北京大学2000入学考试试题. 量子力学
量子力学基础试题及答案
量子力学基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中，物质的波粒二象性是由哪位科学家提出的？A. 爱因斯坦B. 普朗克C. 德布罗意D. 海森堡答案：C2. 量子力学的基本原理之一是不确定性原理，该原理是由哪位科学家提出的？A. 玻尔B. 薛定谔C. 海森堡D. 狄拉克答案：C3. 量子力学中，描述粒子状态的数学对象是：A. 波函数B. 概率密度C. 动量D. 能量答案：A4. 量子力学中，哪个方程是描述粒子的波动性质的基本方程？A. 薛定谔方程B. 麦克斯韦方程C. 牛顿第二定律D. 相对论方程答案：A5. 量子力学中，哪个原理说明了粒子的波函数在测量后会坍缩到一个特定的状态？A. 叠加原理B. 波函数坍缩原理C. 不确定性原理D. 泡利不相容原理答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 在量子力学中，粒子的动量和位置不能同时被精确测量，这一现象被称为______。
答案：不确定性原理2. 量子力学中的波函数必须满足______条件，以确保物理量的概率解释是合理的。
答案：归一化3. 量子力学中的粒子状态可以用______来描述，它是一个复数函数。
答案：波函数4. 量子力学中的______方程是描述非相对论性粒子的波函数随时间演化的基本方程。
答案：薛定谔5. 量子力学中的______原理表明，不可能同时精确地知道粒子的位置和动量。
答案：不确定性三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述量子力学与经典力学的主要区别。
答案：量子力学与经典力学的主要区别在于，量子力学描述的是微观粒子的行为，它引入了波粒二象性、不确定性原理和量子叠加等概念，而经典力学主要描述宏观物体的运动，遵循牛顿力学的确定性规律。
2. 描述量子力学中的波函数坍缩现象。
答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当对一个量子系统进行测量时，系统的波函数会从一个叠加态突然转变到一个特定的本征态，这个过程是不可逆的，并且与测量过程有关。
量子力学真题和答案解析
量子力学真题和答案解析是物理学中的一个重要分支，研究微观领域的宇宙现象和微观粒子的行为规律。
具有复杂的数学理论基础，因此在学习和研究过程中常常会遇到各种难题和问题。
为了更好地理解和应用，解析真题和答案是非常重要的一步。
首先，解析真题前，我们需要了解一些基本概念和原理。
描述了微观粒子的行为，其中最基本的概念是量子态和波函数。
量子态描述了粒子的所有性质，而波函数则是的核心数学工具，用于描述粒子的状态和演化规律。
在研究真题时，我们需要仔细分析题目中给出的信息和条件。
通常，题目会给出一些实验或者观测结果，然后要求利用所学知识来推断和解释这些结果。
这就需要我们从题目中提取关键信息，并应用的原理进行分析。
解析真题时，我们可以采用逐步推导的方法。
首先，根据题目中给定的信息，我们可以确定所研究系统的量子态。
然后，根据波函数的演化规律，我们可以利用薛定谔方程或者时间演化算符来推导出系统的时间演化。
最后，我们可以根据所给条件和结果来验证和解释我们的推导和计算结果。
在解析真题时，我们还需要注意一些常见的问题和误区。
首先，是一种概率性理论，因此我们无法准确预测每一次实验的结果。
我们只能给出在大量重复实验中的平均结果。
其次，波函数的坍缩现象是的核心特征之一。
在测量时，波函数会坍缩到某一特定的量子态，从而给出确定的结果。
最后，量子纠缠是中的一个重要现象。
它描述了在某些情况下，两个或多个微观粒子之间存在着密切的关联，无论它们之间的距离有多远。
总结一下，解析真题和答案是学习和研究的重要一步。
我们需要了解的基本概念和原理，并且可以采用逐步推导的方法来分析和解决问题。
我们还需要注意中的一些常见问题和误区，以便更好地理解和应用的原理和概念。
通过解析真题和答案，我们可以提高对的理解，并且能够更好地应用于实际问题和研究中。
北京大学-量子力学习题集1
ψ ( x, t ) = α xe
2
2μ E 2 μα = 2 − = =2
(6)
式(6)两边平方，得
2μ E ⎞ 1 ⎛ 2 μα 2 = ⎜ 2 − V0 ⎟ 2 2α ⎝ = = ⎠
(7)
显然 E 有解的条件是 2 2 = V0 2 μα 2 > V0 , 或 α > 2 2μ = 这正是存在束缚态的条件.由式(7)得
⎛ 2 μα ⎞ − V0 ⎟ E = 2 ⎜ 2 8μα ⎝ = ⎠ =
Δx ⋅ Δp ≥
4
解先对态ψ(x) 进行归一化.由波函数的归一化条件
∫
有 得 于是
∞
−∞
ψ ( x) dx = 1
dx = A 4λ
2 3
2
∫
∞
0
A x e
2
2 −2 λ x
=1
A = 2λ 3 / 2
⎧2λ 3/ 2 xe − λ x , x ≥ 0 ψ ( x) = ⎨ x<0 ⎩0,
(I)粒子坐标的概率分布函数为
⎡ =2 ∂ ⎤ ∂ ⋅ 2 + V ( x ) ⎥ψ ( x, t ) i = ψ ( x, t ) = ⎢ − ∂t ⎣ 2 M ∂x ⎦
则得
= −γ x = − ( β 2 x − 2 β ) + V ( x) x 2M
2
由此可解出 x > 0 时的势
=2 V ( x) = −γ + 2M ⎛ 2 2β ⎞ ⎜β − ⎟ x ⎝ ⎠
则有
= 1 d ⋅ 2 ψ E ( x), V ( x) = E + 2m ψ E ( x) dx
2 2
(1) 如果给定一个定态波函数ψ E ( x) ，则由式(1) 可给出 V ( x) − E ，欲分别求出 E和 V ( x)，还需
几所高校量子力学硕士试题
高校量子力学研究生招生试题汇总一．复旦大学1999硕士入学量子力学试题二．天津大学1999硕士入学量子力学试题（1）三．北京大学2000年研究生入学考试试题考试科目：量子力学 考试时间：2000.1.23下午 招生专业：物理系各专业 研究方向：各研究方向 试题： 一．（20分）质量为m 的粒子，在位势V x x V '+=)()(αδ 0<a00{V V ='00><x x 00>V中运动，a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；b. 给出粒子处于x >0区域中的几率。
它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？ 二．（10分）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道耦合项）a. 给出|α>和|β>态的守恒量完全集；b. 若0ˆˆ)(≠⋅αβr sr f ,则|α>和|β>态的那些量子数可能是不同的，为什么？ （注：f(r)是r 的非零函数，r s ˆ,ˆ为电子的自旋和坐标算符。
）三．（16分）三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为)ˆˆˆˆˆˆ(ˆ1332210s s s s s s C H ⋅+⋅+⋅= 求本征值和简并度。
四．（22分）两个自旋为1/2的粒子，在),(21z z s s 表象中的表示为))((2211βαβα，其中，2iα是第i 个粒子自旋向上的几率，2iβ是第i 个粒子自旋向下的几率。
a. 求哈密顿量)(ˆ21210xy y x V H σσσσ-= 的本征值和本征函数；（V 0为一常数）b. t=0时，体系处于态121==βα，012==βα，求t 时刻发现体系在态021==βα，112==βα的几率。
（注：iy ix σσ,为第i 个粒子泡利算符的x, y 分量）五．（10分）考虑一维谐振子，其哈密顿量)21(ˆ+=+a a h H ϖ，而0],[],[==++a a a a ,1],[=+a a a. 若|0〉是归一化的基态矢（a|0）=0），则第n 个激发态为)(n n a N n +=试求归一化因子n N ； c. 若外加一微扰，aa a ga H ++='ˆ，试求第n 个激发态的能量本征值（准至g 一级）。
《量子力学》大一题集
《量子力学》大一题集一、选择题（每题5分，共50分）1.量子力学的研究对象主要是？A. 宏观物体的运动规律B. 微观粒子的运动规律C. 宇宙天体的运动规律D. 生命现象的运动规律2.下列哪位科学家是量子力学的奠基人之一？A. 牛顿B. 爱因斯坦C. 薛定谔D. 伽利略3.波粒二象性是指？A. 粒子只具有波动性B. 粒子只具有粒子性C. 粒子同时具有波动性和粒子性D. 波动和粒子是两种不同的物质4.在量子力学中，描述微观粒子状态的数学工具是？A. 牛顿运动定律B. 麦克斯韦方程组C. 波函数D. 爱因斯坦场方程5.下列哪个实验是量子力学发展史上的重要里程碑？A. 迈克尔逊-莫雷实验B. 双缝干涉实验C. 托马斯·杨的光干涉实验D. 薛定谔的猫实验6.量子力学中的“不确定性原理”是由谁提出的？A. 玻尔B. 海森堡C. 狄拉克D. 费曼7.在量子力学中，观测者对系统的影响称为？A. 观测者效应B. 量子纠缠C. 超位置D. 量子跃迁8.下列哪个现象是量子力学特有的，而经典力学无法解释？A. 光的折射B. 物体的自由落体C. 电子的双缝干涉D. 行星的运动9.量子纠缠是指？A. 两个粒子之间的引力作用B. 两个粒子之间的电磁作用C. 两个粒子之间的量子态的关联D. 两个粒子之间的强相互作用10.量子计算机相比经典计算机的最大优势是？A. 计算速度更快B. 存储容量更大C. 能耗更低D. 体积更小二、填空题（每题5分，共20分）1.在量子力学中，描述微观粒子运动状态的波函数需要满足_______方程。
2.量子力学中的“不确定性原理”表明，微观粒子的位置和动量是不确定的，其不确定度的乘积有一个_______的下限。
3.量子纠缠是_______之间的一种特殊关联，当其中一个粒子的状态发生改变时，另一个粒子的状态也会瞬间发生改变。
4.在量子力学中，观测者对系统的影响是不可忽视的，这种影响被称为_______。
北京大学统计物理与热力学2000真题
考试科目：统计物理与热力学考试时间：2000年1月24日上午
招生专业：理论物理研究方向：凝聚态理论与统计物理等试题：
已知某均匀系的内能（U）作为熵（S）与体积（V）的函数可以表为
U=C*S^(4/3)*V^(-1/3) （C为正常函数）
求该体系的压强（P），自由能（F），吉布斯函数（G），Cv与Cp 。
2、简要回答下列问题（不必计算）：
（1）固体比热的爱因斯坦理论与德拜理论的区别是什么？哪个理论更符合实验，为什么？
（2）什么条件下微正则、正则与巨正则系统在计算力学量的平均值时是等价的，为什么？
（3）经典能量均分定理的适用条件是什么？试尽你所知举出不满足经典能量均分定理的情形。
（4）若在玻尔兹曼方程中略去碰撞项，问系统的熵是否随时间改变，为什么？
3、对处于平衡态下的理想玻色气体，引入巨配分函数
Ξ = Π( 1 - e^(-α-β*ε_l)^( - ω_l)
l
其中ε_l与ω_l分别代表粒子的能级与该能级的简并度。
导出总粒子数平均值（N{bar}）,内能（E{bar}），外界作用力的平均值（Y{bar}_λ）及熵（S）用lnΞ表达的统计表达式。
在非简并条件（即e^α>>1）下，由上述公式出发，通过将lnΞ作泰勒展开并保持到最低阶的近似，导出N{bar},E{bar},Y{bar}_λ,S用lnz的表达式，其中z = Σω_l * e^(-β*ε_l) 为子系配分函数。
北大物理部分真题
北大物理部分真题北京大学量子力学真题部分北京大学量子力学的部分真题。
1992年4.设粒子处于半径为a的球壁内,(1)求基态能量。
(2)求基态粒子对球壁的压强。
1994年6.假设两个质量为m=70Me/c2的夸克可以通过位势V=-a(?1.?2-b)r2束缚在一起,其中r是两个夸克之间的距离?1和?2分别为夸克1和夸克2的包利自旋矩阵,a=68.99Me/fm2,而b是一个待定的参数,(1)b 应取什么值,才能使两个夸克束缚在一起?(2)设两个夸克是不同类型的,并取b=3/2,试求基态能量和简并度,(3)设两个夸克是同一类型的,并取b=3/2,试求基态能量和简并度。
(4)当b=0时,求两个全同夸克在基态的方均根距离, hc=1.97.3MeV.fm.为自旋1和自旋2,h都是带横岗的1995年5.设L为轨道角动量。
在(L2,Lz)表象(即以Ilm>为基矢的表象)中,写出L=1的子空间中Lx的矩阵表示式,并求出它的本征值和本征态。
1998年7.在一维无限深位阱中,V(x)=0,0<xa.</x(1)求一维无限深位阱的能量本征值,及相应的本征函数。
(2)如果有两个无相互作用的自旋为1/2的全同粒子在此中,试写出此位阱系统基态和第一激发态的能量值和波函数。
1999年6.一个质量为m的粒子在一维势场V(x)=正无穷,x<0.V(x)=1/2mw平方x平方,x>0中运动,求其能级,不必作详细计算。
2000年6.考虑体系H=T+V(x),V(x)=无穷x<0,V(x)=Ax,x>0(A>0).(1)利用变分法,取试探波函数函数1=(2比b根号π）1/2e的-x平方/2b平方,求基态能量上限E1;(2)我们知道,如试探波函数为函数2==(1比b根号π）1/2(2x/b)e 的-x平方/2b平方,则基态能量上限为E2=(81/4π)根号1/3(A平方h 平方/m)根号1/3,对这两个基态的能量上限,你能接受哪一个,为什么?2001年6.质量为m的粒子在位势V=无穷,x<0,V=cx平方,x>0中运动,c>0,(1)试利用变分法估计体系基态能量;(2)它是精确解的上限还是下限?你能给出精确的基态能量吗?2007年5.H(t)=-h平方/2mx导数平方+1/2mw零平方x平方(1+1/cosh 平方兰姆达t)t趋向于负无穷时刻,该体系处在谐振子基态I0>.在t趋向于正无穷时刻态体系跃迁到激发态In>的概率记为p零趋向于n.(a)求(b)当(c)讨论2008年VI.质量为m的粒子在位势V(x)=-兰姆达扥特(x),(兰姆达>0)中运动。
北京大学2000入学考试试题. 量子力学
北京大学2000年研究生入学考试试题考试科目：量子力学考试时间：2000.1.23下午 招生专业：物理系各专业研究方向：各研究方向指导老师 试题：一．（20分）质量为m 的粒子，在位势V x x V '+=)()(αδ0<a00{V V =' 0><x x 00>V中运动，a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；b. 给出粒子处于x >0区域中的几率。
它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？ 二．（10分）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道耦合项） a. 给出|α>和|β>态的守恒量完全集；b.若0ˆˆ)(≠⋅αβr sr f ,则|α>和|β>态的那些量子数可能是不同的，为什么？ （注：f(r)是r 的非零函数，r s ˆ,ˆ为电子的自旋和坐标算符。
）三．（16分）三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为)ˆˆˆˆˆˆ(ˆ1332210s s s s s s C H ⋅+⋅+⋅=求本征值和简并度。
四．（22分）两个自旋为1/2的粒子，在),(21z z s s 表象中的表示为))((2211βαβα，其中，2i α是第i 个粒子自旋向上的几率，2i β是第i 个粒子自旋向下的几率。
a. 求哈密顿量)(ˆ21210xy y x V H σσσσ-= 的本征值和本征函数；（V 0为一常数） b. t=0时，体系处于态121==βα，012==βα，求t 时刻发现体系在态021==βα，112==βα的几率。
（注：iy ix σσ,为第i 个粒子泡利算符的x, y 分量） 五．（10分）考虑一维谐振子，其哈密顿量)21(ˆ+=+a a h H ϖ，而0],[],[==++a a a a ,1],[=+a a a. 若|0〉是归一化的基态矢（a|0）=0），则第n 个激发态为0)(n n a N n +=试求归一化因子n N ；c. 若外加一微扰，aa a ga H ++='ˆ，试求第n 个激发态的能量本征值（准至g 一级）。
北京大学-量子力学习题集4
比较后得
1 C1 = C0 2
1 ， C−1 = C0 2
由波函数归一得
1 C0 = 2
。
1 ψ = [Y11 + Y1−1 + 2Y10 ] 2
ˆ2 = B ˆ 2 = 1， 5. Hermite算符 与 满足 A ， ， 均无简并，求 （1）在A表象中 与 的矩阵表达式，并求 的本征函数表示式； （2）在B表象中 与 的矩阵表达式，并求 的本征函数表示式； （3）A表象到B表象的幺正变换矩阵S。
= C1Φ1 +C2Φ2
（4）
其中
C1 = (exp(−iω1t ) + exp(−iω2t )) / 2 ，
C2 = (exp( −iω1t ) − exp( −iω2t )) / 2
（5）
| C1 |2 = {1 + cos(ω1 − ω2 )t}2 ，
| C2 |2 = {1 − cos(ω1 − ω2 )t}2
其中 所以静电势能为
由
，得
所以
体系的Hamilton量为
所以
因为
考虑到这里不过是一级微扰论，而H '又只 是在核子体积内起作用。 这里a为 Bohr半径。
所以计算中可略去径向波函数中的指数， 认为 ，由此得1s态能移
2p态能移
10. 粒子在二维无限深方势阱中运动,
0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a ⎧ 0, V =⎨ ⎩ ∞, x < 0, x > a , y < 0, y > a
A = (a1 + a2 ) / 2 + ((a1 − a2 ) / 2) cos( E1 − E2 )t /
量子力学例题与解答
《量子力学》复习例题与题解一、基本概念1. 波粒二象性微观粒子具有波粒二象性，即微观粒子既有波动性—弥漫性，又有粒子性—不可 分割性，德波罗意关系式是两者的统一： k p E==,ω 关系式的左边体现粒子性；右边体现波动性。
2. 测不准关系描述微观粒子体系的力学量算符一般是不可对易的，也就是说，这两个力学量不能同时测准，他们的不确定度可用测不准关系来描述：222]ˆ,ˆ[41)ˆ()ˆ(B A B A ≥∆∆ 3. 本征方程如下方程：n n n Q Q ψψ=ˆ（其中n Q 为常数）称为力学量算符Q ˆ的本证方程，n Q 为 力学量算符Q ˆ的相应于本征态nψ的本征值。
4. 简并度一个本征值相应于多个本征态的情形称为简并情形，本征态的个数称为相应于该本征值的简并度。
5. 全同性原理全同微观粒子体系，当两个粒子交换坐标时，波函数要末不变号，要末变号，即概率分布不变。
6．.波函数微观粒子体系的态必须用具有统计意义的波函数),(t x ψ来描述，2),(t x ψ为概率密度，即在t 时刻，x附近单位体积内找到微观粒子的概率 7. 归一化常数为了让波函数),(t x ψ表示绝对的概率幅，),(t xψ必须归一化，即1),(2=⎰τψd t x A ，其中的A 即为归一化常数8. 力学量完全测量集合完全确定一微观粒子体系的状态所需要的力学量测量集合，这些力学量必须满足：他们是可测量；它们必须互相独立；与他们相应的力学量算符必须两两对易 9. 微扰理论当'ˆˆˆ0H H H +=，且>><<<<0ˆ'ˆH H ，零级近似的本征方程)0()0()0(0ˆnn n E H ψψ=可以 严格求解时，可用微扰理论来处理，即在零级近似)0()0(,k k E ψ的基础上，根据需要 的精度逐步进行一级、二级或高级修正。
10. 玻色子与费密子自旋量子数s 为整数的微观粒子称为玻色子；自旋量子数s 为半整数的微观粒子称为费米子；前者对波函数有对称性的要求；后者对波函数有反对称性的要求，受泡里原理的约束。
(NEW)北京大学物理学院量子力学历年考研真题汇编
第1部分 北京大学量子力学考研真题 2000年北京大学量子力学考研真题 2001年北京大学量子力学考研真题 2003年北京大学量子力学考研真题 2004年北京大学量子力学考研真题
第2部分 其他院校量子力学考研真题 2017年华南理工大学630量子力学考 研真题 2017年南京航空航天大学618量子力
3．两个自旋ห้องสมุดไป่ตู้1/2的全同粒子在一维无限深势阱中，试求两粒子处于基 态的总自旋波函数。
∧
∧∧
∧
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4．σ±＝σx±iσy，求σ±2，（σ＋σ－）2。
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5．L±＝Lx±iLy，求[Lα,L±]，[L＋,L－]，[L2,L±]。
6．在中心力场中，基态的轨道角动量为何值？并做简要解释。
三、（共65分）
学考研真题
第1部分 北京大学量子力学考研真题 2000年北京大学量子力学考研真题
2001年北京大学量子力学考研真题
2003年北京大学量子力学考研真题
2004年北京大学量子力学考研真题
一、（共45分）
1．解释态迭加原理，全同性原理和态的统计解释。
2．写出非简并微扰论的一级、二级能量修正公式。
第2部分 其他院校量子力学考研真题 2017年华南理工大学630量子力学考研真题
2017年南京航空航天大学618量子力学考研真题
4．（11分）已知
且有|x|→∞时，有V(x)→0，试求势能V(x)的具体表达式。
5．（11分）已知5个自旋为1，质量为m的全同粒子处于一个平面上的 半径为R的一个圆周，并且这5个粒子组成五边形，5个粒子绕通过圆心 的轴线转动而构成动体系。
（1）写出上述体系的哈密顿量，并讨论基守恒量有哪些？
硕士学位研究生入学量子力学试卷
附件中国科学院-中国科技大学2000年招收攻读硕士学位研究生入学试卷 试卷名称：量子力学（理论型） 选做五题，毎题20分1、 一个质量为m 的粒子被限制在一维区域0x a ≤≤运动，0t =的波函数为(),012cos sin x x x t A a a ππψ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ A 为常数。
（1） 后来某一时刻0t t =时波函数是什么？（2） 体系在0t t =和0t =时平均能量是多少？ （3） 在0t t =时于势阱右半部（即2ax a ≤≤）发现粒子的几率是多少？ 2、3、设粒子处于(),lm Y θϕ状态，计算角动量的x 分量和y 分量的方均差22,x y l l ∆∆4、记123,,σσσ为Pauli 矩阵，定义12,i σσσ±=±（1） 计算[][][]()233,,,,,,σσσσσσσ+-+-+和()2σ-， （2） 证明（ξ为常数 ）332e e e ξσξσξσσ±±±=，证：[]3,2σσσ±±=± ()33322σσσσσσσ±±±±∴=±=±()()2233333322σσσσσσσσσσ±±±±==±=±反复利用即得()332nn σσσσ±±=± 两边同乘实数nξ得 ()332nn n nξσσσξσ±±=± 即()33322e ee e ξσξσξσξσσσ±±±±±==（3） 化简下面二式331112,e e e e ξσξσξσξσσσ--。
5、设0H 为一量子系统的能量算符，其本征态为0,1,2,⋅⋅⋅若体系受到微扰作用，微扰算符为ˆˆˆ,(H i A B λλ⎡⎤'=⎣⎦为实数），ˆA为厄密算符，ˆˆ,B C 为另外的厄密算符，且ˆˆˆ,.C i A B ⎡⎤=⎣⎦如在微扰作用前的基态0中，ˆˆˆ,,A B C 的平均值已知为000,,A B C ，试对微扰后的基态（非简并）计算厄密算符ˆB的平均值B ，精确到量级λ。
量子力学试题含答案
量子力学试题含答案1. 选择题a) 以下哪个说法正确？A. 量子力学只适用于微观领域B. 量子力学只适用于宏观领域C. 量子力学适用于微观和宏观领域D. 量子力学不适用于任何领域答案：A. 量子力学只适用于微观领域b) 以下哪个量不是量子力学的基本量？A. 质量B. 电荷C. 动量D. 能量答案：D. 能量c) 下面哪个原理是量子力学的基础？A. 相对论B. Newton力学定律C. 不确定性原理D. 统计力学答案：C. 不确定性原理2. 填空题a) 波粒二象性指的是在特定条件下，微观粒子既可表现出波动性，又可以表现出粒子性。
这种相互转化的现象称为________。
答案：波粒二象性的相互转化b) ____________________是描述微观粒子运动的方程。
答案：薛定谔方程c) Ψ(x, t)代表粒子的波函数，那么|Ψ(x, t)|^2表示__________________。
答案：粒子在坐标x处被测量到的概率密度3. 简答题a) 请简要说明波粒二象性的原理和实验观察。
答案：波粒二象性原理指出，微观粒子既可表现出波动性，又可以表现出粒子性。
这意味着微观粒子的行为既可以用波动的方式来描述（例如干涉和衍射现象），也可以用粒子的方式来描述（例如在特定的位置进行观测）。
实验观察可以通过使用干涉仪和双缝实验等经典实验来验证波动性质。
当光或电子通过干涉仪或双缝实验时，会出现干涉和衍射现象，这表明了粒子具有波动性。
同时，通过探测器对光或电子的位置进行测量，可以观察到粒子的粒子性。
b) 请解释量子力学中的不确定性原理及其意义。
答案：不确定性原理是由德国物理学家海森伯提出的，它指出在测量某个粒子的某个物理量的同时，不可避免地会对另一个物理量的测量结果带来不确定性。
不确定性原理的意义在于限制了我们对微观世界的认知。
它告诉我们，粒子的位置和动量无法同时被精确地确定。
这是由于测量过程中的不可避免的干扰和相互关联性导致的。
《量子力学导论》习题答案(曾谨言版-北京大学)1
第一章 量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ⎩⎨⎧<<><∞=ax ax x x V 0,0,0,)(试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2=⋅=n n a λn a /2=∴λ （1）又据de Broglie 关系 λ/h p = （2） 而能量(),3,2,12422/2/2222222222==⋅===n ma n a m n h m m p E πλ （3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。
假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
动量大小不改变，仅方向反向。
选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。
利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E z y x z y x n n n zy x π ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰)(x V解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：221()2x a E V x m a ω===。
北京大学量子力学习题集2
+
p2c2
− mc2
=
mc2
⎛⎜1 + ⎝
p2 m2c2
⎞1/ 2 ⎟ ⎠
− mc2
考虑了 T
与 p 关系的相对论修正至
1阶
c2
T
≈
mc2
⎛ ⎜1
+
⎝
p2 2m2c2
−
p4 8m4c4
⎞ ⎟ ⎠
−
mc2
= p2 − p4 2m 8m3c2
而相对论修正项 − p4 可看作微扰.
8m3c2
由微扰论，基态能量的移动为
+
pz
z
)
⎤ ⎥⎦
c为归一化常数.
[17] 在无限长圆筒中运动粒子的能量 设粒子在无限长的圆筒中运动，筒半径为 a , 求粒子能量.
解 柱坐标下的Schrodinger方程
⎡ ⎢ ⎣
−
2
2m
⎛ ⎜ ⎝
∂2
∂ρ 2
+
1
ρ
⋅∂
∂ρ
⎞ ⎟
+
⎠
L2z
2mρ 2
−
2
2m
⋅
∂2 ∂z 2
⎤⎥ψ
⎦
=
Eψ
用分离变量法求解方程
可见这里 y = a′ = 4 2 / me2 = 4a0 (a0是Bohr半径) ,表 示电子基态最大概率之所在.
(V) 能量完备集为
En, px , pz
= − me4 32 2n2
+
1 2m
(
px2
+
py2 )
波函数为
ψ n, px , py
(r)
=
北京大学量子力学习题集5
P = ϕ( p0 ) ϕ( p0 + p) 2 =
1
π mω
− ( p0 + p)2 − p02
2
∫ e 2 mω 2 mω dp0
− p2
= e 2mω
∫
π ω1
m
e dp − 1 2 mω
( p0 + p / 2)2
2
0
− p2
= e 2mω
也可以在x表象中看此问题，冲击后体系 的波函数为
∫ ψ (x) = 1
归一，只能归一为δ函数。
∞
∫−∞
1
2π
exp{−ik′x}exp{ikx} dx
=
δ
(k
−
k′)
(4)ψ (x) = δ (x − x0 ) 是粒子的位置本征函 数，此波函数描述的粒子的位置概率分布
为
∫ P(x) =
∞δ
−∞
(x′
−
x0 )δ
(x
−
x′)dx′
2
=
δ
2(x
−
x0 )
即，在 x = x0 处可测得粒子，在其它位置 测不到粒子，位置本征函数不能归一，只
En
=
π 2 2n2
2mR2
对于基态(n=1)，有
E1
=
π2 2
2mR2
，
由Hellmann-Feynman定理
F
=
−⎛⎜⎝
∂H ∂R
⎞ ⎟⎠
=
−
dE1 dR
=
π2 2
mR3
5.一个质量为m的粒子被限制在半径为 r=a和r=b的两个不可透穿的同心球面之 间运动，不存在其它势。求粒子的基态 能量和归一化波函数。
量子力学试题含答案
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。
二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
北京大学量子力学期中考试题
x0 — x0 + dx 中的几率；
4.
试将算符
Aˆ (1
−
1 Aˆ
−1Bˆ )
表为
Aˆ ,
Bˆ
算符的幂级数的形式；
5．若波函数 ψ1,ψ2 ,ψ3 是线性无关的，试构成三个正交、归一 的波函数（归一化因子的具体表达式不用给出）；
激发态, u1 ,的叠加态 ψ(x,0) 上。其几率振幅分别为 cosθ 和 sin θ ，位相差为 η = η0 − η1 1． 试给出 ψ(x,t) ；
2． 求 t 时刻， H, H2 ；
3． 计算 t 时刻， x, x2 。
三．（16 分）质量为 m 的粒子，在位势
∞
x < 0, x > a
若三维自由粒子的哈密顿量为h?试判断下述力学量组中那些是守恒量完全集
姓名:
2000级物理系量子力学期中测验
by yixiansheng
学总分 成绩
一．（29 分）试回答下列问题
1. = = ? （准至小数 2 位）
2. 写出粒子的几率流密度矢公式;
− r −iωt
Ψ(x) = Ae−λ x
1． 求归一化常数 A；
2． 已知它所处的位势 V(x)→0( 当 x→±∝)，试求其能
量本征值；
3． 给出粒子运动的位势 V(x)。
6．请化简下列两重积分
∫ ∫ b1
a1
dx1
b2 a2
f (x1, x2 )δ (x1 −
x2 )dx2
其中， b1 > a1,b2 > a2 ；
7．若三维自由粒子的哈密顿量为 Hˆ ，试判断下述力学量组中
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北京大学2000年研究生入学考试试题
考试科目：量子力学
考试时间：2000.1.23下午 招生专业：物理系各专业
研究方向：各研究方向
指导老师 试题：
一．（20分）质量为m 的粒子，在位势
V x x V '+=)()(αδ
0<a
00
{V V =' 0
><x x 00>V
中运动，
a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；
b. 给出粒子处于x >0区域中的几率。
它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？ 二．（10分）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道耦合项） a. 给出|α>和|β>态的守恒量完全集；
b. 若0ˆˆ)(≠⋅αβr s
r f ,则|α>和|β>态的那些量子数可能是不同的，为什么？ （注：f(r)是r 的非零函数，r s ˆ,ˆ为电子的自旋和坐标算符。
）
三．（16分）三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为
)ˆˆˆˆˆˆ(ˆ1332210s s s s s s C H ⋅+⋅+⋅=
求本征值和简并度。
四．（22分）两个自旋为1/2的粒子，在),(21z z s s 表象中的表示为))((2
211βαβα，其中，
2i α是第i 个粒子自旋向上的几率，2
i β是第i 个粒子自旋向下的几率。
a. 求哈密顿量
)(ˆ21210x
y y x V H σσσσ-= 的本征值和本征函数；（V 0为一常数） b. t=0时，体系处于态121
==βα，012==βα，求
t 时刻发现体系在态
021==βα，112==βα的几率。
（注：iy ix σσ,为第i 个粒子泡利算符的x, y 分量） 五．（10分）考虑一维谐振子，其哈密顿量
)2
1(ˆ+=+a a h H ϖ，
而0],[],[==+
+a a a a ,
1],[=+a a a. 若|0〉是归一化的基态矢（a|0）=0），则第n 个激发态为
)(n n a N n +=
试求归一化因子n N ；
c. 若外加一微扰，aa a ga H +
+
='ˆ，试求第n 个激发态的能量本征值（准至g 一级）。
六．（22分）考虑体系)(ˆx V T H
+=，
∞
=Ax
x V {)(
00<>x x A>0， a. 利用变分法，取试探波函数为
2
2
22
/11)2(
)(b x e
b x -=ψπ
，
求基态能量上限；
b. 我们知道，如试探波函数为
2
2
22
/122)
1(
)(b x e b
x b x -=ψπ
，
则基态能量上限为3
/1223/12)()481(m
h A E π=。
对这两个基态的能量上限，你能接受哪一个？为什么？。