高考数学集合常用逻辑用语不等式函数与导数第1讲集合与常用逻辑用语教师用书理

专题1 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
第1讲集合与常用逻辑用语
题型一| 集合的概念与运算
(1)(2016·江苏高考)已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2<x<3}，则A∩B＝________.
(2)(2016·盐城三模)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5,7,9}，C＝A∩B，则集合C 的子集的个数为________．
【导学号：19592000】
(3)(2016·苏锡常镇二调)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，那么A ∪(∁U B)＝________.
(1){－1,2} (2)8 (3){1,2,5} [(1)在集合A中满足集合B中条件的元素有－1,2两个，故A∩B＝{－1,2}．
(2)由题意可知A∩B＝{1,3,5}，
∴C＝{1,3,5}，
∴集合C的子集共有23＝8个．
(3)由题意可知∁U B＝{1,5}，又A＝{1,2}，
∴A∪(∁U B)＝{1,2,5}．]
【名师点评】解答集合问题的思路
根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解．
(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解；
(2)若给定的集合是点集，用数形结合法求解；
(3)若给定的集合是抽象集合或是用列举法表示的集合，用Venn图求解．
1．(2016·南京二模)设集合A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A∪B＝________.
{x|－2＜x＜1} [∵A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，∴A∪B＝{x|－2＜x＜1}．]
2．(2016·盐城期中模拟)若集合A ＝{x |x ≤m }，B ＝{x |－2＜x ≤2}，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．
[2，＋∞) [∵A ＝{x |x ≤m }，B ＝{x |－2＜x ≤2}，且B ⊆A ，
∴2≤m ，即实数m 的取值范围是[2，＋∞)．]
3．(2016·南通二调)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a －1，a ＋1a ，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为________．
1 [∵A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a －1，a ＋1a ，A ∩B ＝{0}， ∴a －1＝0或a ＋1a
＝0(舍去)， ∴a ＝1.]
4．设全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,3}，B ＝{2,3}，则B ∩(∁U A )＝________. {2} [∵A ＝{1,3}，∴∁U A ＝{2,4}，
∴B ∩(∁U A )＝{2,3}∩{2,4}＝{2}．]
题型二| 命题真假的判断
(1)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，其逆命题，否命题，逆否命题中正确的个数有________个．
(2)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2
.在命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是________．
(1)1 (2)②③ [(1)先证原命题为真：当z 1，z 2互为共轭复数时，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a －b i ，则|z 1|＝|z 2|＝a 2＋b 2，∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假，取z 1＝1，z 2＝i ，满足|z 1|＝|z 2|，但是z 1，z 2不是共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假．故填1.
(2)由不等式性质知，命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而綈p 为假命题，綈q 为真命题．故p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∧(綈q )为真命题，(綈p )∨q 为假命题，②③正确．]
【名师点评】 1.一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律．
2．形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据p ，q 的真假与联结词的含义判定．
1．(2016·泰州模拟)命题“∃x∈Q，x2－8＝0”的否定是________．
【导学号：19592001】∀x∈Q，x2－8≠0[“∃x∈Q，x2－8＝0”的否定是“∀x∈Q，x2－8≠0”．]
2．已知命题p：“若a＝b，则|a|＝|b|”，则命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数有________个．
2[命题的四种形式中，原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假，本题中原命题是真命题，逆命题是假命题，故有2个是真命题．]
3．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“(綈p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
(1，＋∞)[命题p为真时，a≤1；“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(綈p)∧q为真命题，即綈p为真且q为真，即a>1.]
4．已知p：存在x0∈R，mx20＋2≤0；q：任意x∈R，x2－2mx＋1>0.若“p∨q”为假命题，则实数m的取值范围是________．
[1，＋∞)[若存在x0∈R，mx20＋2≤0成立，则m<0，所以若p为假命题，m的取值范围是[0，＋∞)；若任意x∈R，x2－2mx＋1>0，则Δ＝4m2－4<0，即－1<m<1，所以若q为假命题，m的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以若“p∨q”为假命题，则实数m的取值范围是[1，＋∞)．]
题型三| 充分条件与必要条件
(1)(2016·镇江期中)实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，则“ac＜0”是“该方程有实数根”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
(2)已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a
[解题指导]→
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[(1)＋bx＋c＝0有实根，则判别式Δ＝b2－4ac≥0，即b2≥4ac.当ac＜0时，显然有b2≥4ac；但b2≥4ac未必推出ac＜0，故
“ac ＜0”是一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0有实根的充分不必要条件．
(2)由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，故綈p ：－3≤x ≤1，綈q ：x ≤a .
由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，故a ≥1.]
【名师点评】 1.判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一方面由条件p 能否推得条件q ，二是由条件q 能否推得条件p .
2．对于较难判断的命题，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．
设集合A ＝{x |x 2
＋2x －3＜0}，集合B ＝{x ||x ＋a |＜1}，设命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．
[0,2] [因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集． 又集合A ＝(－3,1)，B ＝(－a －1，－a ＋1)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1≥－3，－a ＋1＜1或⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1＞－3，－a ＋1≤1，
解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是0≤a ≤2.]。