河北省沧州市第一中学2018届高三上学期第一次月考文数试题 含解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}{}2|,|lg 0M x x x N x x ===≤,则MN =（ ）A ．[)0,1B ．(]0,1C ．[]0,1D ．(],1-∞ 【答案】C考点：集合的运算. 2.若复数z 满足1zi i=-,其中i 为虚数单位, 则z =（ ） A ． 1i + B ． 1i - C ．1i -- D ．1i -+ 【答案】B【解析】 试题分析：由1zi i=-，得()i i i z +=-=11，则i z -=1，故选项为B. 考点：复数的运算.3.设x R ∈,则“12x <<”是“21x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：由3112<<⇒<-x x ，又因为{}{}3121<<=⊆<<=x x B x x A ，故“12x <<”是“21x -<”的充分不必要条件，故选A. 考点：充要条件.4.已知命题:,23x x p x R ∀∈<；命题32:,1q x R x x ∃∈=-,则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝ 【答案】B考点：复合命题的真假.5.函数()256lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）A ．()2,3B ．(]2,4C ．()(]4332，，⋃D ．()(]1,33,6-【答案】C 【解析】试题分析：要使函数有意义需满足⎪⎩⎪⎨⎧>-+-≥-0365042x x x x ，解得()(]4332，，⋃∈x ，故选C. 考点：函数的定义域.6.设向量()()1,2,1,1,a b c a kb ===+,若b c ⊥,则实数k 的值等于（ ） A ．53 B ．32 C ．32-D ．53-【答案】C 【解析】试题分析：由()()1,2,1,1,a b c a k b ===+，得()k k c ++=2,1，又由b c ⊥得021=+++k k ，解得23-=k ，故选项为C.考点：向量的坐标运算.7.已知数列{}n a 是公差为1的等差数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和, 若844S S =,则10a =（ ） A ．172 B ．192C ．10D ．12 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得()⎩⎨⎧+⨯=⨯+=6441288111a a d ，解得211=a ，则219192110=⨯+=a ，故选B.考点：等差数列的性质.8.已知函数()()1222,1log 1,1x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩,且()3f a =-,则()6f a -=（ ）A ．74-B ．54-C ．34- D ．14-【答案】A 【解析】试题分析：由()3f a =-，得7=a ，则()()47221611=-=-=---f a f ，故选A. 考点：分段函数的性质.9.若函数()ln f x kx x ==-在区间()1,+∞上单调递增, 则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞ 【答案】D考点：利用导数研究函数的单调性.10.在平面直角坐标系中,O 为原点,()(()1,0,,3,0A B C -, 动点D 满足1CD =,则OA OB OD ++的取值范围是（ ）A ．[]4,6B ．1⎤⎦C ．⎡⎣D ．1⎤⎦【答案】D考点：向量的加法及其几何意义.【方法点睛】本题考查了向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．由于动点D 满足1CD =，()0,3C ，可设()θθsin ,cos 3+D []πθ20，∈．再利用向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出．11.设函数()()21ln 11f x x x =+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：()()21ln 11f x x x =+-+，定义域为R ，∵()()x f x f =-，∴函数()x f 为偶函数，当0>x 时，()()2111ln x x x f +-+=函数单调递增，根据偶函数性质可知：得()()21f x f x >-成立，∴12->x x ，∴()2212->x x ，∴x 的范围为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为A.考点：抽象函数的不等式.【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数()x f 为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在x 大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把()()21f x f x >-可转化为12->x x ，解绝对值不等式即可．12.已知函数()()22,0ln 1,0x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩,若()f x ax ≥,则a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．(],1-∞C ．[]2,1-D ．[]2,0- 【答案】D考点：不等式的解法.【方法点晴】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数()x f y =的图象，和函数ax y =的图象，把()f x ax ≥转化为()x f y =的图象始终在ax y =的图象的上方，直线介于l 和x 轴之间符合题意，由导数求切线斜率可得l 的斜率，进而数形结合可得a 的范围．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.若函数()22xf x b =--有两个零点, 则实数b 的取值范围是 ．【答案】()0,2考点：函数的零点.【方法点晴】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．当涉及到零点的个数时主要转化为函数图象交点的个数，在该题中由函数()22xf x b =--有两个零点，可得b x =-22有两个零点，从而可得函数22-=x y 函数b y =的图象有两个交点，结合函数的图象可求b 的范围.14.设数列{}n a 满足：11a =,且()11n n a a n n N *+-=+∈,则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和等于 ． 【答案】1120 【解析】考点：（1）数列的递推式；（2）数列的求和.15.已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切, 则a 的值为 ． 【答案】8 【解析】试题分析：ln y x x =+的导数为xy 11+='，曲线ln y x x =+在1=x 处的切线斜率为2=k ，则曲线ln y x x =+在1=x 处的切线方程为221-=-x y ，即12-=x y ．由于切线与曲线()221y ax a x =+++相切，故()221y ax a x =+++可联立12-=x y ，得022=++ax ax ，又0≠a ，两线相切有一切点，所以有082=-=∆a a ，解得8=a ．故答案为：8．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.【方法点晴】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键，难度中档.求出ln y x x =+的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线()221y ax a x =+++相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据0=∆得到a 的值．16.设x θ=时, 函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值, 则cos θ= ．【答案】5- 【解析】试题分析：()()α-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=x x x x x x f sin 5cos 552sin 555cos 2sin （其中55cos =α，552sin =α），∵θ=x 时，函数()x f 取得最大值，∴()1sin =-αθ，即5cos 2sin =-θθ，又1cos sin 22=+θθ，联立得()1cos 5cos 222=++θθ，解得552cos -=θ．故答案为：5-．考点：（1）两角和与差的正弦函数；（2）正弦函数的定义域和值域.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）在ABC ∆中, 已知2,3,60AB AC A ===. （1）求BC 的长； （2）求sin 2C 的值. 【答案】（1）7；（2）734. 考点：（1）余弦定理的应用；（2）二倍角的正弦.18.（本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知tan 24A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值；（2）若 ,34B a π==,求ABC ∆的面积.【答案】（1）52；（2）9.考点：（1）三角恒等式；（2）三角形的面积公式．19.（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列,23,a a 是方程2560x x -+=的两个实根.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}2nn a 的前n 项和nS.【答案】（1）n a n =；（2）()2211+⋅-=+n n n S .【解析】试题分析：（1）利用{}n a 是递增的等差数列，23,a a 是方程2560x x -+=的根．得到2560x x -+=，再求首项和公差，进一步求通项公式；（2）利用错位相减法求和．试题解析：（1）方程2560x x -+=的两个实根为2,3,由题意得232,3a a ==,设数列{}n a 的公差为d ,则3232,1d a a =-=-=,从而11a =,所以数列{}n a 的通项公式n a n =. （2）由（1）知,12322,122232...2n n n n n a n S n =∴=⨯+⨯+⨯++ ①()23121222...122n n n S n n +∴⨯+⨯++-+ ②①-②得，()()2311212222 (22212)n n n n n S n n ++⨯--=++++-=--()111222122n n n n n +++=--=--，()1122n n S n +∴=-+.考点：（1）等差数列的通项公式；（2）数列求和.【方法点睛】本题主要考查了利用等差数列的性质求等差数列的通项公式，以及常见的利用错位相减法求数列的前n 项和，属于常规题，难度适中.首先通过解一元二次方程，得到等差数列中的两项，从而可以求得等差数列的通项公式；在求数列的前n 项和中，首先应求出该数列的通项公式，然后根据其特征，决定采用何种方法，当表示成等差数列n 和等比数列n2的乘积时，应采用错位相减法.20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列, 满足143,12a a ==,数列{}n b 满足144,20b b ==,且数列{}n n b a -为等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）n a n 3=，123-+=n n n b ；（2）()12132-++=n n n n S .（2）由（1）知,()132n n b n n N -*=+∈,()()231369 (3122)2...2n nS n -∴=++++++++++()()()1123331212122nn n n n n ⨯-+=+=++--.考点：（1）求数列的通项公式；（2）数列求和. 21.（本小题满分12分）已知函数()()24xf x e ax b x x =+--,曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为44y x =+. （1）求,a b 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性, 并求函数()f x 的极大值.【答案】（1）4,4a b ==；（2）()f x 在(),2-∞-和()ln 2,-+∞上单调递增, 在()2,ln 2--单调递减,函数()f x 的极大值为()()2241f e--=-.考点：（1）利用导数研究曲线上某点处切线方程；（2）利用导数研究函数的单调性. 22.（本小题满分12分）已知函数()()21ln 2x f x x -=-.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）证明：当1x >时,()1f x x <-.【答案】（1）10,2⎛ ⎝⎭；（2）证明见解析.考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）不等式的证明.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及不等式的证明，注重对基础知识的考查，也是在高考中常见的考查形式，难度适中；利用导数求函数()f x 的单调性的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③求不等式()0>'x f 和()0<'x f 的解集，得单调区间；常见的证明不等式中，()()0>-x g x f ，令()()()x g x f x h -=，使得()0>x h 恒成立即可，转化为()0min >x h 即可，利用单调性得()min x h .。