1.1.2集合间的基本关系
集合间的基本关系
1.1.2 集合间的基本关系一、子集，相等集合，真子集的概念1、子集：集合A 为集合B 的子集⇔ ，用数学语言表述是 ，用图形语言表述是：集合A 不为集合B 的子集⇔ ，用数学语言表述是 ，用图形语言表述是：2．集合相等A=B ⇔ ，用数学语言表述是 ，用图形语言表述是：3．真子集A 是B 的真子集⇔ ，用数学语言表述是 ，用图形语言表述是：4．子集与真子集的性质由上面的概念可以得到哪些结论：（1）任何集合是它本身的 ，即 ；（2）对于集合A 、B 、C ，如果,A B ⊆且,B C ⊆那么 ；（3）对于集合A 、B 、C ，如果A B ，且B C ，那么A C ；（4）空集∅是任何集合的 ，是任何非空集合的 。
思考1：分别写出集合{},{,}a a b 和{,,}a b c 的所有子集，并得出子集的个数.从中可得到什么结论？思考2：已知集合A={a ,a ＋b , a ＋2b }，B={a ,a c, a c 2}．若A=B ，求c 的值。
思考3：(1)下列表述正确的是（ ）A ．}0{=∅B ．}0{⊆∅C ．}0{⊇∅D ．}0{∈∅(2)已知集合A ＝{∅，{a}，{b}，{a ，b} }，则下列结论中正确的有 。
A ．∅∈AB ．a ∈AC ．{∅}∈AD ．{a} A二、典例例1、设(,)|1y x A x y y x ⎧=⎫⎧=⎨⎨⎬=+⎩⎩⎭，2(,)|21y x B x y y x ⎧=⎫⎧=⎨⎨⎬=-+⎩⎩⎭，判断集合A 与集合B 的关系。
例2、(1) 设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（ ）A ．P QB ．Q ⊆PC ．P =QD ．Q P(2) 若P ={y |y=x 2, x ∈R}，Q ={(x ，y )|y=x 2 , x ∈R}，则必有（ ）A ． P QB ．P=QC ．P QD .以上都不对例3、已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x ≤2p －1}．若BA ，求实数p 的取值范围。
高一数学集合间的基本关系1
1．集合的表示方法有 列举法 、描述法 ． 2．元素与集合间的关系用符号∈ 或 ∉ 表示． 3．两个集合相等是指 构成集合的元素相同 ．
1．子集、真子集、集合相等的概念
概念 子集
定义
符号表 示
如果集合A中
任意一个元素都是集
合B中的元素，就说这两个 集合有包含关系，称集合A
两集合相等
若1，a，ba＝{0，a2，a＋b}，则 a2 009＋b2010 的值为______．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①两集合都含有 3 个元素且相等． ②解答本题可从特殊元素 0 着手，结合集合 元素的特性求解．
【解析】 ∵1，a，ba＝{0，a2，a＋b}， ∴0∈1，a，ba. ∴b＝0，此时有{1，a,0}＝{0，a2，a}， ∴a2＝1，a＝±1. 当 a＝1 时，不满足互异性， ∴a＝－1. ∴a2 009＋b2 010＝－1.
不切合实际的，至此，流淌在作者心中的那份伤感就跃然纸上了。 ? 古典场景的流失，更重要的是带来了人们美学信息与精神资源的流失，作者对此产生了深切的悲痛之情。文中连续用“多少”这样的几个排比句式，罗列各种流失的古典场景，使悲痛感更具震撼力。“被硬硬撕 掉”“生生撤消”突现出古典场景被毁灭的的情景，传达出悲痛之情。“追远的绝版”“沾有他们最后的体温”说明古典场景不复存在了。古典的文学辞章变成了悲歌，让人仿佛听到了动植物凄厉的哭泣。 ? 文章的最后两个自然段以《诗经》中的诗句为例，说明古典场景的流失，人们 阅读《诗经》时，难以体验古典诗词的摄人的魅力，难以在古典诗词中引发人们的共鸣，难以真正的理解《诗经》的内涵，难以走进古典的灵魂，与古典作了永别。古典场景的流失不仅是人们审美视野的缺失，更是人们精神盛宴的缺失！面对这样的一种现状，作者一种深深的哀悼之情就 传染给了读者。 价值探讨： ? 这篇散文通过古今自然场景的对比，说明古典场景的流失给人们带来的后果是令人深思的。人类的生态环境遭受破坏，它给人类造成的危害也是不可低估的。从文学的角度来说，生态环境的破坏使现在的孩子在理解古典诗词时不能很好的了解古典诗词中优 美的场景，也难以领会诗词的真正内涵，孩子们难以真正的走进古典的灵魂。 现在的中学生，他们中有多少人去读、去理解、去思考古典诗词？而古典文化是中华民族的艺术瑰宝，是通古贯今的文化长河，中学生是传承古典文化还是置之不理，这不得不让人引起重视。因此这篇散文在 引起人们一种保护生态环境的同时还让人们多吸收古典诗词中的精髓，走进古典诗词，走进古典文化。 天使之举 ? 一位名叫朱丽娅.希尔的少女，为保护北美一株巨大的红杉树，竟然在这棵有18层楼高的树上栖居了738天，直到现在这棵树的所有者——太平洋木材公司承诺不砍该树。 ? 希尔是阿肯色州一个牧师的女儿，她曾去亲加州长途旅游，为了呼吁保护森林，她于1987年12月10日登上了这棵被称为“月亮”的红杉树。当时以为顶多只呆上3星期，不料去经历邮两年多有艰苦生活。每当冬季风暴来临，她只有一块蓝色帆布袋遮挡。她说，她永远不会把洗澡当做理所 当然遥事。 ? 当双足再次踏上泥土时，希尔终于喜极而泣。我留意到：这则消息是被某晚报排在“世间奇相”栏中编发的，与之毗邻的另一题目是《少年坐着睡觉十一年》......显然，在编辑眼里，这则消息不外乎一种“异人怪招”，是对”大千世界，无奇不有”的一种诠释。完全可 以想象，无论于编辑心态，还是看客的阅读体验，都不会找到“感动”、“审美”之类的字眼，更不用说什么启迪与效行了。有的只是一种猎奇，只是寻乐和戏谑。 ? 我为一位普通少女的心灵细腻和巨大关怀力而震撼，为这样一件小人物事迹——所包含的朴素信仰“日常意义”而惊叹。 又忍不住为自己同胞的生命粗糙与无聊而黯然。 ? 这不仅是迟钝，更是麻痹和昏迷。对植物漠不关心算什么人呢？只能算是“植物人”吧。我们有数不清的黄河探险、长江漂流、挺身西域、海湾横渡、飞越峡谷......有的甚至不惜以生命为代价.目的不外乎只有一个:为国争光,别让洋人 太抢眼。放大一点说：倡导家园主义！可我们几乎从未有过像希尔那样默默的私人之举，那样日常意义的“保卫绿色”行动......为什么？哪一个更具有生态与和平意义？ ? 显然，双方对自然的态度有“质”异：希尔“拥抱大树”所表达的一种“爱意”和“保护”；而我们的那些“飞 渡”耀示的却是一种“挑战”，一种“征服”。另外，二者的实践方式亦判然有别：如果说希尔的行为更接近于一种日常的梦想表达和自由生活方式的话，那么，我们那些被视为“壮举”的挑战，则更像一场众目睽睽下的卖力表演和做秀。即使用权万一发生了，即使某位中国少女同样扮 演了希尔的角色，又会怎样？她的同胞、朋友、亲人做何想？社会舆论和职能部门会做何反应？国人眼里，她会不会被视为疯子，癔症患者，不可理喻的臆想狂？ ? 我们没有这样的习惯：做自以为正确的事！我们同样也缺乏这样的常识和思维：尊重、维护别人（包括有临护权的子女、 着属）做自以为正确的事！父母会干预，朋友会劝阻，组织会帮教，舆论会非议，有关部门会制止......用我们熟悉的话说,叫“摆平”。即使你勉强爬上了那棵树，也呆不过三天，就会被轰下来，对付一个小丫头的“撒野”，招多着呢！说到底，此事休想做成！ ?于是，也就成了无人
1.1.2集合间的基本关系
则A, B的关系是 _A__⊇__B___
3、下列写法中，错误写法的个数是（ 3 ）
（1）{1}∈{0，1}；（2）⊆{0}；（3）0∈； （4）{0，-1，1}⊆{-1，0，1}；（5）{（0，0）}={0}
例1：已知集合A={x|1≤x<4}，B={x|x<a}，若A B.
求实数a的取值范围
将0，- 4代 入方 程x2 2(a 1)x a2 1 0，
即(02 4)22(a2(a1)01)(a24)
1
a
0 2
1
0
(2)当B A时 ， 又 可 分 为 ：
解得a 1
(a) B 时 ， 即B {0}， 或B {-4}， 即 方 程 只 有 一 个 解
4(a 1)2 4(a2 1) 0, 解 得a 1， 此 时B {0} 满足条件；
2、设集合A={x|-2≤x<1}，B={x|0≤x-a≤1}, 若B⊆A，求实数a的取值范围.
3、已知集合A={1，2}，B={x|x2-ax+(a-1)=0}， 若B⊆A，求实数a的值.
读作：“A含于B”（或B包含A） 数学语言表示形式：
若对任意x∈A，有x∈B，则 A⊆B。
若A不是B的子集，则记作：A⊈B（或B⊉A）
例：A={2，4}，B={3，5，7}； 则A⊈B。
2.图示法表示集合
A⊆B的图形语言
用平面上封闭的曲 线的内部表示集合，
这图叫Venn图
A
B
3.集合相等
等腰三角形
a≤3
变式：已知A={x|-2≤x≤5}，B={x|a+1≤x≤2a-1}， 若B⊆A.求实数a的取值范围
解 ： A，当B ， 有a 1 2a 1,即a 2 2a 1 a 1
1.1.2集合间的基本关系
任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集 合有包含关系。称集合A为集合B的子集（subset）。 记作合是它本身的子集，即Ａ Ａ
结论２ 若集合中的元素有n个，其子集个数 为2n，真子集个数为2n-1，非空真子 集个数为2n-2。
试一试
判断下列2个集合之间的关系
(1) A={1,2,4} B={X|X是8的约数}
(2) A={X|X=3k,k∊Z} B={X|X=6k,k∊Z} (3) A={X|X是4与10的公倍数,X∊N+} B={X|X=20m,m∊N+}
读作：“A含于B”（或B 包含A） 数学语言表示形式：
若对任意x∊A，有x ∊B，则 A⊆B。
A⊆B的图形语言
你能用图形形象地表示A⊆B？
用平面上封闭 的曲线的内部 代表集合，这 图叫Venn图
B
A
韦恩图
判断集合A是否为集合B的子集，若是则在 （ ）打√，若不是则在（ ）打×: ①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} ( ②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} ③A={0}, B={x x2+2=0} ( ) )
把不含有任何元素的集合叫做空集(empty set)
记作∅。
规定：空集是任何集合的子集．
即对任何集合A, 都有： A
思考
{0} 与∅有什么区别？
写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些 是它的真子集。
1.1.2集合间的基本关系
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
故事记忆法小妙招
费曼学习法
费曼学习法-简介
理查德·菲利普斯·费曼 （Richard Phillips Feynman）
费曼学习法出自著名物理学家费曼，他曾获的 1965年诺贝尔 物理学奖，费曼不仅是一名杰出的 物理学家，并且是一位伟 大的教育家，他能用很 简单的语言解释很复杂的概念，让其 他人能够快 速理解，实际上，他在学习新东西的时候，也会 不断的研究思考，直到研究的概念能被自己直观 轻松的理解， 这也是这个学习法命名的由来！
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆 规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
硬背“在复合句中，修饰某一名词或代词的从句叫做定语从句”这个概念。
3.这个步骤可以使用思维导图或流程图，可以更好加深自己的理解哦~
1.1.2集合间的基本关系
-2 = 3������ + 4, ������ = 5, 则 解得 ������-3 = 2, ������ = -2.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型五
易混易错题
易错点
空集是任何集合的子集
【例 5】 设集合 M={x|2x2- 5x-3=0},N={x|mx=1},若 N⊆M,则 m 的取值 集合为 . 错解 :集合 M= 3,时 ,m= ; 当 N= 1 3 1 2 1 2
题型二
判断集合间的关系
【例 2】 已知集合 M={x|x2+x-6=0},N={x|2x+7>0},试判断集合 M 和 N 的关系 . 分析 :先明确集合 M 和 N 中的元素 ,再依据有关的定义判断. 解 :易知 M={-3,2},N= ������ ������ > 7 7 7 2
.
∵-3>− 2,2>− 2, ∴-3∈N,2∈ N.∴M⊆ N. 又 0∈N,但 0∉M,∴ M⫋N.
探究二：
空集的概念、符号以及规定。
探究三：
关于集合间的基本关系有哪些结论？
展示小组 第4组 第5组
第 6组
评价小组 第1组 第2组 第3组
要求： 1、展示同学注意要迅速、准确、详细；非展示同学讨论完 结束后，根据讨论的情况，再补充完善； 2、评价同学注意语言简洁、思路清晰；重点点评优缺点及 总结方法规律； 3、其他同学做好笔记、认真思考，提出疑问的加倍奖分.
. 若 N⊆M,则 N={3} 或 -
1 2
, 于是当N={3}
1 3
时,m=-2.所以 m 的取值集合为 -2,
.
错因分析 :错解中由于忽视了空集是任何集合的子集,从而导致漏 掉一种情况 ,即 N=⌀.分类讨论时 ,要注意做到分类标准清晰,既不重复 又不遗漏 .
1.1.2集合间的基本关系
课堂练习
设集合A={x|1≤x≤3} B={x|xA={x|1≤x≤3}， 1 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x-a≥0} 的真子集，求实数a的取值范围。 若A是B的真子集，求实数a的取值范围。 A={1，2}，B={x|x⊆A}， 2 设A={1，2}，B={x|x⊆A}，问A与B有什 么关系？并用列举法写出B 么关系？并用列举法写出B？
3.已知A = { x | −2 ≤ x ≤ 5}, B = { x | a + 1 ≤ x ≤ 2a − 1}, B ⊆ A, 求实数a的取值范围.
∵ 解： ∅ ⊆ A， 当B = ∅，有a + 1 > 2a − 1, 即a < 2 ∴ 2 a − 1 ≥ a + 1 当B ≠ ∅时，有a + 1 ≥ -2 2 a − 1 ≤ 5 ∴2 ≤ a ≤ 3 综上所述，a的取值范围a ≤ 3.
例3、写出集合｛a, b｝的所有子集，并指出哪些是它 的真子集.
5.反馈演练 5.反馈演练
1、下列命题： 空集没有子集； 任何集合至少有两个 (1) (2) 子休； 空集是任何集合的真子集； 若∅ ⊂ A，则A ≠ (3) (4) ∅.其中正确的有( A.0个 ) D.3个 B.1个 C.2个
y-3 2.设x, y ∈ R，A = {(x, y) | y - 3 = x - 2}, B = {(x, y) | = 1}, x-2 则A，B的关系是______.
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5}; ⑵设A为新华中学高一 班女生的全体组成的集合 为新华中学高一(2)班女生的全体组成的集合 为新华中学高一 班女生的全体组成的集合, B为这个班学生的全体组成的集合 为这个班学生的全体组成的集合; 为这个班学生的全体组成的集合 是两条边相等的三角形}， ⑶ 设C＝{x|x是两条边相等的三角形 ，D={x|x是 ＝ 是两条边相等的三角形 是 等腰三角形}. 等腰三角形
1.1.2集合之间的基本关系讲义
第二讲 集合之间的基本关系【知识点】1.子集.对于集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就 说这两个集合是包含关系，集合A 为集合B 的子集。
记作()A B B A ⊆⊇或 读作A 含于B2.维恩图.用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图3.集合相等.集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等，即A =B4.真子集.如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．表示记作BA (或A B)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）． 5.空集.我们把不含任何元素的集合叫作空集.空集是任何集合的子集，且是任何非空集合的真子集.【知识点透析】1.集合的关系问题，有同学容易忽视空集这个特殊的集合，导致错解。
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
2.集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。
【例题精讲】1.用符号“⊆”、“⊇”、“∈”或“∉”填空：(1) {},,,a b c d {},a b ；(2) ∅ {}1,2,3；(3) N Q ； (4) 0 R ； (5) d {},,a b c ； (6) {}|35x x << {}|06x x <． 2. 写出集合｛a ，b ｝的所有子集，3. 说出下列每对集合之间的关系．（1）A ＝｛1，2，3，4，｝，B ＝｛3，4｝．（2）P ＝｛x ｜x 2＝1｝，Q ＝｛-1，1｝． AB（3）N ，N*．4.求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝． 判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系．5.判断集合A 与B 是否相等？(1) A ={0}，B = ∅；(2) A ={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B ={x| x =2m+1 ,m ∈Z } ；(3) A ={x| x =2m-1 ,m ∈Z }，B ={x| x =2m+1 ,m ∈Z }．4.下列各式中，正确的是（ ）Ａ．}4|{32≤⊆x x Ｂ．}4|{32≤∈x x Ｃ．}32{⊂≠}3|{≤x x Ｄ．}4|{}32{≤∈x x5.已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－１＝０｝，Ｂ＝｛－１，１｝，则Ａ、Ｂ之间的关系为___________________．6.已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．7.选用适当的符号“”或“”填空： (1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}；(2){2}_ _ {x | |x |=2}； (3){1} _∅．8.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集9.已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－２ｘ－３＝０｝，Ｂ＝｛ｘ｜a ｘ－１＝０｝，若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成 的集合Ｍ．10.已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．11.下列四个集合中，表示空集的是（ ）A.｛０｝B.},,|),{(22R y R x x y y x ∈∈-=C.},,5|||{N x Z x x x ∉∈=D.},0232|{2N x x x x ∈=-+12．已知集合，，那么（ ） （A ）（B ） （C ） （D ） 13．设，，若，则实数的取值范围是（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）【课堂练习】（一）集合与集合关系的理解 1.已知集合X 满足{}{}X X 求所有满足条件的集合,5,4,3,2,12,1⊆⊆.2.已知集合,,312,,61⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z n n x x Z z m m x x M ,612{+==p x x P }Z p ∈，则M,N,P 满足的关系是:3.已知集合{}{},,3,2,1A x x B A ⊆==求集合B.（二）空集的理解4.下列集合中：(1){0};(2{}{};)4(;)3(;,0,12φφR n x n x x ∈<+=(){}0,0)5(,是空集的为：（ ）（三）由集合之间的基本关系球参数5.若{}02=-a x x {}31<<-x x ，则a 的取值范围是（ ）6.已知集合{},01=-=ax x A 集合{},0322=--=x x x B 若A B ，求a 的值.（四）证明两集合相等.7.集合{},,12Z n n x x X ∈-=={},,14Z k k y y Y ∈±==试证明：X=Y.（五）集合与函数的综合8.设集合{}{}R x R a a x a x x B R x x x x A ∈∈=-+++=∈=+=,,01)1(2,,04222，若,A B ⊆求实数a的取值范围.9.若集合{}{}01,062=+==-+=mx x B x x x A ，且BA ，求m 的值.（六）提升拓展10.若不等式1<x 成立时，不等式[][]0)4()1(<+-+-a x a x 也成立，求a 的取值范围.【教学反思】。
1.1.2集合间的基本关系
[再练一题] 3．已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}， 若Q⊆P，那么a的取值是________．
【解析】
由题意得 P＝{－1,1}，
又因为 Q P， ①若 Q＝∅，则 a＝0，此时满足 Q⊆P； ②若 Q≠∅，则
1 Q＝ x x＝a 1 ，由题意知， ＝1 a
【解】当 M 中只有 1 个元素时，可以是{0}，{1}，{2}； 当 M 中只有 2 个元素时，可以是{0,1}，{0,2}，{1,2}． ∴所求集合 M 可以是{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}， 共有 6 个．
集合的相等
b 1，a， ＝{0，a2，a＋b}，则a2 016＋b2 015的值为( 集合 a
下列四个集合中，是空集的为( A．{0} B．{x|x>8，且x<5} C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}
)
【解析】 满足x>8且x<5的实数不存在，故{x|x>8，且x<5}＝∅. 【答案】 B
子集的性质： (1)任何一个集合是它本身的
子集
，即 A⊆A；
(2)对于集合 A，B，C，如果 A⊆B，且 B⊆C，那么 A⊆C .
1 或a＝－1，解得 a＝± 1.
综上可知，a 的取值是 0 或± 1.
【答案】 0或± 1
1.1.2集合间的基本关系
举例： (1) {a} {a, b, c} , 而a∈{a,b,c} (2) {0} , 但 0 ， {0} (3) {} ， {} 但 {}
例1.写出集合{a,b}的所有子集， 并指出那些是它的真子集.
所有子集：
{a} {b}
{a} {b}
写出集合M .
变式2：
已知集合M 满足1， 2 M 1, 2,3, 4,5 , 求集合M的个数.
你能得出怎样的结论？
变式3：
已知 x | x 1 0 A 1, 0,1 , 求 集合A的子集的个数.
2
例2.已知集合M {1,3, a}, N {1, a - a 1}, 且M N，
1.子集：
对于两个集合A和B，如果集合A的任何一个 元素都是集合B 的元素，我们就说这两个集
合有包含关系，称集合A是集合B 的子集，
记作:
A B ( 或 B A )
练习1：
判断集合A是否为集合B的子集，若是则在 （）内打 √ ，若不是，则打
(1) A 1,3,5 B 1, 2,3, 4,5, 6 (2) A 1,3,5 B 1,3, 6,9 (3) A 0 B x | x 2 2 0
2
求a的值.
例3.已知集合A x | 0 x 4 , B x | x a , 若A B, 求实数a 的取值的集合.
问：若把集合A改为A x | 0 x 4 , 结果又如何？
变式：
若集合A x | 2 x 5 , B x | m 1 x 2m 1 , 且B A, 求由m可取的值组成的集合.
则其子集个数为
课件1：1.1.2 集合间的基本关系
例题讲解
解 ∵B⊆A， (1)当 B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得 m≥2.
－3≤2m－1，
(2)当 B≠∅时，有m＋1≤4，
2m－1＜m＋1，
解得－1≤m＜2，综上得 m≥－1.
方法总结
1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个 集合．(2)借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合 在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点 值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示， 不含“＝”用空心点表示． 2．此类问题要注意对空集的讨论．
求实数 a 的值． 解 由 A＝B 及两集合元素特征，
a2－1＝0，
a＝±1，
∴
∴
a2－3a＝－2， a＝1或a＝2.
因此 a＝1，代入检验满足互异性．∴a＝1.
例题讲解
例3、 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜ m＋1}且B⊆A.求实数m的取值范围．
[思路探索] 借助数轴分析，注意B是否为空集．
新知导学
2．空集 (1)定义： 不含任何 元素的集合叫做空集． (2)符号表示为： ∅ . (3)规定：空集是任何集合的 子集 ． 3．子集的有关性质 (1)任何一个集合是它本身的 子集，即 A⊆A . (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那 么 A⊆C .
互动探究
探究点1 能否把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素 组成的集合”？ 提示 不能．这是因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不 含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有 B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B成立，所以 上述理解是错误的．
第一章 集合与函数概念
1.1.2 集合间的基本关系
新知导学
1．子集及其相关概念
1.1.2_集合间的基本关系_课件(人教A版必修1)
③从集合之间的关系看，Ø⊆{Ø}，Ø {Ø}． (2)分别写出集合{a}，{a，b}和{a，b，c}的所有子集， 通过子集个数你能得出一个规律吗？
提示：集合{a}的所有子集是Ø，{a}，共有2个子集； 集合{a，b}的所有子集是Ø，{a}，{b}，{a，b}，共 有4个，即22个子集； 集合{a，b，c}的所有子集可以分成四类：即Ø；含 一个元素的子集：{a}，{b}，{c}；含两个元素的子集{a， b}，{a，c}，{b，c}；含三个元素的子集{a，b，c}．共有 8个，即23个子集． 规律：集合{a1，a2，a3，…，an}的子集有2n个；真 子集有(2n－1)个；非空真子集有(2n－2)个．
图6 当a<1时，B＝Ф，此时B⊆A成立． 综述，当a≤2时，B⊆A.
• 类型三 集合相等及应用 • [例4] 已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}， 若A＝B，求c的值．
[解]
a＋b＝ac ①若 2 a＋2b＝ac
，消去b得a＋ac2－2ac
＝0，即a(c2－2c＋1)＝0， 当a＝0时，集合B中的三个元素相同，不满足集 合中元素的互异性， 故a≠0，c2－2c＋1＝0，即c＝1. 当c＝1时，集合B中的三个元素也相同， ∴c＝1舍去，即此时无解．
[例3]
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋
1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
－2≤m＋1 2m－1≤5
[错解] 欲使B⊆A，只需
⇒－
3≤m≤3. ∴m的取值范围是－3≤m≤3.
[错因] 空集是一个特殊的集合，是任何集合 的子集，因此需要对B＝Ø与B≠Ø两种情况分别确 定m的取值范围．
3．对于A B可以分为两类去讨论： (1)A＝Ø，(2)A≠Ø，特别注意不要遗漏A＝Ø的 情况。在解决子集的有关问题时，常常需要数形结 合，借助于数轴，通过图示找到相应的关系式，从而 使问题获得解决．
人教版必修一1.1.2集合间的基本关系(共15张PPT)
三、知识应用
1、区分∅与{0}，0，会用正确符号写出他们的关系。
2、能画出对应集合之间的Venn图。
3、①A={x|-3<x<5} B={x|x<a} ,若A B,则实数a的取
值范围。
三、知识应用
②A={x|x2+x-6=0},B={y|ay+1=0},若B A,则a可取的
值有哪些？
三、知识应用
例 写出集合{a，b}的所有子集，来自指出哪些是它的 真子集.解：集合{a，b}的所有子集为ø，{a}，{b}，{a，b}. 真子集为 ø,{a}，{b}.
写出它的非空子集及非空真子集。
例：写出集合{a，b，c}的所有子集. 解：集合{a，b，c}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a， b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}.
注意：含有n个元素集合的子集数为2n，真子集数为 2n-1，非空真子集数为2n-2.解题时可以依据上面的结 论检验解答正确与否.
二、基础练习
1 用适当的符号填空：
1) a____{a，b，c}； 2) 0____{x|x2=0}； 3) ∅ ____{x∈R|x2+1=0}； 4) {0，1} ____N； 5) {0} ____{x|x2=x}； 6) {2，1} ____{x|x2-3x+2=0}.
为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路 遥知马力，日久见人心！ 天气影响身体，身体决定思想，思想左右心情。 别太注重自己和他人的长相，能力没写在脸上。如果你不是靠脸吃饭，关注长相有个屁用！ 一个今天胜过两个明天。 当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 种子牢记着雨滴献身的叮嘱，增强了冒尖的气。 年轻是我们唯一拥有权利去编织梦想的时光。 大器不必晚成，趁着年轻，努力让自己的才能创造最大的价值。 如果你看到面前的阴影，别怕，那是因为你的背后有阳光。 要想成为强乾，决不能绕过挡道的荆棘也不能回避风雨的冲刷。 如果敌人让你生气，那说明你没有胜他的把握。 掉进知识情网中的人，时时品尝着知识的甜蜜。 永远不要埋怨你已经发生的事情，要么就改变它，要么就安静的接受它。
1.1.2 集合间的基本关系
1．1.2 集合间的基本关系一、子集1、定义：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含包含关系，称集合A 为集合B 的子集2、记法与读法：记作B A ⊆(或A B ⊇)，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)3、结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆.(2)对于集合A ，B ，C ，若A ⊆B ，且B ⊆C ，则C A ⊆4、对子集概念的理解(1)集合A 是集合B 的子集的含义是：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A 能推出x ∈B .例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．(2)如果集合A 中存在着不是集合B 的元素，那么集合A 不包含于B ，或B 不包含A .此时记作A B 或B ⊉A .(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N.而不能写成{0}∈N ，“∈”只能用于元素与集合之间．如0∈N ，而不能写成0⊆N.二、集合相等1、集合相等的概念如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B )，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A )，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作B A =.2、对两集合相等的认识(1)若A ⊆B ，又B ⊆A ，则A ＝B ；反之，如果A ＝B ，则A ⊆B ，且B ⊆A .这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A ＝B ，只需证A ⊆B 与B ⊆A 同时成立即可．(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.三、真子集1、定义：如果集合A ⊆B ，但存在元素A x ∈，且B x ∈，我们称集合A 是集合B 的真子集2、记法与表示：3、对真子集概念的理解(1)在真子集的定义中，A B 首先要满足A ⊆B ，其次至少有一个x ∈B ，但x ∉A .(2)若A 不是B 的子集，则A 一定不是B 的真子集.四、空集1、定义：我们把不含任何元素的集合，叫做空集2、记法：∅3、规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A4、特性：(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A ≠∅，则∅真包含A5、∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合，∅{0}．题型一、集合间关系的判断例1、(1)下列各式中，正确的个数是( B )①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0} A．1B．2 C．3 D．4题型二、有限集合子集的确定例2(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是()A．6 B．7 C．8 D．9(2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．[解析](1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B.(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集．(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．[活学活用]非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．解析：由“若a∈S，则6－a∈S”知和为6的两个数都是集合S中的元素，则()集合S中含有1个元素：{3}；集合S中含有2个元素：{2,4}，{1,5}；集合S中含有3个元素：{2,3,4}，{1,3,5}；集合S中含有4个元素：{1,2,4,5}；集合S中含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合S共有7个．题型三、集合间关系的应用例3、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．[解]当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为a <－4或a >2.[活学活用]1、已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a}．又∵B ＝{x |－1<x <1}且A ⊆B ， 如图作出满足题意的数轴：∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1a≥－1，2a ≤1，∴a ≥2. (3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a } ∵A ⊆B ，如图所示， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，2a≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥2或a ≤－2}．2、已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0，－4}．(1)当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实根，则Δ<0，即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0.∴a <－1.(2)当B ＝{0}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－1＝0，∴a ＝－1.(3)当B ＝{－4}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－8a ＋7＝0，无解． (4)当B ＝{0，－4}时，由韦达定理得a ＝1.综上所述，a ＝1或a ≤－1.课堂练习1．给出下列四个判断：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中，正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由空集的性质可知，只有④正确，①②③均不正确．答案：B2．已知A ＝{x |x 是菱形}，B ＝{x |x 是正方形}，C ＝{x |x 是平行四边形}，那么A ，B ，C 之间的关系是 ( B )A ．A ⊆B ⊆C B ．B ⊆A ⊆C C ．A B ⊆CD ．A ＝B ⊆C3．已知集合A ＝{－1,3，m}，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.解析 ：∵B ⊆A ，B ＝{3,4}，A ＝{－1,3，m}∴m ∈A ，∴m ＝4.答案：44．集合A ＝{x|0≤x<3且x ∈N}的真子集的个数为________．解析：由题意得A ＝{0,1,2}，故集合A 有7个真子集．答案：75．已知集合A ＝{x|1≤x ≤2}，B ＝{x|1≤x ≤a}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：(1)若A 是B 的真子集，即A B ，故a>2.(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，则a ≤2.(3)若A ＝B ，则必有a ＝2.课时跟踪检测(三) 集合间的基本关系一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间最适合的关系是( )A ．A ⊆BB ．A ⊇BC ．A BD ．A B2．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合是集合M 的子集的为( )A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤3，x∈N}3．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是( ) A．1 B．－1C．1或－1 D．0,1或－14．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( ) A．6 B．5C．4 D．35．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么( ) A．P M B．M PC．M＝P D．M P二、填空题6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．7．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A为________；B为________；C为________；D为________．8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．三、解答题9．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a组成的集合C.10．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A⊇B，求m的取值范围．答 案课时跟踪检测(三)1．选D 显然B 是A 的真子集，因为A 中元素是3的整数倍，而B 的元素是3的偶数倍．2．选D 先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，集合S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而集合S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且S M .故选D.3．选D 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，a ＝1或a ＝－1.4．选A 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.5．选C ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y <0，xy >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，y <0. ∴M ＝P .6．解析：∵y ＝(x －1)2－2≥－2，∴M ＝{y |y ≥－2}．∴N M .答案：N M7．解析：由Venn 图可得AB ，CD B ，A 与D 之间无包含关系，A 与C 之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A 为小说，B 为文学作品，C 为叙事散文，D 为散文．答案：小说 文学作品 叙事散文 散文8．解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根．当a ＝0时，方程化为2x ＝0，∴x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意．当a ≠0时，Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1，∴a ＝±1.此时A ＝{－1}，或A ＝{1}，符合题意．∴a ＝0或a ＝±1.答案：{0,1，－1}9．解：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1，或x ＝2.∴A ＝{1,2}．∵B ⊆A ，∴对B 分类讨论如下：(1)若B ＝∅，即方程ax －2＝0无解，此时a ＝0.(2)若B ≠∅，则B ＝{1}或B ＝{2}．当B ＝{1}时，有a －2＝0，即a ＝2；当B ＝{2}时，有2a －2＝0，即a ＝1.综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}．10．解：化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当m ≤－2时，B ＝∅⊆A ；②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥－22m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，知m 的取值范围是：{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．。
1.1.2集合间的关系
(3)方法一:对于集合M,其组成元素是 n ,分子部分表示
2
所有的整数;
1 2n 1 而对于集合N,其组成元素是 n＝ 分子部分表示 ， 2 2
所有的奇数. 由真子集的概念知,N M.
方法二:用列举法表示集合如下:
3 1 1 3 5 M＝， ， 1， ， 0， ， 1， ，， 2 ， ， 2 2 2 2 2 3 1 1 3 5 N＝， ， ，，，， ， 2 2 2 2 2
类型三
由集合间的包含关系求参数
【典例】已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1<x<m}(m>1), 且B⊆A,则实数m的取值范围是________ .
【解题探究】本例中应如何分析连续数集之间的包含 关系? 提示:对于两个连续数集可用数轴分析法通过画数轴来 分析它们之间的包含关系.
【解析】由于B⊆A,结合数轴分析可知,m≤4, 又m>1,所以1<m≤4.
C.7个
【解析】选D.因为A={-1,0,1}共3个元素,故集合A共 有23=8个子集.
2.(2016·钦州高一检测)集合S={a,b},含有元素a的S 的子集共有 A.1个 ( ) C.3个 D.4个
B.2个
【解析】选B.集合S={a,b}的子集共有∅,{a},{b}, {a,b}4个,含有元素a的有2个.
【补偿训练】已知集合M={x∈Z|1≤x≤m},若集合M有 4个子集,则实数m=________. 【解题指南】根据题意,由集合的子集与其元素数目的 关系,可得M中有2个元素,结合题意,由M中元素的特点, 可得m的值,即可得答案.
【解析】根据题意,集合M有4个子集,则M中有2个元素, 又由M={x∈Z|1≤x≤m},其元素为大于等于1而小于等 于m的全部整数,则m=2. 答案:2
1[1].1.2集合间的基本关系
![1[1].1.2集合间的基本关系](https://img.taocdn.com/s3/m/1e5631051711cc7931b716b9.png)
1. 观察下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？
(1) A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5} （2) A={所有矩形}， B={所有平行四边形}. （3)A={海南第二中学高一（7）班女生}.
B={海南第二中学高一（7）班学生}, （4）C={ x| x 是两条边相等的三角形}
D={ x| x 是等腰三角形}
你能举出几个空集的例子吗？
注意： {0}的集合不是空集，它是有一个 元素“0”的集合，因此，φ {0}，同时， 0不是空集的元素，空集不含任何元素。
0φ，0∈{0}，0 ≠φ
包含关系{a} A与a∈A有什么区别？试结合实例作出 解释。
6.集合间包含关系的传递性
由上述集合之间的基本关系，可得到下面结论：
思考：A B与B A能否同时成立？
3．课堂练习
1.写出集合{a，b，c}的所有子集
集合{a,b,c}的所有子集为φ，{a}，{b}， {c},{a,b}，
{a,c}，{b,c}， {a,b,c} 2.用适当的符号填空
（1）a∈{a,b,c}(2)0∈{xx²=0} (3)φ = {x∈Rx²+1=0}
高一数学（必修1） 1.1.2 集合间的基本关系
温故知新
上一节我们学习了集合的含义与表示,记住的知识点: (1)元素: 研究对象的统称． (2)集合: 一些元素组成的总体。 (3)集合的性质: 确定性、互异性、无序性． (4)元素与集合的关系: 属于或不属于 (5)集合的表示方法: 列举法、描述法、图示法 (6)集合相等: 构成两个集合中的元素是一样的。
读做“A含于B”“或B包含A”
指出： AB有两种可能：（1）A是B的一部分，（2）A、
B表示同一个集合
1.1.2集合间的基本关系
Q
R
Q
?
R
A={x|x是高一（5）班的女生}， B={x|x是高一（5）班的学生} A
? B
探究
观察下面几组集合， 集合 A 与集合 B 具有什么关系？ (1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}． (2)A＝{x|x＞3}，B＝{x|3x－6＞0}． (3)A＝{x|x 是正方形}，B＝{x|x 是平行四边形}．
练2. 用符号“∈”或“ ”
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
填空： ∈ 3.14_______Q π_______Q ∈ 0_______N 0_______N+ ∈ (-0.5)0_______Z ∈ 2_______R
练3.试写出下列集合中的所有元素
2
请用正确的符号填空
2 a 0
[答案]
(1)a≤3
(2)a≥3
(3)a>3
(4)3
已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}
(1)若B⊆A，则a的取值范围是________； (2)若A⊆B，则a的取值范围是________；
(3)若A B，则a的取值范围是________；
(4)若A＝B，则a的值是________．
记作AB，或BA.
例2
(1)写出集合{3}和集合{3，5}的所有子集， 并分别指出哪些是真子集;
(2)写出集合{a,b,c}的所有子集;
你发现了什么规律吗？
结论：当一个集合有N个元素的时候， 其子集有 2 个。真子集有几个呢？ n 2 1
n
例3 写出满足 {1, 2} A {1, 2,3, 4} 的所有集 合A. {1，2}，{1，2，3}，{1，2，3，4}
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1.1.2 集合间的基本关系尊敬的各位评委、老师，大家好！我叫樊丽霞，今天我说课的内容是《普通高中课程标准实验教科书•数学》必修一第一章集合与函数概念第一节集合的第二小节集合间的基本关系。
我尝试利用新课标的理念来指导教学，对于本节课，我将以“教什么，怎么教，为什么这样教”为思路，从教材分析、目标分析、教法分析、教学过程分析和板书分析五个方面来谈谈我对教材的理解和教学的设计，敬请各位专家、评委批评指正。
一、说教材集合语言是现代数学的基本语言，高中数学将其作为一种语言来学习。
《集合与函数》是高中数学必修一第一章的主要内容，而《集合间的基本关系》是本章的第一节的第二部分，是继学习了元素与集合的关系后的一个重要内容，它对后续内容----集合的基本运算起到了铺垫的作用，在集合的有关计算中，可以用子集和真子集来解决相关参数的取值问题。
同时在这一部分内容的学习中，也体现了分类讨论的数学思想，因此，这部分内容在本章中有重要的作用。
二、说教法本节课的主要内容是子集与真子集涵义的认识与理解，在课堂教学中，结合5组引例，让学生观察两集合间的元素特征，初步认识这种包含关系。
从数学概念的关键词上加以强调说明。
并通过例子讲解认识子集的本质，突出本节课的主要内容。
结合数学练习把握并尝试应用数学符号来反映这一关系，体现数学语言与符号语言的转换与一致。
在难点的处理上，通过分组与分层次的练习，让学生进一步认识属于符号与包含符号的区别以及各自的作用，同时引导学生把握考查的元素与集合还是集合与集合的关系，尽早培养学生审题、解题的能力与方法引导。
三、说学习目标（一）、知识与技能1.了解集合间包含关系的意义.2.理解子集、真子集的概念和意义.3.会判断简单集合的相等关系.（二）、过程与方法1.观察、分析、归纳.2.数学化表示日常问题.3.提高学生的逻辑思维能力，培养学生等价和化归的思想方法.（三）情感态度与价值观1.培养数学来源于生活，又为生活服务的思维方式.2.个体与集体之间，小集体构成大社会的依存关系.3.发展学生抽象、归纳事物的能力，培养学生辩证的观点.学习重点：子集、真子集的概念.学习难点：元素与子集，属于与包含间的区别；空集是任何非空集合的真子集的理解.教具准备：中国地图、多媒体、胶片.四、教学过程一、创设情景，引入新课师：今天我们先来看一看中国地图，先看河南省区域在什么地方？再看一看中国的区域.请问：河南省的区域与中国的区域有何关系？生：河南省的区域在中国区域的内部.师：如果我们把河南省的区域用集合A来表示，中国的区域用集合B来表示，则会发现集合A在集合B内，即集合A中的每一个元素都在集合B内.再看一看下面两个集合之间的关系（投影胶片，胶片上可以用一组人群表示）A=｛x|x为河南人｝，B=｛x|x为中国人｝，生：河南人是中国人.师：我说的是从集合的角度看是什么关系？生：集合A中的元素都是集合B中的元素.师：说得对，再来看一看下面给出的集合A中的元素与集合B中的元素有什么关系？（1）A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝；（2）设A为海门中学高一（2）班女生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；（3）设C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}.生：均有集合A中的元素都是集合B中的元素.由此引出子集的概念.二、讲解新课1.子集对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B ⊇A）.读作“A含于B”（或“B包含A”）.其数学语言的表示形式为：若对任意的x∈A，有x∈B，则A⊆B.——为判别A是B的子集的方法之一.很明显：N⊆Z，N⊆Q，R⊇Z，R⊇Q.若A不是B的子集，则记作A B（或B A）.读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）.例如，A=｛2，4｝，B=｛3，5，7｝，则A B.2.图示法表示集合（1）Venn图在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图（必要时还可以用小写字母分别定出集合中的某些元素）.由此，A⊆B的图形语言如下图.BA（2）数轴在数学中，表示实数取值范围的集合，我们往往借助于数轴直观地表示.例如｛x|x＞3｝可表示为又如｛x|x≤2｝可表示为还比如｛x|－1≤x＜3＝可表示为3.集合相等对于C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}，由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形，因此，集合C、D都是由所有等腰三角形组成的集合，即集合C中任何一个元素都是集合D中的元素.同时，集合D中任何一个元素也都是集合C中的元素.这样，集合D的元素与集合C的元素是一样的.我们可以用子集概念对两个集合的相等作进一步的数学描述.如果集合A是集合B的子集（A⊆B），且集合B是集合A的子集（B⊆A），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B.事实上，A⊆B，B⊆A⇔A=B.上述结论与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a=b”相类比，同学们有什么体会?4.真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A B（或B A）.例如，A=｛1，2｝，B=｛1，2，3｝，则有A B.子集与真子集的区别就在于“A B”允许A=B或A B，而“A B”是不允许“A=B”的，所以若“A⊆B”，则“A B”不一定成立.5.空集我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A.例如｛x|x2+1=0，x∈R｝，｛边长为3，5，9的三角形｝等都是空集.可以让同学们列举多个生活中空集的例子.空集是任何非空集合的真子集，即若A≠∅，则∅ A.6.子集的有关性质（1）A⊆A；（2）A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；A B，B C⇒A C.7.例题讲解【例1】写出集合｛a，b｝的子集.解：∅，｛a｝，｛b｝，｛a，b｝.方法引导：写子集时先写零个元素构成的集合，即∅，然后写出一个元素构成的集合，再写两个元素构成的集合，依此类推.师：请写出｛a，b，c｝的所有子集.生：∅，｛a｝，｛b｝，｛c｝，｛a，b｝，｛a，c｝｛b，c｝，｛a，b，c｝.师：写出｛a｝的子集.生：∅，｛a｝.师：∅的子集是什么？生：∅.师：我们可以列一个表格（板演），先猜一猜4个元素集合的子集个数是多少？生：16个.师：从上面写出的集合子集我们可以看出集合的子集个数与集合的元素个数之间有什么关系？换句话：你能否猜想n个元素集合的子集共有多少个子集？生：2n个.师：猜得很好.因为我们所学知识还不能证明这个结论，要等到高二学过排列、组合知识后就可以证明了，有兴趣的同学可以自己先学.【例2】写出不等式x－3＞2的解集并进行化简（即化成直接表明未知数本身的取值范围的解集）.解：不等式x－3＞2的解集是{x|x－3＞2}={x|x＞5}.【例3】在以下六个写法中，错误写法的个数是①｛0｝∈｛0，1｝②∅｛0｝③｛0，－1，1｝⊆｛－1，0，1｝④0∈∅⑤Z=｛全体整数｝⑥｛（0，0）｝=｛0｝A.3B.4C.5D.6思路分析：①中是两个集合的关系，不能用“∈”；④ 表示空集，空集中无任何元素，所以应是0∉∅；⑤集合符号“｛｝”本身就表示全体元素之意，故此“全体”不应写；⑥等式左边集合的元素是平面上的原点，而右边集合的元素是数零，故不相等.只有②和③正确.故选B.【例4】已知A=｛x|x=8m+14n，m、n∈Z｝，B=｛x|x=2k，k∈Z｝，问：（1）数2与集合A的关系如何?（2）集合A与集合B的关系如何?师：元素与集合之间、集合与集合之间分别用什么符号连接?生：元素与集合之间用“∈”或“∉”连接，集合与集合之间用“⊆”“”“=”或“”等连接.师：本问题的第（1）问给了我们什么启示?生：要判别2是否属于A，只需考虑2能否表示成8m+14n的形式，若能写成8m+14n的形式，则说明2∈A，否则2∉A.师：很好.现在的问题是2能否写成8m+14n的形式?生：能，并且可以有多种写法，比如：2=8×2+14×（－1），且2∈Z，－1∈Z，2=8×（－5）+14×3，且－5∈Z，3∈Z等.所以2∈A.师：我们从第（2）问中读到了什么?生：判定两个集合A、B的关系，应优先考察它们的包含关系.对于本题，我们的思考是A⊆B 成立吗?B⊆A成立吗?如果两个方面都成立，则A=B；如果只有一个方面成立，则应考虑是否是真子集；如果两个方面都不成立，则两集合不具备包含关系.师：回答得很好，问题是如何判别A⊆B?生：用定义法.任取x∈A，只要能够证明x∈B，则A⊆B就成立了.师：好，现在我们一起解决问题（2）.生：任取x0∈B，则x0=2k，k∈Z.∵2k=8×（－5k）+14×3k，且－5k∈Z，3k∈Z，∴2k∈A，即B ⊆A.任取y0∈A，则y0=8m+14n，m、n∈Z，∴y0=8m+14n=2（4m+7n），且4m+7n∈Z.∴8m+14n∈B，即A⊆B.由B ⊆A且A⊆B，∴A=B.师：对于本题我们能够得到A=B，现在的问题是在集合有关问题中如何证明两个集合相等? 生1：欲证A=B，根据定义，只需证A⊆B，且B ⊆A即可.生2：如果A、B是元素较少的有限集合，也可用穷举法判别它们相等.师：很好，两位同学的方法加以组合，判别两个集合相等的方法就完美了.由此，平时的学习中，只要敢于探究，善于探究，我们一定能挖掘出自身的潜能，使自己的学习永远立于不败之地，这对我们今后的学习和工作将十分有益.三、课堂练习教科书P8练习题2答案：（1）∈ （2）∈ （3）＝ （4） （5） （6）＝四、课堂小结1.本节学习的数学知识：子集、集合相等、真子集、子集的性质.2.本节学习的数学方法：归纳的思想、定义法、穷举法.五、布置作业1.教科书P8练习题3.2.教科书P13习题1.1 A 组第5题.3.满足条件{1，2} M ⊆{1，2，3，4，5}的集合M 的个数是A.3B.6C.7D.8 4.已知集合A=｛x ，xy ，1-xy ｝，B=｛0，|x|，y ｝，A=B ，求实数x 、y 的值.5.已知M ⊆｛1，2，3，4，5｝，且a ∈M 时，也有6－a ∈M ，试求集合M 所有可能的结果.6.若a 、x ∈R ，A=｛2，4，x2－5x+9｝，B=｛3，x2+ax+a ｝，C=｛x2+（a+1）x －3，1｝，求：（1）使A=｛2，3，4｝的x 的值；（2）使2∈B ，BA 的a 、x 的值；（3）使B=C 的a 、x 的值.五、板书设计1.1.2 集合间的基本关系子集 Venn 图集合相等 真子集空集子集的性质例1 例2例3 例4课堂练习。