材中直接给出了离心率的定义，并没有明确解释为什么把这个比值作为椭圆的离心率.如果教师在教学中只是告诉学生这是“人为规定”，学生没有经历概念的产生和发展过程，就很难理解概念的本质，因此在运用概念解题时无从下手.本节课就是希望通过数学文化背景深入认识椭圆的离心率，从而更好地解决和椭圆离心率有关的问题.一、离心率定义的内涵在教材中焦距与长轴长的比值定义为椭圆的离心率.在教学中，许多学生会有这样的疑问：也可以刻画椭圆的扁圆程度，为什么不用它们定义椭圆的离心率？”其实作为椭圆的离心率更有优势，我们知道椭圆是平面上到两个定点F1，F2距离的和为常数2a的动点的轨迹(其中|F1F2|=2c，且2a>2c)，此定义中涉及的参数是a和c，为了和椭圆的定义保持一致，所以用表示椭圆的离心率；另外，椭圆的第二定义是“到定点的距离与到定直线的距离的比值为常数的动点的轨迹”，而这个常数恰好是即椭圆的离心率.其实说椭圆的离心率是“人为规定”也未尝不可，因为在天文学中把天体运行轨道的离心率也叫作偏心率，描述的是某一天体椭圆轨道与理想圆形的偏离程度.天文学家发现太阳系中，行星是围绕着以太阳为焦点的椭圆形轨道运行的，所以行星和太阳之间的距离不是恒定的，其中离太阳最近的距离为a-c，离太阳最远的距离为a+c，也就是说偏心率就是衡量行星偏离太阳的程度，所以用表示椭圆的偏心率更符合客观实际.二、椭圆离心率取值范围的几种求法求椭圆离心率的取值范围是高考经常考查的热点问题之一，这类题涉及解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强、方法灵活，解题关键是构造关于a，c或e的不等式，下面用几个实例通过构造不等式求椭圆离心率的取值范围.1.利用椭圆的范围构造不等式例1 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得∠F1PF2=90°，求椭圆离心率e的取值范围.解：设点P的坐标为(x，y)，点F1的坐标为(-c，0)，点F2的坐标为(c，0)，则有因为∠F1PF2=90°，得则即(x+c)(x-c)+y2=0，整理得x2+y2=c2，将其与椭圆方程联立，消去y，可得由椭圆上点的坐标的范围可知，0≤x2<a2，解得c2≥b2，即所以2.利用二次方程判别式构造不等式以上题为例.解：由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a，所以有+2|PF1|·|PF2|=4a2，又因为∠F1PF2=90°，所以=4c2，由此可得|PF1|·|PF2|=2(a2-c2)，所以|PF1|，|PF2|可以看作二次方程x2-2ax+2(a2-c2)=0的两实根.所以Δ=4a2-8(a2-c2)≥0，整理得所以3.利用焦半径的取值范围构造不等式例2 已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上存在一点P，使得线段PF1的中垂线经过焦点F2，则椭圆离心率e的取值范围是______.图1解：如图1，因为线段PF1的中垂线经过焦点F2，所以|PF2|=|F1F2|=2c，即椭圆上存在一点P，使得|PF2|=2c.所以|PF2|=2c≥a-c，所以a≤3c，所以即4.利用均值不等式构造不等式例3 设F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上任意一点M都满足∠F1MF2为锐角，则椭圆离心率的取值范围是( ).解：因为又因为∠F1MF2为锐角，所以又因为-4c2=(|MF1|+|MF2|)2-2|MF1||MF2|-4c2>0，所以|MF1||MF2|<2a2-2c2，由均值不等式得所以a2<2a2-2c2，解得所以图25.利用椭圆中重要结论构造不等式以上题为例.解：如图2，当M移动到椭圆的短轴的端点B时，∠F1MF2最大.由已知可知，∠F1BF2为锐角，即∠F1BO<45°，在Rt△F1BO中，所以6.利用题设中的已知条件构造不等式例4 已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：5x-12y=0交椭圆于A，B两点，若|AF|+|BF|=6，点M到直线l的距离不小于则该椭圆E的离心率的取值范围是( ).图3解：如图3所示，设F1为椭圆的左焦点，连接AF1，BF1，则四边形AFBF1为平行四边形，所以6=|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a，所以a=3.取M(0，b)，因为点M到直线l的距离不小于所以解得b≥1，所以又因为0<e<1，所以椭圆E的离心率的取值范围是故选A.在新一轮课改的实施过程中，作为数学教师，需要在平时的教学中，适时地引导学生探究出问题的本源，只有这样深入才能使学生更容易掌握解决问题的方法.而椭圆离心率取值范围的解法灵活多样，综合性强，需要我们认真分析题意，探究问题本源，才能找到最佳突破口，从而准确、快速地解决问题.参考文献：[1]王侠.椭圆离心率的深入认知及基本求法[J].中小学数学，2013(4).[2]黄贻淦.如何建立不等式求离心率的范围[J].数理化解题研究，2012(2).[3]林风，林善柱.数学概念教学要重视其生成过程——“椭圆离心率及其应用”的教学思考[J].中学数学教学参考(上)，2017(12).*基金项目：本文系2018年度甘肃省教育科学“十三五”规划重点课题“基于核心素养下的数学史融入高中数学教学的实践”(课题编号：GS[2018]GHB3863)的阶段性成果之一.。
求离心率的范围问题整理分类
求离心率的范围问题求离心率范围的方法 一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系。
2.利用线段长度的大小建立不等关系。
F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]；F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，|PF 1|≥c －a .3.利用角度长度的大小建立不等关系。
4.利用题目不等关系建立不等关系。
5. 利用判别式建立不等关系。
6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。
7.利用基本不等式，建立不等关系。
二、函数法：1. 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2.通过确定函数的定义域；3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围.练习利用曲线的范围建立不等关系1.F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，求椭圆的离心率的取值范围.2.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA = , 则椭圆离心率的范围是_________.3.设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得212||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为（ ）A ．12B ．13 C．2 D．32π4.5.设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 6．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭利用线段长度的大小建立不等关系7. 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。
高中数学常见题型解法归纳-离心率取值范围的常见求法
高中数学常见题型解法归纳-离心率取值范围的常见求法
高中数学常见题型解法归纳 - 离心率取值范围的常见求法
【知识要点】
1、求圆锥曲线离心率的取值范围是高考的一个热点，也是一个难点.
2、椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率,对于这三种圆锥曲线的离心率的范围要清楚，自己求出的离心率的范围必须和这个范围求交集.
3、求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：（1）利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系；（2）直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式；（3）利用函数的思想分析解答.
【方法讲评】
先求出曲线的变量或
如果椭圆上存在点，使【例1】设椭圆的左右焦点分别为，
,
，求离心率的取值范围.
从而，且
所以
【点评】（1）本题主要椭圆中的满足建立了关于离心率的不等式.(2)求离心率的取值范围，注意圆锥曲线离心率法范围，椭圆的离心率，双曲线的离心率，求出离心率的取值范围后，必须和它本身的范围求交集，以免扩大范围，出现错解.
【反馈检测1】双曲线在右支上存在与右焦点、左准线长等距离的点，求离心率的取值范围.
的不等关系，再转化为离心率的不等式，解不等式
【例2】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是．
【点评】本题就是直接根据“直线与双曲线的右支有且只有一个交点”得到关于的不等式，再转化成关于的二次不等式，解二次不等式即得离心率的取值范围.
【反馈检测2】过双曲线的右焦点作实轴所在直线的垂线，交双曲线于，两点，设双曲线的左顶点为，若点在以为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率的取值范围为( ) A． B． C． D．。
求解椭圆离心率的常见方法
ʏ河南省郑州市第二高级中学 韦道田椭圆的离心率是椭圆的重要几何性质之一,下面就求解椭圆的离心率(或取值范围)给出几种重要方法,供同学们参考㊂一㊁利用椭圆离心率的定义求解例1 (1)在平面直角坐标系中,椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的焦距为2,以O 为圆心,a 为半径的圆,过点P a2c ,0作圆的两条切线且互相垂直,则离心率e =㊂(2)设M 为椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)上一点,F 1,F 2为两个焦点,过M 作M F 1ʅx 轴,且øF 1M F 2=60ʎ,则椭圆的离心率为( )㊂A.12 B .22 C .33 D .32图1解析:(1)如图1,切线互相垂直,又半径O A ʅP A ,所以әO A P 是等腰直角三角形㊂因为2c=2,即c =1,所以a 2c=a 2,|O P |=2|O A |,a 2=2a ,则a =2㊂所以e =c a =22㊂(2)设|M F 1|=d ,因为øF 1M F 2=60ʎ,所以|M F 2|=2d ,|F 1F 2|=3d ㊂因此e =2c 2a =|F 1F 2||M F 1|+|M F 2|=3d d +2d =33,选C ㊂点评:e =2c2a =|F 1F 2||P F 1|+|P F 2|,其中F 1,F 2为椭圆的焦点,P 为椭圆上任意一点㊂二㊁利用圆锥曲线的统一定义求解依据e =|M F |d ,其中|M F |表示椭圆上的点M 到焦点F 的距离,d 表示椭圆上的点M 到焦点F 相应准线l 的距离㊂例2 在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为( )㊂A.2 B .22 C .12 D .24解析:设过焦点F 1且垂直于长轴的弦为A B ,则|A B |=2㊂焦点F 1到准线l 的距离为1,则点A 到l 的距离也为1㊂由圆锥曲线的统一定义得离心率e =|A F 1|1=22,选B ㊂点评:利用圆锥曲线的统一定义,可以较快地求出圆锥曲线的离心率㊂三㊁构造离心率的方程(不等式)求解例3 (1)已知A ,B 为椭圆x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴与短轴端点,F 为一个焦点,若A B ʅB F ,则该椭圆的离心率为( )㊂A.-1+52 B .1-22C .2-1D .22(2)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的42 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.左㊁右焦点分别为F 1(-c ,0)㊁F 2(c ,0),若椭圆上存在点P ,使a s i n øP F 1F 2=cs i n øP F 2F 1,则该椭圆离心率的取值范围为㊂解析:(1)在R tәA B F 中,|A F |2=|A B |2+|B F |2,即(a +c )2=(a 2+b 2)+(b 2+c 2)㊂因为e =c a,所以整理得e 2+e -1=0,e =-1+52,选A ㊂(2)由已知条件及正弦定理求得|P F 1|=ca|P F 2|㊂又|P F 1|+|P F 2|=2a ,则|P F 2|=2a 2c +a ㊂由|P F 2|<a +c ,得2a2c +a<a +c ,即e 2+2e -1>0㊂结合0<e <1,解得2-1<e <1㊂点评:如果直接求解椭圆离心率的值(或取值范围)有困难,那么可以通过构造离心率的方程(或不等式)求解㊂四㊁利用数形结合思想求解例4 ʌ第12届希望杯 试题ɔ设F 1㊁F 2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P ,使øF 1P F 2=120ʎ,则椭圆离心率e 的取值范围是㊂图2解析:如图2,当点P 与短轴端点B 重合时,øF 1P F 2最大㊂于是得øF 1P F 2ȡ120ʎ,故t a n øF 1P O ȡt a n 60ʎ=3,即cbȡ3㊂所以e =c a =cb 2+c 2=1bc2+1ȡ113+1=32㊂又0<e <1,所以32ɤe <1㊂点评:利用数形结合思想求椭圆的离心率e ,可回避繁杂的推理与计算过程㊂五㊁利用椭圆的光学性质求解例5 ʌ第一届 希望杯 高二试题ɔ椭圆的两个焦点是F 1(3,-6),F 2(6,3),一条切线方程为4x =3y ,这个椭圆的离心率是㊂解析:设切点为P ,切线为l ,作F 1㊁F 2关于l 的对称点F 1'㊁F 2',则由椭圆的光学性质知点P 是等腰梯形F 1F 2F 2'F 1'对角线的交点,对角线的长应等于椭圆长轴的长㊂由点到直线的距离公式,得F 1㊁F 2到直线l 的距离分别为6㊁3,可见梯形上㊁下底长分别为6㊁12㊂该等腰梯形的腰长即椭圆的焦距310㊂利用6,12,310,求出梯形的对角线长为92,从而得到椭圆的离心率e =31092=53㊂练一练:1.若椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,则椭圆的离心率是( )㊂A.12 B .32 C .34 D .642.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且B F ʅx 轴,直线A B 交y 轴于点P ㊂若A Pң=2P B ң,则椭圆的离心率是( )㊂A.32 B .22 C .13 D .123.已知F 1㊁F 2是椭圆的两个焦点,满足M F 1ң㊃M F 2ң=0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )㊂A.(0,1) B .0,12C .0,22D .22,14.过椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点F 且倾斜角为60ʎ的直线交椭圆于A ,B 两点,若|F A |=2|F B |,则椭圆的离心率等于( )㊂A.33 B .22 C .12 D .23参考答案:1.A2.D3.C4.D(责任编辑 徐利杰)52解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
求椭圆离心率范围的常见题型及解析
求椭圆离心率范围的常见题型及解析解析解题关键：挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e的不等式。
一、利用曲线的范围，建立不等关系已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$右顶点为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。
小改写：已知椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，右顶点为A，点P在椭圆上，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。
二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足所有点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）。
小改写：已知F1、F2是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的两个焦点，满足所有点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）。
三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系已知$\triangle ABC$的顶点B为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$短轴的一个端点，另两个顶点也在椭圆上，若$\triangle ABC$的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0)，求椭圆离心率的范围。
小改写：已知椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，短轴的一个端点为B，另两个顶点也在椭圆上，$\triangle ABC$的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0)，求椭圆离心率的范围。
四、利用函数的值域，建立不等关系椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$与直线$x+y-1=0$相交于A、B两点，且OA·OB=（O为原点），若椭圆长轴长的取值范围为$[5,6]$，求椭圆离心率的范围。
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧离心率是描述椭圆或者双曲线形状的一个重要参数，在高中数学中是一个常见的题型。
解决离心率题型需要掌握一些有效的解决技巧，以下是一些常用的解题方法：1. 确定椭圆或双曲线的方程类型：首先要根据题目中的给定信息确定椭圆或双曲线的方程类型，例如椭圆的方程一般形式为\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2} = 1，双曲线的方程一般形式为\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1。
2. 求取离心率：当已知椭圆或双曲线的方程时，可以利用离心率的定义求取离心率。
椭圆的离心率为e = \sqrt{1 - \dfrac{b^2}{a^2}}，双曲线的离心率为e =\sqrt{\dfrac{b^2}{a^2} + 1}。
3. 利用离心率性质解题：离心率有许多有用的性质可以用来解决题目。
椭圆的离心率e满足0 < e < 1，即离心率是大于0小于1的实数。
双曲线的离心率e满足e > 1，即离心率是大于1的实数。
4. 求取椭圆或双曲线的焦点：椭圆的焦点可以通过离心率来求取，焦点的坐标为(\pm ae, 0)。
双曲线的焦点的坐标为(\pm ae, 0)和(0, \pm b)。
5. 利用焦点和离心率的性质求取题目所需要的信息：有时候题目会给出椭圆或双曲线的焦点和离心率，需要求取其他相关信息。
可以根据离心率和焦点的坐标来求取椭圆的长轴、短轴长度，以及双曲线的极限。
6. 综合运用多种方法解题：有些题目可能需要综合运用离心率的性质、椭圆、双曲线的方程以及焦点、长轴、短轴等信息来解决。
在解决离心率题型时，需要熟练掌握椭圆和双曲线的基本概念和公式，同时运用离心率的性质来推导和求解。
多做一些题目，加深对离心率和椭圆、双曲线的理解，掌握常见的解决技巧，就能够更有效地解决高中数学离心率题型。
求解离心率的范围问题
求解离心率的范围问题离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.一、【知识储备】求离心率的方法离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度.常用的方法：（1）直接求出a 、c ，求解e ：已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式ace =来求解； （2）变用公式，整体求出e ：以椭圆为例，如利用e ===e == （3）构造a 、c 的齐次式，解出e ：根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造出a 、c 的齐次式，进而得到关于e 的方程，通过解方程得出离心率e 的值. 二、求解离心率的范围的方法1 借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值 等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用,,a b c 进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率 的范围.【例1】 已知椭圆的中心在O ,右焦点为F ，右准线为l ，若在l 上存在点M ，使线段OM 的垂直平分线经过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是_____________.【答案】：⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 x【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.【牛刀小试】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是______________.【答案】2[,1)2【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB ，则两切线形成的角APB ∠最小，若椭圆1C 上存在点P 令切线互相垂直，则只需090APB ∠≤，即045APO α=∠≤， ∴02sin sin 452b a α=≤=，解得222a c ≤，∴212e ≥，即22e ≥，而01e <<， ∴212e ≤<，即2[2e ∈. 2借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，∆的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.Bo F 1FAxy【例2】 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点，若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】26[,]23【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2sin 2cos 2c c a αα+=，然后借助已知条件,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦利用三角函数的图象求解离心率的范围. 【牛刀小试】过椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若31＜k ＜21, 则椭圆的离心率的取值范围是.【答案】(32,21)【解析】如图所示：2AF a c =+|，222a c BF a-=，()2222222tan a c BF a c a k BAF AF a c a a c --=∠===++， 又∵31＜k ＜21，∴()221132a c a a c -<<+，∴2111312e e -<<+，解得1223e <<．3 借助函数的值域求解范围根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【例3】已知椭圆221:12x y C m n -=+与双曲线222:1x y C m n+=有相同的焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为_________________. 【答案】2(,1)2【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系，得到函数关系式21112e m =-+，进而根据m 的范围，借助反比例函数求解离心率的范围.【牛刀小试】已知两定点(2,0)A -和(2,0)B ，动点(,)P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为______________.【答案】26【解析】由题意可知，2c =，由2c e a a==可知e 最大时需a 最小，由椭圆的定义||||2PA PB a +=，即使得||||PA PB +最小，如图，设(2,0)A -关于直线3y x =+的对称点(,)D x y ，由11202322y x y x -⎧⋅=-⎪⎪+⎨+-+⎪=+⎪⎩，可知(3,1)D -. 所以22||||||||||1526PA PB PD PB DB +=+≥=+=，即226a ≥，所以262a ≥，则2626c e a=≤=. 4 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆()2222100x y a b a b+=>>，中，a x a -≤≤，P 是椭圆上任意一点，则1a c PF a c -≤≤+等。
专题：椭圆的离心率解法大全
专题：椭圆的离心率解法大全椭圆是一种非常常见的几何形状，它在机械设计、电子设计、建筑设计等领域都有广泛的应用。
在实际的设计中，我们经常需要计算椭圆的面积、周长，以及确定其离心率等参数。
在本专题中，我们将介绍椭圆的离心率解法，包括公式推导以及实际应用。
1. 什么是椭圆的离心率椭圆的离心率是用来描述椭圆形状的一个参数，常用字母e表示。
它可以用一个公式来计算：e = √(1 - b²/a²)其中，a和b分别表示椭圆的长轴半径和短轴半径。
在这个公式中，长轴和短轴是椭圆的两个特征轴，通过它们可以确定椭圆的形状。
离心率越小，表示椭圆越接近于圆形；离心率越大，表示椭圆越“瘦长”。
2. 椭圆的离心率计算方法方法1：测量法在实际应用中，我们可以通过测量椭圆的长轴、短轴长度，再利用上面的公式计算离心率。
如果精度要求不高，这种方法比较简单实用，无需过多计算。
方法2：拟合法对于一些特定的数据分布，我们可以通过拟合方法来计算椭圆的离心率。
例如，在二维数据最小二乘拟合中，我们可以用椭圆方程将数据拟合到一个椭圆上，然后计算出长轴、短轴长度，最后利用公式计算离心率。
方法3：图像处理法在一些图像处理领域，我们需要计算图像中椭圆的离心率。
这时，我们可以通过图像处理算法，找到椭圆的长轴、短轴长度，再套用公式计算离心率。
常用的图像处理算法包括Hough变换、数据段拟合等。
3. 椭圆离心率的应用举例椭圆的离心率不仅仅是一个几何参数，它还有广泛的应用。
以下是一些举例：应用1：电子领域在电子电路设计中，椭圆常被用作电容、电感等元件的基础形状。
计算元件的面积和空间占用率时，椭圆的离心率就显得尤为重要。
应用2：机械领域在机械设计中，椭圆的离心率被广泛地应用于轴承和齿轮的设计中。
当确定轴向载荷和径向载荷比例时，离心率是一个非常重要的指标。
应用3：化学领域在化学分子几何构型的确定中，椭圆被广泛地应用于描述化学键角的倾角和轴向取向。
离心率范围问题的求解策略
离心率范围问题的求解策略1. 引言1.1 背景介绍离心率范围问题是指在某个特定的环境下，离心率的取值范围受到一定限制和影响，这可能会对系统的稳定性、性能和效率产生影响。
离心率本身是描述一个系统中某个物体或粒子远离轴线运动的程度的参数，通常用来描述液体或气体在旋转设备中的运动特性。
离心率的大小和范围直接关系着系统的工作状态和性能表现，因此对离心率范围问题进行深入研究和分析具有重要意义和实际价值。
在工程学、生物医学、地球科学等领域，离心技术被广泛应用于分离、浓缩、纯化等方面，而离心率范围问题则成为了工程师、科研人员以及相关领域专家关注的焦点。
了解和掌握离心率的定义、取值范围以及受到影响的因素，对于设计优化离心机、改进离心分离过程、提高实验效率等方面具有重要意义。
通过深入研究离心率范围问题的求解策略，可以为相关领域的科研工作和工程实践提供更加科学、有效的指导和支持。
1.2 问题提出离心率是描述轨道椭圆程度的一个重要参数，对于天体运动、环境工程等领域具有重要意义。
在实际应用中，我们常常面临离心率范围问题，即确定一个合适的离心率范围以满足特定的需求。
离心率范围问题在航天器设计、卫星轨道、地球环境保护等领域都具有重要意义。
在航天领域，离心率范围问题的解决直接影响着航天器的轨道设计和控制，对轨道稳定性、燃料消耗等方面都有着重要影响。
在卫星轨道设计中，确定合适的离心率范围可以提高卫星的使用寿命和性能，保证卫星能够稳定地运行和提供服务。
在地球环境保护中，离心率范围问题也是关键，例如在地球观测卫星设计中，需要合理选择离心率范围以确保卫星能够准确地观测地球的变化，为环境保护和资源管理提供支持。
研究离心率范围问题具有重要的理论意义和应用价值。
解决离心率范围问题，不仅可以提升航天器、卫星和环境保护设备的性能和稳定性，还能推动相关领域的发展和进步。
在本文中，我们将探讨离心率范围问题的定义、影响因素和求解策略，为解决实际问题提供参考和指导。
例谈离心率取值范围的求解策略
例谈离心率取值范围的求解策略
范围问题是数学学科中的一类常见问题，在高考试题中占有很大的比重。
圆锥曲线中离心率的取值范围问题就是其中的一个典型，也是考查高中解析几何试题中的一个重要知识点，倍受学生的关注。
其求解策略的关键是在已知条件下，结合圆锥曲线自身的定义、几何性质，综合其他知识，建立关于圆锥曲线的基本量的不等关系，再转化为离心率的不等式求解。
笔者通过多年的教学经验，收集了一些典型例题，旨在以题说法。
标签：圆锥曲线；离心率；取值范围
中图分类号：G633.65 文献标识码：C 收稿日期：2015-12-25。
巧解椭圆离心率的取值范围
巧解椭圆离心率的取值范围河北容城中学 牛文国 邮编071700在椭圆问题中经常会遇到下面一类问题，就教学中的一些体会提供此类问题的常规解法，供大家参考。
设椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的两焦点为21,F F ，若在椭圆上存在一点p ，使21PF PF ⊥，求椭圆e 的取值范围。
解析1：设()y x P ,，由21PF PF ⊥得1-=-⋅+cx y c x y ，即222x c y -=，代入12222=+by a x 得()22222c b c a x -= ，2220b c x ≥∴≥ 即222c a c -≥，22≥=∴a c e 又1<e 12<≤∴e解析2：令n PF m pF ==21, 则a n m 2=+ 由21PF PF ⊥ 2224c n m =+∴()22222224a n m nm c =+≥+=∴ 即222≥=ae又12210<≤∴<<e e 解析3：21PF PF ⊥ 为直径的圆上点在以21F F P ∴ 又P 在椭圆上，222c y x P =+∴为圆 与 12222=+by a x 的公共点。
由图可知222a c b a c b <≤⇒<≤ ∴2222a c c a <≤-122<≤∴e 说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长。
解析4：椭圆12222=+by a x )0(>>b a 当P 与短轴端点重合时∠21PF F 最大 此题是否可以得到启示呢？无妨设满足条件的点P 不存在 ，则∠21PF F <090 2245sin sin 001=<∠=<∴OPF a c 又10<<e 所以若存在一点P 则122<≤e 说明：在解此类问题时要充分利用椭圆的定义、均值不等式、椭圆的几何性质。
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离心率范围问题的求解策略
离心率范围问题的求解策略离心率是描述天体椭球轨道形状的一个重要参数，它是一个无量纲的数值，代表了轨道的椭圆程度，是衡量轨道形状和运动的重要指标之一。
在天体力学中，离心率的范围问题是一个值得深思的问题，因为离心率的取值范围直接影响了天体的运动状态和轨道形状。
本文将探讨离心率范围问题的求解策略，希望能够给读者一些启发和帮助。
我们需要了解离心率的定义。
离心率e是描述椭圆轨道形状的一个参数，它的取值范围在0到1之间，当离心率为0时，轨道是一个圆形；当离心率在0到1之间变化时，轨道是一个椭圆；当离心率为1时，轨道是一个抛物线；当离心率大于1时，轨道是一个双曲线。
离心率的取值范围对轨道形状和运动状态有着重要的影响，因此离心率范围问题需要被认真对待。
我们需要思考离心率的物理意义。
离心率的大小代表了轨道椭圆程度，是描述轨道形状和运动状态的重要指标之一。
离心率越接近于0，轨道的形状越接近于圆形，天体围绕中心天体的运动越稳定；离心率越接近于1，轨道的形状越接近于抛物线，天体的运动越趋向于离心运动。
离心率的物理意义是十分重要的，它直接影响了天体的轨道形状和运动状态。
面对离心率范围问题，我们首先可以从离心率的定义出发，明确离心率的取值范围在0到1之间。
这一点是天文学和天体力学研究中的一个基本知识，需要我们牢固掌握。
在实际问题中，我们可以根据离心率的取值范围来推导出一些结论和规律，从而更好地理解离心率的作用和影响。
我们可以从天体运动的角度来分析离心率范围问题。
离心率是描述轨道形状和运动状态的重要参数，它直接影响了天体围绕中心天体的运动方式和轨道形状。
在天体力学研究中，我们可以通过分析离心率的取值范围，来研究不同离心率下天体的轨道形状和运动状态，从而深入理解离心率的物理意义和作用。
我们还可以通过数学模型和计算模拟来探讨离心率范围问题。
通过建立数学模型和计算模拟，我们可以对离心率的取值范围进行定量分析和研究，从而得出一些有关离心率范围问题的结论和结论。
椭圆离心率取值范围
椭圆离心率取值范围
椭圆离心率是椭圆轨道的一个重要参数，反映椭圆轨道的扁短程度，它的大小决定了运动体的轨道形状。
椭圆离心率的取值范围是介于[0，∞)之间的，如果离心率取0，则椭圆轨道就变成一个圆；当离心率 > 0 的时候，就变成扁的椭圆形。
当椭圆离心率为0，表示椭圆轨道是一个完美的圆形，轨道形状为正圆，整体运动半径为长半径r，椭圆离心率为0时，扁短程度完全平等，短半径r = 长半径r 。
当椭圆离心率介于(0，1)之间时，表示椭圆轨道是一把扁的倒钩形，整体扁短程度一致，称之为内接椭圆，运动体向轨道长轴上的运动效率明显高于向短轴上的运动效率，短半径r＜长半径R （0＜e＜1）。
由此可见，椭圆离心率取值范围介于[0，∞)之间，当离心率取0时，椭圆两个半径长度相等，体形为正圆，而当离心率值大于1时，椭圆的短半径变长，体形变成扁钩形，当离心率取正无穷时，体形变成一条直线。
离心率的求值或取值范围问题
离心率的求值或取值范围问题【方法技巧】方法1 定义法解题模板：第一步 根据题目条件求出,a c 的值 第二步 代入公式ce a=，求出离心率e . 方法2 方程法解题模板：第一步 设出相关未知量；第二步 根据题目条件列出关于,,a b c 的方程； 第三步 化简，求解方程，得到离心率.方法3 借助平面几何图形中的不等关系解题模板：第一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，第二步 将这些量结合曲线的几何性质用,,a b c 进行表示，进而得到不等式， 第三步 解不等式，确定离心率的范围.方法4 借助题目中给出的不等信息解题模板：第一步 找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，∆的范围等；第二步 列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.方法5 借助函数的值域求解范围解题模板：第一步 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；第二步 通过确定函数的定义域；第三步 利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【应用举例】【例题1】若椭圆经过原点，且焦点分别为12(0,1),(0,3)F F ，则其离心率为（ ）A ．34 B ．23 C ．12 D ．14【答案】C 【解析】试题分析：根据椭圆定义，原点到两焦距之和为2a=1＋2，焦距为2c=2，所以离心率为12. 考点：椭圆的定义. 【难度】较易【例题2】点P （-3，1,过点P 且方向为a =（2，-5）的光线经直线y=－2反射后通过椭圆的左焦点，则此椭圆离心率为（ ）【答案】A 【解析】试题分析：因为给定点P （-3，1根据光线的方向为a =（2，-5）y=-2与入射光线的斜率互为相反数可知焦点的坐标为（1，0），因此可知 A 考点：本试题考查了椭圆性质的知识点。
点评：解决该试题的关键是利用椭圆的反射原理得到直线斜率的特点，结合平面反射光线与入射光线的斜率互为相反数，得到c 的值，同时得到a,b,c 的关系式，进而得到结论，属于基础题。
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
高中数学中，离心率是一个重要的概念，通常与椭圆、双曲线和抛物线等图形相关。
掌握离心率的相关知识和解题技巧对于解决相关题目非常重要。
下面将介绍一些关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧。
一、基本概念和公式的掌握
要掌握椭圆、抛物线和双曲线的离心率公式。
对于椭圆和双曲线，离心率的定义为
e=c/a，其中c为焦点到准直线的距离，a为离心率的定义为e=c/a，其中c为焦点到准直线的距离，a为离心率的定义为e=c/a，其中c为焦点到准直线的距离，a为离心率的定义为e=c/a，其中c为焦点到准直线的距离，a为离心率的定义为e=c/a，其中c为焦点到准直线的距离，b为焦点的坐标。
对于抛物线，离心率的定义为e=1，对于抛物线，离心率的定义为e=1，对于抛物线，离心率的定义为e=1，对于抛物线，离心率的定义为e=1，对于抛物线，离心率的定义为e=1，对于抛物线，离心率的定义为e=1，对于抛物线，离心率的定义为e=1，对于抛物线，离心率的定义为e=1，c为抛物线的焦点到直线的距离。
二、利用离心率和几何性质解题
在解决离心率题型时，可以利用离心率和几何性质进行推导和解题。
1. 利用离心率和定义求解焦点坐标
对于已知椭圆或双曲线的方程，可以利用离心率的定义求解焦点坐标。
根据离心率的定义，可以得到c=ea，然后利用焦点与准直线的关系，得到焦点的坐标。
三、利用常见题型的解题思路
在高中数学中，离心率相关的题目通常有以下几种常见的题型，掌握这些题型的解题思路非常重要。
椭圆离心率的三种求法、中点弦方程三种求法
椭圆离心率的三种求法：(1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a 2，b 2，求a ，c 的值，利用公式e ＝c a 或利用221ab e -=直接求解. (2)求椭圆的离心率时，若不能直接求得c a的值，通常由已知寻求a ，b ，c 的关系式，再与a 2＝b 2＋c 2组成方程组，消去b 得只含a ，c 的方程，再化成关于e 的方程求解.(3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a ，b ，c 的不等式，消去b 后，转化为关于e 的不等式，从而求出e 的取值范围.1. 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2b 分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( )A.1617B.41717C.45D.255解析 依题意，得c ＋b 2c －b 2＝53，∴c ＝2b ，∴a ＝b 2＋c 2＝5b ，∴e ＝2b 5b＝255. 答案D 点评 本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率.2. 设P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是其左，右焦点.已知∠F 1PF 2＝60°，求椭圆离心率的取值范围.分析 本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键. 解 方法一 根据椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a .①在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝12， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝|PF 1||PF 2|.②①式平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.③由②③，得|PF 1||PF 2|＝4b 23.④ 由①和④运用基本不等式，得|PF 1||PF 2|≤2212||||⎪⎭⎫ ⎝⎛+PF PF ，即4b 23≤a 2. 由b 2＝a 2－c 2，得43(a 2－c 2)≤a 2，解得e ＝c a ≥12. 又e ＜1，∴该椭圆的离心率的取值范围是[12，1). 方法二 如图，设椭圆与y 轴交于B 1，B 2两点，则当点P 位于B 1或B 2处时，点P 对两焦点的张角最大，故∠F 1B 2F 2≥∠F 1PF 2＝60°，从而∠OB 2F 2≥30°.在Rt △OB 2F 2中，e ＝c a ＝sin ∠OB 2F 2≥sin 30°＝12. 又e ＜1，∴12≤e ＜1. ∴该椭圆的离心率的取值范围是[12，1). 点评 在求椭圆离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围，建立不等关系的途径有：基本不等式，利用椭圆自身存在的不等关系(如基本量之间的大小关系或基本量的范围，点与椭圆的位置关系所对应的不等关系，椭圆上点的横、纵坐标的有界性等)，判别式，极端情况等等.如上面方法二就应用了“当点P 运动到短轴的端点时，点P 对两焦点的张角最大”这一极端情况.(2016全国Ⅰ高考)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆的中心到的距离为短轴长的41，则该椭圆的离心率为（ B ） A. 31 B. 21 C. 32 D.43 解：设椭圆是焦点在x 轴上的标准方程，上顶点与右焦点分别为)0,(),0(c F b B 、，则直线l 的方程为0=-+bc cy bx 。
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例 １ 已知 椭 圆 的方 程 为 ＋ ＝１ ０ （
口 ０
＞ｂ＞０ ， ， ２ 别 为椭 圆的左 、 两个 焦 ） ＦｌＦ 分 右
点， Ｐ为椭 圆上 的一 点 ， Ｉ Ｆｌ ＝４ Ｆ ， 若 Ｐ Ｉ ２ Ｉ Ｐ Ｉ
求椭 圆的离心 率 的取 值范 围 ．
１ 利用椭 圆的焦半 径公式 ， 圆的范 围求解 椭
先通过 焦半 径公 式 建 立 方程 ， 然后 利 用
椭 圆的范 围建 立不 等式求解 ．
２ ２
求椭 圆的离 心率 的取 值范 围 ． 解： 在ａ Ｆ Ｐ ２ ， ｌ Ｆ 中 由余 弦定理 ， 得
ｌ Ｆ２Ｉ Ｆ１ ＝ Ｉ ＰＦ１ ＋ Ｉ ｌ ＰＦ２ｌ 一 ２Ｉ ＰＦｌ ＰＦ２ｌ０ Ｆ１ Ｆ ｌｌ ｃ ｓ ２ ＰＪ
ｅ ｏ Ⅱ＋ｅ ０ ４ 。一ｅ Ｏ ｘ， ＝ （ Ｘ）
ｏ ≤口 ＝
４ａ 一４Ｃ
．
２ｂ
．
≥
ｅ ｛． ０ ｅ １ 。 ≥ 又 ＜ ＜ 椭圆的离心率的取值
范 为 詈 １ 围 【， ． ）
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２０ ０ ９年 第 ６期
河北理科教 学研 究
问题 讨论
浅 谈 椭 圆 离 心 率 取 值 范 围 的 求解 策 略
湖 北省襄 樊市第一 中学 黄 汉桥 ４ １０ ４００
椭 圆的离心率 是椭 圆的一个 重要几 何性
２ 利用余 弦定理及 均值 不等式 求解
质， 它是反 映椭 圆形 状 即圆扁程度 的几何 量 ．
Ａ Ｘ ，０处切线的斜率为卫． （ Ｏｙ）
ｙ ｏ
２０ ０ ９年 第 ６期
河北理科 教 学研 究
问题 讨论
３ ４ Ｐ 等． ＜ｅ ，． ≤ ｃ ≥ 又０ ＜１． ・ 椭圆的
二
轴 的 正 半 轴 交 于 Ａ 点 ， 果 椭 圆 上 存 在 一 点 如
ｒ
厂 ：
、
Ｐ 使一Ｐ・ ｆ： ， 为坐标原点， 圆的 ， Ｏ Ｐ＝ 使 ， ０ ０为坐标原点， ’ Ａ 求椭
我们 可 以通 过椭 圆的一些 条件来 确定椭 圆的 离 心率 的取 值范 围 ．
先利用余弦定理建立等式， 然后根据均
值不 等式转 化为不 等式求解 ． 例 ２ 已知 椭 圆 的方 程 为 ＋ ＝１ ｏ （
＞ｂ＞０ ， ， ２ 别 为椭 圆 的左 、 ） Ｆｌ Ｆ 分 右两个 焦 点 ， 为椭 圆上 的一 点 ， Ｐ 若 Ｆｌ Ｆ ＝１（ ， Ｐ ２ ２ｙ 。
＜
・
．
０的长 轴 的两 个 端 点 是 Ａ， ， 椭 圆 Ｃ上 ） 若
存 在一点 Ｐ， 使 Ａ Ｂ＝１０ ， Ｐ ２ ￣求椭 圆 Ｃ的离 心 率 ｅ的取值 范围 ． 解 ： 图 １所 如
示， Ａ Ｂ ≥ Ｄ
Ｄ
．
椭 的心 的值 围 【，． 圆离率 取范 为 １ ）
根据点 （ ｏ ｙ ） 椭 圆 ＋ ：ｌ 。＞ ｘ ，ｏ在 （
解 ： Ｐ 的坐标为 （ ， ０ ， 设 ｏ Ｙ ） 由椭 圆的第
二定义 可得 ， Ｐ ＝ａ＋ｅ ０ Ｉ Ｆ ＝ａ— Ｉ Ｆ１ Ｉ ｘ ，Ｐ ２ Ｊ
（尸 １＋ｌ Ｉ Ｉ
一 。 — 一
Ｉ 一ｌ １ ｌ一 １Ｆ ｌ Ｉ ） Ｆ ２Ｐ ｌｌ 尸
２Ｉ Ｐ 一 一
离心率 的取值 范围 ．
解 ： Ｐ 的坐标 为 （ ｃｓ ， ｓ Ｏ （ 设 ａ ｏＯ ｂｉ ） ０＜０ ｎ
离 率 取 范 为 等， ． 心 的 值 围 Ｉ １ ｝
３ 利用 椭 圆上 的点 以短 轴 的端 点到 长轴 两 端点的视 角最大来 求解 由上 例可知 ， 圆上 的点 到 两焦 点 的 视 椭 角 以短轴 的端点 时最大 ， 同样 ， 圆上 的点 以 椭 短轴 的端 点到 长轴 两端 点 的 视角 最 大 ， 利用
这一性质 可求解 ．
２ ２
＜２ｆ且 ０≠ ７） 又 Ａ（ ， ） 由条 件 可 得 ７ ｆ， ａ０ ，
（ ｃｓ ， ｓ Ｏ ・ ａ ＯＯ—ａ ｂｉＯ ａ ｏＯ ｂ ｉ ） （ ＣＳ ｎ ， ｓ ）：０ ｎ
口
２ｃ。
ｓ
２ 一 口 ｃ ｓ ＋ ６ ｓｎ ０ ： ０ ： ０ ２ 。０ ２ ｉ
（
ａ。
丽ｂ ２２
、 Ｉ 写
） ‘
；
小 小
‘
、 － 写
写
Ｉ ｌ 写 ＼
曲线 的切 线方程 是
＋
ｂ。
：１故 点 ，
于是 ， 面三个 定 理 中的定 值 有 明显 的 上 几何 意 义 ， 就是 曲线 在 点 Ａ（ ， ０处 切 线 ０Ｙ ）
４（ ｏｙ） ｘ ，ｏ处切有如下统一的结论 ．
定理 ４ 已知 Ａ（ ， ｏ是 圆锥 曲线 Ｃ ｙ）
上异 于顶点 的一点 ， Ｆ是 曲线 Ｃ上两个 动 Ｅ，
若 Ａ（ Ｏ ｙ ） 抛 物 线 Ｃ： ｐ Ｘ ， ｏ是 Ｙ ＝２ ｘ上 异于 顶点 的一 点 ， 在点 Ａ（ ， ｏ 处 抛物 则 ０ ｙ ）
５ 利用 点与椭 圆的位置 关 系求解
Ａ Ｂ ＝ １０ ， Ｐ ２ ￣ 所
点， 若直线 Ａ Ａ 的斜 率互 为相反 数 ， 直 Ｅ， Ｆ 则 线 Ｅ Ｆ的斜 率 为定 值 ， 且 这个 定 值 有 明显 而 的几何意 义 ， 是 曲线 ｃ在 点 Ａ（ ，ｏ处 就 。 ｙ ） 切 线斜率 的相 反数 ．
线 的切线 方程是 ｙｙ＝Ｐ（ ＋Ｘ ）故点 ｏ Ｏ，