2011年中考数学一轮复习：图形与几何
中考一轮复习 数学专题11 几何图形初步与相交线、平行线(老师版)
专题11 几何图形初步与相交线、平行线一、单选题1．（2022·广东广州）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（）A．圆锥B．圆柱C．棱锥D．棱柱【答案】A【解析】【分析】由图可知展开侧面为扇形，则该几何体为圆锥．【详解】该几何体的侧面展开图是扇形，所以这个几何体可能是圆锥,故选：A．【点睛】此题主要考查几何体的展开图，熟记几何体的侧面展开图是解题的关键．2．（2022·广西柳州）如图，从学校A到书店B有①、①、①、①四条路线，其中最短的路线是（）A．①B．①C．①D．①【答案】B【解析】【分析】根据两点之间线段最短进行解答即可．【详解】解：①两点之间线段最短，①从学校A到书店B有①、①、①、①四条路线中，最短的路线是①，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握两点之间所有连线中，线段最短．3．（2022·广西柳州）如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据面动成体：一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱，据此判断即可．【详解】解：由题意可知：一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱．故选：B【点睛】本题考查了圆柱的概念和面动成体，属于应知应会题型，熟练掌握基础知识是解题关键．4．（2021·四川巴中）某立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用立体图形及其表面展开图的特点解题．【详解】解：四个三角形和一个四边形，是四棱锥的组成，所以该立体图形的名称为四棱锥．故选：A．【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．5．（2021·山东枣庄）小明有一个呈等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图的九个空格，下面有四种积木的搭配，其中不能放入的有（）A．搭配①B．搭配①C．搭配①D．搭配①【答案】D【解析】【分析】将每个搭配的两组积木进行组合，检验是否可得出图中剩下的九个空格的形状，由此即可得出答案．【详解】解：搭配①、①、①两组积木组合在一起，均可组合成图中剩下的九个空格的形状，只有搭配①不能，故选：D．【点睛】本题考查了图形的剪拼，解题关键是培养学生的空间想象能力以及组合意识．6．（2020·山东东营）如图，直线AB CD 、相交于点,O 射线OM 平分,BOD ∠若42AOC ∠=︒，则AOM ∠等于（ ）A ．159B ．161C ．169D ．138【答案】A【解析】【分析】 先求出①AOD =180°-①AOC ，再求出①BOD =180°-①AOD ，最后根据角平分线平分角即可求解．【详解】解：由题意可知：①AOD =180°-①AOC =180°-42°=138°，①①BOD =180°-①AOD =42°，又①OM 是①BOD 的角平分线，①①DOM =12①BOD =21°， 本号资料皆来源#于微信：数学①①AOM =①DOM +①AOD =21°+138°=159°．故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质及平角的定义，熟练掌握角平分线的性质和平角的定义是解决此类题的关键． 7．（2022·浙江金华）如图，圆柱的底面直径为AB ，高为AC ，一只蚂蚁在C 处，沿圆柱的侧面爬到B 处，现将圆柱侧面沿AC “剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据圆柱的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可；【详解】解：①AB为底面直径，①将圆柱侧面沿AC“剪开”后，B点在长方形上面那条边的中间，①两点之间线段最短，故选：C．【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．∥，①1＝70°，则①2的度数是（）8．（2022·广西柳州）如图，直线a，b被直线c所截，若a bA．50°B．60°C．70°D．110°【答案】C【解析】【分析】∥，①1＝70°，可得2170,从而可得答案．由a b【详解】∥，①1＝70°，解：①a b①2170,故选C【点睛】本题考查的是平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”是解本题的关键．9．（2022·广西河池）如图，平行线a，b被直线c所截，若①1＝142°，则①2的度数是()A．142°B．132°C．58°D．38°【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等即可求解．【详解】∥，解：①a b①21142∠=∠=︒，故选A．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键．10．（2022·北京）如图，利用工具测量角，则1∠的大小为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A【解析】【分析】 利用对顶角相等求解．【详解】解：量角器测量的度数为30°，由对顶角相等可得，130∠=︒．故选A ．【点睛】本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．11．（2022·甘肃兰州）如图，直线a b ∥，直线c 与直线a ，b 分别相交于点A ，B ，AC b ⊥，垂足为C ．若152∠=︒，则2∠=（ ）A ．52°B ．45°C ．38°D ．26°【答案】C【解析】【分析】 根据平行线的性质可得①ABC =52°，根据垂直定义可得①ACB =90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．【详解】解：①a ∥b ，①①1=①ABC =52°，①AC ①b ，①①ACB =90°，①①2=90°-①ABC =38°，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．12．（2022·辽宁营口）如图，直线,DE FG Rt ABC 的顶点B ，C 分别在,DE FG 上，若25BCF ∠=︒，则ABE ∠的大小为（ ）A ．55︒B ．25︒C ．65︒D ．75︒【答案】C【解析】【分析】 先根据平行线的性质得到①EBC =①BCF =25°，再利用互余得到①ABE =65°．【详解】解：①DE FG ∥，25BCF ∠=︒，①①EBC =①BCF =25°①①ABC =90°，①①ABE =①ABC -①EBC =90°-25°=65°．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、余角和补角，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题关键．13．（2022·内蒙古通辽）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当35ABM∠=︒时，DCN∠的度数为（）A．55︒B．70︒C．60︒D．35︒【答案】A【解析】【分析】根据题意得：①ABM=①OBC，①BCO=①DCN，然后平行线的性质可得①BCD =70°，即可求解．【详解】解：根据题意得：①ABM=①OBC，①BCO=①DCN，①①ABM=35°，①①OBC=35°，①①ABC=180°-①ABM-①OBC=180°-35°-35°=110°，①CD①AB，①①ABC+①BCD=180°，①①BCD=180°-①ABC=70°，①①BCO+①BCD+①DCN=180°，①BCO=①DCN，①1(180)552DCN BCD︒︒-∠=∠=．故选：A【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．14．（2022·山东潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB 与CD 平行，入射光线l 与出射光线m 平行．若入射光线l 与镜面AB 的夹角14010'∠=︒，则6∠的度数为（ ）A ．10040'︒B ．9980'︒C ．9940'︒D ．9920'︒【答案】C【解析】【分析】 由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得①1=①2，可求出①5，由l //m 可得①6=①5【详解】解：由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得①1=①2，①14010'∠=︒①24010'∠=︒①518012180401040109940'''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒①l //m①659940'∠=∠=︒故选：C【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键． 15．（2022·山西）如图，Rt ABC △是一块直角三角板，其中90,30C BAC ∠=︒∠=︒．直尺的一边DE 经过顶点A ，若DE CB ∥，则DAB ∠的度数为（ ）A ．100°B ．120°C ．135°D ．150°【答案】B【解析】【分析】先根据平行线的性质可得90DAC C ∠=∠=︒，再根据角的和差即可得．【详解】解：,90C DE CB ∠=︒，90DAC C ∴∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，120DAB D C AC BA ∠=∠+=∴∠︒，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．16．（2021·贵州黔西）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则①1的度数为（）A ．95°B ．100°C ．105°D ．110°【答案】C【解析】【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到答案．【详解】如图：①①2＝180°﹣30°﹣45°＝105°，①AB①CD，①①1＝①2＝105°，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．17．（2021·四川德阳）如图，直线AB①CD，①M＝90°，①CEF＝120°，则①MPB＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质和三角形外角性质解答即可．【详解】解：①AB①CD，①①EFP=①CEF=120°，①①MPF=①EFP-①M=120°-90°=30°，①①MPB=180°-①MPF=180°-30°=150°，故选：D．【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．本号资料皆来源于微信：数学第*六感18．（2021·山东潍坊）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】B【解析】【分析】作CD①平面镜，垂足为G，根据EF①平面镜，可得CD//EF，根据水平线与底面所在直线平行，进而可得夹角α的度数．【详解】解：如图，作CD①平面镜，垂足为G，①EF①平面镜，①CD//EF，①①CDH＝①EFH＝α，根据题意可知：AG①DF，①①AGC＝①CDH＝α，①①AGC＝α，①①AGC12=∠AGB12=⨯60°＝30°，①α＝30°．故选：B．【点睛】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线CG平分①AG B．19．（2020·四川广元）如图，//a b，M，N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么123∠+∠+∠=（）A．180︒B．270︒C．360︒D．540︒【答案】C【解析】【分析】首先过点P作P A①a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补进行做题．【详解】解：过点P作P A①a，则a①b①P A，①①1+①MP A=180°，①3+①NP A=180°，①①1+①MPN+①3=360°．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．20．（2020·黑龙江齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC①DE，如图①所示，则旋转角①BAD的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】B【解析】【分析】由平行线的性质可得①CF A＝①D＝90°，由外角的性质可求①BAD的度数．【详解】解：如图，设AD与BC交于点F，①BC①DE，①①CF A＝①D＝90°，①①CF A＝①B+①BAD＝60°+①BAD，①①BAD＝30°故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及外角的性质，熟知以上知识点是解题的关键．21．（2020·湖北孝感）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE CD ⊥，垂足为点O ．若40BOE ∠=︒，则AOC ∠的度数为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．140︒【答案】B【解析】【分析】 已知OE CD ⊥，40BOE ∠=︒，根据邻补角定义即可求出AOC ∠的度数．【详解】①OE CD ⊥①90COE ∠=︒①40BOE ∠=︒①180?180904050AOC COE EOB ∠=-∠-∠=︒-︒-︒=︒故选：B【点睛】本题考查了垂直的性质，两条直线垂直，形成的夹角是直角；利用邻补角的性质求角的度数，平角度数为180°．22．（2020·四川攀枝花）如图，平行线AB 、CD 被直线EF 所截，过点B 作BG EF ⊥于点G ，已知150∠=︒，则B ∠=（ ）．A．20︒B．30︒C．40︒D．50︒【答案】C【解析】【分析】延长BG，交CD于H，根据对顶角相等得到①1=①2，再依据平行线的性质得到①B=①BHD，最后结合垂线的定义和三角形内角和得到结果.【详解】解：延长BG，交CD于H，①①1=50°，①①2=50°，①AB①CD，①①B=①BHD，①BG①EF，①①FGH=90°，①①B=①BHD=180°-①2-①FGH=180°-50°-90°=40°.故选C.【点睛】本题考查了对顶角相等，垂线的定义，平行线的性质，三角形内角和，解题的关键是延长BG构造内错角.23．（2022·江苏盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则ABC ∠与DEF ∠的关系是（ ）A ．互余B ．互补C ．同位角D ．同旁内角【答案】A【解析】【分析】利用平行线的性质可得出答案．【详解】解：如图，过点G 作GH 平行于BC ，则GH DE ∥，ABC AGH ∴∠=∠，DEF FGH ∠=∠，90AGH FGH ∠+∠=︒，90ABC DEF ∴∠+∠=︒，故选A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，灵活运用性质解决问题是解题的关键．24．（2022·湖北荆州）如图，直线12l l ∥，AB ＝AC ，①BAC ＝40°，则①1＋①2的度数是（）A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°【答案】B【解析】【分析】由AB ＝AC ，①BAC ＝40°得①ABC =70°，在由12l l ∥得12180ABC BAC ∠+∠+∠+∠=︒即可求解；【详解】解：①AB ＝AC ，①BAC ＝40°，①①ABC =12（180°-①BAC ）＝12（180°-40°）=70°， ①12l l ∥①12180ABC BAC ∠+∠+∠+∠=︒①12180180704070ABC BAC ∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故选：B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．25．（2021·湖南娄底）如图，//AB CD ，点,E F 在AC 边上，已知70,130CED BFC ∠=︒∠=︒，则B D ∠+∠的度数为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【答案】C【解析】【分析】取,ED FB 的交点为点G ，过点G 作平行于CD 的线MN ，利用两直线平行的性质，找到角之间的关系，通过等量代换即可求解．【详解】解：取,ED FB 的交点为点G ，过点G 作平行于CD 的线MN ，如下图：根据题意：70,130CED BFC ∠=︒∠=︒，50EFG ∴∠=︒，180507060EGF ∴∠=︒-︒-︒=︒，////MN CD AB ，,B BGN D DGN ∴∠=∠∠=∠，B D BGN DGN BGD ∴∠+∠=∠+∠=∠，,ED BF 相交于点G ，60EGF BGD ∴∠=∠=︒，60B D ∴∠+∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了两直线平行的性质和两直线相交对顶角相等，解题的关键是：添加辅助线，利用两直线平行的性质和对顶角相等，同过等量代换即可得解．26．（2021·安徽）两个直角三角板如图摆放，其中90BAC EDF ∠=∠=︒，45E ∠=︒，30C ∠=︒，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD ∠的大小为（ ）A ．60︒B ．67.5︒C ．75︒D ．82.5︒【答案】C【解析】【分析】 根据//BC EF ，可得45FDB F ∠=∠=︒，再根据三角形内角和即可得出答案．【详解】由图可得6045B F ∠=︒∠=︒，，①//BC EF ，①45FDB F ∠=∠=︒，①180180456075BMD FDB B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键． 27．（2020·内蒙古呼伦贝尔）如图，直线//,AB CD AE CE ⊥于点E ，若120EAB ︒∠=，则ECD ∠的度数是（ ）A ．120°B ．100°C ．150°D ．160°【答案】C【解析】延长AE，与DC的延长线交于点F，根据平行线的性质，求出①AFC的度数，再利用外角的性质求出①ECF，从而求出①EC D．【详解】解：延长AE，与DC的延长线交于点F，①AB①CD，①①A+①F=180°，①120∠=︒，EAB①①F=60°，①AE①CE，①①AEC=90°，而①AEC=①F+①ECF，①①ECF=①AEC-①F =30°，①①ECD=180°-30°=150°，故选：C．【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，正确作出辅助线和掌握平行线的性质是解题的关键．28．（2020·四川绵阳）在螳螂的示意图中，AB①DE，△ABC是等腰三角形，①ABC＝124°，①CDE＝72°，则①ACD＝（）A．16°B．28°C．44°D．45°【解析】【分析】延长ED ，交AC 于F ，根据等腰三角形的性质得出28A ACB ，根据平行线的性质得出28CFD A ，本号资料皆来源于*#微信公*众号：数学 【详解】解：延长ED ，交AC 于F ，ABC ∆是等腰三角形，124ABC ∠=︒，28A ACB ，//AB DE ，28CFD A ，72CDECFD ACD ， 722844ACD ，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 29．（2020·湖北省直辖县级单位）将一副三角尺如图摆放，点E 在AC 上，点D 在BC 的延长线上，//,90,45,60EF BC B EDF A F ∠=∠=︒∠=︒∠=︒，则CED ∠的度数是（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【答案】A【解析】根据三角板的特点可知①ACB=45°、①DEF=30°，根据//EF BC可知①CEF=①ACB=45°，最后运用角的和差即可解答．【详解】解：由三角板的特点可知①ACB=45°、①DEF=30°①//EF BC①①CEF=①ACB=45°，①①CED=①CEF-①DEF=45°-30°=15°．故答案为A．【点睛】本题考查了三角板的特点、平行线的性质以及角的和差，其中掌握平行线的性质是解答本题的关键．30．（2020·辽宁鞍山）如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、B C．若①ABC＝54°，则①1的大小为（）A．36°．B．54°．C．72°．D．73°．【答案】C【解析】【详解】①l1①l2，①ABC=54°，①①2=①ABC=54°，①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，①AC=AB，①①ACB=①ABC=54°，①①1+①ACB+①2=180°，故选C．二、填空题31．（2022·广西桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝_____cm．本号资料皆来源于微信：数@学【答案】4【解析】【分析】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm．【详解】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，故答案为：4．【点睛】本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键．32．（2022·广西玉林）已知①α=60°，则①α的余角等于____度．【答案】30【解析】【详解】①互余两角的和等于90°，①α的余角为：90°-60°=30°.故答案为：3033．（2020·黑龙江大庆）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若108AOD∠=︒，则COB∠= _________．【答案】72.︒【解析】由①AOB =①COD =90°，①AOC =①BOD ，进而①AOC =①BOD =108°-90°=18°，由此能求出①BO C ．【详解】 解： ①AOB =①COD =90°，∴ ①AOC =①BOD ， 又①AOD =108°，∴ ①AOC =①BOD =108°-90°=18°，∴ ①BOC =90°-18°=72°．故答案为：72︒．【点睛】本题考查的是角的和差，两锐角的互余，掌握以上知识是解题的关键．34．（2020·四川雅安）如图，//a b c ，与a b ，都相交，150∠=︒，则2∠=_________．【答案】130°【解析】【分析】根据平行线的性质可得①1=①3，再用补角的定义得出①2.【详解】解：①a ①b ，①①1=①3=50°，①①2=180°-50°=130°，故答案为130°.【点睛】本题考查了平行线的性质和补角的定义，解题的关键掌握两直线平行，同位角相等.35．（2022·广西）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么①BAC 的大小为______【答案】135°##135度【解析】【分析】根据三角板及其摆放位置可得180,45BAO BAC OAC OAC ∠=︒=∠+∠∠=︒，求解即可．【详解】180,45BAO BAC OAC OAC ∠=︒=∠+∠∠=︒，18045135BAC ∴∠=︒-︒=︒，故答案为：135°．【点睛】本题考查了求一个角的补角，即两个角的和为180度时，这两个角互为补角，熟练掌握知识点是解题的关键．36．（2021·黑龙江大庆）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【解析】【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -． 【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯ 20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -． 37．（2021·湖南益阳）如图，AB 与CD 相交于点O ，OE 是AOC ∠的平分线，且OC 恰好平分EOB ∠，则AOD ∠=_______度． 本号资料皆来源于微#信：数@学@【答案】60【解析】【分析】先根据角平分线的定义、平角的定义可得60COB ∠=︒，再根据对顶角相等即可得．【详解】解：设2AOC x ∠=，OE 是AOC ∠的平分线，12AOE EOC AOC x ∴∠=∠=∠=， OC 平分EOB ∠，COB EOC x ∴∠=∠=，又180AOE EOC COB ∠+∠+∠=︒，180x x x ∴++=︒，解得60x =︒，即60COB ∠=︒，由对顶角相等得：60AOD COB ∠=∠=︒，故答案为：60．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义、对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 38．（2022·山东济宁）如图，直线l 1，l 2，l 3被直线l 4所截，若l 1∥l 2，l 2∥l 3，①1＝126o 32'，则①2的度数是___________．【答案】5328'︒【解析】【分析】根据平行线的性质得23,34∠=∠∠=∠，根据等量等量代换得34∠=∠，进而根据邻补角性质即可求解．【详解】解：如图l1∥l 2，l 2∥l 3，23∴∠=∠，34∠=∠，24∴∠=∠，①1＝12632'︒，2418012632∴∠=∠=-︒'︒17960126325328'''=︒-︒=︒，故答案为：5328'︒．【点睛】本题考查了邻补角，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 39．（2022·湖北宜昌）如图，C 岛在A 岛的北偏东50︒方向，C 岛在B 岛的北偏西35︒方向，则ACB ∠的大小是_____．【答案】85︒##85度【解析】【分析】过C 作CF DA ∥交AB 于F ，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解．【详解】 解：C 岛在A 岛的北偏东50︒方向，50DAC ∴∠=︒，C岛在B岛的北偏西35︒方向，∴∠=︒，35CBE∥交AB于F，如图所示：过C作CF DA∴∥∥，DA CF EB∴∠=∠=︒∠=∠=︒，FCA DAC FCB CBE50,35∴∠=∠+∠=︒，85ACB FCA FCB故答案为：85︒．【点睛】本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度，理解方位角的定义，并熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．40．（2022·四川乐山）如图6，已知直线a①b，①BAC=90°，①1=50°，则①2=______．【答案】40°##40度【解析】【分析】根据平行线的性质可以得到①3的度数，进一步计算即可求得①2的度数．【详解】解：①a①b，①①1=①3=50°，①①BAC =90°，①①2+①3=90°，①①2=90°-①3=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．41．（2022·江苏扬州）将一副直角三角板如图放置，已知60E ∠=︒，45C ∠=︒，EF BC ∥，则BND ∠=________°．【答案】105【解析】【分析】根据平行线的性质可得45FAN B ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．【详解】45B C ∠︒∠==，EF BC ∥，∴45FAN B ∠=∠=︒，①①E =60°，①①F =30°，180105BND ANF F BAF ∴∠=∠=︒-∠-∠=︒故答案为：105【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．42．（2021·四川绵阳）如图，直线//a b ，若128∠=︒，则2∠=____．【答案】152︒【解析】【分析】利用平行线的性质可得3128∠=∠=︒，再利用邻补角即可求2∠的度数．【详解】解：如图，//a b ，128∠=︒，3128∴∠=∠=︒，21803152∴∠=︒-∠=︒．故答案为：152︒．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．43．（2021·辽宁阜新）如图，直线//AB CD ，一块含有30°角的直角三角尺顶点E 位于直线CD 上，EG 平分CEF ∠，则1∠的度数为_________°．【答案】60【解析】【分析】根据角平分线的定义可求出CEG ∠的度数，即可得到CEF ∠的度数，再利用平行线的性质即可解决问题．【详解】一块含有30°角的直角三角尺顶点E 位于直线CD 上，30FEG ∴∠=︒， EG 平分CEF ∠，30CEG FEG ∴∠=∠=︒，60CEF CEG FEG ∴∠=∠+∠=︒，//AB CD ，160CEF ∴∠=∠=︒．故答案为：60．【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 44．（2021·江苏泰州）如图，木棒AB 、CD 与EF 分别在G 、H 处用可旋转的螺丝铆住，①EGB ＝100°，①EHD ＝80°，将木棒AB 绕点G 逆时针旋转到与木棒CD 平行的位置，则至少要旋转 ___°．【答案】20【解析】【分析】根据同位角相等两直线平行，得出当①EHD ＝①EGN =80°，MN //CD ，再得出旋转角①BGN 的度数即可得出答案．【详解】解：过点G 作MN ，使①EHD ＝①EGN =80°，①MN //CD ，①①EGB ＝100°，①①BGN=①EGB -①EGN =100°-80°=20°，①至少要旋转20°．【点睛】本题考查了平行线的判定，以及图形的旋转，熟练掌握相关的知识是解题的关键．45．（2021·湖北恩施）如图，已知//AE BC ，100BAC ∠=︒，50DAE ∠=︒，则C ∠=__________．【答案】30°【解析】【分析】由题意易得50B DAE ∠=∠=︒，然后根据三角形内角和可进行求解．【详解】解：①//AE BC ，50DAE ∠=︒，①50B DAE ∠=∠=︒，①100BAC ∠=︒，①18030C B BAC ∠=︒-∠-∠=︒；故答案为30°．【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键． 46．（2020·广西贵港）如图，点O ，C 在直线n 上，OB 平分AOC ∠，若//m n ，156∠=︒，则2∠=_______________．【答案】62°【解析】【分析】根据//m n 和OB 平分AOC ∠，计算出BOC ∠的度数，便可求解．【详解】解：如图：∵//m n∴156AON ∠=∠=， 2BOC ∠=∠180124AOC AON ∴∠=-∠=∵OB 平分AOC ∠1622BOC AOC ∴∠=∠= 62BOC ∴∠=故答案为62°【点睛】本题考查平行线性质，以及角平分线性质，属于基础题．47．（2020·辽宁盘锦）如图，直线//a b ，ABC 的顶点A 和C 分别落在直线a 和b 上，若160∠=︒，40ACB ∠=︒，则2∠的度数是__________．【答案】20°【解析】【分析】根据两直线平行内错角相等可得到12ACB ∠=∠+∠，从而计算出2∠的度数．【详解】解：①直线//a b ，①12ACB ∠=∠+∠，又①160∠=︒，40ACB ∠=︒，①220∠=︒，故答案为：20°．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．48．（2021·青海）如图，AB ①CD ，FE ①DB ，垂足为E ，①1＝50°，则①2的度数是_____．【答案】40°【解析】【分析】由EF ①BD ，①1=50°，结合三角形内角和为180°，即可求出①D 的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论．【详解】解：在①DEF 中，①1=50°，①DEF =90°，①①D =180°-①DEF -①1=40°．①AB ①CD ，①①2=①D =40°．故答案为40°．【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形内角和为180°，解题关键是求出①D =40°．解决该题型题目时，根据平行线的性质，找出相等或互补的角是解题技巧．49．（2020·湖北恩施）如图，直线12//l l ，点A 在直线1l 上，点B 在直线2l 上，AB BC =，30C ∠=︒，180∠=︒，则2∠=______．【答案】40︒【解析】【分析】利用等腰三角形的性质得到①C =①4=30︒，利用平行线的性质得到①1=①3=80︒，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】如图，延长CB 交2l 于点D ，①AB =BC ，①C =30︒，①①C =①4=30︒，①12//l l ，①1=80︒，①①1=①3=80︒，①①C +①3+①2+①4 =180︒，即3080230180︒+︒+∠+︒=︒，①240∠=︒，故答案为：40︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是辅助线的作法，注意运用两直线平行，同位角相等．50．（2020·湖南张家界）如图，AOB ∠的一边OA 为平面镜，38AOB ︒∠=，一束光线（与水平线OB 平行）从点C 射入经平面镜反射后，反射光线落在OB 上的点E 处，则DEB ∠的度数是_______度．【答案】76°【解析】【分析】根据平行线的性质可得①ADC 的度数，由光线的反射定理可得①ODE 的度数，在根据三角形外角性质即可求解．【详解】解：①DC ①OB ，①①ADC =①AOB =38°，由光线的反射定理易得，①ODE =①ACD =38°，①DEB =①ODE +①AOB =38°+38°=76°，故答案为：76°．【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键． 本号资料皆来源#于@微信：数学三、解答题51．（2021·湖北武汉）如图，//AB CD ，B D ∠=∠，直线EF 与AD ，BC 的延长线分别交于点E ，F ．求证：DEF F ∠=∠．【答案】见解析【解析】【分析】根据已知条件//AB CD ，B D ∠=∠，得到DCF D ∠=∠，从而得到//AD BC ，即可证明DEF F ∠=∠．【详解】证明：①//AB CD ，①DCF B ∠=∠．①B D ∠=∠，①DCF D ∠=∠．①//AD BC ．①DEF F ∠=∠．【点睛】本题考查平行线的性质和判定．平行线的性质：两直线平行，内错角相等．平行线的判定：同位角相等，两直线平行．52．（2020·湖北宜昌）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面AB 与水杯下沿CD 平行，光线EF 从水中射向空气时发生折射，光线变成FH ，点G 在射线EF 上，已知20,45HFB FED ∠=︒∠=︒，求GFH ∠的度数．【答案】25°【解析】【分析】使用平行线的性质得到45GFB FED ∠=∠=︒，再根据GFH GFB HFB ∠=∠-∠得到结果．【详解】解：①//AB CD①45GFB FED ∠=∠=︒①20HFB ∠=︒①GFH GFB HFB ∠=∠-∠452025=︒-︒=︒【点睛】本题考查了平行线的性质，及角度间的加减计算，熟知平行线的性质是解题的关键．53．（2020·四川内江）如图，点C ，E ，F ，B 在同一直线上，点A ，D 在BC 异侧，//AB CD ，AE DF =，A D ∠=∠．（1）求证：AB CD =；（2）若AB CF =，40B ∠=︒，求D ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）70°【解析】【分析】（1）根据角角边求证ABE DCF △≌△即可；（2）根据已知可得CD CF =，根据等边对等角可得结果．【详解】解：（1）证明：①//AB CD ，①B C ∠=∠，在ABE △和DCF 中，B C A D AE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()ABE DCF AAS △≌△，①AB CD =；（2）①AB CD =，AB CF =，①CD CF =，①D CFD ∠=∠，①ABE DCF △≌△，①40C B ∠=∠=︒， ①18040702D ︒-︒∠==︒． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质定理是解题的关键．54．（2020·江苏镇江）如图，AC 是四边形ABCD 的对角线，①1＝①B ，点E 、F 分别在AB 、BC 上，BE ＝CD ，BF ＝CA ，连接EF ．（1）求证：①D ＝①2；（2）若EF ①AC ，①D ＝78°，求①BAC 的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）78°．【解析】【分析】（1）由“SAS ”可证①BEF ①①CDA ，可得①D ＝①2；（2）由（1）可得①D ＝①2＝78°，由平行线的性质可得①2＝①BAC ＝78°． 本号资料皆来源于@@微信公#众号：数学【详解】证明：（1）在①BEF 和①CD A 中，1BE CD B BF CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①BEF ①①CDA （SAS ），①①D ＝①2；（2）①①D ＝①2，①D ＝78°，①①D ＝①2＝78°，①EF ①AC ，①①2＝①BAC ＝78°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质．证明①BEF ①①CDA 是解题的关键55．（2020·湖北武汉）如图，直线EF 分别与直线AB ，CD 交于点E ，F ．EM 平分BEF ∠，FN 平分CFE ∠，且EM ①FN ．求证：AB ①CD ．【答案】证明见解析．【解析】【分析】 先根据角平分线的定义可得11,22MEF BEF N CF FE E ∠=∠∠∠=，再根据平行线的性质可得MEF NFE ∠=∠，从而可得BEF CFE ∠=∠，然后根据平行线的判定即可得证．【详解】 EM 平分BEF ∠，FN 平分CFE ∠11,22MEF BEF NF CFE E ∠=∠∠∠=∴EM //FNMEF NFE ∠=∠∴1122BEF CFE ∴∠=∠，即BEF CFE ∠=∠ //AB CD ∴．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键． 56．（2021·西藏）如图，AB ①DE ，B ，C ，D 三点在同一条直线上，①A ＝90°，EC ①BD ，且AB ＝C D ．求证：AC ＝CE ．【答案】证明见解析．【解析】【分析】由平行线的性质得出①B ＝①D ，再由垂直的定义得到①DCE ＝90°＝①A ，即可根据ASA 证明①ABC ①①CDE ，最后根据全等三角形的性质即可得解．【详解】证明：①AB ①DE ，①①B ＝①D ，①EC ①BD ，①A ＝90°，①①DCE ＝90°＝①A ，在①ABC 和①CDE 中，B D AB CD A DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，①①ABC ①①CDE （ASA ），①AC ＝CE ．【点睛】此题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，根据证明①ABC ①①CDE 是解题的关键． 57．（2021·浙江温州）如图，BE 是ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =．（1）求证：//DE BC ．（2）若65A ∠=︒，45AED ∠=︒，求EBC ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）35°【解析】【分析】（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出BED EBC ∠=∠，即可完成求证；（2）先求出①ADE ，再利用平行线的性质求出① ABC ，最后利用角平分线的定义即可完成求解．【详解】解：（1）BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠．DB DE =，∴ABE BED ∠=∠，∴BED EBC ∠=∠，∴//DE BC ．（2）65A ∠=︒，45AED ∠=︒，∴18070ADE A AED ∠=︒-∠-∠=︒．//DE BC ．∴70ABC ADE ∠=∠=︒．BE 平分ABC ∠，∴1352EBC ABC ∠=∠=︒， 即35EBC ∠=︒．【点睛】本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了学生对基本概念的理解与掌握．58．（2022·四川宜宾）已知：如图，点A 、D 、C 、F 在同一直线上，AB DE ∥，B E ∠=∠，BC EF =． 求证：AD CF =．【答案】见解析【解析】【分析】根据AB DE ∥，可得A EDF ∠=∠，根据AAS 证明ABC DEF △≌△，进而可得AC DF =，根据线段的和差关系即可求解．【详解】证明：①AB DE ∥，①A EDF ∠=∠，在ABC 与DEF 中，A EDFB E BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()AAS ABC DEF ≌△△， ①AC DF =，①AC DC DF DC -=-，①AD CF =．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 本号资料皆来源@于微信：数学59．（2022·湖北武汉）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，80B ∠=︒． 本号@@资料皆来源于微信：数学。
中考数学压轴题重难点突破十 几何图形综合题 类型六：几何新定义阅读理解题
(1)解：如图所示，(画出其中一种即可)．
(2)证明：∵AE∥CD，∴∠AEB＝∠C， 又∵AB∥ED，∴∠B＝∠DEC，∴△ABE∽△DEC， 即ADEC＝BEEC，
又∵∠B＝∠C， AB BE
∴△ABE 为等腰三角形，AB＝AE，故DC＝EC.
(3)解：过 E 点分别作 EF⊥AB，EG⊥AD，EH⊥CD， 垂足分别为点 F，G，H，如答图． ∵AE 平分∠BAD，∴EF＝EG， 又∵DE 平分∠ADC，∴EG＝EH，∴EF＝EH， 又∵EB＝EC，∴Rt△BFE≌Rt△CHE， ∴∠1＝∠4，又∵EB＝EC，∴∠3＝∠2， ∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4，即∠ABC＝∠DCB.
(2)如图②，在钝角三角形 ABC 中，∠ACB 为钝角，
∠ABC＝45°，若 AD，AF 分别为△ABC 的高线和角平
分线，倍角高线 AE 交直线 BC 于点 E，若 tan∠ACD
＝3，BE＝2，求线段 AE 的长． (3)在△ABC 中，若 AB＝2，∠ABC＝30°，倍角高线 AE 交直线 BC 于点 E，当△ABE 为等腰三角形，且 AE ≠AB 时，求线段 BC 的长．
新定义考题虽有着较为新颖的命题形式，但依然是基于学生知识基础进 行的几何创新，理解定义的核心含义是问题求解的基础．数形结合、模 型建立是问题求解的有效方法．基于定义内容，把握知识联系，是构建 解题思路的基本策略．
5．(2013·安徽第 23 题 14 分)我们把由不平行于底边的直线截等腰三角 形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”，如图①，四边形 ABCD 即为 “准等腰梯形”，其中∠B＝∠C. (1)在图①所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条直 线将四边形 ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三 角形和一个梯形(画出一种示意图即可)； (2)如图②，在“准等腰梯形”ABCD 中，∠B＝∠C，E 为边 BC 上一点， 若 AB∥DE，AE∥DC，求证：ADBC＝BEEC；
人教版中考数学第一轮复习第七章图形与变换
第七章图形与变换第二十四讲平移、旋转与对称【基础知识回顾】一、轴对称与轴对称图形：1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形那么就说这两个图形成轴对称，这条直线叫2、轴对称图形：如果把一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相那么这个图形叫做轴对称图形3、轴对称性质：⑴关于某条直线对称的两个图形⑵对应点连接被对称轴【名师提醒：1、轴对称是指个图形的位置关系，而轴对称图形是指个具有特殊形状的图形；2、对称轴是而不是线段，轴对称图形的对称轴不一定只有一条】二、图形的平移与旋转：1、平移：⑴定义：在平面内，把某个图形沿着某个移动一定的这样的图形运动称为平移⑵性质：Ⅰ、平移不改变图形的与，即平移前后的图形Ⅱ、平移前后的图形对应点所连的线段平行且【名师提醒：平移作图的关键是确定平移的和】2、旋转：⑴定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个，这样的图形运动称为旋转，这个点称为转动的称为旋转角⑵旋转的性质：Ⅰ、旋转前后的图形Ⅱ、旋转前后的两个圆形中，对应点到旋转中心的距离都，每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角都【名师提醒：1、旋转作用的关键是确定、和，2、一个图形旋转一定角度后如果能与自身重合，那么这个图形就是旋转对称图形】三、中心对称与中心对称图形：1、中心对称：在平面内，一个图形绕某一点旋转1800能与另一个图形就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做2、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，这个点叫做3、性质：在中心对称的两个图形中，对称点的连线都经过且被平分【名师提醒：1、中心对称是指个图形的位置关系，而中心对称图形是指个具有特殊形状的图形2、常见的轴对称图形有、、、、、等，常见的中心对称图形有、、、、、等3、所有的正n边形都是对称图形，且有条对称轴，边数为偶数的正多边形，又是对称图形，4、注意圆形的各种变换在平面直角坐标系中的运用】【典型例题解析】1.已知点P（3，-1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1-b），则a b的值为．2．点P（2，-1）关于x轴对称的点P′的坐标是．3．在图示的方格纸中（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？4.已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是，点P关于原点O的对称点P2的坐标是5.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6.点（3，2）关于x轴的对称点为（）A．（3，-2）B．（-3，2）C．（-3，-2）D．（2，-3）7.在平面直角坐标系中，将点A（-2，3）向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点A′的坐标是（）A．（-2，-3）B．（-2，6）C．（1，3）D．（-2，1）8.如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55°B．70°C．125°D．145°9．P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，连接OP1、OP2，则下列结论正确的是（）A．OP1⊥OP B．OP1=OP2C．OP1⊥OP2且OP1=OP2D．OP1≠OP2 10.已知点M（3，-2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是．11.夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为m．12.如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °．13.如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为．14.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为．15.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．第二十五讲相似图形（一）：【知识梳理】1.比例基本性质及运用（1）线段比的含义：如果选用同一长度单位得两条线段a、b的长度分别为m、n，那么就说这两条线段的比是a：b=m：n，或写成a m=b n，和数的一样，两条线段的比a、b中，a叫做比的前项 b叫做比的后项．注意：①针对两条线段；②两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关；③其比值为一个不带单位的正数．（2）线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，已知四条线段a、b、c、d，如果a c=b d或a：b=c：d，那么a、b、c、d叫做成比例的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、d叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项，当比例内项相同时，即a bb c=或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a和c的比例中项．（3）比例的性质，①基本性质：如果a：b=c：d，那么ad=bc；反之亦成立。
中考数学复习之线与角、平行线的性质及判定,考点过关与基础练习题
第二部分图形与几何19.线段、角、相交线与平行线知识过关1.直线、射线、线段(1)直线上一点和它____的部分叫做射线；直线上两点和它们____的部分叫做线段，这两点叫做线段的_______.(2)两点_____一条直线，两点之间线段最短，两点之间_____的长度，叫做两点间的距离.(3)线段的中点把线段_______等分.2.角(1)角：有_____端点的两条射线组成的图形叫做角，角也可以看作由一条_____绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)余角：如果两个角的和等于_____，那么就说这两个角互为余角._____或等角的余角相等.(3)补角：如果两个角的和等于_____，那么就说这两个角互为补角._____或等角的补角相等.(4)一条射线把一个角分成两个______的角，这条射线叫做这个角的平分线.3.相交线(1)对顶角：如果一个角的两边分别是另一个角的两边的_____延长线，则称这两个角是对顶角，对顶角______.(2)垂直：在同一平面内，两条直线相交成90，叫做两条直线相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线.(3)垂直的性质：同一平面内，过一点_____一条直线与已知直线垂直，直线外一点和直线上所有点的连接中，_______最短.(4)点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的_____的长度，叫做点到直线的距离.4.平行线(1)平行线：平面内，_______的两条直线叫做平行线.(2)平面内两条直线的位置关系:_________和_________.(3)平行公理：过直线外一点，有且______一条直线与已知直线平行.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相______.(4)平行线的性质：如果两条直线平行，那么同位角相等，_____相等，同旁内角_______.(5)平行线的判定：如果同位角相等，或______或______互补，那么两直线平行.5.命题的概念(1)命题：______的语句叫做命题.(2)命题的组成：命题由______和______两部分组成.(3)命题的形成：命题可以写成“如果.......,那么.......”的形式，以如果开头的部分是_____,以那么开头的部分是________.(4)命题的真假：_______的命题叫做真命题,______的命题叫做假命题.6.尺规作图(1)在几何里，把用没有刻度的____和____这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图.(2)常见的五种基本作图：①作一条线段等于已知线段；①作一个角等于已知角；①作一个角的平分线；①过一个点作已知直线的垂线；①作线段的垂直平分线.➢考点过关考点1 线段长度的有关计算例1已知线段AB＝10cm，点D是线段AB的中点，直线AB上有一点C，并且BC＝2cm，则线段DC＝．考点2对顶角、邻补角的相关计算如图，点O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD＝3∠BOE，若∠AOC＝α，则∠COE 的度数为（）A．3αB．120°−43αC．90°D．120°−13α考点3平行线的性质例3如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1＝54°，则∠2等于（）A．108°B．117°C．126°D．54°考点4平行线的判定与性质综合例4如图1，直线HD∥GE，点A是直线HD上一点，点C是直线GE上一点，点B是直线HD、GE之间的一点．（1）过点B作BF∥GE，试说明：∠ABC＝∠HAB+∠BCG；（2）如图2，RC平分∠BCG，BM∥CR，BN平分∠ABC，当∠HAB＝40°时，点C在直线AB右侧运动的过程中，∠NBM的度数是否不变，若是，求出该度数；若不是，请说明理由．考点5命题的真假例5下列结论中，正确的有①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③面积相等的两个三角形全等；④有两边和一个角分别对应相等的两个三角形全等；⑤钝角三角形三条高所在的直线交于一点，且这点在钝角三角形外部．（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点6尺规作图例6如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，观察图中尺规作图的痕迹，则AD的长是．➢真题演练1.如图，OC在∠AOB外部，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线．∠AOB＝110°，∠BOC＝60°，则∠MON的度数为（）A．50°B．75°C．60°D．55°2．如图，OC、OD为∠AOB内的两条射线，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠COD，若∠COD ＝10°，则∠AOB的度数是（）A．30°B．40°C．60°D．80°3．如图，已知ON，OM分别平分∠AOC和∠BON．若∠MON＝20°，∠AOM＝35°，则∠AOB的度数为（）A．15°B．35°C．40°D．55°4．如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．③连接OE交CD于点M．下列结论中不正确的是（）A．∠CEO＝∠DEO B．CM＝MDC．∠OCD＝∠ECD D．S四边形OCED=12CD•OE5．下列说法正确的是（）A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角B．内错角相等C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D．一个角的补角一定是钝角6．下列说法错误的是（）A．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行D．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线7.如图所示，C为线段AB的中点，D在线段CB上，DA＝6cm，DB＝4cm，则CD的长度为______cm．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，观察图中尺规作图的痕迹，则AD的长是．9．如图，C是线段AB上一点，D，E分别是线段AC，BC的中点，若AB＝10，则DE＝．10．如图，C，D为线段AB上两点，AB＝7cm，AD＝1.5cm，D为线段AC的中点，则线段CB＝cm．11．（1）已知：如图1，AB∥CD，求证：∠B+∠D＝∠BED；（2）已知：如图2，AB∥CD，试探求∠B、∠D与∠E之间的数量关系，并说明理由．拓展提升：如图3，已知AB∥DE，BF，EF分别平分∠ABC与∠CED，若∠BCE＝140°，求∠BFE的度数．12．如图，AB∥CD，点P为平面内一点．（1）如图①，当点P在AB与CD之间时，若∠A＝20°，∠C＝45°，则∠P＝°；（2）如图②，当点P在点B右上方时，∠ABP、∠CDP、∠BPD之间存在怎样的数量关系？请给出证明；（不需要写出推理依据）（3）如图③，EB平分∠PEG，FP平分∠GFD，若∠PFD＝40°，则∠G+∠P＝°．➢课后练习1．如图，已知AB∥DF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（）A．22°B．33°C．44°D．55°2．如图，直线CE∥DF，∠CAB＝135°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（）A．30°B．35°C．36°D．40°3．如图，已知a∥b，则∠ACD的度数是（）A．45°B．60°C．73°D．90°4．如图所示，直线a∥b，∠2＝31°，∠A＝28°，则∠1＝（）A．61°B．60°C．59°D．58°5．下列说法正确的是（）A．延长射线AB到CB．若AM＝BM，则M是线段AB的中点C ．两点确定一条直线D ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行6．下列说法正确的是（ ）A ．垂直于同一条直线的两直线互相垂直B ．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等D ．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离7．下列说法中错误的是（ ）A ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C ．两条直线相交，有且只有一个交点D ．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直8．下列说法正确的是（ ）A ．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线平行B ．不相交的两条直线叫做平行线C ．直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短D ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行9．如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ．若△CDB 的面积为12，△ADE 的面积为9，则四边形EDBC 的面积为（ ）A ．15B ．16C ．18D ．2010．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD ＝∠DAB 的依据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS11．如图，点A 、B 、C 在同一条直线上，点D 为BC 的中点，点P 为AC 延长线上一动点（AD ≠DP ），点E 为AP 的中点，则AC−BP DE 的值是 ．12．如图，点D是线段AB上一点，点C是线段BD的中点，AB＝8，CD＝3，则线段AD长为．13.如图1，已知∠BOC＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若AO⊥BO，则∠EOF是多少度？（2）如图2，若角平分线OE的位置在射线OB和射线OF之间（包括重合），请说明∠AOC的度数应控制在什么范围．14．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．（1）求证：AC∥DF；（2）如果∠DEC＝105°，求∠C的度数．15．如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°．（1）请你判断CF与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）若∠1＝70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数．➢冲击A+在半径为5的⊙O中，AB是直径，点C是直径AB上方半圆上一动点，连接AC、BC．（1）如图1，则△ABC面积的最大值是；（2）如图2，如果AC＝8，①则BC＝；②作∠ACB的平分线CP交⊙O于点P，求长CP的长．（3）如图3，连接AP并保持CP平分∠ACB，D为线段BC的中点，过点D作DH⊥AP，在C点运动过程中，请直接写出DH长的最大值．。
2011年北京中考数学试题+答案+解析
2011年北京中考暂时告一段落。
网校老师对今年的北京中考试题与初三强化提高班的课程、模拟题进行了一些分析和对比。
对比发现：网校课程及讲义与今年中考的考查知识点完全契合，95%左右的题目与课程讲义中给出的题目所考查的知识点完全相同，约有65%的题目与讲义中老师给出的题目只差一些具体数字（解题方法完全相同）。
这其中，函数图像的交点问题、常见辅助线的构造问题、平移旋转问题、中心对称与轴对称问题、二次函数图像与解析式、函数（二次函数）与圆综合题等都结合近年的中考真题做了专题讲解与复习。
可以这样说，学过这个班级的同学，对考题中90%的题目不陌生，甚至个别题目老师还"讲过"。
下面是网校老师对2011年北京中考数学试卷的分析及原题解析，供大家参考。
一、题型、题量及分值比例分布基本涵盖了《考试说明》所要求的所有知识点，如：数与代数、函数、三角形、圆、统计与概率等等。
真题与考试说明相比，题量上有所减少。
共25道题目，共72分。
难度比约为：5：3：2填空题选择题解答题4道16分8道32分13道72分二、总体特点１、重视基础，紧扣教材和考试说明。
绝大多说题目都非常注重对基本知识、方法、思想等的考查，很多题目源于书本或者以书本为基础；此类题目分值约占总分的75%2、理论与实际生活相结合。
真题中出现了人口普查、温度统计、京通公交快速通道、汽车保有量与尾气排放等问题。
3、出现新题型。
第12题是新出现的一个找规律的题目，难度不是很大；4、压轴题相对较难，与2010年相比难度有所下降。
但对同学抽象思维能力、分类讨论思想等的能力要求较高。
里面出现了一个容易被忽略的问题--半圆应该不包括直径。
三、真题详解及讲义相似度对比一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有4个选项，其中只有一个是符合题意的.1、﹣的绝对值是（）A、﹣B、C、﹣D、【考点】绝对值。
【难度】容易【解析】解：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，在数轴上，点﹣到原点的距离是，所以﹣的绝对值是．故本题答案选D．【点评】本题考查绝对值的基本概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．本题在北京近年中考一般会考相反数或者绝对值。
中考数学一轮复习几何部分专题21：切线的判定与性质(教师用,附答案)
中考数学一轮复习几何部分专题21：切线的判定与性质必考知识点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
必考例题：【例1】如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。
（1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）EM ＝FM 。
分析：（1）由于AC 为直径，可考虑连结EC ，构造直角三角形来解题，要证BC 是⊙O 的切线，证到∠1＋∠3＝900即可；（2）可证到EF ∥BC ，考虑用比例线段证线段相等。
证明：（1）连结EC ，∵DE ＝CD ，∴∠1＝∠2 ∵DE 切⊙O 于E ，∴∠2＝∠BAC ∵AC 为直径，∴∠BAC ＋∠3＝900∴∠1＋∠3＝900，故BC 是⊙O 的切线。
（2）∵∠1＋∠3＝900，∴BC ⊥AC 又∵EF ⊥AC ，∴EF ∥BC ∴CDMFAD AM BD EM == ∵BD ＝CD ，∴EM ＝FM【例2】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。
求证：AC 是⊙O 的切线。
分析：由于⊙O 与AC 有无公共点未知，因此我们从圆心O 向AC 作垂线段OE ，证OE 就是⊙O 的半径即可。
证明：连结OD 、OA ，作OE ⊥AC 于E∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，∴AO 是∠BAC 的平分线 ∵AB 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AB 又∵OE ⊥AC ，∴OE ＝OD∴AC 是⊙O 的切线。
【例3】如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，OA ＝r 。
（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）求OC AD ⋅的值；（3）若AD ＋OC ＝r 29，求CD 的长。
专题反比例函数-中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
考 其中x是自变量,y是x的函数,k是比例系数． 点
真 表达式：y k 或y=kx-1 或 xy=k(k≠0)．
题
x
防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0.
精
练
提 升
考点1 反比例函数的图象与性质
检 测
考
2.(202X•T6)在平面直角坐标系中,分别过点A(m,0),B(m+2,0)
检 测
考
1及.如y2图=,2x直的线图l象⊥分x于别点交P于,且点与A反、比B,例连函接数OA,yO1B=,已4x
y
点 知 △AOB的面积为_1__.
l A B
真 题
精
2y.2如 图kx2 ,(x平行0)的于图x轴象的分直别线相与交函于数A,yB1两 k点x1 (,x点 0A)在与点 B的右侧,C为x轴上的一个动点,若△ABC的面积为
x
O
两点,PA⊥y轴于点A,QN⊥x轴于点N,作PM⊥x y
x
精 轴于点M,QB⊥y轴于点B,连接PB、QM,△ABP的A P
练 提 面积记为S1,△QMN的面积记为S2,则S1_＝_____S2.B
Q
升 (填“＞”“＜”或“＝”)
OM N
x
考点2 反比例函数k的几何意义
检 测
1.如图,点A(m,1),B(2,n)在双曲线 y k (k 0) 上连接OA,OB. x
练 过平移,旋转来考查.注意利用平行四边形,矩形,菱形的性质
提 升
构建全等和类似,利用平移,旋转的性质沟通坐标之间的关系.
考点4 反比例函数与几何图形结合
检 测
(交2于02点X·P(T22,04))如.已图知,直点线A(y4=,k01x)(,xB≥(00,)3与),双连曲接线AB,将yRt△k(x2xA＞OB0沿)相OP
中考数学第一轮考点系统复习第七章图形与变换第25讲尺规作图及投影与视图讲本
错误的是( D ) A.AD＝CD
B.∠ABP＝∠CBP
C.∠BPC＝115°
D.∠PBC＝∠A
3.(2020·武威)如图，在△ABC中，D是边BC上一点，且BD＝BA. (1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)：
①作∠ABC的平分线，交AD于点E；
②作线段DC的垂直平分线，交DC于点F； 解：(1)①如图，BE即为所求. ②如图，线段DC的垂直平分线交DC于点F.
③最后由主视图的竖列得到构成几何体的小正方体从左至右的列数；由主 视图中的横行得到构成几何体的小正方体所摆的层数. 注意：该方法也适用于由三视图判定小正方体的个数. 3.由几何体的三视图及其所标尺寸计算几何体的表面积或体积问题，关键是 先由以上方法还原几何体，再将三视图的尺寸对应标注在几何体上，最后 利用几何体的相关计算公式求解.
A.5
B.6
C.7
D.8
考点3 立体图形的展开与折叠 考点精讲 5.(2020·泰州)把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是( A )
A.三棱柱 B.四棱柱 C.三棱锥 D.四棱锥
6.(2021·广东)下列图形是正方体的展开图的有( C )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
正方体表面展开图的记忆口诀： 中间四个面，上下各一面；中间三个面，一二隔河见；中间二个面，楼梯天 天见；中间没有面，三三连一线.(结合知识点4中的正方体展开图的常见类 型及相对面进行理解)
第七章 图形与变换
第25讲 尺规作图及投影与视图
知识点1 尺规作图及其基本步骤 1.定义：只用直尺和圆规来完成画图，称为尺规作图.
2.基本步骤： (1)已知：写出已知的线段和角，画出图形. (2)求作：求作什么图形，使它符合什么条件. (3)作法：运用五种基本尺规作图，保留作图痕迹. (4)证明：验证所作图形的正确性. (5)结论：对所作的图形下结论.
数学专题复习_图形与几何2：解直角三角形(锐角三角函数)
图形与几何2：:解直角三角形二.知识框图三.知识要点1.直角三角形边角关系．（1）三边关系：勾股定理：222a b c += ；勾股定理的逆定理：若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形. 若c 2=a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形。
（若c 2>a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为钝角的三角形，若c 2<a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为锐角三角形）（2）三角关系：∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B =∠C=90°． （3）边角关系（锐角三角函数的概念）sin A A ∠=的对边斜边，叫做A ∠的正弦；cos A A ∠=的邻边斜边，叫做A ∠的余弦；tan A A A ∠=∠的对边的邻边，叫做A ∠的正切.2.特殊角的三角函数值3.三角函数常用公式互为余角的三角函数关系．sin（90°－A）=cosA， cos（90°－A）=sin A tanA×tan（90°－A）=1 同角的三角函数关系．①平方关系：sin2A+cos2A=l ②弦切互化：sin tancosAAA4. 测量中常用的概念：仰角、俯角、坡度、坡比、倾斜角、方位角等北东MNBA四.典型例题（考点）例1.计算ooo5sin302cos60tan 45-－ o o oo2cos 45tan 30sin 45tan 60-+⋅例2．如图所示，已知：在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=4+，•求△ABC 的面积（结果可保留根号）．例3.已知：如图所示，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，E•为边AC•的中点，BC=14，AD=12，sinB=45，求：（1）线段DC 的长；（2）tan ∠EDC 的值．例4.如图，MN 表示某隧道挖掘工程的一段设计路线，MN 的方向为南偏东30°.在M 的南偏东60°方向上有一个点A ，以点A 为圆心、600米为半径的圆形区域为土质疏松地带（危险区）.取MN 上一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°.已知MB ＝400米，请你通过计算回答，如果不改变方向，挖掘路线是否会通过这1.411.73）Ａ图形与几何（2） （解直角三角形）一、填空题1.在ABC Rt △中，490tan 3C A ∠==，，则sin B 的值是（ ） Ａ．35Ｂ．45Ｃ．34 Ｄ．432.Rt ABC △中，90C ∠=，a b c ，，分别A B C ∠∠∠，，的对边，下列关系中错误的是（ ）Ａ．cos b c B =Ｂ．tan b a B = Ｃ．sin b c B = Ｄ．tan a b A =3.如图，CD 是ABC Rt △斜边上的高，43AC BC ==，， 则cos BCD ∠的值是（ ）A.35 B.34 C.43 D.454.如图，已知一坡面的坡度i =α为（ ） Ａ．15Ｂ．60°Ｃ．30Ｄ．455.如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于（ ） A. 5 B.552 C. 55D.326.住宅小区有一块草坪如图所示，已知3AB =米，4BC =米，12CD =米，13DA =米，且AB BC ⊥，这块草坪的面积是（ ） Ａ．24米2Ｂ．36米2Ｃ．48米2 Ｄ．72米27.已知：如图8，梯形ABCD 中，451208AD BC B C AB ===∥，∠，∠，，则CD 的长为（ ）Ｂ．Ｄ．8.如图，PT 切⊙O 于T ，BP 为经过圆心O 的割线，如果 PT ＝4，PA ＝2那么cos∠BPT 等于（ ）A ．45B ．12C ．38D ．349.数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC 和△DEF ，•数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S △ABC ，小颖画的三角形面积记作S △DEF ，那么你认为（ ）A ．S △ABC >S △DEFB ．S △ABC <S △DEF C ．S △ABC =S △DEFD ．不能确定小敏画的三角形 小颖画的三角形10.已知α为锐角，且αtan 为方程0322=--x x 的一个实数根，则αsin 的值为（ ）A.22 B. 1010 C. 10103 D. 3 二、填空题1.直角三角形的两边长分别为6、8，则第三边的长为 ．2.锐角A 满足()2sin 15A -=A =∠___________．3.如图，小亮在操场上距离旗杆AB 的C 处，用测角仪测得旗杆顶端A 的仰角为30．已知9BC =米，测角仪的高CD 为1.2米，那么旗杆AB 的高为 米（结果保留根号）．4.在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°则BC= ,S △ABC ＝ 三、解答题：1.计算：tan 45cos60sin 30+t an 30°＋cos 230°－sin 245°tan 45°2.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a,b,c 分别是∠A,∠B, ∠C 的对边. (1)已知a=3,c=23,求∠A; (2)已知a=6,b=2,求c 及∠A; (3)已知c=104,∠A=45°,求a 及b3．已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F•处，•如果AB=8cm ，BC=10cm ，(1)求EC 的长；(2)在线段BC 上还能找到点P 使∠APE=90°吗，求出此时的BP 长.4.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠= ，45C ∠=，BE CD ⊥于点E ，1AD =，CD =BE 的长度.5.如图，一块四边形土地，其中120ABD AB AC BD CD AB ∠==，⊥，⊥，，CD =，求这块土地的面积6.阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为∆ABC 的三边，且满足a c b c a b 222244-=-，试判断∆ABC 的形状。
2011年中考数学试题分类解析——空间与图形
线经 Ｏ Ａ上 的点 Ｄ反 射后 ，反 射光 线 ＤＣ恰好 与 Ｏ Ｂ平行 ，则
ＬＤ Ｂ的度数是 （ Ｅ
（ Ａ）３ 。 ５ （ Ｂ） ７ 。 ０ （ Ｃ） １ ０ １ｏ （ Ｄ） １ ０ ２￣ 图 １
） ．
ｃ
Ｄ
基础知 识和基本 能力 ，并能解 决简单 的问题 ；丰富对 现实 空间
【 评析 】 面镜依 然是 日常 生活 中的必备 品 ，通过 物理 的学 平
题 评 析 ，并对 ２ １ 中考命 题 趋势 及教学 中需 要 注意 的问 题提 习，学生 了解 了平面镜成像 以及镜 面反射定律． 目巧妙地将镜 ０ ２年 面反射定律 与平行 线 的性质 相结合 ，考查 了学 生对所 学知识 的 出观点及建议．
２１ 年 ０２ 第１２ ＼ －期
Ｊ ｒａ ｏ Ｃｉｅ ｔｅ ａｃ Ｅ ｕａ０ ｏ ｎｌ ｆ ｈ ｓ Ｍａ ｍ ｔｓ ｄｃｔｎ ｕ ｎ ｅ ｈ ｉ ｉ
Ｎ． ２ ２１ ｏ — ０２ １
摘要 ：根据 《 学课 程标 准》 对 “ 间与图形” 学 习领 域 题 ，题 目形 式异彩 纷呈 ，有 填空题 、选择 题 、解 答题 ，其 中不 数 空
学效果．
景 ，强调从 “ 基本图形 ”中获取信息的能力 ，发展合情推理能力 ． 亮点 １ ：问题情境贴近现实生活 ，体现数学与生活 的联 系
例 １ （ 西卷）如 图 ｌ 厶４ Ｂ的两边 Ｏ 山 ， Ｏ Ａ、 Ｏ 均 为 平 面 Ｂ
关键 词 ：基 本 图形 ；合情推 理与 演绎推理 ；思 维品质 ；数
（） 图 ４ ４ 如 ，作 Ｄ Ｆ￣Ｂ Ｃ交 Ｂ Ｃ的
延 长 线 于 点
Ｅ
Ｄ
■ （ Ｄ Ｂ ） ７ ４ ０ 。
（ Ｃ）５ 。 ５
中考数学复习讲义课件 专题5 几何与图形实际应用
解：过点 C 作 CF⊥AE 于点 F.则 FC＝AD＝20m，AF＝DC． 在 Rt△ACF 中，∠EAC＝22°. ∵tan∠EAC＝FACF＝tan22°≈25，∴DC＝AF≈52FC＝50(m)． 在 Rt△ABD 中，∠ABD＝∠EAB＝67°. ∵tan∠ABD＝ABDD＝tan67°≈152，∴BD≈152AD＝235(m)． ∴BC＝DC－BD＝50－235≈41.7(m)． 答：大桥 BC 的长约为 41.7m.
4．(2021·怀化)政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大 楼的高是 20m，大楼的底部 D 处与将要修的大桥 BC 位于同一水平线上， 宋老师又上到楼顶 A 处测得 B 和 C 的俯角∠EAB，∠EAC 分别为 67°和 22°，宋老师说现在我能算出将要修的大桥 BC 的长了．同学们：你知道宋 老师是怎么算的吗？请写出计算过程．(结果精确到 0.1m，其中 sin67°≈ 1123，cos67°≈153，tan67°≈152，sin22°≈38，cos22°≈1156，tan22°≈25)
解：设 BN 的长为 x 米，则 BM＝x＋1.1＋2.8－1.5＝x＋2.4(米)． 由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°. ∴△CND∽△ANB．∴ CADB＝DBNN.同理，△EMF∽△AMB．∴AEBF＝FBMM. ∵EF＝CD，∴DBNN＝FBMM，即1x.1＝x＋1.52.4. ∴x＝6.6.∵CADB＝DBNN，∴A1.B6＝16..16.∴AB＝9.6(米)．
答：点 C 到弦 AB 所在直线的距离约为 6.64 米．
8.某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳 OB 的长为 3m， 静止时，踏板到地面距离 BD 的长为 0.6m(踏板厚度忽略不计)．为安全起见， 乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为 hm，成人的“安全高度”为 2m.(计 算结果精确到 0.1m)
中考数学复习专题十一 二次函数与几何图形综合题
【点评】 本题主要考查的是二次函数的综合应用，求得 P1C 和 P2A 的解析式是解答问题(2) 的关键，求得点 P 的纵坐标是解答问题(3)的关键．
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[对应训练] 1．(2016·遵义)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的三个顶点分别是 A(－8，3)，B(－
4，• 0单)，•击C第(此－二4处级，3编)，辑∠A母BC版＝文α°本.抛样物式线 y＝12x2＋bx＋c 经过点 C，且对称轴为 x＝－45，并与
证：PH＝GH.
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•
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• 第二级
12×（－4）2－4b＋c＝3，
解：(1)根• 第据•三题第级意四• 得级第：五级－2×b 12＝－45，
解得
b＝45， c＝－95，∴抛物线的解析式为：y
Hale Waihona Puke ＝12x2＋45x－95，点 G(0，－95)
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标为(－2，5)．综• 第上五所级述，P 的坐标是(1，－4)或(－2，5)
单击此处编辑母版标题样式 (3)如图 2 所示：连接 OD.由题意可知，四边形 OFDE 是矩形，则 OD＝EF.根据垂线
段最短，可得当 OD⊥AC 时，OD 最短，即 EF 最短．由(1)可知，在 Rt△AOC 中，∵OC
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• 单三击个此步处骤 编辑母版文本样式
•解第二二次级函数与几何图形综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻
译并转化• 为第显三性级条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于 联想和转化，• 将第四以级上得到的显性条件进行恰当的组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的
中考数学专题复习：几何综合题
【考点总结】四、全等三角形的性质与判定
1．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等． 3．判定：(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)； (2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)； (3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)； (4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)； (5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．
三角形专题
1，掌握三角形相关基础知识（2课时）
目标
2，掌握三角形有关模型的全等或相似证明（3课时） 3，完成三角形有关模型的全等或相似证明（3课时）
三角形
模型
手拉手模型
三垂直模型
相似模型
三角形有关的知识
【考点总结】一、三角形中的重要线段 1．三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做 三角形的高线，简称高． 特性：三角形的三条高线相交于一点． 2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．特性：三角 形的三条中线交于一点． 3．三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半 4．三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线 段叫做三角形的角平分线． 特性：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心． 性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
小组合作
1.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段
重庆中考数学一轮复习资料
重庆中考数学一轮复习资料重庆中考数学一轮复习资料数学是一门重要的学科，也是中考必考科目之一。
为了帮助同学们在中考中取得好成绩，我们准备了一份重庆中考数学一轮复习资料，希望能够对大家有所帮助。
一、数与式数与式是数学的基础，也是解决数学问题的起点。
在这一部分的复习中，我们将重点复习数的概念、数的运算、代数式的概念和运算等内容。
通过对这些基础知识的巩固，同学们将能够更好地理解和应用后续的数学知识。
二、图形与几何图形与几何是数学中的重要部分，也是中考数学中的重点内容。
在这一部分的复习中，我们将学习平面图形的性质、图形的运动、几何变换等内容。
同时，我们还将学习三角形、四边形等特殊图形的性质和计算方法。
通过对这些知识的学习和练习，同学们将能够更好地理解和解决各类几何问题。
三、函数与方程函数与方程是数学中的重要概念，也是中考数学中的难点和热点。
在这一部分的复习中，我们将学习函数的概念、函数的性质、函数的图像等内容。
同时，我们还将学习一元一次方程、一元二次方程等常见方程的解法和应用。
通过对这些知识的学习和练习，同学们将能够更好地理解和解决各类函数和方程问题。
四、统计与概率统计与概率是数学中的实际应用部分，也是中考数学中的重要内容。
在这一部分的复习中，我们将学习数据的收集和整理方法、统计图表的制作和分析、概率的计算方法等内容。
通过对这些知识的学习和练习，同学们将能够更好地理解和应用统计和概率知识解决实际问题。
五、解题方法与技巧解题方法与技巧是数学学习中的重要环节，也是中考数学中的关键。
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总结：通过对重庆中考数学一轮复习资料的学习和练习，同学们将能够全面巩固和提高数学知识和解题能力。
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中考数学一轮复习专题突破练习—求几何图形的面积
中考数学一轮复习专题突破练习—求几何图形的面积一、单选题1．（2022·廊坊市第四中学八年级月考）如图，正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是2和5，那么两个长方形的面积和为（）A．7 B．210C．7 D10【答案】B2525522【详解】解：两小正方形的面积分别是2和5，∴25∴522210=故选B．2．（2022·全国）在ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，ADE的面积为215cm，则ABC的面积是（）A．260cm C．230cm B．290cm15cm D．2【答案】B【分析】根据中位线将三角形面积分为两部分可知：△ABC的面积是ADE的面积的4倍，依此即可求解．【详解】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点， ∴//DE BC ，12DE BC = ∴ADE ABC ∆∆∴21()4ADE ABCS DE SBC ∆∆== ∴2441560cm ABC ADE S S ∆∆==⨯= 故选B3．（2022·诸暨市开放双语实验学校八年级期中）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，BD是ABC 的角平分线，DE ∥AB 交BC 于点E ，F 为AB 上一点，连结DF 、EF ，已知3DC =，4CE =，则DEF 的面积（ ）A ．12B ．7.5C ．8D ．6【答案】B【分析】在Rt DCE 中，依据勾股定理求出=5DE ，由“BD 是ABC ∆的角平分线，//DE AB ”，依据角平分线的定义、平行线的性质、等量代换及等角对等边，可得5BE DE ==，由等底等高的三角形面积相等可知，DEF 和DEB 的面积相等，即可求解．【详解】解：∵在Rt DCE 中，90C =∠，3DC =，4CE =，∴225DE DC CE =+=,∵BD 是ABC ∆的角平分线，//DE AB ， ∴EBD FBD ∠=∠，FBD EDB ∠=∠， ∴EBD EDB ∠=∠， ∴5BE DE ==， ∵//DE AB ，∴DEF 和DEB 的面积相等， ∴DEF 的面积=53=7.522BE DC ⋅⨯=，故选B ． 4．（2022·广州市真光中学八年级期中）如图，在ABC 中，已知点D 、E ，F 分别为BC 、AD 、EC 的中点，且212ABC S cm =△，则阴影部分面积S =（ ）2cm ．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据三角形面积公式由点D 为BC 的中点得到S △ABD ＝S △ADC ＝12S △ABC ＝6，同理得到S △EBD ＝S △EDC ＝12S △ABD ＝3，则S △BEC ＝6，然后再由点F 为EC 的中点得到S △BEF ＝12S △BEC ＝3． 【详解】解：∵点D 为BC 的中点， ∴S △ABD ＝S △ADC ＝12S △ABC ＝6，∵点E为AD的中点，∴S△EBD＝S△EDC＝1S△ABD＝3，2∴S△EBC＝S△EBD＋S△EDC＝6，∵点F为EC的中点，∴S△BEF＝1S△BEC＝3，2即阴影部分的面积为3cm2．故选：C．5．（2022·四川德阳五中）从一块正方形铁皮上截去2cm宽的一个长方形，余下的面积是48cm2，则原来正方形的面积为（）A．56cm2B．64cm2C．81cm2D．100cm2【答案】B【分析】设原来正方形的边长为x cm，利用剩余部门的面积＝原来正方形的面积﹣截去的小长方形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其正值代入x2中即可求出原来正方形的面积．【详解】解：设原来正方形的边长为x cm，依题意得：x2﹣2x＝48，解得：x1＝8，x2＝﹣6（不合题意，舍去），∴x2＝8×8＝64．故选：B．6．（2022·三明市列东中学）如图，ABC的面积为14，AD平分BAC⊥∠，且AD BD 于点D，则ADC的面积是（）A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】B【分析】延长BD 交AC 于点E ，证明△ADB ≌△ADE ，得到BD=ED ，ADBADES S=，推出CDBCDESS=，由此得到答案．【详解】解：延长BD 交AC 于点E ， ∵AD 平分BAC ∠， ∴BAD EAD ∠=∠， ∵AD BD ⊥，∴90ADB ADE ∠=∠=︒， ∵AD=AD ， ∴△ADB ≌△ADE ， ∴BD=ED ，ADBADES S=，∴CDBCDES S =，∴CDB ADBCDEADES SSS+=+，∴172ADCABCSS ==，故选：B ．7．（2022·全国）在圆心角为120︒的扇形OAB中，半径6OA=，则扇形OAB的面积是（）A．6πB．8πC．12πD．24π【答案】C【分析】利用扇形面积公式求解即可．【详解】解：由题意得扇形OAB的面积是2120612360．故选C．8．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合，则四边形AECF的面积是（）A．3B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】证△ABE≌△ACF（ASA），得S△ABE＝S△ACF，再由S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF ＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC即可求解．【详解】解：连接AC，如图所示，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝∠DAC＝60°，BC＝AB＝4，∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，∴∠1＝∠3，∵∠BAD ＝120°，BC ∥AD ， ∴∠ABC ＝∠BAC ＝∠ACB ＝60°， ∴△ABC 、△ACD 为等边三角形， ∴∠4＝60°，AC ＝AB ， 在△ABE 和△ACF 中，134AB AC ABC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABE ≌△ACF （ASA ）． ∴S △ABE ＝S △ACF ，故S 四边形AECF ＝S △AEC +S △ACF ＝S △AEC +S △ABE ＝S △ABC ，是定值， 过A 作AH ⊥BC 于H ，则BH ＝12BC ＝2， ∴AH ＝22224223AB BH -=-=，S 四边形AECF ＝S △ABC ＝12BC •AH ＝12×4×23＝43， 故选：A ．9．（2022·长沙市北雅中学八年级期中）菱形的两条对角线长分别为9cm 和4cm ，则此菱形的面积是（ ） A ．216cm B ．2413cmC ．218cmD ．2213cm【答案】C【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积． 【详解】解：根据对角线的长可以求得菱形的面积， 根据2114cm 9cm 18cm 22S ab ==⨯⨯=，故选：C ．10．（2022·全国九年级课时练习）如图，ABC 中，////DE FG BC ，且::1:1:1AD DF FB =，则ABC 被分成的三部分面积之比123::S S S =（ ）A ．1∶1∶1B ．1∶2∶3C ．1∶3∶5D ．23【答案】C【分析】由已知证得△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，其相似比分别是1：2：3，则面积的比是1：4：9，可求S 1：S 2：S 3＝1：3：5．【详解】解：根据////DE FG BC ，得到ADE AFG ABC ∽∽， ∵::1:1:1AD DF FB =， ∴::1:2:3AD AF AB =，即ADE 、AFG 、ABC 的相似比是1∶2∶3， ∴ADE 、AFG 、ABC 的面积比是1∶4∶9，设ADE 的面积是a ，则AFG 的面积是4a ，ABC 的面积是9a ， 则123,43,945S a S a a a S a a a ==-==-=， ∴123::1:3:5S S S =．故选：C 二、填空题是AB 、AD 的中点，若2EF =，5BC =，3CD =，则BCD ∆面积是_______．【答案】6【分析】连接BD ，根据中位线的性质得出EF //BD ，且EF =12BD ，进而证明△BDC 是直角三角形，据此解题即可． 【详解】解：连接BD ，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则EF 是△ABD 的中位线， ∴EF ＝12BD ＝2， ∴BD ＝4，在△BCD 中，BC ＝5，CD ＝3， ∴222345+=，∴△BCD 是以D 点为直角顶点的直角三角形， ∴1134622BCDSCD BD =⋅=⨯⨯=，故答案为：6．10DB =，26AC =，则平行四边形ABCD 的面积是_______．【答案】120【分析】由ABCD 中，12AD =，10BD =，26AC =，求得OD ，OA 的长，利用勾股定理的逆定理即可证得AOD ∆是直角三角形，继而求得答案． 【详解】解：ABCD 中，10BD =，26AC =，5OD ∴=，13OA =，12AD =∵，222AD OD OA ∴+=，AOD ∴∆是直角三角形，即90ADO ∠=︒，120ABCDSAD BD ∴=⋅=．故答案为：120．13．（2022·哈尔滨市萧红中学八年级月考）菱形的对角线长分别是10、16，则它的面积是_______． 【答案】80【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得其面积． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为10和16， ∴其面积为：12×10×16=80．故答案为：80．14．（2022·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学八年级开学考试）将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB ＝12cm ，则阴影部分的面积是_____cm 2．【答案】18【分析】由于BC//DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．【详解】解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=12cm，∴AC=6cm．由题意可知BC//ED，∴∠AFC=∠ADE=45°，∴AC=CF=6cm．×6×6=18（cm2）．故答案为：18．故S△ACF=1215．（2022·沭阳县修远中学八年级期末）如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A C、和、重合，过点P分别作边AB AD、的平行线，交两组对边于点E FG H、．四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形并且面积分别为S1，S2，则S1，S2之间的关系为__________．【答案】S 1=S 2【分析】由矩形的性质找出90D B ∠=∠=︒，结合对边互相平行即可证出四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形，再根据矩形的性质可得出三对三角形的面积相等，由此即可得结果．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形， ∴90D B ∠=∠=︒．又∵////EF AB CD ，////GH AD BC ，∴四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形． ∵//EF AB ，//HG BC ，四边形ABCD 为矩形， ∴四边形AEPG 和四边形PHCF 也是矩形， ∴ACDABCS S=，PHCPCFSS=，AEPAPGSS=，∴ACD PHCAEPABCPCFAPGSSSSS S--=--，∴12S S 故答案为：12S S ．三、解答题16．（2022·上海市卢湾中学期末）如图所示，90AOB ∠=︒，45COB ∠=︒．（1）已知10OB =，求以OB 为直径的半圆面积及扇形COB 的面积；（结果可保留π） （2）填空：已知阴影甲的面积为6平方厘米，则阴影乙的面积为__________平方厘米．【答案】（1）252S π=半圆，252S π=扇；（2）6【分析】（1）根据扇形面积公式即可求出结果；（2）观察图形可得阴影甲的面积=阴影乙的面积，进而可得结果． 【详解】解：（1）根据题意得：2211255222r S πππ=⋅=⋅=半圆，224525R 103603602n S πππ=⋅=⋅=扇； （2）观察图形可知：阴影甲的面积＝阴影乙的面积＝6平方厘米，故答案为：6．17．（2022·安徽合肥市·八年级期中）已知等腰三角形ABC 的底边BC ＝25cm ，D 是腰AB 上一点，且CD ＝4cm ，BD ＝2cm ．（1）求证：CD ⊥AB ； （2）求△ABC 的面积．【答案】（1）见解析；（2）△ABC 的面积为10cm ²．【分析】（1）先算CD ²，BC ²，BD ²，发现三者之间的等量关系，再结合勾股定理的逆定理判断垂直；（2）先设AD =x ，然后用含有x 的式子表示AC ，再结合勾股定理列出方程求x ，最后求面积．【详解】（1）证明：∵BC 5，CD =4cm ，BD =2cm ，∴CD 2=16，BC 2=20，BD 2=4， ∴CD 2+BD 2=BC 2，∴三角形BCD 是直角三角形，∠BDC =90°， ∴CD ⊥AB ；（2）解：设AD =x ，则AB =x +2， ∵△ABC 为等腰三角形，且AB =AC ， ∴AC =x +2，在Rt △ACD 中，AD 2+CD 2=AC 2， ∴x 2+42=（x +2）2， 解得：x =3， ∴AB =5，∴S △ABC =12×AB ×CD =12×5×4=10（cm ²）．18．（2022·安徽合肥市五十中学西校）如图，四边形ABCD 中，2AB BC ==，60B ∠=︒，25AD =，4CD =．（1）求BCD ∠的度数． （2）求四边形ABCD 的面积． 【答案】（1）150︒；（2）43【分析】（1）连接AC ，根据2AB BC ==，60B ∠=︒，得出ABC 为等边三角形，求得2AC BC ==，然后根据勾股定理逆定理判断△BDC 是直角三角形，90ACD ∠=︒，从而求得BCD ∠的度数．（2）根据四边形ABCD 的面积等于△ABC 和△ACD 的和即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接AC ，AB BC =，60B ∠=︒ABC ∴为等边三角形60ACB ∠=︒∴，2AC BC == 2241620AC CD ∴+=+=，220AD =222AC CD AD ∴+=，90ACD ∴∠=︒150BCD BCA ACD ∴∠=∠+∠=︒（2）如图，过点A 作AE BC ⊥ABC 为等边三角形 AE BC ⊥1BE CE ∴==在Rt ACE △中，223AE AC CE =-ABC ACD ABCD S S S ∆∆∴=+四边形1122BC AE AC CD =⋅⋅+⋅⋅11232422=⨯⨯+⨯⨯ 43=+．19．（2022·南昌市心远中学）如图，在ABD △和ABC 中，//,3,5,213AD BC BC AD AB AC ====．()1求ABC 的面积；()2试判断ADB △的形状，并证明你结论．【答案】（1）6（2）直角三角形；理由见解析【分析】（1）过点C 作CE AB ⊥于E ，设,CE x BE y ==，在Rt AEC 和Rt BEC △中，222AC AE CE =+，222CB CE BE =+，列出方程组，解方程求得CE 的值，运用三角形面积公式计算即可；（2）过点D 作DF AB ⊥于F ，先证明DAF CBE ≌，求出DF 的长，运用勾股定理得出,AF BD 的长度，即可得出结论． 【详解】解：（1）过点C 作CE AB ⊥于E ，设,CE x BE y ==，在Rt AEC 和Rt BEC △中，222AC AE CE =+，222CB CE BE =+，则2222223(5)(213)x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，解得 2.41.8x y =⎧⎨=⎩， ∴115 2.4622ABCSAB CE ==⨯⨯=； （2）ADB △为直角三角形，理由如下： 过点D 作DF AB ⊥于F ，∵//AD BC ， ∴DAB CBE ∠=∠,在三角形DAF △和CBE △中，90DAB CBEAFD BEC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩, ∴DAF CBE ≌，∴ 2.4DF CE ==， 1.8AF BE ==， ∴5 1.8 3.2BF AB AF =-=-=, 则224BD BF DF +，在ABD △中，22223425AD BD +=+=， 225AB =，∴222AD BD AB +=， ∴ADB △为直角三角形．20．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）如图，在ABC 中，AD 是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，Q、M在BC上，AD交PN于点E．设BC＝20，AD＝10，PQ：PN＝3：4．（1）证明：APN∽ABC；（2）求矩形PQMN的面积．【答案】（1）见解析；（2）S矩形PQMN= 48．【分析】（1）由PN∥BC即可得出结论；（2）设PQ=3x，则PN=4x，利用PN∥BC，可得到PN AEBC AD=，代入可求得x，再计算矩形PQMN的面积即可．【详解】（1）证明：∵四边形PQMN是矩形，∴PN∥QM，∴△APN∽△ABC；（2）解：∵PQ：PN=3：4，∴设PQ=3x，则PN=4x，∵四边形PQMN为矩形，∴ED=PQ=3x，AE=AD-DE=10-3x，又PN∥BC，∵△APN∽△ABC，∴PN AE BC AD=，即4103 2010x x-=，解得x =2， ∴PQ =6，PN =8，∴S 矩形PQMN =PQ •PN =6×8=48．21．（2022·天津南开翔宇学校）如图，四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，135ABC ∠=︒，6CD =，2AB =，求四边形ABCD 的面积．【答案】16【分析】延长AB 和DC 线交于点O ，可得OB =2BC ，OD =2OA ，OA =AD ，BC =OC ，设BC =OC =x ，则BO =2x ，根据列方程求出x ，再分别求出△AOD 和△BOC 的面积，最后作差即可． 【详解】延长AB 和DC 线交于点O ，∵90BCD ∠=︒，135ABC ∠=︒， ∴45OBC ∠=︒，90BCO ∠=︒， ∴45O ∠=︒， ∵90A ∠=︒， ∴45D ∠=︒，由勾股定理可得2OB BC =，2OD OA =，OA AD =，BC OC =， 设BC OC x ==，则2BO x =，∵6CD =，2AB =，∴()6222x x +=+，解得：622x =-， ∴2624OB x ==-，622BC OC ==-，2624622OA AD ==+-=-，∴四边形ABCD 的面积S 1122OAD OBC S S OA AD BC OC =-=⨯⨯-⨯⨯△△()()()()1162262262262216.22=⨯-⨯--⨯-⨯-=． 故填16．22．（2022·珠海市紫荆中学桃园校区八年级期中）如图，在等腰直角三角形ABC 中，AC ＝CB ，∠ACB ＝90°，CD 为AB 边上的中线，点E 、F 分别为AC 、BC 上的点，且∠EDF ＝90°．（1）求证：ED ＝DF ；（2）若BC ＝4，求四边形EDFC 的面积． 【答案】（1）见解析；（2）4【分析】（1）首先证明BD AD =，DCF A ∠=∠，根据全等三角形的判定易得到ADE CDF ∆≅∆，继而可得出结论．（2）根据全等可得AED CFD S S ∆∆=，进而得到ADC CEDF S S ∆=四边形，然后再利用三角形的中线平分三角形的面积可得答案．【详解】证明：（1）ABC ∆是等腰直角三角形，45A B ∠， D 为AB 中点，BD AD ∴=，CD 平分BCA ∠，CD AB ⊥． 45DCF ∴∠=︒，90EDF ∠=︒，90ADE EDC ∴∠+∠=︒，90CDF EDC ∠+∠=︒， ADE CDF ，在ADE ∆和CFD ∆中，∵ADE CDF AD CDA DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ADE CDF ASA ∴∆≅∆，DE DF ∴=．（2）ADE CFD ∆≅∆，AED CFD S S ∆∆∴=，ADC CEDF S S ∆∴=四边形， D 是AB 的中点，111444222ACD ACB S S ∆∆∴==⨯⨯⨯=． 4CEDF S ∴=四边形．23．（2022·山东邹城市·）如图，已知点E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接AC ，BF ，AF BC =．（1）求证：四边形ABFC 为矩形； （2）若AFD ∆是等边三角形，且边长为6，求四边形ABFC 的面积．【答案】（1）见解析；（2）四边形ABFC 的面积93=【分析】（1）利用平行四边形的性质先证明ABE FCE ∆≅∆，可得,AB FC =再证明四边形ABFC 是平行四边形，从而可得结论； （2）先求解6AF DF ==，132CF DF ==，再利用勾股定理求解2233AC AF CF -=从而可得答案.【详解】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形， AB CD ∴=，//AB CD ， BAE CFE ∴∠=∠，点E 是ABCD 中BC 边的中点，BE CE ∴=，AEB FEC ∠=∠，()ABE FCE AAS ∴∆≅∆，,AB FC ∴=//AB FC ，∴四边形ABFC 是平行四边形，又AF BC =，∴平行四边形ABFC 为矩形； （2）解：由（1）得：四边形ABFC 为矩形， 90ACF ∴∠=︒， AFD 是等边三角形，6AF DF ∴==，132CF DF ==，AC ∴ ∴四边形ABFC 的面积3AC CF =⨯==。
与图形与几何有关的核心素养及思想方法
图形中高的概念的建立
1.生活中的高 2.平行四边形的高、梯形的高 3.三角形的高 4.长方体了学科教育的一种思想和
理念，从世界一些发达国家各学科的核心素养中可以看出他 们的理念和丰富内涵。
德国数学学科核心素养为：数学证明、数学的解决问题、 数学建模、运用数学表达、运用数学符号、公式和技巧、数 学交流。
美国数学教育强调问题解决、推理与证明、交流、关联、 表征。
韩国高中数学核心素养为：问题解决、推理、创新·融合、 思想沟通、信息处理、态度和实践。
为什么数学认知结构是核心素养的基础，而不是数学知识结构？ 因为数学知识结构是属于数学的，数学认知结构是属于学生的。
学习除法认识了一棵杨树
学习分数认识了一棵柳树
学习比认识了一棵梧桐树
都学习了要看到一片森林！a÷b= a = a : b(b≠0) b
abba a:b(b0)
分数的基本性质 类推 分式的基本性质
数学概念：概念是关系、规律、思想方法的基础。
有研究表明：对数学概念的表征水平与数学成绩呈正相关。 表征（representation）是信息在头脑中的呈现方式。 也可以用“表示”，更容易理解。
多元表征是加强学生理解知识的有效方式。 有研究表明，高中生对数学概念的表征（理解）水平，多数
通过具体例子、画图（像）和描述性语言表征，如单调增函数 的概念，有52.63%的学生通过画函数图像、28.42%的学生通过 描述性语言表征；只有3.16%的学生能够用定义表征。
我们先从中国学生发展核心素养（如下）开始分析，从中可 以发现，如果每个学科都从自己学科内部角度界定本学科核心素 养，那么各学科核心素养主要集中在文化修习这个维度，其他两 个维度中的责任担当、学会学习、健康生活的一部分等，可能会 成为少人问津的真空地带，即各学科核心素养的交集为0（如下左 图）。也就是说，各学科在制定本学科的核心素养时，不能完全 从学科本位的角度考虑、不能只扫门前雪，应该站在中国学生发 展核心素养的高境界思考问题，即每个学科承担更多的公共责任 和义务。这样的学科核心素养才是有境界的、有内涵的、有担当 的，否则各学科还有可能重蹈覆辙，在各自的小圈子里搞应试教 育。
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图形与几何：三角形（三角形概念、等腰与直角三角形）
一、教材内容
七年级第二学期：第十四章第1节三角形的有关概念与性质（5课时）第3节等腰三角形（4课时）
八年级第一学期：第十九章第3节直角三角形（9课时）
二、“课标”要求
1．掌握三角形的任意两边之和大于第三边的性质；理解三角形的高、中线、角平分线等概念，并会画这些特殊线段。
知道三角形的三条中线交于一点、三条角平分线交于一点、三条高所在直线线交于一点。
2．知道三角形的分类，初步体会分类讨论思想；通过自主探索，知道由三角形主要线段所得交点的位置状况。
3．展示“实验—归纳—猜测—证明”的数学研究方法，通过实验形成对三角形的内角和等于180°的猜想再加以证实；初步尝试演绎推理，从中知道所得结论具有严格化的意义。
知道三角形的外角，初步掌握三角形外角的性质。
4．通过观察、实验、操作等活动和对等腰三角形的轴对称性分析，发现和归纳等腰三角形的基本性质，再尝试采用演绎推理方法进行证实；掌握等腰三角形的性质和判定（其中涉及等边三角形）（等腰三角形的性质指“等边对等角”、“等角对等边”、“三线合一”等）
5．进行关于几何语言和说理的训练，了解“三段论”的推理形式和表达，初步体会几何推理的过程
6．体会几何研究从直观经验、操作实验到演绎推理的演进过程，认识归纳推理和演绎推理的作用；知道基本的逻辑术语，理解命题、定理、证明的意义；懂得推理过程中的因果关联，知道证明的步骤和规范表达的格式
7．通过对平行线和等腰三角形的有关定理的分析，理解逆命题与逆定理
8．掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法；掌握直角三角形的有关性质和判定。
在勾股定理及其逆定理的学习中，通过充分展开定理导出的过程和揭示它在度量几何中的作用，进一步理解形数之间的联系。
会用等腰三角形的判定定理和性质定理证明简单的几何问题。