高中数学数系概念的扩展导学案新人教版选修12
2019-2020学年高中数学 数系概念的扩展导学案 新人教版选修1-2.doc
2019-2020学年高中数学 数系概念的扩展导学案 新人教版选修1-2 学习目标： 1.使学生了解引入复数的必要性，了解数系的扩充过程.2.理解并掌握复数的有关概念及分类，并掌握复数相等的概念.3.复数的概念的理解及两个复数相等的充要条件.一、自主学习【复习回顾】：1.数系的扩充数系扩充的脉络是：________→________→________，用集合符号表示为________⊆________⊆________，实际上前者是后者的真子集．2.判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与∆的关系）：（1）2340x x --= （2）2450x x ++=（3）2210x x ++= （4）210x +=二、合作探究 探究一：复数的定义问题：方程210x +=的解是什么？ 为了解决此问题，我们定义21i i i ⋅==-，把新数添进实数集中去，得到一个新的数集，那么此方程在这个数集中就有解为 . 新知：形如bi a +的数叫做复数，通常记为bi a z +=（复数的代数形式），其中i 是虚数单位，a ，b 是实数.对于复数bi a +）（R b ,a ∈，其中 叫做复数z 的实部， 叫做复数z 的虚部. 当 时，它是实数；当 时，它是虚数；当 时，它是纯虚数. 复数的全体组成的集合叫作复数集，记作C .例1：说出下列复数的实部和虚部，并指出他们是实数还是虚数，若是虚数请指出是否是纯虚数.23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0变式： 实数m 取什么值时，复数1(1)z m m i =++-是:（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？探究二：复数的相等若两个复数bi a +与di c +的实部与虚部分别 ，即: ， ，则说这两个复数相等.______________di c bi a ⇔+=+；________________0bi a ⇔=+.例2.已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：,,a b k 的值.三、课堂检测1. 变式：设复数(,)z a bi a b R =+∈，则z 为纯虚数的必要不充分条件是（ ）A ．0a =B ．0a =且0b ≠C ．0a ≠且0b =D ．0a ≠且0b ≠ 2. 若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是3．若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，求,x y 的值.四、课堂小结1.复数的有关概念及它们之间的关系；2. 两复数相等的充要条件；3. 数集的扩充.五、课后训练：1. 如果222(32)=+-+-+为实数,那么实数a的值为（）z a a a a iA．1或2- B．1-或2C．1或2 D．1--或22. 已知i是虚数单位，复数2(1)(23)4(2)z m i m i i=+-+-+，当m取何实数时，z是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零.3.求适合下列方程的实数与的值:(1)(32)(5)172++-=-x y x y i i(2)(3)(4)0+-+-=x y x i。
( 人教A版)高中数学选修12：3.1.1数系的扩充和复数的概念课件选修12 (共28张PPT)
1．给出下面四个命题：
①1＋i2＝0；
②若 a，b∈R，且 a>b，则 a＋i>b＋i；
③若 x2＋y2＝0，则 x＝y＝0；
④两个虚数不能比较大小．
其中，正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：对于①，因为 i2＝－1，所以 1＋i2＝0，故①正确． 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错． 对于③，当 x＝1，y＝i 时 x2＋y2＝0 成立，故③错．④正确． 答案：B
[例 1] 给出下列三个命题：①若 z∈C，则 z2≥0；②2i－1 虚部是 2i；③2i 的实部是
0.④若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数．其中真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 对于①，当 z∈R 时，z2≥0 成立，否则不成立，如 z＝i，z2＝－1<0，所以① 为假命题； 对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为 2，不是 2i，所以②为假命题； 对于③，2i＝0＋2i，其实部是 0，所以③为真命题． 对于④，当 a＝－1 时，(a＋1)i 为实数，④为假命题 因此四个命题中只有一个真命题． [答案] B
m2－2m≠0.
解决复数分类问题的方法步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． (2)定条件：对于复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的分类问题，要理解其分类的充要条件： ①复数 z 是实数⇔b＝0； ②复数 z 为虚数⇔b≠0； ③复数 z 为纯虚数⇔a＝0，且 b≠0. (3)列方程(不等式)组：主要依据虚部和实部满足的条件，求参数时可由此列出方程(组)， 但必须要全面考虑所有条件，不能遗漏．如本题中，易忽略对 m≠0 的限制． (4)下结论．
实验中学人教高中数学选修12课件数系的扩充
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5.传统的经济理论不考虑经济系统和 生态系 统的物 质和能 量交换 是基于 以下的 假设： 生态系 统的物 质和能 量是取 之不尽 、用之 不竭的 。
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6.这一前提假设在经济系统相对于生 态系统 较小时 ，即世 界是一 个“空 的世界 ”时尚 能满足 ，但在 经济系 统快速 增长， 世界逐 渐从“ 空的世 界”变 成“满 的世界 ”后， 这一假 设就很 难满足 了。
即:若z1>z2 z1,z2∈R且z1>z2.
例3、已知( x y ) ( x 2 y ) i ( 2 x 5 ) ( 3 x y ) i
求实数x,y的值.
解：由两个复数相等的充要条件得：
X+y=2x-5 X-2y=3x+y
解得：x=3、y=-2
变(2 式 x1 ) ： iy(3y)i,其x,中 y R ,
•
9.迫于现实社会生存的巨大综合压力 和人类 因物质 文明进 步而带 来的精 神困惑 ，当代 诗歌的 内容越 来越局 限于私 人性的 东西， 正日愈 失去处 理重大 社会题 材的艺 术能力 ，这就 使得它 日愈减 少获得 公众关 注的机 会，而 只有在 少数未 被现代 社会物 质化的 心灵当 中获得 知音；
数
3.1 数系的扩充
数
学
学
是
从
为
生
生
活
活
中
和
来
生
到
产
生
服
活
务
中
的
去
复习回顾
数 系 的 扩 充
自然数 整数
有理数 无理数
实数
用图形表示包含关系：
RQ Z N
思考2：在实数集中，方程x2+1=0无解， 假设使方程x2+1=0有解,其解为i. 则这个解i 应该满足什么条件？i 是否 在实数集中？
高中数学 专题3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案 新人教A版选修12
数系的扩充和复数的概念一、教学内容数系的三次扩充过程，复数的引入过程，复数概念的知识二、教学目标三、教学重点引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件四、教学难点虚数单位i 的引进和复数的概念五、学生分析学生在本章之前已经学习了《推理与证明》的内容，有了一定的推理与证明能力，有利于本节课运用类比思想对实数集进行扩充。
六、教学方法及教学用具启发引导、类比探究并运用多媒体课件展示相关知识七、教学过程（一）问题引入问题：若223x y +=，3xy =，求（1）x+y 的值； （2）求x 和y 的值生（独立完成）：求出x+y=3或-3师：既然和能够求出来，那能不能求出x 和y 的值呢？生：30∆=-<的存在，我们求不了x 、y 的值师：事实上在实数范围内x 和y 确实不存在？为什么会这样呢？假设x 和y 是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么呢？我们能不能解决这个问题呢？这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的引入》（二）回顾数系的扩充历程师：其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生。
大家记得吗？从小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充。
现在就让我们来回顾一下，看看我们以前是怎么解决“数不够用”的问题的。
（三）类比，引入新数，将实数集扩充1、 类比数系的扩充规律，引导学生找出解决“实数不够用”这个问题的办法 生：引入新数，使得平方为负数师：我们希望引入的数的平方为负数，但是负数有无穷多个，我们不肯能一下子引入那么多，只要引入平方为多少就行呢？（引导学生找到1-，因为任何一个负数都可以写成正数与-1的乘积）2、 历史重现：在历史上数学家们碰到我们前面这个问题的时候一开始是解决不了的，导致在此问题上徘徊了百年之久，直到18世纪末，数学家才认识到解决21x =-的重要性，于是他们就像我们一样引入新的数，使得引入的数的平方等于1-，并把这个数记为英文字母i ，就是虚构、想象的意思。
高中数学第三章《数系的扩充与复数的概念》教案新人教A版选修1-21.doc
2019-2020年高中数学第三章《数系的扩充与复数的概念》教案新人教A版选修1-212019-2020年高中数学第三章《数系的扩充与复数的概念》教案新人教A版选修1-2教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。
教学难点：复数及其相关概念的理解教学过程：一、复习准备：1. 提问：N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与的关系）：（1）（2）（3）（4）3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。
讨论：若给方程一个解，则这个解要满足什么条件？是否在实数集中？实数与相乘、相加的结果应如何？二、讲授新课：1. 教学复数的概念：①定义复数：形如的数叫做复数，通常记为（复数的代数形式），其中叫虚数单位，叫实部，叫虚部，数集叫做复数集。
出示例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+--规定：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。
②讨论：复数的代数形式中规定，取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？③定义虚数：叫做虚数，叫做纯虚数。
④数集的关系：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎧≠≠⎧⎧≠⎧⎧≠=⎧⎧实数(b=0)复数一般虚数(b 虚数(b 纯虚数(b 上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？2.出示例题2：（引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论）练习：已知复数与相等，且的实部、虚部分别是方程的两根，试求：的值。
（讨论中，k 取何值时是实数？）小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。
三、巩固练习：1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。
人教版高中选修1—2数学3.1数系的扩充和复数的概念教案(4)
3.1.1数系的扩充和复数的概念教学目标：1、了解数的发展史，理解实数系扩充复数系的必要性；2．在问题的情境中让学生了解把实数系扩充到复数系的过程,体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联；3、初步理解复数、虚数、纯虚数等概念，掌握复数的代数形式与复数相等的充要条件.教学重点：对引入复数的必要性的认识,理解复数的基本概念.教学难点：由于学生对数系扩充的知识不熟悉,对了解实数系扩充到复数系的过程有困难,由于理解复数是一对有序实数不习惯,对于复数概念理解也有一定困难.教学过程:(一)、情境引入：（二）、知识引入：我们已知知道：对于一元二次方程x2+1=0没有实数根．如何解决“在实数范围中开方运算不能实施的矛盾”？引入一个新数：i使得i2=-1引出课题：3.1.1数系的扩充和复数的概念数系的扩充：自然数、整数、有理数、实数、复数复习回顾用图形表示包含关系1、现在我们就引入这样一个数i ，把i叫做虚数单位，并且规定：（1）i2=-1；（2）实数可以与i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。
2、形如a +bi (a,b ∈R)的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示 .3、复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即z=a+bi a,b 都属于R 其中a 为实部，b 为虚部；i 为虚数单位。
5、讨论：复数集C 和实数集R 之间有什么关系？复数a+bi思考：复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？（三）、练习巩固1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。
()i i i i i 293,85,31,,72,0,618.0,722-+-+ 2、判断下列命题是否正确：（1）若a 、b 为实数，则Z=a+bi 为虚数（2）若b 为实数，则Z=bi 必为纯虚数（3）若a 为实数，则Z= a 一定不是虚数3.条例下列条件的复数一定存在吗?若存在,请举例,若不存在,请说明理由.(1)实部为-2的虚数;(2)虚部为-2的虚数;(3)虚部为-2的纯虚数.例1 实数m 取什么值时，复数Z=m+1+(m-1)i 是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？练习：实数m 取什么值时，复数是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数我们知道若a+bi=0,则a=0.b=05、思考：如何定义两个复数的相等？如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．注意：一般对两个复数只能说相等或不相等；不能比较大小。
1.1数的概念的扩展
《数的概念的扩展》导学案教学目标：知识与技能：使学生体会数的概念是逐步发展的；了解引进复数的必要性；理解复数的基本概念。
过程与方法：经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；情感、态度与价值观：通过对复数的学习，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用；通过数系的扩充历程，使学生体会数学博大精深的文化魅力，激发学生学习数学的兴趣；培养学生勇于知疑问难,善于探索的学习习惯和良好的思维品质。
教学重点：数的概念的扩展和复数的概念教学难点：虚数单位i的引入及复数的概念教学过程：【预习成果展示】小组展示预习成果，思考：1、数的每一次扩充都有哪些特点？有没有共同的特点？2、在实数集中求方程x2+1=0 的解？（类比前三次数系扩充的问题的解决）【概念形成】1、i的引入我们引入新数i，叫做“虚数单位”，并规定：（1）i2=-1;（2）实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法运算律、乘法运算律仍然成立.问题：写出几个关于i的加法、乘法运算式，并观察这些式子有没有共同特点？2、复数的定义形如的数称为复数，通常表示为，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部.其中i是虚数单位。
叫复数集，通常用C表示。
【自主学习】阅读教材第73页倒数三段内容，完成下面的问题：1、复数是怎样分类的？2、复数集与数集N、Z、Q、R之间有什么关系？你能否用韦恩图表示？【应用举例】例1：完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或纯虚数）例2：实数m 取什么值时，复数i m m z )1()1(-++=是 （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。
变式练习：实数m 取什么值时，复数i m m m m z )3)(1()1)(2(--+--=是纯虚数？【反馈练习】1、以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（）A. B.C. D.2、若复数是纯虚数，则实数的值为。
3、若复数a+1+(a-1)i>0,求实数a的取值范围。
高中数学选修1,2《数系的扩充和复数的概念》教案
2、历史重现：
3、探究复数的一般形式：
(四)新的数集复数集
1.复数的定义(略)
2.复数的应用：复数在数学、力学、电学及其他学科中都有广泛的应用，复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，是进一步学习数学的基础。
2、体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法
教学重难点
重点：引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件
难点：虚数单位i的引进和复数的概念
教学过程
(一)问题引入
事实上在实数范围内x和y确实不存在?为什么会这样呢?假设x和y是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么呢?我们能不能解决这个问题呢?这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的引入》
现有一个命题：任何两个复数都不能比较大小对吗?不对如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
例题讲解
例1请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数?
答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，-3，0，- ;虚部分别是3，，-，- ;- i是纯虚数.
二、新课研究：
1、虚数单位:
(1)它的平方等于-1，即;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2.与-1的关系:就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是- !
2、的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1
高中数学选修1,2《数系的扩充和复数的概念》教案
1、了解数系扩充的过程及引入复数的需要
高二数学《3.1 数系的扩充》导学案
高二数学《3.1 数系的扩充》导学案3、1节数系的扩充课时安排7课时主备人审核人使用人使用日期或周次第一周本课时学习目标或学习任务理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念、本课时重点难点或学习建议理解复数的基本概念本课时教学资源的使用导学案学习过程1、自学准备与知识导学1、复习（1）实数系、数系的扩充脉络是：→ → → ，用集合符号表示为：（2）判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与的关系）：（1）（2）（3）（4）2、探究任务一：复数的定义 (1)问题：方程的解是什么？为了解决此问题，我们定义，把新数添进实数集中去，得到一个新的数集，那么此方程在这个数集中就有解为、 (2)新知：形如的数叫做复数，通常记为（复数的代数形式），其中叫虚数单位，叫实部，叫虚部，数集叫做复数集、(3)试试：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
，，，，，，，0(4)反思：形如的数叫做复数，其中和都是实数，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部、对于复数当且仅当时，它是实数；当时，它是虚数；当时，它是纯虚数；3、探究任务二：复数的相等若两个复数与的实部与虚部分别，即: ，、则说这两个复数相等、= ；=0 、注意:两复数比较大小、2、学习交流与问题探讨例1 实数取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？变式：已知复数，试求实数分别取什么值时，分别为（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？小结：数集的关系：例2已知复数与相等，且的实部、虚部分别是方程的两根，试求：的值、变式：设复数，则为纯虚数的必要不充分条件是（）A、B、且C、且D、且小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件、3、练习检测与拓展延伸1、实数取什么数值时，复数是实数（）A、0B、C、D、2、如果复数与的和是纯虚数，则有（）A、且B、且C、且D、且3、如果为实数,那么实数的值为（）A、1或B、或2C、1或2D、或4、若是纯虚数，则实数的值是5、若，则实数= ；= 、6、若，求的值、7、已知是虚数单位，复数，当取何实数时，是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零、8、求适合下列方程的实数与的值:(1)(2)4、课后反思。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入习题课学案 新人教B版选修12
第三章 数系的扩充与复数的引入章末习题课明目标、知重点 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义.1.复数的四则运算，若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R ) (1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ； (4)除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)；(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况； (6)特殊复数的运算：i n(n 为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.2.共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0). (2)复数z ＝a ＋b i 的模，|z |＝a 2＋b 2， 且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2. 3.复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数. (2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数.题型一 复数的四则运算例1 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋－2－－4＋211－7i；(2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模.解 (1)原式＝＋231＋23i＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 006＋ －8i ＋8i －－8i ＋4－11－7i＝i ＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.(2)z 2－3z ＋6z ＋1＝＋2－＋＋62＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ， ∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2.反思与感悟 复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化.跟踪训练1 (1)已知z1＋i＝2＋i ，则复数z 等于( ) A.－1＋3i B.1－3i C.3＋i D.3－i答案 B解析 方法一 ∵z1＋i＝2＋i ，∴z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i. 方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴z ＝a －b i ， ∴a －b i1＋i＝2＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3，z ＝1－3i.(2)i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011等于( )A.－iB.－1C.iD.1答案 A解析 因为1＋i 1－i ＝＋21－i 2＝i ， 所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011＝i 2 011＝i 4×502＋3＝i 3＝－i ，故选A. 题型二 复数的几何意义例2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值.解 点集D 的图象为以点C (－1，－3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数为z ，则|OP →|＝|z |.由图知，当OP 过圆心C (－1，－3)时，与圆交于点A 、B ，则|z |的最小值是|OA |＝|OC |－1＝－2＋－32－1＝2－1＝1，即|z |min ＝1；|z |的最大值是|OB |＝|OC |＋1＝2＋1＝3， 即|z |max ＝3.反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1，Z 2之间的距离. 跟踪训练2 已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1－z 2|＝10，求|z 1＋z 2|的值.解 如图所示，设z 1，z 2对应点分别为A ，B ，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则OC →对应的复数为z 1＋z 2.这里|OA →|＝3，|OB →|＝5，|BA →|＝10.∴cos ∠AOB ＝|OA →|2＋|OB →|2－|BA →|22|OA →||OB →|＝32＋52－102×3×5＝45.∴cos ∠OBC ＝－45.又|BC →|＝|OA →|＝3，∴|z 1＋z 2|＝|OC →| ＝|OB →|2＋|BC →|2－2|OB →||BC →|cos ∠OBC ＝58.题型三 两个复数相等例3 设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ). 因为4z ＋2z ＝33＋i ，所以2z ＋(2z ＋2z )＝33＋i.2z ＋2z ＝2(a ＋b i)＋2(a －b i)＝4a ，整体代入上式， 得2z ＋4a ＝33＋i.所以z ＝33－4a 2＋i2.根据复数相等的充要条件，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝33－4a2，b ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝12.所以z ＝32＋i2. 反思与感悟 两个复数相等是解决复数问题的重要工具.“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题.跟踪训练3 z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i答案 D解析 方法一 设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 方法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i.1.以1＋2i 的虚部为实部，以3i －2的实部为虚部的新复数是( ) A.2－2i B.2＋i C.3＋i D.2＋3i答案 A2.若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( ) A.x ＝3，y ＝3 B.x ＝5，y ＝1 C.x ＝－1，y ＝－1D.x ＝－1，y ＝1答案 D解析 x －2＝3x ，y ＝－(－1)， 即x ＝－1，y ＝1.3.设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A.1＋i B.1－i C.2＋2i D.2－2i答案 B 解析 z ＝21＋i ＝－＋－＝1－i ，故选B. 4.已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( )A.－1B.1C.2D.3答案 B 解析 ∵a ＋2ii＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝b i －1.∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1. [呈重点、现规律]1.复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化；2.复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；3.利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题.。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入教学案 新人教A版选修12
第三章 数系的扩充与复数的引入（复习课）掌握复数的的概念，复数的几何意义以及复数的四则运算.【知识链接】（预习教材P 72找出疑惑之处）复习1：复数集C 、实数集R 、有理数集Q 、整数集Z 和自然数集N 之间的关系为：复习2：已知1510z i =+，234z i =-，12111z z z =+，求z .【学习过程】※ 学习探究探究任务：复数这一章的知识结构问题：数系是如何扩充的？本章知识结构是什么？新知：试试：若122,34z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，求实数a 的值.变式：（1）12z z 对应的点在复平面的下方（不包括实轴），求a 的取值范围.（2）12z z 对应的点在直线0x y +=，求实数a 的值.反思：若复数(,)a bi a b R +∈是实数，则是虚数，则 ；是纯虚数，则 ；其模为 ；其共轭复数为 .若(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈，则 .※ 典型例题例1 已知m R ∈，复数2(2)(23)1m m z m m i m +=++--，当m 为何值时， （1）z R ∈？（2）z 是纯虚数？（3）z 对应的点位于复平面第二象限？（4）z 对应的点在直线30x y ++=上？变式：已知11m ni i=-+，其中,m n 是实数，i 是虚数单位，则m ni +=小结：掌握复数分类是解此题的关键.在计算时，切不可忘记复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数的一个必要条件是0b ≠，计算中分母不为0也不可忽视.例2 设存在复数z 同时满足下列条件：（1）在复平面内对应的点位于第二象限；（2）28()zz iz ai a R +=+∈；试求z 的取值范围变式：已知复数z 满足||28z z i +=+，求复数z小结：复数问题实数化是解决复数问题的主要方法，其转化的依据主要就是复数相等的充要条件.基本思路是：设出复数的代数形式(,)z a bi a b R =+∈，由复数相等得到两个实数等式所组成的方程组，从而可以确定两个独立的基本量.例3 在复平面内（1）复数22(24)(22)z a a a a i =-+--+，（2）满足|1||1|4z z ++-=的复数z ，对应的点的轨迹分别是什么？※ 动手试试练1. 已知复数26(2)2(1)1m z i m i i=+----，当实数m 取什么值时，复数是（1）零；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.练2. 若2222log (32)log (21)1x x i x x --+++>，则实数的值（或范围）是 .【学习反思】※ 学习小结复数问题实数化是解决复数问题最基本的也是最重要的思想方法，其转化的依据主要就是复数相等的充要条件.基本思路是：设出复数的代数形式(,)z a bi a b R =+∈，由复数相等可以得到两个实数等式所组成的方程组，从而可以确定两个独立的基本量.根据复数相等一般可解决如下问题：（1）解复数方程；（2）方程有解时系数的值；（3）求轨迹问题.※ 知识拓展※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设134z i =-，223z i =-+，则12z z +在复平面内对应的点（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 2(1)i i -⋅等于（ ）A ．22i -B ．22i +C ．2-D ．23. 复数21(1)i+的值是（ ） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．2-4.复数21i+的实部是 ，虚部是 5. (158)(12)i i +--的值是1. 已知(12)43i z i +=+，求z 及zz .2. 设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且211z -≤≤（1）求1||z 的值以及1z 的实部的取值范围；（2）若1111z z ω-=+，求证ω为纯虚数.。
高中数学 311《数系的扩充与复数的概念》同步课件 新人教A版选修12
所以xy＝＝3－，2.
[点评] 找到两复数的实部与虚部后，根据复数相等 的充要条件，实部与虚部分别相等即可求得x，y的值．
已知实数x，y满足(2x－1)＋(3－y)i＝y－i，求x，y的 值．
[解析] 因为 x，y 为实数，所以 2x－1,3－y 均为实数，由
C．实数集与虚数集的交集是{0}
D．纯虚数集与实数集的交集为空集
[答案] C
[解析]
．
()
2．(1＋ 3)i 的实部与虚部分别是
()
A．1， 3
B．1＋ 3，0
C．0,1＋ 3
D．0，(1＋ 3)i
[答案] C
[解析] (1＋ 3)i 可看作 0＋(1＋ 3)i＝a＋bi，
所以实部 a＝0，虚部 b＝1＋ 3.
1．复数的概念及代数表示
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫
做虚数单位，满足i2＝ －1
.
(2)表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，
这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的
实部与
虚．部
2．复数的分类
实数(b＝0)
(1)复数a＋bi (a，b∈R)
m2－m－6＝0 (3)当m＋3≠0
m2－2m－15≠0
时，
m＝3或m＝－2 即m≠－3
m≠5且m≠－3
∴当 m＝3 或 m＝－2 时，z 是纯虚数．
[点评] ①判断一个含有参数的复数在什么情况下是 实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值使虚数表达式有 意义，如果忽略了实部分式中的分母m＋3≠0，就会酿成根 本性的错误，其次对参数值的取舍，是取“并”还是 “交”，非常关键，多与少都是不对的，解答后进行验算 是很必要的．
湖北省巴东一中高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引
《第三章数系的扩充与复数的引入》教材分析数系的扩充与复数的引入是选修1－2与选修2－2的内容，是高中生的共同数学基础之一．数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程，同时了数学产生、发展的客观需求，复数的引入襀了中学阶段数系的又一次扩充．《课标》将复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化．这部分内容的学习，有助于学生体会理论产生与发展的过程，认识到数学产生和发展既有来自外部的动力，也有来自数学内部的动力，从而形成正确的数学观；有助于发展学生的全新意识和创新能力．复数的内容是高中数学课程中的传统内容．对于复数，《课标》要求在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以数与现实世界的联系；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．本章内容分为2节，教学时间约4课时．第一节数系的扩充和复数的概念本节的主要教学内容是数系的扩充和复数的概念、复数的几何意义（几何表示和向量表示）．●教学目标（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．（3）了解复数的代数表示法及其几何意义．●教学重点（1）数系的扩充过程．（2）复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件．（3）复数的几何意义．●教学难点（1）虚数单位i的引进．（2）复数的几何意义．●教学时数本节教学，建议用2课时．第1课时处理数系的扩充和复数的概念；第2课时研究复数的几何意义．●课标对本节内容的处理特点数系的扩充和复数的概念，《课标》与《大纲》教学内容相同，但在处理方式和目标定位上存在差异：（1）《课标》将复数作为数系扩充的结果引入．《大纲》教科书先安排复数的概念，再研究复数的运算，最后介绍数系的扩充．《课标》实验教科书在介绍数系扩充的思想方法的基础上引入复数的概念，力求还原复数的发现与建构过程．（2）《课标》强调在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．从这上点上看，《课标》要求提高了．（3）在复数的代数表示法及其几何意义上，《课标》的教学定位是“了解”，而《大纲》要求“掌握”．从这上点上看，《课标》要求降低了．●教学建议1．关于“数系的扩充的复数的概念”的教学建议（1）课题的引入．教学时，可从方程在给定范围内是否有解提出问题：x+=有解吗？①在自然数集N中，方程10x=有解吗？②在整数集Z中，方程21一一对应③ 在有理数集Q 中，方程2x ＝2有解吗？④ 在实数集R 中，方程．有解吗？（2）回顾从自然数集N 扩充到实数集R 的过程．帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征．可让学生思考如下问题：① 从自然数集N 扩充到实数集R 经历了几次扩充？② 每一次扩充的主要原因是什么？③ 每一次扩充的共同特征是什么？然后师生共同归纳总结：扩充原因：① 满足实际问题解决的需要；② 满足数学自身完善和发展的需要．扩充特征：① 引入新的数；② 原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展．（3）提出新的问题：如何对实数集进行扩充，使方程210x +=在新的数集中的解？（4）引入虚数单位i ．（5）学习复数的概念．（6）规定复数相等的意义．（7）研究复数的分类．（8）告诉学生“两个复数只能说相等或不相等，不能比较大小”的理由：① ,a bi c di a c b d +=+⇔==；在,a c b d ==两式中，只要有一个不成立，则a bi c di +≠+．② 如果两个复数都是实数，则可以比较大小；否则，不能比较大小．③ “不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系“＜”，都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四条性质：对于任意实数a ，b 来说，a b <，a b =，b a <这种情况有且只有一种成立；如果,a b b c <<，那么a c <；如果a b <，那么a c b c +<+；如果,0a b c <<，那么ac bc <．2．关于“复数的几何意义”的教学建议（1）帮助学生认识复数的几何表示．复数的几何表示就是指用复平面内的点Z （,a b ）来表示复数z a bi =+．① 明确“复平面”的概念．② 建立复数集C 和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系，即复数z a bi =+ 复平面内的点Z （,a b ）． （2）帮助学生认识复数的向量表示．复数的向量表示就是指用复平面内的向量OZ uuu r 来表示复数z a bi =+．① 认识复平面内的点Z （,a b ）与向量OZ uuu r 的一一对应关系．② 在相互联系中把握复数的向量表示：复数z a bi =+一一对应 一一对应 一一对应点Z （,a b ） 向量OZ uuu r（3）用数形结合的思想方法，强化对复数几何意义的认识．在复平面内，实数与实轴上的点一一对应，纯虚数与虚轴上的点（原点除外）一一对应，非纯虚数的虚数与象限内的点一一对应．可通过一组练习题来强化这一认识．第二节 复数代数形式的四则运算本节的主要教学内容是复数代数形式的加减运算及其几何意义，复数代数形式的乘除运算．●教学目标（1）掌握复数代数形式的加减运算法则．（2）了解复数代数形式的加减运算的几何意义．（3）理解复数代数形式的乘除运算法则．（4）体验复数问题实数化的思想方法．●教学重点（1）复数代数形式的加减运算及其几何意义．（2）复数代数形式的乘除运算．（3）复数问题实数化的思想方法复数的理解与运用．●教学难点（1）复数代数形式的加减运算的规定．（2）复数代数形式的加减运算的几何意义的理解．（3）复数代数形式的乘除运算法则的运用．●教学时数本节教学，建议用2课时．第1课时处理复数代数形式的加减运算及其几何意义；第2课时研究复数代数形式的乘除运算．●课标对本节内容的处理特点复数代数形式的四则运算，《课标》与《大纲》教学内容与要求基本相同，但在目标定位上存在差异：（1）《课标》要求了解复数代数形式的加减运算的几何意义，对复数的向量表示提出了要求，强化了数形结合思想方法；（2）《课标》明确强调“淡化烦琐的计算和技巧性训练，突出了复数问题实数化的思想方法． ●教学建议1．复数代数形式的加法和乘法的运算法则是一种规定，要让学生理解其合理性．这种合理性应从数系扩充的角度来理解：这种规定与实数加法、乘法的法则是一致的，而且实数加法、乘法的有关运算律在这里仍然成立．2．复数的减法、除法分别规定为复数的加法和乘法的逆运算，要让学生按照这种规定自主得出复数减法和除法的运算法则．3．复数代数形式的四则运算可以类比代数运算中的“合并同类项”“分母有理化”，利用21i =-，将它们归结为实数的四则运算．在具体运算情境中，引入共轭复的概念，明确公式22()()a bi a bi a b +-=+是复数除法中“分母实数化”的基础，不必让学生专门计忆复数除法法则．从而让学生体验复数问题实数化的思想方法．4．要引领学生从平面向量的加法、减法的平行四边形或三角形法则来认识并理解复数代数形式的加减运算的几何意义．。
高中数学数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的概念3..数系的扩充和复数的概念导学案新人教A版选修2-2
3.1.1 数系的扩充和复数的概念【学习目标】1．理解复数的有关概念以及符号表示；2．了解复数的代数表示方法及几何意义；3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件. 【重点难点】重点：复数的有关概念以及符号表示.难点：了解复数的代数表示方法及几何意义，复数的分类及复数相等的充要条件．【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P102-104内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.【问题导学】1．如何引入数i？我们引入一个新数i，i叫做虚数单位，并规定：（1）i2= -1 ；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．根据前面规定，－1可以开平方，而且－1的平方根是．2．复数的概念？根据虚数单位i的第（2）条性质，i可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成a+bi . 形如a+bi的数，我们把它们叫做复数．复数的代数形式、复数、虚数、纯虚数、实部、虚部.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，显然有：N* N Z Q R C．数的分类复数⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧虚数（特例：纯虚数）无理数分数整数有理数实数3.相等复数？如果两个复数的实部和虚部分别相等，我们就说这两个复数相等.即：a,b,c,d∈R, 则a+bi=c+di⇔a=c且b=d注意：两个复数中若有一个是虚数，则它们不能比较大小.【合作探究】问题1：请说出复数(1)-3+2i, (2)-5i,i的实部和虚部.问题2：实数a分别取什么值时，复数()2262153a az a a ia--=+--+是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.解：（1）a=5（2）a≠5 且 a≠ -3（3）a=3或a=-2问题3：设()()2212343z m m m m i=--+-+()m R ∈，253z i =+，当m 取何值时，（1）12z z =； （2） 10z ≠ . 解：（1）m=4(2)m ≠3 【深化提高】1.已知M={}221,(m 2m)(m 2)m i -++-，P={}1,1,4i -，若M P P =，求实数m 的值 解：MP P =∴M ⊆P.又M={}221,(m 2m)(m 2)m i -++-，P={}1,1,4i -.∴ 22(m 2m)(m 2)m i -++-=-1或22(m 2m)(m 2)m i -++-=4i即2222m 2m 1m 2m 0m 20m 24m m ⎧⎧-=--=⎪⎪⎨⎨+-=+-=⎪⎪⎩⎩或解之得m=1或m=2，即m 的值为1或2. 2.实数m为何值时，复数22lg(m 2m 1)(m 32)i z m =+++++是:(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数? 解：(1) m=-2(2) m ≠-1且m ≠-2 (3) m=03.若复数21lg(x 2x)(x R)32x z i x -=+--∈+是虚数，则实数x 的取值范围是（ D ） A.()(),11,-∞--+∞B.()2,0- C.()()2,11,0---D.-()332,,11,022⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4.已知复数()()2263103a a z a a i a R a +-=+--∈+满足zi ＞0或zi ＜0，求的a 值. 解：a=2 【学习评价】●自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ●当堂检测（3选2填或2选2填1解答） A 组（你一定行）：1. 实数m 取什么数值时，复数1(1)z m m i =-++是实数（ B ）A ．0B ．1-C ． 2-D ．3- 2. 如果复数a bi +与c di +的和是纯虚数，则有（ B ）A ．0b d +=且0a c +≠B ．0b d +≠且0a c +=C ．0a d +=且0b d +≠D ．0b c +=且0b d +≠3. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数,那么实数a 的值为（ C ） A ．1或2- B ．1-或2 C ．1或2 D ．1-或2- B 组（你坚信你能行）：4.若22-+++是纯虚数，则实数x(1)(32)x x x i的值是 1 .5. 若()(1)(23)(21)++-=+++，则x y y i x y y i实数x= 4 ；y= -2 .C组（我对你很有吸引力哟）：6.已知i是虚数单位，复数2(1)(23)4(2)=+-+-+，当m取何实数z m i m i i时，z是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零.解：(1) m=4或m=-1 (2) m≠4且m≠-1(3) m=-2 (4) m=4【小结与反思】。
人教版高中数学高二选修2-2第三章《数系的扩充与复数的概念》导学案(复习)
第三章《数系的扩充与复数的概念》导学案（复习） 考试大纲1．了解复数的基本概念；2．理解复数的几何意义，并且会灵活运用；3．掌握复数的四则运算，会复数的运算律和加减法的几何意义.典型例题精析专题一、复数的基本概念复数的分类和复数的实虚部的概念，要区分清楚，特别是虚数和纯虚数的区分，注意 复数不能比较大小的，如果两个复数能够比较大小，那么这两个复数一定都是实数.结合已有的知识做出灵活处理.注意格式和书写的规范.例1（1） 设复数z ＝(a ＋i)2在复平面上的对应点在虚轴负半轴上，则实数a 的值是( )A ．－1B ．1 C. 2 D ．－ 3（2）若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值为( )A ．1B ．±1C ．－1D ．－2例2 设存在复数z 同时满足下列条件：(1)复数z 在复平面内对应点位于第二象限；(2)z ·z ＋2i z ＝8＋a i (a ∈R )，试求a 的取值范围．例3 .已知R m ∈，复数2(2)3(1)2(1)z i m i m i =+-+--，当m 为何值时；（1）R z ∈；（2）零；（3）虚数；（4）纯虚数；（5）z 对应的点在直线x+y=0上.专题二、复数的四则运算及其灵活运用灵活运用复数的四则运算，掌握复数的加法和减法的几何意义，并且会灵活运用于解题. 例4 已知23||()2i z z z i i -++=+，其中z 是z 的共轭复数，求复数z .例 5(1)已知关于x 方程)(09)6(2R a ai x i x ∈=+++-有实根b ，求实数b a ,的值；(2)已知f(z)=|1+z |－z ，且f(－z )=10+3i ，求复数z .．专题三、综合运用例6 等差数列{}n a 的前n 项和为13193n S a i S i =+=+，，．(i 是虚数单位) （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ；（Ⅱ）设()n n S b n n*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．达标练习一、选择题1．200811i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝（ ）A ．2ｉB ．－1＋ｉC ．1＋ｉD ．12．如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为（ ）.A ．－2B ．1C ．2D ．1或 －2 3．若cos isin z θθ=-（i 为虚数单位），则使21z =-的θ值可能是（ ）A ．0B ．2π C ．π D ．2π 4．若∈+=-b a i b ii a ,,2其中R ，i 是虚数单位，则a b -的值为（ ） A. －1 B. －3 C. 3 D. 15.复数(3)(2)i m i +-+对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是（ ） A. 23m < B. 1m < C. 213m << D. 1m >6.已知复数1z i =+，则2z =（ ） A ． i 2- B ．i 2 C ． i -1 D ． i +17． “0a =”是“复数a bi +(,)a b R ∈是纯虚数”的( )A.必要不充分条件 B .充分不必要条件C .充要条件D .不充分不必要条件8.在复平面内, 复数1 + i 与31+i 分别对应向量OA 和OB , 其中O 为坐标原点,则=（ ） A.2 B.2 C.10 D. 4 二、填空题9．若复数()()2563i z m m m =-++-是实数，则实数m = ． 10.在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于第 象限.11.在复平面内, 复数1 + i 与31+-i 分别对应向量和, 其中O 为坐标原点,则= .12.设z 的共轭复数是z ，或z +z =4,z ·z ＝8，则zz 等于 2z 3z 613z 1i,_______.z 1-+=++.已知复数则复数的模为 14. i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++= ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，）15 . 已知复数3||,121=-=z i z ，那么||21z z -的最大值是 .参考答案例 1 （1） z ＝(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，据条件有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝02a ＜0，∴a ＝－1. A（2） 解法1：由x 2－1＝0得，x ＝±1，当x ＝－1时，x 2＋3x ＋2＝0，不合题意，当x ＝1时，满足，故选A.解法2：检验法：x ＝1时，原复数为6i 满足，排除C 、D ；x ＝－1时，原复数为0不满足，排除B ，故选A.A例2 解：设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，由(1)得x <0，y >0.由(2)得x 2＋y 2＋2i(x ＋y i)＝8＋a i.即x 2＋y 2－2y ＋2x i ＝8＋a i.由复数相等得，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝8，2x ＝a . 解得－6≤a ＜0.例3 解：（1）当(m+3)(m-1)=0，即m=-3或m=1时，R z ∈（2）当0)1)(3()1)(2(=-++--m m m m 时，z 对应的点在直线x+y=0上 解得211-==m m 或 例4 解：由已知得 2||()1z z z i i ++=-设,(,)z x yi x y R =+∈，代入上式得2221x y xi i ++=- 22121x y x ⎧+=∴⎨=-⎩，解得122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩ 故复数z为122-± 例5 解：（1）∵ 关于x 方程)(09)6(2R a ai x i x ∈=+++-有实根b ，∴ 2(6)90b i b ai -+++=,即269()0b b a b i -++-=∴ 26900b b a b ⎧-+=⎨-=⎩，解得：3a b ==（2）设z x yi =+(x 、)y R ∈,代入,2z bi a z =--得：|33|2||x yi i x yi ---=+ ∴=化简，整理得：22(1)(1)8x y ++-=∴ 复数z 对应的点的轨迹是以(1,1)P -为圆心，,OP =∴min ||z R OP =-22(1)(1)80y x x y x =-⎧⎪++-=⎨⎪>⎩解得：11x y =⎧⎨=-⎩ ∴ 当1z i =-时，min ||z例6 解：（Ⅰ）由已知得1113393a i a d i =+⎧⎨+=+⎩，，2d ∴=， 故21()n n a n i S n n i =-+=+，． （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S b n i n==+． 假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列，则2q p r b b b =．即2()()()q i p i r i +=++． 2()(2)0q pr q p r i ∴-+--=p q r *∈N ，，，2020q pr q p r ⎧-=∴⎨--=⎩，， 22()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪⎝⎭，，． 与p r ≠矛盾． 所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列． 达标练习1． D 2. A 3 .B 4 .A 5 .A 6.C 7.A 8.B9．310．四 解析：因sin 20,cos 20><所以sin 2cos2z i =+对应的点在第四象限. 11．2212．解析 ：可设2z bi =+，由8z z ⋅=得248, 2.b b +==±()2222.88i z z i z ±===± 13．214．答案：238i 2i 3i 8i i -2-3i +4+5i -6+7i +8=4-4i.++++= 15．23+。
高中数学 3.1 数系的扩充与复数的引入课件 新人教B版选修12
1.____形__如__a_＋__b_i(_a_、__b_∈__R_)_的__数_____叫做复数． 2．对于复数a＋bi，___当_且__仅__当__b_＝__0___时，它是实数a； ___b_≠_0___时，叫做虚数；当______a_＝__0_且_b_≠_0_时，叫做纯虚数； ______a_与_分b 别叫做复数a＋bi的实部与虚部． 3 ． _如__果_两__个__复__数__的_实__部__与__虚_部__分__(b_ù__fe_n_)别__相__等_ ， 我 们就 说 这 两个(liǎnɡ ɡè)复数相等．
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(2013·四川文)如图，在复平面(píngmiàn)内，点A表示复数
z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
A．A
B．B
C．C
D．D
[答案] B
[解析] 表示复数 z 的点 A 在第二象限，设 z＝a＋bi(a、b ∈R)，且 a<0，b>0，则 z 的共轭复数 z ＝a－bi，∴a<0，－b<0， 故应为 B 点．
[答案] －2 [解析] 根据复数相等的充要条件， 得lloogg22xx22－ ＋32xx－ ＋21＝ ＝30 ， 即xx22－ ＋32xx－ ＋21＝ ＝81 ， 解得 x＝－2.
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复数的几何意义 已知复数 x2－6x＋5＋(x－2)i 在复平面内对应的 点在第二象限，求实数 x 的取值范围． [分析] 根据复数在复平面内对应点所在的象限，确定实 部和虚部对应的不等式，由不等式组求出 x 的范围．
第二十七页，共44页。
[解析] ∵复数 x2－6x＋5＋(x－2)i 在复平面内对应的点在 第二象限，
∴x 满足xx2－－26>x0＋5<0 ，解得 2<x<5， ∴x∈(2,5)．
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陕西省榆林市育才中学高中数学 数系概念的扩展导学案 新人教版
选修1-2
学习目标： 1.使学生了解引入复数的必要性，了解数系的扩充过程.
2.理解并掌握复数的有关概念及分类，并掌握复数相等的概念.
3.复数的概念的理解及两个复数相等的充要条件.
一、自主学习
【复习回顾】：
1.数系的扩充
数系扩充的脉络是：________→________→________，
用集合符号表示为________⊆________⊆________，实际上前者是后者的真子集．
2.判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与∆的关系）：
（1）2340x x --= （2）2450x x ++=
（3）2210x x ++= （4）210x += 二、合作探究 探究一：复数的定义 问题：方程210x +=的解是什么？
为了解决此问题，我们定义21i i i ⋅==-，把新数添进实数集中去，得到一个新的数集，那么此方程在这个数集中就有解为 .
新知：形如bi a +的数叫做复数，通常记为bi a z +=（复数的代数形式），其中i 是虚数单位，a ，b 是实数.
对于复数bi a +）（R b ,a ∈，其中 叫做复数z 的实部， 叫做复数z 的虚部. 当 时，它是实数；当 时，它是虚数；当 时，它是纯虚数. 复数的全体组成的集合叫作复数集，记作C .
例1：说出下列复数的实部和虚部，并指出他们是实数还是虚数，若是虚数请指出是否是纯虚数.
23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0
变式： 实数m 取什么值时，复数1(1)z m m i =++-是:
（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
探究二：复数的相等
若两个复数bi a +与di c +的实部与虚部分别 ，即: ， ，则说这两个复数相等.
______________di c bi a ⇔+=+；________________0bi a ⇔=+. 例2.已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：,,a b k 的值.
三、课堂检测
1. 变式：设复数(,)z a bi a b R =+∈，则z 为纯虚数的必要不充分条件是（ ）
A ．0a =
B ．0a =且0b ≠
C ．0a ≠且0b =
D ．0a ≠且0b ≠ 2. 若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是
3．若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，求,x y 的值.
四、课堂小结
1.复数的有关概念及它们之间的关系；
2. 两复数相等的充要条件；
3. 数集的扩充.
五、课后训练：
1. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数,那么实数a 的值为（ ）
A ．1或2-
B ．1-或2
C ．1或2
D ．1-或2-
2. 已知i 是虚数单位，复数2(1)(23)4(2)z m i m i i =+-+-+，当m 取何实数时，z 是：
（1）实数；（2） 虚数；（3）纯虚数；（4）零.
3.求适合下列方程的实数与的值:
(1)(32)(5)172x y x y i i ++-=-
(2)(3)(4)0x y x i +-+-=。