(浙江专版)2019版高考数学一轮复习 第九章 复数、计数原理与概率、随机变量及其分布 第六节 随机

X1
2
34
P
1 35
4 35
2 7
4 7
[由题悟法] 离散型随机变量分布列求法的 3 个步骤 (1)找出随机变量 X 的所有可能取值 xi(i＝1,2，3，…，n)； (2)求出各取值的概率 P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事 件的概率是否正确． [提醒] 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量 所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典 概型等知识．
5．有一批种子的发芽率为 0.9，出芽后的幼苗成活率为 0.8， 在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗 的概率为________． 解析：由题意可得所求概率为 0.8×0.9＝0.72，即这粒种 子能成长为幼苗的概率为 0.72. 答案：0.72
课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
[即时应用] 已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区 分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件 次品或者检测出 3 件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率． (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位：元)， 求 X 的分布列． 解：(1)第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 为 P＝25×34＝130.
2)＝________.
解析：由分布列的性质知21a＋22a＋23a＝1，∴a＝3， ∴P(X＝2)＝22a＝13.
答案：13
2．在含有 3 件次品的 10 件产品中，任取 4 件，则取到次品数 X 的分布列为________．
解析：由题意，X 服从超几何分布，其中 N＝10，M＝3，
n＝4，所以分布列为
得 c＝13.
答案：C
2．设离散型随机变量 X 的分布列为 X0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求 2X＋1 的分布列．
解：由分布列的性质，知 0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1， 解得 m＝0.3. 列表
X
01234
2X＋1 1 3 5 7 9
所以 2X＋1 的分布列为
min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
X
0
1
…
m
P
C0MCnN－－0M CnN
C1MCnN－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CNn
如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服
从超几何分布．
4．事件的相互独立性 (1)定义：设 A，B 为两个事件，若 P(AB)＝P(A)P(B) ，则称事
[小题体验] 1．有一批产品共 12 件，其中次品 3 件，每次从中任取一件，在
取到合格品之前取出的次品数 X 的所有可能取值是________．
解析：可能第一次就取到合格品，也可能取完次品后才取 得合格品，所以 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.
答案：0,1,2,3
2．(2018·台州高三年级调考试题)已知离散型随机变量 X 的分 布列为
第六 节 随机变量及其分布
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
课 前 双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
必过 教材 关
1．随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母 X，
1 10
3 10
3 5
考点三 超几何分布
[典例引领]
为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动 员组队参加．现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名．从这 8 名运动 员中随机选择 4 人参加比赛． (1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名 种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率； (2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分 布列．
下重复做的 n 事件 A 发生的次数，设每次试验中
定义 次试验称为 n 事件 A 发生的概率为 p，此时称随机
次独立重复 变量 X 服从二项分布，记作
试验
__X_～__B_(_n_，__p_)_，并称 p 为成功概率
Ai(i＝1,2，…，
计算 公式
n)表示第 i 次 试验结果，则
P(A1A2A3… An)＝P(A1)
(2)若 Y＝aX＋b，其中 a，b 为常数，则 Y 也是随机变量，且 E(aX ＋b)＝ aE(X)＋b .
(3)①若 X 服从两点分布，则 E(X)＝ p ； ②若 X～B(n，p)，则 E(X)＝ np .
7．方差 (1)设离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则 (xi－E(X))2 描述了 xi(i＝1,2，…，n)相对于均值 E(X)的偏
Y，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以 一一列出 的随机变量．
2．离散型随机变量分布列的概念及性质
(1)概念：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，
x2，…，xi，…，xn，X 取每一个值 xi(i＝1,2，…，n)的概 率 P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X
x1
x2
…
xi … xn
P
p1
p2
…
pi … pn
此表称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的
分布列．有时也用等式 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n 表
示 X 的分布列．
(2)分布列的性质 ①pi ≥ 0，i＝1,2,3，…，n；
n
② pi＝ 1 .
i＝1
3．常见的离散型随机变量的分布列
X1 2 3 4
P
1 4
1 4
1 4
1 4
∴E(X)＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝52.
答案：52
4．已知 X 的分布列为
X
－1
0
1
P
1 2
1
1
3
6
设 Y＝2X＋3，则 E(Y)的值为________． 解析：∵E(X)＝－12＋16＝－13， ∴E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73. 答案：73
5．易混“相互独立”和“事件互斥” 两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立 是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影 响，两个事件相互独立不一定互斥．
6．易混淆二项分布与两点分布 由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项 分布，即 n＝1 时的二项分布．
[小题纠偏] 1．已知随机变量 X 的分布列为 P(X＝i)＝2ia(i＝1,2,3)，则 P(X＝
(2)由题意可知 X 的可能取值为 200,300,400， 则 P(X＝200)＝25××14＝110； P(X＝300)＝35××24××13＋25××34××23＝130；
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝35， 所以 X 的分布列如下表所示：
X 200
300
400
P
X
0
1
2
P
a
1 2
1 4
则变量 X 的数学期望 E(X)＝________，方差 D(X)＝
________.
答案：1
1 2
3．有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回 地任取 3 件，若 X 表示取到次品的次数，则 D(X)＝______.
解析：∵X～B3，14，∴D(X)＝3×14×34＝196.
在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰 好发生 k 次的概率为 P(X＝k)＝ Cknpk(1－p)n－k(k＝0，1,2，…，n)
P(A2)…P(An)
6．均值
(1)一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
则称 E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 X 的 均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 ．
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
[谨记通法]
应用离散型随机变量分布列性质的 1 个注意点 利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时 要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．如“题组 练透”第 1 题．
考点二 离散型随机变量分布列的求法
[典例引领] 一个盒子里装有 7 张卡片，其中有红色卡片 4 张，编号分别为 1,2,3,4；白色卡片 3 张，编号分别为 2,3,4.从盒子中任取 4 张卡 片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)． (1)求取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率； (2)在取出的 4 张卡片中，红色卡片编号的最大值设为 X，求随 机变量 X 的分布列．
(1)两点分布列
X
0
1
P __1_－__p__ p
若随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称 X 服从两
点分布，并称 p＝ P(X＝1) 为成功概率．
(2)超几何分布列
在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，
则
P(X ＝ k) ＝
CkMCnN－－kM CnN
， k ＝ 0,1,2 ， … ， m， 其 中 m＝
答案： 9 16
4．抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝{第一枚为正面向上}，B＝{第 二枚为正面向上}，则事件 C＝{两枚向上的面为一正一反} 的概率为________． 解析：P(A)＝P(B)＝12，P( A )＝P( B )＝12. 则 P(C)＝P(A B ＋ A B)＝P(A)P( B )＋P( A )P(B) ＝12×12＋12×12＝0.5.