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创新设计高中数学模块综合检测A新人教A版

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高中数学模块综合检测新人教A版选择性必修第一册

高中数学模块综合检测新人教A版选择性必修第一册

模块综合检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1,1)，b ＝(1，y,1)，c ＝(2，－4，2)，a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ．2 2B ．10C ．3D ．4【答案】C【解析】∵b ∥c ，∴y ＝－2．∴b ＝(1，－2,1)．∵a ⊥c ，∴a ·c ＝2x ＋1·()－4＋2＝0，∴x ＝1．∴a ＝(1,1,1)．∴a ＋b ＝(2，－1，2)．∴|a ＋b |＝22＋－12＋22＝3．2．如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD →＋12(BC →－BD →)等于( )A ．AD →B ．FA →C ．AF →D ．EF →【答案】C【解析】∵BC →－BD →＝DC →，12(BC →－BD →)＝12DC →＝DF →，∴AD →＋12(BC →－BD →)＝AD →＋DF →＝AF →．3．若直线l 1：mx ＋2y ＋1＝0与直线l 2：x ＋y －2＝0互相垂直，则实数m 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－12【答案】B【解析】直线l 1：y ＝－m 2x －12，直线l 2：y ＝－x ＋2，又∵直线l 1与直线l 2互相垂直，∴－m2×(－1)＝－1，即m ＝－2．4．已知直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，则a ＝( )A ．－9B ．1C ．1或－2D ．1或－9【答案】D【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为(1，－2)，因为直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，所以9－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1＋4＋a －1|52，所以a 2＋8a －9＝0，解得a ＝1或a ＝－9．5．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上的一点，半焦距为c ，若|MO |≤c (其中O 为坐标原点)，则y 20的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 4c 2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 4c 2C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫b 4c 2，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2c 2，＋∞ 【答案】A【解析】因为|MO |≤c ，所以|MO |≤a 2＋b 2，所以x 20＋y 20≤a 2＋b 2，又因为x 20a 2－y 20b2＝1，消去x 2得0≤y 20≤b 4a 2＋b 2，所以0≤y 20≤b 4c2．6．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，直线l ：y ＝24x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝2c ，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．34C ．12D ．14【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为A (x ，y )，则y ＝24x ，由|AB |＝2c ，可知|OA |＝x 2＋y 2＝c ，即x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫24x 2＝c ，解得x ＝223c ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫223c ，13c ．把点A 代入椭圆方程得到⎝ ⎛⎭⎪⎫223c 2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13c 2b2＝1，整理得8e 4－18e 2＋9＝0，即(4e 2－3)(2e 2－3)＝0，因为0＜e ＜1，所以可得e ＝32． 7．在空间直角坐标系Oxyz 中，O (0,0,0)，E (22，0,0)，F (0,22，0)，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足|CO →|＝|CB →|＝3，若cos 〈EF →，BC →〉＝16，则OC →·OF →＝( )A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】D【解析】设C (x ，y ，z )，B (2，2，0)，OC →＝(x ，y ，z )，BC →＝(x －2，y －2，z )，EF →＝(－22，22，0)，由cos 〈EF →，BC →〉＝EF →·BC→|EF →||BC →|＝－22，22，0·x －2，y －2，z 4×3＝16，整理可得x －y ＝－22，由|CO →|＝|CB →|＝3，得x 2＋y 2＝x －22＋y －22，化简得x ＋y ＝2，以上方程组联立得x ＝24，y ＝324，则OC →·OF →＝(x ，y ，z )·(0,22，0)＝22y ＝3． 8．已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y ＝－116的距离为d ，若|MN |2＝λ·d 2，则λ的最小值为( )A ．22B ．1－22C ．1＋22D ．2＋ 2【答案】D【解析】抛物线y ＝4x 2的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线为y ＝－116．设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°，得|MN |2＝|MF |2＋|NF |2－2|MF |·|NF |·cos ∠MFN ＝a 2＋b 2＋2ab ．由抛物线的定义，得点M 到准线的距离为|MF |，点N 到准线的距离为|NF |．由梯形的中位线定理，得d ＝12(|MF |＋|NF |)＝12(a ＋b )．由|MN |2＝λ·d 2，得14λ＝a 2＋b 2＋2ab a ＋b 2＝1－2－2aba ＋b 2≥1－2－2ab 2ab2＝1－2－24＝2＋24，得λ≥2＋2，当且仅当a ＝b 时取得最小值2＋2．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线l ：(a 2＋a ＋1)x －y ＋1＝0，其中a ∈R ，下列说法正确的是( ) A ．当a ＝－1时，直线l 与直线x ＋y ＝0垂直 B ．若直线l 与直线x －y ＝0平行，则a ＝0C ．直线l 过定点(0,1)D ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC【解析】对于A 项，当a ＝－1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，显然与x ＋y ＝0垂直，所以正确；对于B 项，若直线l 与直线x －y ＝0平行，可知(a 2＋a ＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a ＝0或a ＝－1，所以不正确；对于C 项，当x ＝0时，有y ＝1，所以直线过定点(0,1)，所以正确；对于D 项，当a ＝0时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，在x 轴、y 轴上的截距分别是－1,1，所以不正确．故选AC ．10．已知F 1，F 2是双曲线C ：y 24－x 22＝1的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F 1F 2为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的是( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2xB ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2 C ．点M 的横坐标为± 2 D ．△MF 1F 2的面积为2 3 【答案】ACD【解析】由双曲线方程y 24－x 22＝1知a ＝2，b ＝2，焦点在y 轴，渐近线方程为y ＝±abx ＝±2x ，A 正确；c ＝a 2＋b 2＝6，以F 1F 2为直径的圆的方程是x 2＋y 2＝6，B 错误；由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝6，y ＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－2，由对称性知点M 横坐标是±2，C 正确；S △MF 1F 2＝12|F 1F 2||x M |＝12×26×2＝23，D 正确．故选ACD ．11．已知点A 是直线l ：x ＋y －2＝0上一定点，点P ，Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，若∠PAQ 的最大值为90°，则点A 的坐标可以是( )A ．(0，2)B ．(1，2－1)C ．(2，0)D ．(2－1,1)【答案】AC【解析】如图所示，原点到直线l 的距离为d ＝212＋12＝1，则直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值．连接OP ，OQ ，由于∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，|OP |＝|OQ |＝1，则四边形APOQ 为正方形，所以|OA |＝2|OP |＝2．设A (t ，2－t )，由两点间的距离公式，得|OA |＝t 2＋2－t2＝2，整理得2t 2－22t ＝0，解得t ＝0或t ＝2，因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)．故选AC ．12．关于空间向量，以下说法正确的是( )A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋512OB →＋512OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．设{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底D ．若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角 【答案】ABC【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，因为16＋512＋512＝1，所以P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则向量a ，b ，c 不共面，可得向量2a ，－b ，c 也不共面，所以{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底，所以是正确的；对于D 中，若a ·b ＜0，又由〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，所以不正确． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是__________；|OM |＝________．【答案】(1,1，－1)3【解析】在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是M ′(1,1，－1)，|OM |＝12＋－12＋12＝3．14．(2021年惠州期末)圆C ：(x －1)2＋y 2＝1关于直线l ：x －y ＋1＝0对称的圆的方程为______________．【答案】(x ＋1)2＋(y －2)2＝1【解析】圆C ：(x －1)2＋y 2＝1圆心C (1,0)，半径r ＝1，设圆C 关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点C ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12－b2＋1＝0，ba －1＝－1，解得a ＝－1，b ＝2，即圆C 的圆心关于直线l 的对称圆心为C ′(－1,2)，而圆关于直线对称得到的圆的半径不变，所以所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1．15．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是线段BB 1，B 1C 1的中点，则直线MN 到平面ACD 1的距离为________．【答案】32【解析】如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)．∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，AC→＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．设平面ACD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝z ＝1，∴n ＝(1,1,1)．∴点M 到平面ACD 1的距离d ＝|AM →·n ||n |＝32．又∵MN →綉12AD 1→，∴MN ∥平面ACD 1．∴直线MN 到平面ACD 1的距离为32．16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为该双曲线上一点且2|PF 1|＝3|PF 2|，若∠F 1PF 2＝60°，则该双曲线的离心率为________．【答案】7【解析】2|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|PF 1|＝6a ，|PF 2|＝4a ．在△PF 1F 2中，利用余弦定理得4c 2＝36a 2＋16a 2－2·6a ·4a cos60°，化简整理得到c ＝7a ，故e ＝7．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)． (1)求顶点B ，C 的坐标； (2)求CA →·BC →．解：(1)设点O 为坐标原点，OB →＝OA →＋AB →＝(2，－5,3)＋(4,1,2)＝(6，－4,5)， 则B (6，－4,5)．OC →＝OB →＋BC →＝(6，－4,5)＋(3，－2,5)＝(9，－6,10)，则C (9，－6,10)．(2)AC →＝AB →＋BC →＝(7，－1,7)，则CA →＝(－7,1，－7)，又因为BC →＝(3，－2,5)，所以CA →·BC →＝－7×3＋1×(－2)＋(－7)×5＝－58． 18．(12分)菱形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程．解：(1)k BC ＝－5－－16－8＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2．∴AD 边所在直线的方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0． (2)k AC ＝－5－76－－4＝－65．∵菱形的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56．∵AC 的中点(1,1)，也是BD 的中点，∴对角线BD 所在直线的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0．19．(12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0． (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． (1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11． 圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4．两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11， ∴|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2． ∴圆C 1和圆C 2相交．(2)解：圆C 1和圆C 2的方程相减， 得4x ＋3y －23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0．圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27．20．(12分)如图，过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 的直线交C 于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，且x 1x 2＝－4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)R ，Q 是C 上的两动点，R ，Q 的纵坐标之和为1，R ，Q 的垂直平分线交y 轴于点T ，求△MNT 的面积的最小值．解：(1)由题意，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pkx －p 2＝0，由题意知x 1，x 2是方程两根，所以x 1x 2＝－p 2＝－4， 所以p ＝2，抛物线的标准方程为x 2＝4y ．(2)设R (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，T (0，t )，因为点T 在RQ 的垂直平分线上，所以|TR |＝|TQ |， 得x 23＋(y 3－t )2＝x 24＋(y 4－t )2．因为x 23＝4y 3，x 24＝4y 4，所以4y 3＋(y 3－t )2＝4y 4＋(y 4－t )2， 即4(y 3－y 4)＝(y 3＋y 4－2t )(y 4－y 3)， 所以－4＝y 3＋y 4－2t ．又因为y 3＋y 4＝1，所以t ＝52，故T ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52．于是S △MNT ＝12|FT ||x 1－x 2|＝34|x 1－x 2|．由(1)得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， 所以S △MNT ＝34|x 1－x 2|＝34x 1＋x 22－4x 1x 2＝3416k 2－4×－4＝3k 2＋1≥3． 所以当k ＝0时，S △MNT 有最小值3．21．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 上的点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)二面角P －AC －E 的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．(1)证明：∵PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ， ∴PC ⊥AC ．∵AB ＝2，AD ＝CD ＝1，∴AC ＝BC ＝2． ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ． 又∵BC ∩PC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ． ∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．(2)解：如图，以C 为原点，取AB 中点F ，CF →，CD →，CP →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,1,0)，B (1，－1,0)． 设P (0,0，a )(a ＞0)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，CA →＝(1,1,0)，CP →＝(0,0，a )，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面PAC 的法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA →＝x 1＋y 1＝0，m ·CP →＝az 1＝0，所以可取x 1＝1，y 1＝－1，z 1＝0，即m ＝(1，－1,0)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面EAC 的法向量， 则n ·CA →＝n ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，x 2－y 2＋az 2＝0，取x 2＝a ，y 2＝－a ，z 2＝－2，则n ＝(a ，－a ，－2)，依题意，|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝a a 2＋2＝63，则a ＝2．于是n ＝(2，－2，－2)，PA →＝(1,1，－2)． 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈PA →，n 〉|＝|PA →·n ||PA →||n |＝23，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23． 22．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且经过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，32．(1)求椭圆C 的方程．(2)过点(3，0)作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q 使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意可得32＝c a ，1a 2＋34b2＝1， 又因为a 2－b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)存在定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，理由如下： 设直线l 的方程为x ＋my －3＝0，与椭圆C 联立，整理得(4＋m 2)y 2－23my －1＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，定点Q (t,0)(依题意t ≠x 1，t ≠x 2)，则由韦达定理可得，y 1＋y 2＝23m 4＋m 2，y 1y 2＝－14＋m2． 直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ ，BQ 的斜率互为相反数． 所以y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，即y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )＝0．又因为x 1＋my 1－3＝0，x 2＋my 2－3＝0， 所以y 1(3－my 2－t )＋y 2(3－my 1－t )＝0， 整理得(3－t )(y 1＋y 2)－2my 1y 2＝0． 从而可得(3－t )·23m 4＋m 2－2m ·－14＋m2＝0，11 即2m (4－3t )＝0，所以当t ＝433，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立．特别地，当直线l 为x 轴时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0也符合题意． 综上所述，存在x 轴上的定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称．。

高中数学模块综合检测新人教A版选择性必修第三册

高中数学模块综合检测新人教A版选择性必修第三册

模块综合检测(时间：120分钟,满分150分)一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{5},B ＝{1,2},C ＝{1,3,4},若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )A ．36B ．35C ．34D ．33【答案】D 【解析】不考虑限定条件确定的不同点的个数为C 12C 13A 33＝36,但集合B ,C 中有相同元素1,由5,1,1三个数确定的不同点的个数只有三个,故所求的个数为36－3＝33.2．在4次独立重复试验中,事件A 出现的概率相同,若事件A 至少发生一次的概率是6581,则事件A 在一次试验中出现的概率是( )A ．13B ．25C ．56D ．23【答案】A 【解析】设事件A 在一次试验中出现的概率是p .由事件A 至少发生1次的概率为6581,可知事件A 一次都不发生的概率为1－6581＝1681,所以(1－p )4＝1681,则p ＝13.3．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ,k ＝1,2,…,则P (2＜X ≤4)等于( )A ．516B ．316C ．116D ．14【答案】B 【解析】P (2＜X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316.4．抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( )A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C 【解析】记事件A 表示“第一次正面向上”,事件B 表示“第二次反面向上”,则P (AB )＝14,P (A )＝12,∴P (B |A )＝P AB P A ＝12.5．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 2n 的展开式的二项式系数之和为64,则展开式中含x 3项的系数是( )A ．1B ．32C ．52D ．3【答案】D 【解析】由2n＝64得n ＝6,T r ＋1＝C r 6x 6－r·⎝⎛⎭⎪⎫12x 2r ＝12rC r 6x 6－3r ,令6－3r ＝3,得r＝1,故含x 3项的系数为121C 16＝3.6．为了考察某种中成药预防流感的效果,抽样调查40人,得到如下数据：项目 患流感 未患流感 服用药 2 18 未服用药812下表是χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：α 0.1 0.05 0.01 0.005 x α2.7063.8416.6357.579根据表中数据,计算χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d,若由此认为“该药物有效”,则该结论出错的概率不超过( )A ．0.05B ．0.1C ．0.01D ．0.005【答案】A 【解析】完成2×2列联表项目 患流感 未患流感 合计 服用药 2 18 20 未服用药 8 12 20 合计103040χ2＝40×2×12－8×18210×30×20×20＝4.8＞3.841＝x 0.05.7．某机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析,得到如下数据：记忆能力x 4 6 8 10 识图能力y3568由表中数据,求得经验回归方程为y ＝0.8x ＋a ,若某儿童记忆能力为12,则预测他的识图能力为( )A ．9.5B ．9.8C ．9.2D ．10【答案】A 【解析】∵x ＝14×(4＋6＋8＋10)＝7,y ＝14×(3＋5＋6＋8)＝5.5,∴样本点的中心为(7,5.5),代入回归方程得5.5＝0.8×7＋a ^,∴a ^＝－0.1,∴y ＝0.8x －0.1,当x ＝12时,y ＝0.8×12－0.1＝9.5.8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,则不同的安排方法共有( )A ．40种B ．30种C ．20种D ．60种【答案】C 【解析】分类解决．甲排周一,乙,丙只能是周二至周五4天中选两天进行安排,有A 24＝12(种)方法；甲排周二,乙,丙只能是周三至周五选两天安排,有A 23＝6(种)方法；甲排周三,乙,丙只能安排在周四和周五,有A 22＝2(种)方法．由分类加法计数原理可知,共有12＋6＋2＝20(种)方法．二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0,则( ) A ．a 0＝1B ．a 1＋a 2＋…＋a 7＝129C ．a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8 256D ．a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝8 128【答案】BC 【解析】令x ＝0,则a 0＝－1,A 错误；令x ＝1,得a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128①,所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝129,B 正确；令x ＝－1,得－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7②,①－②,得2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝128－(－4)7,∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8 256,C 正确；①＋②,得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝128＋(－4)7,∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－8 128,D 错误．10．设离散型随机变量X 的分布列为若离散型随机变量Y )A ．E (X )＝2B ．D (X )＝1.4C ．E (Y )＝5D ．D (Y )＝7.2【答案】ACD 【解析】由离散型随机变量X 的分布列的性质得q ＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1,E (X )＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2,D (X )＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8,∵离散型随机变量Y 满足Y ＝2X ＋1,∴E (Y )＝2E (X )＋1＝5,D (Y )＝4D (X )＝7.2.故选ACD ．11．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法错误的是( )A ．若任意选择三门课程,选法总数为A 37 B ．若物理和化学至少选一门,选法总数为C 12C 26 C ．若物理和历史不能同时选,选法总数为C 37－C 15D ．若物理和化学至少选一门,且物理和历史不同时选,选法总数为C 12C 25－C 15【答案】ABD 【解析】对于A,若任意选择三门课程,选法总数为C 37,错误；对于B,若物理和化学选一门,有C 12种方法,其余两门从剩余的5门中选,有C 25种选法,选法为C 12C 25；若物理和化学选两门,有C 22种选法,剩下一门从剩余的5门中选,有C 15种选法,有C 22C 15种,由分类加法计数原理知,总数为C 12C 25＋C 22C 15,错误；对于C,若物理和历史不能同时选,选法总数为C 37－C 22C 15＝(C 37－C 15)种,正确；对于D,有3种情况：①只选物理且物理和历史不同时选,有C 11C 24种选法；②选化学,不选物理,有C 11C 25种选法；③物理与化学都选,有C 22C 14种选法,故总数为C 11C 24＋C 11C 25＋C 22C 14＝6＋10＋4＝20(种),错误．故选ABD ．12．为研究需要,统计了两个变量x ,y 的数据情况如下表：其中数据x 1,x 2,x 3,…,x n 和数据y 1,y 2,y 3,…,y n 的平均数分别为x 和y ,并且计算相关系数r ＝－0.8,经验回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^,则下列结论正确的为( )A ．点(x ,y )必在回归直线上,即y ＝b ^ x ＋a ^B ．变量x ,y 的相关性强C ．当x ＝x 1,则必有y ＝y 1D ．b ^＜0【答案】ABD 【解析】A ．回归直线y ^＝b ^x ＋a ^过样本点中心(x ,y ),即y ＝b ^ x ＋a ^,所以A 正确；B ．相关系数r ＝－0.8,|r |＞0.75,变量x ,y 的相关性强,所以B 正确；C ．当x ＝x 1时,不一定有y ＝y 1,因此C 错误；D ．因为r ＝－0.8＜0,是负相关,所以b ^＜0,D 正确；故选ABD ．三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．13．一射击测试中,每人射击3次,每击中目标一次记10分,没有击中目标记0分,某人每次击中目标的概率为23,则此人得分的均值是________,得分的方差是________．【答案】202003 【解析】记此人3次射击击中目标η次,得分为ξ分,则η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23,ξ＝10η,所以E (ξ)＝10E (η)＝10×3×23＝20,D (ξ)＝100D (η)＝100×3×23×13＝2003. 14．在二项式(2＋x )9的展开式中,常数项是________．【答案】16 2 【解析】由二项展开式的通项公式可知T r ＋1＝C r 9·(2)9－r·x r,令r ＝0,得常数项为C 09·(2)9·x 0＝(2)9＝16 2.15．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯,为了节省用电而又不能影响正常的照明,可以熄灭其中的3盏灯,但两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的两盏灯,则熄灯的方法有________种(填数字)．【答案】56 【解析】由题意可知,最终剩余的亮着的灯共有9盏,且两端的必须亮着,所以可用插空的方法,共有8个空可选,所以应为C 38＝56(种)．四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．某校高三年级有6个班,现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛,且规定每班至少要选1人参加．求这10个名额有多少种不同的分配方法．解：除每班1个名额以外,其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类：(1)4个名额全部分给某一个班,有C 16种分法； (2)4个名额分给两个班,每班2个,有C 26种分法；(3)4个名额分给两个班,其中一个班1个,一个班3个,共有A 26种分法；(4)4个名额分给三个班,其中一个班2个,其余两个班每班1个,共有C 16·C 25种分法； (5)4个名额分给四个班,每班1个,共有C 46种分法． 故共有C 16＋C 26＋A 26＋C 16·C 25＋C 46＝126(种)分配方法．17．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项,而(a 2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54,求a 的值．解：⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r C r 5x 20－5r 2,令20－5r ＝0,得r ＝4,故常数项T 5＝165×C 45＝16.又(a 2＋1)4展开式的各项系数之和等于2n, 由题意知2n＝16,得n ＝4,由二项式系数的性质知,(a 2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T 3, 故有C 24a 4＝54,解得a ＝± 3.18．某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A 饮料,另外4杯为B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对,则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯,则月工资定为2 800元,否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数,假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求X 的分布列； (2)求此员工月工资的均值．解：(1)依题意知X 所有可能取值为0,1,2,3,4, P (X ＝0)＝C 04C 44C 48＝170,P (X ＝1)＝C 14C 34C 48＝835,P (X ＝2)＝C 24C 24C 48＝1835,P (X ＝3)＝C 34C 14C 48＝835,P (X ＝4)＝C 44C 04C 48＝170.所以X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1708351835835170(2)令Y 表示此员工的月工资,则Y 的所有可能取值为2 100,2 800,3 500, 则P (Y ＝3 500)＝P (X ＝4)＝170, P (Y ＝2 800)＝P (X ＝3)＝835,P (Y ＝2 100)＝P (X ≤2)＝1835＋835＋170＝5370.所以E (Y )＝170×3 500＋835×2 800＋5370×2 100＝2 280(元)．所以此员工月工资的均值为2 280元．19．“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表：态度 性别合计 男性 女性反感 10不反感 8总计30已知在这30人中随机抽取1人,抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是815.(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析是否有90%的把握认为反感“中国式过马路”与性别是否有关？(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X ,求X 的分布列和均值．附：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d. α 0.10 0.05 0.010 0.005 x α2.7063.8416.6357.879解：(1)态度 性别合计 男性 女性 反感 10 6 16 不反感6814合计1614 30由已知数据得χ2＝30×10×8－6×6216×14×16×14≈1.158＜2.706＝x 0.1.所以,没有90%的把握认为反感“中国式过马路”与性别有关．(2)X 的可能取值为0,1,2,P (X ＝0)＝C 28C 214＝413,P (X ＝1)＝C 16C 18C 214＝4891,P (X ＝2)＝C 26C 214＝1591.所以X 的分布列为X 0 1 2 P41348911591X 的均值为E (X )＝0×413＋1×4891＋2×1591＝67.20．近年来,随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车持有量急剧增加,某市空气中的PM2.5(直径小于等于2.5微米的颗粒物)的含量呈逐年上升的趋势,如图是根据该市环保部门提供的2016年至2020年该市PM2.5年均浓度值画成的散点图(为便于计算,把2016年编号为1,2017年编号为2,…,2020年编号为5)．(1)以PM2.5年均浓度值为因变量,年份的编号为自变量,利用散点图提供的数据,用最小二乘法求出该市PM2.5年均浓度值与年份编号之间的经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)按世界卫生组织(WHO)过渡期－1的标准,空气中的PM2.5的年均浓度限值为35微克/立方米,该市若不采取措施,试预测到哪一年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期－1设定的限值．解：(1)由散点图可得,变量x i ,y i 组成的几组数据为(1,13),(2,15),(3,20),(4,22),(5,25),则x ＝3,y ＝19,所以b ^＝－2×－6＋－1×－4＋0×1＋1×3＋2×6－22＋－12＋02＋12＋22＝3.1.a ^＝y －b ^x ＝19－3.1×3＝9.7.所以所求经验回归方程为y ^＝3.1x ＋9.7.(2)由3.1x ＋9.7＞35,得x ＞8.16,因为x ∈N ,所以x ＝9.故可预测到2024年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期－1设定的限值．21．某品牌专卖店准备在国庆期间举行促销活动．根据市场调查,该店决定从2种不同型号的洗衣机、2种不同型号的电视机和3种不同型号的空调中(不同种商品的型号不同),选出4种不同型号的商品进行促销,该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买任何一种型号的商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得m (m ＞0)元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是12.(1)求选出的4种不同型号商品中,洗衣机、电视机、空调都至少有1种型号的概率； (2)设顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额(单位：元)为随机变量X ,请写出X 的分布列,并求X 的均值；(3)该店若想采用此促销方案获利,则每次中奖奖金要低于多少元？解：(1)设“选出的4种不同型号商品中,洗衣机、电视机、空调都至少有1种型号”为事件A ,则P (A )＝2C 12C 13＋C 12C 12C 23C 47＝2435. (2)X 的所有可能的取值为0,m,2m,3m .P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18, P (X ＝m )＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38, P (X ＝2m )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝38,P (X ＝3m )＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18,所以顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额X 的分布列为于是顾客在3E (X )＝0×18＋m ×38＋2m ×38＋3m ×18＝1.5m .(3)要使促销方案对商场有利,应使顾客获得的奖金总额的均值低于商场的提价数额,因此应有1.5m ＜150,所以m ＜100.故每次中奖奖金要低于100元,才能使促销方案对商场有利．。

【步步高】2021学年高中数学 模块综合检测（A）新人教A版选修1-1(1)

【步步高】2021学年高中数学 模块综合检测（A）新人教A版选修1-1(1)

模块综合检测(A)(时刻：120分钟 总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．命题“假设A ⊆B ，那么A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．42．已知命题p ：假设x 2＋y 2＝0 (x ，y ∈R )，那么x ，y 全为0；命题q ：假设a >b ，那么1a <1b.给出以下四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．以x 24－y 212＝－1的核心为极点，极点为核心的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 4．已知a >0，那么x 0知足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是( ) A ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0 B ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0 C ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0D ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左核心，那么线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．双曲线的一支D ．线段6．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，那么α的取值范围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)7．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，那么a 的最大值是( ) A ．1 B ．3 C ．9 D ．不存在8．过抛物线y 2＝4x 的核心作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若是x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( ) A ．10 B ．8 C ．6 D ．49．中心在原点，核心在x 轴上的双曲线的一条渐近线通过点(4，－2)，那么它的离心率为( ) A.6 B.5 C.62 D.5210．假设当x ＝2时，函数f (x )＝ax 3－bx ＋4有极值－43，那么函数的解析式为( )A ．f (x )＝3x 3－4x ＋4B ．f (x )＝13x 2＋4C ．f (x )＝3x 3＋4x ＋4D ．f (x )＝13x 3－4x ＋411．设O 为坐标原点，F 1、F 2是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的核心，假设在双曲线上存在点P ，知足∠F 1PF 2＝60°，|OP |＝7a ，那么该双曲线的渐近线方程为( ) A ．x ±3y ＝0 B.3x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝012．假设函数f (x )＝x 2＋a x(a ∈R )，那么以下结论正确的选项是( )A ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数D ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)13．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若是p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范 围是 ________________________________________________________________． 14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个核心与抛物线y 2＝16x 的核心相同，那么双曲线的方程为________________________________________________________________________． 15．假设AB 是过椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与坐标轴不平行，k AM 、k BM 别离表示直线AM 、BM 的斜率，那么k AM ·k BM ＝________.16．已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0，且綈q 是綈p 的必要条件，求实数a 的取值范围．18．(12分)设P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，F 1、F 2是其核心，假设∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．19.（12分）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，知足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，求动点P (x ，y )的轨迹方程．20．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－43ax ＋b ，f (1)＝2，f ′(1)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程．21.(12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点． (1)求a 的取值范围；(2)假设以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－ax－1(a ∈R )．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当a ≤12时，讨论f (x )的单调性．模块综合检测(A) 答案1．B [原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真；故共有2个真命题．] 2．B [命题p 为真，命题q 为假，故p ∨q 真，綈q 真．]3．D [双曲线x 24－y 212＝－1，即y 212－x 24＝1的核心为(0，±4)，极点为(0，±23)．因此对椭圆y 2a2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.]4．C [由于a >0，令函数y ＝12ax 2－bx ＝12a (x －b a )2－b 22a ，现在函数对应的图象开口向上，当x ＝ba 时，取得最小值－b 22a ，而x 0知足关于x 的方程ax ＝b ，那么x 0＝b a ，y min ＝12ax 20－bx 0＝－b 22a ，那么关于任意的x ∈R ， 都有y ＝12ax 2－bx ≥－b 22a ＝12ax 20－bx 0.]5．A [∵P 为MF 1中点，O 为F 1F 2的中点， ∴|OP |＝12|MF 2|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝a .∴P 的轨迹是以F 1，O 为核心的椭圆．] 6．D [∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e xe x ＋12.令e x ＋1＝t ，那么e x ＝t －1且t >1， ∴y ′＝－4t ＋4t 2＝4t 2－4t.再令1t＝m ，那么0<m <1，∴y ′＝4m 2－4m ＝4(m －12)2－1，m ∈(0,1)． 容易求得－1≤y ′<0，∴－1≤tan α<0，得34π≤α<π.]7．B [因为函数f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，因此有f ′(x )≥0，x ∈[1，＋∞)，即3x 2－a ≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，因此a ≤3x 2.因为x ∈[1，＋∞)时，3x 2≥3，从而a ≤3.] 8．B [由抛物线的概念， 得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]9．D [由题意知，过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，∴－2＝－ba×4，∴a ＝2b ，设b ＝k ，则a ＝2k ，c ＝5k ，∴e ＝c a ＝5k2k ＝52.]10．D [因为f (x )＝ax 3－bx ＋4， 因此f ′(x )＝3ax 2－b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝12a －b ＝0f 2＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝4，故所求函数解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.]11．D [如下图，∵O 是F 1F 2的中点，PF 1→＋PF 2→＝2PO →， ∴（PF 1→＋PF 2→)2＝(2PO →)2.即 |PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2|PF 1→|·|PF 2→|·cos 60°＝4|PO →|2. 又∵|PO |＝7a ，∴ |PF 1→|2＋|PF 2→|2＋|PF 1→||PF 2→|＝28a 2. ① 又由双曲线概念得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2.即|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4a 2. ② 由①－②得|PF 1|·|PF 2|＝8a 2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20a 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|，∴8a 2＝20a 2－4c 2.即c 2＝3a 2. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2. 即b 2a 2＝2，b a＝2.∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0.]12．C [f ′(x )＝2x －ax2，故只有当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上才是增函数，因此A 、B 不对，当a ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数，因此C 对，D 不对．]13．[3,8)解析 因为p (1)是假命题，因此1＋2－m ≤0， 即m ≥3.又因为p (2)是真命题，因此4＋4－m >0， 即m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8. 14.x 24－y 212＝1解析 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x 得b a＝3，∴b ＝3a .∵抛物线y 2＝16x 的核心为F (4,0)，∴c ＝4. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴16＝a 2＋(3a )2，∴a 2＝4，b 2＝12.∴所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.15．－b 2a 2解析 设A (x 1，y 1)，M (x 0，y 0)， 则B (－x 1，－y 1)， 则k AM ·k BM ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a 2x 20＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a 2x 21＋b 2x 20－x 21＝－b 2a 2.16．57解析 f ′(x )＝3x 2＋6x ，令f ′(x )＝0， 得x ＝0或x ＝－2. 又∵f (0)＝a ，f (－3)＝a ，f (－2)＝a ＋4，f (3)＝54＋a ，∴f (x )的最小值为a ，最大值为54＋a . 由题可知a ＝3，∴f (x )的最大值为57.17．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0，得⎩⎪⎨⎪⎧1<x <32<x <4，即2<x <3.∴q ：2<x <3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}， ∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p ，∴B ⊆A . 即2<x <3知足不等式2x 2－9x ＋a <0. 设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使2<x <3知足不等式2x 2－9x ＋a <0，需⎩⎪⎨⎪⎧ f 2≤0f 3≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧8－18＋a ≤018－27＋a ≤0.∴a ≤9.故所求实数a 的取值范围是{a |a ≤9}． 18．解 如下图，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 则S △F 1PF 2＝12mn sin π3＝34mn .由椭圆的概念知 |PF 1|＋|PF 2|＝20，即m ＋n ＝20. ① 又由余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3＝|F 1F 2|2，即m 2＋n 2－mn ＝122. ② 由①2－②，得mn ＝2563.∴S △F 1PF 2＝6433.19．解 设 P ＝(x ，y )，那么 MN →＝(4,0)，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )．∴ |MN →|＝4，|MP →|＝x ＋22＋y 2，MN →·NP →＝4(x －2)，代入 |MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0， 得4x ＋22＋y 2＋4(x －2)＝0， 即x ＋22＋y 2＝2－x ，化简整理，得y 2＝－8x .故动点P (x ，y )的轨迹方程为y 2＝－8x . 20．解 (1)f ′(x )＝2ax －43a ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝2a －43a ＝1f 1＝a －43a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32b ＝52，∴f (x )＝32x 2－2x ＋52.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.21．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y ，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠± 3.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0， 即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0. ∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0， ∴a ＝±1，知足(1)所求的取值范围． 故a ＝±1.22．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x－1，x ∈(0，＋∞)，因此f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1. 又f (2)＝ln 2＋2，因此曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln 2＝0.(2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－ax－1，因此f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x2，x ∈(0，＋∞)． 令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)， 因此当x ∈(0,1)时，g (x )>0， 现在f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0， 现在f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． ②当a ≠0时，由f ′(x )＝0，即ax 2－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a－1. a ．当a ＝12时，x 1＝x 2，g (x )≥0恒成立， 现在f ′(x )≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．b ．当0<a <12时，1a－1>1， x ∈(0,1)时，g (x )>0，现在f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a －1时，g (x )<0， 现在f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞时，g (x )>0， 现在f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．c ．当a <0时，由于1a－1<0. x ∈(0,1)时，g (x )>0，现在f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，现在f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当0<a <12时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a －1上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞上单调递减．。

人教A版 数学 选修2-3模块综合检测(A)+答案

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模块综合检测(A )(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．一个口袋内装有大小相同的6个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数为( )A ．C 16C 22B ．C 26C 12 C ．C 36 D ．C 382．由数字1,2,3,4,5,6可以组成没有重复数字的两位数的个数是( ) A ．11 B ．12 C ．30 D ．363．(1－2x )4展开式中含x 项的系数为( ) A ．32 B ．4 C ．－8 D ．－32 4．(2x －1)5的展开式中第3项的系数是( ) A ．－20 2 B ．20 C ．－20 D ．20 2 5．袋中装有大小相同分别标有1,2,3,4,5的5个球，在有放回的条件下依次取出2个球，若这2个球的号码之和为随机变量X ，则X 的所有可能取值的个数是( )A ．25B ．10C ．9D ．2 6．设随机变量X 满足两点分布，P (X ＝1)＝p ，P (X ＝0)＝q ，其中p ＋q ＝1，则D (X )为( ) A ．p B ．q C ．pq D ．p ＋q7．若随机变量X ～B (n,0.6)，且E (X )＝3，则P (X ＝1)的值是( ) A ．2×0.44 B ．2×0.45 C ．3×0.44 D ．3×0.64 8．下列说法中，正确的是( ) ①回归方程适用于一切样本和总体； ②回归方程一般都有时间性；③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围； ④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①③9．若随机变量XA.1 B ．0.8 10．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 第n 次摸取红球1 第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57(13)2·(23)5B ．C 27(23)2·(13)5C ．C 57(13)2·(13)5D ．C 37(13)2·(23)511．把一枚硬币连续抛掷两次，事件A ＝“第一次出现正面”，事件B ＝“第二次出现正面”，则P (B |A )等于( )A.12B.14C.16D.1812．在相关分析中，对相关系数r ，下列说法正确的是( )A ．r 越大，线性相关程度越强B ．|r |越小，线性相关程度越强C ．|r |越大，线性相关程度越弱，|r |越小，线性相关程度越强D ．|r |≤1且|r |越接近1，线性相关程度越强，|r |越接近0，线性相关程度越弱二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．用数字0,1,2,3,5组成没有重复数字的五位偶数，把这些偶数从小到大排列起来，得到一个数列{a n }，则a 25＝________.14．设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，那么a 0＋a 2＋a 4a 1＋a 3的值为________．15．某人乘车从A 地到B 地，所需时间(分钟)服从正态分布N (30,100)，则此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为________．16．某校为提高教学质量进行教改实验，设有试验班和对照班，经过两个月的教学试验，进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如下边的2×2列联表所示(单位：人)，则其中m ＝______，n ＝三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排．(1)共有多少种不同的排法？(2)若选出的2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法？18．(12分)一个盒子里装有标号为1,2,3，…，n 的n (n >3且n ∈N *)张标签，现随机地从盒子里无放回地抽取两张标签．记X 为两张标签上的数字之和，若X ＝3的概率为110.(1)求n 的值；(2)求X 的分布列．19．(12分)某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛中获胜的事件是独立的，并且获胜的概率均为13.(1)求这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率； (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好获胜3场的概率； (3)求这支篮球队在6场比赛中获胜场数的期望．20. (12分)已知随机变量X 的概率密度曲线如图所示：(1)求E (2X －1)，D ⎝⎛⎭⎫14X ；(2)试求随机变量X 在(110,130]范围内取值的概率．21．(12分)已知(441x＋3x 2)n展开式中的倒数第三项的二项式系数为45.(1)求含有x 3的项；(2)求二项式系数最大的项．22．(12分)小刚参加某电视台有奖投篮游戏，游戏规则如下：①选手最多可投篮n 次，若选手某次投篮不中，则失去继续投篮资格，游戏结束； ②选手第一次投篮命中，得奖金1百元；以后每多投中一球，奖金就增加2百元．已知小刚每次投篮命中率均为13.(1)求当n ＝3时，小刚所得奖金的分布列；(2)求游戏结束后小刚所得奖金的分布列与期望．模块综合检测(A)答案1．D2．C [两位数字分两步把十位数字和个位数字分别取好，共有6×5＝30(个)．]3．C [展开式的通项T k ＋1＝C k 4(－2x )k ，令k ＝1，得T 2＝C 14(－2x )＝－8x .]4．D [T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·(－1)r ，令r ＝2，则T 3＝C 25·(2x )3·(－1)2＝10×22x 3，即第3项系数为20 2.]5．C [X 的值为2,3,4,5,6,7,8,9,10.] 6．C [由题意知，X 服从两点分布， ∴D (X )＝p (1－p )＝pq .]7．C [∵X 服从二项分布，∴E (X )＝0.6n ， 即0.6n ＝3，∴n ＝5.P (X ＝1)＝C 15×0.6×0.44＝3×0.44.]8．B [①回归方程只适用于我们所研究的样本总体，故①错误；④回归方程得到的预报值可能是取值的平均值，故④是错误的．] 9．D10．B [S 7＝－1－1＋1＋1＋1＋1＋1＝3，即7次摸球中摸到白球5次，摸到红球2次，摸到白球的概率为P 白＝13，摸到红球的概率为P 红＝23，由独立重复试验的概率公式知P ＝C 27(23)2·(13)5.] 11．A [P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12.]12．D13．32 150解析 首位数字为1的五位偶数有C 12·A 33＝12(个)． 首位数字为2的五位偶数有A 33＝6(个)．首位数字是3，第2位为0的五位偶数有A 22＝2(个)．首位数字是3，第2位为1的五位偶数有C 12·A 22＝4(个)，而12＋6＋2＋4＝24，∴a 25＝32 150.14．－6160解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1. 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 5＝35. ∴a 0＋a 2＋a 4＝1＋352＝122，a 1＋a 3＋a 5＝－121.又a 5＝－1，∴a 1＋a 3＝－120. ∴a 0＋a 2＋a 4a 1＋a 3＝－6160.15．0.135 9解析 由μ＝30，σ＝10，P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6知此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.682 6，又由于P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，所以此人在10分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954 4，那么此人在10分钟至20分钟或40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954 4－0.682 6＝0.271 8，由正态曲线关于直线x ＝30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.135 9.16．38 10017．解 (1)从4名男生中选出2人，有C 24种方法，从6名女生中选出3人，有C 36种方法，根据分步乘法计数原理，选出5人共有C 24·C 36种方法．然后将选出的5名学生进行排列，于是所求的排法种数是C 24·C 36·A 55＝6×20×120＝14 400. (2)在选出的5人中，若2名男生不相邻，则第一步先排3名女生，有A 33种排法，第二步让男生插空，有A 24种排法，因此所求的排法种数是C 24·C 36·A 33·A 24＝6×20×6×12＝8 640，故选出的5人中，2名男同学不相邻共有8 640种排法．18．解 (1)P (X ＝3)＝2×(1n ×1n －1)＝2n (n －1)，∴2n (n －1)＝110(n ∈N *)，∴n ＝5. (2)X 的值可以是3,4,5,6,7,8,9.P (X ＝3)＝110，P (X ＝4)＝2×15×14＝110，P (X ＝5)＝2×2×15×14＝15，P (X ＝6)＝2×2×15×14＝15，P (X ＝7)＝2×2×15×14＝15，P (X ＝8)＝2×15×14＝110，P (X ＝9)＝2×15×14＝110，X 的分布列为19.解 (1)P ＝(1－13)2·13＝427.(2)6场胜3场的情况有C 36种．∴P ＝C 36(13)3·(1－13)3＝20×127×827＝160729.(3)由于X 服从二项分布，即X ～B (6，13)，∴E (X )＝6×13＝2.20．解 (1)由概率密度曲线，得μ＝120，σ＝5， 所以E (X )＝120，D (X )＝σ2＝25， 因此E (2X －1)＝2E (X )－1＝239， D ⎝⎛⎭⎫14X ＝116D (X )＝2516. (2)由于μ＝120，σ＝5，μ－2σ＝110，μ＋2σ＝130. 随机变量在(μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率大约是0.954 4， 所以随机变量X 在(110,130]范围内取值的概率是0.954 4.21．解 (1)由已知得C n －2n ＝45，即C 2n＝45， ∴n 2－n －90＝0，解得n ＝－9(舍)或n ＝10. 由通项公式得：T k ＋1＝C k 10(4·x －14)10－k (x 23)k ＝C k 10·410－k ·x －10－k 4＋23k . 令－10－k 4＋23k ＝3，得k ＝6，∴含有x 3的项是T 7＝C 610·44·x 3＝53 760x 3. (3)∵此展开式共有11项， ∴二项式系数最大的项是第6项，∴T 6＝C 510(4x －14)5(x 23)5＝258 048x 2512. 22．解 设游戏结束后小刚所得奖金为ξ百元． (1)当n ＝3时，ξ的可能取值为0,1,3,5， 则P (ξ＝0)＝1－13＝23，P (ξ＝1)＝13×23＝29；P (ξ＝3)＝(13)2×23＝227，P (ξ＝5)＝(13)3＝127.∴小刚所得奖金ξ的分布列为(2)由(1)知，游戏结束后小刚所得奖金ξ的可能取值为0,1,3,5，…，2n －1，其分布列为∴E (ξ)＝0×23＋1×13×23＋3×(13)2×23＋…＋(2n －3)×(13)n －1×23＋(2n －1)×(13)n ＝23×[1×13＋3×(13)2＋…＋(2n －3)×(13)n －1]＋(2n －1)×(13)n .①∴13E (ξ)＝23×[1×(13)2＋3×(13)3＋…＋(2n －5)×(13)n －1＋(2n －3)×(13)n ]＋(2n －1)×(13)n ＋1，②由①－②得 23E (ξ)＝23×{13＋2×[(13)2＋(13)3＋…＋(13)n －1]－(2n －3)×(13)n }＋23(2n －1)×(13)n ＝29＋43×(13)2×[1－(13)n －2]1－13＋43×(13)n ＝49－23×(13)n ，∴E (ξ)＝23－(13)n .。

高中数学 模块综合检测A 新人教A版选修2-1(2021年整理)

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模块综合检测A一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“存在实数x,使x＞1”的否定是( )A．对任意实数x，都有x＞1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1解析: 利用特称(存在性）命题的否定是全称命题求解．“存在实数x,使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.答案：C2．在命题“若x∈R，f(x)＝0，则函数f(x）是奇函数”的逆命题、否命题与逆否命题中，真命题的个数是（）A．3 B．2C．1 D．0解析：原命题与逆否命题是假命题，逆命题与否命题是真命题．答案：B3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则“l∥m”是“α⊥β”的（）A．充要条件B．必要条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件解析: 错误!⇒错误!⇒α⊥β，∴“l∥m”是“α⊥β”的充分条件,错误!⇒/ l∥m。

答案：C4．已知命题p：若x2＋y2＝0（x,y∈R)，则x，y全为0;命题q:若a〉b,则错误!<错误!.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q;③¬p;④¬q。

其中真命题的个数是（）A．1 B．2C．3 D．4解析：命题p为真，命题q为假,故p或q真，¬q真．答案: B5．已知i，j,k是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且错误!＝2k，错误!＝－i＋j－k，则点B的坐标为（）A．(－1，1，－1) B．(－i，j，－k）C．(1，－1,－1) D．（－1，1，1）解析：设点B的坐标为（x,y，z),则有错误!＝（x,y，z－2)＝(－1，1，－1），∴错误!解得错误!故选D.答案：D6．如下图所示,正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（)A。

错误! B.错误!C.错误!D.错误!解析：连接BC1，则BC1∥AD1，∠A1BC1为A1B与AD1所成角，不妨设AB＝1，则AA1＝2.cos∠A1BC1＝错误!＝错误!＝错误!。

新教材2024年秋高中数学模块综合测评新人教A版必修第一册

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模块综合测评(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1 或x>3}，则A∩B＝( )A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}2．(2024·河北辛集中学月考)若幂函数f(x)]＝xα的图象经过点，则α的值为( )A．2 B．－2C．D．－3．(2024·湖北武汉期末)已知函数f(x)]＝x－e－x的部分函数值如表所示：x 10.50.750.6250.562 5f(x)0.632 1－0.106 50.277 60.089 7－0.007那么函数f(x)]的一个零点的近似值(精确度为0.01)为( )A．0.55 B．0.57C．0.65 D．0.74．(2024·浙江高考)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．(2024·福建厦门双十中学月考)将y＝图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)] 的图象，再将y＝g(x)]图象向左平移，得到y＝φ(x)]的图象，则y＝φ(x)]的解析式为( )A．y＝sin x B．y＝cos xC．y＝sin 9x D．y＝sin6．(2024·山东青岛期末)在直角坐标系中，已知圆C的圆心在原点，半径等于1 ，点P从初始位置(0，1)起先，在圆C上按逆时针方向，以角速度rad/s均速旋转3 s后到达P′点，则P′的坐标为( )A．B．C．D．7．(2024·浙江杭州四中期末)已知实数x，y，z满意x＝40.5，y＝log53，z＝sin ，则( )A．z<x<y B．y<z<xC．z<y<x D．x<z<y8．(2024·北京高考)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则( )A．f(x)在上单调递减B．f(x)在上单调递增C．f(x)在上单调递减D．f(x)在上单调递增二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．(2024·山东新泰一中期末)下列结论中正确的是( )A．若a，b为正实数，且a≠b，则a3＋b3>a2b＋ab2B．若a，b，m为正实数，且a<b，则<C.若>，则a>bD．当x>0时，x＋的最小值为210．(2024·新高考Ⅰ卷)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝( )A．sin B．sinC．cos D．cos11．(2024·浙江省杭州七中期末)已知函数f(x)]＝sin ，则fA．是奇函数B．是偶函数C．关于点(π，0)成中心对称D．关于点成中心对称12．(2024·山东泰安期末)已知f(x)]是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，则下列结论正确的是( )A．f(x)]在(0，＋∞)上单调递减B．f(x)]最多有两个零点C．f(log0.53)>f(log25)D．若实数a满意f(2a)>f，则a<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若2a＝3b＝，则＋的值为________．14．的值为________．15．(2024·山东青岛期末)已知函数f(x)]＝ax2＋bx＋c，满意不等式f(x)]<0的解集为(－∞，－2)∪(t，＋∞)，且f(x－1)为偶函数，则实数t＝________．16．某化工厂产生的废气必需经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为P＝P0·e t ln k(其中e是自然对数的底数，k为常数，P0为原污染物总量)．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了96%，则k＝________；要能够按规定排放废气，还须要过滤n小时，则正整数n的最小值为________(参考数据：log52≈0.43)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2024·浙江高校附属中学期末)(1)计算：＋log23·log34＋lg 2＋lg 50；(2)已知tan α＝2，求cos ·cos(π－α)的值．18．(本小题满分12分)(2024·山东临沂期末)已知集合A＝{x|log2(x－1)<2}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}．(1)若a＝1，求A∪B；(2)求实数a的取值范围，使________成立．从①A⊆∁R B，②B⊆∁R A，③(∁R A)∩B＝∅中选择一个填入横线处求解．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin2x＋cos x－2.(1)求函数f(x)的零点；(2)当x∈时，函数f(x)的最小值为－1，求α的取值范围．20．(本小题满分12分)(2024·湖北华中师大一附中期末)函数f(x)]＝－sin2x＋sin x cos x.(1)若f＝－＋，α∈(0，π)，求sin α；(2)若函数y＝f(ω)(0<ω<3)的图象在区间有且仅有一条经过最高点的对称轴，求ω的取值范围(不须要证明唯一性)．21．(本小题满分12分)(2024·湖北沙市中学期末)某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t(单位：分钟)满意5≤t≤20，t∈N.经测算，该路无人驾驶公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满意：p(t)＝其中t∈N.(1)求p(5)，并说明p(5)的实际意义；(2)若该路公交车每分钟的净收益y＝－10(元)，问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．22．(本小题满分12分)(2024·山东烟台期末)已知函数f(x)＝4log2x＋，g(x)＝m·4x ＋2x+1－m，m<0.(1)求函数f(x)在区间(1，＋∞)上的最小值；(2)求函数g(x)在区间[1，2]上的最大值；(3)若对∀x1∈(1，＋∞)，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)＋g(x2)>7成立，求实数m的取值范围．模块综合测评1．A [在数轴上表示出集合A，B，如图所示．由图知A∩B＝{x|－2x－1}．]2．C [由已知可得f (3)＝3α＝，解得α＝．故选C．]3．B [函数f (x)＝x－在R上单调递增，由数表知：f (0.5) f (0.562 5)0 f (0.625) f (0.75) f (1)，由函数零点存在定理知，函数f (x)的零点在区间(0.562 5，0.625)内，所以函数f (x)的一个零点的近似值为0.57．故选B．]4．A [sin x＝1，x＝＋2kπ，k∈Z，cos x＝0，x＝＋kπ，k∈Z；sin x＝1可推出cos x＝0，充分性成立；反之不成立，必要性不成立，故为充分不必要条件，故选A．]5．A [将y＝sin 图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，得到g(x)＝sin 的图象，再将y＝g(x)图象向左平移，得到φ(x)＝sin＝sin x的图象，故选A．]6．D [点P(0，1)为角α＝的终边上一点，3 s后点P按逆时针方向旋转到达P′点，点P′落在角β＝＋3×的终边上，cos β＝cos ＝－cos ＝－，sin β＝sin ＝－sin ＝－，故P′的坐标为．故选D．]7．C [x＝40.5＝>1，0＝log51y＝log53log55＝1，z＝sin 0，综上所述，故z y x．故选C．]8．C [f (x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x．选项A中：2x∈，此时f (x)单调递增，A错误；选项B中：2x∈，此时f (x)先递增后递减，B错误；选项C中：2x∈，此时f (x)单调递减，C正确；选项D中：2x∈，此时f (x)先递减后递增，D错误．故选C．]9．AC[对于A，若a，b为正实数，且a≠b，则a3＋b3－＝(A＋B)－ab(A＋B)＝(A＋B)(a－b)2>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2，故A正确；对于B，若a，b，m为正实数，且a<b，则－＝>0，所以>，故B错误；对于C，因为>，又c2>0，故a>b，故C正确；对于D，当x>0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，故D错误．故选AC．] 10．BC[由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，∴＝π，ω＝±2．当ω＝2时，y＝sin (2x＋φ)，将点代入得，sin ＝0，∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin ．由于y＝sin ＝sin ＝sin ，故选项B正确；y＝sin ＝cos＝cos ，选项C正确；对于选项A，当x＝时，sin ＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝＝时，cos ＝1≠－1，错误．当ω＝－2时，y＝sin (－2x＋φ)，将代入，得sin ＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin ，但当x＝0时，y＝sin ＝－<0，与图象不符合，舍去．综上，选BC．]11．BD[因为f ＝sin ＝sin ＝cos x，故函数f 为偶函数，因为函数f 的对称中心坐标为，所以函数f 的图象关于点成中心对称．故选BD．]12．ACD[因为f (x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递减，故A正确；函数零点个数无法确定，故B错误；f ＝f (log23)，因为log23<log25，所以f (log23)>f (log25)，故C正确；若实数a满意f (2a)>f ，即f (2a)>f ，则2a<＝，解得a<，故D正确．故选ACD．]13．2 [因为2a＝3b＝，所以a＝log2，b＝log3，所以＋＝＋＝＋＝＝2．]14．1 [原式＝＝＝＝1．]15．0 [依据解集易知：a<0 ，由f (x－1)为偶函数，可得f (x)关于直线x＝－1对称，即b－2a＝0．易知ax2＋bx＋c＝0的两根为t，－2，则依据根与系数的关系可得t－2＝－＝－2，解得t ＝0．]16． 4 [明显，当t＝0时，P＝P0，当t＝4时，P＝4%P0，则有P0＝P0·e4ln k，于是得k4＝，而k>0，解得k＝，设经过m小时后能够按规定排放废气，则有P0·e m ln k≤0.25%P0⇔k m≤，即≤⇔≥400⇔m≥log5400⇔m≥4＋8log52≈4＋8×0.43＝7.44，于是得还须要过滤时间n＝m－4≥3.44，则正整数n的最小值为4．所以k＝，正整数n的最小值为4．]17．解：(1)＋log23·log34＋lg 2＋lg 50＝＋log23×2log32＋lg 100＝＋2＋2＝．(2)cos ·cos (π－α)＝sin α·(－cos α)＝＝＝－．18．解：(1) A＝{x|log2(x－1)<2}＝{x|0<x－1<4}＝{x|1<x<5}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}＝{x|[x－(a－1)][x－(a＋1)]<0}＝{x|a－1<x<a＋1}，当a＝1时，B＝{x|0<x<2}，所以A∪B＝{x|0<x<5}．(2)由(1)知，A＝{x|1<x<5}，B＝{x|a－1<x<a＋1}，所以∁R A＝{x|x≤1或x≥5},∁R B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}．若选①，A⊆∁R B，则a＋1≤1或a－1≥5，解得a≤0或a≥6，所以a的取值范围为a≤0或a≥6．若选②，B⊆∁R A，则a＋1≤1或a－1≥5，解得a≤0或a≥6，所以a的取值范围为a≤0或a≥6．若选③，(∁R A)∩B＝∅，则解得2≤a≤4，所以a的取值范围为2≤a≤4．19．解：(1)由sin2x＋cos2x＝1得：f (x)＝－2cos2x＋cos x，令f (x)＝0，解得cos x＝0或cos x＝，当cos x＝0时，x＝＋kπ，k∈Z；当cos x＝时，x＝2kπ±，k∈Z．所以函数f (x)的零点为＋kπ，2kπ±，k∈Z．(2)因为f (x)＝－2cos2x＋cos x，令cos x＝t，则f (x)＝g(t)＝－2t2＋t，因为f (x)的最小值为－1，所以－2t2＋t≥－1(等号可取)，解得－≤t≤1(等号可取)，即－≤cos x≤1(等号可取)，因为x∈，且cos ＝－，由－≤cos x≤1(等号可取)，x∈可得－≤α<．所以α的取值范围为．20．解： f (x)＝－sin2x＋sin x cos x＝－＋＝sin －．(1)由f ＝－＋，∴sin ＝，∵α∈(0，π)，∴<α＋<π．又sin ＝<＝sin ，∴<α＋<π，∴cos ＝－．故sin α＝sin ＝sin cos －cos sin ＝．(2) y＝f (ωx)＝sin －，设t＝2ωx＋，由x∈，则t∈，由0<ω<3，则<＋<，<ωπ＋<，由题意y＝sin t－，在t∈时，有且仅有一条经过最高点的对称轴，即y＝sin t－的对称轴x＝或x＝仅有一条在定义域内．所以或解得<ω<或<ω<．又0<ω<3，故ω的取值范围为∪．21．解：(1)p(5)＝60－(5－10)2＝35，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35．(2)∵y＝－10，∴当5≤t<10时，y＝－10＝110－，任取5≤t1<t2≤6，则y1－y2＝－＝6(t2－t1)＋－＝6(t2－t1)＋＝，∵5≤t1<t2≤6，∴t2－t1>0，25<t1t2<36，∴y1－y2<0，∴函数y＝110－在区间[5，6]上单调递增，同理可证该函数在区间[6，10)上单调递减，∴当t＝6时，y取得最大值38；当10≤t≤20时，y＝－10＝－10，该函数在区间[10，20]上单调递减，则当t＝10时，y取得最大值28.4．综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．22．解：(1)当x∈(1，＋∞)时，log2x>0，所以4log2x ＋≥ 2＝4，当且仅当4log2x ＝，即x ＝时，等号成立，所以，函数f (x)在区间(1，＋∞)上的最小值为4．(2)g(x)＝m·4x＋2x+1－m＝m(2x)2＋2·2x－m，x∈[1，2]，令2x＝t，则上述函数化为y(t)＝mt2＋2t－m，t∈[2，4]．因为m<0，所以对称轴t ＝－>0，当－≤2，即m ≤－时，函数y(t)在[2，4]上单调递减，所以当t＝2时，y max＝3m＋4；当2<－<4，即－<m<－时，函数g(t)在上单调递增，在上单调递减，所以y max＝y＝－m －；当－≥4，即－≤m<0时，函数g(t)在[2，4]上单调递增，所以y max＝y(4)＝15m＋8．综上，当－≤m<0时，g(x)的最大值为15m＋8；当－<m<－时，g(x)的最大值为－m －；当m ≤－时，g(x)的最大值为3m＋4．(3)对∀x1∈(1，＋∞)，∃x2∈[1，2]，使得f (x1)＋g(x2)>7成立，等价于g(x2)>7－f (x1)成立，即g(x)max>[7－f (x)]max，由(1)可知，当x∈(1，＋∞)时，[7－f (x)]max＝7－f (x)min，因此，只须要g(x)max>3．所以当－≤m<0时，15m＋8>3，解得m>－，所以－≤m<0；当－<m<－时，－m －>3，解得m <或<m<0，所以，<m<－；当m ≤－时，3m＋4>3，解得m>－，此时解集为空集．综上，实数m 的取值范围为<m<0．。

高中数学模块综合检测新人教A版必修第二册

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模块综合检测(时间：120分钟,满分150分)一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足i z ＋2＝i,则在复平面内,z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A2．在△ABC 中,a ＝3,b ＝2,A ＝30°,则sin B ＝( ) A ．13 B ．23 C ．23D ．223【答案】A3．某校高一年级有男生450人,女生550人,若在各层中按比例抽取样本,总样本量为40,则在男生、女生中抽取的人数分别为( )A ．17,23B ．18,22C ．19,21D ．22,18【答案】B4．已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |＝2,|b |＝1,则a －2b 与b 的夹角是( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 【答案】C5．在某中学举行的环保知识竞赛中,将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组,绘制如图所示的频率分布直方图,图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组,已知第二小组的频数是40,则成绩在80～100分的学生人数是( )A ．25B ．20C ．18D ．15【答案】D6．2021年是中国共产党成立100周年,电影频道推出“经典频传：看电影,学党史”系列短视频,首批21支短视频全网发布,传扬中国共产党伟大精神,为广大青年群体带来精神感召．小李同学打算从《青春之歌》《闪闪的红星》《英雄儿女》《焦裕禄》等四支短视频中随机选择两支观看,则选择观看《青春之歌》的概率为( )A ．12B ．13C ．14D ．25【答案】A7．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该沙田的面积为( )A ．15平方千米B ．18平方千米C ．21平方千米D ．24平方千米【答案】C【解析】设在△ABC 中,a ＝13里,b ＝14里,c ＝15里,∴由余弦定理得cos C ＝132＋142－1522×13×14＝513,∴sin C ＝1213.故△ABC 的面积为12×13×14×1213×5002×11 0002＝21(平方千米)．故选C ．8．在三棱锥ABCD 中,△ABC 与△BCD 都是正三角形,平面ABC ⊥平面BCD ,若该三棱锥的外接球的体积为2015π,则△ABC 的边长为( )A ．332 B ．634 C ．633 D ．6【答案】D【解析】如图,取BC 中点M ,连接AM ,DM .设等边△ABC 与等边△BCD 的外心分别为N ,G ,三棱锥外接球的球心为O ,连接OA ,OD ,ON ,OG .由V ＝4π3R 3＝2015π,得外接球半径R ＝15.设△ABC 的边长为a ,则ON ＝GM ＝13DM ＝36a ,AN ＝23AM ＝33a .在Rt △ANO 中,由ON 2＋AN 2＝R 2,得a 212＋a 23＝15,解得a ＝6.故选D ．二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．下列说法中错误的是( )A ．若事件A 与事件B 互斥,则P (A )＋P (B )＝1B ．若事件A 与事件B 满足P (A )＋P (B )＝1,则事件A 与事件B 为对立事件C ．“事件A 与事件B 互斥”是“事件A 与事件B 对立”的必要不充分条件D ．某人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”互为对立事件【答案】ABD【解析】若事件A 与事件B 互斥,则有可能P (A )＋P (B )<1,故A 不正确；若事件A 与事件B 为同一事件,且P (A )＝0.5,则满足P (A )＋P (B )＝1,但事件A 与事件B 不是对立事件,B 不正确；互斥不一定对立,对立一定互斥,故C 正确；某人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”既不互斥也不对立,D 错误．故选ABD ．10．如图是民航部门统计的今年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表,根据图表,下面叙述正确的是( )A ．深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高B ．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 【答案】ABC【解析】由图可知深圳对应的小黑点最接近0%,故变化幅度最小,北京对应的条形图最高,则北京的平均价格最高,A 正确；深圳和厦门对应的小黑点在0%以下,故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降,B 正确；条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州,C 正确；平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京,D 错误．故选ABC ．11．△ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足AB →＝2a ,AC →＝2a ＋b ,则下列结论中正确的是( )A ．a 为单位向量B ．a ⊥bC ．b ∥BC →D ．(4a ＋b )⊥BC →【答案】ACD【解析】由AB →＝2a ,得a ＝12AB →,又AB ＝2,所以|a |＝1,即a 是单位向量,A 正确；a ,b 的夹角为120°,B 错误；因为AC →＝AB →＋BC →＝2a ＋b ,所以BC →＝b ,C 正确；(4a ＋b )·BC →＝4a ·b ＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝－4＋4＝0,D 正确．故选ACD ．12．如图,点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动,则( )A ．三棱锥A －D 1PC 的体积不变B ．A 1P ∥平面ACD 1C ．DP ⊥BC 1D ．平面PDB 1⊥平面ACD 1【答案】ABD【解析】连接BD 交AC 于点O ,连接DC 1交D 1C 于点O 1,连接OO 1,则OO 1∥BC 1,所以BC 1∥平面AD 1C ,动点P 到平面AD 1C 的距离不变,所以三棱锥PAD 1C 的体积不变,又因为V 三棱锥PAD 1C ＝V 三棱锥AD 1PC ,所以A 正确；因为平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ,A 1P ⊂平面A 1C 1B ,所以A 1P ∥平面ACD 1,B 正确；由于当点P 在B 点时,DB 不垂直于BC 1,即DP 不垂直BC 1,故C 不正确；由于DB 1⊥D 1C ,DB 1⊥AD 1,D 1C ∩AD 1＝D 1,所以DB 1⊥平面ACD 1,又因为DB 1⊂平面PDB 1,所以平面PDB 1⊥平面ACD 1,D 正确．故选ABD ．三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．已知复数z ＝1＋3i 1－i ,z －为z 的共轭复数,则z 的虚部为________．【答案】－2【解析】由z ＝1＋3i 1－i ＝（1＋3i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－2＋4i2＝－1＋2i,得z －＝－1－2i,∴复数z 的虚部为－2.14．一组数据按从小到大的顺序排列为1,3,3,x ,7,8,10,11,其中x ≠7,已知该组数据的中位数为众数的2倍,则：(1)该组数据的上四分位数是________； (2)该组数据的方差为________． 【答案】(1)9 (2)11.25【解析】(1)一组数据按从小到大的顺序排列为1,3,3,x ,7,8,10,11,其中x ≠7,∵该组数据的中位数为众数的2倍,∴x ＋72＝2×3,解得x ＝5.∵8×0.75＝6,∴该组数据的上四分位数是8＋102＝9.(2)该组数据的平均数为：18(1＋3＋3＋5＋7＋8＋10＋11)＝6,∴该组数据的方差为18[(1－6)2＋(3－6)2＋(3－6)2＋(5－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2＋(11－6)2]＝11.25.15．a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边．已知ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2,A ＝45°,a ＝2,则c ＝________.【答案】4105【解析】由ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2,得cos(A －B )＝2·a 2＋b 2－c 22ab＝2cos C ＝－2cos(A＋B ),整理,得3cos A cos B ＝sin A sin B ,所以tan A tan B ＝3.又A ＝45°,所以tan A ＝1,tan B ＝3.由sin B cos B ＝3,sin 2B ＋cos 2B ＝1,得sin B ＝31010,cosB ＝1010.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫31010＋1010＝255.由正弦定理,得c ＝a sin C sin A ＝4105. 16．如图,AB →＝3AD →,AC →＝4AE →,BE 与CD 交于P 点,若AP →＝mAB →＋nAC →,则m ＝________,n ＝________．【答案】311 211【解析】因为AB →＝3AD →,AC →＝4AE →,且E 、P 、B 三点共线,D 、P 、C 三点共线,所以存在x ,y 使得AP →＝xAE →＋(1－x )AB →＝14xAC →＋(1－x )AB →.因为AP →＝yAC →＋(1－y )AD →＝yAC →＋13(1－y )AB →,所以⎩⎪⎨⎪⎧14x ＝y ，1－x ＝13（1－y ），解得x ＝811,y ＝211,所以AP →＝14×811AC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－811AB →＝211AC →＋311AB →＝311AB →＋211AC →.又因为AP →＝mAB →＋nAC →,所以m ＝311,n ＝211.四、解答题：本题共6小题,17题10分,其余小题为12分,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数z ＝m 2－m i(m ∈R),若|z |＝2,且z 在复平面内对应的点位于第四象限． (1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1＋i,求实数a ,b 的值．解：(1)∵z ＝m 2－m i,|z |＝2,∴m 4＋m 2＝2,得m 2＝1.又∵z 在复平面内对应的点位于第四象限,∴m ＝1,即z ＝1－i.(2)由(1)得z ＝1－i,∴z 2＋az ＋b ＝1＋i ⇒(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i.∴(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得a ＝－3,b ＝4.18．在①b ＋b cos C ＝2c sin B ,②S △ABC ＝2CA →·CB →,③(3b －a )cos C ＝c cos A ,三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决问题．在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足________． (1)求cos C 的值；(2)若点E 在AB 上,且AE →＝2EB →,EC ＝413,BC ＝3,求sin B ．解：(1)若选①：因为b ＋b cos C ＝2c sin B ,由正弦定理可得sin B ＋sin B cos C ＝2sin C sin B ．因为sin B ≠0,所以1＋cos C ＝2sin C ．联立⎩⎨⎧1＋cos C ＝2sin C ，sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝13,sin C ＝223,故cos C ＝13. 若选②：因为S △ABC ＝2CA →·CB →,所以12ab sin C ＝2ba cos C ,即sin C ＝22cos C ＞0,联立sin 2C ＋cos 2C ＝1,可得cos C ＝13.若选③：因为(3b －a )cos C ＝c cos A ,由正弦定理可得(3sin B －sin A )cos C ＝sin C cosA ,所以3sinB cosC ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ．因为sin B ≠0,所以cos C ＝13.(2)由余弦定理可得cos ∠AEC ＝AE 2＋EC 2－AC 22AE ·EC ＝49c 2＋EC 2－b 243c ·EC ,cos ∠BEC ＝BE 2＋EC 2－BC 22BE ·EC＝19c 2＋EC 2－a 223c ·EC ,因为cos ∠AEC ＋cos ∠BEC ＝0,所以49c 2＋EC 2－b 243c ·EC ＋19c 2＋EC 2－a 223c ·EC ＝0,即2c 2＋9EC 2－3b 2－6a 2＝0,则2c 2－3b 2＝6a 2－9EC 2＝6×9－9×419＝13,①同时cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝13,即b 2－c 2＝2b －9,②联立①②可得b 2＋4b －5＝0,解得b ＝1,则c ＝22,故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝223,则sin B＝13. 19．如图所示,在四棱锥MABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,BC ∥AD ,∠CDA ＝90°,AD ＝4,BC ＝CD ＝2,△MBD 为等边三角形．(1)求证：BD ⊥MC ；(2)若平面MBD ⊥平面ABCD ,求三棱锥CMAB 的体积． (1)证明：取BD 中点O ,连接CO 、MO ,如图所示： ∵△MBD 为等边三角形,且O 为BD 中点,∴MO ⊥BD ． 又BC ＝CD ,O 为BD 中点,∴CO ⊥BD ．又MO ∩CO ＝O ,∴BD ⊥平面MCO . ∵MC ⊂平面MCO ,∴BD ⊥MC ．(2)解：∵平面MBD ⊥平面ABCD ,且平面MBD ∩平面ABCD ＝BD ,MO ⊥BD , ∴MO ⊥平面ABCD ．由(1)知MB ＝MD ＝BD ＝22,MO ＝MB 2－BO 2＝6,S △ABC ＝12BC ·CD ＝2,∴V CMAB ＝V MABC ＝13×S △ABC ×MO ＝263.20．某冰糖橙为甜橙的一种,云南著名特产,以味甜皮薄著称．该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱有5 kg)．某采购商打算采购一批该橙子销往省外,并从采购的这批橙子中随机抽取100箱,利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 40 30 10 20 售价/(元·kg －1)36302418(2)按照分层抽样的方法,从这100箱橙子中抽取10箱,试计算各等级抽到的箱数； (3)若在(2)抽取的特级品和一级品的箱子上均编上号放在一起,再从中抽取2箱,求抽取的2箱中两种等级均有的概率．解：(1)依题意可知,样本中的100箱不同等级橙子的平均价格为36×410＋30×310＋24×110＋18×210＝29.4(元/kg)． (2)依题意,珍品抽到110×40＝4(箱),特级抽到110×30＝3(箱),优级抽到110×10＝1(箱),一级抽到110×20＝2(箱)．(3)抽到的特级有3箱,编号为A 1,A 2,A 3,抽到的一级有2箱,编号为B 1,B 2. 从中抽取2箱,有(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(B 1,B 2)共10种可能,两种等级均有的有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2)共6种可能,∴所求概率p ＝610＝35.21．已知向量a ＝(3cos ωx ,sin ωx ),b ＝(cos ωx ,cos ωx ),其中ω＞0,记函数f (x )＝a ·b .(1)若函数f (x )的最小正周期为π,求ω的值；(2)在(1)的条件下,已知△ABC 的内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3,且a＝4,b ＋c ＝5,求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝a ·b ＝3cos 2ωx ＋sin ωx ·cos ωx ＝3（cos 2ωx ＋1）2＋sin 2ωx2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32. ∵f (x )的最小正周期为π,且ω＞0,∴2π2ω＝π,解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32. 由0＜A ＜π,得π3<A ＋π3<4π3,∴A ＋π3＝2π3,解得A ＝π3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,得16＝b 2＋c 2－bc .联立b ＋c ＝5,得bc ＝3. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×32＝334.22．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度,对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x 人,按年龄分成5组,第一组：[20,25),第二组：[25,30),第三组：[30,35),第四组：[35,40),第五组：[40,45),得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有6人．(1)求x ；(2)求抽取的x 人的年龄的中位数(结果保留整数)；(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户,五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分别记为1～5组,从5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛,分别代表相应组的成绩,年龄组中1～5 组的成绩分别为93,96,97,94,90,职业组中1～5 组的成绩分别为93,98,94,95,90.①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；②以上述数据为依据,评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度,并谈谈你的感想．解：(1)根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05,∴6x＝0.05,解得x ＝120.(2)设中位数为a ,则0.01×5＋0.07×5＋(a －30)×0.06＝0.5,∴a ＝953≈32,则中位数为32.(3)①5个年龄组成绩的平均数为x 1＝15×(93＋96＋97＋94＋90)＝94,方差为s 21＝15×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5个职业组成绩的平均数为x 2＝15×(93＋98＋94＋95＋90)＝94,方差为s 22＝15×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.②从平均数来看两组的认知程度相同,从方差来看年龄组的认知程度更稳定．。

新教材2023年秋高中数学模块综合测评2新人教A版选择性

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模块综合测评(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x)＝ln x＋x3，则＝( )A．1 B．2C．4 D．82．在等比数列{a n}中，a4，a10是方程x2－11x＋9＝0的两根，则a7＝( )A．3 B．－3C．±3D．无法确定3．已知函数f (x)＝(x＋a)e x的图象在x＝1和x＝－1处的切线相互垂直，则a＝( ) A．－1 B．0C．1 D．24．在金秋的苹果节上，某商家将参展的苹果摆成16层，从上到下每层的苹果数是一个等差数列．已知第8层和第9层共有苹果40个，则此商家参展的苹果共有( )A．300个B．320个C．340个D．360个5．在数列{a n}中，a1＝2，对任意的m，n∈N*，a m＋n＝a m·a n，若a1＋a2＋…＋a n＝62，则n ＝( )A．3 B．4C．5 D．66．已知函数f (x)＝e x－3x－1(e为自然对数的底数)，则以下结论正确的为( )A．函数y＝f (x)仅有一个零点，且在区间(－∞，＋∞)上单调递增B．函数y＝f (x)仅有一个零点，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增C．函数y＝f (x)有两个零点，其中一个零点为0，另一个零点为负数D．函数y＝f (x)有两个零点，且当x＝ln 3时，y＝f (x)取得最小值为2－3ln 37．已知数列{a n}是等比数列，a2＝2，a5＝，令T n＝a1·a2＋a2·a3＋…＋a n·a n＋1，则T n＝( ) A．16×B．16×C．×D．×8．若函数f (x)＝x2－4x＋a ln x有唯一的极值点，则实数a的取值范围为( ) A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪{2}C．(－∞，0] D．(－∞，0]∪{2}二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．数列{a n}是首项为1的正项数列，a n＋1＝2a n＋3，S n是数列{a n}的前n项和，则下列结论正确的是( )A．a3＝13B．数列{a n＋3}是等比数列C．a n＝4n－3D．S n＝2n+1－n－210．已知函数f (x)＝ln (e x＋e－x)，则下列说法正确的有( )A．f (ln 2)＝lnB．f (x)是奇函数C．f (x)在(0，＋∞)上单调递增D．f (x)的最小值为ln 211．如果函数y＝f (x)的导函数的图象如图所示，则下述结论正确的是( )A．函数y＝f (x)在区间(3，5)内单调递增B．当x＝－时，函数y＝f (x)有极大值C．函数y＝f (x)在区间(1，2)内单调递增D．当x＝2时，函数y＝f (x)有极大值12．已知数列{a n}是等比数列，则下列结论中正确的是( )A．数列}是等比数列B．若a4＝3，a12＝27，则a8＝±9C．若a1＜a2＜a3，则数列{a n}是递增数列D．若数列{a n}的前n项和S n＝3n1＋r，则r＝－1三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线上)13．函数f (x)＝(x－1)e x2的单调递增区间为________．14．某市利用省运会的契机，鼓励全民健身，从7月起向全市投放A，B两种型号的健身器材．已知7月投放A型健身器材300台，B型健身器材64台，计划8月起，A型健身器材每月的投放量均为a台，B型健身器材每月的投放量比上一月多50%，若12月底该市A，B两种健身器材投放总量不少于2 000台，则a的最小值为________．15．已知a n＝|11－2n|，数列{a n}的前n项和为S n，若S k＝650，则k＝________．16．已知函数f (x)＝x－ln (x＋a)，若a＝2，则f ′(0)＝________；又若f (x)的最小值为0，其中a＞0，则a的值为________．四、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n}满足a5＝9，a3＋a9＝22．(1)求{a n}的通项公式；(2)等比数列{b n}的前n项和为S n，且b1＝a1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中任选择两个作为已知条件，求满足S n<2 020的n的最大值．条件①：b3＝a1＋a2；条件②：S3＝7；条件③：b n＋1>b n．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝x3－9x．(1)求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x)的单调区间与极值．19．(本小题满分12分)设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，满足a＝(S n＋1－2S n，S n)，b＝(2，n)，a∥b．(1)求证：数列为等比数列；(2)求数列{S n}的前n项和T n．20．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝(x2＋ax＋b)·e x(e为自然对数的底数，e＝2.718 28…)，曲线y＝f (x)在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋1．(1)求实数a，b的值；(2)求函数f (x)在区间[－2，3]上的最大值．21．(本小题满分12分)已知数列{a n}是等差数列，S n是{a n}的前n项和，a8＝4，________．(1)判断2 022是否是数列{a n}中的项，并说明理由；(2)求S n的最小值．从①S11＝－22，②S5＝S6中任选一个，补充在上面的问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．22．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝＋1＋a ln x(a∈R)．(1)讨论函数f (x)的单调性；(2)若f (x)≥1，求a的取值范围．模块综合测评(二)1．D[由题意f ′(x)＝＋3x2，所以f ′(1)＝1＋3＝4，所以＝2＝2f ′(1)＝8．故选D．]2．C[∵a4，a10是方程x2－11x＋9＝0的两根，∴a4a10＝9，由等比数列的性质可知a4a10＝＝9，∴a7＝±3．故选C．]3．A[因为f ′(x)＝(x＋a＋1)e x，所以f ′(1)＝(a＋2)e，f ′(－1)＝a e1＝，由题意有f ′(1)·f ′(－1)＝－1，所以a＝－1，故选A．]4．B[由题意，此商家参展的苹果构成等差数列{a n}，其中n＝16，a8＋a9＝40，所以S16＝＝＝＝320．故选B．]5．C[因为对任意的m，n∈N*，都有a m＋n＝a m·a n，所以令m＝1，则a n＋1＝a1·a n＝2a n，因为a1≠0，所以a n≠0，即＝2，所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以＝62，解得n＝5，故选C．]6．D[f ′(x)＝e x－3是增函数，∴x＜ln 3时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，x＞ln 3时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，显然f (0)＝0，∴f (ln 3)＝2－3ln 3＜0，又x→＋∞时，f (x)→＋∞，∴f (x)在(ln 3，＋∞)上也有一个零点，因此共有两个零点．故选D．]7．C[设数列{a n}的公比为q，由题意可知，当n≥2时，＝q2，即数列{a n·a n＋1}是以q2为公比的等比数列，由a2＝2，a5＝得q＝，所以a1＝4，a1·a2＝8，所以T n＝＝×．]8．C[由f (x)＝x2－4x＋a ln x可知，f ′(x)＝2x－4＋＝(x>0)，令g(x)＝2x2－4x＋a＝2(x－1)2＋a－2，由f (x)有唯一的极值点，可得g(0)≤0，即a≤0，则实数a的取值范围为(－∞，0]．]9．AB[a n＋1＝2a n＋3，所以a n＋1＋3＝2(a n＋3)，所以数列{a n＋3}是等比数列，又因为a1＝1，所以a n＋3＝(a1＋3)2n1＝2n+1，所以a n＝2n+1－3，所以a3＝13，所以S n＝－3n＝2n+2－3n－4．]10．ACD[f (ln 2)＝ln (e ln 2＋e－ln 2)＝ln ，A正确；f (x)＝ln (e x＋e－x)的定义域为R，其中f (－x)＝ln (e－x＋e x)＝f (x)，故f (x)是偶函数，B错误；f ′(x)＝，当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)＝>0，故f (x)在(0，＋∞)上单调递增，C正确；根据f (x)在(0，＋∞)上单调递增且f (x)是偶函数，则f (x)在(－∞，0)上单调递减，故f (x)的最小值为f (0)＝ln 2，故D正确．] 11．CD[结合函数y＝f (x)的导函数的图象可知：当x<－2时，导函数值小于0，函数f (x)是减函数；当x＝－2时，导函数值等于0，函数f (x)取极小值；当－2<x<2时，导函数值大于0，函数f (x)是增函数；当x＝2时，导函数值等于0，函数f (x)取极大值；当2<x<4时，导函数值小于0，函数f (x)是减函数；当x＝4时，导函数值等于0，函数f (x)取极小值；当x>4时，导函数值大于0，函数f (x)是增函数，结合选项易知，A、B错误，C、D正确，故选CD．]12．AC[设等比数列{a n}公比为q(q≠0)，则＝＝q2，即数列}是等比数列，即A正确；因为等比数列{a n}中a4，a8，a12同号，而a4＞0，所以a8>0，即B错误；若a1＜a2＜a3，则a1＜a1q＜a1q2，∴或，即数列{a n}是递增数列，C正确；若数列{a n}的前n项和S n＝3n1＋r，则a1＝S1＝311＋r＝1＋r，a2＝S2－S1＝2，a3＝S3－S2＝6，所以q＝＝3＝，∴2＝3(1＋r)，r＝－，即D错误．故选AC．] 13．(0，＋∞) [∵f (x)＝(x－1)e x2，∴f ′(x)＝e x2＋(x－1)e x2＝x e x2，由f ′(x)＝x e x2＞0得x＞0，所以f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]14．74 [设B型健身器材这6个月投放量为{b n}，则{b n}是以b1＝64为首项，q＝的等比数列，∴其前6项和为S6＝＝1 330，∴5a＋300＋1 330≥2 000，解得a≥74，故a的最小值为74．故答案为74．]15．30 [当n≤5时，a n＝11－2n，∴S n＝＝10n－n2，令S k＝650＝10k－k2，无解．当n≥6时，a n＝2n－11，S n＝S5＋(a6＋a7＋…＋a n)＝＋＝n2－10n＋50．令S k＝650＝k2－10k＋50，解得k＝30或－20(舍)，故k＝30．]16． 1 [f (x)的定义域为(－a，＋∞)，f ′(x)＝1－＝．当a＝2时，f ′(x)＝1－，∴f ′(0)＝1－＝．又由f ′(x)＝0，解得x＝1－a＞－a．当－a＜x＜1－a时，f ′(x)＜0，f (x)在(－a，1－a)上单调递减；当x＞1－a时，f ′(x)＞0，f (x)在(1－a，＋∞)上单调递增．因此，f (x)在x＝1－a处取得最小值，由题意知f (1－a)＝1－a＝0，故a＝1．]17．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，则a n＝a1＋(n－1)d，因为a5＝9，a3＋a9＝22，所以解得：所以a n＝2n－1．(2)(Ⅰ)选择①②设等比数列{b n}的公比为q，因为b1＝a1，b3＝a1＋a2，所以b1＝1，b3＝4，因为S3＝7，所以b2＝S3－b1－b3＝2，所以q＝＝2，所以S n＝＝2n－1，因为S n＜2 020，所以2n－1＜2 020，所以n≤10，即n的最大值为10．(Ⅱ)选择①③设等比数列{b n}的公比为q，因为b1＝a1，b3＝a1＋a2，所以b1＝1，b3＝4，所以q2＝＝4，q＝±2，因为b n＋1＞b n，所以q＝2，所以S n＝＝2n－1，因为S n＜2 020，所以2n－1＜2 020，所以n≤10．即n的最大值为10．(Ⅲ)选择②③设等比数列{b n}的公比为q，因为S3＝7，b1＝1，所以1＋q＋q2＝7．所以q＝2，或q＝－3．因为b n＋1＞b n，所以q＝2．所以S n＝＝2n－1．因为S n＜2 020，所以2n－1＜2 020，所以n≤10．即n的最大值为10．18．解：(1)因为f (x)＝x3－9x，所以f ′(x)＝3x2－9，当x＝1时，f (1)＝－8，f ′(1)＝－6，所以曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线过点(1，－8)，斜率为k＝－6，所以切线方程为y＋8＝－6(x－1)，即6x＋y＋2＝0．(2)函数f (x)的定义域为R，令f ′(x)＝3x2－9＝0，得x＝±，x (－∞，－)－(－，)(，＋∞)f ′＋0－0＋(x)f (x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f (x)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；减区间为(－)，当x＝－时，函数f (x)有极大值，f (－)＝6，当x＝时，函数f (x)有极小值，f ()＝－6．19．解：(1)证明：因为a∥b，可得n(S n＋1－2S n)＝2S n，整理得＝2·，又由a1＝1，可得＝1，所以数列表示首项为1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知＝2n1，所以S n＝n·2n1，所以T n＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋(n－1)·2n2＋n·2n1，2T n＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n1＋n·2n，两式相减，可得－T n＝1＋21＋22＋…＋2n1－n·2n＝－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)·2n－1，所以T n＝(n－1)2n＋1．20．解：(1)因为f (x)＝(x2＋ax＋b)·e x在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋1，所以f (x)过(0，1)点，所以b e0＝1，b＝1，所以f (x)＝(x2＋ax＋1)·e x．又f ′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a＋1]·e x，所以f ′(0)＝－2，即a＋1＝－2，a＝－3．(2)由(1)知f (x)＝(x2－3x＋1)·e x，f ′(x)＝(x2－x－2)·e x＝(x－2)(x＋1)·e x，由f ′(x)＝0，得x＝2或x＝－1，又x∈[－2，3]，所以由f ′(x)>0得2<x<3或－2<x<－1，由f ′(x)<0得－1<x<2，所以f (x)在(－2，－1)上单调递增，在(－1，2)上单调递减，在(2，3)上单调递增，所以f (x)极大值＝f (－1)＝．又f (3)＝e3，所以f (x)max＝f (3)＝e3．21．解：若选①，(1)设公差为d，则解得所以a n＝a1＋(n－1)d＝3n－20．令3n－20＝2 022，得n＝∉N*，所以2 022不是数列{a n}中的项．(2)令a n＝3n－20>0，解得n>．所以当n≤6时，a n<0．故当n＝6时，S n取到最小值，为S6＝6a1＋15d＝－57．若选②，(1)设公差为d，则解得所以a n＝2n－12．令2n－12＝2 022，解得n＝1 017，所以2 022是数列{a n}的第1 017项．(2)令2n－12>0，得n>6．所以当n≤6时，a n≤0．故当n＝6或n＝5时，S n取得最小值，为S5＝S6＝－30．22．解：(1)函数f (x)＝＋1＋a ln x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝－＝，当a≤0时，f ′(x)＝≤0，f (x)在定义域上单调递减；当a>0时，f ′(x)＝，当x∈时f ′(x)<0，f (x)单调递减，当x∈时，f ′(x)>0，f (x)单调递增．综上所述，当a≤0时，f (x)在定义域(0，＋∞)上单调递减；当a>0时，f (x)在上单调递减，在上单调递增．(2)当a＝0时，函数f (x)＝＋1＋0×ln x＝＋1，x∈(0，＋∞)，f (x)>1符合题意，由(1)可知，当a<0时，f (x)在定义域(0，＋∞)上单调递减，所以＝<1，故不满足f (x)≥1．当a>0时，f (x)在上单调递减，在上单调递增，要想满足f (x)≥1，须满足f (x)min＝f ≥1即可．因为f ＝a＋1－a·ln a，所以f ≥1即a－a ln a≥0，化简得ln a≤1，即0<a≤e，综上a的取值范围是[0，e]．。

高中数学 模块综合测评 新人教A版必修1

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模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},M={1,3,5,6},N={1,2,4,7,9},则M∪(∁U N)等于()A.{3,5,8}B.{1,3,5,6,8}C.{1,3,5,8}D.{1,5,6,8}解析:∵∁U N={3,5,6,8},∴M∪(∁U N)={1,3,5,6,8},故选B.答案:B3.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是()A.y=x-2B.y=x-1C.y=x2-2D.y=lo x解析:因为y=x-1是奇函数,y=lo x不具有奇偶性,故排除B,D,又函数y=x2-2在区间(0,+∞)上是增函数,故排除C,只有选项A符合题意.答案:A4.若a=22.5,b=lo2.5,c=,则a,b,c之间的大小关系是()A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c解析:a=22.5>22=4,b=lo2.5<lo1=0,c==1,又c=>0,所以a>c>b,故选C.答案:C5.与函数y=10lg(x-1)相等的函数是()A.y=x-1B.y=|x-1|C.y=D.y=解析:y=10lg(x-1)=x-1(x>1),故选C.答案:C6.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数,其图象经过点(,a),则f(x)=()A.log2xB.lo xC. D.x2解析:因为函数y=f(x)的图象经过点(,a),所以函数y=a x(a>0,且a≠1)的图象经过点(a,).所以=a a,即a=,故f(x)=lo x.答案:B7.若定义运算a*b为:a*b=如1*2=1,则函数f(x)=2x*2-x的值域为()A.RB.(0,1]C.(0,+∞)D.[1,+∞)解析:f(x)=2x*2-x=∴f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间(0,+∞)上是减函数,∴0<f(x)≤1.答案:B8.已知函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)解析:当a>0时,-a<0,若f(a)>f(-a),则log2a>lo[-(-a)],即log2a>lo a,此时a>1;当a<0时,-a>0,若f(a)>f(-a),则lo(-a)>log2(-a),此时0<-a<1,-1<a<0.答案:C9.函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是()解析:由f(x)=lg(|x|-1),知x>1或x<-1.排除C,D.当x>1时,f(x)=lg(x-1)在区间(1,+∞)上为增函数.故选B.答案:B10.(2016·吉林延边州高一期末)若函数f(x)=4x-3·2x+3的值域为[1,7],则f(x)的定义域为()A.(-1,1)∪[2,4]B.(0,1)∪[2,4]C.[2,4]D.(-∞,0]∪[1,2]解析:设t=2x,则t>0,且y=t2-3t+3=.∵函数f(x)=4x-3·2x+3的值域为[1,7],∴函数y=t2-3t+3在(0,+∞)上的值域为[1,7].由y=1,得t=1或t=2;由y=7,得t=4或t=-1(舍去),则0<t≤1或2≤t≤4,即0<2x≤1或2≤2x≤4,解得x≤0或1≤x≤2,∴f(x)的定义域是(-∞,0]∪[1,2],故选D.答案:D11.导学号29900145(2016·甘肃兰州高一期末)已知f(x)的定义域为x∈R,且x≠1,已知f(x+1)为奇函数,当x<1时,f(x)=2x2-x+1,则当x>1时,f(x)的递减区间是()A. B.C. D.解析:由题意知f(x+1)为奇函数,则f(-x+1)=-f(x+1).令t=-x+1,则x=1-t,f(t)=-f(2-t),即f(x)=-f(2-x).设x>1,则2-x<1.∵当x<1时,f(x)=2x2-x+1,∴f(2-x)=2(2-x)2-(2-x)+1=2x2-7x+7.∴f(x)=-f(2-x)=-2x2+7x-7.∴函数图象的对称轴为x=.故所求的递减区间是.故选C.答案:C12lg≥(x-1)lg 3对任意的x∈(-∞,1]恒成立,则a的取值范围是()A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[0,+∞)D.[1,+∞)解析:由lg≥lg 3(x-1),得≥3(x-1),1+2x+(1-a)3x≥3x,1+2x≥a·3x,即≥a对任意的x∈(-∞,1]恒成立.设f(x)=(x∈(-∞,1]),则f(x)min=f(1)==1,∴a≤1.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2016·山东淄博高一期末)函数f(x)=的定义域为.(用区间表示)解析:要使函数有意义,须所以函数的定义域为[-2,1)∪(1,2].答案:[-2,1)∪(1,2]14.函数f(x)=lo(x2-2x-3)的单调递增区间为.解析:函数f(x)的定义域为{x|x>3或x<-1}.令t=x2-2x-3,则y=lo t.因为y=lo t在区间(0,+∞)上单调递减,t=x2-2x-3在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为(-∞,-1).答案:(-∞,-1)15.若关于x的方程|x2-1|=a有2个不相等的实数解,则实数a的取值集合是. 解析:构造函数y1=|x2-1|,y2=a,画出函数的图形,如图所示.由图可得关于x的方程|x2-1|=a有2个不相等的实数解时,a=0或a>1.答案:{0}∪(1,+∞)16.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x+4)=f(x),且x∈(-1,0)时,f(x)=2x+,则f(log220)=.解析:由log224<log220<log225,即4<log220<5,则4-log220∈(-1,0).所以f(log220)=f(log220-4)=-f(4-log220)=-=-=-2.答案:-2三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知全集U={x|x>0},集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|5-a<x<a}.(1)求A∪B,(∁U A)∩B;(2)若C⊆(A∪B),求a的取值范围.解:(1)A∪B={x|2<x<10},∁U A={x|0<x<3,或x≥7},(∁U A)∩B={x|2<x<3,或7≤x<10}.(2)①若C为空集,则5-a≥a,解得a≤.②若C不是空集,则2≤5-a<a≤10,解得<a≤3.综上所述,a≤3.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-9x+3x+1+4.(1)求函数f(x)的零点;(2)当x∈[0,1]时,求函数f(x)的值域.解:f(x)=-9x+3x+1+4=-(3x)2+3·3x+4.令t=3x(t>0),则y=-t2+3t+4.(1)由-t2+3t+4=0,得t=4或t=-1(舍).所以3x=4,x=log34.所以函数的零点是log34.(2)当x∈[0,1]时,t∈[1,3],因为函数y=-t2+3t+4图象的对称轴是t=,所以y∈,故函数f(x)的值域为.19.(本小题满分12分)设函数f(x)=log2(a∈R),若f=-1.(1)求f(x)的解析式;(2)g(x)=lo,当x∈时,f(x)≤g(x)有解,求实数k的取值集合.解:(1)f=log2=-1,∴,即=1+,解得a=1.∴f(x)=log2.(2)∵log2≤lo=2log2=log2,∴.易知f(x)的定义域为(-1,1),∴1+x>0,1-x>0,∴k2≤1-x2.令h(x)=1-x2,则h(x)在区间上单调递减,∴h(x)max=h.∴只需k2≤.又由题意知k>0,∴0<k≤.20.导学号29900147(本小题满分12分)(2016·湖南永顺一中高一期中)某上市股票在30天内每股的交易价格P(单位:元)与时间t(单位:天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条线段上,该股票在30天内的日交易量Q(单位:万股)与时间t(单位:天)的部分数据如表所示:第t天411622Q/万股3632418(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P与时间t所满足的函数关系式;(2)根据表中数据求出日交易量Q与时间t的一次函数关系式;(3)在(2)的结论下,用y表示该股票日交易额(单位:万元),写出y关于t的函数关系式,并求在这30天中第几天日交易额最大?最大值是多少?解:(1)P=(t∈N*).(2)设Q=at+b(a≠0,a,b为常数),把(4,36),(10,30)代入,得解得a=-1,b=40.所以日交易量Q与时间t的一次函数关系式为Q=-t+40,0<t≤30,t∈N*.(3)由(1)(2)可得y=(t∈N*),即y=(t∈N*).当0<t≤20时,y有最大值y max=125万元,此时t=15;当20<t≤30时,y随t的增大而减小,y max<(20-60)2-40=120(万元).所以在30天中的第15天日交易额最大,且最大值125万元.21本小题满分12分)已知指数函数y=g(x)满足:g(3)=8,定义域为R的函数f(x)=是奇函数.(1)确定y=f(x)和y=g(x)的解析式;(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明;(3)若对于任意x∈[-5,-1],都有f(1-x)+f(1-2x)>0成立,求x的取值范围.解:(1)设g(x)=a x(a>0,且a≠1),则a3=8,∴a=2.∴g(x)=2x.∵f(x)=.又f(-1)=-f(1),∴=-⇒m=2;经检验,满足题意.∴f(x)=.(2)由(1)知f(x)==-.f(x)在定义域R上是减函数.证明如下:任取x1,x2∈R,设x1<x2,则f(x2)-f(x1)=.∵函数y=2x在R上是增函数,且x1<x2,∴<0,又(+1)(+1)>0,∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.(3)∵f(x)是奇函数,且f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,从而由不等式f(1-x)+f(1-2x)>0,得f(1-x)>-f(1-2x),即f(1-x)>f(2x-1),∴解得2≤x≤3.故x的取值范围是[2,3].22.导学号29900149(本小题满分12分)已知函数f(x)=(1)写出该函数的单调区间;(2)若函数g(x)=f(x)-m恰有3个不同零点,求实数m的取值范围;(3)若f(x)≤n2-2bn+1对所有x∈[-1,1],b∈[-1,1]恒成立,求实数n的取值范围.解:(1)函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(-∞,0)及(1,+∞).(2)作出直线y=m,函数g(x)=f(x)-m恰有3个不同零点等价于直线y=m与函数f(x)的图象恰有三个不同交点.根据函数f(x)=的图象,且f(0)=1,f(1)=,∴m∈.故实数m的取值范围为.(3)∵f(x)≤n2-2bn+1对所有x∈[-1,1]恒成立,∴[f(x)]max≤n2-2bn+1,又[f(x)]max=f(0)=1,∴n2-2bn+1≥1,即n2-2bn≥0在b∈[-1,1]上恒成立.令h(b)=-2nb+n2,∴h(b)=-2nb+n2在b∈[-1,1]上恒大于等于0.∴即由①得解得n≥0或n≤-2.同理由②得n≤0或n≥2.∴n∈(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).故n的取值范围是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).。

【创新设计】高中数学(人教版必修二)配套练习：模块综合检测(A)(含答案解析)

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模块综合检测(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．直线x＝tan 60°的倾斜角是()A．90°B．60°C．30°D．不存在2．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．43．方程y＝ax＋1a表示的直线可能是()4．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是()A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥nB．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥α，l∥β，则α⊥β5．已知三棱锥S—ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝2r，则球的体积与三棱锥体积之比是()A．π B．2π C．3π D．4π6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°7．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝08．以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕，将△ABC 折成二面角C －AD －B 为多大时，在折成的图形中，△ABC 为等边三角形．( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°9．经过点M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线是( ) A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y ＝1C ．x ＝1或y ＝1D ．x ＋y ＝2或x ＝y 10．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B ．12或32C ．2或0D ．－2或011．直线3x ＋y －23＝0截圆x 2＋y 2＝4得的劣弧所对的圆心角是( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°12．在平面直角坐标系中，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)的距离为2的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知点A(－2,3,4)，在y 轴上有一点B ，且|AB|＝35，则点B 的坐标为________． 14．圆x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0上两点P 、Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称，则k ＝________． 15．如图，某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为________．16．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋8＝0，若圆C 和坐标轴的交点间的线段恰为圆C′直径，则圆C′的标准方程为__________________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x＋4y＋12＝0，BC：4x－3y＋16＝0，CA：2x＋y－2＝0．求AC边上的高所在的直线方程．18．(12分)求经过点P(6，－4)且被定圆O：x2＋y2＝20截得的弦长为62的直线AB 的方程．19．(12分) 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，E为侧棱PC 的中点，求证PA∥平面EDB．20．(12分)如图所示，在四棱柱(侧棱垂直于底面的四棱柱)ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC ．(1)求证D 1C ⊥AC 1；(2)设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使D 1E ∥平面A 1BD ，并说明理由．21．(12分)已知M 与两定点O(0,0)、A(3,0)的距离之比为12．(1)求M 点的轨迹方程；(2)若M 的轨迹为曲线C ，求C 关于直线2x ＋y －4＝0对称的曲线C′的方程．22．(12分) 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，∠ABD ＝60°，∠BDC ＝45°．PD 垂直底面ABCD ，PD ＝22R ，E ，F 分别是PB ，CD 上的点，且PE EB ＝DFFC，过点E 作BC 的平行线交PC 于G ．(1)求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值； (2)证明：△EFG 是直角三角形； (3)当PE EB ＝12时，求△EFG 的面积．模块综合检测(A) 答案1．A2．D [①忽视两直线可以相交，②可以相交、平行，③l 1、l 2可以异面、相交，④与l 1、l 2都相交的两直线可以相交，故选D ．]3．B [注意到直线的斜率a 与在y 轴上的截距1a 同号，故B 正确．]4．D5．D [∵SO ⊥底面ABC ，∴SO 为三棱锥的高线，∴SO ＝r ，又∵O 在AB 上，AB ＝2r ，AC ＝2r ，∠ACB ＝90° ∴BC ＝2r ，∴V S －ABC ＝13×12×2r×2r×r ＝13r 3．又∵球的体积V ＝43πr 3，∴VV S －ABC ＝43πr 313r 3＝4π．] 6．B [连接A 1B ，BC 1，A 1C 1，∵E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点， ∴EF ∥12A 1B ，GH ∥12BC 1，∴∠A 1BC 1即为异面直线EF 与GH 所成的角． 又∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体 ∴A 1B ＝BC 1＝A 1C 1， ∴∠A 1BC 1＝60°．]7．D [直线x －2y ＋1＝0与x ＝1的交点为A(1,1)，点(－1,0)关于x ＝1的对称点为B(3,0)也在所求直线上，∴所求直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0．]8．A[关键利用折叠前后不变的垂直关系，如图所示，可知∠BDC 为二面角的平面角，设 BD ＝CD ＝a ，则可求BC ＝AB ＝AC ＝2a ，故∠BDC ＝90°．] 9．D [截距相等问题关键不要忽略过原点的情况．] 10．C [圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5， 则圆心为(1,2)．由点到直线的距离公式得d ＝|1－2＋a|2＝22，解得a ＝2或0．]11．C [可先求出圆心到直线的距离d ＝3，由于半径为2，设圆心角为θ，则知 cos θ2＝32，∴θ＝60°．] 12．B [满足要求的直线应为圆心分别为A 、B ，半径为1和2的两圆的公切线，而圆A 与圆B 相交，所以公切线有两条．]13．(0,8,0)或(0，－2,0) 14．2解析 由已知可知PQ 的垂直平分线为kx －y ＋4＝0， ∴直线kx －y ＋4＝0过圆心⎝⎛⎭⎫－12，3， ∴－12k ＋1＝0，k ＝2．15．36π 解析 由三视图可知，该几何体是半个圆锥，底面半径为1，高为3，故体积为16π×12×3＝36π． 16．x 2＋(y －3)2＝1解析 圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋8＝0与x 轴没有交点，只与y 轴相交，取x ＝0，得y 2－6y ＋8＝0解得两交点分别为(0,2)和(0,4)，由此得圆C′的圆心坐标为(0,3)，半径为1，所以标准方程为x 2＋(y －3)2＝1．17．解 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＋12＝04x －3y ＋16＝0，解得交点B(－4,0)，∵BD ⊥AC ，∴k BD ＝－1k AC ＝12，∴AC 边上的高线BD 的方程为y＝12(x＋4)，即x－2y＋4＝0．18．解由题意知，直线AB的斜率存在，且|AB|＝62，OA＝25，作OC⊥AB于C．在Rt△OAC中，|OC|＝20－(32)2＝2．设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y＋4＝k(x－6)，即kx－y－6k－4＝0．∵圆心到直线的距离为2，∴|6k＋4|1＋k2＝2，即17k2＋24k＋7＝0，∴k＝－1或k＝－717．故所求直线的方程为x＋y－2＝0或7x＋17y＋26＝0．19．证明如图所示，连接AC，BD，交于点O，连接EO，因为四边形ABCD为正方形，所以O 为AC的中点，又E为PC的中点，所以OE为△PAC的中位线，所以EO∥PA，又EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB．20．(1)证明在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连接C1D，∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C．又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，∴AD⊥平面DCC1D1，D1C⊂平面DCC1D1，∴AD⊥D1C．∵AD，DC1⊂平面ADC1，且AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1，又AC 1⊂平面ADC 1， ∴D 1C ⊥AC 1． (2)解在DC 上取一点E ，连接AD 1，AE ，设AD 1∩A 1D ＝M ，BD∩AE ＝N ，连接MN ， ∵平面AD 1E∩平面A 1BD ＝MN ，要使D 1E ∥平面A 1BD ，须使MN ∥D 1E ，又M 是AD 1的中点．∴N 是AE 的中点． 又易知△ABN ≌△EDN ， ∴AB ＝DE ． 即E 是DC 的中点．综上所述，当E 是DC 的中点时，可使D 1E ∥平面A 1BD ． 21．解 (1)设M 坐标为(x ，y)，由题意得x 2＋y 2(x －3)2＋y 2＝12，整理得(x ＋1)2＋y 2＝4． 所以M 点的轨迹方程为(x ＋1)2＋y 2＝4． (2)因为曲线C ：(x ＋1)2＋y 2＝4，所以C 关于直线2x ＋y －4＝0对称的曲线C′是与C 半径相同的圆，故只需求C′的圆心坐标即可，设C′的圆心坐标(x 0，y 0)．由题意得⎩⎨⎧y 0x 0＋1＝122·x 0－12＋y2－4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝195y 0＝125．故曲线C′的方程为⎝⎛⎭⎫x －1952＋⎝⎛⎭⎫y －1252＝4． 22．(1)解 在Rt △BAD 中，∵∠ABD ＝60°，∴AB ＝R ，AD ＝3R ． 而PD 垂直底面ABCD ，PA ＝PD 2＋AD 2＝(22R)2＋(3R)2＝11R ， PB ＝PD 2＋BD 2＝(22R)2＋(2R)2＝23R ．在△PAB 中，PA 2＋AB 2＝PB 2，即△PAB 是以∠PAB 为直角的三角形，设点D 到面PAB 的距离为h ，由V P —ABD ＝V D —PAB 有PA·AB·h ＝AB·AD·PD ，即h ＝AD·PD PA ＝3R·22R 11R ＝26611R ，∴sin θ＝h BD ＝6611．(2)证明 ∵EG ∥BC ，∴PE EB ＝PG GC ．而PE EB ＝DFFC ，∴PG GC ＝DFFC，∴GF ∥PD ， ∴GF ⊥BC ．而BC ∥EG ， ∴GF ⊥EG ，∴△EFG 是直角三角形．(3)解 当PE EB ＝12时，EG BC ＝PE PB ＝13，GF PD ＝CF CD ＝23，即EG ＝13BC ＝13×2R×sin45°＝23R ，GF ＝23PD ＝23×22R ＝423R ，∴S △EFG ＝12EG·GF ＝12×23R×423R ＝49R 2．。

新教材2023-2024学年高中数学模块综合测评2新人教A版选择性

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模块综合测评(二)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知(1+x)n的展开式中第5项与第11项的系数相等,则所有项的系数之和为()161514132.[2023广东佛山二模]“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”,是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划,旨在培养中国自己的学术大师.已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地,某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标,则每所学校至少有一位同学选择的不同方法种数为()3.下表是某厂1~4月份用水量(单位:百吨)的一组数据:月份x 1 2 3 4用水量y/百吨4.5 4 3 2.5用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系,其经验回归方程是=0.7x+,则等于() (25)4.设某地区历史上从某次特大洪水发生以后,在30年内发生特大洪水的概率是0.8,在40年内发生特大洪水的概率是0.85.在过去的30年内该地区都未发生特大洪水,则在未来10年内该地区发生特大洪水的概率是() (4)5.(1+x+x2)(1x)10的展开式中x4的系数为()6.一个箱子里有编号1,2,…,12的12个大小相同的球,其中1到6号球是红球,其余的是黑球,若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有1个球的编号是偶数的概率为()A. B. C. D.7.某大型家电专卖店为答谢消费者举行了一次抽奖活动,奖券共有100张,其中带有“中奖”字样的奖券有10张.假设抽完的奖券不放回,参加抽奖的20名消费者依次编号为1,2,…,20,并按照编号由小到大的顺序依次参加抽奖,则2号消费者中奖的概率为()A. B.C. D.8.[2023云南曲靖模拟]已知(1x)4(1+2x)5+(1+2 023x)2 022+(12 022x)2 023的展开式中含x的项的系数为q,空间有q个点,其中任何四点不共面,这q个点可以确定的直线条数为m,以这q个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n,以这q个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p,则m+n+p=()二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.对于二项式+x3n(n∈N*),以下判断正确的有()n∈N*,展开式中有常数项n∈N*,展开式中没有常数项n∈N*,展开式中没有x的一次项n∈N*,展开式中有x的一次项10.[2023山东烟台期中]袋子中装有大小、形状完全相同的6个白球和4个黑球,现从中有放回地随机取球3次,每次取一个球,每次取到白球得0分,黑球得5分,设3次取球总得分为X,则()B.P(X>5)=C.E(X)=6D.D(X)=11.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),则下列结论正确的是()A.P(|ξ|<a)=P(ξ<a)+P(ξ>a)(a>0)B.P(|ξ|<a)=2P(ξ<a)1(a>0)C.P(|ξ|<a)=12P(ξ<a)(a>0)D.P(|ξ|<a)=1P(|ξ|≥a)(a>0)12.以下说法正确的是()l1:x+(1+m)y=2m与直线l2:mx+2y+8=0平行的充要条件是m=1r可以反映两个随机变量的线性相关程度,r的值越大表明两个变量的线性相关程度越强C.从独立性检验可知,在犯错误的概率不超过0.05的情况下,认为吃地沟油与患胃肠癌有关联时,是指有不超过0.05的概率使得推断吃地沟油与患胃肠癌有关联出现错误D.已知一系列样本点(x i,y i)(i=1,2,3,…,n)的经验回归方程为=2x+,若样本点(r,2)与(2,s)的残差相同,则有s=2r+3三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.某灯泡厂生产大批灯泡,其次品率为1.5%,从中任意地陆续取出100个,则其中正品数X的期望为,方差为.14.某处有5个水龙头,已知每个水龙头被打开的可能为,随机变量ξ表示同时被打开的水龙头的个数,则P(ξ=3)= .15.假设关于某设备的使用年限x(单位:年)和所支出的维修费用y(单位:万元)有如下的统计资料:x/年 2 3 4 5 6y/万元2.2 3.8 5.5 6.5 7.0若由资料可知y对x呈线性相关关系,且经验回归方程为x,其中已知=1.23,若使用年限为20年,则维修费用约为万元.16.[2023江苏常州月考]我们知道:,相当于从两个不同的角度考察组合数:①从n 个不同的元素中选出m个元素并成一组的选法种数是;②对n个元素中的某个元素A,若A必选,有种选法,若A不选,有种选法.两者结果相同,从而得到上述等式.试根据上述思想化简下列式子:+…+= (1≤k<m≤n,m,n∈N).四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于x2+5的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的系数最大的项等于54,求a的值.18.(12分)某资源网推出配套某种数学教材的48个教案,为了更好地将课程内容呈现给学生,现对某一时段教案的量进行统计:量[0,100] (100,200] (200,+∞)个数8 24 16(1)现从48个教案中采用分层随机抽样的方式选出6个,求量超过200的个数;(2)为了更好地鼓励作者,现在在基本工资的基础上推出如下奖励措施:若量在区间[0,100]上不予奖励;若量在区间(100,200]内,则每个教案奖励500元;若量超过200,则每个教案奖励1 000元.现从(1)中选出的6个教案中随机取出2个,记这2个教案奖励金额的总和为随机变量X,求X的分布列与均值.19.(12分)近年来,随着社会对教育的重视,家庭的平均教育支出增长较快,随机抽样调查某市2016~2022年的家庭平均教育支出,得到如下折线图.(附:年份代码1~7分别对应的年份是2016~2022)经计算得y i=259,≈2.646,=25,(t i)(y i)=130.(1)用线性回归模型拟合y与t的关系,求出样本相关系数r(精确到0.01);(2)建立y关于t的经验回归方程(精确到0.01);(3)若2023年该市某家庭总支出为10万元,预测该家庭教育支出约为多少万元?附:(ⅰ)样本相关系数:r=;(ⅱ)在经验回归方程t+中,.20.(12分)“随意过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“随意过马路”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表:态度性别合计男性女性反感10不反感8合计30已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“随意过马路”的路人的概率是.(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果,不需要写求解过程),根据小概率值α=0.05的独立性检验,分析反感“随意过马路”与性别是否有关?(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“随意过马路”的人数为X,求X的分布列和均值.附:χ2=,α0.05 0.01xα3.841 6.63521.(12分)某投资公司准备在2024年年初将1 000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为.项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,也可能亏损30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为.(1)针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由;(2)若市场预期不变,该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资),问大约在哪一年的年底总资产(利润+本金)可以翻一番?(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) 22.(12分)[2023湖南怀化检测]某新华书店将在六一儿童节进行有奖促销活动,凡在该书店购书达到规定金额的小朋友可参加赢取“购书券”的双人游戏.游戏共三局,每局游戏开始前,在不透明的箱中装有5个号码分别为1,2,3,4,5的小球(小球除号码不同外,其余完全相同),每局由甲、乙两人先后从箱中不放回地各摸出一个小球(摸球者无法摸出小球号码),若双方摸出的两球号码之差为奇数,则甲被扣除2个积分,乙增加2个积分;若号码之差为偶数,则甲增加n(n∈N*)个积分,乙被扣除n个积分.游戏开始时,甲、乙的初始积分均为零,游戏结束后,若双方的积分不等,则积分较大的一方视为获胜方,将获得“购书券”奖励;若双方的积分相等,则均不能获得奖励.(1)设游戏结束后,甲的积分为随机变量ξ,求ξ的分布列.(2)以(1)中的随机变量ξ的数学期望为决策依据,当游戏规则对甲获得“购书券”奖励更为有利时,记正整数n的最小值为n0.①求n0的值,并说明理由;②当n=n0时,求在甲至少有一局被扣除积分的情况下,甲仍获得“购书券”奖励的概率.参考答案模块综合测评(二)1.C由题意展开式的第5项、第11项的系数分别为,则,所以n=4+10=14,则二项式为(1+x)14,令x=1,则展开式的所有项的系数之和为214.2.C5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标,每所学校至少有一位同学选择的不同方法种数为=240.3.D由题知=2.5,=3.5,因为经验回归直线过定点(),所以3.5=0.7×2.5+,所以=5.25.4.A设在未来10年内该地区发生特大洪水的概率是p,根据条件可得,0.8×1+(10.8)×p=0.85,解得p=0.25.5.D(1x)10的展开式的通项为T k+1=(1)k x k,所以(1+x+x2)(1x)10的展开式中含x4的项为1x4+x×(x3)+x2x2=135x4.故选D.6.D从箱子中取两个红球,且至少有1个球的编号为偶数的取法可以分两类:第一类,两个球的编号均为偶数,有种取法;第二类,两个球的编号为一奇一偶,有种取法,因此所求的概率为7.C设第i号消费者中奖为事件A i,则P(A2)=P(A1A2)+P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=8.D(1x)4(1+2x)5的展开式中含x的项为14(x)014(2x)1+13(x)115(2x)0=6x,(1+2023x)2022+(12022x)2023的展开式中含x的项为12021(2023x)1+12022(2022x)1=2022×2023x2023×2022x=0,所以(1x)4(1+2x)5+(1+2023x)2022+(12022x)2023的展开式中含x的项为6x,其系数q=6,依题意得m+n+p==15+20+15=50.9.AD该二项展开式的通项为T k+1=nk(x3)k=x4kn,则当n=4k时,展开式中存在常数项,故A正确,B错误;当n=4k1时,展开式中存在x的一次项,故D正确,C错误.10.BC设3次取球取到白球的个数为ξ,因为每次取到白球的概率P=,所以由题意可得ξ~B,且X=0×ξ+5(3ξ)=155ξ.对于A,P(ξ=2)=,故A错误;对于B,令X=155ξ>5,解得ξ<2,故ξ=0或ξ=1,所以P(X>5)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=1[P(ξ=2)+P(ξ=3)]=1=,故B正确;对于C,因为E(ξ)=3,所以E(X)=E(155ξ)=155E(ξ)=155=6,故C正确;对于D,因为D(ξ)=3,所以D(X)=D(155ξ)=25D(ξ)=25=18,故D错误.11.BD因为P(|ξ|<a)=P(a<ξ<a),故A不正确;因为P(|ξ|<a)=P(a<ξ<a)=P(ξ<a)P(ξ<a)=P(ξ<a)P(ξ>a)=P(ξ<a)(1P(ξ<a))=2P(ξ<a)1, 故B正确,C不正确;因为P(|ξ|<a)+P(|ξ|≥a)=1,所以P(|ξ|<a)=1P(|ξ|≥a)(a>0),故D正确.12.AC对于A,若m=1,则l1:x+2y=1与l2:x+2y=8平行,故充分性满足,若直线l1:x+(1+m)y=2m与直线l2:mx+2y+8=0平行,则解得m=1,故必要性满足,故A正确;对于B,样本相关系数r可以反映两个随机变量的线性相关程度,|r|的值越大且越接近于1,表明两个变量的线性相关程度越强,故B错误;对于C,由独立性检验的过程及意义可知,说法正确,故C正确;对于D,由残差的定义可得2(2r+)=s(2×2+),解得s=2r+6,故D错误.故选AC.13.98.51.477 5由题意可知X~B(100,98.5%),所以E(ξ)=100×98.5%=98.5,D(ξ)=100×98.5%×1.5%=1.4775.14.0.008 1对5个水龙头的处理可视为做5次试验,每次试验有打开或未打开2种可能结果,相应的概率为0.1或10.1=0.9.根据题意知ξ~B(5,0.1),从而P(ξ=3)=(0.1)3×(0.9)2=0.0081.15.24.68由表中数据可知,=4,=5.∵经验回归直线一定经过样本点的中心(),∴5=+1.23×4,=0.08,∴经验回归方程为=1.23x+0.08.当x=20时,=1.23×20+0.08=24.68.故使用年限为20年,维修费用约为24.68万元.16根据题意,从n+k个不同元素中选出m个元素并成一组的选法种数是,若对其中的某k(1≤k<m≤n,m,n∈N)个元素分别选或不选,则k(1≤k<m≤n,m,n∈N)个元素一个都没有选,有种选法;有一个元素被选取,有种选法;有两个元素被选取,有种选法;有三个元素被选取,有种选法;……有k个元素被选取,有种选法.所以+…+(1≤k<m≤n,m,n∈N).17.解x2+5的展开式的通项为T r+1=x25r r=5r,令205r=0,得r=4,故常数项T5==16.又(a2+1)n展开式的各项系数之和等于2n,由题意知2n=16,解得n=4,由二项式系数的性质知,(a2+1)n 展开式中系数最大的项是T3,故有a4=54,解得a=±18.解(1)根据分层随机抽样的特点,选出的量超过200的个数为6=2.(2)X的可能取值为500,1000,1500,2000.则P(X=500)=,P(X=1000)=,P(X=1500)=,P(X=2000)=则X的分布列为X500 1000 1500 2000P故均值E(X)=500+1000+1500+200019.解(1)(1+2+3+4+5+6+7)=4,(t i)2=(14)2+(24)2+(34)2+(44)2+(54)2+(64)2+(74)2=28,=2,所以r=0.98,故相关性较强.(2)4.64,4.64×4≈18.44,=4.64t+18.44.(3)当t=8时,=4.64×8+18.44=55.56,故预测2023年该家庭教育支出为10×55.56%=5.556(万元).20.解 (1)态度性别合计男性女性反感10 6 16不反感 6 8 14合计16 14 30零假设为H0:反感“随意过马路”与性别无关联.由已知数据得χ2=1.158<3.841=x0.05.根据小概率值α=0.05的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,即认为反感“随意过马路”与性别无关联,此推断犯错误的概率不大于0.05.(2)X的可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=所以X的分布列为X0 1 2PX的均值为E(X)=0+1+221.解 (1)若按项目一投资,设获利ξ1万元,则ξ1的分布列为ξ1300 150P所以E(ξ1)=300+(150)=200.若按项目二投资,设获利ξ2万元,则ξ2的分布列为ξ2500 300 0P所以E(ξ2)=500+(300)+0=200.又D(ξ1)=(300200)2+(150200)2=35000,D(ξ2)=(500200)2+(300200)2+(0200)2=140000,所以E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2),这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥.综上所述,建议该投资公司选择项目一投资.(2)假设n年后总资产可以翻一番,依题意可得1000×1+n=2000,即1.2n=2,两边同时取对数得n=3.8053≈4,所以大约4年后,即在2027年底总资产可以翻一番.22.解(1)记“一局游戏后甲被扣除2个积分”为事件A,“一局游戏后乙被扣除n个积分”为事件B,由题可知P(A)=,则P(B)=1P(A)=,当三局均为甲被扣除2个积分时,ξ=6,当两局为甲被扣除2个积分,一局为乙被扣除n个积分时,ξ=n4,当一局为甲被扣除2个积分,两局为乙被扣除n个积分时,ξ=2n2,当三局均为乙被扣除n个积分时,ξ=3n,所以P(ξ=6)=,P(ξ=n4)=,P(ξ=2n2)=,P(ξ=3n)=所以随机变量ξ的分布列为ξ 6 n4 2n2 3nP(2)①由(1)易得E(ξ)=6+(n4)+(2n2)+3n,显然甲、乙双方的积分之和恒为零,当游戏规则对甲获得“购书券”奖励更为有利时,则需E(ξ)=>0,所以n>3,即正整数n的最小值n0=4.②当n=4时,记“甲至少有一局被扣除积分”为事件C,则P(C)=1,由题设可知若甲获得“购书券”奖励,则甲被扣除积分的局数至多为1,记“甲获得‘购书券’奖励”为事件D,易知事件CD为“甲恰好有一局被扣除积分”,则P(CD)=,所以P(D|C)=,即在甲至少有一局被扣除积分的情况下,甲仍获得“购书券”奖励的概率为。

新教材2023-2024学年高中数学模块综合测评1新人教A版选择性

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模块综合测评(一)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.有甲、乙两种钢材,从中各取等量样品检验它们的抗拉强度(分别用X甲,X乙表示)指标如下:X甲110 120 125 130 135P0.1 0.2 0.4 0.1 0.2X乙100 115 125 130 145P0.1 0.2 0.1 0.4 0.2现要比较两种钢材哪一种抗拉强度较好,应考察哪项指标()C.χ22.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()3.[2023江苏滨湖校级期中]在x n的展开式中,只有第7项的二项式系数最大,则n的值为()4.抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为()A. B. C. D.5.某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布,正态密度曲线如图所示,则成绩X位于区间(51,69]的人数大约是()6.某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机,从中选购5台,且至少有品牌机和兼容机各2台,则不同的选购方法有()A.1 050种B.700种C.350种D.200种7.某机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析,得到如下数据:记忆能力x 4 6 8 10识图能力y 3 5 6 8由表中数据,求得经验回归方程为=0.8x+,若某儿童记忆能力为12,则预测他的识图能力约为()...8.[2023河北沧州模拟]某校在校庆期间举办羽毛球比赛,某班派出甲、乙两名单打主力,为了提高两位主力的能力,体育老师安排了为期一周的对抗训练,比赛规则如下:甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局,当两人获胜局数不少于3局时,则认为这轮训练过关;否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为p1,p2(0≤p1≤1,0≤p2≤1),且满足p1+p2=,每局之间相互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X,若E(X)=24,则从期望的角度来看,甲、乙两人训练的轮数至少为() 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.给出以下四个说法,其中正确的说法有()A.绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积大小等于相应各组的组距B.在刻画回归模型的拟合效果时,R2的值越大,说明拟合的效果越好X服从正态分布N(4,22),则P(X>4)=X与Y,若计算出的χ2越小,则判断“X与Y有关系”的犯错误的概率越小10.设(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)是变量X和Y的n个样本点,直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的经验回归直线(如图所示),以下结论中错误的是()A.X和Y的相关系数为直线l的斜率B.X和Y的相关系数在0到1之间n为偶数时,分布在直线l两侧的样本点的个数一定相同l过点()11.为了增强学生的身体素质,提高适应自然环境、克服困难的能力,某校在课外活动中新增了一项登山活动,并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,得到如图所示的等高条形统计图,则下列说法中正确的有()附:χ2=,其中n=a+b+c+d.α0.05 0.01xα3.841 6.635A.被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多B.被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多C.若被调查的男女生均为100人,则认为喜欢登山和性别有关,该推断犯错误的概率不超过0.01D.无论被调查的男女生人数为多少,认为喜欢登山和性别有关,该推断犯错误的概率均不超过0.0112.6名同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两名同学之间最多交换一次,进行交换的两名同学互赠一份纪念品.已知6名同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为()三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.连接正三棱柱的6个顶点,可以组成个四面体.14.已知随机变量X服从正态分布N(0,σ2),且P(2≤X≤0)=0.4,则P(X>2)= .15.若x6=a0+a1(x+1)+…+a5(x+1)5+a6(x+1)6,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6= ,a5= .16.[2023四川南江校级二模]在一次“定点投球”的游戏中,游戏共进行两轮,每小组两位选手,在每轮活动中,两人各投一次,如果两人都投中,则小组得3分;如果只有一个人投中,则小组得1分;如果两人都没投中,则小组得0分,甲、乙两人组成一组,甲每轮投中的概率为,乙每轮投中的概率为,且甲、乙两人每轮是否投中互不影响,各轮结果亦互不影响,则该小组在本次活动中得分之和不低于4分的概率为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)现准备从10名预备队员(其中男6人,女4人)中选4人参加市运动会.(1)若男队员甲和女队员乙同时被选中,共有多少种选法?(2)若至少两名男队员参加此次市运动会,问共有几种选法?(3)若选中的四个队员被分配到A,B,C三个项目中,其中每个项目至少一个队员,共有多少种选派法?18.(12分)某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题,其中前两个问题回答正确各得10分,回答不正确各得0分,第三个题目,回答正确得20分,回答不正确得10分.如果一个挑战者回答前两题正确的概率都是0.8,回答第三题正确的概率为0.6,且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和均值;(2)求这位挑战者总得分不为负数(即ξ≥0)的概率.19.(12分)[2023辽宁沈阳模拟]某旅游景区为吸引旅客,提供了A,B两条路线方案,该景区为进一步了解旅客对这套路线的选择情况和满意度评价(“好”或“一般”),对300名旅客的路线选择和评价进行了统计,如下表:性别A路线B路线合计好一般好一般男20 55 120女90 40 180合计50 75 300(1)填补上面的统计表中的空缺数据.并依据小概率值α=0.001的独立性检验,能否认为有A,B两条路线的选择与性别有关?(2)某人计划到该景区旅游,预先在网上了解两条路线的评价,假设他分别看了两条路线各三条评价(评价好或一般的可能性以前面统计的比例为参考),若评价为“好”的计5分,评价为“一般”的计2分,以期望值作为参考,那么你认为这个人会选择哪一条路线?请用计算说明理由.附:χ2=,其中n=a+b+c+d.α0.100 0.050 0.010 0.001xα2.706 3.841 6.635 10.82820.(12分)在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表,规定75分以下为一般,大于等于75分且小于85分为良好,85分及以上为优秀.分数69 73 74 75 77 78 79 80人数 2 4 4 2 3 4 6 3分数82 83 85 87 89 93 95人数 3 4 4 5 2 3 1经计算样本的平均值μ≈81,标准差σ≈6.2.为评判该份试卷质量的好坏,从中任取一人,记其成绩为X,并根据以下不等式进行评判.①P(μσ<X<μ+σ)≥0.682 7;②P(μ2σ<X<μ+2σ)≥0.954 5;③P(μ3σ<X<μ+3σ)≥0.997 3.评判规则:若同时满足上述三个不等式,则被评为优秀试卷;若仅满足其中两个不等式,则被评为合格试卷;其他情况,则被评为不合格试卷.(1)试判断该份试卷被评为哪种等级;(2)按分层随机抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生,再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流,用随机变量X表示4人中成绩优秀的人数,求随机变量X的分布列和均值. 21.(12分)[2023安徽宣城检测]中国哈尔滨冰雪大世界每年的活动有采冰及雕冰两个环节,现有甲、乙、丙三个工作队负责上述活动,雕刻时会损坏部分冰块,若损坏后则无法使用,无损坏的全部使用.已知甲、乙、丙工作队所采冰分别占开采总量的30%,30%,40%,甲、乙、丙工作队采冰的使用率分别为0.8,0.75,0.6.(1)从开采的冰块中有放回地随机抽取三次,每次抽取一块,记丙工作队开采的冰块被抽取到的次数为X,求随机变量X的分布列及均值;(2)已知开采的冰块经雕刻后能使用,求它是由乙工作队所开采的概率.22.(12分)短视频已成为很多人生活娱乐中不可或缺的一部分,很多人喜欢将自己身边的事情拍成短视频发布到网上,某人统计了发布短视频后1~8天的点击量的数据进行了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(x i)24.5 5 25.5 42(t i)2(x i)(y i) (t i)(y i)3 570 72.8 686.8其中t i=.某位同学分别用两种模型:①=bx2+a,②=dx+c进行拟合.(1)根据散点图,比较模型①,②的拟合效果,应该选择哪个模型?(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y关于x的经验回归方程;(在计算回归系数时精确到0.01)(3)预测该短视频发布后第10天的点击量是多少?附:经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.参考答案模块综合测评(一)1.A检验钢材的抗拉强度,若平均抗拉强度相同,再比较波动情况.2.D不考虑限定条件可以确定的不同点的个数为=36.因为集合B,C中有相同元素1,由5,1,1三个数确定的不同点的个数只有3个,故所求点的个数为363=33.3.B x n的展开式中,只有第7项的二项式系数最大,所以展开式中共有13项,n=12.故选B.4.C记A=“第一次正面向上”,B=“第二次反面向上”,则P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)=5.D由题图知,X~N(μ,σ2),其中,μ=60,σ=9,∴P(51<X≤69)=P(μσ<X≤μ+σ)≈0.6827,∴人数大约为0.6827×1000≈683.6.C分两类:(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台;(2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台.所以不同的选购方法有=350(种).7.A(4+6+8+10)=7,(3+5+6+8)=5.5,∴样本点的中心为(7,5.5),代入经验回归方程得5.5=0.8×7+,=0.1,∴经验回归方程为=0.8x0.1.当x=12时,=0.8×120.1=9.5.8.C根据题意,设甲、乙在某一轮训练中训练过关的概率为p,则p=p1(1p1)p2(1p2)=2p1p2(p1+p2)3=3p1p23又由p1+p2=,则p1p2=p1p1.由0≤p1≤1,0≤p2≤1,则有p1≤1,必有p1p2=p1p1,设t=p1p2,t,则p=3t3t2=3t(1t)≤32=,当且仅当t=p1p2=时,等号成立,即p的最大值为记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X,则X~B n,,若E(X)=24,则有np=24,当p最大时,甲、乙两人训练的轮数最少,则n=32,即甲、乙两人至少训练32轮.故选C.9.BC频率分布直方图中,各小长方形的面积大小等于相应各组的频率,故A错误;R2越大,拟合效果越好,R2越小,拟合效果越差,故B正确;随机变量X服从正态分布N(4,22),正态曲线对称轴为直线x=4,所以P(X>4)=,故C正确;对分类变量X与Y,χ2越小,则说明“X与Y有关系”犯错误的概率越大,故D错误.10.ABC因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值,它的绝对值越接近1,两个变量的线性相关程度越强,所以A,B错误;C中n为偶数时,分布在直线l两侧的样本点的个数可以不相同,所以C错误;根据经验回归直线一定经过样本点的中心,可知D正确.11.AC因为被调查的男女生人数相同,由等高条形统计图可知,喜欢登山的男生占80%,喜欢登山的女生占30%,所以A正确,B错误.设被调查的男女生人数均为n,则由等高条形统计图可得2×2列联表如下:性别男女合计喜欢0.8n0.3n1.1n不喜欢0.2n0.7n0.9n合计n n2n零假设H0:喜欢登山和性别无关.由公式可得χ2=当n=100时,χ2=>6.635,所以认为喜欢登山和性别有关,该推断犯错误的概率不超过0.01;当n=10时,χ2=<6.635,依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,没有充分证据推断H0不成立.显然χ2的值与n的取值有关,所以C正确,D错误.12.BD设6名同学分别用a,b,c,d,e,f表示.若任意两名同学之间都进行交换,则共进行=15次交换,现共进行了13次交换,说明有两次交换没有发生,此时可能有两种情况:(1)由3人构成的2次交换,如a与b和a与c之间的交换没有发生,则收到4份纪念品的有b,c两人.(2)由4人构成的2次交换,如a与b和c与e之间的交换没有发生,则收到4份纪念品的有a,b,c,e四人.13.12从正三棱柱的6个顶点中任取4个,有种方法,其中4个点共面的有3种情况,故可以组成3=12个四面体.14.0.1由已知P(0≤X≤2)=P(2≤X≤0)=0.4,∴P(X>2)=(10.40.4)=0.1.15.06因为x6=a0+a1(x+1)+…+a5(x+1)5+a6(x+1)6,令x=0,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=06=0,由x6=[(x+1)1]6,又[(x+1)1]6展开式的通项为T k+1=(1)k(1+x)6k,令6k=5,解得k=1,则(x+1)5的系数为=6,即a5=6.16根据题意,设该小组在本次活动中得分之和为X,则X可能取的值为0,1,2,3,4,6,在一轮活动中,该小组得3分的概率P1=,该小组得1分的概率P2=1+1,该小组得0分的概率P3=1×1=,则有P(X=4)=,P(X=6)=,则P(X≥4)=P(X=4)+P(X=6)=,即该小组在本次活动中得分之和不低于4分的概率为17.解(1)若男队员甲和女队员乙同时被选中,剩下的2人从8人中任选2人即可,即有=28种选法.(2)至少两名男队员,可分为有2名男队员、2名女队员参加,3名男队员、1名女队员参加,4名男队员参加三类,由分类加法计数原理,可得=185种选法.(3)先选4名队员,然后把这4名队员分2,1,1三组,再分配到A,B,C三个项目中,共有=7560种.18.解(1)如果三个题目均答错,得0+0+(10)=10分.如果三个题目均答对,得10+10+20=40分.如果三个题目一对两错,包括两种情形:①前两个中一对一错,第三个错,得10+0+(10)=0分;②前两个错,第三个对,得0+0+20=20分.如果三个题目两对一错,也包括两种情形:①前两个对,第三个错,得10+10+(10)=10分;②第三个对,前两个一对一错,得20+10+0=30分.故ξ的可能取值为10,0,10,20,30,40.P(ξ=10)=0.2×0.2×0.4=0.016;P(ξ=0)=0.2×0.8×0.4=0.128;P(ξ=10)=0.8×0.8×0.4=0 .256;P(ξ=20)=0.2×0.2×0.6=0.024;P(ξ=30)=0.8×0.2×0.6=0.192;P(ξ=40)=0.8×0.8×0.6=0.384.所以ξ的分布列为ξ10 0 10 20 30 40P0.016 0.128 0.256 0.024 0.192 0.384ξ的均值为E(ξ)=10×0.016+0×0.128+10×0.256+20×0.024+30×0.192+40×0.384=24.(2)这位挑战者总得分不为负数的概率为P(ξ≥0)=1P(ξ<0)=10.016=0.984.19.解(1)性别A路线B路线合计好一般好一般男10 20 55 35 120女90 30 20 40 180合计100 50 75 75 300整理数据,得到2×2列联表如下,性别A路线B路线合计男30 90 120女120 60 180合计150 150 300零假设为H0:A,B两条路线的选择无关联.∵χ2==50>10.828=x0.001,∴依据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为A,B两条路线的选择与性别有关,此推断犯错误的概率不大于0.001.(2)由(1)可得A路线评价为“一般”的概率为,评价为“好”的概率为1B路线评价为“一般”的概率为,评价为“好”的概率为1设A,B两条路线的得分分别为X,Y,则X,Y的可能取值都为6,9,12,15,∵P(X=6)=3=,P(X=9)=2=,P(X=12)=2,P(X=15)=3=,∴E(X)=6+9+12+15=12.∵P(Y=6)=3=,P(Y=9)=3=,P(Y=12)=3=,P(Y=15)=3=,∴E(Y)=6+9+12+15∵E(X)>E(Y),∴选择A路线.20.解(1)P(μσ<X<μ+σ)=P(74.8<X<87.2)==0.68<0.6827,P(μ2σ<X<μ+2σ)=P(68.6<X<93.4)==0 .98>0.9545,P(μ3σ<X<μ+3σ)=P(62.4<X<99.6)=1>0.9973,因为考生成绩满足两个不等式,所以该份试卷应被评为合格试卷.(2)由题知,75分以下的人数为10,大于等于75分且小于85分的人数为25,85分及以上的人数为15.按分层随机抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生,分别抽取人数为2,5,3.再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流,用随机变量X表示4人中成绩优秀的人数,则X的取值可能为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=∴X的分布列为X0 1 2 3PE(X)=0+1+2+321.解(1)在开采的冰块中,任取一块是由丙工作队采摘的概率是,又X=0,1,2,3,且X~B3,,∴P(X=k)=k3k,k=0,1,2,3,即P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,∴X的分布列为X0 1 2 3P∴E(X)=3(2)用A1,A2,A3分别表示冰块由甲、乙、丙工作队开采,B表示开采后的冰块经雕刻后能使用,则P(A1)=P(A2)=0.3,P(A3)=0.4,且P(B|A1)=0.8,P(B|A2)=0.75,P(B|A3)=0.6,∴P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.3×0.8+0.3×0.75+0.4×0 .6=0.705,∴P(A2|B)=,即开采的冰块经雕刻后能使用,且冰块是由乙工作队所开采的概率为22.解(1)由散点图可知,模型①效果更好.(2)因为t i=,所以t+,0.19,=50.19×25.5≈0.16,=0.19x2+0.16.(3)由(2)可知,令x=10,则=0.19×100+0.16=19.16, 故预测该短视频发布后第10天的点击量为19.16.。

(新教材适用)高中数学综合测评新人教A版选择性2

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综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.对于数列1,37,314,321,…,398是这个数列的()A.不在此数列中B.第13项C.第14项D.第15项答案:D2.已知等差数列{a n},且a1+a2+a3+a4=10,a13+a14+a15+a16=70,则前16项的和等于()A.140B.160C.180D.200解析:∵a1+a2+a3+a4+a13+a14+a15+a16=4(a1+a16)=80,∴a1+a16=20.∴所求和为=160.答案:B3.若函数f(x)=x3f'(1)·x2x,则f'(3)的值为()A.0B.1C.8D.8解析:f'(x)=x22f'(1)·x1,则f'(1)=122f'(1)·11,得f'(1)=0.故f'(x)=x21,从而f'(3)=8.答案:C4.设等比数列{a n}的前6项和S6=6,且1为a1,a3的等差中项,则a7+a8+a9=()A.2B.8C.10D.14解析:由题意得2a2=a1+a3,∴a1+a2+a3=2,又S6=6,∴a4+a5+a6=4.又{a n}为等比数列,∴S3,S6S3,S9S6为等比数列,∴42=2(S9S6),∴S9S6=8,即a7+a8+a9=8.答案:B5.两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n,T n,且,则=()A. B.C. D.解析:.答案:D6.若函数f(x)=x3ax2+ax在区间(0,1)上有极大值,在区间(1,2)上有极小值,则实数a的取值范围是()A. B.C.(∞,0)∪(1,+∞)D.解析:f'(x)=x22ax+a,由题意知,f'(x)=0在区间(0,1),(1,2)上都有根,则f'(0)>0,f'(1)<0,f'(2)>0,即解得1<a<.故选A.答案:A7.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(1)=0,当x>0时,xf'(x)f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(∞,1)∪(0,1)B.(1,0)∪(1,+∞)C.(∞,1)∪(1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)解析:设F(x)=,x>0,则F'(x)=<0,∴F(x)=在区间(0,+∞)上单调递减.∵f(x)为奇函数,且f(1)=0,∴f(1)=0,于是F(1)=0.∴在区间(0,1)上,F(x)>0;在区间(1,+∞)上,F(x)<0,即当0<x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)<0.又f(x)为奇函数,∴当x∈(∞,1)时,f(x)>0;当x∈(1,0)时,f(x)<0.综上可知,f(x)>0的解集为(∞,1)∪(0,1).故选A.答案:A8.已知函数f(x)=1+ln x,若存在x0>0,使得f(x0)≤0有解,则实数a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(∞,3)C.(∞,1]D.[3,+∞)解析:函数f(x)的定义域是(0,+∞),不等式1+ln x≤0有解,即a≤xx ln x在区间(0,+∞)上有解.设h(x)=xx ln x,则h'(x)=1(ln x+1)=ln x.令h'(x)=0,可得x=1.由h(x)的单调性可得,当x=1时,函数h(x)=xx ln x取得最大值1.要使不等式a≤xx ln x在(0,+∞)上有解,只要a小于等于h(x)的最大值,即a≤1.所以选C.答案:C二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d≠0,且≤1.记b1=S2,b n+1=S2n+2S2n,n∈N*,则下列等式一定成立的是()A.2a4=a2+a6B.2b4=b2+b6C.=a2a8D.=b2b8解析:A.由等差数列的性质可知2a4=a2+a6,故A一定成立;B.b4=S8S6=a7+a8,b2=S4S2=a3+a4,b6=S12S10=a11+a12,又由题意可得2(a7+a8)=a3+a4+a11+a12,所以2b4=b2+b6,故B一定成立;C.=a2a8⇔(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),整理可得a1=d,故C可能成立;D.b8=S16S14=a15+a16,当=b2b8时,(a7+a8)2=(a3+a4)(a15+a16),即(2a1+13d)2=(2a1+5d)·(2a1+29d),得2a1=3d,这与已知≤1矛盾,故D不可能成立.答案:AB10.下列函数中,存在极值点的是()A.y=2|x|B.y=2x3xC.y=x ln xD.y=x sin x解析:对于A,x=0是函数的极小值点;对于B,y'=6x21<0恒成立,函数在R上单调递减,所以函数无极值点;对于C,y'=1+ln x.令y'=0,解得x=.当x∈时,y'<0,函数单调递减;当x∈时,y'>0,函数单调递增.所以x=是函数的极小值点;对于D,y'=sin x+x cos x.当x∈时,y'<0,函数单调递减;当x∈时,y'>0,函数单调递增.又当x=0时,y'=0,所以x=0是函数的极小值点.故选ACD.答案:ACD11.已知函数y=m e x的图象与直线y=x+2m有两个交点,则实数m的取值可以是()A.1B.1C.2D.3解析:设f(x)=m e x x2m,则f'(x)=m e x1.要使函数y=m e x的图象与直线y=x+2m有两个交点,需f(x)有两个零点.当m≤0时,f'(x)=m e x1<0,函数f(x)在R上单调递减,不可能有两个零点,不符合题意,舍去.当m>0时,由f'(x)=0得x=ln.当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,且f(0)=m<0.所以f≤f(0)<0.又当x➝∞,f(x)➝+∞,x➝+∞时,f(x)➝+∞,所以当m>0时,函数f(x)有两个零点,即函数y=m e x的图象与直线y=x+2m有两个交点,观察各选项,知m的取值可以是1,2,3.故选BCD.答案:BCD12.已知函数f(x)=,则下列说法正确的是()A.f(x)的定义域是(0,+∞)B.当x∈(0,1)时,f(x)的图象位于x轴下方C.f(x)存在单调递增区间D.f(x)有且仅有两个极值点解析:∵f(x)=,∴ln x≠0,∴x>0,且x≠1,即f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).故A错误;当x∈(0,1)时,ln x<0,∴f(x)<0.故B正确;由f(x)=,得f'(x)=.当0<x<1时,f'(x)<0,∴f(x)在区间(0,1)上单调递减.设g(x)=x ln x1,则g'(x)=ln x+1.当x>1时,g'(x)>0,则g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.又g(1)=1<0,g(2)=2ln21>0,∴存在x0∈(1,2)使g(x0)=0,即f'(x0)=0.∴当1<x<x0时,g(x)<0,即f'(x)<0,当x>x0时,g(x)>0,即f'(x)>0,∴f(x)在区间(0,1)和(1,x0)上单调递减,在区间(x0,+∞)上单调递增,x=x0为f(x)唯一的一个极值点.故C正确,D错误.故选BC.答案:BC三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)13.若等差数列{a n}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=时,{a n}的前n项和最大.解析:∵a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0.∵a7+a10=a8+a9<0,∴a9<a8<0.∴数列{a n}的前8项和最大.答案:814.已知周长为20 cm的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则该圆柱体积的最大值为cm3.解析:设矩形相邻两边长分别为x(0<x<10)cm,(10x)cm,绕长为(10x)cm的一边旋转得到的圆柱的体积V(x)=πx2(10x)=10πx2πx3,则V'(x)=20πx3πx2.令V'(x)=0,解得x=0(舍去)或x=.当x∈时,V'(x)>0,V(x)在区间上单调递增;当x∈时,V'(x)<0,V(x)在区间上单调递减,因此当x=时,V(x)取得最大值为cm3.答案:15.设直线y=m与曲线C:y=x(x2)2的三个交点分别为A(a,m),B(b,m),C(c,m),其中a<b<c,则实数m 的取值范围是,a2+b2+c2的值为.解析:设f(x)=x(x2)2,则f'(x)=3x28x+4.令f'(x)=0,解得x=或x=2.由f(x)的单调性,得f(x)的极大值为f,极小值为f(2)=0.若直线y=m与曲线C:y=x(x2)2有三个交点,则0<m<,即m的取值范围为.设g(x)=f(x)m=x(x2)2m=x34x2+4xm.若直线y=m与曲线C:y=x(x2)2有三个交点,且其坐标分别为A(a,m),B(b,m),C(c,m),则方程x34x2+4xm=0有三个根,分别为a,b,c,即x34x2+4xm=(xa)(xb)(xc)=x3(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)xabc.故a+b+c=4,ab+bc+ac=4,于是a2+b2+c2=(a+b+c)22(ab+bc+ac)=8.答案:816.数列{a n}满足:na n+2+(n+1)a n=(2n+1)·a n+11,a1=1,a2=6,令c n=a n cos ,数列{c n}的前n项和为S n,则S4n=.解析:∵na n+2+(n+1)a n=(2n+1)a n+11,∴na n+2na n+1=(n+1)a n+1(n+1)a n1,∴.∴=1,,,……(n≥2).上述n1个式子相加得5=1,即a n+1a n=4n+1(n≥2).又当n=1时,a2a1=4×1+1=5也成立,∴a n+1a n=4n+1.∴a2a1=4×1+1,a3a2=4×2+1,a4a3=4×3+1,……a n a n1=4(n1)+1(n≥2),上述n1个式子相加得a n1=(n1)(2n+1),即a n=n(2n1)(n≥2).又当n=1时,a1=1×(2×11)=1也成立,∴a n=n(2n1).∵c n=a n cos,∴c4k3+c4k2+c4k1+c4k=0(4k2)(8k5)+0+4k(8k1)=32k10(k∈N*).∴S4n=(c1+c2+c3+c4)+(c5+c6+c7+c8)+…+(c4n3+c4n2+c4n1+c4n)=(32×110)+(32×210)+…+(32n10)=16n2+6n.答案:16n2+6n四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{a n}的通项公式;(2)记c n=a n+b n,求数列{c n}的前n项和.解:(1)设等比数列{b n}的公比为q.则q==3,于是b1==1,b4=b3q=9×3=27.设等差数列{a n}的公差为d.已知a1=b1=1,a14=b4=27,由a14=a1+13d,得d==2.∴a n=a1+(n1)d=2n1.(2)由(1)知a n=2n1,b n=3n1,∴c n=a n+b n=(2n1)+3n1.∴{c n}的前n项和S n=1+3+…+(2n1)+1+3+…+3n1==n2+.18.(12分)已知在等差数列{a n}中,a1=60,a17=12,求数列{|a n|}的前n项和.解:由a1=60,a17=12知,等差数列{a n}的公差d==3.所以a n=a1+(n1)d=60+(n1)×3=3n63.由a n≤0,即3n63≤0,得n≤21,即{a n}中前20项是负数,从第21项起为非负数.设S n和S n'分别表示{a n}和{|a n|}的前n项和.当n≤20时,S n'=S n==n2+n.当n>20时,S n'=S20+(S n S20)=S n2S20=60n+2n2n+1260.综上,S n'=19.(12分)已知函数f(x)=x32ax2+bx+c,(1)当c=0时,f(x)在点P(1,3)处的切线平行于直线y=x+2,求a,b的值;(2)若f(x)在点A(1,8),B(3,24)处有极值,求f(x)的解析式.解:(1)当c=0时,f(x)=x32ax2+bx,则f'(x)=3x24ax+b.由题意得f(1)=3,f'(1)=1,即解得(2)因为f(x)=x32ax2+bx+c,所以f'(x)=3x24ax+b.由题意知1,3是方程3x24ax+b=0的两根,所以解得a=,b=9.由f(1)=12ab+c=8,a=,b=9,可得c=3,所以f(x)=x33x29x+3.检验知,符合题意.20.(12分)已知成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n}中的b3,b4,b5.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列是等比数列.(1)解:设成等差数列的三个正数分别为ad,a,a+d.依题意得ad+a+a+d=15,解得a=5.所以数列{b n}中的b3,b4,b5依次为7d,10,18+d.依题意得(7d)(18+d)=100,解得d=2或d=13(舍去).故数列{b n}是第3项为5,公比为2的等比数列.所以其通项公式为b n=b3·q n3=5·2n3.(2)证明:数列{b n}的前n项和S n==5·2n2,即S n+=5·2n2.所以S1+=2.因此是以为首项,2为公比的等比数列.21.(12分)设函数f(x)=a2ln xx2+ax(a>0).(1)求f(x)的单调区间;(2)求所有使e1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立的a的值.(注:e为自然对数的底数)解:(1)函数f(x)=a2ln xx2+ax(a>0)的定义域为(0,+∞),导数f'(x)=2x+a=.由于a>0,故当x∈(0,a)时,f'(x)>0,于是f(x)的单调递增区间为(0,a);当x∈(a,+∞)时,f'(x)<0,于是f(x)的单调递减区间为(a,+∞).(2)由题意得f(1)=a1≥e1,则a≥e.由(1)知f(x)在区间[1,e]上单调递增,要使e1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立,只需解得a=e.因此当a=e时,e1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.22.(12分)已知函数f(x)=ln xf'(1)·x+ln ,g(x)=f(x).(注:e为自然对数的底数)(1)求f(x)的单调区间;(2)设函数h(x)=x2x+m,若存在x1∈(0,1],对任意的x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立,求实数m的取值范围.解:(1)∵f'(x)=f'(1),∴f'(1)=1f'(1).∴f'(1)=.∴f(x)=ln x x+ln.∴f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=.∵当0<x<2时,f'(x)>0;当x>2时,f'(x)<0,∴函数f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+∞).(2)∵g(x)=2x ln x ln,∴g(x)的定义域为(0,+∞),g'(x)=2.∵2x2x+2=2>0,∴当x∈(0,1]时,g'(x)>0,函数g(x)在区间(0,1]上单调递增.∴函数g(x)在区间(0,1]上的最大值为g(1)=ln21.∵h(x)=x2x+m=+m,∴h(x)在区间[1,2]上的最大值为h(2)=2+m.而“存在x1∈(0,1],对任意的x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立”等价于“g(x)在区间(0,1]上的最大值不小于h(x)在区间[1,2]上的最大值”.∴ln21≥2+m,解得m≤ln23.因此实数m的取值范围为(∞,ln23].。

2021-2022学年高中数学 模块综合测评新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 模块综合测评新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学模块综合测评新人教A版必修第一册年级：姓名：模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <3}A [在数轴上表示出集合A ，B ，如图所示．由图知A ∩B ＝{x |－2<x <－1}．] 2．函数f (x )＝x －1x ＋1在区间[2,3]上的最大值为( ) A ．13 B ．1 C ．2 D ．12D [∵f (x )＝x －1x ＋1＝1－2x ＋1在区间[2,3]上单调递增， ∴函数f (x )＝x －1x ＋1在区间[2,3]上的最大值为f (3)＝3－13＋1＝12，故选D.] 3．已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ”是“sin α＝sinβ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件C [当k ＝2n 为偶数时，α＝2n π＋β， 此时sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β，当k ＝2n ＋1为奇数时，α＝2n π＋π－β，此时sin α＝sin(π－β)＝sin β，即充分性成立，当sin α＝sin β，则α＝2n π＋β，n ∈Z 或α＝2n π＋π－β，n ∈Z ，即α＝k π＋(－1)k β，即必要性成立，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的充要条件，故选C.]4．已知x ，y ∈R ，则x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0C [∵x ，y ∈R ，且x >y >0，则1x <1y ，sin x 与sin y 的大小关系不确定，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，ln x ＋ln y 与0的大小关系不确定．故选C.] 5．函数y ＝ln cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2的图象是( )A. B.C. D.A [由偶函数排除B 、D ，∵0<cos x ≤1，∴y ≤0，∴排除C.故选A.] 6．已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，则cos 2α＝( )A ．2425B ．725C ．－2425D ．±2425A [∵0<α<π2，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，∴π4<α＋π4<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝45×22－35×22＝210.∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2102＝2425.故选A.]7．已知函数y ＝ax －2＋2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点(m ，n )，且函数y ＝log 2(mx2＋bx ＋n )在区间(－∞，1]上单调递减，则实数b 的取值范围为( )A ．[－5，－4)B ．(－5，－4]C ．(－∞，－4)D ．(－∞，－4]B [∵函数y ＝ax －2＋2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点(2,3)，∴m ＝2，n ＝3，∴y＝log 2(2x 2＋bx ＋3)．又y ＝log 2(2x 2＋bx ＋3)在区间(－∞，1]上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b 4≥12＋b ＋3>0，∴－5<b ≤－4，故选B.]8．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K1＋e－0.23t －53，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( )A ．60B ．63C ．66D ．69C [由题意可知，当I (t *)＝0.95K 时，K1＋e －0.23t *－53＝0.95K ，即10.95＝1＋ e－0.23(t *－53)，e－0.23(t *－53)＝119，e 0.23(t *－53)＝19，∴0.23(t *－53)＝ln 19≈3，∴t *≈66.故选C.]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，则下列结论正确的是( )A ．a >0B ．b >0C ．c >0D ．a ＋b ＋c >0BCD [因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，故相应的二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，所以a <0，故A 错误；易知2和－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则有c a ＝－1<0，－b a ＝32>0，又a <0，故b >0，c >0，故BC 正确；由二次函数的图象(图略)可知f (1)＝a ＋b ＋c >0，故D 正确．故选BCD.] 10．对于函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋c (a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值去计算f (－1)和f (1)，所得出的正确结果可能是( )A ．2和6B ．3和9C ．4和11D ．5和13ABD [函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋c ，所以f (1)＝a ＋b sin 1＋c ，f (－1)＝－a －b sin 1＋c .所以f (1)＋f (－1)＝2c ，因为c ∈Z ，所以f (1)＋f (－1)为偶数，故四个选项中符合要求的为ABD.故选ABD.]11．关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |的叙述正确的是( ) A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增C ．f (x )在[－π，π]有4个零点D ．f (x )的最大值为2AD [A.∵f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数，故正确；B ．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f (x )＝sin|x |＋|sin x |＝2sin x ，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，故错误；C ．当x ∈[0，π]时，令f (x )＝sin|x |＋|sin x |＝2sin x ＝0，得x ＝0或x ＝π，又f (x )在[－π，π]上为偶函数，∴f (x )＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个零点，故错误；D ．∵sin|x |≤1，|sin x |≤1，当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )或x ＝－π2－2k π(k ∈Z )时两等号同时成立，∴f (x )的最大值为2，故正确．故选AD.] 12．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．1a <1bB ．ab <0C ．a ＋b <0D ．ab <a ＋bBCD [∵a ＝log 0.20.3＝lg 0.3－lg 5>0，b ＝log 20.3＝lg 0.3lg 2<0，∴1a >0>1b ，a ＋b ＝lg 0.3lg 2－lg 0.3lg 5＝lg 0.3lg 5－lg 2lg 2lg 5＝lg 0.3lg52lg 2lg 5，ab ＝－lg 0.3lg 2·lg 0.3lg 5＝lg 0.3·lg103lg 2lg 5，∵lg 103>lg 52，lg 0.3lg 2lg 5<0，∴ab <a ＋b <0.故选BCD.]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设扇形的周长为6，面积为2，则扇形中心角的弧度数是________．1或4 [设扇形的半径为R ，圆心角为α，则⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋αR ＝6，12αR 2＝2，解得α＝1或4.]14．十九世纪德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就卓著，函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x ∈Q0，x ∈∁R Q被称为狄利克雷函数．狄利克雷函数是无法画出图象的，但它的图象却客观存在，若点(2，y )在其图象上，则y ＝________.0 [∵f (x )＝⎩⎨⎧1，x ∈Q0，x ∈∁R Q，又2∈∁R Q ，∴y ＝0.]15．设ω>0，若函数f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递增，则ω的取值范围是________．(0,1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤92，5 [令2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k πω－π2ω≤x ≤2k πω＋π2ω(k ∈Z )，当k ＝0时，－π2ω≤x ≤π2ω，。

2021_2022学年高中数学模块综合测评A作业含解析新人教A版必修2

2021_2022学年高中数学模块综合测评A作业含解析新人教A版必修2

模块综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在空间直角坐标系O-xyz中,点A(2,2,1)关于xOy平面对称的点的坐标为()A.(1,2,2)B.(-2,-2,1)C.(2,2,-1)D.(-2,-2,-1)xOy平面对称的点横坐标、纵坐标不变,竖坐标变为它的相反数,从而有点A(2,2,1)关于xOy平面对称的点的坐标为(2,2,-1).2.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,异面直线AD与CB1所成的角是()A.30°B.45°C.60°D.90°AD与CB1所成的角为∠BCB1,而△BCB1为等腰直角三角形,所以∠BCB1=45°.3.直线y=mx+(2m+1)恒过一定点,则此点是()A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(1,-2)y=mx+(2m+1)的方程可化为m(x+2)-y+1=0,当x=-2,y=1时,方程恒成立.所以直线mx-y+2m+1=0恒过定点(-2,1).故选C.4.若球的半径扩大到原来的2倍,则体积扩大到原来的()A.64倍B.16倍C.8倍D.4倍r,体积为V,则V=43πr3,当球的半径扩大到原来的2倍后,其体积变为原来的23=8倍.5.直线l1:2x+3my-m+2=0和直线l2:mx+6y-4=0,若l1∥l2,则l1与l2之间的距离为()A.√55B.√105C.2√55D.2√105l 1∥l 2,所以{3m ×m =2×6,m ≠-2,解得m=2,因此两条直线方程分别化为x+3y=0,x+3y-2=0,则l 1与l 2之间的距离=√10=√105,故选B .6.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为7,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为 ( )A .7B .4C .9D .3r ,则S 圆台侧=π(r+3r )l=84π.∵l=7,∴r=3.7.一个多面体的三视图如图所示,则多面体的体积是( )A.23B.476C.6D.7,如图所示,所以该几何体的体积为V=2×2×2-2×13×12×1×1×1=233.故选A .8.圆x 2+y 2-8x+6y+16=0与圆x 2+y 2=16的位置关系是( ) A .相交 B .相离 C .内切D .外切x 2+y 2=16的圆心为O ,半径为r 1,则点O 的坐标为(0,0),r 1=4.设圆x 2+y 2-8x+6y+16=0的圆心为C ,半径为r 2,则点C 的坐标为(4,-3),r 2=3.∴|OC|=√(4-0)2+(-3-0)2=5,∴|r1-r2|<|OC|<r1+r2,∴两圆相交.9.(2018·全国1,文10)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为()A.8B.6√2C.8√2D.8√3ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面BCC1B1,连接BC1,则∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角,∠AC1B=30°,所以在Rt△ABC1中,BC1=ABtan∠AC1B=2√3,又BC=2,所以在Rt△BCC1中,CC1=√(2√3)2-22=2√2,所以该长方体体积V=BC×CC1×AB=8√2.10.如图,关于正方体ABCD-A1B1C1D1,下面结论错误的是()A.BD⊥平面ACC1A1B.AC⊥BDC.A1B∥平面CDD1C1D.该正方体的外接球和内接球的半径之比为2∶1ABCD-A1B1C1D1知,在A中,∵BD⊥AC,BD⊥AA1,AC∩AA1=A,∴BD⊥平面ACC1A1,故A正确;在B中,∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD,故B正确;在C中,∵A1B∥D1C,A1B⊄平面CDD1C1,D1C⊂平面CDD1C1,故A1B∥平面CDD1C1,故C正确;在D中,该正方体的外接球和内接球的半径之比为√32∶12=√3∶1,故D错误.故选D.11.与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是()A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=4C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=4x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1),半径为√2,过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0,所求的圆心在此直线上,又圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为√2=3√2,则所求圆的半径为√2,设所求圆心为(a ,b ),且圆心在直线x-y-4=0的左上方,则√2=√2,且a+b=0,解得a=1,b=-1(a=3,b=-3不符合,舍去),故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2,选C .12.点P (4,-2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A .(x-2)2+(y+1)2=1 B .(x-2)2+(y+1)2=4 C .(x+4)2+(y-2)2=1 D .(x+2)2+(y-1)2=1(x 1,y 1),中点为(x ,y ),则{x =x 1+42,y =y 1-22,即{x 1=2x -4,y 1=2y +2, 代入x 2+y 2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知直线l 1:ax+2y+6=0和直线l 2:x+(a-1)y+a 2-1=0垂直,则实数a 的值为 .l 1⊥l 2,∴a×1=-2×(a-1),得a=23. 14.(2018·全国2,文16)已知圆锥的顶点为S ,母线SA ,SB 互相垂直,SA 与圆锥底面所成角为30°.若△SAB 的面积为8.则该圆锥的体积为 .∵SA ⊥SB ,∴S △SAB =12·SA ·SB=8.∴SA=4.过点S 连接底面圆心O ,则∠SAO=30°. ∴SO=2,OA=2√3.∴V=13πr 2h=13×π×(2√3)2×2=8π.π15.圆心在直线x-2y=0上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得弦的长为2√3,则圆C 的标准方程为 .圆心在直线x-2y=0上,∴可设圆心为(2a ,a ). ∵圆C 与y 轴正半轴相切, ∴a>0,半径r=2a.又圆C 截x 轴的弦长为2√3,∴a 2+(√3)2=(2a )2,解得a=1(a=-1舍去).∴圆C的圆心为(2,1),半径r=2.∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.x-2)2+(y-1)2=416.设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,给出下列命题:①若PA⊥BC,PB⊥AC,则H是△ABC的垂心;②若PA,PB,PC两两互相垂直,则H是△ABC的垂心;③若∠ABC=90°,H是AC的中点,则PA=PB=PC;④若PA=PB=PC,则H是△ABC的外心.请把正确命题的序号填在横线上:.因为PH⊥底面ABC,所以PH⊥BC,又PA⊥BC,所以BC⊥平面PAH,所以AH⊥BC.同理BH⊥AC,可得H是△ABC的垂心,正确.②若PA,PB,PC两两互相垂直,所以PA⊥平面PBC,所以PA⊥BC,由此推出AH⊥BC,同理BH⊥AC,可得H是△ABC的垂心,正确.③若∠ABC=90°,H是AC的中点,可推出△PHA≌△PHB≌△PHC,则PA=PB=PC,正确.④若PA=PB=PC,由此推出AH=BH=CH,则H是△ABC的外心,正确.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)(2018·天津卷)如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=2√3,∠BAD=90°.(1)求证:AD⊥BC;(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.AC 的中点N ,连接MN ,ND.又因为M 为棱AB 的中点,故MN ∥BC.所以∠DMN (或其补角)为异面直线BC 与MD 所成的角.在Rt △DAM 中,AM=1,故DM=√AD 2+AM 2=√13. 因为AD ⊥平面ABC ,故AD ⊥AC. 在Rt △DAN 中,AN=1, 故DN=√AD 2+AN 2=√13.在等腰三角形DMN 中,MN=1,可得cos ∠DMN=12MN DM=√1326. 所以,异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为√1326.CM.因为△ABC 为等边三角形,M 为边AB 的中点,故CM ⊥AB ,CM=√3.又因为平面ABC ⊥平面ABD ,而CM ⊂平面ABC ,故CM ⊥平面ABD.所以,∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角.在Rt △CAD 中,CD=√AC 2+AD 2=4. 在Rt △CMD 中,sin ∠CDM=CMCD =√34. 所以,直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为√34.18.(本小题满分12分)已知圆M 的半径为3,圆心在x 轴正半轴上,直线3x-4y+9=0与圆M 相切, (1)求圆M 的标准方程;(2)过点N (0,-3)的直线l 与圆M 交于不同的两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),而且满足x 12+x 22=212x 1x 2,求直线l的方程.设圆心为M (a ,0)(a>0),√32+(-4)=3,解得a=2或-8. 因为a>0, 所以a=2,所以圆M 的标准方程为(x-2)2+y 2=9.(2)当直线l 的斜率不存在时,直线l :x=0,与圆M 交于A (0,√5),B (0,-√5).此时x 1=x 2=0,满足x 12+x 22=212x 1x 2,所以x=0符合题意.当直线l 的斜率存在时,设直线l :y=kx-3. 由{y =kx -3,(x -2)2+y 2=9, 消去y ,得(x-2)2+(kx-3)2=9,整理,得(1+k2)x2-(4+6k)x+4=0, ①所以x1+x2=4+6k1+k2,x1x2=41+k2.由已知x12+x22=212x1x2,得(x1+x2)2=252x1x2,即(4+6k1+k2)2=252×41+k2,整理,得7k2-24k+17=0,解得k=1或177.把k值代入到方程①中的判别式Δ=(4+6k)2-16(1+k2)=48k+20k2中,判别式的值都为正数,所以k=1或177,所以直线l的方程为y=x-3或y=177x-3,即x-y-3=0或17x-7y-21=0.综上,直线l的方程为x-y-3=0或17x-7y-21=0或x=0.19.(本小题满分12分)已知圆O:x2+y2=9和点M(1,a)(a>0).(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切,求实数a的值,并求出切线方程;(2)当a=-2√3时,试判断过点M,且倾斜角为60°的直线l与圆O的位置关系.若相交,求出相交弦AB 长;若不相交,求出圆O上的点到直线l的最远距离.由题意,点M在圆上,即1+a2=9(a>0).所以a=2√2.此时k OM=2√2,设点M处切线为l1,其斜率为k,因为OM⊥l1,所以k OM·k=-1,解得k=-√24.所以切线方程为y-2√2=-√24(x-1),化简得x+2√2y-9=0.(2)当a=-2√3时,直线l:y+2√3=tan60°(x-1),即√3x-y-3√3=0.因为d=√3|√(√3)+(-1)=3√32<3,所以直线l与圆O相交.又|AB|22=R2-d2=9-274=94,所以|AB|=3.20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,点M,N分别为BC,PA的中点,且PA=AB=2.(1)证明:BC⊥平面AMN.(2)求三棱锥N-AMC的体积.(3)在线段PD上是否存在一点E,使得NM∥平面ACE?若存在,求出PE的长;若不存在,请说明理由.四边形ABCD 为菱形,∴AB=BC.又∠ABC=60°,∴AB=BC=AC.又M 为BC 的中点,∴BC ⊥AM ,而PA ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,∴PA ⊥BC.又PA ∩AM=A ,∴BC ⊥平面AMN.S △AMC =12AM ·CM=12×√3×1=√32,又PA ⊥底面ABCD ,PA=2,∴AN=1,∴三棱锥N-AMC 的体积V=13S △AMC ·AN=13×√32×1=√36.E.取PD 的中点E ,连接NE ,EC ,AE.∵N ,E 分别为PA ,PD 的中点, ∴NE 12AD.又在菱形ABCD 中,CM 12AD ,∴NE MC ,即四边形MCEN 是平行四边形,∴NM ∥EC.又EC ⊂平面ACE ,NM ⊄平面ACE ,∴MN ∥平面ACE ,即在PD 上存在一点E ,使得NM ∥平面ACE , 此时PE=12PD=√2.21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 1:(x-1)2+y 2=25和圆C 2:(x-4)2+(y-5)2=16. (1)若直线l 1经过点P (2,-1)和圆C 1的圆心,求直线l 1的方程; (2)若点P (2,-1)为圆C 1的弦AB 的中点,求直线AB 的方程;(3)若直线l 过点A (6,0),且被圆C 2截得的弦长为4√3,求直线l 的方程.圆C 1:(x-1)2+y 2=25的圆心坐标(1,0),直线l 1经过点P (2,-1)和圆C 1的圆心,所以直线l 1的方程为x -1=11-2, 即x+y-1=0.(2)因为点P(2,-1)和圆心C1的连线的斜率为k=0+11-2=-1, 所以直线AB的斜率为1,所以直线AB的方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.(3)因为直线l过点A(6,0),且被圆C2截得的弦长为4√3, 圆C2:(x-4)2+(y-5)2=16的圆心坐标(4,5),半径为4,当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-6),则弦心距为√1+k2=√1+k2.由于圆C2的半径、半弦长以及圆心到直线的距离满足勾股定理,故16=(2√3)2+(√1+k22 ,解得k=-2120,则直线l的方程为21x+20y-126=0.当直线l的斜率不存在时,方程为x=6,此时也满足题意.故直线l的方程为x=6或21x+20y-126=0.22.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F 分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC,BC∩BB1=B,所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.AB的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FG∥AC,且FG=12AC.因为AC ∥A 1C 1,且AC=A 1C 1, 所以FG ∥EC 1,且FG=EC 1. 所以四边形FGEC 1为平行四边形. 所以C 1F ∥EG.又因为EG ⊂平面ABE ,C 1F ⊄平面ABE , 所以C 1F ∥平面ABE.AA 1=AC=2,BC=1,AB ⊥BC ,所以AB=√AC 2-BC 2=√3.所以三棱锥E-ABC 的体积V=13S △ABC ·AA 1=13×12×√3×1×2=√33.。

2022_2022学年高中数学模块综合测评A课后提升训练含解析新人教A版选修1_2

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模块综合测评(A)(时间120分钟,总分值150分)一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分)1.设i是虚数单位,a∈R,假设i(a i+2)是一个纯虚数,那么实数a的值为()B.-1A.-12C.0D.1i(a i+2)=-a+2i,因此要使i(a i+2)是一个纯虚数,应有a=0.2.以下命题:①在线性回归模型中,相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的奉献率,R2越接近于1,表示回归效果越好;②两个变量相关性越强,那么相关系数的绝对值就越接近于1;③在回归直线方程y^=-0.5x+2中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量y^平均减少0.5个单位;④对分类变量X与Y,它们的随机变量K2的观测值k来说,k越小,“X与Y有关系〞的把握程度越大.其中正确命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个,在回归分析模型中,相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的奉献率,R2越接近于1,表示回归效果越好,正确,因为相关指数R2越大,那么残差平方和越小,模型的拟合效果越好,①正确.对于②,两个变量相关性越强,那么相关系数的绝对值就越接近于1,②正确;对于③,在回归直线方程y^=-0.5x+2中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量y^平均减少0.5个单位,③正确;对于④,在对分类变量X与Y进行独立性检验时,随机变量K2的观测值k 越大,那么“X与Y相关〞可信程度越大,故④错误.故正确命题的个数是3个.3.①正方形的四个内角相等;②矩形的四个内角相等;③正方形是矩形,根据“三段论〞推理出一个结论,那么作为大前提、小前提、结论的分别为()A.②①③B.③①②C.①②③D.②③①,可以得到大前提是②,小前提是③,结论是①.4.在△ABC中,yy⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b,且a·b>0,那么△ABC是()⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,yyA.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形a·b>0,即|a||b|cos(π-∠ABC)>0,即cos∠ABC<0.又∵0<∠ABC<π,∴∠ABC是钝角.∴△ABC是钝角三角形.,那么z对应的点位于复平面的()5.复数z满足z=2-i1-iA.第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限z 满足z=2-i 1-i=(2-i)(1+i)(1-i)(1+i)=3+i 2,那么z 对应的点为(32,12),位于复平面的第一象限.6.x>0,不等式x+1y ≥2,x+4y 2≥3,x+27y 3≥4,…,可推广为x+yy y ≥n+1,那么a 的值为( ) A .2nB .n 2C .22(n-1)D .n n,知a=n n. 7.在如下图的程序框图中,输入a=11π6,b=5π3,那么输出c=( )A .√33B.√3C.1D.0,当输入a=11π6,b=5π3时,tan a=-√33,tan b=-√3,那么tan a>tan b.故输出c=|tan a|=√33.8在一次投球比赛中那么K 2的值约为( ) A.3.97 B.6.89C.2.88D.1.25,知K 2=y (yy -yy )2(y +y )(y +y )(y +y )(y +y )=180×(65×38-35×42)2100×80×107×73≈2.88.9.设复数z 1=√32+12i,z 2=3+4i,其中i 为虚数单位,那么|y 12 019||y 2|=( )A.22 018 B.12 019C.125D.15y 12 019=(y 13)673=i 673=i,所以|y 12 019||y2|=√22=15.10.某研究机构在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时,得到如表数据.由表中数据求得y关于x的回归方程为y^=0.65x+a^,那么在这些样本点中任取一点,该点落在回归直线下方的概率为()A.25B.35C.34D.12,。

2021_2022学年高中数学模块综合测评A课后巩固提升含解析新人教A版选修

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模块综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设命题p:对∀x∈R+,e x>ln x,则p为()A.∃x0∈R+,<ln x0B.∀x∈R+,e x<ln xC.∃x0∈R+,≤ln x0D.∀x∈R+,e x≤ln x2.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8解析∵y2=2px的焦点坐标为,0,椭圆=1的焦点坐标为(±,0),∴3p-p=,解得p=8,故选D.3.曲线y=2sin x+cos x在点(π,-1)处的切线方程为()A.x-y-π-1=0B.2x-y-2π-1=0C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=0x=π时,y=2sin π+cos π=-1,即点(π,-1)在曲线y=2sin x+cos x上.∵y'=2cos x-sin x,∴y'|x=π=2cos π-sin π=-2.∴曲线y=2sin x+cos x在点(π,-1)处的切线方程为y-(-1)=-2(x-π),即2x+y-2π+1=0.故选C.4.已知命题p:若θ=150°,则sin θ=,则在命题p的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3,所以逆否命题为真,逆命题和否命题都是假命题,故只有1个真命题.5.a>b+1是2a>2b的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a>b+1,则2a>2b+1>2b,故充分性成立;若2a>2b,若a=2,b=1,则a=b+1,故必要性不成立.故a>b+1是2a>2b的充分不必要条件.故选A.6.双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为()A.2sin 40°B.2cos 40°C. D.-=tan 130°=-tan 50°,则e==.故选D.7已知函数f(x)=x+b ln x在区间(0,2)内不是单调函数,则b的取值范围是()A.(-∞,0)B.(-∞,-2)C.(-2,0)D.(-2,+∞)(x)=1+,g(x)=x+b(x>0)是增函数,故需g(0)=b<0,g(2)=b+2>0,b>-2,所以b∈(-2,0).8抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x2-y2=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=()A.2B.4C.2D.4x2=2py(p>0)的焦点为F,准线方程为x=-,与双曲线x2-y2=1的交点为A,B,又若△为等边三角形,所以k AF==-=-,解得p=2.9.已知命题p:若函数f(x)在(a,b)上存在零点,则f(a)f(b)<0;命题q:若g'(x0)=0,则g(x)在x0处取得极值,则下列为真命题的是()A.p∨qB.p∧qC.(p)∧qD.p∨(q)f(x)在(a,b)上存在零点,则不一定有f(a)·f(b)<0,也可能有f(a)f(b)>0,故命题p为假;若g'(x0)=0,则g(x)不一定在x0处取得极值,例如函数g(x)=x3在x=0处有g'(0)=0,但g(x)=x3无极值,故命题q为假,因此p∨(q)为真命题.10已知直线y=a与函数f(x)=x3-x2-3x+1的图象相切,则实数a的值为()A.-26或B.-1或3C.8或-D.-8或(x)=x2-2x-3,令f'(x)=x2-2x-3=0,x=-1,x=3,则f(-1)=,f(3)=-8,即函数的极值是-8和,故实数a的值为-8或.11.已知椭圆=1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别为A,B,左、右焦点分别是F1,F2,在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的平方为()A. B. C. D.F1F2为直径的圆与直线AB相切,而直线的方程为=1,即bx-ay+ab=0,故圆心O(0,0)到直线bx-ay+ab=0的距离d==c,即ab=c2,也即a2(a2-c2)=c4,所以e4+e2=1,解之得e2=,故应选D.12.若关于x的不等式≤ax+b成立,则的最小值是()A.-B.-C.D.f(x)=,f'(x)=,x∈,f'(x)>0,函数单调递增,x∈,f'(x)<0,函数单调递减,且x>0时,f(x)>0,绘制函数f(x)的图象如图所示,满足题意时,直线y=ax+b恒不在函数f(x)图象的下方,很明显a<0时不合题意,当a>0时,令ax+b=0可得=-x,故取到最小值时,直线在x轴的截距最大,令f(x)=0可得x=,-x=-,据此可得的最小值是-.故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.曲线y=ln x-在x=1处的切线的倾斜角为α,则sinα+=.解析y'=,y'|x=1=3,则tan α=30<α<,故cos α=.所以sinα+=cos α=.14已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0),过点A(3,2)向其准线作垂线,与抛物线的交点为E,则|EF|=.F(2,0)可得p=4,E(x,2)在准线上的射影为G(-2,2),22=8x,x=,即|EF|=|EG|=-(-2)=.15设p:<0,q:0<x<m,若p是q成立的充分不必要条件,则m的取值范围是.<0可得0<x<2,因为p是q成立的充分不必要条件,所以集合{x|0<x<2}是集合{x|0<x<m}的真子集,∴m>2.+∞)16已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的离心率为e,若双曲线上一点P使=e,则的值为.x2-=1得a=1,c=2,由双曲线定义得||-||=2,因为=e,所以由正弦定理得=2,可解得||=4,||=2,由题易知||=4,根据余弦定理可知cos∠PF2F1=,=||·||·cos∠PF2F1=4×2×=2.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知p:方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,q:函数f(x)=x3-2mx2+(4m-3)x-m在(-∞,+∞)上单调递增,若“p∧q”为假,“p∨q”为真,求实数m的取值范围.p,由条件可得m>2.对于q,由f'(x)=4x2-4mx+(4m-3)≥0对x∈R恒成立,得Δ=(-4m)2-16(4m-3)≤0,解得1≤m≤3.由“p ∧q ”为假,“p ∨q ”为真,得p 与q 一真一假.若p 真q 假,则解得m>3.若p 假q 真,则解得1≤m ≤2.综上可得,m 的取值范围是{m|1≤m ≤2或m>3}.18.(本小题满分12分)已知函数f (x )=e x (x 2+ax+1)图象在点(2,f (2))处的切线与x 轴平行.(1)求a 的值;(2)求函数f (x )的极值.f'(x )=e x (x 2+ax+1+2x+a )=e x [x 2+(a+2)x+a+1].因为曲线y=f (x )在点(2,f (2))处的切线与x 轴平行,所以f'(2)=0,即f'(2)=e 2[4+2(a+2)+a+1]=0,解得a=-3.(2)由(1)得f'(x )=e x (x 2-x-2)=e x (x-2)(x+1),令f'(x )=0,则x=2或x=-1.所以当x=-1时,函数有极大值是,当x=2时,函数有极小值是-e 2.19.(本小题满分12分)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程;(2)若=3,求|AB|.l :y=x+t ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).(1)由题设得F ,故|AF|+|BF|=x 1+x 2+,由题设可得x 1+x 2=.由可得9x 2+12(t-1)x+4t 2=0,则x 1+x 2=-.从而-,得t=-.所以l 的方程为y=x-.(2)由=3可得y 1=-3y 2.由可得y 2-2y+2t=0.所以y 1+y 2=2.从而-3y 2+y 2=2,故y 2=-1,y 1=3.代入C 的方程得x 1=3,x 2=.故|AB|=.20.(本小题满分12分)某商品每件成本5元,售价14元,每星期卖出75件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出．．．的商品件数m与商品单价的降低值x(单位:元,0≤x<9)的平方成正比,已知商品单价降低1元时,一星期多卖出5件.(1)将一星期的商品销售利润y表示成x的函数;(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?依题意,设m=kx2,由已知得5=k·12,从而k=5,所以m=5x2.于是y=(14-x-5)(75+5x2)=-5x3+45x2-75x+675(0≤x<9).(2)∵y'=-15x2+90x-75=-15(x-1)(x-5),由y'>0得1<x<5;由y'<0得0≤x<1或5<x<9,可知函数y在[0,1)内单调递减,在(1,5)内单调递增,在(5,9)内单调递减,从而函数y取得最大值的可能位置为x=0或是x=5,∵y(0)=675,y(5)=800,∴当x=5时,y max=800.答:商品每件定价为9元时,可使一个星期的商品销售利润最大.21.(本小题满分12分)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1.所以,椭圆的方程为=1.(2)由题意,设P(x P,y P)(x P≠0),M(x M,0).设直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得x P=-,代入y=kx+2得y P=,进而直线OP的斜率.在y=kx+2中,令y=0,得x M=-.由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-.由OP⊥MN,得·-=-1,化简得k2=,从而k=±.所以,直线PB的斜率为或-.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=m ln x+(4-2m)x+(m∈R).(1)当m≥4时,求函数f(x)的单调区间;(2)设t,s∈[1,3],不等式|f(t)-f(s)|<(a+ln 3)(2-m)-2ln 3对任意的m∈(4,6)恒成立,求实数a的取值范围.函数的定义域为(0,+∞),且f'(x)=+4-2m=,令f'(x)=0,得x1=,x2=-.当m=4时,f'(x)≤0,函数f(x)在定义域(0,+∞)内单调递减;当m>4时,由f'(x)>0,得-<x<;由f'(x)<0,得0<x<-或x>.所以函数f(x)的单调递增区间为-,单调递减区间为0,-,,+∞.综上所述,当m=4时,f(x)在定义域(0,+∞)内单调递减;当m>4时,f(x)的单调递增区间为-,单调递减区间为0,-,,+∞.(2)由(1)知,当m∈(4,6)时,函数f(x)在区间[1,3]内单调递减,所以当x∈[1,3]时,f(x)max=f(1)=5-2m,f(x)min=f(3)=m ln 3++12-6m.问题等价于对任意的m∈(4,6),恒有(a+ln 3)(2-m)-2ln 3>5-2m-m ln 3--12+6m成立,即(2-m)a>-4(2-m).因为m>2,则a<-4,所以a<-4min,设m∈[4,6),则当m=4时,-4取得最小值-,所以,实数a的取值范围是-∞,-.。

高中数学模块综合检测创新应用课件新人教A版选修45

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17 ． ( 本 小 题 满 分 12 分 )( 辽 宁 高 考 ) 已 知 f(x) ＝ |ax ＋ 1|(a∈R)，不等式 f(x)≤3 的解集为{x|－2≤x≤1}．
(1)求 a 的值； (2)若f（x）－2fx2≤k 恒成立，求 k 的取值范围．
解：(1)由|ax＋1|≤3 得－4≤ax≤2.
A．(－∞，2) B．[2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
解析：选 D a≤x＋x－1 1， 由 x＋x－1 1＝x－1＋x－1 1＋1≥3，即 x＋x－1 1的最小值 为 3.
9．若实数 x、y 满足x12＋y12＝1，则 x2＋2y2 有(
Hale Waihona Puke )A．最大值 3＋2 2 B．最小值 3＋2 2
C．最大值 6
D．最小值 6
解析：选 B 由题知，x2＋2y2＝(x2＋2y2)·x12＋y12＝3＋2xy22＋ xy22≥3＋2 2，当且仅当xy22＝2xy22时，等号成立，
故选 B.
10．对任意实数 x，若不等式|x＋1|－|x－2|>k 恒成 立，则 k 的取值范围是( )
A．k<3 B．k<－3 C．k≤3 D．k≤－3
(1＋1)1＋13·…·1＋2k1－1> 2k＋1.
那么，当 n＝k＋1 时，
(1 ＋ 1) 1＋13 ·…·1＋2k1－1 1＋2（k＋11）－1 >
1＋2k1＋1＝ 22kk＋＋11(2k＋2)．
∵
22kk＋＋11（2k＋2）2－(
2k＋3)2
＝4k2＋8k＋4－2k（＋41k2＋8k＋3）＝2k1＋1>0，
其中所有真命题的序号是________．
解析：①不正确．a，b 符号不定；②不正确，sin2x ∈(0，1]，利用函数 y＝x＋4x的单调性可求得 sin2x＋sin42x ≥5；③不正确．(x＋y)x1＋9y＝10＋xy＋9yx≥10＋6＝16； ④正确．|x－y|＝|x－2＋2－y|≤|x－2|＋|2－y|＜ε＋ε＝2ε.

高中数学 模块综合检测(A) 新人教A版选修1-1(2021年整理)

高中数学 模块综合检测(A) 新人教A版选修1-1(2021年整理)

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模块综合检测（A ）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“任意的x ∈R,2x 4－x 2＋1<0”的否定是（ ）A ．不存在x ∈R ，2x 4－x 2＋1〈0B ．存在x ∈R,2x 4－x 2＋1<0C ．存在x ∈R ，2x 4－x 2＋1≥0D ．对任意的x ∈R,2x 4－x 2＋1≥0解析： 全称命题的否定是特称命题，所以该命题的否定是：存在x ∈R ，2x 4－x 2＋1≥0。

答案: C2．已知f (x ）＝x 3＋3x ＋ln 3,则f ′(x )等于（ ）A ．3x 2＋3xB ．3x 2＋3x ·ln 3＋错误!C ．3x 2＋3x ·ln 3D ．x 3＋3x·ln 3 解析： （ln 3）′＝0，注意避免出现（ln 3)′＝错误!的错误．答案： C3．下列选项中,p 是q 的必要不充分条件的是（ ）A ．p ：a ＋c 〉b ＋d ，q ：a >b 且c 〉dB ．p ：a >1,b >1，q ：f （x )＝a x－b （a 〉0，且a ≠1)的图象不过第二象限C ．p ：x ＝1，q ：x 2＝xD ．p ：a >1，q ：f （x ）＝log a x (a 〉0，且a ≠1）在（0，＋∞)上为增函数解析: B ，C 中p 是q 的充分不必要条件，D 中p 是q 的充要条件．答案: A4．函数f (x ）＝a ln x ＋x 在x ＝1处取得极值,则a 的值为( )A ．错误!B ．－1C ．0D ．－12 解析： f ′(x )＝错误!＋1，令f ′（x ）＝0，得x ＝－a ，由题意知，当a ＝－1时，原函数在x ＝1处取得极值．答案： B5．下列四个命题:①“若x2＋y2＝0，则实数x，y均为0”的逆命题；②“相似三角形的面积相等"的否命题；③“A∩B＝A，则A⊆B"的逆否命题;④“末位数不是0的数都能被3整除"的逆否命题．其中真命题为（)A．①②B．②③C．①③D．③④解析：①的逆命题为“若实数x、y均为0，则x2＋y2＝0”，是正确的；③中，∵“A∩B ＝A，则A⊆B”是正确的，∴它的逆否命题也正确．答案: C6．两曲线y＝x2＋ax＋b与y＝x－2相切于点(1，－1)处，则a,b的值分别为（）A．0,2 B．1，－3C．－1,1 D．－1，－1解析: 点（1,－1)在曲线y＝x2＋ax＋b上，可得a＋b＋2＝0,①又y′＝2x＋a，y′|x＝1＝2＋a＝1,∴a＝－1，代入①，可得b＝－1.答案：D7．已知椭圆错误!＋错误!＝1(a>b〉0)，M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是（）A．椭圆B．圆C．双曲线的一支D．线段解析：∵P为MF1的中点，O为F1F2的中点，∴OP＝错误!MF2，又MF1＋MF2＝2a，∴PF1＋PO＝错误!MF＋错误!MF2＝a。

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模块综合检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．如果A ＝{x |x >－1}，那么( ) A ．0⊆A B ．{0}∈A C ．∅∈A D ．{0}⊆A2．已知f (12x －1)＝2x ＋3，f (m )＝6，则m 等于( )A ．－14 B.14C.32 D ．－323．函数y ＝x －1＋lg(2－x )的定义域是( ) A ．(1,2) B ．[1,4] C ．[1,2) D ．(1,2]4．函数f (x )＝x 3＋x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称 5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．一次函数 6．若0<m <n ，则下列结论正确的是( )A ．2m >2nB ．(12)m <(12)nC ．log 2m >log 2nD ．12log m >12log n7．已知a ＝0.3，b ＝20.3，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．a >b >c D ．c >b >a8．函数f (x )＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间( ) A ．(5,6) B ．(3,4) C ．(2,3) D ．(1,2) 9．下列计算正确的是( )A ．(a 3)2＝a 9B ．log 26－log 23＝1C ．12a ·12a ＝0D ．log 3(－4)2＝2log 3(－4)10．已知函数f (x )＝a x＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )A.12B.14 C ．2 D ．411．函数y ＝|lg(x ＋1)|的图象是( )12．若函数f (x )＝lg(10x＋1)＋ax 是偶函数，g (x )＝4x－b2x 是奇函数，则a ＋b 的值是( )A.12 B ．1 C ．－12 D ．－1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知A ＝{－1,3，m }，集合B ＝{3,4}，若B ∩A ＝B ，则实数m ＝________.14．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)＝________.15．函数y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x <0时，f (x )＝x 3＋2x－1，则x >0时函数的解析式f (x )＝______________.16．幂函数f (x )的图象过点(3，427)，则f (x )的解析式是______________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)(1)计算：12729⎛⎫ ⎪⎝⎭＋(lg 5)0＋132764-⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)解方程：log 3(6x－9)＝3.18．(12分)某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，求此商品的最佳售价应为多少？19．(12分)已知函数f (x )＝－3x 2＋2x －m ＋1.(1)当m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点； (2)若函数恰有一个零点在原点处，求m 的值．20．(12分)已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：在定义域D 内存在x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立．(1)函数f (x )＝1x是否属于集合M ？说明理由；(2)若函数f (x )＝kx ＋b 属于集合M ，试求实数k 和b 满足的约束条件．21．(12分)已知奇函数f (x )是定义域[－2,2]上的减函数，若f (2a ＋1)＋f (4a －3)>0，求实数a 的取值范围．22．(12分)已知函数f (x )＝. (1)若a ＝1，求函数f (x )的零点；(2)若函数f (x )在[－1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．模块综合检测(A)1．D [∵0∈A ，∴{0}⊆A .]2．A [令12x －1＝t ，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2×(2t ＋2)＋3＝4t ＋7.令4m ＋7＝6，得m ＝－14.]3．C [由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥02－x >0，解得1≤x <2.]4．C [∵f (x )＝x 3＋x 是奇函数， ∴图象关于坐标原点对称．] 5．C [本题考查幂的运算性质． f (x )f (y )＝a x a y ＝a x ＋y ＝f (x ＋y )．]6．D [由指数函数与对数函数的单调性知D 正确．]7．A [因为a ＝0.3＝0.30.5<0.30.2＝c <0.30＝1，而b ＝20.3>20＝1，所以b >c >a .]8．B [f (3)＝log 33－8＋2×3＝－1<0，f (4)＝log 34－8＋2×4＝log 34>0. 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4)．]9．B [A 中(a 3)2＝a 6，故A 错；B 中log 26－log 23＝log 263＝log 22＝1，故B 正确；C 中，12a -·12a ＝1122a -+＝a 0＝1，故C 错；D 中，log 3(－4)2＝log 316＝log 342＝2log 34.]10．C [依题意，函数f (x )＝a x＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上具有单调性，因此a ＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，解得a ＝2.]11．A [将y ＝lg x 的图象向左平移一个单位，然后把x 轴下方的部分关于x 轴对称到上方，就得到y ＝|lg(x ＋1)|的图象．]12．A [∵f (x )是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即lg(10－x ＋1)－ax ＝lg 1＋10x10x －ax ＝lg(10x＋1)－(a ＋1)x＝lg(10x＋1)＋ax ，∴a ＝－(a ＋1)，∴a ＝－12，又g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，即2－x －b 2＝－2x＋b 2，∴b ＝1，∴a ＋b ＝12.]13．4解析 ∵A ＝{－1,3，m }，B ＝{3,4}，B ∩A ＝B ， ∴m ＝4. 14.15lg 2 解析 令x 5＝t ，则x ＝15t .∴f (t )＝15lg t ，∴f (2)＝15lg 2.15．x 3－2－x＋1解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋2－x －1]＝x 3－2－x ＋1.16．f (x )＝34x解析 设f (x )＝x n，则有3n＝427，即3n＝343， ∴n ＝34，即f (x )＝34x .17．解 (1)原式＝12259⎛⎫ ⎪⎝⎭＋(lg 5)0＋13334-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝53＋1＋43＝4. (2)由方程log 3(6x－9)＝3得 6x －9＝33＝27，∴6x ＝36＝62， ∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解．18．解 设最佳售价为(50＋x )元，最大利润为y 元， y ＝(50＋x )(50－x )－(50－x )×40＝－x 2＋40x ＋500.当x ＝20时，y 取得最大值，所以应定价为70元． 故此商品的最佳售价应为70元．19．解 (1)函数有两个零点，则对应方程－3x 2＋2x －m ＋1＝0有两个根，易知Δ>0，即Δ＝4＋12(1－m )>0，可解得m <43；Δ＝0，可解得m ＝43；Δ<0，可解得m >43.故m <43时，函数有两个零点；m ＝43时，函数有一个零点； m >43时，函数无零点． (2)因为0是对应方程的根，有1－m ＝0，可解得m ＝1. 20．解 (1)D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，若f (x )＝1x∈M ，则存在非零实数x 0，使得1x 0＋1＝1x 0＋1， 即x 20＋x 0＋1＝0， 因为此方程无实数解，所以函数f (x )＝1x∉M .(2)D ＝R ，由f (x )＝kx ＋b ∈M ，存在实数x 0，使得 k (x 0＋1)＋b ＝kx 0＋b ＋k ＋b ，解得b ＝0， 所以，实数k 和b 的取值范围是k ∈R ，b ＝0.21．解 由f (2a ＋1)＋f (4a －3)>0得f (2a ＋1)>－f (4a －3)， 又f (x )为奇函数，得－f (4a －3)＝f (3－4a )， ∴f (2a ＋1)>f (3－4a )，又f (x )是定义域[－2,2]上的减函数， ∴2≥3－4a >2a ＋1≥－2即⎩⎪⎨⎪⎧2≥3－4a3－4a >2a ＋12a ＋1≥－2∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥14a <13a ≥－32∴实数a 的取值范围为[14，13)．22．解 (1)当a ＝1时，由x －2x＝0，x 2＋2x ＝0， 得零点为2，0，－2.(2)显然，函数g (x )＝x －2x 在[12，＋∞)上递增，且g (12)＝－72；函数h (x )＝x 2＋2x ＋a －1在[－1，12]上也递增，且h (12)＝a ＋14.故若函数f (x )在[－1，＋∞)上为增函数，则a ＋14≤－72，∴a ≤－154.故a 的取值范围为(－∞，－154]．。

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