数学：集合间的基本关系
集合之间的基本关系 -回复
集合之间的基本关系 -回复
1. 包含关系：集合A包含集合B，表示B中的元素都属于A，用符号表示为B ⊆ A。
2. 相等关系：集合A与集合B相等，表示A和B拥有完全相同的元素，用符号表示为
A = B。
3. 真包含关系：集合A真包含集合B，表示A包含B且A与B不相等，用符号表示为
B ⊂ A。
4. 交集关系：集合A与集合B的交集，表示A和B中共有的元素的集合，用符号表示为A ∩ B。
5. 并集关系：集合A与集合B的并集，表示A和B所有元素的集合，用符号表示为A ∪ B。
6. 差集关系：集合A与集合B的差集，表示A中除去与B共有的元素剩下的元素的集合，用符号表示为A - B。
7. 对称差集关系：集合A与集合B的对称差集，表示A和B中除去共有的元素，剩下的元素的集合，用符号表示为A △ B。
8. 互斥关系：集合A与集合B互斥，表示A和B没有共有的元素，用符号表示为A ∩
B = ∅。
9. 子集关系：集合A是集合B的子集，表示A中的所有元素都属于B，用符号表示为
A ⊆ B。
10. 空集关系：空集是任何集合的子集，用符号表示为∅⊆ A。
高一数学集合间的基本关系1
1．集合的表示方法有 列举法 、描述法 ． 2．元素与集合间的关系用符号∈ 或 ∉ 表示． 3．两个集合相等是指 构成集合的元素相同 ．
1．子集、真子集、集合相等的概念
概念 子集
定义
符号表 示
如果集合A中
任意一个元素都是集
合B中的元素，就说这两个 集合有包含关系，称集合A
两集合相等
若1，a，ba＝{0，a2，a＋b}，则 a2 009＋b2010 的值为______．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①两集合都含有 3 个元素且相等． ②解答本题可从特殊元素 0 着手，结合集合 元素的特性求解．
【解析】 ∵1，a，ba＝{0，a2，a＋b}， ∴0∈1，a，ba. ∴b＝0，此时有{1，a,0}＝{0，a2，a}， ∴a2＝1，a＝±1. 当 a＝1 时，不满足互异性， ∴a＝－1. ∴a2 009＋b2 010＝－1.
不切合实际的，至此，流淌在作者心中的那份伤感就跃然纸上了。 ? 古典场景的流失，更重要的是带来了人们美学信息与精神资源的流失，作者对此产生了深切的悲痛之情。文中连续用“多少”这样的几个排比句式，罗列各种流失的古典场景，使悲痛感更具震撼力。“被硬硬撕 掉”“生生撤消”突现出古典场景被毁灭的的情景，传达出悲痛之情。“追远的绝版”“沾有他们最后的体温”说明古典场景不复存在了。古典的文学辞章变成了悲歌，让人仿佛听到了动植物凄厉的哭泣。 ? 文章的最后两个自然段以《诗经》中的诗句为例，说明古典场景的流失，人们 阅读《诗经》时，难以体验古典诗词的摄人的魅力，难以在古典诗词中引发人们的共鸣，难以真正的理解《诗经》的内涵，难以走进古典的灵魂，与古典作了永别。古典场景的流失不仅是人们审美视野的缺失，更是人们精神盛宴的缺失！面对这样的一种现状，作者一种深深的哀悼之情就 传染给了读者。 价值探讨： ? 这篇散文通过古今自然场景的对比，说明古典场景的流失给人们带来的后果是令人深思的。人类的生态环境遭受破坏，它给人类造成的危害也是不可低估的。从文学的角度来说，生态环境的破坏使现在的孩子在理解古典诗词时不能很好的了解古典诗词中优 美的场景，也难以领会诗词的真正内涵，孩子们难以真正的走进古典的灵魂。 现在的中学生，他们中有多少人去读、去理解、去思考古典诗词？而古典文化是中华民族的艺术瑰宝，是通古贯今的文化长河，中学生是传承古典文化还是置之不理，这不得不让人引起重视。因此这篇散文在 引起人们一种保护生态环境的同时还让人们多吸收古典诗词中的精髓，走进古典诗词，走进古典文化。 天使之举 ? 一位名叫朱丽娅.希尔的少女，为保护北美一株巨大的红杉树，竟然在这棵有18层楼高的树上栖居了738天，直到现在这棵树的所有者——太平洋木材公司承诺不砍该树。 ? 希尔是阿肯色州一个牧师的女儿，她曾去亲加州长途旅游，为了呼吁保护森林，她于1987年12月10日登上了这棵被称为“月亮”的红杉树。当时以为顶多只呆上3星期，不料去经历邮两年多有艰苦生活。每当冬季风暴来临，她只有一块蓝色帆布袋遮挡。她说，她永远不会把洗澡当做理所 当然遥事。 ? 当双足再次踏上泥土时，希尔终于喜极而泣。我留意到：这则消息是被某晚报排在“世间奇相”栏中编发的，与之毗邻的另一题目是《少年坐着睡觉十一年》......显然，在编辑眼里，这则消息不外乎一种“异人怪招”，是对”大千世界，无奇不有”的一种诠释。完全可 以想象，无论于编辑心态，还是看客的阅读体验，都不会找到“感动”、“审美”之类的字眼，更不用说什么启迪与效行了。有的只是一种猎奇，只是寻乐和戏谑。 ? 我为一位普通少女的心灵细腻和巨大关怀力而震撼，为这样一件小人物事迹——所包含的朴素信仰“日常意义”而惊叹。 又忍不住为自己同胞的生命粗糙与无聊而黯然。 ? 这不仅是迟钝，更是麻痹和昏迷。对植物漠不关心算什么人呢？只能算是“植物人”吧。我们有数不清的黄河探险、长江漂流、挺身西域、海湾横渡、飞越峡谷......有的甚至不惜以生命为代价.目的不外乎只有一个:为国争光,别让洋人 太抢眼。放大一点说：倡导家园主义！可我们几乎从未有过像希尔那样默默的私人之举，那样日常意义的“保卫绿色”行动......为什么？哪一个更具有生态与和平意义？ ? 显然，双方对自然的态度有“质”异：希尔“拥抱大树”所表达的一种“爱意”和“保护”；而我们的那些“飞 渡”耀示的却是一种“挑战”，一种“征服”。另外，二者的实践方式亦判然有别：如果说希尔的行为更接近于一种日常的梦想表达和自由生活方式的话，那么，我们那些被视为“壮举”的挑战，则更像一场众目睽睽下的卖力表演和做秀。即使用权万一发生了，即使某位中国少女同样扮 演了希尔的角色，又会怎样？她的同胞、朋友、亲人做何想？社会舆论和职能部门会做何反应？国人眼里，她会不会被视为疯子，癔症患者，不可理喻的臆想狂？ ? 我们没有这样的习惯：做自以为正确的事！我们同样也缺乏这样的常识和思维：尊重、维护别人（包括有临护权的子女、 着属）做自以为正确的事！父母会干预，朋友会劝阻，组织会帮教，舆论会非议，有关部门会制止......用我们熟悉的话说,叫“摆平”。即使你勉强爬上了那棵树，也呆不过三天，就会被轰下来，对付一个小丫头的“撒野”，招多着呢！说到底，此事休想做成！ ?于是，也就成了无人
集合间的基本关系及运算
1.2集合间的基本关系及运算【知识要点】1、子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.2、集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A=B。
3、真子集：如果A⊆B，且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集,A⊂≠B.4、设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作C AS5、元素与集合、集合与集合之间的关系6、有限集合的子集个数（1）n个元素的集合有n2个子集（2）n个元素的集合有n2-1个真子集（3）n个元素的集合有n2-1个非空子集（4）n个元素的集合有n2-2个非空真子集7、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫A与B的交集，记作A⋂B。
8、并集：由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合称为A与B的并集，记A⋃B。
9、集合的运算性质及运用【知识应用】1.理解方法：看到一个集合A里的所有元素都包含在另一个集合里B，那么A就是B的子集，也就是说集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A能推出x∈B。
【J】例1.指出下列各组中集合A与集合B之间的关系（1）A={-1,1}，B=Z（2）A={1,3,5,15}，B={x|x是15的正约数}【L】例2.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A，求实数m取值范围。
【C】例3.已知集合A⊆{0,1,2,3}，至少有一个奇数，这样的集合A的子集有几个，请一一写出。
2.解题方法：证明2个集合相等的方法：（1）若A、B两个集合是元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，比较之或者看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两集合相等。
（2）利用集合相等的定义证明A⊆B,且B⊆A，则A=B.【J】例1.下列各组中的两个集合相等的有（）（1）P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1)，n∈Z}（2）P={x|x=2n-1,n∈N+},Q={x|x=2n+1,n∈N+}(3)P={x|2x -x=0},Q={x|x=1(1)2n +-,n ∈Z}【L 】例2.已知集合A={x|x=12k π+4π，k ∈Z}，B={x|x=14k π+2π,k ∈Z},判断集合A 与集合B 是否相等。
高中数学重点知识点：集合间的基本关系
高中数学重点知识点：集合间的基本关系高中频道的编辑就为您准备了高中数学重点知识点：集合间的基本关系知识点概述本节包括集合的概念、集合元素的特性、集合的表示方法、常见的特殊集合、集合的分类和集合间的基本关系等知识点，除了集合的表示方法中的描述法较难理解，其它的都多是好理解的知识，只需加强记忆。
知识点总结方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算1.包含关系子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A记作AB 或BA2.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集3.相等关系(55，且55，则5=5)实例：设A={xx2-1=0}B={-11}元素相同结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B常见考点考法集合是学习函数的基础知识，在段考和高考中是必考内容。
在段考中多考查集合间的子集和真子集关系，在高考中也是不可少的考查内容，多以选择题和填空题的形式出现，经常出现在选择填空题的前几小题，难度不大。
主要与函数和方程、不等式联合考查的集合的表示方法和集合间的基本关系。
常见误区提醒1.集合的关系问题，有同学容易忽视空集这个特殊的集合，导致错解。
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
2.集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。
3.集合的运算注意端点的取等问题。
最好是直接代入原题检验。
4.集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征，尤其是确定性和互异性。
在解题中，要注意把握与运用，例如在解答含有参数问题时，千万别忘了检验，否则很可能会因为不满足互异性而导致结论错误。
只要大家用心学习，认真复习，就有可能在高中的战场上考取自己理想的成绩。
的编辑为大家带来的高中数学重点知识点：集合间的基本关系，希望能为大家提供帮助。
集合间的基本关系
集合间的基本关系知识点总结一、子集、真子集、集合相等二、空集1、定义：不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.2、性质：空集是任何集合的子集.三、子集个数与元素个数的关系设有限集合A 有n （n 属于*N ）个元素，则其子集的个数是n 2，真子集的个数是12-n ，非空子集的个数是12-n ，非空真子集的个数是22-n .一、知识辨析1、} 3 ,2 ,1 {1⊆...........................................（ ）2、φ和{φ}表示的意义相同...............................（ ）3、} )1 ,0( {} 0 ,1 {} 1 ,0 {==..................................（ ）4、任何集合都有子集和真子集.............................（ ）5、若a ∈A ，则}{a ⫋A.....................................（ ）6、如果集合A B ⊆，那么若元素a 不属于A ，则必不属于B.....（ ） 二、选择1、已知集合} | {是菱形x x A =，} | {是正方形x x B =，} | {是平行四边形x x C =，那么A ，B ，C 之间的关系是 （ ）A.C B A ⊆⊆B.C A B ⊆⊆C.A ⫋B ⊆CD.C B A ⊆=2、给出下列四个关系式：①R ∈3；②Z ∈Q ；③0∈φ；④φ⊆} 0 {.其中正确的个数是 （ ）A.1B.2C.3D.43、能正确表示集合} 20| {≤≤∈=x R x M 和集合} 0x -| {2=∈=x R x N 关系的Venn 图是 （ ）A B C D4、已知集合} ,2| {Z k k x x A ∈==，} ,4| {Z k k x x B ∈==，则A 与B 之间的关系是（ ） A.A=B B.B ⊇A C.A ⫋B D.B ⫋A5、已知集合} 03| {*＜-∈=x N x A ，则满足条件A B ⊆的集合B 的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.86、已知集合} 2 ,1 ,0 {⊆A ，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为 （ ） A.6 B.5 C.4 D.37、集合} , {y x 的子集个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.48、在下列选项中，能正确表示集合} 2 ,0 ,2 {-=A 和集合} 02| {2=+=x x x B 关系的是 （ ） A.A=B B.B A ⊇ C.B A ⊆ D.B A =φ 9、集合} 1 ,2 {-=A ，} 1 ,m {2--=m B ，且A=B ，则实数m=（ ） A.2 B.-1 C.2或-1 D.410、已知集合} 0y ,0y |y)(x, {＞＜x x M +=，} 0y ,0|),( {＜＜x y x P =，那么 （ ） A.P ⫋M B.M ⫋P C.M=P D.M ≠P11、下列四个关系：①} , {} , {a b b a ⊆；②φ=} 0 {；③} 0 {∈φ；④} 0 {0∈.其中正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.412、已知φ⫋} 0x | {2=+-a x x ，则实数a 的取值范围是 （ ） A.41＜a B.41≤a C.41≥a D.41＞a 13、设集合} 1 1, {-=A ，集合} 02| {2=+-=b ax x x B ，若B ≠φ，A B ⊆，则有序实数对（a,b ）不能是（ ）A.（-1,1）B.（-1,0）C.（0，-1）D.（1,1） 三、填空14、已知集合} 3, 1, {m A -=，} 4 3, {=B ，若A B ⊆，则实数m= .15、已知集合} ,02| {2R a a ax ax x A ∈=++=，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值构成的集合为 .16、设a ，b ∈R ，集合} ,0 {} 1 , {b a a +=，则a b -= . 四、解决问题17、已知集合} 4 1| {＞或＜x x x A -=，} 3a 2| {+≤≤=x a x B ，若A B ⊆，求实数a 的取值范围.18、已知} 01)1(3| {22=-+++=a x a x x A ，} 0 {=B ，若B A ⊆，求a 的取值范围.19、若集合} 06| {2=-+=x x x M ，} 0))(2(| {=--=a x x x N ，且M N ⊆，求实数a 的值. 提升题 一、选择题1、下面各选项中，两个集合相等的是 （ ）A.} ) 2 ,1 ( {=M ,} ) 1 ,2 ( {=NB.} 2 ,1 {=M ，} ) 2 ,1 ( {=NC.M=φ，} {φ=ND.} 012| {2=+-=x x x M ，} 1 {=N 2、下列关系中正确的是（ ）A .} 1 ,0 {1∈ B.} 1 ,0 {1∉ C.} 1 ,0 {1⊆ D.} 1 ,0 {} 1 {∉ 3、已知集合} 02| {2＜-+∈=x x Z x A ，则集合A 的一个真子集为 （ ） A.} 02| {＜＜x x - B.} 20| {＜＜x x C.} 0 { D.} {φ 4、集合} 1 ,0 1, {-=A ，A 的子集中含有元素0的子集共有（ ） A.2个 B.4个 C.6个 D.8个5、若P M ⊆，Q M ⊆，} 2 1, ,0 {=P ，} 4 2, ,0 {=Q ，则满足上述条件的集合M 的个数是（ ） A.1 B.2 C.4 D.86、集合} , 3| {N n x x M n ∈==，集合} , 3| {N n n x x N ∈==，则集合M 与集合N 的关系为（ ） A.N M ⊆ B.M N ⊆ C.N M = D.M ⊈N 且N ⊈M7、若A x ∈，A x ∈1，则称A 是伙伴关系集合.集合} 3 ,2 ,31,21 ,0 ,1 {-=M 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ） A.31 B.7 C.3 D.18、已知集合} , 0| {N y a y y A ∈≤=＜，} , 032| {2N x x x x B ∈≤--=，若A ⫋B ，则满足条件的正整数a 所构成集合的子集的个数为（ ） A.2 B.4 C .8 D.16 二、填空9、方程0822=--x x 的解集为A ，方程02=-ax 的解集为B ，若A B ⊆，则实数a 的取值集合为 .10、已知集合} 44 ,4 ,3| {-=m y A ，集合} ,3| {2m y B =，若A B ⊆，则实数m= . 三、解决问题11、已知} 52| {≤≤-=x x A ，} 121| {-≤≤+=m x m x B ，A B ⊆，求m 的取值范围.。
高中数学集合的基本关系及运算
集合的基本关系及运算要点一、集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集.记作：A B(B A)⊆⊇或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或要点诠释：（1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈．（2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）．真子集：若集合A B ⊆，存在元素x ∈B 且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系A B B A ⊆⊆且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作A A ⊆．要点二、集合的运算 1.并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B 读作：“A 并B ”，即：A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}Venn 图表示：要点诠释：（1）“x ∈A ，或x ∈B ”包含三种情况：“,x A x B ∈∉但”；“,x B x A ∈∉但”；“,x A x B ∈∈且”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；记作：A ∩B ，读作：“A 交B ”，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}；交集的Venn 图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A B =∅．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作：UU A A={x|x U x A}∈∉；即且；补集的Venn 图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集U A 是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念，一个确定的集合A ，对于不同的集合U ，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集；而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Z 就不是全集．（3）U A 表示U 为全集时A 的补集，如果全集换成其他集合（如R ）时，则记号中“U ”也必须换成相应的集合（即R A ）．4.集合基本运算的一些结论：A B A A B B A A=A A =A B=B A ⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂，，，， A A B B A B A A=A A =A A B=B A ⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃，，，，U U (A)A=U (A)A=⋃⋂∅， 若A ∩B=A ，则A B ⊆，反之也成立 若A ∪B=B ，则A B ⊆，反之也成立若x ∈(A ∩B)，则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A ∪B)，则x ∈A ，或x ∈B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【典型例题】类型一：集合间的关系例1. 请判断①0{0} ；②{}R R ∈；③{}∅∈∅；④∅{}∅；⑤{}0∅=；⑥{}0∈∅；⑦{}0∅∈；⑧∅{}0，正确的有哪些？【变式1】用适当的符号填空：(1) {x||x|≤1} {x|x 2≤1}； (2){y|y=2x 2} {y|y=3x 2-1}； (3){x||x|>1} {x|x>1}；(4){(x ，y)|-2≤x ≤2} {(x ，y)|-1<x ≤2}．例2. 写出集合{a ，b ，c}的所有不同的子集.【变式1】已知{},a b A⊆{},,,,a b c d e ，则这样的集合A 有 个.【变式2】同时满足：①{}1,2,3,4,5M ⊆；②a M ∈，则6a M -∈的非空集合M有（ ）A. 16个B. 15个C. 7个D. 6个【变式3】已知集合A={1，3，a}， B={a 2}，并且B 是A 的真子集，求实数a 的取值.例3. 设M={x|x=a 2+1，a ∈N +}，N={x|x=b 2-4b+5，b ∈N +}，则M 与N 满足( ) A. M=N B. M N C. N M D. M ∩N=∅ 例4．已知},,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M =N ，则+++2()(x y x )()1001002y x y +++ = ．A ．－200B ．200C ．－100D ．0【变式1】设a ，b ∈R ，集合b{1,a+b,a}={0,,b}a，则b-a=( )类型二：集合的运算例5. （1）已知集合M={y|y=x 2-4x+3，x ∈R }，N={y|y=-x 2+2x+8，x ∈R }，则M ∩N 等于( )．A. ∅B. RC. {-1，9}D. {y|-1≤y ≤9} （2）设集合M={3，a}，N={x|x 2-2x<0，x ∈Z}，M ∩N={1}，则M ∪N 为( )． A. {1，2，a} B. {1，2，3，a} C. {1，2，3} D. {1，3} 【变式1】设A 、B 分别是一元二次方程2x 2+px+q=0与6x 2+(2-p)x+5+q=0的解集，且A ∩B={21}，求A ∪B.【变式2】设集合A={2，a 2-2a ，6}，B={2，2a 2，3a-6}，若A ∩B={2，3}，求A ∪B.例6. 设全集U={x ∈N +|x ≤8}，若A ∩(C u B)={1，8}，(C u A)∩B={2，6}，(C u A)∩(C u B)={4，7}，求集合A ，B.类型三：集合运算综合应用例7．已知全集A={x|-2≤x ≤4}， B={x|x>a}. （1）若A ∩B ≠∅，求实数 a 的取值范围； （2）若A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；（3）若A ∩B ≠∅且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围．【变式1】已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（ ） A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞）例8. 设集合{}{}222|40,|2(1)10,A x x x B x x a x a a R =+==+++-=∈. （1）若A B B =，求a 的值； （2）若A B B =，求a 的值.【变式1】已知集合{}{}222,|120A B x x ax a =-=++-=，若A B B =,求实数a 的取值范围.课后练习一、选择题1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则UA B =（ ）A ．{|01}x x ≤< B ．{|01}x x <≤ C ．{|0}x x < D ．{|1}x x >2．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 （ ）3．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．1或-1或0 4．已知集合,A B 满足A B A =,那么下列各式中一定成立的是（ ） A ． A B B ． B A C ． A B B = D ． A B A = 5．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有( ) A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个6．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则( )A ．N M =B ．M NC ．N MD ．M N =∅二、填空题7．用适当的符号填空：（1）m {},m n ；（2）{}m {},m n ；（3）∅ {},m n . 8. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =，则C 的非空子集的个数为 .9．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B =_____________． 10．设集合{32}A x x =-≤≤，{2121}B x k x k =-≤≤+，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 .11．已知{}{}221,21A y y x x B y y x ==-+-==+，则A B =_________. 三、解答题12．已知集合{}{}1,2,1,2,3,4,5A B ==，若A M B ⊆，请写出满足上述条件得集合M .13．已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆，求m 的取值范围.14．已知集合{}{}22|20,|0A x x px B x x x q =+-==-+=，且{}2,0,1A B =-,求实数,p q 的值．15．设全集U R=，{}2|10M m mx x =--=方程有实数根，{}2|0,N n x x n =-+=方程有实数根()U C M N 求.巩固训练一、选择题1. 设A={(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}，B={-1, 2}，则必有（ ） A 、BA B 、AB C 、A=B D 、A ∩B=∅2. 集合M={y| y=x 2-1, x ∈R}， N={x| y=23x -}，则M ∩N 等于（ ） A 、{(-2, 1), (2, 1)} B 、{}|03x x ≤≤ C 、{}|13x x -≤≤ D 、∅3．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 （ ）4．已知集合,A B 满足A B A =,那么下列各式中一定成立的是（ ） A ． A B B ． B A C ． A B B = D ． A B A =5．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．1或-1或0 6．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则( )A ．N M =B ．M NC ．N MD ．M N =∅二、填空题 7．设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或，则___________,__________==b a . 8．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人.9．若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B =，则x = . 10．若{}|1,I x x x Z =≥-∈，则N C I = .11．设全集{}(,),U x y x y R =∈，集合2(,)12y M x y x ⎧+⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)4N x y y x =≠-，那么()()U U C M C N 等于________________.12．设集合{}1,2,3,4,5,6M =，12,,,k S S S ⋅⋅⋅都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{},i i i S a b =，{},j j j S a b =（{},,1,2,3,,i j i j k ≠∈⋅⋅⋅），都有min ,min ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（{}min ,x y 表示两个数,x y 中的较小者）则k 的最大值是 .三、解答题13．设222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中x R ∈，如果A B B =，求实数a 的取值范围.14．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若()U C A B =∅，求m 的值.15．设1234,,,a a a a N +∈，集合{}{}222212341234,,,,,,,A a a a a B a a a a ==.满足以下两个条件：（1）{}1414,,10;A B a a a a =+=（2）集合A B 中的所有元素的和为124，其中1234a a a a <<<. 求1234,,,a a a a 的值.。
高一数学集合间的基本关系
第二节集合间的基本关系学习目标1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集2、在具体情境中，了解空集的含义知识框架1、子集定义：如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。
记作：BA⊆（或B⊇Ａ）A⊆有两种可能B（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B 或B⊇/A2、真子集如果集合BA⊆，但存在元素x∈B且x￠A，则称集合A是集合B 的真子集如果A⊆B,且A≠B，那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)读作A真包含于B3、集合相等元素相同则两集合相等，如果A⊆B同时B⊆A，那么A=B4、空集不含有任何元素的集合叫做空集，记为∅规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
5、集合的性质①任何一个集合是它本身的子集。
A⊆A②如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C③如果A B且B C，那么A C④有n个元素的集合，有2n个子集，1n个真子集2-随堂练习1、设{},62,8|=≤=a x x P 则下列关系中正确的是（ ）A.P a ⊆B.P a ∉C.{}P a ⊆D.{}P a ∈2、集合{}3,2,1=M 的真子集的个数是（ ）A.6B.7C.8D.93、设集合{}{},,|),(,,|22R x x y y x Q R x x y y P ∈==∈==则P 与Q 的关系是A.Q P ⊆B.Q P ⊇C.Q P =D.以上都不正确4、已知集合A {},7,3,2且A 中至多有一个奇数，则这样的集合A 有A.3个B.4个C.5个D.6个5、已知集合{},12,3,1--=m A 集合{},,32m B =若,A B ⊆则.________=m6、设集合{}{},1212|,23|+≤≤-=≤≤-=k x k x B x x A 且,B A ⊇则实数k 的取值范围是.____________7、已知集合{}{},,01|,0158|2A B ax x B x x x A ⊆=-==+-=求实数a 的不同取值组成的集合.8、已知集合{}{},0))(1(|,31|=--=≤≤=a x x x B x x A（1）当集合B 是A 的子集时，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a 使得B A =成立？。
集合间的基本关系
集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种：1、子集概念：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作A B（或说A包含于B），也可记为B A（B包含A），此时说A是B的子集；A不是B的子集，记作A B，读作A不包含于B2、集合相等：对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B3、真子集：对于集合A与B，如果A B并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A B（B A），读作A真包含于B（B真包含A）集合间基本关系性质：（1）空集是任何集合的子集，即A；（2）空集是任何非空集合的真子集；（3）传递性：（4）集合相等：（5）含n个元素的集合A的子集有2n个，非空子集有2n -1个，非空真子集有2n -2个。
N个元素的集合有（2n）个子集N个元素的集合有（2n-1 ）个真子集N个元素的集合有（2n-1 ）个非空子集N个元素的集合有（2n-2 ）个非空真子集说出集合A中子集的个数{1,2,3,4,5}。
集合A中有5个元素1,2,3,4,5。
任取1到5个数的排列还要算空集。
取1个数的排列有5种取法：{1}，{2}，{3}，{4}，{5}。
取2个数的排列有10种取法：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}。
取3个数的排列有10种取法：{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5}{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5} ,{3,4,5}。
取4个数的排列有5种取法：{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,3,4,5},{2,3,4,5}。
取5个数的排列有1种取法：{1,2,3,4,5}。
高一数学集合间的基本关系
高一数学集合间的基本关系数学中的集合是指具有某种共同特征的对象的组合。
在高一数学中，集合间有着许多基本的关系，这些关系不仅是数学知识的基础，也对我们今后的学习和应用具有重要的指导意义。
下面我们将逐一介绍这些基本关系。
首先，我们来介绍两个集合之间最基本的关系——相等关系。
当两个集合的所有元素都相同，我们就称这两个集合是相等的。
换句话说，集合A和集合B相等，意味着对于任意元素x，x属于A当且仅当x属于B，用符号表示为A=B。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 1}是相等的。
接下来，介绍两个集合之间的包含关系。
如果一个集合中的所有元素都属于另一个集合，我们就说前者是后者的子集。
用符号表示，如果集合A是集合B的子集，我们写作A⊆B。
同样地，如果集合A的元素都属于集合B，并且存在B中不属于A的元素，我们称A是B的真子集，用符号表示为A⊂B。
例如，集合A={1, 2}是集合B={1, 2, 3}的子集，而集合C={1, 2}是集合D={1, 2, 3}的真子集。
除了包含关系，集合间还有相交关系。
如果两个集合存在至少一个共同的元素，我们称这两个集合是相交的。
用符号表示，如果集合A 和集合B存在一个元素x，使得x属于A并且x属于B，则称A和B相交，记作A∩B≠∅。
例如，集合A={1, 2}和集合B={2, 3}是相交的，因为它们有共同的元素2。
与相交关系相对应的是互斥关系。
如果两个集合没有任何共同的元素，我们称这两个集合是互斥的。
用符号表示，如果集合A和集合B 没有任何一个元素属于两个集合，我们称A和B互斥，记作A∩B=∅。
例如，集合A={1, 2}和集合B={3, 4}是互斥的，因为它们没有共同的元素。
此外，还有关于集合间元素数量的关系。
我们称集合A和集合B具有相同的基数，如果两个集合中的元素个数相等。
用符号表示，如果集合A和集合B的元素个数相等，我们写作|A|=|B|。
例如，集合A={1, 2}和集合B={3, 4}具有相同的基数，因为它们的元素个数都是2。
集合间的基本关系
集合间的基本关系
在集合理论中，有几种基本的关系可以定义在两个集合之间。
这些基本关系包括：
1.相等关系（Equality Relation）：两个集合当且仅当它们包含
相同的元素时相等。
表示为A = B。
示例：A = {1, 2, 3}，B = {3, 2, 1}，因此A = B。
2.包含关系（Subset Relation）：如果一个集合的所有元素都是
另一个集合的元素，则称前者是后者的子集。
表示为A ⊆B。
示例：A = {1, 2}，B = {1, 2, 3}，因此A ⊆ B。
3.真包含关系（Proper Subset Relation）：如果一个集合是另一
个集合的子集，并且两个集合不相等，则前者是后者的真子集。
表示为A ⊂ B。
示例：A = {1, 2}，B = {1, 2, 3}，因此A ⊂B。
4.交集关系（Intersection Relation）：两个集合的交集是包含它
们共同元素的集合。
表示为A ∩ B。
示例：A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∩ B = {3}。
5.并集关系（Union Relation）：两个集合的并集是包含它们所
有元素的集合。
表示为A ∪ B。
示例：A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}。
这些基本关系在集合论中起到了重要的作用，用于描述和操作不同集合之间的关系。
它们是集合论中的基本概念，为进一步探索更高级的集合运算和性质奠定了基础。
高一数学期中集合必考知识点
高一数学期中集合必考知识点高一数学期中集合必考知识点总结一、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。
A A②真子集:如果A B,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)③如果A B,B C,那么A C④如果A B同时B A那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集二、集合及其表示1、集合的含义：“集合”这个词首先让我们想到的是上体育课或者开会时老师经常喊的“全体集合”。
数学上的“集合”和这个意思是一样的，只不过一个是动词一个是名词而已。
所以集合的含义是：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，其中每一个对象叫元素。
比如高一二班集合，那么所有高一二班的同学就构成了一个集合，每一个同学就称为这个集合的元素。
2、集合的表示通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素，如集合A={a，b，c}。
a、b、c就是集合A中的元素，记作a∈A，相反，d不属于集合A，记作d A。
有一些特殊的集合需要记忆：非负整数集(即自然数集)N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R集合的表示方法：列举法与描述法。
①列举法：{a,b,c……}②描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来。
如{x R|x-3>2},{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}③语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}例：不等式x-3>2的解集是{x R|x-3>2}或{x|x-3>2}强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素A={(x,y)|y=x2+3x+2}与B={y|y=x2+3x+2}不同。
集合间的基本关系教案
集合间的基本关系教案教学目标：1. 了解并掌握集合间的四种基本关系：子集、真子集、非子集、相等。
2. 能够运用集合间的四种基本关系解决实际问题。
3. 理解集合间的基本关系在数学及其它领域的重要性。
教学内容：一、集合间的基本关系概述1. 引入集合的概念，引导学生回顾集合的基本定义。
2. 介绍集合间的四种基本关系：子集、真子集、非子集、相等。
二、子集与真子集1. 讲解子集的定义，举例说明子集的概念。
2. 引导学生理解真子集的概念，即除去集合本身外的子集。
3. 通过例题，让学生掌握判断子集和真子集的方法。
三、非子集1. 讲解非子集的定义，即一个集合不是另一个集合的子集。
2. 通过例题，让学生理解非子集的概念，并掌握判断非子集的方法。
四、相等1. 讲解集合相等的定义，即两个集合包含的元素完全相同。
2. 通过例题，让学生理解集合相等的概念，并掌握判断集合相等的方法。
五、集合间基本关系的应用1. 引导学生运用集合间的四种基本关系解决实际问题。
2. 通过例题，让学生学会运用集合间的基本关系分析问题和解决问题。
教学方法：1. 采用讲解法，明确集合间基本关系的定义和概念。
2. 运用例题，让学生通过实践掌握集合间基本关系的判断方法。
3. 引导学生进行小组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
教学评价：1. 通过课堂提问，检查学生对集合间基本关系的理解和掌握程度。
2. 通过课后作业，检验学生运用集合间基本关系解决问题的能力。
3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，对学生的学习效果进行综合评价。
六、集合的幂集1. 引入幂集的概念，讲解幂集的定义。
2. 通过图示和例题，让学生理解幂集的概念，并掌握求解幂集的方法。
七、集合的笛卡尔积1. 讲解笛卡尔积的概念，引导学生理解笛卡尔积的定义。
2. 通过例题，让学生掌握求解集合的笛卡尔积的方法。
3. 引导学生运用笛卡尔积解决实际问题，如排列组合问题。
八、集合的包含关系与维恩图1. 讲解集合的包含关系的概念，引导学生理解包含关系的含义。
高中数学教案《集合间的基本关系》
《集合间的基本关系》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解集合间的基本关系（子集、真子集、相等）的概念，掌握判断集合间关系的方法，并能准确描述集合间的这些关系。
2.过程与方法：通过具体实例分析，引导学生从直观感受出发，逐步抽象出集合间关系的数学定义，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
同时，通过小组讨论和合作探究，提升学生的团队协作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养严谨的数学态度和实事求是的科学精神。
通过解决实际问题，让学生感受到数学的实用价值，增强学好数学的信心。
二、教学重点和难点●重点：子集、真子集、相等三种集合间关系的定义及判断方法。
●难点：理解并准确区分子集与真子集的概念，以及在复杂情境下判断集合间的关系。
三、教学过程1. 引入新课（5分钟）●生活实例：以班级中的男生集合、女生集合及全班学生集合为例，引导学生思考这些集合之间的关系，初步感受集合间的包含与被包含关系。
●提出问题：如何用数学语言描述这些集合之间的关系？引出子集、真子集、相等等概念。
●明确目标：告知学生本节课将要学习集合间的基本关系，并简要介绍学习目标。
2. 概念讲解（10分钟）●子集定义：详细讲解子集的定义，强调“所有元素都属于另一个集合”的含义，并通过实例说明。
●真子集与相等：在子集的基础上，进一步讲解真子集的概念（即子集且不等于原集合），以及两个集合相等的条件（即互相为子集）。
●比较区分：通过图表或对比表格的形式，帮助学生直观区分子集、真子集和相等三种关系。
3. 例题解析（15分钟）●典型例题：选取几个具有代表性的例题，分别涉及子集、真子集和相等的判断。
教师边讲边练，逐步展示解题过程。
●思路引导：在解题过程中，注重引导学生分析题目中的关键信息，明确判断集合间关系的依据。
●学生尝试：让学生尝试解答几个类似的题目，教师巡回指导，及时纠正学生的错误思路。
4. 小组讨论与合作探究（15分钟）●分组任务：将学生分成若干小组，每组分配一个实际问题或情境，要求将其转化为集合间关系的判断问题。
集合间的基本关系
§1.2 集合间的基本关系学习目标 1.理解子集、真子集、集合相等、空集的概念.2.能用符号和Venn 图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．知识点一 子集、真子集、集合相等 1．子集、真子集、集合相等的相关概念定义符号表示 图形表示子集如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 是集合B 的子集A ⊆B (或B ⊇A )真子集如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，就称集合A是集合B的真子集AB (或B A )集合相等如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等A ＝B2．Venn 图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图． 3．子集的性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A .(2)对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C . 思考1 任何两个集合之间是否有包含关系？答案 不一定．如集合A ＝{0,1,2}，B ＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系． 思考2 符号“∈”与“⊆”有何不同？答案符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．知识点二空集1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.2．规定：空集是任何集合的子集．思考{0}与∅相同吗？答案不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.1．已知集合M＝{x|x是菱形}，N＝{x|x是正方形}，则集合M与集合N的关系为________．答案N M解析因为正方形是菱形，所以N M.2．用“⊆”或“∈”填空：{0,2}________{2,1,0},2________{2,1,0}．答案⊆∈3．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________.答案－1解析1－a＝2，解得a＝－1.4．集合{0,1}的子集有________个．答案 4解析集合{0,1}的子集有∅，{0}，{1}，{0,1}，共4个．一、集合间关系的判断例1指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．解(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.(3)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故N M.反思感悟判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察．(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．跟踪训练1(1)已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是() A．M＝N B．N MC．M N D．N⊆M(2)已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是() A．A⊆B B．A＝BC．A B D．B A（1）答案 C解析解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1,2}，因为1∈M且1∈N,2∈M 且2∈N，所以M⊆N.又因为0∈N但0∉M，所以M N.（2）答案 D解析因为A中元素是3的整数倍，而B中的元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集．二、确定集合的子集、真子集例2设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．解由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4.故集合A＝{－4，－1,4}．由0个元素构成的子集为∅；由1个元素构成的子集为{－4}，{－1}，{4}；由2个元素构成的子集为{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}；由3个元素构成的子集为{－4，－1,4}．因此集合A的子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}．真子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．反思感悟 求集合子集、真子集的3个步骤跟踪训练2 满足{1,2} M ⊆{1,2,3,4,5}的集合M 有________个． 答案 7解析 由题意可得{1,2} M ⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M 必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M 的元素个数分类如下： 含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； 含有五个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足题意的集合M 共有7个．三、由集合间的关系求参数例3 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B A ，求实数m 的取值范围.解 (1)当B ≠∅时，如图所示．∴m ＋1≥－2，2m －1<5，2m －1≥m ＋1或m ＋1>－2，2m －1≤5，2m －1≥m ＋1，解这两个不等式组，得2≤m ≤3.(2)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2.综上可得，m 的取值范围是{m |m ≤3}．延伸探究1．若本例条件“A ＝{x |－2≤x ≤5}”改为“A ＝{x |－2<x <5}”，其他条件不变，求m 的取值范围．解 (1)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2.(2)当B ≠∅时，如图所示．∴m ＋1>－2，2m －1<5，m ＋1≤2m －1，解得m >－3，m <3，m ≥2，即2≤m <3，综上可得，m 的取值范围是{m |m <3}．2．若本例条件“B A ”改为“A ⊆B ”，其他条件不变，求m 的取值范围． 解 当A ⊆B 时，如图所示，此时B ≠∅.∴2m －1>m ＋1，m ＋1≤－2，2m －1≥5，即m >2，m ≤－3，m ≥3，∴m 不存在．即不存在实数m 使A ⊆B .反思感悟 利用集合关系求参数的关注点(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．跟踪训练3 已知集合A ＝{x |x <－1或x >4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 (1)当B ＝∅时，2a >a ＋3，即a >3.显然满足题意．(2)当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3. 综上可得，实数a 的取值范围为{a |a <－4或a >2}．1．下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅ {0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是()A．1 B．3 C．4 D．62．集合{1,2}的子集有()A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()4．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.5．已知集合A＝{x|x≥1或x≤－2}，B＝{x|x≥a}，若B A，则实数a的取值范围是________．【答案与解析】1、答案 C解析①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，∅表示空集，而{∅}表示的是含∅这个元素的集合，是元素与集合的关系，应改为∅∈{∅}；④错误，∅表示空集，而{0}表示含有一个元素0的集合，并非空集，应改为∅ {0}；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，是元素与集合的关系．2、答案 A解析集合{1,2}的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}，共4个．3、答案 B解析x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N是M的真子集，其对应的Venn图如选项B所示．4、答案 4解析∵B⊆A，B＝{3,4}，A＝{－1,3，m}，∴4∈A，∴m＝4.5、答案a≥1解析∵B A，∴a≥1.1．知识清单：(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合间关系的判断．(2)求子集、真子集的个数问题．(3)由集合间的关系求参数的值或范围．2．方法归纳：数形结合、分类讨论．3．常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点．。
1.1.2 集合间的基本关系
1．1.2 集合间的基本关系一、子集1、定义：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含包含关系，称集合A 为集合B 的子集2、记法与读法：记作B A ⊆(或A B ⊇)，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)3、结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆.(2)对于集合A ，B ，C ，若A ⊆B ，且B ⊆C ，则C A ⊆4、对子集概念的理解(1)集合A 是集合B 的子集的含义是：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A 能推出x ∈B .例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．(2)如果集合A 中存在着不是集合B 的元素，那么集合A 不包含于B ，或B 不包含A .此时记作A B 或B ⊉A .(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N.而不能写成{0}∈N ，“∈”只能用于元素与集合之间．如0∈N ，而不能写成0⊆N.二、集合相等1、集合相等的概念如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B )，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A )，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作B A =.2、对两集合相等的认识(1)若A ⊆B ，又B ⊆A ，则A ＝B ；反之，如果A ＝B ，则A ⊆B ，且B ⊆A .这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A ＝B ，只需证A ⊆B 与B ⊆A 同时成立即可．(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.三、真子集1、定义：如果集合A ⊆B ，但存在元素A x ∈，且B x ∈，我们称集合A 是集合B 的真子集2、记法与表示：3、对真子集概念的理解(1)在真子集的定义中，A B 首先要满足A ⊆B ，其次至少有一个x ∈B ，但x ∉A .(2)若A 不是B 的子集，则A 一定不是B 的真子集.四、空集1、定义：我们把不含任何元素的集合，叫做空集2、记法：∅3、规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A4、特性：(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A ≠∅，则∅真包含A5、∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合，∅{0}．题型一、集合间关系的判断例1、(1)下列各式中，正确的个数是( B )①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0} A．1B．2 C．3 D．4题型二、有限集合子集的确定例2(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是()A．6 B．7 C．8 D．9(2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．[解析](1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B.(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集．(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．[活学活用]非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．解析：由“若a∈S，则6－a∈S”知和为6的两个数都是集合S中的元素，则()集合S中含有1个元素：{3}；集合S中含有2个元素：{2,4}，{1,5}；集合S中含有3个元素：{2,3,4}，{1,3,5}；集合S中含有4个元素：{1,2,4,5}；集合S中含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合S共有7个．题型三、集合间关系的应用例3、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．[解]当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为a <－4或a >2.[活学活用]1、已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a}．又∵B ＝{x |－1<x <1}且A ⊆B ， 如图作出满足题意的数轴：∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1a≥－1，2a ≤1，∴a ≥2. (3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a } ∵A ⊆B ，如图所示， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，2a≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥2或a ≤－2}．2、已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0，－4}．(1)当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实根，则Δ<0，即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0.∴a <－1.(2)当B ＝{0}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－1＝0，∴a ＝－1.(3)当B ＝{－4}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－8a ＋7＝0，无解． (4)当B ＝{0，－4}时，由韦达定理得a ＝1.综上所述，a ＝1或a ≤－1.课堂练习1．给出下列四个判断：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中，正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由空集的性质可知，只有④正确，①②③均不正确．答案：B2．已知A ＝{x |x 是菱形}，B ＝{x |x 是正方形}，C ＝{x |x 是平行四边形}，那么A ，B ，C 之间的关系是 ( B )A ．A ⊆B ⊆C B ．B ⊆A ⊆C C ．A B ⊆CD ．A ＝B ⊆C3．已知集合A ＝{－1,3，m}，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.解析 ：∵B ⊆A ，B ＝{3,4}，A ＝{－1,3，m}∴m ∈A ，∴m ＝4.答案：44．集合A ＝{x|0≤x<3且x ∈N}的真子集的个数为________．解析：由题意得A ＝{0,1,2}，故集合A 有7个真子集．答案：75．已知集合A ＝{x|1≤x ≤2}，B ＝{x|1≤x ≤a}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：(1)若A 是B 的真子集，即A B ，故a>2.(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，则a ≤2.(3)若A ＝B ，则必有a ＝2.课时跟踪检测(三) 集合间的基本关系一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间最适合的关系是( )A ．A ⊆BB ．A ⊇BC ．A BD ．A B2．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合是集合M 的子集的为( )A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤3，x∈N}3．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是( ) A．1 B．－1C．1或－1 D．0,1或－14．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( ) A．6 B．5C．4 D．35．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么( ) A．P M B．M PC．M＝P D．M P二、填空题6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．7．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A为________；B为________；C为________；D为________．8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．三、解答题9．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a组成的集合C.10．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A⊇B，求m的取值范围．答 案课时跟踪检测(三)1．选D 显然B 是A 的真子集，因为A 中元素是3的整数倍，而B 的元素是3的偶数倍．2．选D 先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，集合S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而集合S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且S M .故选D.3．选D 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，a ＝1或a ＝－1.4．选A 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.5．选C ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y <0，xy >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，y <0. ∴M ＝P .6．解析：∵y ＝(x －1)2－2≥－2，∴M ＝{y |y ≥－2}．∴N M .答案：N M7．解析：由Venn 图可得AB ，CD B ，A 与D 之间无包含关系，A 与C 之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A 为小说，B 为文学作品，C 为叙事散文，D 为散文．答案：小说 文学作品 叙事散文 散文8．解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根．当a ＝0时，方程化为2x ＝0，∴x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意．当a ≠0时，Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1，∴a ＝±1.此时A ＝{－1}，或A ＝{1}，符合题意．∴a ＝0或a ＝±1.答案：{0,1，－1}9．解：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1，或x ＝2.∴A ＝{1,2}．∵B ⊆A ，∴对B 分类讨论如下：(1)若B ＝∅，即方程ax －2＝0无解，此时a ＝0.(2)若B ≠∅，则B ＝{1}或B ＝{2}．当B ＝{1}时，有a －2＝0，即a ＝2；当B ＝{2}时，有2a －2＝0，即a ＝1.综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}．10．解：化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当m ≤－2时，B ＝∅⊆A ；②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥－22m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，知m 的取值范围是：{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．。
集合的基本关系
集合间的基本关系
思考
实数有相等关系、大小关系， 如5＝5，5＜7，5＞3，等等，类 比实数之间的关系，你会想到集合 之间的什么关系？
观察下面几个例子，你能发现两个集合之间 的关系吗？
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5};
⑵设A为我校高一(17)班女生的全体组成 的集合,B为这个班学生的全体组成的集 合;
2、真子集 • 对于两个集合A与B，如果A B，并且
A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集。 读着“A真包含于B，B真包含A”。 • 记作 A B，或B A
提问：（1）写出N，Z，Q，R的包含关ห้องสมุดไป่ตู้，并用
Venn图表示
RQZ N
2、真子集 • 对于两个集合A与B，如果A B，并且
(3)空集∅是任何 非 集合的真子集； 空
子集的性质
（1）对任何集合A，都有：
A A （2）对于集合A,B,C,若AB,且B C,则有 A C
（3）空集是任何非空集合的 真子集．
判断集合A是否为集合B的子集，
①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} ( ) √
②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} (× )
③A={0}, B={x x2+2=0}
(× )
④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a} ( ) √
区分0, 0, , .
p8,练习2， p9，巩固练习1，课下做
例题讲解 例1 写出{a，b}的所有子集,并
指出其中哪些是它的真子集．
练习p8，1
1．子集的概念
一般地，对于两个集合A、B， 如果集合A中任 意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个 集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.
高一数学讲义-集合间的基本关系
集合间的基本关系一、子集、空集等概念的教学：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：（1）{1,2,3}A =，{1,2,3,4,5}B =；（2）{}C =新华一中高一 班全体女生，{}D =新华一中高一 班全体学生；（3）{|}E x x =是两条边相等的三角形，{}F x x =是等腰三角形1．子集的定义：对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。
记作：()A B B A ⊆⊇或读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A当集合A 不包含于集合B 时，记作A B用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B ⊆2. 集合相等定义：如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，即若A B B A ⊆⊆且，则A B =。
如（3）中的两集合E F =。
3. 真子集定义：若集合A B ⊆，但存在元素,x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。
记作： A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）4. 空集定义：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅。
用适当的符号填空： ∅ {}0； 0 ∅； ∅ {}∅； {}0 {}∅重要结论：（1） 空集是任何集合的子集；（2） 空集是任何非空集合的真子集；（3） 任何一个集合是它本身的子集；（4） 对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆。
说明：1． 注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；2． 在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。
三、例题讲解：例1．若集合{}{}260,10,A x x x B x mx =+-==+= B A ，求m 的值。
高中数学必修一《集合间的基本关系》优秀教学设计
高中数学必修一《集合间的基本关系》优秀教学设计1.1.2 集合间的基本关系教学设计一、教学目标1.知识与技能1) 了解集合之间包含与相等的含义，能够识别给定集合的子集。
2) 理解子集和真子集的概念。
3) 能够使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
2.过程与方法让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义。
3.情感、态度与价值观1) 树立数形结合的思想。
2) 体会类比对发现新结论的作用。
二、教学重点与难点重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念。
难点：关系与包含关系的区别。
三、学法让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，发现集合间的基本关系。
四、教学过程一）复回顾：1.元素与集合之间的关系。
2.集合的三性：确定性、互异性、无序性。
3.集合的常用表示方法：列举法、描述法。
4.常见的数集表示。
二）创设情景，新课引入：问题1：实数有相等、大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？让学生自由发言，教师不要急于做出判断，而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察、研探。
三）师生互动，新课讲解：问题1：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？1) A={1,2,3}。
B={1,2,3,4,5}；2) 设A为我班第一组男生的全体组成的集合，B为我班班第一组的全体组成的集合；3) 设C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}；4) E={2,4,6}，F={6,4,2}。
组织学生充分讨论、交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系：归纳：①一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集。
记作：A⊆B（或B⊇A）读作：A包含于B（或B包含A）。
②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等。
高一数学集合间的基本关系
高一数学集合间的基本关系
子集、空集等概念的教学：
1． 子集的定义：
对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。
记作： ()A B B A ⊆⊇或
读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A
用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：
如：（1）中A B ⊆
2． 集合相等定义：
如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，即若A B B A ⊆⊆且，则A B =。
3． 真子集定义：
若集合A B ⊆，但存在元素,x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。
记作：
A B （或B A ） 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）
4． 空集定义：
不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅。
用适当的符号填空：
∅ {}0； 0 ∅； ∅ {}∅； {}0 {}∅
5． 几个重要的结论：
（1） 空集是任何集合的子集；
（2） 空集是任何非空集合的真子集；
（3） 任何一个集合是它本身的子集；
（4） 对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆。
B A。
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符号语言：若A B, B A，则A B
【说一说★本节新知】
3.真子集
如果集合A B, 但存在元素x B,且x A, 我们称集合A是集合B的真子集.
记作：A B ( 或B A ).
读作：“A真含于B”（或“B真包含 A”)
【说一说★本节新知】
4.空集
不含任何元素的集合叫做空集，记为. 规定：空集是任何集合的子集，即 A.
A.1
B. 1
C .0
D. 1
设A {a, b}, B { x | x A}.请问A与B之间的
关系是什么？
AB
【总一总★成竹在胸】
一.本节课的知识网络：
相等
子集 AB
空集
AB
真子集 A B
（）
二.本节课主要的思想方法：
性质
性质
类比法 分类讨论思想
【号一号★课下习之】
作业：P12 A 5；B 2.
M N ，故选C.
【听一听★更上一层】
例2.集合M {x | x k 1 , k Z}, N {x | x k 1 , k Z}.
24
42
则（ ）.
A.M N B.M N C.M N D.M与N没有相同元素
分析：M { x | x 2k 1 , k Z }, 4
N { x | x k 2 , k Z}. 4
A B (或B A )
读作：“A含于B”(或“B包含A”)
符号语言： 任意x A，有x B, 则 A B
【说一说★本节新知】
Venn图表示集合的包含关系
在数学中，我们经常用平面上封闭的曲 线的内部表示集合，这种图称为Venn图.
A B
BA
【说一说★本节新知】
2.集合相等
如果集合A是集合B的子集(即A B)，且集合B 是集合 A的子集(即B A),此时集合A与集合B中的 元素是一样的，我们称集合A与集合B相等.
1.1.2 集合间的基本关系
【三维目标】
一、知识与技能 1. 了解集合间包含关系的意义； 2. 理解子集、真子集的概念和意义； 3. 理解空集的定义； 4. 会判断简单集合的包含关系. 二、过程与方法 1.类比实数间的关系,联想集合间的关系； 2.分别能用自然语言、符号语言、图形语言描述子集的概念. 三、情感、态度与价值观 1.培养数学来源于生活，又为生活服务的思维方式; 2.个体与集体之间，小集体构成大社会的依存关系; 3.发展学生抽象、归纳事物的能力，培养学生辨证的观点.
当k Z时，2k 1为奇数，k 2为整数，因为奇数都
是整数，且整数不都是奇数.
M N，故选C.
【练一练★巩固提高】
1、2题见课本第7页练习第2、3题
3. x、y是实数，集合M { x, y ,1}, N { x2 , x y, 0}, x
若M N，则x2008 y2008 ( A ).
空集是任何非空集合的真子集. 即： B. (B )
【说一说★本节新知】
5.子集的有关性质
(1).任何一个集合是它本身的子集，即A A.
(2).对于集合A、B、C，如果A B且B C那么A C. (3).对于集合A、B、C，如果 A B且B C那么A C. (4).对于集合A、B、C，如果 A B且B C那么A C. (5).对于集合A、B、C，如果 A B且B C那么A C. (6).对于集合A、B、C，如果 A B且B C那么A C.
【议一议★深化概念】
1.包含关系{a} A与属于关系a A有什么区别？
2.集合A B与集合A B有什么区别？
3. 0, {0},与四者之间有什么关系？
4.试讨论类比法在本节课是如何应用的？
【听一听★更上一层】
例1.写出集合a, b的所有子集，并指出哪
些是它的真子集.
解 : 集合{a, b}的所有子集为：
【引一引★温故知新】
集合与集合 之间呢？
实数有相等关系 如：5=5
实数有大小关系
如：5<7,5>3
【说一说★本节新知】
子集 集合相等 真子集 空集 子集的性质
【说一说★本节新知】
1.子集
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任 意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个 集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.记作：
24
42
则Байду номын сангаас ）.
A.M N B.M N C.M N D.M与N没有相同元素
分析：令k ,1, 0, 1, 2, 3, 得：
M { , 1 , 1 , 3 , 5 , 7 , } 4 44 4 4
令k 3， 2,1, 0, 1, 2, 3, 4，5 得：
N { , 1 , 0, 1 , 1 , 3 , 1, 5 , 3 , 7 , } 4 42 4 424
，{a}, {b}, {a, b} 真子集为：，{a}, {b}
【听一听★更上一层】
变式 写出集合a, b，c的所有子集，并指出它的真子集.
解 : 没有元素的子集：; 有1个元素的子集 : {a}, {b}, {c}; 有2个元素的子集 : {a,b}, {a,c},{b,c}; 有3个元素的子集 : {a, b, c}.
集合{a, b, c}的所有子集为： ，{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}，{a, b, c}.
集合{a, b, c}的所有真子集为： ，{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}.
【听一听★更上一层】
例2.集合M { x | x k 1 , k Z}, N { x | x k 1 , k Z }.