第9课时 不等式(组)的解法及不等式应用
苏科版2014年中考数学复习：方程与不等式(第9课时 一元一次不等式(组)
第9课时 一元一次不等式（组）【学习目标】了解不等式、不等式解集的意义，掌握不等式的基本性质；会熟练地解一元一次不等式（组），会用数轴表示它们的解集．【课前热身】1．(2013．淄博)当实数a<0时，6＋a _______6－a.（填“<”或“>”）2．(2013．重庆)不等式2x －3≥x 的解集是_______．3．（2013．哈尔滨）不等式组31231x x -<⎧⎨+≥⎩的解集是_______． 4．(2013．包头)若不等式13(x －m)>3－m 的解集为x>1，则m ＝_______．5．(2013．台州)若实数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是( )A ．ac>bcB ．ab>cbC ．a ＋c>b ＋cD ．a ＋b>c ＋b6．下列说法错误的是 ( )A ．不等式x<2的正整数解有一个B ．－2是不等式2x －1<0的一个解C ．不等式－3x>9的解集是x>－3D ．不等式x<10的整数解有无数个7．（2013．随州）不等式2x ＋3≥1的解集在数轴上表示为 ( )8．（2013．河南）不等式组221x x ≤⎧⎨+>⎩的最小整数解为 ( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．29．解下列不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来：(1)10x －3(20－x)≥70； (2)24036x x +>⎧⎨+<⎩10.已知关于x 的一元一次方程3(x ＋1)－4＝2(x －2)＋3的解满足关于x 的一元一次不等式2(x －5)＋1>9a ，求a 的取值范围．【课堂互动】知识点1 不等式的性质例 （2013．恩施）下列命题正确的是 ( )A ．若a>b ，b<c ，则a>cB ．若a>b ，则ac>bcC ．若a>b ，则ac 2>bc 2D ．若ac 2>bc 2，则a>b跟踪训练1．（2013．广东）已知实数a ，b ，若a>b ，则下列结论正确的是 ( )A ．a －5<b －5B ．2＋a<2＋bC ．33a b <D ．3a>3b2．如图，a ，b ，c 三种物体的质量从大到小的关系是_______．知识点2 不等式（组）的解集例1 (2013．武汉)不等式组2010x x +≥⎧⎨-≤⎩的解集是 ( ) A ．－2≤x ≤1 B ．－2<x<1 C ．x ≤－1 D ．x ≥2例2 若不等式2x<4的解都能使关于x 的一次不等式(a －1)x<a ＋5成立，则a 的取值范围是 ( )A ．1<a ≤7B ．a ≤7C ．a<1或a ≥7D ．a ＝7跟踪训练1．(2013．汕头)不等式5x －1>2x ＋5的解集在数轴上表示正确的是 ( )2．如图，数轴上表示某不等式组的解集，则这个不等式组可能是 ( )A ．1020x x +≥⎧⎨-≥⎩B ．1020x x +≤⎧⎨-≥⎩C ．1020x x +≤⎧⎨-≥⎩D ．1020x x +≥⎧⎨-≥⎩知识点3 解不等式（组）例 (2013．三明)解不等式组()305164x x x -≤⎧⎪⎨-+>⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．跟踪训练1．（2013．柳州）不等式4x>8的解集是_______．2．（2013．上海）不等式组1023xx x->⎧⎨+>⎩的解集是_______．3．(2013．成宁)解不等式组634 1213x xxx+≤+⎧⎪+⎨>-⎪⎩知识点4 不等式（组）的整数解例1 (2013．白银)不等式2x＋9≥3(x＋2)的正整数解是_______．例2 (2013．菏泽)解不等式()31511242x xxx⎧-<+⎪⎨-≥-⎪⎩并指出它所有的非负整数解．跟踪训练1．若关于x的不等式3x－a≤0只有两个正整数解，则a的取值范围是_______．2．(2013．烟台)不等式组10420xx-≥⎧⎨-<⎩的最小整数解是_______．3．(2013．常德)求不等式组21025xx x+>⎧⎨>-⎩的正整数解．知识点5 逆用不等式的解集例1 （2013．荆门）若关于x的一元一次不等式组202x mx m-<⎧⎨+>⎩有解，则m的取值范围为( )A．m>－23B．m≤23C．m>23D．m≤－23例2 若关于x的不等式721x mx-<⎧⎨-≤⎩的整数解共有4个，则m的取值范围是( )A．6<m<7 B．6≤m<7 C．6≤m≤7 D．6<m≤7 跟踪训练1．若关于x的不等式组23335x xx a>-⎧⎨->⎩有实数解，则a的取值范围是_______．2．如果不等式213(1)x xx m->-⎧⎨<⎩的解集是x<2，那么m的取值范围是( )A．m＝2 B．m>2 C．m<2 D．m≥23．如果不等式组2223xax b⎧+≥⎪⎨⎪-<⎩的解集是0≤x<1，那么a＋b＝_______．知识点6 学科内综合题例（2013．扬州）已知关于x，y的方程组52111823128x y ax y a+=+⎧⎨-=-⎩的解满足x>0，y>0，求实数a的取值范围．跟踪训练若关于x，y的二元一次方程组3133x y ax y+=+⎧⎨+=⎩的解满足x＋y<2，则a的取值范围是( )A．a>2 B．a<2 C．a>4 D．a<4参考答案课前热身1.<2.x≥33.－2≤x<14.45.B6.C 7．C 8．B9．(1)x≥10，解集在数轴上的表示略(2)－2<x<3，解集在数轴上的表示略10．a<－1课堂互动知识点1例 D跟踪训练1．D 2．a>b>c知识点2例1 A 例2 A跟踪训练1．A 2．A知识点3例不等式组的解集为－1<x≤3，解集在数轴上的表示略跟踪训练1．x>2 2．x>1 3．原不等式组的解集为1≤x<4知识点4例1 1，2，3例2 原不等式组的解集为－2<x≤73．∴不等式的所有的非负整数解为0，1，2跟踪训练1. 6≤a<9 2．x＝3 3．1，2，3，4知识点5例1 C 例2 D跟踪训练1.a<4 2．D 3．1 知识点6例－23<a<2跟踪训练D。
人教版七年级数学下册教学课件(人教版) 第九章 不等式与不等式组 第1课时 解一元一次不等式
归纳总结
一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法 类似，其根据是不等式的基本性质，其步骤是：去 分母、去括号、移项、合并同类项、将未知数的系 数化为 1．
针对训练
1.解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1) 5x＋15＞4x－1；
(2) 2(x＋5)≤3(x－5)；
(3) x 1＜ 2x 5；
知识点三 一元一次不等式的特殊解
例3 求不等式3(x＋1)≥5x－9的非负整数解．
解析：求不等式的非负整数解，即在原不等式的解集 中找出它所包含的“非负整数”特殊解；因此 先需求出原不等式的解集．
解：∵解不等式3(x＋1)≥5x－9得x≤6. ∴不等式3(x＋1)≥5x－9的非负整数解为 0，1，2，3，4，5，6.
等式；(4)是一元一次不等式．
归纳总结
判断一个不等式是否为一元一次不等式的步骤： 先对所给不等式进行化简整理，再看是否满足： (1)不等式的左、右两边都是整式； (2)不等式中只含有一个未知数； (3)未知数的次数是1且系数不为0. 当这三个条件同时满足时，才能判定该不等式是一 元一次不等式．
针对练习
课堂小结
解一元一次不等式的一般步骤和根据如下：
步骤
根据
1
去分母
不等式的基本性质 3
2
去括号
单项式乘以多项式法则
3
移项
不等式的基本性质 1
合并同类项，得 4 ax>b，或ax<b (a≠0)
合并同类项法则
5 系数化为1
不等式的基本性质 3
归方F纳法法 正确理解关键词语的含义是准确解题的关键，
“非负整数解”即0和正整数解．
当堂练习
1.下列不等式中，是一元一次不等式的是( C )
2014届苏科版中考数学复习方案(9)一元一次不等式(组)(25页)
性质3
考点聚焦
归类探究
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第9课时┃考点聚焦
考点2
一元一次不等式
只含有一个未知数，且未知数的最高次 一元 一次 定义 数是1，系数不等于________的不等式， 0
叫做一元一次不等式，其一般形式为ax
＋b>0或ax＋b<0(a≠0)
不等
式及 其解 法 解一元一次
不等式的一
般步骤
(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合
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第9课时┃回归教材
回 归 教 材
“分配”中的不等关系
教材母题
将23本书分给若干名学生，如果每人4本，那么有剩余；如果 每人5本，却又不够．问共有多少名学生？ 解： 设共有x名学生．根据题意，得
解得4.6<x<5.75. 答：共有5名学生．
考点聚焦 归类探究 回归教材
第9课时┃回归教材
中考预测
在芦山地震抢险时，太平镇部分村庄需8组战士步行运送物资， 要求每组分配的人数相同．若按每组人数比预定人数多分配1 人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人， 则总数不够90人，那么预定每组分配________人． 12
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第9课时┃回归教材
解 解得
析
设预定每组分配的人数为x，根据题意得 . 因为人数为正整数，所以x＝12.
不等式的解集 解不等式
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第9课时┃考点聚焦
性质1
不等式两边都加上(或减去)同一个数或同 一个整式，不等号的方向 ____________________________ 不变
2015届湘教版中考数学复习课件(第9课时_一元一次不等式组及其)
第9课时┃ 一元一次不等式(组)及其应用
【失分盲点】 运用不等式的性质3时，应注意不等式的两边同时乘或 除以一个负数，不等号的方向要改变．
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第9课时┃ 一元一次不等式(组)及其应用
探究二
一元一次不等式
命题角度： 1.一元一次不等式的概念； 2.一元一次不等式的解法． 1 2 1 例2 [2014· 北京] 解不等式 x－1≤ x－ ，并把它的解集 2 3 2 在数轴上表示出来．
第9课时┃ 一元一次不等式(组)及其应用
解 析
不等式1＋x＜a的解集为x＜a－1；不等式
x＋9 x＋1 ＋1≥ －1的解集为x≥－37. 2 3
x＜a－1， 若原不等式组有解，则 有解，其解集应为 x≥－37
－37≤x＜a－1，则a－1＞－37，解得a＞－36，故应选C.
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归类探究
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第9课时┃ 一元一次不等式(组)及其应用
考点3
一元一次不等式组
一元一次 不等式组 的概念
把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立 起来，就组成了一个一元一次不等式组
不等式组 先分别求出不等式组中各个不等式的解集， 并表 的解集的 示在数轴上， 再求出它们的公共部分就得到不等 求法 式组的解集
改变 ． 向________
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第9课时┃ 一元一次不等式(组)及其应用
考点2
1.
一元一次不等式及其解法
一元一次不等式的特征： ①只含有一个未知数； ②含未知数的项的次数是 1； ③不等号两边是整式．
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人教版初中数学七年级下册第9章一元一次不等式(组)含参专题——有、无解问题(专题课)教案
人教版初中数学七年级下册第九章一元一次不等式（组）含参专题——有、无解问题（专题课）教案核心素养：1.使学生加深对一元一次不等式组和它的解集的理解，会用数轴确定含参数的一元一次不等式组的参数范围；2.培养学生探究、独立思考的学习习惯，感受数形结合的作用，熟悉并掌握数形结合的思想方法，提高分析问题和解决的能力；3.提升学生之间合作与交流以及对问题的探讨能力，从中发现数学的乐趣.【教学重难点】重点：含参一元一次不等式组的分类解法难点：1.一元一次不等式中字母参数的讨论2.一元一次不等式中运用数轴分析参数的范围【教学过程】1.问题引导 合作交流出示问题：请同学们解下列两个不等式（1）x-2m<0，（2）x+m ＞3并思考m 的取值范围. 同学们不难得出不等式（1）的解为x ＜2m ；（2）的解为x ＞3-m.引导分析m 的取值范围. 师引导，生回答：任意实数.[问题1]如果将上述两个不等式联立成不等式组⎩⎨⎧>+<-302m x m x ,你能确定不等式组的解集吗？ 师提示学生画数轴 ，问：能画几种情况[问题2]如果这个不等式组无解，你能确定m 的取值范围吗？（学生分组讨论）（借助数轴）师生一起分析：如果不等式组无解，则2m ＜3-m ，解得m ＜1。
确定一下“＜”要不要添加“=”（这是参数取值问题中的难点）学生借助数轴讨论.师生总结：2m 和3-m 在两个不等式的解中都不包含，所以2m 可以等于3-m ，即m ≤1.2.变式拓展 强化理解变式1：若不等式组⎩⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅>+⋅⋅⋅≤-②①302m x m x 无解，这时m 的取值会有变化吗？解不等式①得x ≤2m 解不等式②得x ＞3-m（学生分组探究）引导：虽然第一个不等式“＜”改成“≤”通过数轴可以看到由于和第二个不等式的解集不包含3-m ，所以2m ≤3-m ，m 的取值范围仍然是m ≤1.变式2：如果不等式组变化为⎩⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅≤-②①302m x m x ，这时m 的取值又会有改变吗？（学生分组探究）由于两个不等式都含有等号，这时2m 和3-m 可能是公共点，而要想使不等式组无解，2m 和3-m 不能重合，只能2m ＜3-m ，所以m 不能等于1，即m ＜1.3.问题反转[问题3]如果不等式组⎩⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅≤-②①302m x m x 有解，怎样确定 m 的取值范围？把两个不等式的解集在数轴上表示出，同学们观察数轴 ，不难得出要想使不等式组有解，只要2m ≥3-m ，即m ≥1这样两个不等式的解集有公共部分，不等式组有解，所以m 的取值范围m ≥14.方法小结 归纳步骤解含参一元一次不等式（组）有、无解问题时注意掌握四个步骤:一解 .解不等式组，用参数分别表示出两个不等式的解集；二画.借助数轴进行视觉观察，画出有无解的情况；三验：验证端点取舍判断等号是否可取；四：列出不等式，确定取值范围5，拓展演练 题型再变[问题4]下面这种类型的一元一次不等式组如何确定字母参数取值范围？例：已知不等式组⎩⎨⎧⋅⋅⋅-<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥-②①22-10x x a x 的解集是x ＞1，求a 的取值范围？学生分组解出每个不等式的解集：解①得：x ≥a 解②得：x ＞1因为不等式的解集是x ＞1，（学生分组探讨）：a 的位置在数轴上应该在哪个位置？ 分析得出：a 在数轴上的位置应该在1的左侧.把不等式组的解集在数轴上表示出来：即a ＜1，[思考3]a 可不可以等于1？因为a=1时不等式组的解集仍然是x ＞1.所以a 可以等于1，即a 的取值范围a ≤15.基础过关1.若不等式组⎩⎨⎧≤≥-m x x 062 无解，求m 的取值范围? 2.若不等式组⎩⎨⎧>+<--xx a x x 422)2(3有解，求a 的取值范围?3.若不等式组⎩⎨⎧+>+<+1137m x x x 的解集是x ＞3，求m 的取值范围?。
人教版七年级下册数学第9章 不等式与不等式组全章课件
（2）“提前完成任务”是什么意思？
10天的工作量 ≥ 500件
（三）深入探究,阶段小结
解：每个小组每天生产x件产品，
依题意得： 3×10x<500, ① 3×10(x+1)>500. ②
①式解得：x
<
16
2 3
②式解得：x
>15
2 3
∴不等式组的解集为
15
2 3
<x
< 16
问题3：
从刚才的练习中你发现了什么？请你把你的发现和合作小组的同学 交流．
⑴ 5＞3， 5+2 ＞ 3+2， 5-2 ＞ 3-2； ⑵ -1＜3， -1+2 ＜ 3+2，-1-3＜ 3-3； ⑶ 6＜2， 6×5 ＜ 2×5，
6×（-5） ＞2×（-5）； ⑷ -2＜3， （-2）×6 ＜ 3×6，
依题意得：40x≤2400 且 40x≥2000
（二）概念认识
c>10－3 且 c<10+3
c >10－3 c <10+3
一元一次 不等式组
40x≤2400 且 40x≥2000
40x≤2400
【问题3】
40x≥2000
请大家判断一下，下列式子是一元一次不等式
组吗？一元一次不等式组有什么特点？
x － 3 >0
23 从图中可以找到两个不等式解集的公共部分， 得不等式组的解集是: x >3
（五）练习巩固
【问题 7】完成课本 140 页练习 1.
（六）课堂小结
【问题 8】本节课你学到了哪些知识？
第九章 不等式与不等式组
第09讲 基本不等式(解析版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)
第09讲基本不等式知识点一基本不等式与重要不等式1．算术平均数与几何平均数对于正数a ，b ，我们把a ＋b2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数．2．基本不等式如果a ，b 是正数，那么ab ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时，等号成立).3．两个重要不等式当a ，b ∈R 时，则（1）ab ≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时，等号成立)；（2）ab 2(当且仅当a ＝b 时，等号成立).知识点二基本不等式与最值对于正数a ，b ，在运用基本不等式时，应注意：(1)和a ＋b 为定值时，积ab 有最大值；积ab 为定值时，和a ＋b 有最小值；(2)a ＝b 时，ab .1．基本不等式的变形利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．2．应用基本不等式解简单的实际应用题(函数类)(1)合理选择自变量，建立函数关系；(2)寻找利用基本不等式的条件(和或积为定值)；(3)解题注意点：①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；②根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；③在求函数的最值时，一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解．考点一：利用基本不等式证明不等式例1已知a ＞b ，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥8.【证明】因为a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a≥2bc a ，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．【总结】变式(1)已知a ＞b ，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.【证明】因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．(2)已知a ＞b ，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥10.【证明】因为a ，b ，c 都为正实数，＝4＋b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．所以111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥10.考点二：利用基本不等式求最值例2(1)已知x >2，则x ＋4x －2的最小值为________；(2)若0<x <12，则12x (1－2x )的最大值是________；(3)若x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________．【答案】(1)6(2)116(3)9【解析】(1)因为x >2，所以x －2>0，所以x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以x ＋4x －2的最小值为6.(2)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以12x (1－2x )＝14×2x ×(1－2x )≤142＝14×14＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即当x ＝14时，等号成立，所以12x (1－2x )的最大值为116.(3)因为x ＞0，y ＞0，x ＋4y ＝1，所以1x ＋1y ＝x ＋4y x ＋x ＋4y y＝5＋4y x ＋xy ≥5＋24y x ·xy＝9，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝13，y ＝16时取等号．变式求下列函数的最值．(1)已知x ＞1，求y ＝4x ＋1＋1x －1的最小值；(2)已知0＜x ＜1，求x (4－3x )的最大值；(3)已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋2b ＝1,求2a ＋1b 的最小值．【解析】(1)∵x ＞1，∴x －1＞0，∴y ＝4x ＋1＋1x －1＝4(x －1)＋1x －1＋5≥24（x －1）·1x －1＋5＝9，当且仅当4(x －1)＝1x －1即x ＝32时取等号，∴y ＝4x ＋1＋1x －1的最小值为9.(2)∵0＜x ＜1，∴x (4－3x )＝13·(3x )·(4－3x )≤132＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时取等号，故x (4－3x )的最大值为43.(3)∵a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋2b ＝1，∴2a ＋1b (a ＋2b )＝4＋4b a ＋ab ≥4＋24b a ·ab＝8，当且仅当4b a ＝a b 且a ＋2b ＝1，即b ＝14，a ＝12时取等号，故2a ＋1b的最小值为8.考点三：利用基本不等式求参数的取值范围例3(1)已知函数y ＝x ＋ax＋2的值构成的集合为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是()A ．12B ．32C ．1D ．2(2)已知函数y ＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，y ≥3恒成立，则a 的取值范围是________．【答案】(1)C(2)－83，＋∞【解析】(1)由题意可得a ＞0，①当x ＞0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x ＜0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号，－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1．故选C ．(2)对任意x ∈N *，y ≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥3．设z ＝x ＋8x ，x ∈N *，则z ＝x ＋8x ≥42，当x ＝22时等号成立，又x ＝2时z ＝6，又x ＝3时z ＝173．∴a ≥－83，故a 的取值范围是－83，＋]【总结】变式已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________．【答案】2【解析】依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xyx ＋y≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2．又λ≥x ＋22xyx ＋y ，因此有λ≥2，即λ的最小值为2．考点四：利用基本不等式解应用题例4某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池(平面图如图所示).如果池四周围墙建造单价为400元/m ，中间两道隔墙建造单价为248元/m ，池底建造单价为80元/m 2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．【解析】设隔墙的长度为x m ，总造价为y 元，则隔墙造价为2x ×248＝496x 元，池底造价为200×80＝16000元，x ＋2×400＝800元．因此，总造价为y ＝496x ＋800200x x ⎛⎫+⎪⎝⎭＋16000(0＜x ＜50)＝1296x ＋160000x＋16000≥21296x ·160000x ＋16000＝28800＋16000＝44800.当且仅当1296x ＝160000x，即x ＝1009时，等号成立．这时，污水池的长为18m ．故当污水池的长为18m ，宽为1009m 时，总造价最低，最低为44800元．【总结】变式某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y 1万元，隔热层的厚度为x 厘米，两者满足关系式：y 1＝k 2x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数).若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记y 2为15年的总费用(总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用).(1)求y 2的表达式；(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y 2最小，并求出最小值．【解析】(1)依题意，当x ＝0时，y 1＝6，∴6＝k5，∴k ＝30.故y 1＝302x ＋5，y 2＝4x ＋302x ＋5×15＋10＝4x ＋4502x ＋5＋10(0≤x ≤10).(2)y 2＝4x ＋4502x ＋5＋10＝(4x ＋10)＋4502x ＋5＝2(2x ＋5)＋4502x ＋5≥22（2x ＋5）·4502x ＋5＝60，当且仅当2(2x ＋5)＝4502x ＋5，即x ＝5时，y 2取得最小值，最小值为60，∴隔热层的厚度为5厘米时，15年的总费用达到最小值，最小值为60万元．1．下列不等式中，正确的是()A.a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥23【答案】D 【解析】a <0，则a ＋4a ≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b 2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝2，则1x ＋x y ＋1的最小值为()A.12＋536B ．13＋36C.13＋233D ．32【答案】C【解析】因为x ＋y ＝2，所以y ＝2－x ，又x ＞0，y ＞0，所以0＜x ＜2，1x ＋x y ＋1＝1x ＋x 2－x ＋1＝1x ＋x 3－x ＝13×3－x x ＋x 3－x ＋13，因为0＜x ＜2，所以3－x ＞0，所以13×3－x x ＋x 3－x＋13≥213×3－x x ×x 3－x＋13＝233＋13，当且仅当13×3－x x＝x 3－x ，即x ＝33－32时取等号，所以1x ＋x y ＋1的最小值为233＋13.故选C.3．(多选)下列各选项中y 的最大值为12的是()A.y ＝x 2＋116x 2B.y ＝x 1－x 2，x ∈[0,1]C.y ＝x 2x 4＋1D.y ＝x ＋4x ＋2，x >－2【答案】BC【解析】对于A,y ＝x 2＋116x2≥2x 2·116x 2＝12；对于B,y ＝x 1－x 2＝x 2（1－x 2）≤x 2＋1－x 22＝12；对于C,y ＝x 2x 4＋1＝1x 2＋1x2≤12；对于D,y ＝x ＋4x ＋2＝x ＋2＋4x ＋2－2≥4－2＝2.故选B 、C.4．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为a 万元/次，一年的总存储费用为6ax 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是________．【答案】10【解析】设一年的总费用为y ，则y ＝600x ·a ＋6ax ≥2600ax·6ax ＝2×60a ＝120a ，当且仅当600ax＝6ax ，即x ＝10时等号成立，所以要使一年的总运费与总存储费之和最小，x 的值是10.5．甲、乙两同学分别解“设x ≥1，求函数y ＝2x 2＋1的最小值”的过程如下：甲同学：y ＝2x 2＋1≥22x 2·1＝22x ，又x ≥1，所以22x ≥22.从而y ≥22x ≥22，即y 的最小值是22.乙同学：因为y ＝2x 2＋1在x ≥1时的图象随着x 增大而逐渐上升，即y 随x 增大而增大，所以y 的最小值是2×12＋1＝3.试判断谁错，错在何处？【解析】甲错．甲直接利用基本不等式求最值，忽略了不等式成立的条件．当2x 2＋1≥22x 2时，有2x 2＝1，此时x 不在范围内，故此题不能用基本不等式求解．乙正确．利用函数图象，由图象判断y 的最小值．6．已知x >0，则9x＋x 的最小值为()A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】∵x >0，∴9x ＋x ≥2x ·9x ＝6．当且仅当x ＝9x即x ＝3时取得最小值6．7．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4则()A ．1a ＋1b ≤1B ．1a ＋1b ≥2C ．ab ≤4D ．ab ≥8【答案】C【解析】设a ，b 为正数，且a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．8．若a ＞0，且a ＋b ＝0，则a －1b＋1的最小值为________．【答案】3【解析】由a ＋b ＝0，a ＞0，得b ＝－a ，－1b ＝1a＞0，所以a －1b ＋1＝a ＋1a ＋1≥3，当且仅当a ＝1，b ＝－1时取等号．9．已知ab ＝1，a >0，b >0．则a ＋b 的最小值为________．【答案】2【解析】因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ＝2．当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，故a ＋b 的最小值为2．]10．把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________cm 2．【答案】23【解析】设两段长分别为x cm ，(12－x )cm ，则S ＝34×＋34×＝336[x 2＋(12－x )2]≥336×(x ＋12－x )22＝23．当且仅当x ＝12－x ，即x ＝6时取等号，故两个正三角形面积之和最小值为23cm 2．1．已知P ＝a 2＋4a2(a ≠0)，Q ＝b 2－4b ＋7(1＜b ≤3).则P ，Q 的大小关系为()A.P ＞Q B ．P ＜Q C.P ≥Q D ．P ≤Q【答案】C【解析】P ＝a 2＋4a 2≥2a 2·4a2＝4，当且仅当a ＝±2时等号成立，Q ＝b 2－4b ＋7＝(b －2)2＋3≤4，当b ＝3时等号成立，所以P ≥Q .故选C.2．已知a ＞0，b ＞0，则“ab ≤1”是“2aba ＋b≤1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】a ＞0，b ＞0，若ab ≤1，则由a ＋b ≥2ab 得2aba ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ≤1，充分性成立，若2ab a ＋b ≤1，例如a ＝23，b ＝2，则2ab a ＋b＝1，但ab ＝43＞1，因此必要性不成立．故选A.3．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab ，则a 2＋b 2的最小值为()A.2B ．22C.4D ．42【答案】C【解析】∵a >0，b >0，∴1a ＋1b＝ab ≥21ab，ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，∴a 2＋b 2≥2ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．综上，a 2＋b 2的最小值是4.故选C.4．若对x >0，y >0，有(x ＋2y )·21x y ⎛⎫+⎪⎝⎭≥m 恒成立，则m 的取值范围是()A.m ≤4B ．m >4C.m <0D ．m ≤8【答案】D【解析】由x >0，y >0，得(x ＋2y )21x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2＋4y x ＋xy ＋2≥4＋24y x ·xy＝8，当且仅当2y ＝x 时取等号，则m ≤8.故选D.5．对于使－x 2＋2x ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做－x 2＋2x 的上确界，若a ，b ∈R＋，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为()A.92B ．－92C.14D ．－4【答案】B【解析】由题意可知，只需求－12a －2b 的最大值即可，因此可先求12a ＋2b 的最小值，12a ＋2b＝12y a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(a ＋b )＝52＋b 2a ＋2a b ≥92，当且仅当b 2a ＝2a b ，即a ＝13，b ＝23时取等号，所以－12a －2b 的最大值是－92.故选B.6．(多选)设a ，b 是正实数，则下列各式中成立的是()A.a ＋b ≥2ab B ．b a ＋ab ≥2C.a 2＋b 2ab≥2abD ．a ＋b 2≤2aba ＋b 【答案】ABC 【解析】由a ＋b2≥ab 得a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴A 成立；∵b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴B 成立；∵a 2＋b 2ab≥2abab＝2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴C 成立；∵a ＋b 2－2ab a ＋b ＝（a －b ）22（a ＋b ）≥0，∴a ＋b 2≥2aba ＋b ，∴D 不成立．故选A 、B 、C.7．(多选)已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，那么下列不等式中，恒成立的有()A.ab ＜14B ．a 2＋b 2≥12C.a ＋b ≤2D ．1a ＋12b≥22【答案】BC【解析】A ，因为a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，所以ab 2＝14＋b ＝1，＝b ，即a ＝b ＝12时，等号成立，故A 错误；B ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝2＋12≥12，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故B 正确；C ，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ＝1＋2a (1－a )＝1＋2－a 2＋a＝1＋≤2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，因此a ＋b ≤2，故C 正确；D ，1a＋12b ＝a ＋b a ＋a ＋b 2b＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2b a ·a 2b ＝32＋2＝a2b ，b ＝1，＝2－1，＝2－2时，等号成立，故D 错误．故选B 、C.8．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则1，ab ，a 2＋b 22的大小关系是________．【答案】ab ＜1＜a 2＋b 22【解析】因为a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝2，所以a ＋b ≥2ab ，即ab 2＝1，又a ≠b ，所以ab ＜1，因为(a －b )2＞0，所以a 2＋b 22＞ab ，则2(a 2＋b 2)＞(a ＋b )2＝4，a 2＋b 22＞1，所以ab ＜1＜a 2＋b 22.9．下列条件中能使b a ＋ab≥2成立的是________．①ab ＞0；②ab ＜0；③a ＞0，b ＞0；④a ＜0，b ＜0.【答案】①③④【解析】要使b a ＋a b ≥2成立，只需b a ＞0，a b ＞0即可，此时b a ＋ab≥2b a ·a b ＝2，当且仅当b a ＝ab等号成立，若ba＜0，则不等式不成立，即只需a ，b 同号即可，故①③④满足．10．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园．设菜园的长为x 米，宽为y 米．若菜园面积为50平方米，则所用篱笆总长的最小值为________；若使用的篱笆总长度为30米，则1x＋2y的最小值为________．【答案】20310【解析】若菜园面积为50平方米，则xy ＝50，所以篱笆总长x ＋2y ≥22xy ＝20，当且仅当x ＝2y ，即x ＝10，y ＝5时等号成立，故所用篱笆总长的最小值为20；若使用的篱笆总长度为30米，则x ＋2y ＝30，所以1x ＋2y ＝130×(x ＋2y)＝130＋2y x ＋≥130＋＝310，当且仅当x ＝y ，即x ＝10，y ＝10时等号成立，所以1x ＋2y 的最小值为310.11．(1)已知a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝4，求ab 的最大值；(2)若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，求9a ＋1＋1b 的最小值．【解析】(1)ab ＝12a ×2b ≤122＝2，当且仅当a ＝2b ＝2即a ＝2，b ＝1时取等号．故ab 的最大值为2.(2)a ＋b ＝1，即(a ＋1)＋b ＝2，∵a ＞0，b ＞0，故9a ＋1＋1b ＝12[(a ＋1)＋b ]＝12＋9b a ＋1＋≥8，当且仅当9b a ＋1＝a ＋1b 时等号成立，又a＋b ＝1，∴a ＝b ＝12min＝8.12．已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b ＋a ＋bc的最小值为()A.2B ．2＋2C.4D ．2＋22【答案】D【解析】因为△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，所以12(a ＋b ＋c )×1＝1，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b ＋a ＋bc ≥2＋22，当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立，所以4a ＋b ＋a ＋bc的最小值为2＋22.13．(多选)下列说法正确的为()A.若x ＞0，则x (2－x )最大值为1B.函数y ＝2（x 2＋4）x 2＋3的最小值为4C.|x ＋1x |≥2D.已知a ＞3时，a ＋4a －3≥2a ·4a －3，当且仅当a ＝4a －3即a ＝4时，a ＋4a －3取得最小值8【答案】AC【解析】选项A ，若x ＞0，则x (2－x )≤x ＋（2－x ）22＝1，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时等号成立，故选项A 正确；选项B ，y ＝2（x 2＋4）x 2＋3＝2（x 2＋3＋1）x 2＋3＝2(x 2＋3＋1x 2＋3)≥2×2x 2＋3·1x 2＋3＝4，当且仅当x 2＋3＝1x 2＋3，即x 2＝－2时等号成立，显然取不到最小值，故选项B 错误；选项C ，当x ＞0时，|x ＋1x |＝x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立；当x ＜0时，－x ＞0，所以|x ＋1x |＝(－x )＋1－x≥2（－x ）·1－x ＝2，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时等号成立，所以|x ＋1x |≥2，故选项C 正确；选项D ，当a ＞3时，a ＋4a －3＝a －3＋4a －3＋3≥2（a －3）·4a －3＋3＝7，当且仅当a －3＝4a －3，即a ＝5时等号成立，故选项D 错误．故选A 、C.14．若正实数a ，b ，c 满足a 2－3ab ＋4b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，2a ＋1b －2c的最大值为________．【答案】1【解析】由条件可得c ＝a 2－3ab ＋4b 2，则abc ＝ab a 2－3ab ＋4b 2＝1a b －3＋4×ba，由a b －3＋4×b a ＝4×b a ＋ab －3≥24×b a ×ab－3＝1，当且仅当4×b a ＝a b ，即a ＝2b 时，ab c 有最大值，此时c ＝2b 2，所以2a ＋1b －2c ＝2b －1b 22＋1，当b ＝1时，2a ＋1b －2c 有最大值1.所以2a ＋1b －2c的最大值为1.15．“勾股容方”问题出自我国汉代数学名著《九章算术》，该问题可以被描述为：“设一直角三角形(如图①)的两直角边长分别为a 和b ，求与该直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长．”公元263年，数学家刘徽为《九章算术》作注，在注中他利用出入相补原理给出了上述问题如图②和图③所示的解答，则图①中与直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长为________，当内接正方形的面积为1时，则图③中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为________．【答案】aba ＋b2【解析】设内接正方形的边长为x ，则图②的面积为ab ，图③的面积为(a ＋b )x ，因为图②和图③的面积相等，则有ab ＝(a ＋b )x ，解得x ＝ab a ＋b ，故内接正方形的边长为aba ＋b.因为内接正方形的面积为1，所以内接正方形的边长x ＝1，则有a ＋b ＝ab ，利用基本不等式可得a ＋b ＝ab ≥2ab ，故ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和为ab －2≥2，故图③中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为2.16．某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价，现在有三种提价方案：方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：第一次提价q %，第二次提价p %；方案丙：第一次提价p ＋q 2%，第二次提价p ＋q2%.其中p ＞q ＞0，比较上述三种方案，哪一种提价少？哪一种提价多？【解析】不妨设提价前的价格为1，则方案甲：两次提价后的价格为(1＋p %)(1＋q %)＝1＋p %＋q %＋0.01pq %，方案乙：两次提价后的价格为(1＋q %)(1＋p %)＝1＋p %＋q %＋0.01pq %，＋p ＋q2%＋p ＋q 2%＝1＋p %＋q %＋0.012%，由于p ＞q ＞0，由基本不等式p ＋q ≥2pq ，当且仅当p ＝q 时等号成立，2≥pq ，又p ≠q 2＞pq .因此方案丙提价最多，方案甲、乙少，且提价一样．17．已知a ，b 为正实数，且1a ＋1b＝22.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2＝4(ab )3，求ab 的值．【解析】(1)因为a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝22，所以1a ＋1b ＝22≥21ab ，即ab ≥12(当且仅当a ＝b 时等号成立).因为a 2＋b 2≥2ab ≥2×12＝1(当且仅当a ＝b 时等号成立)，所以a 2＋b 2的最小值为1.(2)因为1a ＋1b＝22，所以a ＋b ＝22ab .因为(a －b )2＝4(ab )3，所以(a ＋b )2－4ab ＝4(ab )3，即(22ab )2－4ab ＝4(ab )3，即(ab )2－2ab ＋1＝0，(ab －1)2＝0.因为a ，b 为正实数，所以ab ＝1.18．某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用).(1)将2021年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m 的函数；(2)该厂家2021年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？【解析】(1)由题意，可知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx元，∴y ＝－(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m＝4＋－m＝－16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0).(2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时等号成立，∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2021年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。
高一数学第一章(第9课时)绝对值不等式的解法(二)
绝对值不等式的解法（二）教学目的：（1）巩固c b ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法，并能熟练地应用它解决问题；掌握分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式；（2）培养数形结合的能力，分类讨论的思想，培养通过换元转化的思想方法，培养抽象思维的能力；教学重点：分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式 教学难点：如何正确分类与分段，简单的参数问题 教学过程：一、复习引入： 不等式)0(><a a x 的解集是： 不等式)0(>>a a x 的解集是： 不等式)0(><+c c b ax 的解集为： 不等式)0(>>+c c b ax 的解集为：二、讲解范例：例1 解不等式 1≤ | 2x-1 | < 5.练习：解不等式:7522≤-<x例2 解不等式：|4x-3|>2x+1.练习：解不等式：1>x-x234-例3 解不等式：|x-3|-|x+1|<1.练习：解不等式：| x+2 | + | x | >4.三、小结：对含有绝对值的不等式的解法,通过上面的例子我们可以看到,其关键就在于去掉绝对值,而去掉绝对值,则需要对绝对值中的零点进行讨论,一般来说一个零点分两个范围,两个零点分三个零点,依次类推.五、作业:1 不等式|x-1|+|x-2|≤3的最小整数解为( )A.0B.-1C.1D. 22.不等式|3x+2|>|2x+3|的解集是3．不等式333>--+x x 的解集是 4 已知集合A=｛x|2<|6-2x|<5,x ∈N ｝,求A.5解不等式（1）143-<-x x （2）7523>--+x x。
2014中考冲刺数学复习要点梳理课件第9课 不等式与不等式组
解 原不等式组的解集是a≤x<2， 四个整数解指1，0，－1，－2，∴－3<a≤－2.
第9课 不等式与不等式组
考点跟踪训练
变式训练2 (2012· 连云港) 解不等式： x－1＞2x，并把解集在数轴上表示出来．
解 移项，得 x－2x＞1，合并同类项，得－ x＞1，不等式的两边都乘以－2 ，得x＜－2. 在数轴上表示不等式的解集为：
第9课 不等式与不等式组
3. 解不等式组 并写出该不等式组的整数解．
解 由①得x≤1， 由②得x>－2， ∴－2<x≤1，整数x＝－1或0或1. 即原不等式组的整数解是－1，0，1.
第9课 不等式与不等式组
温馨提醒：请同学们在课前完成客观题训练
第9课 不等式与不等式组
要点梳理
1．定义： (1)用不等号连接起来的式子叫做不等式； (2)使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解； (3)一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集； (4)求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式． 2．不等式的基本性质： (1)不等式两边都同时加上或减去同一个数或同一个整式，不等式仍然成立；若a>b，则 a±c>b±c. (2)不等式两边都同时乘以或除以同一个正数，不等式仍然成立；若a>b，c>0，则ac>bc， (3)不等式两边都同时乘以或除以同一个负数，改变不等号的方向，改变后不等式仍能成立；若 a>b，c<0，则ac<bc， 3．解一元一次不等式的步骤及程序： 除了“当用一个负数去乘或除不等式的两边时，必须改变不等号的方向”这个要求之外，与 解一元一次方程相同． 4．解不等式组： 一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就 得到不等式组的解集．由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集有四种情况，其口
中考数学复习讲义课件考点解读第二单元 方程(组)与不等式(组) 第9讲 一元二次方程及其应用 (2)
一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产10万件，
第三天生产14.4万件，若每天增长的百分率相
同．试回答下列问题：
(1)求每天增长的百分率；
(2)经调查发现，1条生产线最大产能是20万件/天，
若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减
口罩60万件，在增加产能同时又要节省投入的条件 下(生产线越多，投入越大)，应该增加几条生产线？ [分析] (1)设每天增长的百分率为x，根据开工第一 天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方 程，解之取其正值即可得出结论； (2)设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产 能为(20－2m)万件/天，根据每天生产口罩60万件， 即可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值 即可得出结论．
[点评] 本题考查了一元二次方程的应用，找准等 量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20000个，1月底因突然爆发新 冠肺变炎式疫训情，市场对口罩需求
练
量大增，为满足市场需求，工
厂决定从2月份起扩大产能，3
月份平均日产量达到24200个．
(1)求口罩日产量的月平均增长
率；
解：(1)设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题 意，得20000(1＋x)2＝24200， 解得x1＝－2.1(舍去)，x2＝0.1＝10%. 答：口罩日产量的月平均增长率为10%. (2)24200(1＋0.1)＝26620(个)． 答：预计4月份平均日产量为26620个．来自有实数根A，则m的值可以为()
A．－1
1 4
B．－
C．0
D．1
命题点3一元二次方程根的判别
式(10年1考)
8．(20A15·衡阳)若关于x的方程x2
＋3x＋a＝0有一个根为－1，则
2022年中考数学人教版一轮复习讲练课件：第9课 方程与不等式的综合应用
解：(1)设长益段高铁全长为 x 千米，长益城际铁路全长为 y 千米． 根据题意，得y6y＝0＝x＋1x64×01330，解得xy＝＝16044，.
答：长益段高铁全长为 64 千米，长益城际铁路全长为 104 千米．
(2)设甲队后期每天施工 a 千米． 甲原来每天的施工长度为 64÷40×176＝0.7(千米)， 乙每天的施工长度为 64÷40×196＝0.9(千米)． 根据题意，得 0.7×5＋0.9×(40－3)＋(40－3－5)a≥64， 解得 a≥0.85. 答：甲工程队后期每天至少施工 0.85 千米，可确保工程提早 3 天以上(含 3 天)完成．
解：(1)设甲型货车每辆可装载 x 箱பைடு நூலகம்料，乙型货车每辆可装载 y 箱材料，
依题意，得2300xx＋＋6500yy＝＝11 450000，解得xy＝＝1255. 答：甲型货车每辆可装载 25 箱材料，乙型货车每辆可装载 15 箱材料．
(2)设租用 m 辆甲型货车，则租用(70－m)辆乙型货车， 依题意，得2750m－＋m1≤53（m 70－m）≤1 245 解得325≤m≤329. 又∵m 为整数，∴m 可以取 18，19， ∴该公司共有 2 种租车方案， 方案 1：租用 18 辆甲型货车，52 辆乙型货车； 方案 2：租用 19 辆甲型货车，51 辆乙型货车．
解：(1)A 型消毒液的单价是 x 元，B 型消毒液的单价是 y 元， 依题意，得52xx＋＋23yy＝＝5431，解得xy＝＝97， 答：A 型消毒液的单价是 7 元，B 型消毒液的单价是 9 元．
(2)设购进 A 型消毒液 a 瓶，
则购进 B 型消毒液(90－a)瓶，费用为 w 元，
依题意可得 w＝7a＋9(90－a)＝－2a＋810，
七级数学下册第九章不等式与不等式组9.1不等式9.1.1不等式及其解集一课一练基础闯关(含解析)(新)新人教
9.1 不等式 9.1.1 不等式及其解集一课一练·基础闯关题组不等式的定义和列不等式1.数学表达式①-5<7；②3y-6>0；③a=6；④2x-3y；⑤a≠2；⑥7y-6>y+2，其中是不等式的有( )A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】选C.数学表达式①-5<7、②3y-6>0、⑤a≠2、⑥7y-6>y+2是不等式；③a=6是等式；④2x-3y是代数式.综上不等式有4个.2.(2017·卧龙期中)数x不小于3是指( )A.x≤3B.x≥3C.x>3D.x<3【解析】选B.数x不小于3是指x≥3.3.(2017·利州模拟)高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙≥150毫克”，它的含义是指( )A.每100克内含钙150毫克B.每100克内含钙不低于150毫克C.每100克内含钙高于150毫克D.每100克内含钙不超过150毫克【解析】选B.根据≥的含义，“每100克内含钙≥150毫克”，就是“每100克内含钙不低于150毫克”.4.下面列出的不等式中，正确的是( )A.a不是负数，可表示成a>0B.x不大于3，可表示成x<3C.m与4的差是负数，可表示成m-4<0D.x与2的和是非负数，可表示成x+2>0【解析】选C.a不是负数，可表示成a≥0；x不大于3，可表示成x≤3；m与4的差是负数，可表示成m-4<0；x与2的和是非负数，可表示成x+2≥0.【变式训练】下列各项中，蕴含不等关系的是( )A.老师的年龄是你的年龄的2倍B.小军和小红一样高C.小明岁数比爸爸小26岁D.x2是非负数【解析】选D.根据A的题意可列出等量关系；B是等量关系；小明的岁数加上26与他爸爸的岁数相同，是等量关系；由x2是非负数可知x2≥0，是不等关系.5.(2017·滕州模拟)用不等号连接下列各组数：(1)π________3.14.(2)(x-1)2________0.(3)-________-.【解析】(1)π>3.14.(2)(x-1)2≥0.(3)-<-.答案：(1)> (2)≥(3)<6.(教材变形题·P115练习T1)用不等式表示：(1)x与1的差是正数.(2)y的2倍与1的和小于3.(3)y的3倍与x的2倍的和是非正数.(4)b 的与c的和是负数.(5)x的绝对值与2的和不小于3.【解析】(1)x-1>0. (2)2y+1<3. (3)3y+2x≤0.(4)b+c<0. (5)|x|+2≥3.【知识归纳】不等关系的描述在描述同类量之间的关系时，常常会用“至少”“不足”“不大于”“不小于”等表示不等关系，常用的不等号有以下5种.种类符号实际意义读法举例小于号< 小于、不足小于3+1<7大于号> 大于、高出大于3+5>7小于或等于号≤不大于、不超过、至多小于或等于(不大于)x≤10大于或等于号≥不小于、不低于、至少大于或等于(不小于)y≥9不等号≠不相等不等于1≠-1题组不等式的解与解集1.(2017·高平期中)下列各数中，是不等式3x-2>1的解的是( )A.1B.2C.0D.-1【解析】选B.只有x=2使不等式成立.2.下面说法正确的是( )A.x=3是不等式2x>3的一个解B.x=3是不等式2x>3的解集C.x=3是不等式2x>3的唯一解D.x=3不是不等式2x>3的解【解析】选A.x=3是不等式2x>3的一个解，故A正确，D错误；由于4，5，6等都适合不等式2x>3，所以x=3不是不等式2x>3的唯一解，更不是不等式的解集，故B，C错误.3.不等式x<2在数轴上表示正确的是( )【解析】选A.x<2是指在数轴上，从表示2的点往左的部分的点表示的数(不含2这个点).【知识归纳】在数轴上表示不等式的解集1.空心点表示不包含该数，实心点表示包含该数.2.大于往右画，小于往左画.【变式训练】把不等式x≥-1的解集在数轴上表示出来，正确的是( )【解析】选B.大于方向是向右的，含等于是实心点.4.(2017·启东期中)下列数中：76，73，79，80，74.9，75.1，90，60，是不等式x>50的解的有( )A.5个B.6个C.7个D.8个【解析】选A.76，79，80，75.1，90满足不等式x>50，所以所给数据中满足不等式解的有5个.5.写出两个使不等式x-4>5成立的数，如x=________，________；写出两个使不等式x-4<5成立的数如x=________，________.【解析】当x=10，23，10.1，11等时，不等式x-4>5成立；当x=8，7，0，-1等时，不等式x-4<5成立. 答案：不唯一.如10 11 0 -16.直接写出下列不等式的解集，并在数轴上表示出来.①x是非负数；②2x>-3；③x+1≤3.【解析】①x≥0，在数轴上表示为：②不等式的解集为x>-，在数轴上表示为：③不等式的解集为x≤2，在数轴上表示为：制作某种产品的两种用料方案，方案Ⅰ是用4张A型钢板，8张B型钢板；方案Ⅱ是用3张A型钢板，9张B型钢板.A型钢板的面积比B型钢板的面积大，从省料的角度考虑，应选择哪种方案.【解析】设A型钢板和B型钢板的面积分别是x和y，则方案Ⅰ用料面积为4x+8y，方案Ⅱ用料面积为3x+9y，所以4x+8y-(3x+9y)=x-y.因为A型钢板的面积比B型钢板的面积大，所以x-y>0.所以从省料的角度考虑，应选择方案Ⅱ.【母题变式】[变式一]制作某种产品的两种用料方案，方案Ⅰ是用4张A型钢板，8张B型钢板；方案Ⅱ是用3张A型钢板，9张B型钢板.若A型钢板的面积不大于B型钢板的面积，从省料的角度考虑，应选择哪种方案.【解析】设A型钢板和B型钢板的面积分别是x和y，则方案Ⅰ用料面积为4x+8y，方案Ⅱ用料面积为3x+9y，所以4x+8y-(3x+9y)=x-y.因为A型钢板的面积不大于B型钢板的面积，即x≤y所以x-y≤0.所以从省料的角度考虑，应选择方案Ⅰ.[变式二]制作某种产品的两种用料方案，方案Ⅰ是用4张A型钢板，8张B型钢板；方案Ⅱ是用3张A型钢板，9张B型钢板.若A型钢板的价格高于B型钢板的价格，从省钱的角度考虑，应选择哪种方案. 【解析】设A型钢板和B型钢板的价格分别是a和b，则方案Ⅰ的费用为4a+8b，方案Ⅱ的费用为3a+9b，所以4a+8b-(3a+9b)=a-b.因为A型钢板的价格高于B型钢板的价格，即a>b，所以a-b>0.所以从省钱的角度考虑，应选择方案Ⅱ.[变式三]制作某种产品的两种用料方案，方案Ⅰ是用4张A型钢板，8张B型钢板；方案Ⅱ是用3张A型钢板，9张B型钢板.若A型、B型钢板每张需分别用工m，n个，从省工的角度考虑，应如何选择方案. 【解析】若A型钢板和B型钢板每张需用工分别为m和n，则方案Ⅰ需用工4m+8n个，方案Ⅱ需用工3m+9n 个，所以4m+8n-(3m+9n)=m-n.当A型比B型钢板每张用工多时，即m>n，由于m-n>0，所以从省工的角度考虑，应选择方案Ⅱ.当A型与B型钢板每张用工相同时，即m=n，由于m-n=0，所以从省工的角度考虑，选择方案Ⅰ，Ⅱ一样.当A型比B型钢板每张用工少时，即m<n，由于m-n<0，所以从省工的角度考虑，应选择方案Ⅰ.。
人教版七年级数学下册第九章《 9.1.1 不等式及其解集》公开课课件(共39张PPT)
1．用“__＞__”或“__＜__”表示大小关系的式子叫做不等式，用“__≠__”表示不等 关系的式子也是不等式．
2．使不等式成立的__未知数的值__叫做不等式的解；一般地，一个含有未知数的不等式 的__所有的解__组成这个不等式的解集．求不等式的__解集__的过程叫做解不等式．
21．(16分)阅读下列材料，并完成填空． 你能比较2 0142015和2 0152014的大小吗？ 为 了 解 决 这 个 问 题 ， 先 把 问 题 一 般 化 ， 比 较 nn ＋ 1 和 (n ＋ 1)n(n≥1 ， 且 n 为 整 数 ) 的 大 小．然后从分析n＝1，n＝2，n＝3…的简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜 想得出结论． (1)通过计算(可用计算器)比较下列①～⑦组两数的大小；(在横线上填上“＞”“＝”或“＜”) ①12__＜__21；②23__＜__32；③34__＞__43； ④45__＞__54；⑤56__＞__65；⑥67__＞__76； ⑦78__＞__87. (2)归纳第(1)问的结果，可以猜想出nn＋1和(n＋1)n的大小关系； (3)根据以上结论，请判断2 0142 015和2 0152 014的大小关系． 解：(2)当n＝1或2时，nn＋1＜(n＋1)n；当n≥3时，nn＋1＞(n＋1)n
第九章 不等式与不等式组 9．1.2 不等式的性质
4．(4分)平面直角坐标系中，点Q(2，－3m＋1)在第四象限，则m的取 值范围是( D ) A．m＜ B．m＞－ C．m＜－ D．m＞
5．(3分)在下列不等式的变形后面填上依据： (1)如果a－3＞－3，那么a＞0；__不等式的性质1__ (2)如果3a＜6，那么a＜2；__不等式的性质2__ (3)如果－a＞4，那么a＜－4.__不等式的性质3__
第9课 不等式与不等式组
5x－2＞3（x＋1）
在数轴上，正确的是
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
4.（2016·绍兴）不等式3x
5.（2016·十堰）当 x 取哪些整数值时，不等式 5x＋2＞3 （x－1）与12x≤2－32x 都成立？
【解析】 解不等式 5x＋2＞3（x－1），得 x＞－52. 解不等式12x≤2－32x，得 x≤1. ∴－52＜x≤1. 又∵x 取整数值，
解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移 项，合并同类项，系数化为 1，最后，根据要求将解在数 轴上表示出来.
【典例 2】 (2016·黄冈)解不等式：x＋2 1≥3(x－1)－4.
【解析】 去分母，得 x＋1≥6（x－1）－8. 去括号，得 x＋1≥6x－6－8. 移项，得 x－6x≥－6－8－1. 合并同类项，得－5x≥－15. 系数化为 1，得 x≤3.
【纠错】 ∵a≤x＜2，且 x 有 5 个整数解,∴－4<a≤－3.
★名师指津 对于含有待定字母的一元一次不等式组问 题，可以利用逆向思维法解决，得到关于待定字母的 不等式（组），从而根据题意求解.不能任意对待定字母 的取值范围进行扩大或缩小.
易错点2 建立不等量关系
【典例 2】 乘坐某市出租汽车，当行驶路程小于 2km 时，乘 车费用都是 4 元（即起步价为 4 元）；当行驶路程大于或等 于 2km 时，超过 2km 的部分每千米收费 1.5 元.
取值范围是
（）
图 9-1
A.x≥11
B.11≤x＜23
C.11＜x≤23
D.x≤23
【解析】
2x＋1≤95，
①
由题意，得 2（2x＋1）＋1≤95， ②
尚志市第四中学七年级数学下册第九章不等式与不等式组9.2一元一次不等式课时2一元一次不等式的应用教学
x≤4.5. 解得 x≤5.25. 由于记事本的数目必须是整 数 , 所以x 的最大值为5. 答 : 小明最多只应搬动5本记事本.
新课讲解
例3 小明家每月水费都不少于15元 , 自来水公司的收费标准如下 : 假设每户每 月用水不超过5立方米 , 那么每立方米收费1.8元 ; 假设每户每月用水超过5立方 米 , 那么超出部分每立方米收费2元 , 小明家每月用水量至少是多少 ？
拓展与延伸
(2)如果每辆轿车的日租金为200元 , 每辆面包车的日租金为110元 , 假设 新购买的这10辆车每日都可租出 , 要使这10辆车的日租金收入不低于1500 元 , 那么应选择以上哪种购买方案 ？
解 : 方案一的日租金为3×200＋7×110＝1370 ; 方案二的日租金为 : 4×200＋6×110＝1460 ; 方案三的日租金为 : 5×200＋5×110＝1550.
钟元〔不足1 min部分按1 min计〕．小琴一天在家里给同学打了一次市
内 , 所用 费没超过元．她最多打了几分钟的 ？
解:设小琴打了x分钟的 , 那么有
0.22+ (x－
解得
x ≤ 5161
由于 计时按照分钟计时 , x应是整数 , 所以x的最
大值为5.
答 : 小琴最多打了5min的 .
拓展与延伸
分析 : 此题涉及的数量关系是 : 总得分≥85. 解 : 设小明答対了 x 道题 , 那么他答错和不答
的共有 (25－x)道题.根据题意 , 得 4x－1×(25－x)≥85. 解这个不等式 , 得 x ≥ 22.
所以 , 小明至少答対了22道题.
当堂小练
3.某市打市内 的收费标准是 : 每次3 min以内〔含3 min〕元 , 以后每分
平鲁区二中七年级数学下册 第九章 不等式与不等式组9.2 一元一次不等式第1课时 解一元一次不等式教
9.2 一元一次不等式第1课时解一元一次不等式【知识与技能】1.掌握一元一次不等式的解法.2。
列一元一次不等式解决简单的实际问题。
【过程与方法】通过实际问题引出复杂的一元一次不等式,类比一元一次方程的解法解一元一次不等式。
【情感态度】通过类比的方法得到解一元一次不等式的方法，体验类比地进行研究是学习时获取新知的重要途径,从而激发兴趣，树立信心。
【教学重点】一元一次不等式的解法。
【教学难点】不等式性质3的运用，由实际问题中的不等式关系列一元一次不等式。
一、情境导入,初步认识问题 1 甲、乙两家商店以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲店累计购买100元商品后,再购买的商品按原价的90％收费；在乙店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费,顾客怎样选择商店购物能获更大优惠?解：设累计购物x元.当0＜x≤50时,两店_________。
当50＜x≤100时，_________店优惠.当x＞100时，在甲店需付款______元，在乙店需付款______元.分三种情况讨论:(1）在甲店花费小,列不等式：____________.（2）甲店、乙店花费相同，列方程：__________________。
（3）在乙店花费小，列不等式：__________________。
问题 2 回顾一元一次方程的解法，类比地得到一元一次不等式的解法，并解问题1中的不等式和方程.【教学说明】可鼓励学生独立完成上面的两个问题,然后交流战果。
二、思考探究，获取新知思考：解一元一次不等式的一般步骤是什么？【归纳结论】解一元一次不等式的一般步骤是：去分母、去括号，移项，合并同类项，系数化为1。
注意:在系数化为1时，若遇到需要运用不等式性质3，必须改变不等号的方向。
三、运用新知，深化理解1。
解下列不等式,并在数轴上表示解集。
（1）256x-≤314x+;(2）10.5x--210.75x+≥18。
2.当x取什么值时，3x+2的值不大于732x-的值.3。
第9课时基本不等式的证明
第9课时基本不等式的证明
太仓市明德高级中学（高一数学）学科课堂学案
课题:基本不等式的证明（1）
大学之道
在明明德
2022
3、【数学运用】例1:设a,b为正数，证明下列不等式成立：
ba(1)2;ab1(2)a2.a
变式：设a1,求证：a
13a1
例2:已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：abcabbcca222
变式：设a,b为实数，求证：ab22a2b22
大学之道
在明明德
2022
例3:图(1)是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，该会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
我们把“风车”造型抽象成图(2),在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形，设直角三角形的边上分别为a,b,那么正方形ABCD的面积为多少？在这个图形中隐藏了什么样的不等关系？D C
A
abB
(2)
例4:求证：
某24某23
2
大学之道
在明明德
2022
四、【课堂练习】1、证明：某44某2
2、当m(,0)且m1时，证明：m
12m
3、已知a,b,c都是正数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc
4、已知a,b,c,d
都是正数，求证：(abcd)(acbd)4abcd
反思：1.2.。
高中数学 第9课时 不等式的证明方式 综合法与分析法教案
第09课时 不等式的证明方式之二：综合法与分析法目的要求：重点难点：教学进程：一、引入：综合法和分析法是数学中经常使用的两种直接证明方式，也是不等式证明中的大体方式。
由于二者在证明思路上存在着明显的互逆性，那个地址将其放在一路加以熟悉、学习，以便于对照研究两种思路方式的特点。
所谓综合法，即从已知条件动身，依照不等式的性质或已知的不等式，慢慢推导出要证的不等式。
而分析法，那么是由结果开始，倒过来寻觅缘故，直至缘故成为明显的或在已知中。
前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。
打一个例如：张三在山里迷了路，救援人员从驻地动身，慢慢寻觅，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。
以前取得的结论，能够作为证明的依照。
专门的，AB B A 222≥+是常常要用到的一个重要不等式。
二、典型例题：例一、b a ,都是正数。
求证：.2≥+a b b a 证明：由重要不等式AB B A 222≥+可得本例的证明是综合法。
例二、设0,0>>b a ，求证.2233ab b a b a +≥+ 证法一 分析法要证2233ab b a b a +≥+成立.只需证)())((22b a ab b ab a b a +≥+-+成立， 又因0>+b a ，只需证ab b ab a ≥+-22成立， 又需证0222≥+-b ab a 成立， 即需证0)(2≥-b a 成立.而0)(2>-b a 显然成立. 由此命题得证。
证法二 综合法两边同时加上ab 得)()(m b a m a b +>+两边同时除以正数)(m b b +得（1）。
读一读：若是用Q P ⇒或P Q ⇐表示命题P 能够推出命题Q （命题Q 能够由命题P 推出），那么采纳分析法的证法一确实是 （1）).4()3()2(⇐⇐⇐而采纳综合法的证法二确实是 ).1()2()3()4(⇒⇒⇒若是命题P 能够推出命题Q ，命题Q 也能够推出命题P ，即同时有P Q Q P ⇒⇒,，那么咱们就说命题P 与命题Q 等价，并记为.Q P ⇔在例2中，由于m b m b +,,都是正数，事实上例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，若是水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。
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第二单元 方程（组）与不等式（组）
第9课时 不等式（组）的解法及不等式应用
基础点 1
基础点巧练妙记 贵州4年真题精讲练
基础点巧练妙记
1. 不等式的基本性质（毕节2014.5B）
性质 性质1 性质2 性质3
式子表示
如果a>b，那么a±c①__＞____b±c
如果a>b，c>0，那么ac>bc(或 a b )
cc
如果a>b，c<0，那么ac②_＜__bc(或 a ③__＜__ b )
c
c
基础点巧练妙记 贵州4年真题精讲练
去括号⑤合并同类项 2. 解一元一次不等式的一般步骤 去分母、④_去__括__号__、移项、⑤同__类__项__合__并_、 系数化为1. 注意:不等式的两边同乘以(除以)一个负数时, 不等号方向改变.
解：解不等式x-1<2x,得x<-1, 解不等式
x 1 x 1 ,3(x 1) x 1,
3
9
得x 2,
∴不等式组的解集为x 1,在数轴上表示如下：
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基础点 3 一元一次不等式的应用（黔东南州2015.23，
安顺2017.23（2））
列不等式解应用题涉及的题型常与方案设计问题相 联系，如最大利润，最优方案等.解题时，应紧紧 抓住某些关键词，如“至少”、“不低于”、“不 小于”等表示为“≥”;“最多”、“不高于”、 “不大于”、“不超过”等表示为“≤”
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3. 不等式的解集表示
（遵义3考，铜仁2015.13，黔西南州2014.2，毕节2017.7）
解集 x>a x<a x≥a
在数轴上的表示
x≤a
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提分必练
1. 不等式2x+3<-1的解集是___x_<_-_2____.
2. 不等式(m-2)x>2-m的解集为x<-1，则m的取值
2. 不等式组解集的取法（a<b）
不等式组 解集表示
口诀
x≥a
同大取大
x≥b
x≤a
同小取小
x≤b
x≥a
小大小、小大
x≤b
中间找
x≤a
小小、大大
x≥b
无处找
解集 x≥b
⑥___x_≤_a__
a≤x≤b
无解
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提分必练
6. 解不等式组: 2(x+3)>10 解：解不等式2（x+3）>10,得x>2, 2x+1>x. 解不等式2x+1>x,得x>-1, 不等式组的解集为x＞2.
5. 解不等式2(x+1)-1≥3x+2,并把它的解集在数轴上表示 出来.
第5题图
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解：解不等式2(x 1) 1 3x 2, 2x 2 1 3x 2,解得：x 1, 在数轴上表示如下：
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【提分要点】1. 根据不等式解集求字母取值范围的解题步 骤：①若不等式未化为最简，先移项，合并同类项；②观 察解集中不等号的方向与合并同类项后不等式中不等号的 方向是否一致，若相反，则不等式中一次项系数为负（即 小于0）；若一致，则系数为正（即大于0）；2. 根据解或 解集在数轴上的表示求字母值：用含有字母的不等式表示 出解集与已知解集建立等式关系，求出字母值.
范围是____m__<_2______.
3. 已知不等式 1（x+m）≥x- 3的解集为x≤2,则m
的值为____-1___2_____.
2
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提分必练
4. 解不等式:2x-1> .
解：解不等式2x 1 3x 1 , 2
4x 2 3x 1,x 1, ∴此不等式的解集为x 1.
7.xx解-211不<≥2等1≥. 1式组：解 不 不： 等 等解 式 式不 组x2等 的1 ≥式 解1，集x-得1为<x21≥,≤得1x<x3<.3，解
提分必练
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8. 解下列不等式组，并将它的解集在数轴上表
示出来.
x-1＞2x
x1 xபைடு நூலகம் 39
第8题图
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基础点 2
不等式组的解法及解集表示（遵义2014.20，铜仁
2017.8，黔东南州必考，黔西南州2017.13，毕节、安顺2考）
1. 求不等式组解集的方法：先分别解出每一 个不等式，再求出它们解集的公共部分，即 为不等式组的解集.
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