湖南省长郡中学高一数学上学期第二次模块检测试题
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}12A x x =-<<，{}220B x x x =-<，则AB =（ ）A. ()10-， B. ()02， C. ()20-， D. ()22-，【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得AB .【详解】由()2220x x x x -=-<，解得02x <<，所以()0,2A B =.故选：B.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.函数()f x =的定义域为（ ） A. (]30-， B. ()31-， C. ()3-∞-，D.()(]331-∞--，，【答案】A 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】依题意，12030x x ⎧-≥⎨+>⎩，解得30x -<≤.故选：A.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，主要是偶次方根的被开方数为非负数，分式分母不为零，属于基础题.3.若函数f （x ）＝()()()2111a xx ax x ⎧-≥⎪⎨+<⎪⎩在R 上是增函数，则a 的取值范围为（）A. （﹣∞，2)B. （0，2）C. （0，12] D. [12，2） 【答案】C 【解析】 【分析】函数f （x ）＝()()()2111a xx ax x ⎧-≥⎪⎨+<⎪⎩在R 上是增函数，等价于当1x ≥时，()(2)=-f x a x 是增函数，当1x <时，()1f x ax =+是增函数；另外还要满足()f x 在分界点1x =处，左边的函数值小于等于右边的函数值，即12+≤-a a ，通过解不等式组，可确定a 的取值范围. 【详解】由1x ≥时，()(2)=-f x a x 是增函数，得20a ->，即2a <；由1x <时，()1f x ax =+是增函数，得0a >；又()f x 的定义域为R ，所以在1x =应有12+≤-a a ，即12a ≤，综上，实数a 的取值范围是1(0,]2，故选C. 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性,容易忽略对分界点左右两边的函数值大小关系进行讨论.4.下列函数既是偶函数，又在（0，+∞）上为增函数的是（ ） A. y x = B. y ＝2x -C. y ＝|x|D. 1y x=【答案】C 【解析】 【分析】逐一判断每个函数的奇偶性和单调性，可得正确答案.【详解】对于A ， y x =，为奇函数，不符合题意；对于B ，2y x =-，为偶函数，在(0,)+∞上单调递减，不符合题意；对于C ， y x =，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增，符合题意；对于D ，1y x=，为奇函数，不符合题意；故选C.【点睛】本题主要考查常见函数的单调性和奇偶性的判断，较基础.5.函数[]211,1y x x x =-+∈-，的最大值与最小值之和 （ ） A. 1.75 B. 3.75 C. 4 D. 5【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数的对称轴，判断其在[]1,1-上的单调性，根据单调性求出最值，即可得出结果。
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题高一期中考试本试卷分第Ⅰ卷﹙选择题﹚和第Ⅱ卷﹙非选择题﹚两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷第一部分：听力（共两小节，满分30分）该部分分为第一、第二两节，注意，做题时，请先将答案标在试卷上，该部分录音内容结束后，你将有两分钟的时间将你的答案转涂到客观题答题卡上。
第一节（共5题：每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，井标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有 10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题，每段对话仅读一遍。
1. What programs does the woman prefer?A. Talk shows.B. Sports programs.C. Cooking programs.2. What does the woman ask the man to do?A. Have dinner.B. Pick up a gift.C. Look at a piece of jewelry.3. What does the man usually take with him on vacation?A. A suitcase.B. A backpack.C.A sports bag.4. How does Anna feel about chemistry?A. Worried.B. Confident.C. Hopeless.5. Why did the man choose the guitar?A. He needs a cheap instrument.B. He wants to be like his friends.C. He thinks it is cool to play the guitar.第二节（共15题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．15B．．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的坐标为和C，已知点A(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若6AE=，23CE=，求»AC14．为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看数没有标出）.根据上述信息，解答下列各题：(1)该班级女生人数是________，女生收看“两会”新闻次数的中位数是________；(2)对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数；(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量（如表）.(1)当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；(2)在（1）的条件下，已知二次函数2y x=-+AH右侧的抛物线沿AH对折，交y轴于点M，(1)求出此函数图象的顶点坐标（用含(2)当4a=时，此函数图象交x轴于点为x轴下方图象上一点，过点P作(3)点(21,3)---，(0,3) M a aN a--再根据两点之间，线段最短可得蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是此长方形的对角线B长，然后运用勾股定理可完成解答．【详解】如图所示：三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(23)315+´=，则蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是此长方形的对角线长．B点的最短路程为x，可设蚂蚁沿台阶面爬行到B，由勾股定理得：2222x=+=201525解得：25x=，即蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程为25．故选：C7．C【分析】过点C作CH y^轴于点H，过点A作AG y^轴于点G，易证()@V V，AGO OHC AAS根据全等三角形的性质，求出点C坐标，利用待定系数法求解即可．【详解】过点C作CH y^轴于点G，如图所示：^轴于点H，过点A作AG y则有90CHO OGA Ð=Ð=°，90HCO HOC \Ð+Ð=°，ABCO Q 是正方形，OA OC \=，90COA Ð=°，90COH AOG \Ð+Ð=°，AOG HCO \Ð=Ð，()AGO OHC AAS \@V V ，HC OG \=，HO GA =，(1,2)A -Q ，1GA \=，2OG =，(2,1)C \，将A ，C 点坐标代入y kx b =+，得221k b k b +=-ìí+=î，解得3k =，在矩形AOCD中，AO则APH ATPÐ=Ð=Ð∴90Ð+Ð=APT HPJV V∽，四ATP PJH==,AT OJ AO TJAM AM=¢，由6,3AO AD==可得点代入二次函数2y x bx =-+236y x x=-++.由（1）可知45MAM¢Ð=答案第161页，共22页。
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题
27 8
ö÷ø
2 3
+ (1.5)-2 ；
试卷第41 页，共33 页
1
（2）若 x2
+
x
-
1 2
=
3 ，求
x3 + x-3 x + x-1 + 7
的值.
六、问答题
18．已知全集为 R
，集合
A
=
{x
2m
-1 £
x
£
m +1} ， B
=
ì í
x
î
2
3 -
x
³
2üý . þ
(1)若
m
=
1 2
，求
A
I
(ðR B )
=
-2x x2 -1
=
-
f
(x)
，故函数为奇
函数，故排除 BD，
由
f
(2)
=
4 3
>
0
，
f
æ çè
1 2
ö ÷ø
=
1
-
3 4
=
-
4 3
，故
C
错误，
故选：A. 4．B 【分析】根据题意建立函数关系即可. 【详解】如图，
答案第11 页，共22 页
圆的直径 AC = 2OC = 50cm ，矩形的边 AB = x cm. ∵ ÐABC = 90° ， ∴由勾股定理，得 BC = 2500 - x2cm ， ∴矩形 ABCD 的面积 y = AB × BC = x × 2500 - x2 cm2 ， 又∵ 0 < AB < AC = 50 ， ∴ 0 < x < 50 . 故选：B. 5．C 【分析】根据函数的定义域和值域的定义，结合函数图象进行求解即可.
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学大联考高三(上)月考数学试卷(二)(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学大联考高三（上）月考数学试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x||x|⩽2}，B ={t|1⩽2t ⩽8(t ∈Z)}，则A ∩B =( )A. [−1,3]B. {0,1}C. [0,2]D. {0,1,2}2.已知复数z 满足|z−i|=1，则|z|的取值范围是( )A. [0,1]B. [0,1)C. [0,2)D. [0,2]3.已知p ：f(x)=ln(21−x +a)(−1<x <1)是奇函数，q ：a =−1，则p 是q 成立的( )A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.若锐角α满足sinα−cosα=55，则sin (2α+π2)=( )A. 45B. −35 C. −35或35D. −45或455.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是( )A. 理科男生多于文科女生B. 文科女生多于文科男生C. 理科女生多于文科男生D. 理科女生多于理科男生6.如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm ，上底面的直径为8cm ，高为4cm ，已知点P 是上底面圆周上不与直径AB 端点重合的一点，且AP =BP ，O 为上底面圆的圆心，则OP 与平面ABC 所成的角的正切值为( )A. 2B. 12C.5D.557.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y =kx +12与圆C ：x 2+y 2=1交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最大值为( )A. 1B. 12C.32D.348.设函数f(x)=(x 2+ax +b)lnx ，若f(x)≥0，则a 的最小值为( )A. −2B. −1C. 2D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
长郡中学2025届高三上学期月考(二)数学试卷(解析版)
长郡中学2025届高三月考试卷（二）数学得分__________．本试卷共8页．时量120分钟．满分150分．一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}(){}2,128tAxx B t t ==∈Z ∣∣ ，则A B = （ ）A. []1,3−B. {}0,1C. []0,2D. {}0,1,2【答案】D 【解析】【分析】解绝对值不等式与指数不等式可化简集合,A B ，再利用交集的定义求解即可.【详解】{}{}|2=22A x x xx =≤−≤≤∣， 由指数函数的性质可得(){}{}1280,1,2,3tB t t =≤≤∈=Z ∣，所以{}{}{}220,1,2,30,1,2A B xx ∩−≤≤∩∣. 故选：D.2. 已知复数z 满足i 1z −=，则z 的取值范围是（ ） A. []0,1 B. [)0,1C. [)0,2D. []0,2【答案】D 【解析】【分析】利用i 1z −=表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆，z 表示圆上的点到原点的距离可得答案. 【详解】因为在复平面内，i 1z −=表示到点(0,1)距离为1的所有复数对应的点， 即i 1z −=表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆， z 表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为0，最长距离为112+=，则z 的取值范围是[0,2]. 故选：D3. 已知()2:ln (11)1p f x a x x=+−<< −是奇函数，:1q a =−，则p 是q 成立的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】当p 成立，判断q 是否成立，再由q 成立时，判断p 是否成立，即可知p 是q 成立何种条件.【详解】由()f x 奇函数，则()00f =，即()ln 20a +=，解得1a =−， 所以p q ⇒，当1a =−时，()21ln 1ln 11x f x x x +=−=−−，11x −<<， ()()1111ln ln ln 111x x x f x f x x x x −−++∴−===−=− +−−，所以()f x 是奇函数， 所以p q ⇐， 所以p 是q 的充要条件. 故选：A.4. 若锐角α满足sin cos αα−sin 22πα+=（ ） A.35B. 35C. 35 或35D. 45−或45【答案】B 【解析】【分析】先利用辅助角公式求出πsin 4α−，再利用角的变换ππsin 2sin 2π24αα+=−+，结合诱导公式和二倍角公式求解即可.【详解】由题意可得πsin cos 4ααα−=−=πsin 4α−.是因为α是锐角，所以πππ,444α −∈−，πcos 4α −所以πππππsin 2sin 2πsin 22sin cos 24444ααααα+=−+=−−=−−−325=−=−. 故选：B.5. 某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（ ）A. 理科男生多于文科女生B. 文科女生多于文科男生C. 理科女生多于文科男生D. 理科女生多于理科男生【答案】C 【解析】【分析】将问题转化不等式问题，利用不等式性质求解. 【详解】根据已知条件设理科女生有1x 人，理科男生有2x 人， 文科女生有1y 人，文科男生有2y 人；根据题意可知1212x x y y +>+，2211x y x y +<+，根据异向不等式可减的性质有()()()()12221211x x x y y y x y +−+>+−+， 即有12x y >，所以理科女生多于文科男生，C 正确.其他选项没有足够证据论证. 故选：C.6. 如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm ，上底面的直径为8cm ，高为4cm ，已知点P 是上底面圆周上不与直径AB 端点重合的一点，且,AP BP O =为上底面圆的圆心，则OP 与平面ABC所成的角的正切值为（ ）为A. 2B.12C.D.【答案】A 【解析】【分析】作出直线OP 与平面ABC 所成的角，通过解直角三角形来求得直线OP 与平面ABC 所成的角的正切值.【详解】设O ′为下底面圆的圆心，连接,OO CO ′′和CO ， 因为AP BP =，所以AB OP ⊥，又因为,,AB OO OP OO O OP OO ′′⊥=⊂′ 、平面OO P ′，所以AB ⊥平面OO P ′， 因为PC 是该圆台的一条母线，所以,,,O O C P ′四点共面，且//O C OP ′， 又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面POC ，又因为平面ABC 平面POC OC =，所以点P 在平面ABC 的射影在直线OC 上， 则OP 与平面ABC 所成的角即为POC OCO ∠=∠′，过点C 作CD OP ⊥于点D ，因为4cm,2cm OP O C ′==， 所以tan tan 2OO POC OCO O C∠=′′∠==′. 故选：A7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:2l y kx =+与圆22:1C x y +=交于,A B 两点，则AOB 的面积的最大值为（ ）A. 1B.12C.D.【答案】D 【解析】【分析】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出AOB 的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论.【详解】根据题意可得直线1:2l y kx =+恒过点10,2E，该点在已知园内， 圆22:1C x y +=的圆心为()0,0C ，半径1r =，作CD l ⊥于点D ，如下图所示：易知圆心C 到直线l 的距离为12CD CE ≤=，所以1cos 2CD DCB CB ∠=≤， 又π0,2DCB∠∈，可得ππ,32DCB∠∈； 因此可得2π2,π3ACB DCB∠=∠∈，所以AOB 的面积为112πsin 11sin 223AOB S CA CB ACB =∠≤×××= 故选：D 8. 设函数()()2ln f x xax b x =++，若()0f x ≥，则a 的最小值为（ ）A. 2−B. 1−C. 2D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数性质判断ln x 在不同区间的符号，在结合二次函数性质得1x =为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值.【详解】函数()f x 定义域为(0,)+∞，而01ln 0x x <<⇒<，1ln 0x x =⇒=，1ln 0x x >⇒>， 要使()0f x ≥，则二次函数2y x ax b =++，在01x <<上0y <，在1x >上0y >， 所以1x =为该二次函数的一个零点，易得1b a =−−， 则2(1)(1)[(1)]y x ax a x x a =+−+=−++，且开口向上， 所以，只需(1)0101a a a −+≤⇒+≥⇒≥−，故a 的最小值为1−.故选：B二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 已知2n >，且*n ∈N ，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（ ） A. 若1(,)3X B n ，则()22113E X n ++ B. 若1(,)3X B n ，则()4219D X n += C. 若1(,)3X B n ，则()()11P X P X n ===−D. 当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布 【答案】BC 【解析】【分析】利用二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质计算判断AB ；利用二项分布的概率公式计算判断C ；利用二项分布与超几何分布的关系判断D.【详解】对于A ，由1(,)3X B n ，得()13E X n =，则()22113E X n ++，A 正确； 对于B ，由1(,)3X B n ，得()122339D X n n =×=，则()()82149D X D X n +==，B 错误； 对于C ，由1(,)3X B n ，得11111221(1)C (),(1)C ()3333n n n n n P X P X n −−−==××=−=××，故(1)(1)P X P X n =≠=−，C 错误；对于D ，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D 正确. 故选：BC10. 已知函数()sin cos (,0)f x x a x x ωωω=+∈>R 的最大值为2，其部分图象如图所示，则（ ）A. 0a >B. 函数π6f x−为偶函数 C. 满足条件的正实数ω存在且唯一 D. ()f x 是周期函数，且最小正周期为π 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，求得函数π()2sin(2)3f x x =+，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由函数()sin cos )f x x a x x ωωωϕ=++，且tan a ϕ=，因为函数()f x 的最大值为22=，解得a =，又因为(0)0f a =>，所以a =A 正确； ()πsin 2sin 3f x x x x ωωω ==+因为πππ2sin 1443f ω=+= ，且函数()f x 在π4的附近单调递减，所以ππ5π2π,Z 436k k ω++∈，所以28,Z k k ω=+∈，又因为π24T >，可得π2T >π2>，解得04ω<<，所以2ω=， 此时π()2sin(2)3f x x =+，其最小正周期为πT =，所以C 、D 正确； 设()πππ2sin 22sin 2663F x f x x x=−=−+=，()()2sin[2()]2sin 2F x x x F x −=−=−=−，所以FF (xx )为奇函数，即函数π()6f x −为奇函数，所以B 不正确. 故选：ACD.11. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线交x 轴于点D ，直线l 经过F 且与C 交于,A B 两点，其中点A 在第一象限，线段AF 的中点M 在y 轴上的射影为点N .若MN NF =，则（ ）A. lB. ABD △是锐角三角形C. 四边形MNDF2 D. 2||BF FA FD ⋅> 【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意分析可知MNF 为等边三角形，即可得直线l 的倾斜角和斜率，进而判断A ；可知直线l 的方程，联立方程求点,A B 的坐标，求相应长度，结合长度判断BD ；根据面积关系判断C.【详解】由题意可知：抛物线的焦点为,02p F，准线为2px =−，即,02p D −，设()()112212,,,,0,0A x y B x y y y ><， 则111,,0,2422x y y p M N+，可得， 因为MN NF =，即MN NF MF ==，可知MNF 为等边三角形，即60NMF ∠=°，且MN ∥x 轴，可知直线l 的倾斜角为60°，斜率为tan 60k =°=，故A 正确；则直线:2p l y x =− ，联立方程222p yx y px=− =，解得32p x y ==或6p x y p= =，即32p A，,6p B p，则,M p p N p，可得28,,,2,,33DFp AD p BDp FA p FB p AB p ======，在ABD △中，BD AD AB <<，且2220BD AD AB +−<， 可知ADB ∠为最大角，且为锐角，所以ABD △是锐角三角形，故B 正确；四边形MNDF 的面积为21122MNDF BDF MNF S S S p p p p p =+=×+×=△△，故C 错误； 因为224,3FB FA p FD p ⋅==，所以2||BF FA FD ⋅>，故D 正确； 故选：ABD.【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解； （2）面积问题常采用12S =× 底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在ABC 中，AD 是边BC 上的高，若()()1,3,6,3AB BC==，则AD =______．【解析】【分析】设()6,3BD mBC m m == ，表达出()61,33AD m m =++ ，根据垂直关系得到方程，求出13m =−，进而得到答案.【详解】设()6,3BD mBC m m == ，则()()()1,36,361,33AD AB BD m m m m =+=+=++，由0AD BC = 得6(61)3(33)366990AD BC m m m m =+++=+++=，解得13m =−，故()()12,311,2AD =−−=− ，所以||AD ..13. 已知定义在RR 上的函数()f x 满足()()23e xf x f x =−+，则曲线yy =ff (xx )在点()()0,0f 处的切线方程为_____________. 【答案】3y x =+ 【解析】【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程. 【详解】因为()()23e xf x f x =−+，所以()()23e x f x f x −−=+，联立可解得()=e 2e xx f x −+，所以()03f =，所以()()e2e ,01xx f x f −=′−+=′. 所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为3y x −=， 故所求的切线方程为3y x . 故答案为：3y x .14. 小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子,A B 中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将B 中的1颗糖放入A 中，否则将A 中的1颗糖放入B 中，直到无法继续游戏．那么游戏结束时B 中没有糖的概率是__________． 【答案】117【解析】【分析】设最初在A 中有k 颗糖，B 中有6k −颗糖时，游戏结束时B 中没有糖的概率为()0,1,,6k a k = ，归纳找出递推关系，利用方程得出0a ，再由递推关系求3a .【详解】设A 中有k 颗糖，B 中有6k −颗糖，游戏结束时B 中没有糖的概率为()0,1,,6k a k = . 显然0113a a =，()65112112,153333k k k a a a a a k +−=+=+≤≤，可得()112k k k k a a a a +−−=−，则()566510022a a a a a −=−=，()65626765040010002222221a a a a a a a a a a ∴=+=++=+++=− ，同理()256510002221a a a a a =+++=− ，()()760021212133a a ∴−=−+，解得011385255a ==× ()430112115.25517a a ∴=−=×=故答案为：117【点睛】关键点点睛：本题的关键在于建立统一的一个6颗糖果放入2个盒子不同情况的模型，找到统一的递推关系，利用递推关系建立方程求出0a ，即可得出这一统一模型的答案.四､解答题（本大题共5小题，共77分，解签应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列{}n a 中，11a =，且0,n n a S ≠为数列{}n a 的前nn a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1(1)n n n n n c a a +−=，求数列{}n c 的前n 项和． 【答案】（1）21na n =− （2）421,42n n n n T n n n − += + − + ，为偶数为奇数 【解析】【分析】(1)1={aa nn }的通项公式； (2) 求出(1)1142121n n c n n − =+ −+，再讨论n 为奇、偶数，利用裂项相消法即可求数列{}n c 的前n 项和. 【小问1详解】 根据题意知1,2n n n a S S n −=−≥0n a +≠=②，1,2n =≥，所以可得1=为首项，1为公差的等差数列，11n n =+−=，所以2n S n =，121,2n n n a n S S n −−==−≥，当1n =时11a =也满足该式，所以21na n =−. 【小问2详解】由(1)结论可知21n a n =−，所以()()1(1)(1)(1)11212142121n n n n n n n n c a a n n n n +−−− ===+ −+−+， 设{}n c 的前n 项和为n T ，则当n 为偶数时，111111111111433557212142142n n T n n n n =−+++−++++=−+=− −+++则当n 为奇数时，1111111111111433557212142142n n T n n n n + =−+++−++−+=−−=− −+++所以421,42n n n n T n n n − += + − + ，为偶数为奇数.16. 如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形CDEF 均为等腰梯形，AB∥,CD EF ∥,224CD CD AB EF ===，AD DE AE ===.（1）证明：平面ABCD ⊥平面CDEF ；（2）若M 为线段CD 1=，求二面角A EM B −−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）通过勾股定理及全等得出线线垂直，应用线面垂直判定定理得出OE ⊥平面ABCD ，由OE ⊂平面CDEF 进而得出面面垂直；（2）由面面垂直建立空间直角坐标系，分别求出法向量再应用向量夹角公式计算二面角余弦值.【小问1详解】证明：在平面CDEF 内，过E 做EO 垂直于CD 交CD 于点O ，由CDEF 为等腰梯形，且24CD EF ==，则1,DO =又OE =，所以2OE ，连接AO ，由ADO EDO ≅ ，可知AO CD ⊥且2AO =，所以在三角形OAE 中，222AE OE OA =+，从而OE OA ⊥，又,,,OE CD OA CD O OA CD ⊥∩=⊂平面ABCD ，，所以OE ⊥平面ABCD ， 又OE ⊂平面CDEF ，所以平面ABCD ⊥平面CDEF【小问2详解】由（1）知，,,OE OC OA 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,2,2,0,0,0,2,0,0,2,2A E M B ，()()()2,0,2,2,2,0,0,0,2AE EM MB =−=−= ，设平面AEM 的一个法向量为(),,n x y z =， 则00n AE n EM ⋅= ⋅=，即220220x z x y −= −+= ， 取1z =，则()1,1,1n = ，设平面BEM 的一个法向量为()111,,m x y z =， 则00m MB m EM ⋅= ⋅=，即11120220z x y = −+= ， 取11y =，则()1,1,0m = ，所以cos,m nm nm n⋅==⋅由图可以看出二面角A EM B−−为锐角，故二面角A EM B−−.17. 已知函数2()e2,Rxf x ax a=−∈．（1）求函数()f x的单调区间；（2）若对于任意的0x>，都有()1f x≥恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）(],1−∞【解析】【分析】（1）对2()e2xf x ax=−求导，可得2()2e2xf x a′=−，再分类讨论a的取值，得出导数的正负即可得出单调区间；（2）对a进行分类讨论，根据导数正负求得()f x的最小值，判断是否满足()1f x≥，即可求解．【小问1详解】对2()e2xf x ax=−求导，可得2()2e2xf x a′=−，令()0f x′=，即22e20x a−=，即2e x a=，当0a≤时，ff′(xx)>0恒成立，()f x在R上单调递增；当0a>时，21e,2ln,ln2x a x a x a===，当1ln2x a<时，()()0,f x f x′<在1,ln2a∞−上单调递减；当1ln2x a>时，ff′(xx)>0，()f x在1ln,2a∞+上单调递增；综上，当0a≤时，()f x单调递增区间为R；当0a>时，()f x的单调递减区间为1,ln2a∞−，单调递增区间为1ln,2a∞+．【小问2详解】因为对于任意的0x>，都有()1f x≥恒成立，的的对2()e 2x f x ax =−求导，可得2()2e 2x f x a ′=−，令()0f x ′=，即22e 20x a −=，即2e x a =，①当0a ≤时，ff ′(xx )>0，则()f x 在(0,+∞)单调递增，()()01f x f >=，符合题意； ②当01a <≤时，2e x a =，则1ln 02x a ≤， 则()0f x ′>，()f x 在(0,+∞)单调递增，()()01f x f >=，符合题意； ③当1a >时，2e x a =，则1ln 02xa >， 当10,ln 2x a∈ 时，()0f x ′<，则()f x 在10,ln 2a单调递减， 当1ln ,2x a ∞ ∈+ 时，()0f x ′>，则()f x 在1ln ,2a ∞ +单调递增， 所以()ln 11ln e 2ln ln 22a f x f a a a a a a ≥=−⋅=−， 令()ln ,1g a a a a a =−>，则()ln 0g a a ′=−<， 所以()g a 在(1,+∞)上单调递减，所以()()11g a g <=，不合题意； 综上所述，(],1a ∞∈−．18. 已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b−=>>的左､右焦点分别为12,,F F E 的一条渐近线方程为y =，过1F 且与x 轴垂直的直线与E 交于P ，Q 两点，且2PQF 的周长为16.（1）求E 的方程；（2）,A B 为双曲线E 右支上两个不同的点，线段AB 的中垂线过点()0,4C ，求ACB ∠的取值范围.【答案】（1）22:13y E x −=； （2）2π0,3. 【解析】 【分析】（1）将x c =−代入曲线E 得2b y a =±，故得211b PF QF a==，从而结合双曲线定义以及题意得24416b a b a a = +=，解出,a b 即可得解. （2）设:AB y kx m =+，联立双曲线方程求得中点坐标，再结合弦长公式求得ACM ∠的正切值，进而得ACM ∠范围，从而由2ACB ACM ∠=∠即可得解.【小问1详解】将x c =−代入2222:1(0,0)x y E a b a b −=>>，得2b y a=±， 所以211b PF QF a==，所以2222b PF QF a a ==+，所以由题得24416b a b a a= +=，1a b = ⇒ = 所以双曲线E 的方程为22:13y E x −=. 【小问2详解】由题意可知直线AB斜率存在且k ≠，设:AB y kx m =+，AA (xx 1,yy 1),BB (xx 2,yy 2),设AB 的中点为M . 由2233y kx m x y =+ −=消去y 并整理得222(3)230k x kmx m −−−−=，230k −≠， 则22222(2)4(3)(3)12(3)0km k m m k ∆=+−+=+−>，即223m k >−， 12223km x x k+=−，212233m x x k +=−−，12122226()2233km m y y k x x m k m k k +=++=⋅+=−−，于是M 点为2(3km k −，23)3m k −，2223431243M C MC M m y y m k k k km x kmx k −−−+−===−. 由中垂线知1A MC B k k ⋅=−，所以231241m k km k−+=−，解得：23m k =−. 所以由,A B 在双曲线的右支上可得：22221220333033m m x x m k k k m+−<+=−=>⇒⇒=−>−， 且12222003km x x k k k+>⇒>−， 且()()()()()22222222Δ43390333403m k k k k k k =−+>⇒−+−=−−>⇒<或24k >， 综上24k >即2k >，又CM =， 所以tan AM ACM CM ∠===因为24k >，所以213m k =−<−，故2333k 0−−<<(， 所以π0,3ACM∠∈. 所以2π20,3ACB ACM∠=∠∈ . 19. 对于集合,A B ，定义运算符“Δ”:Δ{,A B x x A x B =∈∈∣两式恰有一式成立}，A 表示集合A 中元素的个数．（1）设][1,1,0,2A B =−= ，求ΔA B ；（2）对于有限集,,A B C ，证明ΔΔΔA B B C A C +≥，并求出固定,A C 后使该式取等号的B 的数量；（用含,A C 的式子表示）（3）若有限集,,A B C 满足ΔΔΔA B B C A C +=，则称有序三元组(),,A B C 为“联合对”，定义{}*1,2,,,I n n ∈N ，(){},,,,u A B C A B C I ⊆∣． ①设m I ∈，求满足ΔA C m =的“联合对”(),,A B C u ⊆的数量；（用含m 的式子表示） ②根据（2）及（3）①的结果，求u 中“联合对”的数量．【答案】（1）[1,0)(1,2]−∪（2）||2A C ∆（3）①C 2m n m n +⋅②6n【解析】【分析】（1）根据新定义，对区间逐一分析即可得解；（2）利用韦恩图及新定义，求出不等式等号成立的条件，利用集合的性质转化为求子集个数； （3）①分别求出(),A C ,B 取法的种数，再由分步乘法计数原理得解②结合（2）及（3）①的结果，利用二项式定理求解.【小问1详解】对于,,[1),0x x A x B −∈∈∉，故x A B ∈∆；对于,,[0,1]x x A x B ∈∈∈，故x A B ∉∆；对于,,(1,2]x x A x B ∉∈∈，故x A B ∈∆；对于,,[1],2x x A x B ∉−∉∉，故x A B ∉∆，即[10)(12],,A B −∆ .【小问2详解】画出Venn 图，如图，将A B C 划分成7个集合17,,S S ，则14562547||||||||||,||||||||||A B S S S S B C S S S S ∆=+++∆=+++，1267||||||||||A C S S S S ∆=+++，故45||||||2||2||0A B B C A C S S ∆+∆−∆=+≥不等式成立，当且仅当45S S ==∅时取等号， 4S =∅等价于()A C B ∩⊆，5S =∅等价于()B A C ⊆∪，故当且仅当()()A C B A C ∩⊆⊆∪取等号. 设()B A C D =∩∪，其中集合D 与A C 无交集，由于()\()A C A C A C ∆= ，故有()()\ΔD A C A C A C ∅⊆⊆∪∩=，即D 为A C ∆的某一子集，有||2A C ∆种，从而使上式取等的B 有||2A C ∆个.【小问3详解】①设X A C u =∆⊆，有||X m =，故X 有C m n 种取法，对于每一个x ，知X 中每一个元素x 有两种情形：,x A x C ∈∉或,x A x C ∉∈，且/I X 中每一个元素x 有两种情形：,x A x C ∈∉或,x A x C ∉∈，故,x I x ∀∈共有两种选择，也就是这样的(),A C 有||22I n =种，对于每一个(),A C ，由（2）知B 有||22A C m ∆=种取法.故由乘法原理，这样的“联合对(),,A B C 有C 2m n m n +⋅个.②由①知，u 中“联合对”的数量为()00C 22C 212216n n n m n m n m m n m n n nnm m +−===⋅=+=∑∑(二项式定理)， 故u 中“联合对”(),,A B C 的数量为6n .【点睛】关键点点睛：集合新定义问题的关键在于理解所给新定义，会抽象的利用集合的知识，分步乘法计数原理，二项式定理推理运算，此类问题难度大.。
长郡中学2024-2025学年高一上学期综合能力检测(入学分班考试)数学试卷(解析版)
长郡中学2024级高一综合能力检测试卷数学时量：90分钟 满分100分一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符题目要求的.1. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1=万1万，1兆1=万1×万1×亿．若1兆10m=，则m 的值为（ ） A. 4 B. 8C. 12D. 16【答案】D 【解析】【分析】由指数幂的运算性质即可求解. 【详解】1万=410，所以1亿=810， 所以1兆=8816101010×=， 所以16m =. 故选：D2. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒大寒），若从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ） A.12B.112C.16D.14【答案】D 【解析】【分析】根据概率的计算公式即可求解.【详解】从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为61244=， 故选：D3. 如图，矩形ABCD 中，3AB =，1AD =，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 所表示的数为（ ）A. 2B.1−C.D.1【答案】B 【解析】【分析】利用勾股定理和数轴的知识求得正确答案.【详解】由于AC =，所以点M所表示的数为)231+−=−.故选：B4. 若关于x 的不等式组()532223x x x x a + ≥−+<+恰好只有四个整数解，则a 的取值范围是（ ）A. 53a <−B. 5433a −≤<− C. 523a −<−≤D. 523a −<<−【答案】C 【解析】【分析】化简不等式组，由条件列不等式求a 的取值范围. 【详解】解不等式532x x +≥−，得11x ≤， 解不等式()223x x a +<+，得23x a >−， 由已知可得7238a ≤−<， 所以523a −<−≤.故选：C.5. 在ABC ，3AC =，4BC =，5AB =，点P 在ABC 内，分别以A ，B ，P 为圆心画圆，圆A 的半径为1，圆B 的半径为2，圆P 的半径为3，圆A 与圆P 内切，圆P 与圆B 的关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 相离【答案】B 【解析】【分析】由题意条件分析两圆圆心距与两半径和差的大小关系即可得. 【详解】由圆A 与圆P 内切，则312PA =−=，5AB =， 又点P 在ABC 内，则PA PB AB +>，且PB AB <， 所以523PB AB PA >−=−=，且5PB <， 则3232PB −<<+，由圆B 的半径为2，圆P 的半径为3， 所以圆P 与圆B 相交. 故选：B.6. 对于正整数k 定义一种运算：1()[][]44k k f k +=−，例：313(3)[][]44f +=−，[]x 表示不超过x 的最大整数，例：[3.9]3=，[ 1.8]2−=−．则下列结论错误的是（ ） A. ()10f =B. ()0f k =或1C. ()()4f k f k +=D. ()()1f k f k +≥【答案】D 【解析】【分析】根据给定的定义，逐项计算判断即可.【详解】对于A ，11(1)[][]00024f =−=−=，A 正确； 对于B ，取4,1,2,3,4k n i i =+=，n 为自然数， 当4i =时，1()[1][1][1]044f k n n ++−+，当3i =时，33()[1][]1([])144f k n n n n =+−+=+−+=，当1,2i =时，11()[][][]([])04444i i i if k n n n n ++=+−+=+−+=，B 正确； 对于C ，11(4)[1][1]1[](1[])()4444k k k kf k f k +++=+−+=+−+=，C 正确； 对于D ，414313(31)[][]0,(3)[][]14444f f +++=−==−=，即(31)(3)f f +<，D 错误.故选：D7. 如图，点A 为反比例函数()10y x x=−<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例函数()40yx x=>的图象交于点B ，则AO BO 的值（ ）A.12B.14C.D.13【答案】A 【解析】【分析】设121214,,,A x B x x x −，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ，由AO BO ⊥，得∽∠ AOE OBF ，由==AEEO AO OFBF BO，可得答案. 【详解】设AA �xx 1,−1xx 1�,BB �xx 2,4xx 2�(xx <0,xx 2>0)，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ， 且()()12,0,,0E x F x ，因为AO BO ⊥，所以,∠=∠∠=∠AOE OBF OAE BOF ， 所以∽∠ AOE OBF ，所以AE EO OF BF =，可得112214−−=x x x x ，即22124x x =，所以122x x =−， 所以12121211==−==−=A Ex x x OA BO OFx.故选：A.8. 若二次函数的解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤，且函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，则q 的取值范围是（ ） A. 124q −≤≤ B. 50q −≤≤C. 54q −≤≤D. 123q −≤≤【答案】A 【解析】【分析】由二次函数解析式可求得对称轴为1x m =+，进而可得412p p m ++=+，由函数图象过点(),p q ，可得2(1)4q m =−−+，可求q 的取值范围.【详解】因为二次函数解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤， 所以二次函数的对称轴为1x m =+，函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，故点(),p q 和点()4,p q +关于直线1x m =+对称， 所以412p p m ++=+，所以1[0,4]p m −∈， 又()()()()2222121223(1)4q p m p m m m m m m =−−=−−−−=−++=−−+， 当1m =，max 4q =，当5m =，min 12q =−，所以124q −≤≤. 故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．9. 分解因式：432449a a a −+−=______． 【答案】2(23)(1)(3)a a a a −++− 【解析】【分析】根据给定条件，利用公式法及十字相乘法分解因式即可得解.【详解】43222222449(2)9(23)(23)(23)(1)(3)a a a a a a a a a a a a a −+−=−−=−+−−=−++−. 故答案为：2(23)(1)(3)a a a a −++−的10. 直线1:1l y x =−与x 轴交于点A ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转15°，得到直线2l ，则直线2l 对应的函数表达式是______．【答案】y =【解析】【分析】先求得2l 的倾斜角，进而求得直线2l 对应的函数表达式. 【详解】直线1:1l y x =−与x 轴交于点 1,0A ， 直线1:1l y x =−的斜率为1，倾斜角为45°，所以2l 的倾斜角为60°所以直线2l 对应的函数表达式是)1y x =−=.故答案为：y=−11. 若关于x 的分式方程22411x ax a x x −−+−=−+的解为整数，则整数a =______． 【答案】1± 【解析】【分析】由分式方程有意义可知1x ≠且1x ≠−，再化简方程求解2x a=，由,a x 均为整数可求.【详解】则方程241x a x −−−1x ≠且1x ≠−. 方程可化为222211x a x ax x −−+−=+−+，即2211a a x x −+=−+， 解得2x a=，由1x ≠且1x ≠−，所以2a ≠且2a ≠−.由a 为整数，且x 为整数，则当1a =−，2x =−，或当1a =，2x =时满足题意. 所以1a =±. 故答案为：1±.12. 如图，已知两条平行线1l ，2l ，点A 是1l 上的定点，2AB l ⊥于点B ，点C ，D 分别是1l ，2l 上的动点，且满足AC BD =，连接CD 交线段AB 于点E ，BH CD ⊥于点H ，则当BAH ∠最大时，sin BAH ∠的值为______．【答案】13【解析】【分析】因为BH CD ⊥于点H ，所以点 H 在以BE 为直径的圆上运动, 当 AH 与圆 O 相切时, BAH ∠ 最大，据此在OHA 求解即可. 【详解】12//,//,AC BD l l∴ 四边形 ACBD 是平行四边形 12AE BE AB ∴==A 为定点, 且 2//AB l AE ∴ 为定值,BH CD ⊥ 90BHE ∠∴=, 如图，取BE 的中点O ,则点 H 在以BE 为直径的圆上运动,此时 1123OE BE OA ==, 当 AH 与圆 O 相切时, BAH ∠ 最大1sin 3OH BAH OA ∠∴==故答案为：13.三、解答题：本题共4小题，共52分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息.a .教师评委打分：86 88 90 91 91 91 91 92 92 98b .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组8285x ≤<，第2组8588x ≤<，第3组8891x ≤<，第4组9194x ≤<，第5组9497x ≤<，第6组97100x ≤≤）；平均数中位数众数教师评委 91 91 m 学生评委90.8n93c .评委打分的平均数、中位数、众数如上： 根据以上信息，回答下列问题：①m 的值为______，n 的值位于学生评委打分数据分组的第______组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，则x ______91（填“>”“=”或“<”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评1评委2评委3评委4评委5甲 93 90 92 93 92 乙9192929292丙 90 94 90 94 k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k （k 为整数）的值为______.【答案】（1）①91；4；②< （2）甲；92 【解析】【分析】（1）①根据众数以及中位数的定义解答即可；②根据算术平均数的定义求出8名教师评委打分的平均数，即可得出答案； （2）根据方差的定义和平均数的意义求解即可. 【小问1详解】①由题意得，教师评委打分中91出现次数最多，故众数91m =；45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n 的值位于学生评委打分数据分组的第4组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ， 则1(8890919191919292)90.758x =×+++++++=，91x ∴<.【小问2详解】甲选手的平均数为1(9390929392)925×+++=， 乙选手的平均数为1(9192929292)91.85×++++=， 因为丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，所以三位选手中排序最靠前的是甲，且丙的平均数大于或等于乙的平均数， 因为5名专业评委给乙选手的打分为91,92,92,92,92， 乙选手的方差2221[4(9291.8)(9191.8)]0.165S =××−+−=乙， 5名专业评委给丙选手的打分为90,94,90,94,k ， 所以乙选手的方差小于丙选手的方差，所以丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，∴9390929392909490949192929292k ++++≥++++>++++，9291k ∴≥>， k 为整数，的k ∴的值为92.14. 根据以下素材，探索完成任务——如何设计摇椅的椅背和坐垫长度？素材一：某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中FC 为椅背，EC 为坐垫，C ，D 为焊接点，且CD 与AB 平行，支架AC ，BD 所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O ．设计方案中，要求A ，B 两点离地面高度均为5厘米，A ，B 两点之间距离为70厘米；素材二：经研究，53OCF ∠=°时，舒适感最佳．现用来制作椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求： （1）椅背长度小于坐垫长度；（2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A 时（如图3），F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米．（sin530.8°≈，cos530.6°≈，tan53 1.3°≈）任务：（1）根据素材求底座半径OA ； （2）计算图3中点B 距离地面的高度；（3）①求椅背FC 的长度范围；（结果精确到0.1m ） ②设计一种符合要求的方案． 【答案】（1）125厘米；（2）19.6厘米 （3）①64.580FC ≤<；②70cm ，90cm （答案不唯一）． 【解析】【分析】（1）根据四边形AHNB 为矩形，35AG BG ==厘米，5AH GM ==厘米，设底座半径OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，由勾股定理求出r 即可得出答案；（2）由四边形ANBK 为矩形，进而得AK BN h ==，()125cm,125cm OK h OB =−=，然后在直角三角形中由勾股定理列出关于h 的方程，解方程求出h 即可得出答案；（3）①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，先求出cos cos 0.28QCD OAB ∠=∠=，设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =−，即可得0.60.28(160)12x x −−≥，由此解得64.5x ≥，据此可得椅背FC 的长度范围；②在①中椅背FC 的长度范围任取一个FC 的值，再计算出EC 的值即可，例如取70FC =厘米，则1607090EC =−=（厘米）；（答案不唯一，只要在FC 的长度范围内即可）． 【小问1详解】过点A 作AH 垂直地面于H ，过点O 作OG AB ⊥于G ，OG 的延长线于地面交于点M ，如图所示：AB 平行于地面，∴四边形AHNB 为矩形，1352AG BG AB ===厘米， 5AH GM ==厘米，设底座半径OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，(5)OG OM GM r ∴=−=−厘米，在Rt OAG ∆中，OA r =厘米，35AG =厘米，(5)OGr =−厘米， 由勾股定理得：222OA OG AG =+，即：222(5)35r r =−+， 解得：125r =，∴底座半径OA 的长度为125厘米；【小问2详解】过点B 作BN 垂直地面于N ，BK OA ⊥于K ，如图所示：设BN h =，底座与地面相切于点A ，OA ∴垂直地面于点A ，∴四边形ANBK 为矩形，AK BN h ∴==，由任务一可知：125cm,125OA OB OK OA AK h ==∴==--， 在Rt ABK △中，cm,=70cm AK h AB =， 由勾股定理得：2222270BK AB AK h =−=−，在Rt OBK 中，()125cm,125cm OK h OB =−=， 由勾股定理得：22222125(125)BK OB OK h =−=−−，222270125(125)h h ∴−=−−，解得：19.6h =，∴点B 距离地面的高度为19.6厘米；【小问3详解】①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，如图所示：//CD AB ，QCD OAB ∴∠=∠，由任务②可知：19.6AK h ==厘米，70AB =厘米， 在Rt ABK △中，19.6cos 0.2870AK OAB AB ∠===， cos cos 0.28QCD OAB ∴∠=∠=，椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米， ∴设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =−， 椅背长度小于坐垫长度，160x x ∴<−，解得：80x <，在Rt CQE △中，cos 0.28CQQCD CE∠==， 0.280.28(160)CQ CE x ∴==−厘米，在Rt CFP △中，cos CPOCF CF∠=， cos cos530.6CP CF OCF x x ∴=⋅∠=⋅°≈（厘米）， F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米，12AP AN ∴−≥，即：()12AC CP AC CQ +−+≥，12CP CQ ∴−≥，0.60.28(160)12x x ∴−−≥，解得：64.5x ≥， 又80x < ，64.580x ∴≤≤，即：64.580FC ≤≤，∴椅背FC 的长度范围是：64.580FC ≤<；②由于64.580FC ≤<，故取70cm FC =，则1607090cm EC ==-．15. 定义：在平面直角坐标系中，直线x m =与某函数图象交点记为点P ，作该函数图象中点P 及点P 右侧部分关于直线x m =的轴对称图形，与原函数图象上的点P 及点P 右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线x m =的“迭代函数”．例如：图1是函数1y x =+的图象，则它关于直线0x =的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为()()10,10.x x y x x +≥ =−+<（1）函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为______．（2）若函数243y x x =−++关于直线x m =的“迭代函数”图象经过()1,0−，则m =______．（3）已知正方形ABCD 的顶点分别为：(),A a a ，(),B a a −，(),C a a −−，(),D a a −，其中0a >．①若函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，求a 的值； ②若6a =，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，求n 的取值范围．【答案】（1）1,13,1x x y x x +≥ =−+<（2）m =m =，（3）①3；②()5,1,12−∞−∪−. 【解析】【分析】（1）取点()2,3M ，()3,4N ，求两点关于1x =的对称点，利用待定系数法求左侧图象的解析式，由此可得结论；（2）判断点()1,0−与函数243y x x =−++的图象的关系，再求()1,0−关于直线x m =的对称点，由条件列方程求m 即可；（3）①求函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的解析式，作函数图象，观察图象确定a 的值； ②分别在0n >，0n =，0n <时求函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”解析式，讨论n ，由条件确定n 的范围.小问1详解】在函数1y x =+的图象上位于1x =右侧的部分上取点()2,3M ，()3,4N ， 点()2,3M 关于直线1x =对称点为(0,3)， 点()3,4N 关于直线1x =的对称点为()1,4−，设函数1y x =+，1x >的图象关于1x =对称的图象的解析式为,1y kx b x =+<， 则34b k b = −+=，解得13k b =− = ，所以函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为1,13,1x x y x x +≥ =−+<；【的【小问2详解】取1x =−可得，2431432y x x =−++=−−+=−， 故函数243y x x =−++的图象不过点()1,0−， 又点()1,0−关于直线x m =的对称点为()21,0m +， 由已知可得()()20214213m m =−++++，1m >−，所以m =或m =，【小问3详解】①当0x >或20x −≤<时，函数6y x =关于直线2x =−的“迭代函数”的图象的解析式为6y x =， 当2x <−时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象上，则点()4,x y −−在函数6y x=的图象上，所以64y x=−−， 所以函数6y x =关于直线2x =−的“迭代函数”的解析式为[)()()6,2,00,6,,24x xy x x∞∞ ∈−∪+ =∈−− −− ， 作函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象如下：观察图象可得3a =时，函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，②若0n >，当x n ≥时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=， 当0x <或0x n <<时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象上，则点()2,n x y −在函数6y x=的图象上，所以62y n x=−， 所以函数6y x =关于直线x n =“迭代函数”的解析式为()()()6,,6,,00,2x n xy x n n x∞∞ ∈+ =∈−∪ − ， 当6n >时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，的当6n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当16n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当1n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有3个公共点，当01n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当0n =时，函数6y x =关于直线xx =0的“迭代函数”的解析式为6,06,0x xy x x> =−< ， 作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，若0n <，当0n x ≤<或0x >时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=， 当x n <时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象上， 则点()2,n x y −在函数6y x=的图象上， 所以62y n x=−，所以函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的解析式为[)()()6,,00,6,,2x n xy x n n x∞∞ ∈∪+ = ∈− − ，当10n −<<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当1n =−时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有5个公共点，当512n−<<−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有6个公共点，当52n=−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有5个公共点，当7522n−<<−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当72n=−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当762n −<<−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n =−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n <−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，综上，n 的取值范围为()51,12∞−−∪−，. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.16. 已知抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于点()1,0A −，()3,0B ．（1）如图1，抛物线与y 轴交于点C ，点P 为线段OC 上一点（不与端点重合），直线PA ，PB 分别交抛物线于点E ，D ，设PAD △面积为1S ，PBE △面积为2S ，求12S S 的值； （2）如图2，点K 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，过点K 的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M ，N ，过抛物线顶点G 作直线//l x 轴，点Q 是直线l 上一动点求QM QN +的最小值．【答案】（1）19（2）【解析】【分析】（1）把点()1,0A −，()3,0B 代入抛物线方程，解出抛物线的解析式，设(0,)P p ，求出直线AP 解析式为y px p =+，联立方程223y px p y x x =+ =−++， 可得2(3,4)E p p p −−+，同理可得234(,)393p p p D −−+，即可得1S ，2S ，化简可得结果； （2）作点N 关于直线l 的对称点N ′，连接MN ′，过M 点作MF NN ′⊥于F ，求出(1,0)K ，设直线MN解析式为y kx d =+，把点K 坐标代入即可知直线MN 的解析式y kx k =−，设2(,23)M m m m −++，2(,23)N n n n −++，求出2(,25)N n n n ′−+，可得QM QN QM QN MN ′′+=+≥，结合2(,23)F n m m −++，可得222421780MN MF N F k k =+=++′′，从而得到QM QN +的最小值. 【小问1详解】把点()1,0A −，()3,0B 代入抛物线方程2y x bx c =−++得：10930b c b c −−+= −++=， 解得：23b c = =， 所以抛物线方程为：223y x x =−++， 设(0,)P p ，直线AP 解析式为11y k x b =+， 把点()1,0A −，(0,)P p 代入得：1110k b b p −+= = ， 所以线AP 解析式为y px p =+，联立223y px p y x x =+ =−++ ，解得：10x y =−=或234x p y p p =− =−+ ， 所以2(3,4)E p p p −−+，设直线BP 解析式为22y k x b =+ 把点()3,0B ，(0,)P p 代入得：22230k b b p+= = ， 直线BP 解析式为3py x p =−+ 联立2323p y x p y x x =−+ =−++ ，解得：30x y = = 或233493p x p p y − = =−+可得234(,)393p p p D −−+， 所以221142()2(3)2939ABD ABP D P p p S S S AB y y p p p =−=⋅−=−+−=− ， ()2221()242(3)2ABE ABP E P S S S AB y y p p p p p =−=⋅−=−+−=− ， 所以2122192(3)92(3)S p p S p p −=−= 【小问2详解】作点N 关于直线l 的对称点N ′，连接MN ′，过M 点作MF NN ′⊥于F ，如图：因为2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线223y x x =−++的对称轴为1x =， 所以(1,0)K ，设直线MN 解析式为y kx d =+， 把点(1,0)K 代入得：=0k d +，所以=d k −，所以直线MN 的解析式为y kx k =− 设2(,23)M m m m −++，2(,23)N n n n −++，联立223y x x y kx k =−++ =−，可得2(2)30x k x k +−−−= 则2m n k +=−，3mn k =−−，因为N ，N ′关于直线l ：4y =对称，所以2(,25)N n n n ′−+，则QM QN QM QN MN ′′+=+≥，又2(,23)F n m m −++， 所以222()2N F m n m n +−++′，FM m n =−， 在Rt MFN ′ 中，2222222()2()2MN MF N F m n m n m n =+=−++−++ ′ ′，222()4()22()2m n mn m n mn m n =+−++−−++222(2)4(3)(2)2(3)2(2)2k k k k k =−−−−+−−−−−−+ 421780k k =++所以当0k =时，2MN ′最小为80，此时MN ′=所以QM QN +≥，即QM QN +的最小值为。
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a∈R，若集合M={1,a}，N={−1,0,1}，则“a=0”是“M⊆N”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.下列命题是全称量词命题且为真命题的是A. ∀a，b∈R，a2+b2<0B. 菱形的两条对角线相等C. ∃x0∈R，x20=x0D. 一次函数的图象是直线3.设全集U=R，集合A={1,2,3,4,5}，B={x|3<x<8,x∈N}，则下图中的阴影部分表示的集合是A. {1,2,3,4,5}B. {3,4}C. {1,2,3}D. {4,5,6,7}4.若函数f(x)=4x2−kx−8在[5,8]上是单调函数，则实数k的取值范围是A. (−∞,40)B. (−∞,40]∪[64,+∞)C. [40,64]D. [64,+∞)5.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|13<x<12}，则不等式cx2+bx+a>0的解集为A. {x|−12<x<−13}B. {x|x>3或x<2}C. {x|2<x<3}D. {x|−3<x<−2}6.已知关于x的不等式2x+2x−a≥7在区间(a,+∞)上恒成立，则实数a的最小值为A. 1B. 32C. 2 D. 527.17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数．对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z)的形式，这便是科学记数法，若两边取常用对数，则有lg N=n+lg a.现给出部分常用对数值(如下表)，则可以估计22023的最高位的数值为真数x2345678910lg x(近0.301030.477120.602060.698970.778150.845100.903090.95424 1.000似值)A. 6B. 7C. 8D. 98.已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)=−x2+2x，函数f(x)={x,x≤0,g(x),x>0,若f(2−x2 )>f(x)，则实数x的取值范围是A. (−2,1)B. (−∞,−2)∪(1,+∞)C. (1,2)D. (−∞,1)∪(2,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。
最新高一上学期第二次月考数学试卷
数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的）。
1、已知集合，则（ ） A.B.C.1， D.1，2． 函数lg()242y x x =+⋅- 的定义域为（ ） A.[,)20- B.(,)02 C.[,)22- D.(,)22- 3.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A. y ＝e －x B. C. y ＝ln x D. y ＝|x | 4.不等式的解集为（ ） A.B.C.D.5.函数()f x ax x =++243的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A.(,)(,]4003-∞ B. (,]43-∞ C. [,)43+∞ D. (,)43+∞ 6.已知函数2log (3-)y ax =在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）A. (0,1)B. (1,3)C. (0,1)(1,3)D. (0,3)7．设函数()200x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A. (]1-∞-，B. ()1+∞，C. ()10-，D. ()0-∞， 8.已知，，，则的大小关系为（ ）A. B. C. D.9、已知是定义在R 上的奇函数，且，当时，，则（ ）A. B. 2 C. D. 9810、函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A.B. C. D.11.函数y =|x 2-1|与y =a 的图象有4个交点，则实数a 的取值范围是（ ）． A. (0，)B. (-1，1)C. (0，1)D. (1，)12.已知函数()()2243,2f x x g x kx x =+-=+，若对任意的[]11,2x ∈-，总存在21,3x ⎡⎤∈⎣⎦，使得()()12g x f x >，则实数k 的取值范围是（ ）A. 1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B.12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 112⎛⎫⎪⎝⎭，D. 以上都不对二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)13、若函数x x f x2log 4)(+=，则的值为)1(f _______． 14.若集合,,则______．15.函数的值域是_______.16. 关于函数)1ln()1ln()(x x x f --+=,有下列结论:①. )(x f 的定义域为(-1, 1); ②. )(x f 的值域为(2ln -, 2ln ); ③. )(x f 的图象关于原点成中心对称; ④. )(x f 在其定义域上是减函数;⑤. 对)(x f 的定义城中任意x 都有)(2)12(2x f x xf =+. 其中正确的结论序号为__________.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.(10分)已知全集,集合,集合.（1）求; (2)求.18.(12分)化简求值（每小题6分）: （1）（2）..19.（12分）已知幂函数)(x f y =的图象过点(,)22， （1）求函数)(x f 的解析式，并求出它的定义域； （2）试求满足)3()1(a f a f ->+的实数a 的取值范围．20.（12分）已知函数()1221x x f x m +=++是奇函数，（1）求实数m 的值；（2）判断函数)(x f 的单调性并用定义法加以证明；（3）若函数)(x f 在]3,[log 2a 上的最小值为16a ，求实数a 的值．21. (12分)已知函数（1）求单调区间（2）求时，函数的最大值.22. (12分)已知)(x f 定义域为R ,对任意x ,R y ∈都有1)()()(-+=+y f x f y x f ,当0>x 时, 1)(<x f ,0)1(=f .（1）求)1(-f ，（2）试判断)(x f 在R 上的单调性,并证明; （3）解不等式:4)(2)232(2>+--x f x x f .数学试题答案四、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1-6，B C B D C D 7-12，B A A C C A五、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)13.4，14. 15.16.①③⑤六、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17、解：解答(1),解得,, ; ………………………………5分(2),故.………………………………5分18.解答(1);∴; …………………………3分∴.…6分（2）.……………………………………………………………………………12分19.解：（1）设()f x x α=，由条件得12α=，即()12f x x == ………3分故函数)(x f 的定义域为[,)0+∞。
湖南省长沙市长郡湘府中学2023届数学高一上期末教学质量检测模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】先求出集合B，再根据交集补集定义即可求出.
【详解】 ， ，
， .
故选：B.
2、C
【解析】由幂函数 的图象经过点 ，得到 ，由此能求出函数的单调性和最值
【详解】解： 幂函数 的图象经过点 ，
选项， 是奇函数且 在 和 上单调递减，故 错；
选项， 是奇函数，且 在 上是增函数，故 正确
综上所述，故选
7、D
【解析】根据指数函数的性质求得 ， ，根据对数函数的性质求得 ，即可得到答案.
【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得 ，
由对数函数的性质，知 ，即
所以 .
故选：D
8、A
【解析】利用题设条件，计算出原信道容量的表达式 ，再列出在B不变时用所求平均噪声功率 表示的信道容量的表达式，最后列式求解即得.
1．设全集 ，集合 ， ，则 （）
A. B.
C. D.
2．如果幂函数 的图象经过点 ，则 在定义域内
A.为增函数B.为减函数
C.有最小值D.有最大值
3．奇函数 在 内单调递减且 ，则不等式 的解集为（）
A. B.
C. D.
4．在下列函数中，既是奇函数并且定义域为 是（）
A. B.
C. D.
5．设 ， ， ，则下列大小关系表达正确的是（）
故答案为： .
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1） ；（2） 年.
【解析】（1）设今年碳排放量为 ，则由题意得 ，从而可求出 的值；
（2）设再过 年碳排放量不超过今年碳排放量的 ，则 ，再把 代入解关于 的不等式即可得答案
高一上学期第二次月考数学试卷及答案
高一年级上学期第二次月考数学试题卷时间：120分 总分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,52. 函数()ln(1)f x x =+的定义域为（ ）A ．（-1,2）B ．[1,0)(0,2)- C.(1,0)(0,2]- D ．(1,2]-3. 函数3()2f x ax bx a b =++-是奇函数，且其定义域为[34,]a a -，则()f a =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14.已知直线20x -=，则该直线的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 5. 已知两直线 1:80l mx y n ++=和 2:210l x my +-=，若12l l ⊥且1l 在y 轴上的截距 为-1，则,m n 的值分别为( )A ．2，7B ．0，8C ．－1，2D ．0，－86.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为 ( ) A ．322π B ．324πC ． π24D ．π）（424+ 7. 设αβ，为平面，,a b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（ ）A ．//,//,//a b a b αα若则B ．//,,a a b b αα⊥⊥若则C ．//,,,//a b a b αβαβ⊂⊂若则D ．,//,a a b b αα⊥⊥若则 8.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 9.若函数()()()2221f x m x mx m =-+++的两个零点分别在区间()1,0-和()1,2上，则m 的取值范围是（ ）A.11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D.11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10. 一个机器零件的三视图如图所示，其中侧视图是一个半圆与边长为2的正方形，俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为（ ）A ．34π+B ．38π+C.π384+ D ．π388+11. 如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知△A ′ED 是△AED 绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中错误的是（ ）A ．恒有DE ⊥A ′FB ．异面直线A ′E 与BD 不可能垂直C ．恒有平面A ′GF ⊥平面BCEDD ．动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上 12. 设函数()f x 的定义域为D ，若函数()f x 满足条件：存在[],a b D ⊆，使得()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”.若函数()()2log 2xf x t =+为“倍缩函数”，则t 的取值范围是（ ） A. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C. ()0,1 D.10,2⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13. 设⎩⎨⎧≥-<=-2),1(log ,2,2)(231x x x e x f x ，则))2((f f 的值为 . 14. 用一个平行于正棱锥底面的平面截这个正棱锥,截得的正棱台上、下底面面积之比为1:9,截去的棱锥的高是2cm,则正棱台的高是 cm.15.如图，正方体1111D C B A ABCD -中，AC 交BD 于O ，E 为线段11D B 上的一个动点，则下列结论中正确的有_______． ①AC ⊥平面OBE ②三棱锥E -ABC 的体积为定值③B 1E ∥平面ABD④B 1E ⊥BC 116. 已知函数32log ,03,()1108,3,33x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩若存在实数,,,a b c d ，满足()()()()f a f b f c f d ===，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分10分) 已知全集U R = ，1242x A x⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{}3log 2B x x =≤. （1）求AB ；（2）求()U C AB .O18. (本小题满分12分)(1)已知直线l 过点(1,2)A ，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l 的方程．(2)求经过直线1:2350l x y +-=与2:71510l x y ++=的交点．且平行于直线230x y +-=的直线方程．19.(本小题满分12分)已知直线1:310l ax y ++=，2:(2)0l x a y a +-+=． （1）当l 1//l 2，求实数a 的值；（2）直线l 2恒过定点M ，若M 到直线1l 的距离为2，求实数a 的值．20. (本小题满分12分) 如图，△ABC 中，2AC BC AB ==，四边形ABED 是边长为a 的正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G F 、分别是EC BD 、的中点．(1)求证：//GF ABC 平面；(2) BD EBC 求与平面所成角的大小21. (本小题满分12分) 如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，BD AD PD AB BAD ====∠，，，3260，O 为AC 与BD 的交点，E为棱PB 上一点.（1）证明：平面⊥EAC 平面PBD ；（2）若EB PE 2=，求二面角B AC E --的大小.22. (本小题满分12分) 对于函数()f x 与()g x ，记集合{}()()f g D x f x g x >=>. （1）设()2,()3f x x g x x ==+，求集合f g D >；（2）设121()1,()()31,()03xx f x x f x a h x =-=+⋅+=，若12f h f h D D R >>⋃=，求实数a 的取值范围.答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)C C B A B CD C C A B A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13. 2 14. 4 15. ①②③ 16.（21，24）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分10分)解：{}12A x x =-<< ， B {}09B x x =<≤ ·······················4分 （1）{}02A B x x =<< ····································································6分 （2）{}19AB x x =-<≤ ，(){1UC A B x x =≤-或9}x > .·····10分18. (本小题满分12分)(1)解析：解法一 设l ：y －2＝k (x －1)(k <0)， 令x ＝0，y ＝2－k .令y ＝0，x ＝1－2k ，S ＝12(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k ＝4， 即k 2＋4k ＋4＝0. ∴k ＝－2，∴l ：y －2＝－2(x －1)，即l ：2x ＋y －4＝0.···················6分解法二 设l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝4，1a ＋2b ＝1.a 2－4a ＋4＝0?a ＝2，∴b ＝4.直线l ：x 2＋y4＝1. ∴l ：2x ＋y －4＝0.(2)联立，解得．设平行于直线 x +2y ﹣3=0的直线方程为 x +2y +n=0．把代入上述方程可得：n=﹣．∴要求的直线方程为：9x +18y ﹣4=0．···········12分 19.(本小题满分12分)(1)a=3,或a=-1(舍)··························4分 (2)M(-2,-1)···································8分2=得a=4··················12分20. (本小题满分12分)(1)证明： 连接EA 交BD 于F ， ∵F 是正方形ABED 对角线BD 的中点， ∴F 是EA 的中点， ∴FG ∥AC .又FG ?平面ABC ，AC ?平面ABC ，∴FG ∥平面ABC .··················6分 (2)∵平面ABED ⊥平面ABC ，BE ⊥AB ，∴BE ⊥平面ABC .∴BE ⊥AC .又∵AC ＝BC ＝22AB ， ∴BC ⊥AC ， 又∵BE ∩BC ＝B ， ∴AC ⊥平面EBC . 由(1)知，FG ∥AC ， ∴FG ⊥平面EBC ，∴∠FBG 就是线BD 与平面EBC 所成的角．又BF ＝12BD ＝2a 2，FG ＝12AC ＝2a 4，sin ∠FBG ＝FG BF ＝12.∴∠FBG ＝30°. ························12分 21. (本小题满分12分)解：（1）∵⊥PD 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，∴PD AC ⊥. ∵60,=∠=BAD BD AD ，∴ABD ∆为正三角形，四边形ABCD 是菱形， ∴BD AC ⊥，又D BD PD = ，∴⊥AC 平面PBD ，而⊂AC 平面EAC ，∴平面⊥EAC 平面PBD .·········································6分 （2）如图，连接OE ，又（1）可知AC EO ⊥，又BD ⊥AC ，∴EOB ∠即为二面角B AC E --的平面角， 过E 作PD EH ∥，交BD 于点H ，则BD EH ⊥， 又31,33,3,2,2=====OH EH PD AB EB PE ，在EHO RT ∆中，3tan ==∠OHEHEOH ，∴ 60=∠EOH ， 即二面角B AC E --的大小为60.·································································12分 22. (本小题满分12分)解：（1） 当0≥x 得3,32>∴+>x x x ； ······················2分当1320-<∴+>-<x x x x ，时，得 ················4分()()∞+⋃-∞-=∴>，31,g f D ··············5分(2) ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+⋅+=∞+=>>013)31(,121xxh f h f a x D D ， ·······7分 R D D h f h f =⋃>>21 ， ∴ (]1,2∞-⊇>h f D即不等式01331>+⋅+xx a ）（在1≤x 恒成立 (9)分∴ 1≤x 时，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛->x x a )31(91恒成立， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x x y )31()91( 在1≤x 时最大值为94-， ··················11分故 94->a ·············12分。
湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题
湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}26A x x =≤<，{}240B x x x =-<，则A B =I （ ）A ．()0,6B ．()4,6C ．[)2,4D ．()[),02,-∞⋃+∞2．命题“x ∃∈R ，2220x x -+≤”的否定是（ ） A ．x ∃∈R ，2220x x -+≥ B ．x ∃∈R ，2220x x -+> C ．x ∀∈R ，2220x x -+≤ D ．x ∀∈R ，2220x x -+>3．设a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．2(),()x f x x g x x ==B ．()(),()()f x x x R g x x x Z =∈=∈C ．,0(),(),0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩D ．2(),()f x x g x ==5．函数1xy x=+的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．6．若x A ∈且1A x ∈就称A 是伙伴关系集合，集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（ ） A ．15B ．16C ．64D ．1287．某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（ ） A ．20B ．21C ．23D ．258．已知集合P ，Q 中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P ，Q 中的元素都为正数；②对于任意(),a b Q a b ∈≠，都有aP b∈；③对于任意(),a b P a b ∈≠，都有ab Q ∈；则下列说法正确的是（ ）A ．若P 有2个元素，则Q 有3个元素B ．若P 有2个元素，则P Q ⋃有4个元素C ．若P 有2个元素，则P Q ⋂有1个元素D ．存在满足条件且有3个元素的集合P9．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．2ab b < C ．2ab a -<-D ．11a b-<-二、多选题10．已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{}34x x -≤≤∣，则下列说法正确的是（ ）A ．0a <B ．不等式20cx bx a -+<的解集为1143xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣ C ．0a b c ++< D ．2342cb ++的最小值为4- 11．已知0x >，0y >且3210x y +=，则下列结论正确的是（ ）A．xy 的最大值为625B C ．32x y +的最小值为52D ．22x y +的最大值为10013三、填空题12．若函数f （x ）＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是．13．已知函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是．14．已知函数()()2462f x x a x a =-++-，若集合(){}N 0A x f x =∈<中有且只有两个元素，则实数a 的取值范围是四、解答题15．已知集合{}121A x m x m =-≤≤-，集合()(){}230B x x x =-+<． (1)若2m =，求A B U ； (2)若A B ⊆，求实数m 的范围．16．如图所示，某学校要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为360m ，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为6m ，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为m x ，墙高5m ，(1)试将垃圾池的总造价y （元）表示为(m)x 的函数，并指出x 的取值范围； (2)怎样设计垃圾池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 17．已知()24xf x x =+，()2,2x ∈-． (1)求证：函数()f x 在区间()2,2-上是增函数； (2)求函数()f x 在区间()2,2-上的值域. 18．已知函数()11mx f x =++，()()21g x x x a =++. (1)当0a =，1m =-时，解关于x 的不等式()()f x g x ≥；(2)当0m =时，对任意[)1,x ∞∈+，关于x 的不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数m 的取值范围；(3)当0m <，0a <时，若点()111,P x y ，()222,P x y 均为函数()y f x =与函数()y g x =图象的公共点，且12x x ≠，求证：()1221223a x x --<+<.19．已知集合A 为非空数集.定义：{}|,,,{|,,}S x x a b a b A T x x a b a b A ==+∈==-∈ (1)若集合{1,3}A =，直接写出集合S ，T ；(2)若集合{}12341234,,,,,A x x x x x x x x =<<<且T A =．求证：423x x =；(3)若集合{}|02024,N ,A x x x S T ⊆≤≤∈⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.。
2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高一上数学期末复习检测试题含解析
A.134217728 C.536870912
B.268435356 D.513765802
3． f x 2x 4x 3零点所在的区间是（）
A. 2,3
B. 1,2
C. 0,1
D. 1,0
4．已知圆 x2 y2 1 与圆 x2 y2 6x 8y m 0 相离，则 m 的取值范围（ ）
数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现.比如，计算 64×256 的值，就可以先查第一行的对应数字:64 对应 6，
256 对应 8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的 14，对应第二行中的 16384，所以有：64×256
＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=
25 m 0
本题选择 D 选项.
点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法
5、C
【解析】利用扇形弧长公式进行求解.
【详解】设扇形弧长为 l cm，半径为 r cm，则 l 3，即 l 3r 且 l 2r 15，解得： l 9 （cm），故此扇形的弧长 r
13．经过 P(1,3) ， Q3,5 两点的直线的倾斜角是__________ .
1 x 1 , x 1
14．已知
x
，则函数
1
g(x)
(x
2)
f
(x)
2x
1的零点个数为__________
15．已知函数
f
x 的定义域为 0, ，当 x2
x1
0 时，
f
x1
x2
f
C(x) 1 x2 10x （万元）.当年产量不小于 80 件时， C(x) 51x 10000 1450 （万元）.每件商品售价为 50 万元.
湖南省长沙市长郡中学高三数学上学期第二次月考试卷
2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1）D．（﹣∞，1]2．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．B．C．﹣D．23．等差数列{a n}前n项和为S n，且﹣=3，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．44．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．若3sinx﹣cosx=2sin（x﹣φ），φ∈（﹣π，π），则φ=（）A．﹣B．C．D．﹣6．已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．37．已知向量，，且向量k与平行，则实数k的值为（）A． B．C．﹣2 D．28．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α9．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+110．不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣4，2）D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）11．已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=3，若=+，且⊥，则实数λ的值为（）A．B．13 C．6 D．12．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N*），分别编号为1，2，…，n，买家共有m名（m∈N*，m＜n），分别编号为1，2，…，m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（）A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1）+f′（1）= ．14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则= ．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AD、CC1的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心，则三棱锥O﹣MNB的体积是．16．已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．18．已知函数（a≠0）是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）的值域．19．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PCD；（Ⅱ）若PA=AB，求EF与平面PAC所成角的大小．21．已知函数y=f（x），若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点．（1）若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）若函数f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，求实数b的取值范围；（3）若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．22．已知函数f（x）=xlnx．（l）求f（x）的单调区间和极值；（2）若对任意恒成立，求实数m的最大值．2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1）D．（﹣∞，1]【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}=（0，1]，得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．故选：A．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．2．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．B．C．﹣D．2【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，利用实部和虚部互为相反数，求出b．【解答】解： ==+i由=﹣得b=﹣．故选C．【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．3．等差数列{a n}前n项和为S n，且﹣=3，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得首项和公差的方程，化简可得公差d．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵﹣=3，∴﹣=3，化简可得2d﹣d=3，解得d=2故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的零点；对数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1=|x﹣2|，y2=lnx（x＞0）的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数．【解答】解：由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞）；由函数零点的定义，f（x）在（0，+∞）内的零点即是方程|x﹣2|﹣lnx=0的根．令y1=|x﹣2|，y2=lnx（x＞0），在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点．故选C．【点评】本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系，通过转化和作图求出函数零点的个数．5．若3sinx﹣cosx=2sin（x﹣φ），φ∈（﹣π，π），则φ=（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】先利用两角和公式对等号左边进行化简进而根据φ的范围求得φ．【解答】解：3sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）=2sin（x﹣φ），∴φ=2kπ+，k∈Z，∵φ∈（﹣π，π），∴φ=，故选：B．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，诱导公式的应用．对三角函数的基础公式应能够熟练记忆和灵活运用．6．已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．3【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】由题意可得=0，即解得tanθ=2，再由sin2θ+cos2θ==，运算求得结果．【解答】解：由题意可得=sinθ﹣2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ===1，故选A．【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．7．已知向量，，且向量k与平行，则实数k的值为（）A． B．C．﹣2 D．2【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】求出两个平行向量，利用共线向量的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：向量，，且向量k=（k﹣3，2k+2）与=（7，﹣2）平行可得：7（2k+2）=﹣2（k﹣3）．解得k=﹣．故选：A．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，基本知识的考查．8．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论．【解答】解：A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故A错误．B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故B错误．C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α，正确．D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故D错误．故选：C【点评】本题主要考查空间直线，平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．9．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据已知的a n+1=3S n，当n大于等于2时得到a n=3S n﹣1，两者相减，根据S n﹣S n﹣1=a n，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由a1=1，a n+1=3S n，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．【解答】解：由a n+1=3S n，得到a n=3S n﹣1（n≥2），两式相减得：a n+1﹣a n=3（S n﹣S n﹣1）=3a n，则a n+1=4a n（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以a n=a2q n﹣2=3×4n﹣2（n≥2）则a6=3×44．故选A【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题．10．不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣4，2）D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】由已知，只需x2+2x小于的最小值即可，可利用基本不等式求出最小值．【解答】解：对任意a，b∈（0，+∞），，所以只需x2+2x＜8即（x﹣2）（x+4）＜0，解得x∈（﹣4，2）故选C【点评】本题考查不等式恒成立问题，往往转化为函数最值问题．11．已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=3，若=+，且⊥，则实数λ的值为（）A．B．13 C．6 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由⊥，得•=0，用向量表示后展开，结合已知条件可求得实数λ的值．【解答】解：∵ =+，且⊥，∴•=（+）•（）===0．∵向量与的夹角为120°，且||=2，||=3，∴2×3（λ﹣1）•cos120°﹣4λ+9=0．解得：．故选：D．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，是基础题．12．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N*），分别编号为1，2，…，n，买家共有m名（m∈N*，m＜n），分别编号为1，2，…，m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（）A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m【考点】进行简单的合情推理．【专题】推理和证明．【分析】由已知中a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，可知：a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，进而得到答案．【解答】解：∵a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，∴a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，∴同时购买第1类和第2类商品的人数是a11a12+a21a22+…+a m1a m2故选：C【点评】本题考查的知识点是进行简单的合情推理，其中正确理解a ij=1≤i≤m，1≤j≤n的含义是解答的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1）+f′（1）= 4 ．【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】由导数的几何意义知，函数y=f（x）的图象在x=a处的切线斜率是f′（a）；并且点P（a，f（a））是切点，该点既在函数y=f（x）的图象上，又在切线上，f（a）是当x=a时的函数值，依此问题易于解决．【解答】解：由题意得f′（1）=3，且f（1）=3×1﹣2=1所以f（1）+f′（1）=3+1=4．故答案为4．【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f（a）与f′（a）．14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则= 2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0，故=（）•（）=（）•（）=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案为 2．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AD、CC1的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心，则三棱锥O﹣MNB的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥O﹣MNB的体积．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意得O（1，1，2），M（1，0，0），B（2，2，0），N（0，2，1），=（0，1，2），=（1，2，0），=（﹣1，2，1），||==，||==，cos＜＞==，sin＜＞==，∴S△MNB===，设平面MNB的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，﹣1，4），∴点O到平面MNB的距离d===，∴三棱锥O﹣MNB的体积V===．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．16．已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是15 ．【考点】简单线性规划．【专题】开放型；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，去绝对值后得到目标函数z=﹣3x﹣4y+10，然后结合圆心到直线的距离求得|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值．【解答】解：如图，由x2+y2≤1，可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|=﹣2x﹣y+4+6﹣x﹣3y=﹣3x﹣4y+10，令z=﹣3x﹣4y+10，得，如图，要使z=﹣3x﹣4y+10最大，则直线在y轴上的截距最小，由z=﹣3x﹣4y+10，得3x+4y+z﹣10=0．则，即z=15或z=5．由题意可得z的最大值为15．故答案为：15．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【考点】正弦定理；余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】（1）把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0，得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；（2）由A的度数求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面积，利用面积公式及sinA的值，求出bc的值，记作①；由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，把bc 的值代入求出b+c的值，记作②，联立①②即可求出b与c的值．【解答】解：（1）由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，∵C为三角形的内角，∴sinC≠0，∴sinA﹣cosA=1，整理得：2sin（A﹣）=1，即sin（A﹣）=，∴A﹣=或A﹣=，解得：A=或A=π（舍去），则A=；（2）∵a=2，sinA=，cosA=，△ABC的面积为，∴bcsinA=bc=，即bc=4①；∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：4=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12，整理得：b+c=4②，联立①②解得：b=c=2．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知函数（a≠0）是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）的值域．【考点】奇函数；函数的值域．【专题】常规题型；计算题．【分析】（1）由函数是奇函数，和函数f（x）的图象经过点（1，3），建立方程求解．（2）由（1）知函数并转化为，再分两种情况，用基本不等式求解．【解答】解：（1）∵函数是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）∴，∵a≠0，∴﹣x+b=﹣x﹣b，∴b=0又函数f（x）的图象经过点（1，3），∴f（1）=3，∴，∵b=0，∴a=2（2）由（1）知当x＞0时，，当且仅当，即时取等号当x＜0时，，∴当且仅当，即时取等号综上可知函数f（x）的值域为【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键．19．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d＞1时，由（1）知c n=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；当时，a n=（2n+79），b n=9•；（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，∴c n==，∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣．【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PCD；（Ⅱ）若PA=AB，求EF与平面PAC所成角的大小．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）欲证EF∥平面PCD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面PCD内一直线平行即可，连接BD，根据中位线可知EF∥PD，而EF不在平面PCD内，满足定理所需条件；（Ⅱ）连接PE，根据题意可知BD⊥AC，又PA⊥平面ABC，则PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，根据线面所成角的定义可知∠EPD是PD与平面PAC所成的角，而EF∥PD，则EF与平面PAC所成的角的大小等于∠EPD，在Rt△PED中，求出此角即可．【解答】（Ⅰ）证明：如图，连接BD，则E是BD的中点．又F是PB的中点，所以EF∥PD．因为EF不在平面PCD内，所以EF∥平面PCD．（Ⅱ）解：连接PE．因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC．又PA⊥平面ABC，所以PA⊥BD．因此BD⊥平面PAC．故∠EPD是PD与平面PAC所成的角．因为EF∥PD，所以EF与平面PAC所成的角的大小等于∠EPD．因为PA=AB=AD，∠PAD=∠BAD=90°，所以Rt△PAD≌Rt△BAD．因此PD=BD．在Rt△PED中，sin∠EPD=，∠EPD=30°．所以EF与平面PAC所成角的大小是30°．【点评】本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角大小计算，同时考查空间想象能力和推理论证能力．21．已知函数y=f（x），若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点．（1）若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）若函数f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，求实数b的取值范围；（3）若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．【考点】函数的图象；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据定义构造方程ax2+x﹣a=0，再利用判别式得到方程有解，问题得以解决．（2）根据定义构造方程2x+2﹣x+2b=0在区间[﹣1，2]上有解，再利用换元法，设t=2x，求出b的范围，问题得以解决．（3）根据定义构造方程4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0…（*）在R上有解，再利用换元法，设t=2x+2﹣x，方程变形为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，再根据判别式求出m的范围即可【解答】解：（1）由f（x）=ax2+x﹣a得f（﹣x）=ax2﹣x﹣a，代入f（﹣x）=﹣f（x）得ax2+x﹣a+ax2﹣x﹣a=0得到关于x的方程ax2﹣a=0（a≠0），其中△=4a2，由于a∈R且a≠0，所以△＞0恒成立，所以函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，∴方程2x+2﹣x+2b=0在区间[﹣1，2]上有解，于是﹣2b=2x+2﹣x，设t=2x，≤t≤4，∴﹣2b=t+，其中2≤t+≤，所以﹣≤b≤﹣1（3）∵f（﹣x）=4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3，由f（﹣x）=﹣f（x），∴4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m•2x+1+m2﹣3），于是 4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0…（*）在R上有解，令t=2x+2﹣x（t≥2），则4x+4﹣x=t2﹣2，∴方程（*）变为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，需满足条件：即，化简得1﹣≤m≤2【点评】本题依据新定义，考查了方程的解得问题以及参数的取值范围，以及换元的思想，转化思想，属于难题22．已知函数f（x）=xlnx．（l）求f（x）的单调区间和极值；（2）若对任意恒成立，求实数m的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【专题】导数的综合应用．【分析】（l）求函数的导数，利用函数单调性和极值之间的关系即可求f（x）的单调区间和极值；（2）利用不等式恒成立，进行参数分离，利用导数即可求出实数m的最大值．【解答】解（1）∵f（x）=xlnx，∴f'（x）=lnx+1，∴f'（x）＞0有，∴函数f（x）在上递增，f'（x）＜0有，∴函数f（x）在上递减，∴f（x）在处取得极小值，极小值为．（2）∵2f（x）≥﹣x2+mx﹣3即mx≤2x•lnx+x2+3，又x＞0，∴，令，令h'（x）=0，解得x=1或x=﹣3（舍）当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，函数h（x）在（0，1）上递减当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上递增，∴h（x）min=h（1）=4．∴m≤4，即m的最大值为4．【点评】本题主要考查函数单调性和极值的求解，利用函数单调性，极值和导数之间的关系是解决本题的关键．将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决不等式恒成立问题的基本方法．。
长沙市长郡中学2022-2023学年高一上数学期末达标检测模拟试题含解析
解：当 时， ， 或 ，
∴
【小问2详解】
解：∵ 或 ，∴ ，
∵“ ”是“ ”的充分不必要条件，
∴ 是 的真子集，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，故实数 的取值范围为
19、（1）
（2）最大值为 ，最小值为
【解析】（1）根据 的定义域列出不等式即可求出；
（2）可得 ，即可求出最值.
【小问1详解】
的定义域是 ， ，
2、C
【解析】如图所示，直线 额倾斜角为 ，故斜率为 ，由点斜式得直线方程为 .
考点：直线方程.
3、A
【解析】将 写成分段函数的形式，根据单调性先分析每一段函数需要满足的条件，同时注意分段点处函数值关系，由此求解出 的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ，
当 在 上单调递增时， ，所以 ，
当 在 上单调递增时， ，所以 ，
当 时，
．
【点睛】本题考查函数值、函数解析式的求法，考查函数性质、三角形及矩形形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
18、（1）
（2）
【解析】（1）首先得到集合 ，再根据交集的定义计算可得；
（2）首先求出集合 的补集，依题意可得 是 的真子集，即可得到不等式组，解得即可；
【点睛】本题考查了三角函数诱导公式，属于基础题
10、C
【解析】①当 ， ，且 ，则 ，反之当 ，必有 .
②当 ， ，且 ，则 ，反之，若 ，则 ，
，所以 .
③当 ，则 ；反之， ， .
综上所述，“存在集合 使得 是“ ”的充要条件.
考点：集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题.
11、D
【解析】从集合A到集合B的函数，即定义域是A，值域为B，逐项判断即可得出结果.