4.1一元二次方程1
一元二次方程求根公式推导过程是什么
一元二次方程求根公式推导过程是什么想要了解一元二次方程的小伙伴赶紧来看看吧！下面由小编为你精心准备了“一元二次方程求根公式推导过程是什么”，本文仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的知识点！一元二次方程求根公式推导过程是什么一元二次方程的根公式是由配方法推导来的，那么由ax^2+bx+c （一元二次方程的基本形式）推导根公式的详细过程如下：1、ax^2+bx+c=0（a≠0，^2表示平方），等式两边都除以a，得x^2+bx/a+c/a=0；2、移项得x^2+bx/a=－c/a，方程两边都加上一次项系数b/a的一半的平方，即方程两边都加上b^2/4a^2；3、配方得x^2+bx/a+b^2/4a^2=b^2/4a^2－c/a，即（x+b/2a）^2=（b^2-4ac）/4a；4、开根后得x+b/2a=±[√（b^2-4ac）]/2a（√表示根号），最终可得x=[-b±√（b^2-4ac）]/2a。
一元二次方程怎么解？第一种：直接开平方法——这种方法要求等式的左边为一个完全平方式，右边为一个非负的常数，即形如X2=a（a≥0）或者（mX2+n）=a（a≥0），这种形式的方程可直接通过开方后经过简单计算即可得到结果。
第二种：配方法——配方法一共有6个步骤。
第一步，将二次项系数化为1，即化为X²+bX+c=0的形式；第二步，将常数项移到方程右边；第三步，方程两边都加上一次项系数一半的平方；第四步，等式左边写成完全平方形式，右边合并同类项；第五步，等式两边同时开方；第六步，确定方程的解。
第三种：公式法——使用公式法时首先需要将等式化为标准形式，即为aX²+bX+c=0的形式。
方程的解可直接套用公式得出X=[-b±（b²-4ac）^1/2]/2a，将标准形式中的a、b、c代入即可。
第四种：因式分解法——因式分解法一共有四步。
第一步，将方程右边化为0；第二步，将方程左边进行同类项合并；第三步，将方程左边写成两个一次式的乘积；第四步，通过一次方程写出方程的两个解。
一元二次不等式教案5篇
一元二次不等式教案一元二次不等式教案5篇作为一名优秀的教育工作者，总不可避免地需要编写教案，借助教案可以更好地组织教学活动。
那么教案应该怎么写才合适呢？以下是小编整理的一元二次不等式教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。
一元二次不等式教案1教学内容3.2一元二次不等式及其解法三维目标一、知识与技能1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系；2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组)，正确地求出分式不等式的解集；3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式；4.会利用一元二次不等式，对给定的与一元二次不等式有关的问题，尝试用一元二次不等式解法与二次函数的有关知识解题.二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.进一步提高学生的运算能力和思维能力；2.培养学生分析问题和解决问题的能力；3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想.教学重点1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.教学难点1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.教学方法启发、探究式教学教学过程复习引入师：上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系。
回顾下等比数列的性质。
生：略师：某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两种ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算），公司B的收费原则是第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时内收费1.6元以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）那么，一次上网在多少时间以内能够保证选择公司A的上网费用小于等于选择公司B所需费用。
关于一元二次函数,一元二次方程,一元二次不等式及其关系
1. 一元二次函数函数 2y ax bx c =++ (0)a ¹叫做一元二次函数，其中,,a b c 是常数 一般式2y ax bx c =++ ( 0a ¹)顶点式 ()2y a x h k =-+ (0a ¹),其中(),h k 为抛物线顶点坐标两点式()()12y a x x x x =-- ( 0a ¹), 其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。
1.1一元二次函数的基本性质1.1.1一元二次函数的定义域和值域 一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹的R一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹ 的值域是0a >时一元二次函数的值域是24,4ac ba 轹-÷ê÷+ ÷ê÷øë 0a <时一元二次函数的值域是24,4acb a 纟-çú- ççúèû1.1.2一元二次函数的单调性1. 2y ax bx c =++ ， ()0a > 在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调减函数 ，在区间,2ba 轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调增函数 。
当2b x a=-时 2min 44ac b y a-=， m ax y =无2. 2y ax bx c =++ ()0a <在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调增加函数，在区间,2ba轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调减函数 。
第四章一元二次方程 复习
的积，右边是0的方程
一.一元二次方程的有关概念：
1、一元二次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数是2，这样的整式方程叫做一元二 次方程 一般形式：ax2＋bx＋c＝0 (a、b、 c是已知数，a≠0)
其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次 项系数和常数项； 2
2 8 x 2 x1 1 2 ，x 2 1 2
解法二：（配方法）
移项得： x 2 x 1
2
配方得：x 2 即
2x 1 2
2
( x 1) 2
x 1 2 x1 1 2 ，x2 1 2
x 1 2 两边开方：
例9、选用适当方法解下列方程：
解：∵ x 2是方程的根.
把x 2
t 3. 2 把t 3代入方程得：x 3x 2 0
一元二次方程为x 3x 2 0;
2
代入方程得： 2
2
2t 2 0
其根x1 2, x 2 1. 所以方程的另一个根为1，且t 3.
练习一：
4
3 2 3 (x ) 2 4 3 3 3 3 3 3 x1 ，x 2 x 2 2 2 2
2
4
用配方法解一元二次方程要注意两点： ①首先将二次项系数变为1； ②把常数项移到方程右边；
③方程两边各加上一次项系数一半的
平方，这是配方法的关键的一步，方程 左边配成完全平方式，当右边是非负实 数时，用开平方法即可求得方程的解．
3、已知：方程x2－5x＋5=0的一个根 5 为m，求m＋ 的值.
m
解：∵m是x2-5x+5=0的根 ∴m2-5m+5=0 ∵m≠0 5 ∴m-5+ =0
4.1一元二次方程(1)
问题情境 （1）正方形桌面的面积是2m2，求它的边长？
m2
解：设正方形桌面的边长是
x 2
2
xm
（2）矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总 长度是19米。如果花圃的面积是24m2，求花圃的长 和宽？
, 解：设花圃的宽是 xm则花圃 的长是 (19 2 x)m.。
x
根据题意，得 x(19 2 x) 24
x x0
2
一次项系数
二次项系数 为什么 要限制 a≠0， a x 2 + b x + c = 0 b,c可以 (a、b、c为常数且a ≠ 0) a x 2 又叫二次项 为零吗 ？ b x叫一次项
即学即用 指出下列方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
x 2
2
x 2 0
2
x(19 2 x) 24
ax
2+
bx+c=0
(a、b、c为常数且a ≠ 0)
2 一元二次方程的一般形式
x 2 0
2
2 x 19 x 的一元二次方程都可以 一般地,任何一个关于x 24 0 2 化为 ax bx 2 0 的形式,我们把ax 2 bx c 0 c 5x 10 x 2.2 0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
(1).x x 2
2
(2)4 x 1 x
2
(3).2 x 3x 1
2
(4).x( x 3) 2
课堂练习 根据题意列出方程： （1）剪出一张面积是240平方厘米的长方形彩纸， 使它的长比宽多8厘米，这张彩纸的长是多少？ （2）一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1厘米的 1 正方形孔。已知正方形面积是圆面积的 9 ，求圆的 半径。
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程解法公式法：
（一）定义：
一元二次方程是由一个方程组成的形式，其中包含一个独立的变量以
及平方项和恒等于零的常数。
（二）解法：
1. 首先，我们要用一元二次方程解法公式法来求解一元二次方程问题。
公式为：
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
2. 其次，我们把方程中的变量代入到公式中。
一般来说，方程的形式为：$$ax^2+bx+c=0$$
3. 最后，根据公式，可以得出$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
（三）特殊情况：
1. 一元二次方程的实数根有可能为两个相等的数，此时，解的形式会
变成$$x=\frac{-b}{2a}$$
2. 当$b^2-4ac=0$时，表示方程只有一个实数根，这时，解的形式可以
写作$$x=\frac{-b}{2a}$$
（四）应用：
1. 一元二次方程解法公式法可以用来求解各类一元或多元函数的极值。
例如，可以应用这一方法求解二次曲线的极值点、凸函数的极值点等。
2. 同时，一元二次方程解法公式法也可用于求解数学建模问题，包括
求解市场博弈问题、求解应用各类运筹学问题等等。
（五）益处：
1. 一元二次方程解法公式法比较简单明晰，容易理解，易于使用。
2. 可以让人们轻松地解决一元或多元函数求极值问题，以及市场博弈
问题和应用各类运筹学技术来解决复杂的数学问题。
3. 这种方法可以将复杂的数学问题转换为简单的方程，从而节省时间，提高工作效率。
一元二次方程公式
一元二次方程公式
一元二次方程的公式是：x=−b±b2−4ac2a(b2−4ac≥0)。
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax+bx+c=0（a≠0）。
其中ax叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
一元二次方程的求解方法
1、公式法
在一元二次方程y=ax²+bx+c（a、b、c是常数）中，当△＝b²-4ac＞0时，方程有两个解，根据求根公式x=（－b±√（b²-4ac））／2a即刻求出结果；△＝b²-4ac=0时，方程只有一个解x=-b/2a；△＝b²-4ac＜0时，方程无解。
2、配方法
将一元二次方程化成顶点式的表达式y=a（x-h）²+k（a≠0），再移项化简为（x-h）²=-k/a，开方后可得方程的解。
3、因式分解法
通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，即交点式的表达式y=a（x-x1）（x-x2），再分别令这两个因式等于0，它们的解就是原方程的解。
一元二次方程讲义全
一元二次方程讲义全一元二次方程讲义考点一、概念1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。
2)一般表达式：ax^2+bx+c=(a≠0)注：当b=0时可化为ax^2+c=0，这是一元二次方程的配方式。
3)四个特点：只含有一个未知数；且未知数次数最高次数是2；是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax^2+bx+c=(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。
4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为0；②未知数指数为2；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A。
(x+1)^3=2(x+1)B。
2√x+1-11=0C。
ax^2+bx+c=0D。
x^2+2x=x^2+1变式：当k≠0时，关于x的方程kx^2+2x=x^2+3是一元二次方程。
例2、方程(m+2)x^m+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。
考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y^2+y-3的值为2，则4y^2+2y+1的值为。
例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+(a^2-4)=0的一个根为-2，则a的值为。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制。
例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为-1.说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为。
一元二次方程课后练习
4.1一元二次方程1、若 是关于x 的一元二次方程，求p 的取值范围2、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
（1）3523-=+x x （2）42=x （3）2112x x x =-+- （4）22)2(4+=-x x2、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）y y =26 （2）（x-2）(x+3)=8 （3）2)2()43)(3(+=-+x x x3、方程（2a —4）x 2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程4、已知关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+3x-5m+4=0有一根为2，求m 。
5、 是关于的一元二次方程，求m 的值。
2、根据题意，列出一元二次方程。
（1）两个数的和是12，积是35，求这两个数。
(2)一个三角形的一边比这边上的高长2cm ，这个三角形的面积是30cm 2（3）一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个两位数的个位数字与十位数字对0322=-+-p p x px 7222=+--mx x m m ）若方程（调后，再和原数相乘得736，求这个两位数。
3、把下列方程整理成一元二次方程的一般形式，分别指出它们的二次项系数、一次项系数、常数项。
（1）（x-5）（2x-1）=3 （2）3x （5x-2）=0（3）(2x-1)2=4 （4）()()()()2311222-+=+--y y y y4、已知实数a 、b 、c 满足等式0||2)1(2=-++++-b a c b a ，那么一元二次方程02=++c bx ax 的一般形式为 。
5、关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+3x-5m+4=0有一根为2，则m 的值为B: 6、根据题意，列出一元二次方程并化为一般形式。
在一块长为30m ，宽为20m 的矩形土地中间，有一种植面积为551m 2的矩形绿地，在绿地四周铺设宽度相等的鹅卵石道路，求鹅卵石道路的宽。
一元二次方程的定义和根
一元二次方程的定义和根一、一元二次方程的定义和根1、一元二次方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）。
并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）。
其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数；$bx$是一次项，$b$是一次项系数；$c$是常数项。
对于方程$ax^2$+$bx$+$c$=0，只有当$a$≠0时才是一元二次方程。
反过来，如果说$ax^2$+$bx$+$c$=0是一元二次方程，则必须含着$a$≠0这个条件。
3、一元二次方程的根使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程，再解关于待定系数的方程。
4、解一元二次方程（1）直接开平方法我们知道如果$x^2$=25，则$x$=$土\sqrt{25}$，即$x$=±5，像这种利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
一般地，对于方程$x^2$=$p$，① 当$p$>0时，方程有两个不等的实数根$x_1$=$\sqrt{p}$ ，$x_2$=$-\sqrt{p}$。
② 当$p$=0时，方程有两个相等的实数根$x_1$=$x_2$=0。
③ 当$p$<0时，因为对任意实数$x$ ，都有$x^2\geqslant$0，所以方程无实数根。
（2）配方法通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：① 化二次项系数为1。
② 移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
③ 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为$(x+n)^2$=$p$的形式。
④ 直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
二次根式和一元二次方程知识点整理
二次根式二、知识要点1、二次根式的概念a ≥0）的式子叫做二次根式。
注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a ≥0，2、取值范围（1）、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
（2）、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤03、二次根式a ≥0）的非负性a ≥0）表示a a ≥00（a≥0）。
注意：a ≥0）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（a ≥0）的算术平方根是非负数，即2（a ≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用0=，则a=0,b=020b =，则a=0,b=020b =，则a=0,b=0。
4、二次根式2的性质：2a =（a ≥0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注意：二次根式的性质公式2a =（a ≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若a ≥0，则2a =，如：22=，212=。
5、二次根式的性质(0)(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注意：（1）、化简一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即(0)a a a==≥；若a是负数，则等于a的相反数-a,即1.414 1.7322.236≈≈；；；2、a的取值范围可以是任意实数，即不论a3a，再根据绝对值的意义来进行化简。
6、2与1、不同点：22表示一个正数a的算术平方根的平a的平方的算术平方根；在2中a可以是正实数，0，负实数。
但220≥0≥。
因而它的运算的结果是有差别的，2a=（a≥0）(0)(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩2、相同点：当被开方数都是非负数，即a≥0时，2a＜0时，2无意义，而a=-。
初中数学一元一次一元二次方程解法
一元一次方程与一元二次方程组方程的定义：是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“=”。
它具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程等。
即：还有未知数的等式叫做方程一元一次方程：ax+b=0二元一次方程:ax２+by+c=0一般解法1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（不含分母的项也要乘）；2.去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；(记住如括号外有减号的话一定要变号）3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；移项要变号4.合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式；5.系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a.二元一次方程组的解法步骤：3.代入消元法①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的. ）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）.4. 加减消元法①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）.应用题结题方法1审题：弄清题意和题目中的已知数、未知数;2找等量关系：找出能够表示应用题全部含义的一个(或几个)相等关系;3设未知数：据找出的相等关系选择直接或间接设置未知数4列方程（组）：根据确立的等量关系列出方程5解方程(或方程组)，求出未知数的值;6检验：针对结果进行必要的检验；7作答：包括单位名称在内进行完整的答语。
一元二次方程 两个不相等的实数根 a b
《一元二次方程：深入探讨两个不相等的实数根 a b》一元二次方程是初中阶段数学学习的重要内容，而探讨两个不相等的实数根 a b 是其中的一个重要问题。
在本篇文章中，我们将从浅入深地探讨一元二次方程和两个不相等的实数根 a b，并探讨其深层含义和应用。
## 1. 一元二次方程的基本概念让我们来回顾一下一元二次方程的基本概念。
一元二次方程通常的一般形式为 Ax^2 + Bx + C = 0，其中 A、B、C 分别为常数，而 x 则代表未知数。
而方程的根则是能够使得方程等式成立的 x 的值。
在这里，我们重点强调两个不相等的实数根a 和b。
在解一元二次方程时，我们通常使用求根公式 x = (-B±√(B^2-4AC))/(2A)。
### 1.1 求根公式的含义在一元二次方程中，求根公式的正负号代表着两个不同的解，分别对应着两个不相等的实数根 a 和 b。
而在方程中，判别式Δ = B^2-4AC 则决定了根的性质，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根。
而对于我们的主题——两个不相等的实数根 a 和 b，往往对应着Δ>0的情况，接下来我们将着重对此进行探讨。
## 2. 两个不相等的实数根的意义现在，让我们进一步探讨两个不相等的实数根 a 和 b 的意义。
当一元二次方程有两个不相等的实数根时，实际上反映了方程对应的二次函数与 x 轴相交于两个不同的点。
这一点可以通过函数图像的形状来理解，即函数的图像会与 x 轴在两个不同的点上相交。
### 2.1 几何解析从几何角度来说，两个不相等的实数根 a 和 b 分别代表了函数图像与x 轴相交的两个横坐标。
这也意味着方程所对应的二次函数在这两个横坐标上的函数值分别为零，这些横坐标的数值与实数根 a 和 b 的数值是对应的。
通过一元二次方程的两个不相等的实数根，我们能够对应地找到函数图像在 x 轴上的特殊点，从而更全面地理解函数的性质。
一元二次方程章节目标分析
《一元二次方程》章节目标分析一、本章教学目标：1．根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会一元二次方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型。
2．会用直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程，并在解方程的过程中体会转化等数学思想。
3．会用一元二次方程解决简单的实际问题，检验结果是否符合实际意义。
二、本章总体把握１、结合教材，面向全体，把握好教学要求从内容上看，教材目前只是突出最重要的基础知识和最基本的技能。
例如，在讨论一元二次方程的解法时，要求学生理解配方法，会用配方法、公式法、因式分解法解简单的一元二次方程，应避免繁琐的计算。
“一元二次方程根与系数的关系”只作为选学内容要求，但可以适当补充练习。
２、突出算理，强化解一元二次方程的基本策略以及解法中的关键步骤，渗透转化的思想方法。
一元二次方程与一元一次方程相比，它的特殊性是未知数的次数是２，因此将面临的新问题转化为熟悉的问题是解决此问题的基本思路。
我们先解决形如ax2=b的方程，然后提出如何解形如（x+a）2=b的方程，最后引出“降次”这一解一元二次方程的基本策略，使“降次”很自然很合理的融入学生的思维。
在学习因式分解法时，先引入x(x-1)=0，突出方程的特征分析：一边为０，一边为两个一次因式相乘；再根据“如果A*B=0,那么Ａ＝０或Ｂ＝０”得到两个一元一次方程。
这样既突出了一元二次方程解法上的特点及其算理，又反映了一元二次方程与一元一次方程在解法上的内在联系。
教学时，应为学生提供能主动地思考探究交流的内容，引导学生积极地思考与探究，使学生认识到降次的合理性。
在讨论一元二次方程的各种具体解法时，我们应把重点放在分析方程的形式特征上，使学生理解各种解法及算理，体会降次转化在解方程时的作用，培养学生思维的深刻性和灵活性，转化是一种重要的思想方法，在本章中，反映转化思想方法的内容十分广泛。
如配方法，把方程化为（x+a）2=b的形式，体现了数学形式的转化，公式法直接利用公式把方程中的“未知”转化为“已知”，直接开平方法、分解因式法通过“降次”，把一元二次方程转化为两个一元一次方程等。
第四章一元二次方程教材解读
配方的条件： 有：二次项（系数为 1） 、一次项。 缺：常数项 配方的方法： 补：常数项（加上一次项系数一半的平方）
公式法
1.利用学生已有的配方法解方程的经验， 让学生自己用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0） ， 通过探索去 发现求根公式和公式的条件。
b 2 4ac 2.教学中，要淡化 4a 2
19.（2010 北京）已知关于 x 的一元二次方程 x²-4x+m-1=0 有两个相等实数根，求的 m 值及方程的 根．
20.（2010 广东佛山）教材或资料会出现这样的题目：把方程 形式，并写出他的二次项系数、一次项系数和常数项。 现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答。 （1）下列式子中，有哪几个是方程 号） ① 。 ②
12.（2011 上海）如果关于 x 的方程 x2-2x+m=0（m 为常数）有两个相等实数根，那么 m＝_____． 13. (2011 江苏镇江)已知关于 x 的方程 x2+mx-6=0 的一个根为 2,则方程的另一根是___, 14. （ 2010 福 建 德 化 ） 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 的 一 个 根 是 1 ， 写 出 一 个 符 合 条 件 的 方 程： ． 15. 2011 山东泰安）方程 2x +5x-3=0 的解是
第四章一元二次方程教材解读
欢口育英初级中学：彭亚利
教材内容
本章共三节内容，主要介绍了一元二次方程的概念、一般形式、解会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。 2.会用一元二次方程解决简单的实际问题，能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
4.2 一元二次方程的解法 直接开平方法
直接开平方法比较简单，教学中要注意引导学生观察： 问题变化 方程形式变化 解方程 x2-4=0
九年级第一次课讲义一元二次方程的定义,直接开平方,配方法
第1次课讲义-一元二次方程的定义、直接开平方、配方法一元二次方程的认识一、一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．注意：要想判断一个方程是不是一元二次方程，首先要做到熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程；再次需要注意的是要对方程进行简单的化简整理.二、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是()200ax bx c a ++=≠．其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．例1.下列方程中，关于x 的一元二次方程有（ ）①20x =；②20ax bx c ++=23-=；④20a a x +-=；⑤()21402m m x x -++=；⑥21113x x +=2=；⑧()2219x x +=-． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个练习1.1 有下列关于x 的方程：①20ax bx c +=+，②()340x x -=，③230x y +-=，④212x x +=，⑤3380x x +=-，⑥215702x x -+=，⑦()()2251x x x -+=-．其中是一元二次方程的有（ ）个 A ．2B ．3C ．4D ．5在利用一元二次方程的定义求字母的值时，特别要注意0a ≠的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．也就是说我们不仅要使方程的最高次是二次的，同时要保证这个二次项是存在的，即二次项系数0a ≠.例2.已知：方程()||1310m m x mx ---+=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ ）A ．3m =±B ．3m =C ．3m =或1m =-D ．1m =-练习2.已知关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．±1 D ．不能确定在判断一个含有字母参数的方程是什么方程时，一定要严格按照该方程的定义来判断. 例3.方程()()211310m m x m x +++--=；（1）m 取何值时是一元二次方程；（2）m 取何值时是一元一次方程．练习3.1 已知关于x 的方程()2210m m x x ++-=．（1）当m 为何值时是一元一次方程；（2）当m 为何值时是一元二次方程．在利用一元二次方程的一般式判断二次项系数、一次项系数和常数项时，一定要先将已知的一元二次方程化简后再进行判断，同时要注意其前面的符号.例4.一元二次方程2342x x -=-的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A ．3，﹣4，﹣2B ．3，﹣2，﹣4C ．3，2，﹣4D ．3，﹣4，0练习4.1 方程22650x x -=-的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A ．6、2、5 B ．2、﹣6、5 C ．2、﹣6、﹣5 D ．﹣2、6、5练习4.2 关于x 的一元二次方程()()()33215x x a x a -+-+=的一次项系数是（ ）A ．8aB ．8a -C ．2aD ．79a -一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．已知一个数是方程的解，只需将这个数代入到方程中得到一个等式即可.例5. 关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++=-的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．12练习5.1 如果2是方程230x x k +=-的一个根，则常数k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2练习 5.2 我们知道方程2230x x +-=的解是11x =，23x =-，现给出另一个方程()()22322330x x +++-=，它的解是（ ）A ．11x =，23x =B ．11x =，23x =-C ．11x =-，23x =D ．11x =-，23x =-不解方程，可以通过化简，用整体代入求值。
一元二次解方程的步骤及格式
一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的解法有四种主要方法：公式法、配方法、直接开平方法和因式分解法。
- 配方法的具体步骤如下：首先，将原方程化为一般形式；然后，方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；接着，方程两边同时加上一次项系数一半的平方；之后，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；最后，通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
- 公式法是基于一元二次方程的求根公式：对于形如ax^2+bx+c=0（a≠0）的一元二次方程来说，其解为x=[-b±sqrt(b^2-4ac)]/(2a)。
- 直接开平方法是用直接开平方求解一元二次方程的方法，例如对于形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m± √n。
- 因式分解法则是把方程的左边进行因式分解，转化为两个因式乘积的形式，然后令每个因式分别等于0，进而求出方程的两个根。
一元二次方程组最值的两种方法
一元二次方程组最值的两种方法一元二次方程组是指由两个二次方程组成的方程组。
求解一元二次方程组最值是数学中的一个重要问题，可以通过两种方法来解决。
方法一：代数法首先，我们先将一元二次方程组写成标准形式：方程1：y = ax^2 + bx + c方程2：y = dx^2 + ex + f其中，a、b、c、d、e、f为方程的系数。
为了方便求解最值，我们可以将方程1和方程2相减，得到一个新的二次方程：(y - y) = (ax^2 + bx + c) - (dx^2 + ex + f)0 = (a - d)x^2 + (b - e)x + (c - f)我们可以将这个新的二次方程化简为标准形式，并求出其顶点坐标。
顶点坐标的x值即为一元二次方程组的最值点的横坐标，将其带入方程1或方程2可以求得最值点的纵坐标。
方法二：几何法几何法是通过几何图形的性质来求解一元二次方程组的最值。
首先，我们将方程组转化为几何图形，其中方程1可以表示为一个抛物线，方程2也可以表示为另一个抛物线。
我们可以观察到，当a和d的符号相同且二次项的系数不为0时，两个抛物线相交于两个交点。
这两个交点的纵坐标中较大的一个即为一元二次方程组的最大值，较小的一个即为一元二次方程组的最小值。
如果a和d的符号不同且二次项的系数不为0时，两个抛物线不相交，而是分离的。
此时，方程组无最值。
如果二次项的系数为0，即a和d的值均为0，那么方程组的两条曲线退化为一条直线，直线的最大值和最小值可直接通过直线上的两个点求出。
综上所述，通过代数法和几何法，我们可以求解一元二次方程组的最值。
代数法适用于求解一切类型的一元二次方程组，而几何法则适用于某些特定形式的一元二次方程组。
无论使用哪种方法，求解一元二次方程组的最值都有其独特的思路和方法。
希望本文为读者提供了对一元二次方程组最值问题的理解和启发。
计算机解一元二次方程
计算机解一元二次方程
解一元二次方程是解决数学问题中常见的一个任务，它可以通过计算机来完成。
要解一元二次方程，我们需要知道方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知的实数，且a不等于0。
为了解一元二次方程，我们可以使用求根公式。
求根公式告诉我们方程的根可以通过以下公式计算得到：
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)
现在，让我们来看一个具体的例子来说明如何使用计算机解一元二次方程。
假设我们要解方程2x^2 - 5x + 3 = 0。
我们需要将方程中的系数a、b和c分别赋值为2、-5和3。
然后，我们可以使用上述求根公式来计算方程的根。
通过计算得到：
x = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4*2*3)) / (2*2)
简化后得到：
x = (5 ± √(25 - 24)) / 4
进一步简化得到：
x = (5 ± √1) / 4
由于√1等于1，我们可以进一步简化为：
x = (5 ± 1) / 4
现在我们可以得到方程的两个根：
x1 = (5 + 1) / 4 = 6 / 4 = 1.5
x2 = (5 - 1) / 4 = 4 / 4 = 1
因此，方程2x^2 - 5x + 3 = 0的两个根分别为1.5和1。
通过这个例子，我们可以看到计算机可以快速而准确地解一元二次方程。
计算机的计算能力使得解决类似的数学问题变得更加简单和高效。
无论是解一元二次方程还是其他数学问题，计算机都可以成为我们强大的工具，为我们提供准确的结果。
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九年级数学导学稿
第4章一元二次方程
课题：4.1一元二次方程（第1课时）
郭家屯初中初三编写
学习目标：
1、正确理解一元二次方程的意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程；
2、知道一元二次方程的一般形式是20(
ax bx c a b c
++=、、是常数，），能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项；
3、理解并会用一元二次方程一般形式中a≠0这一条件；
重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。
难点：理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。
学习过程：
【温故知新】
绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
分析:
我们可以运用方程解决实际问题.现设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程
x(x＋10)＝900
整理可得 x2＋10x－900=0. （1）
【创设情境】
学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率。
分析:
设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程
5（1＋x）2=7.2,
整理可得 5x2＋10x－2.2=0. （2）
思考、讨论
这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程。
那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
（学生分组讨论，然后各组交流）
共同特点：（1）都是整式方程;（2）只含有一个未知数;（3）未知数的最高次数是2。
【探索新知】
一元二次方程的概念上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：
ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)。
其中2
ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项。
运用新知解决问题
试一试你能行：自学例1并解决下列问题
下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
（1）3
5
2
3-
=
+x
x（2）4
2=
x（3）
2
1
1
2
x
x
x
=
-
+
-
（4）
2
2)2
(
4+
=
-x
x
【巩固提升】
1、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项（1）x
x3
2
22-
= (2) 2x(x-1)=3(x-5)-4 (3）()()()()2
3
1
1
22
2-
+
=
+
-
-y
y
y
y
2、关于x的方程0
)3
(2=
+
+
-m
nx
x
m，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？
3、已知x=0是关于x的一元二次方程（k - 1）x2+3kx+4 -4︱k︳=0的解，求k.。
【课堂小结】通过这节课的学习你有哪些收获？
【达标检测】
1．将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：(1）y
y=
2
6; (2）（x-2）(x+3)=8; (3）2)2
(
)4
3
)(
3
(+
=
-
+x
x
x
2．方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？。