2016年中考数学模拟试题汇编专题36：规律探索含答案

规律探索一.选择题1. （2016·天津北辰区·一摸）如图，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形. 若拼成的图形中有n 个三角形，则需要火柴棍的根数是（ ）. （A ）2n +（B ）3n +（C ）21n -（D ）21n +答案：D2. (2016·重庆巴蜀·一模）如图，每个图形都由同样大小的矩形按照一定的规律组成，其中第①个图形的面积为6cm 2，第②个图形的面积为18cm 2，第③个图形的面积为36cm 2，…，那么第⑥个图形的面积为（ ）A ．84cm 2B ．90cm 2C ．126cm 2D ．168cm 2【分析】观察图形，小正方形方形的个数是相应序数乘以下一个数，每一个小正方形的面积是3，然后求解即可．【解答】解：第（1）个图形有2个小长方形，面积为1×2×3=6cm 2， 第（2）个图形有2×3=6个小正方形，面积为2×3×3=18cm 2， 第（3）个图形有3×4=12个小正方形，面积为3×4×3=36cm 2， …，第（6）个图形有10×11=110个小正方形，面积为6×7×3=126cm 2． 故选C ．3. (2016·重庆巴南 ·一模）下列是用火柴棒拼成的一组图形，第①个图形中有3根火柴棒，第②个图形中有9根火柴棒，第②个图形中有18根火柴棒，…依此类推，则第6个图形中火柴棒根数是（ ）第1题A．60 B．61 C．62 D．63【分析】由图可知：第①个图形中有3根火柴棒，第②个图形中有9根火柴棒，第②个图形中有18根火柴棒，…依此类推第n个有1+2+3+…+n个三角形，共有3×（1+2+3+…+n）=n（n+1）根火柴；由此代入求得答案即可．【解答】解：∵第①有1个三角形，共有3×1根火柴；第②个有1+2个三角形，共有3×（1+2）根火柴；第③个有1+2+3个三角形，共有3×（1+2+3）根火柴；…∴第n个有1+2+3+…+n个三角形，共有3×（1+2+3+…+n）=n（n+1）根火柴；∴第5个图形中火柴棒根数是3×（1+2+3+4+5+6）=63．故选：D．4. (2016·郑州·二模)如图，在一单位长度为1的方格纸上，依如图所示的规律，设定点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、…、A n，连接点O、A1、A2组成三角形，记为△1，连接O、A2、A3组成三角形，记为△2…，连接O、A n、A n＋1，组成三角形，记为△n（n为正整数），请你推断，当n为10时，△n的面积＝（）平方单位．A．45 B．55 C．66 D．100答案：B二.填空题1.（2016·河大附中·一模）如图，一段抛物线：y=x(x-2)(0≤x≤2)，记为C1，它与x轴交于点O，A，；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…，如此进行下去，直至得C2016．若P(4031，a)在第2016段抛物线C2016上，则a=.第1题答案：12.（2016·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次运动到点(2，0)，第3次运动到点(3，-1)，……，按照这样的运动规律，点P 第2017次运动到点 ．答案：（2017，1)3. （2016·河南三门峡·二模）如图，等边三角形△OAB 1的一边OA 在x 轴上，且OA=1，当△OAB 1沿直线l 滚动，使一边与直线l 重合得到△B 1A 1B 2，△B 2A 2B 3，......则点A 2016的坐标是答案：4. （2016齐河三模）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0）…那么点A4n+1（n 为自然数）的坐标为_____（用n 表示）第2题O xy(4,0)(8,0)(12,0)(2,0)(6,0)(10,0)(11,-1)(7,-1)(-1)(9,1)(5,1)(1,1)答案：（2n,1）5. (2016·云南省曲靖市罗平县·二模)这样铺地板：第一块铺2块，如图1，第二次把第一次的完全围起来，如图2；第三次把第二次的完全围起来，如图3；…依次方法，铺第5次时需用34块木块才能把第四次所铺的完全围起来．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】观察图形发现：若要将前一个图形包起来，上下各需要添一层，左右各需添一层，结合图1两块木块可以得出图n需要木块数为[1+（n﹣1）×2]×[2+（n﹣1）×2]，求出图4图5所需木块数，二者相减即可得出结论．【解答】解：若要将前一个图形包起来，上下各需要添一层，左右各需添一层，即图1木块个数为1×2，图2木块个数为（1+2）×（2+2），图3木块个数为（1+2×2）×（2+2×2），…，图n木块个数为[1+（n﹣1）×2]×[2+（n﹣1）×2]．由上面规律可知：图4需要木块个数为（1+3×2）×（2+3×2）=56（块），图5需要木块个数为（1+4×2）×（2+4×2）=90（块），故铺第5次时需用90﹣56=34块木块才能把第四次所铺的完全围起来．故答案为：34块．【点评】本题考查了图形的变化，解题的关键是：找出“图n需要木块数为[1+（n﹣1）×2]×[2+（n﹣1）×2]”这一规律．本题属于中档题，解决该类题型需要仔细观察图形，得出图形的变化规律，再结合规律找出结论．6. (2016·云南省·一模)观察下列等式：解答下面的问题：21+22+23+24+25+26+…+22015的末位数字是4．【考点】尾数特征．【分析】根据2n，2n+1，2n+2，2n+3的个位数依次是2，4，8，6，根据有理数的加法，可得答案．【解答】解：由2n，2n+1，2n+2，2n+3的个位数依次是2，4，8，6，得指数每4的倍数一循环，2015÷4=503…3，即（2+4+8+6）×503+（2+4+8）=503×20+14=10074．故答案为：4．【点评】本题考查了尾数特征，利用2n，2n+1，2n+2，2n+3的个位数依次是2，4，8，6得出指数每4的倍数一循环是解题关键．7. (2016·云南省·二模)观察下列等式：，，，…则=．（直接填结果，用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥1）【考点】规律型：数字的变化类．【分析】由题意可知：=1﹣，进一步整理得出答案即可．【解答】解：∵，，，…∴=1﹣=．故答案为：．【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出一般运算方法解决问题．8. （2016·广东东莞·联考）如果记y==f（x），并且f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）==；f（）表示当x=时y的值，即f（）==，那么f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n）+f（）=．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．【考点】分式的加减法．【专题】压轴题；规律型．【分析】由f（1）f（）可得：f（2）==；从而f（1）+f（2）+f（）=+1=2﹣．所以f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n）+f（）=（n为正整数）．【解答】解：∵f（1）==；f（）==，得f（2）==；∴f（1）+f（2）+f（）=+1=2﹣．故f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n）+f（）=．（n为正整数）【点评】解答此题关键是根据题中所给的式子找出规律，再解答．9. （2016·广东东莞·联考）如图是圆心角为30°，半径分别是1、3、5、7、…的扇形组成的图形，阴影部分的面积依次记为S1、S2、S3、…，则S n=．（结果保留π）【考点】扇形面积的计算．【专题】规律型．【分析】由图可知S1=，S2=×3，S3=×5，S4=×7，…S n=×（2n﹣1），从而得出S n的值．【解答】解：由题意可得出通项公式：S n=×（2n﹣1），即S n=×（2n﹣1），故答案为．【点评】本题考查了扇形面积的计算，是一道规律性的题目，难度较大．三.解答题1.（2016·河北石家庄·一模）如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°∠EDF=30°，【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF 绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．在旋转过程中，如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明．【操作2】在旋转过程中，如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由．【总结操作】根据你以上的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系是什么？其中m的取值范围是什么？（直接写出结论，不必证明）m．第1题【考点】相似形综合题．【分析】（操作1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明DE=CE，∠PBE=∠C．根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，从而证明结论；（操作2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根据两个角对应相等证明△MEP∽△NWQ，发现EP：EQ=EM：EN，再根据等腰直角三角形的性质得到EM：EN=AE：CE；（总结操作）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求m的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析．【解答】（操作1）EP=EQ，证明：连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得：BE=CE，∠PBE=∠C=45°，∵∠BEC=∠FED=90°∴∠BEP=∠CEQ，在△BEP和△CEQ中，∴△BEP≌△CEQ（ASA），∴EP=EQ；如图2，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2，理由是：作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，∴∠EMP=∠ENC，∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，∴∠MEP=∠NEF，∴△MEP∽△NEQ，∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；如图3，过E点作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，∵在四边形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，∴∠EPB+∠EQB=180°，又∵∠EPB+∠MPE=180°，∴∠MPE=∠EQN，∴Rt△MEP∽Rt△NEQ，∴=，Rt△AME∽Rt△ENC，∴=m=，∴=1：m=，EP与EQ满足的数量关系式1：m，即EQ=mEP，∴0＜m≤2+，（因为当m＞2+时，EF和BC变成不相交）．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理的能力，证明过程类似．2.（2016·广东东莞·联考）在由m×n（m×n＞1）个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f，（1）当m、n互质（m、n除1外无其他公因数）时，观察下列图形并完成下表：猜想：当m、n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是f=m+n﹣1（不需要证明）；（2）当m、n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立．【考点】作图—应用与设计作图；规律型：图形的变化类．【分析】（1）通过观察即可得出当m、n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式，（2）当m 、n 不互质时，画出图即可验证猜想的关系式不成立． 【解答】解：（1）表格中分别填6，6f 与m 、n 的关系式是：f=m+n ﹣1． 故答案为：f=m+n ﹣1．（2）m 、n 不互质时，猜想的关系式不一定成立，如下图：．【点评】此题考查了作图﹣应用与设计作图，关键是通过观察表格，总结出一条对角线所穿过的小正方形的个数f 与m 、n 的关系式，要注意m 、n 互质的条件．3. (2016·重庆巴蜀 ·一模）阅读材料：材料一：对于任意的非零实数x 和正实数k ，如果满足为整数，则称k 是x 的一个“整商系数”．例如：x=2时，k=3⇒=2，则3是2的一个整商系数；x=2时，k=12⇒=8，则12也是2的一个整商系数；x=时，k=6⇒=1，则6是的一个整商系数；结论：一个非零实数x 有无数个整商系数k ，其中最小的一个整商系数记为k （x ），例如k（2）=材料二：对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，两根x 1，x 2有如下关系：x 1+x 2=﹣；x 1x 2=应用：（1）k （）= 2 k （﹣）=（2）若实数a （a ＜0）满足k （）＞k （），求a 的取值范围？ （3）若关于x 的方程：x 2+bx+4=0的两个根分别为x 1、x 2，且满足k （x 1）+k （x 2）=9，则b 的值为多少？【分析】（1）求出最小的个整商系数即可．（2）根据k （）＞k （）分类讨论列出不等式解不等式即可．（3）利用根与系数关系把k （x 1）+k （x 2）=9，转化为含有b 的方程，记得分类讨论即可．【解答】解：（1）k （）=2，k （﹣）=．故答案分别为2，．（2）∵k （）＞k （），当﹣1＜a ＜0时，原式化为＞3（a+1） ∴a ＜﹣，即﹣1＜a ＜﹣，当a ＜﹣1时，原式化为＞﹣3（a+1）解得a ＞﹣2， 故可知a 的取值范围为﹣2＜a ＜﹣1或﹣1＜a ＜﹣．（3）设方程的两个根有x 1＜x 2，由于x 1x 2=，故x 1与x 2同号．当x 2＜0时，k （x 1）+k （x 2）=﹣=﹣=， 解得b=12．当x 1＞0时，k （x 1）+k （x 2）===，解得b=﹣12．综上b=±12．。