高一数学人教A版必修2课后导练：4.3.2空间两点间的距离公式
数学人教A必修2 4.3.1 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式
即 N（4,3,
5 ）. 2
数学 【备用例2】 (拔高)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长都为2,侧棱 AA1⊥底面ABC,建立适当坐标系写出各顶点的坐标. (1)求点A、B、C、D、A1、B1、C1、D1的坐标; (2)求点N的坐标.
解:取 AC 的中点 O 和 A1C1 的中点 O1,可得 BO⊥AC,分别以 OB,OC,OO1 所在直线 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 因为三棱柱各棱长均为 2, 所以 OA=OC=1,OB= 3 , 可得 A(0,-1,0),B( 3 ,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2), B1( 3 ,0,2),C1(0,1,2).
对应.
2.在空间直角坐标系中横坐标为0的点在y轴上吗? 提示:不一定.横坐标为0的点一定在yOz平面内,横坐标、竖坐标全为0的 点在y轴上.
数学
【例 1】 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E、 F 分别是 D1D、 BD 的中点,G 在棱 CD 上, 且 CG=
1 CD,H 为 C1G 的中点,试建立适当的坐标系,写出 E、F、G、H 的坐标. 4 解:建立如图所示的空间直角坐标系.点 E 在 z 轴上,它的横坐标、纵坐标
1.空间直角坐标系 如图,以正方体OABCD′A′B′C′为载体,以O为原点,分别以射线OA,OC, OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长,建立三条数轴: x轴、y轴、z轴 ,这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫
做 坐标原点 , x轴、y轴、z轴 叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫 做坐标平面,分别称为 xOy平面 、 yOz平面 、 zOx平面 ,通常建立的坐标 系为 右手直角坐标系 ,即 右手拇指 指向x轴的正方向, 食指 指向y轴的 正方向, 中指 指向z轴的正方向.
人教A版高中数学必修2《4.3空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式》_10
4.3.2 空间两点间的距离公式整体设计教学分析平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣.三维目标1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神. 重点难点教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. 推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图2⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-. 于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M(x,y,z)是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=213+=2,y=203+=23,z=215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得 d(A,B)=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P(x,y,z)到A,B 的距离相等,所以有下面等式： 222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0.点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练在z 轴上求一点M,使点M 到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC 的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=3, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( )A.0B.735C.75D.78 活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值. 解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为B.答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法. 知能训练课本本节练习1、2、3、4.拓展提升已知三棱锥P —ABC(如图4),PA ⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.图3解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE ⊥Ox,垂足为E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0).在Rt △AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m,∴tan ∠BAE=mm AE EB 3|||| =33.∴∠BAE=30°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.课堂小结1.空间两点间的距离公式的推导与理解.2.空间两点间的距离公式的应用.3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.作业习题4.3 A 组3,B 组1、2、3.设计感想本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手,创设问题情景,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离.为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心.。
高一数学人教版A版必修二课件：4.3.2 空间两点间的距离公式
4.3.2 空间两点间的距离公式
学习目标
1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程； 2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知方体ABCD－A1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为 a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？ 答案 a2＋b2＋c2.
超级记忆法-记忆规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内！ TIP2：很多我们觉得比较容易背的古诗词，大多不超过七个字，很大程度上也 是因为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制 在7组之内（每一组不代表只有一个字哦，这7组中的每一组容量可适当加大）。 TIP3：比如我们记忆一个手机号码18820568803，如果一个一组的记忆，我 们就要记11组，而如果我们拆解一下，按照188-2056-8803，我们就只需要 记忆3组就可以了，记忆效率也会大大提高。
由|AP1|＝|AP2|得， x－32＋1＋1＝ x－22＋4＋9，
所以x＝－3，
同理，由|BP1|＝|BP2|得y＝－1， 所由以|CPA1(|－＝3|C,0P,20|)得，zB＝(0－，23－，1,0)，C(0,0，－32).
解析答案
类型三 空间两点间距离公式的应用 例3 已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF， 点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a (0＜a＜ 2). (1)求|MN|的长； (2)当a为何值时，|MN|的长最小.
高中数学人教A版必修二4.3.2 空间两点间的距离公式
例 2 设 P 在 x轴上，它到 P1(0, 2,3)的距离为 到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x 2 2 2 3 2 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2, PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
小结
• 空间两点间的距离公式：
• 点 P（x，y，z）与坐标原点O的距离公式：
问题解决
1、在空间直角坐标系中标出下列各点：
A(0,2,4) C(0,2,0)
B(1,0,5) D(1,3,4)
A B
D C
例 1 求证以 M1(4,3,1)、 M2(7,1,2)、 M3(5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
z
P1
P2
O
y
x
P1P2 MN x1 x2 2 y1 y2 2
思考9:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线，则点P1、P2
的距离如何计算？
z
P2
P1 O
xM
A
y N
思考10:在上述图形背景下，点P1（x1，y1，z1）与P2 （x2，y2，z2）之间的距离是
它对任意两点P1、P2都成立吗？
z
O
P
y
x
【必修2】高中数学4.3.2空间两点间的距离公式课时作业新人教A版
4.3.2 空间两点间的距离公式【课时目标】 1．掌握空间两点间的距离公式．2．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．3．能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．1．在空间直角坐标系中，给定两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则|P 1P 2|＝________________________________________________________________________．特别地：设点A (x ，y ，z )，则A 点到原点的距离为：|OA |＝________________．2．若点P 1(x 1，y 1,0)，P 2(x 2，y 2,0)，则|P 1P 2|＝______________________．3．若点P 1(x 1,0,0)，P 2(x 2,0,0)，则|P 1P 2|＝________．一、选择题1．若A (1,3，－2)、B (－2,3,2)，则A 、B 两点间的距离为( )A ．61B ．25C ．5D ．572．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为() A ．9 B ．29 C ．5 D ．2 63．到点A (－1，－1，－1)，B (1,1,1)的距离相等的点C (x ，y ，z )的坐标满足( )A ．x ＋y ＋z ＝－1B ．x ＋y ＋z ＝0C ．x ＋y ＋z ＝1D ．x ＋y ＋z ＝44．已知A (2,1,1)，B (1,1,2)，C (2,0,1)，则下列说法中正确的是( )A ．A 、B 、C 三点可以构成直角三角形B ．A 、B 、C 三点可以构成锐角三角形C ．A 、B 、C 三点可以构成钝角三角形D ．A 、B 、C 三点不能构成任何三角形5．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB |取最小值时，x 的值为( )A ．19B ．－87C ．87D ．19146．点P (x ，y ，z )满足x －12＋y －12＋z ＋12＝2，则点P 在( )A ．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面上B ．以点(1,1，－1)为中心，以2为棱长的正方体内C ．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面上D ．无法确定二、填空题7．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．8．已知P ⎝⎛⎭⎫32，52，z 到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________． 9．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________．三、解答题10．在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最小．11．如图所示，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为(32，12，0)，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求AD 的长度．能力提升12．已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜2)．(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小．13．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N 在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．空间中两点的距离公式，是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广，反之，它可以适用于平面和数轴上两点间的距离的求解．设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则d (P 1，P 2)＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12，当P 1，P 2两点落在了坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间距离公式，当两点落在坐标轴上时，则公式转化为数轴上两点间距离公式．4．3．2 空间两点间的距离公式 答案知识梳理1．x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22 x 2＋y 2＋z 22．x 1－x 22＋y 1－y 22 3．|x 1－x 2|作业设计1．C [|AB |＝1＋22＋3－32＋－2－22＝5．]2．B [由已知求得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝29．]3．B [|AC |＝|BC |⇒(x ＋1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2．即x ＋y ＋z ＝0．]4．A [|AB |＝2，|BC |＝3，|AC |＝1，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2．故构成直角三角形．]5．C [|AB |＝x －12＋3－2x 2＋3x －32＝14x 2－32x ＋19，∴当x ＝－－322×14＝87时，|AB |最小．]6．C 7．23938．0或－4 解析 利用中点坐标公式，则AB 中点C ⎝⎛⎭⎫12，92，－2，|PC |＝3，即 ⎝⎛⎭⎫32－122＋⎝⎛⎭⎫52－922＋[z －－2]2＝3， 解得z ＝0或z ＝－4．9．(0，－1,0)解析 设M 的坐标为(0，y,0)，由|MA |＝|MB |得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，∴y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．10．解 ∵点M 在直线x ＋y ＝1(xOy 平面内)上，∴可设M (x,1－x,0)．∴|MN |＝x －62＋1－x －52＋0－12 ＝2x －12＋51≥51，当且仅当x ＝1时取等号，∴当点M 坐标为(1,0,0)时，|MN |min ＝51．11．解 由题意得B (0，－2,0)，C (0,2,0)，设D (0，y ，z )，则在Rt △BDC 中，∠DCB ＝30°，∴BD ＝2，CD ＝23，z ＝3，y ＝－1．∴D (0，－1，3)．又∵A (32，12，0)，∴|AD |＝322＋12＋12＋32＝6．12．解 ∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，∴BE ⊥平面ABCD ，∴AB 、BC 、BE 两两垂直．过点M 作MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，连接NG ，易证NG ⊥AB ．∵CM ＝BN ＝a ，∴CH ＝MH ＝BG ＝GN ＝22a ，∴以B 为原点，以AB 、BE 、BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0． (1)|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02 ＝a 2－2a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －222＋12，(2)由(1)得，当a ＝22时，|MN |最短，最短为22，这时M 、N 恰好为AC 、BF 的中点．13．解 如图分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)，∵|DD 1|＝|CC 1|＝2， ∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)， ∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝⎛⎭⎫32，3，1． M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)． 由两点间距离公式，得 |MN |＝⎝⎛⎭⎫32－12＋3－12＋1－22＝212．。
人教课标版高中数学必修2导学案-空间两点间的距离公式
4.3.2空间两点间的距离公式一、学习目标1. 理解空间两点间距离公式的推导过程和方法.2. 掌握空间两点间的距离公式及其简单应用. 二、学习方法指引1. 预习课本136-137页，做138页练习.2. 重点：空间两点间的距离公式及应用.3. 难点：空间两点间距离公式的推导. 三、基础知识再现 1. 空间两点间的距离公式空间中两点),,(1111z y x P ，),,(3222z y x P 之间的距离是=21P P . 说明：空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，平面上两点间的距离公式又可看成是空间两点间的距离公式的特例.2. 用空间两点间距离公式时要注意坐标差是对应的21x x -，21y y -，21z z -，因为有平方，故减数和被减数的位置可以互换.3. 空间两点间距离的求法 （1）建立适当的空间直角坐标系. （2）在空间直角坐标系中写出点的坐标. （3）用空间两点间距离公式求距离.4. 在空间直角坐标系中，任意一个三元一次方程0=+++D Cz By Ax （C B A ,,不能同时为零）都表示一个平面，反过来，任意一个平面的方程都是一个三元一次方程.对于特殊的三元一次方程：a x =表示平行于yOz 面的平面，且与yOz 面的距离为a .b y =表示平行于xOz 面的平面，且与xOz 面的距离为b .c z =表示平行于xOy 面的平面，且与xOy 面的距离为c .0,0,0===z y x 分别表示yOz ，xOz ，xOy 三个坐标平面.5. 空间两点间距离公式的推导方法剖析：（1）先看简单的情形：设空间直角坐标系中点),,(z y x P ， 求点P 到原点O 的距离.如图所示，设点P 在xOy 平面上的射影是B ， 则点B 坐标是(,,0)x y ，在xOy平面上有OB =在直角三角形OBP 中，根据勾股定理，得OP =因为BP z=，所以OP = 这说明，在空间直角坐标系Oxyz 中，任意一点(,,)P x y z 与原点之间的距离是OP = （2）下面再看一般的情况：如图所示，设点1111(,,)P x y z ，2222(,,)P x y z 是空间任意两点，且两点在xOy 平面上的射影分别为,M N ，那么,M N 的坐标为11(,,0)M x y ，22(,,0)N x y .在xOy 平面上，MN =过点1P 作2P N 的垂线，垂足为H ，则11MP z =，22NP z =，所以212HP z z =-. 在直角三角形12PHP 中，1PH MN == 根据勾股定理，得12PP ==.因此空间中两点1111(,,)P x y z ，2222(,,)P x y z 间的距离公式可以表示成下面形式：12PP =五、课堂练习 1. 点P 到原点的距离是（ ）A6 B 1C 6D 62. 点(,,)P a b c 到坐标平面xOz 的距离是（ ）AB aC bD c3. 点(2,3,4)P 到y 轴的距离是（ ）AB C 5D4. 若(4,7,1)A -，(6,2,)B z ，11AB =，则z = .5. 已知点(1,2,1)A -关于坐标平面xOy 的对称点为1A ，则A ，1A 两点间的距离为 .6. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，已知3AB =，2BC =，12AA =，用空间两点间的距离公式计算对 角线1B D 的长为 .7.如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直， ,//,CD AB CD AD ⊥AB = AD 4,2==CD ，M 为CE 的中点。
2019-2020学年高中数学人教A版必修2学案：4.3.1-2 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式 Word版含解析
正棱锥等常见几何体，把握建系的方法，空间中的点在坐标系中的坐标．类比平面上两点间的距离，熟记空间两点间的距离公式．．体会利用空间直角坐标系解决问题的步骤．空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点O轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐类型一 空间中点的坐标的确定ABCD－A1B1C1D1，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标．所在直线为x轴，轴，建立空间直角坐标系BC|＝3，AA1|＝4，O和A1C1的中点OO1⊥BO，分别以轴建立空间直角坐标系．∴OA＝OC＝O1类型二 空间直角坐标系中的点的对称点例2 在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于x轴对称的点P1的坐标是________；关于xOy平面对称的点P2的坐标是________；关于点A(1,0,2)对称的点P3的坐标是________．【解析】 点P关于x轴对称后，它的横坐标不变，纵坐标和竖坐标均变为原来的相反数，所以点P关于x轴的对称点P1的坐标为(－2，－1，－4)．点P关于xOy平面对称后，它的横坐标和纵坐标均不变，竖坐标变为原来的相反数，所以点P关于xOy平面的对称点P2的坐标为(－2,1，－4)．设点P关于点A的对称点的坐标为P3(x，y，z)，由中点坐标公式可得Error!解得Error!故点P关于点A(1,0,2)对称的点P3的坐标为(4，－1,0)．【答案】 (－2，－1，－4) (－2,1，－4) (4，－1,0)利用对称规律解决关于坐标轴、坐标平面的对称问题，利用中点坐标公式解决点关于点的对称问题．方法归纳在空间直角坐标系内，已知点P(x，y，z)，则有：①点P关于原点的对称点是P1(－x，－y，－z)②点P关于横轴(x轴)的对称点是P2(x，－y，－z)③点P关于纵轴(y轴)的对称点是P3(－x，y，－z)④点P关于竖轴(z轴)的对称点是P4(－x，－y，z)⑤点P关于xOy坐标平面的对称点是P5(x，y，－z)⑥点P关于yOz坐标平面的对称点是P6(－x，y，z)⑦点P关于xOz坐标平面的对称点是P7(x，－y，z)．跟踪训练2 已知M(2,1,3)，求M关于原点对称的点M1，M关于xOy 平面对称的点M2，M关于x轴、y轴对称的点M3，M4.解析：由于点M与M1关于原点对称，所以M1(－2，－1，－3)；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,1，－3)；M与M3关于x轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即M3(2，－1，－3)，同理M4(－2,1，－3).方法归纳类型三 空间两点间的距离,,ABCD －A ′B ′′上，且|A ′N |＝由题意应先建立坐标系，以所以B (a ，a,0)，A ′的中点，取A ′C ′的中点.，a 2，a )，所以N 为A ′C ′的中点，故N (a 4，34a ，a分，共15分)A1B1C1D1中，已知B1的横坐标和竖坐标与点的纵坐标与点C的纵坐标相同，(0,0,4)，B1(4,0,4)，所以由空间直角坐标系的中点坐标公式得，即M(2,2,2)，。
人教A版高中数学必修二课时作业空间直角坐标系空间两点间的距离公式
4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式选题明细表知识点、方法题号空间点的坐标3,4,8空间两点间的距离1,5,7,9,11,12对称及应用问题2,10基础巩固1.点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是( D )(A)(B)|a|(C)|b| (D)|c|解析:点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a,b,0),所以|PP′|=|c|.故选D.2.在空间直角坐标系中,点M的坐标是(4,7,6),则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz上的射影的坐标为( C )(A)(4,0,6) (B)(-4,7,-6)(C)(-4,0,-6) (D)(-4,7,0)解析:点M关于y轴的对称点是M′(-4,7,-6),点M′在坐标平面xOz 上的射影是(-4,0,-6).3.在空间直角坐标系中,已知点P(1,,),过点P作平面yOz的垂线PQ,则垂足Q的坐标为( B )(A)(0,,0) (B)(0,,)(C)(1,0,) (D)(1,0,0)解析:平面yOz内点的横坐标为0,P,Q纵坐标、竖坐标分别相等,故Q(0,,).4.已知A点坐标为(1,1,1),B(3,3,3),点P在x轴上,且|PA|=|PB|,则P 点坐标为( A )(A)(6,0,0) (B)(6,0,1)(C)(0,0,6) (D)(0,6,0)解析:设P(x,0,0),|PA|=,|PB|=,由|PA|=|PB|,得x=6.5.已知点A(1,a,-5),B(2a,-7,-2)(a∈R),则|AB|的最小值是( B )(A)3(B)3(C)2(D)2解析:|AB|2=(2a-1)2+(-7-a)2+(-2+5)2=5a2+10a+59=5(a+1)2+54.所以a=-1时,|AB|2的最小值为54.所以|AB|min==3.6.空间点M(-1,-2,3)关于x轴的对称点的坐标是.解析:因为点M(-1,-2,3)关于x轴对称,由空间中点P(x,y,z)关于x轴对称点的坐标为(x,-y,-z)知,点M关于x轴的对称点为(-1,2,-3).答案:(-1,2,-3)7.已知三角形的三个顶点A(2,-1,4),B(3,2,-6),C(5,0,2).则(1)过A点的中线长为;(2)过B点的中线长为;(3)过C点的中线长为.解析:(1)设BC的中点为D,则D(4,1,-2),可得|AD|==2;(2)设AC的中点为E,则E(,-,3),可得|BE|==;(3)设AB的中点为F,则F(,,-1),可得|CF|==.答案:(1)2(2)(3)8.如图所示,在长方体ABCO A1B1C1O1中,OA=1,OC=2,OO1=3,A1C1与B1O1交于P,分别写出A,B,C,O,A1,B1,C1,O1,P的坐标.解:点A在x轴上,且OA=1,所以A(1,0,0).同理,O(0,0,0),C(0,2,0),O1(0,0,3).B在xOy平面内,且OA=1,OC=2,所以B(1,2,0).同理,C1(0,2,3),A1(1,0,3),B1(1,2,3).所以O1B1的中点P的坐标为(,1,3).能力提升9.(2018·大同高一检测)空间直角坐标系中,x轴上到点P(4,1,2)的距离为的点有( A )(A)2个(B)1个(C)0个(D)无数个解析:设x轴上满足条件的点为B(x,0,0),则由|PB|=,得=.解之得x=-1或9.故选A.10.已知M(2,1,3),求M关于原点对称的点M1,M关于xOy平面对称的点M2,M关于x轴、y轴对称的点M3,M4.解:由于点M与M1关于原点对称,所以M1(-2,-1,-3);点M与M2关于xOy 平面对称,横坐标与纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数,所以M2(2,1,-3);M与M3关于x轴对称,则横坐标不变,纵坐标和竖坐标变为原来的相反数,即M3(2,-1,-3),同理M4(-2,1,-3).11.在空间直角坐标系中,在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M,使它到点N(6,5,1)的距离最短.解:由已知,可设M(x0,1-x0,0).则|MN|==.所以当x 0=1时,|MN|min=.此时点M的坐标为(1,0,0).探究创新12.已知正方形ABCD,ABEF的边长都是1,而且平面ABCD与平面ABEF 互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0<a<), 求:(1)MN的长;(2)a为何值时,MN的长最小.解:(1)因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AB⊥BE,BE⊂平面ABEF,所以BE⊥平面ABCD,所以AB,BC,BE两两垂直.过点M作MG⊥AB,MH⊥BC,垂足分别为G,H,连接NG,易证NG⊥AB.因为CM=BN=a,所以CH=MH=BG=GN=a,所以以B为原点,以BA,BE,BC所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则M(a,0,1-a),N(a,a,0).所以|MN|===(0<a<).(2)因为|MN|=,故当a=时,|MN|min=.这时M,N恰好分别为AC,BF的中点.。
高一数学人教A版必修2课件：4.3.2 空间两点间的距离公式
2.空间一点M的坐标可用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组
(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作__________,
其中(xx叫,y,做z)点M的__________,y叫做点横M坐的标__________,z叫做
点M的纵_坐_标________.
第三十页，编辑于星期日：二十二点 一分。
5.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)为三角形的三个顶点,则
△ABC是( )
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.等腰三角形
解析 :| AB | (4 1)2 (2 2)2 (3 11)2 89 | BC | (6 4)2 (1 2)2 (4 3)2 14,| AC | (6 1)2 (1 2)2 (4 11)2 75. | BC | 2 | AC | 2 |
等)的相对位置. 3.初步了解空间直角坐标系中,点关于坐标平面､坐标轴､原点的
对称点的坐标特征. 4.熟悉并掌握空间两点间的距离公式,会应用两点间的距离公式解有
关空间距离的问题.
第二页，编辑于星期日：二十二点 一分。
5.从空间直角坐标系的建立与平面直角坐标系的比较,初步体会人类
认识世界是从低级到高级,从简单到复杂的过程,进一步认识归纳
类比在人类认识论中的作用及其应注意的问题.
第三页，编辑于星期日：二十二点 一分。
第四页，编辑于星期日：二十二点 一分。
1.如上图,为了确定空间点的位置,我们建立空间直角坐标系:以 ______单_位__正_为方载体体.以O为原点,分别以射线OA､OC､OD′的方 向为__________,以正线段方O向A､OC､OD′的长为单位长,建立三 条数轴:_____________,这时x我轴们､y说轴建､z立轴了一个 _________空__间__直__角__坐,其标中系点O叫__________,__________ 叫坐坐标标原轴点,通过x每轴两､个y轴坐､标z轴轴的平面叫坐标平面,分别称为 ______________________x_O,通y平常面建､y立O的z平坐面标､系zO为x平面 ______________,即__右__手__直_角__坐_指标向系x轴的正右方手拇指 向,________指向y食轴指的正方向,________指向z轴中的指正方向.
高中数学教案之高一数学人教版必修二4.3.2空间两点间的距离公式
高一数学必修二教案
科目：数学
课题
空间两点间的距离公式
课型新课
教学目标（1）使学生掌握空间两点间的距离公式
（2）过程与方法
（3）情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特
殊到一般的认识过程
教学过程教学内容备
注
一、自主学习
二、质疑提问由平面上两点间
的距离公式，引
入空间两点距离
公式的猜想
先推导特殊情况
下空间两点间的
距离公式
推导一般情况下
的空间两点间的
距离公式
三、问题探究
四、课堂检测
五、小结评价。
人教新课标A版高一数学《必修2》4.3.2 空间两点间距离公式
D.等腰直角三角形
课堂练习 3.如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为2.
(1)求正方体各顶点的坐标; (2)求A1C的长度.
谢谢大家！
探究点1
空间两点间距离公式
空间两点间的距离公式 (1) 在 空 间 中 ， 点 P(x ， y ， z) 到 坐 标 原 点 O 的 距 离 |OP| ＝ . (2) 在 空 间 中 ， P1(x1 ， y1 ， z1) 与 P2(x2 ， y2 ， z2) 的 距 离 |P1P2|
＝
.
典例精讲：题型一：求空间两点间的距离 例1:已知△ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)． (1)求△ABC中最短边的边长； (2)求AC边上中线的长度． 【思路探究】 本题是考查空间两点间的距离公式的运用，
【思路探究】
先根据空间直角坐标系，求出
点B1，E，O1，D的坐标，然后利用两点间的距
离公式求解．
典例精讲：题型二：空间直角坐标系与两点间距离公式
典例精讲：题型二：空间直角坐标系与两点间距离公式
典例精讲：题型三：空间距离公式的应用
例3: 设A(1，－3,5)，B(2,1，－4)，P为x轴上一点，求|PA|2＋|PB|2的最
解得x＝1，或x＝9.
典例精讲：题型二：空间直角坐标系与两点间距离公式 例2: 如图所示，在长方体 OABC － O1A1B1C1 中， |OA| ＝ 2 ， |AB| ＝ 3 ， |AA1| ＝ 2 ， E 是 BC 的中点，作 OD ⊥ AC 于点 D ，求线段 B1E 的长度
及顶点O1到点D的距离．
变式训练
1.已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，
高一数学人教A版必修2课后导练：4.3.2空间两点间的距离公式含解析
高一数学人教A版必修2课后导练：4.3.2空间两点间的距离公式含解析课后导练基础达标1 若 A(1,3,-2)、 B(2,-2,3), 则 A,B 两点间的距离为（）A. 61B.25C.51D. 26分析：由两点间的距离公式得，|AB|= (1 2)2(32) 2(2 3)251.答案： C2 在长方体ABCD — A1B1C1D1中，若 D(0,0,0) 、 A(4,0,0) 、B(4,2,0) 、 A 1(4,0,3), 则对角线AC 1的长为（）A.9B.29C.5D. 2 6分析：∵ |AB|=(44)2( 20) 2=2,|AD|=4,|AA1|=(44)2(00) 2(03) 2=3,∴|AC 1 |=AB2AD 2AA12416929 .答案： B3 已知点 A(1,-2,11) 、B(4,2,3) 、 C(6,-1,4), 则△ ABC的形状是 ()A. 等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形分析：∵ |AB|=(14) 2(22)2(113) 289，|AC|=(16)2(21)2(114)25 3 ，|BC|=(64) 2(12) 2(43) 214 ，∴|AC|2+|BC| 2=|AB| 2,∴△ ABC 为直角三角形 .答案： C4 设点 B 是点 A(2,-3,5)对于 xOy 面的对称点，则 |AB| 等于 ()A.10B.10C.38D.38分析：由对称点的性质知，B（ 2， -3， -5），∴ |AB|=(22) 2(33)2(55)2=10.答案： A5 点 M(2 ， -3， 5)到 Ox 轴的距离 d 等于 ()A. 38B.34C. 13D.29分析：点 M （ 2， -3， 5）到 Ox 轴的距离为( 3)25234 .答案： B6 在 y 轴上与点 A(-4,1,7) 和点 B(3,5,-2) 等距离的点 C 的坐标为 __________.分析：设 C（ 0,y,0） ,因为 |AC|=|BC| ，∴ 16( y 1) 2499( y5)2 4 ，得y=7.2高一数学人教A 版必修2课后导练：4.3.2空间两点间的距离公式含解析7答案： (0,,0)27 设 A(4,-7,1) 、 B(6,2,z) 、 |AB|=11, 则 z=____________. 分析： 由两点间的距离公式知|AB|=(4 6)2(7 2)2 (1 z) 2 =11,∴ (z-1) 2+4+81=11 2,得 z=7 或 -5. 答案： 7 或-58 在空间直角坐标系中 ,到点 M(-4,1,7) 和 N(3,5,-2) 等距离的动点 P 的轨迹图形与 Ox 轴交点的 坐标为 ____________.解析 ： 设 所 求 的 点 的 坐 标 为 （x,0,0 ）, 由 两 点 距 离 公 式 得( x 4) 2 1 7 2( x 3) 2 52 ( 2) 2 得 x=-2.答案： (-2,0,0) 综合运用9 在空间直角坐标系中， 正方体 ABCD —A 1B 1 C 1D 1 的极点 A(3,-1,2), 此中心 M 的坐标为 (0，1，2)，则该正方体的棱长等于 ____________.分析： 设正方体的棱长为 a ，由条件知 |AM|=9 4 013 ，因此正方体的对角线长为2|AM|= 2 13 ，即 3 a= 2 13 ,∴a=239 .3答案：239310 设点 P 在 x 轴上，它到 P 1（ 0， 2 ， 3）的距离为到点 P 2（ 0， 1， -1）距离的两倍，求点 P 的坐标.分析： 由条件可设 P(x,0,0),则 |PP 1|=2|PP 2|,即x 2 2 32 2 x 2 1 1 ,平方得 x 2=1,∴ x =±1.故点 P 的坐标为 (1,0,0) 和 (-1,0,0).11 在座标平面 yOz 内的直线 2y-z=1 上确立一点 P,使 P 到 Q(-1,0,4) 的距离最小 . 分析： ∵ P 在 yOz 平面内 ,∴可设 P(0,y,2y-1),由两点间的距离公式得|PQ|=(0 1) 2 ( y 0) 2 (2 y 1 4) 2 5 y 2 20 y 26 5( y 2)2 6 当 y=2时,|PQ|获得最小值为 6 ,这时 P(0,2,3).拓展研究12 如图 ,在河的一侧有一塔 CD=5 m, 河宽 BC=3 m, 另一侧有点 A,AB=4 m, 求点 A 与塔顶 D 的 距离 AD.高一数学人教A版必修2课后导练：4.3.2空间两点间的距离公式含解析解：以 CD 所在直线为 z 轴,BC 所在直线为 x 轴 ,成立空间直角坐标系 ,由条件知 CD=5 m,BC=3 m,AB=4 m. 进而可得 D(0,0,5),A(3,-4,0).由两点间距离公式得|AD|= (3 0)2(40)252m.答:点 A 与塔顶D的距离 AD 为52m.。
2020版人教A版高中数学必修二导练课件：4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式
第四页，编辑于星期日：一点 十二分。
名师点津 (1)空间直角坐标系的画法 ①x轴与y轴成135°(或45°),x轴与z轴成135°(或45°).
②y 轴垂直于 z 轴,y 轴和 z 轴的单位长相等,x 轴上的单位长则等于 y
轴单位长的 1 . 2
(2)空间两点间的距离 ①空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式,只是增加了对应的竖 坐标的运算. ②空间中点坐标公式:设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 AB 中点
解:(1)由于点P关于x轴对称后,它在x轴的分量不变,在y轴、z轴的分量变为原来的相 反数,所以对称点为P1(-2,-1,-4). (2)由于点P关于xOy平面对称后,它在x轴、y轴的分量不变,在z轴的分量变 为原来的相反数,所以对称点为P2(-2,1,-4).
(3)设对称点为P3(x,y,z),则点M为线段PP3的中点,由中点坐标公式,可得 x=2×2-(-2)=6,
第十二页，编辑于星期日：一点 十二分。
题型二 空间直角坐标系中点的对称问题
[例2] (1)点A(1,2,-1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是
;
解析:(1)如图所示,过A作AM⊥xOy交平面于M,并延长到C,使AM=CM,则A与 C关于坐标平面xOy对称且C的坐标为(1,2,1).过A作AN⊥x轴于N并延长到点B, 使AN=NB,则A与B关于x轴对称且B的坐标为(1,-2,1). 所以A(1,2,-1)关于坐标平面xOy对称的点C的坐标为(1,2,1);
②充分利用几何图形的对称性.
(2)求某点的坐标时,一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影,确定其两个 坐标,再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正
高中数学人教A版必修二全程复习课件4.3.2空间两点间的距离公式
【拓展延伸】建立空间直角坐标系遵循的两个原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. (2)充分利用几何图形的对称性.
【变式训练】四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=1,AD=2,SA=1, 且SA⊥底面ABCD,问边BC上是否存在异于B,C的点P,使得∠SPD 是直角?
【解析】以A为原点,射线AB,AD,AS分别为x,y,z轴的正半轴, 建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),S(0,0,1),D(0,2,0). 设P(1,x,0)(0<x<2), 所以SP2=(1-0)2+(x-0)2+(0-1)2 =x2+2, PD2=(1-0)2+(x-2)2+(0-0)2 =(x-2)2+1, SD2=(0-0)2+(0-2)2+(1-0)2=5.
【解题指南】1.先利用空间两点间距离公式求出三角形的三 边长，再根据三角形的三边确定三角形的形状. 2.先根据空间几何体的结构特征建立空间直角坐标系，然后 根据题目中的条件求出点M，N的坐标，最后利用空间两点间 距离公式即可求出|MN|.
【解析】1.选C.| AB | (4 1)2 (2 2)2 (3 11)2 89.
()
A. 14
B. 13
C.2 3
D. 11
2.设点P在x轴上，它到点P1(0， 2 ，3)的距离为到点 P2(0,1,-1)的距离的两倍，求点P的坐标.
【解题指南】1.先求出点B的坐标，再由距离公式求解. 2.先根据x轴上点的坐标特点设出点P的坐标(a,0,0),再根据 两点间距离公式列出关于a的方程，然后解方程即可.
【解析】1.选B.因为点B坐标为(0，2，3)， 所以| OB | 02 22 32 13，故选B. 2.设P(a,0,0),因为|PP1|=2|PP2|, 所以 (a 0)2 (0 2)2 (0 3)2
人教新课标版数学高一-必修2训练 4.3.2空间两点间的距离公式
数学·必修2(人教A 版)4.3 空间直角坐标系4．3.2 空间两点间的距离公式基础达标1．点⎝ ⎛⎭⎪⎫66，33，22到原点的距离是( )A.306 B ．1 C.336 D.356解析：|PO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫662＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1. 答案：B2．点B 是点A (1,2,3)在坐标平面yOz 内的射影，则|OB |等于() A.14 B.13 C ．2 3 D.11解析：∵B (0,2,3)，∴|OB |＝02＋22＋32＝13.答案：B3．空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)与点B (x ，－1,6)的距离为86，则x 等于( )A ．2B ．－8C ．2或－8D ．8或－2解析：由(x ＋3)2＋(－1－4)2＋(6－0)2＝86，∴(x ＋3)2＝25，∴x ＝2或－8.答案：C4．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是2，则该点的坐标可能为( )A ．(1,1,1)B ．(2，2，2)C ．(1,1，2)D ．(1，2，2)解析：设该点的坐标为(x ，y ，z )，则到x 轴、y 轴、z 轴的距离分别为y 2＋z 2、x 2＋z 2、x 2＋y 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＋z 2＝2，x 2＋z 2＝2，x 2＋y 2＝2，解之得|x |＝|y |＝|z |＝1，故选A.答案：A5．已知A (1,2,3)，B (3,3，m )，C (0，－1,0)，D (2，－1，－1)，则( )A ．|AB |>|CD | B ．|AB |<|CD |C ．|AB |≤|CD | D ．|AB |≥|CD |解析：由两点间的距离公式得|CD |＝5，|AB |＝5＋(m －3)2≥ 5.答案：D6．已知A (3,2,1)，B (1,0,4)，求：(1)线段AB 中点的坐标和A 与B 的距离；解析：M (x ，y ，z )是AB 的中点，则x ＝3＋12＝2， y ＝2＋02＝1，z ＝1＋42＝52， ∴M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，52. 两点间的距离|AB|＝(1－3)2＋(0－2)2＋(4－1)2＝17.(2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件，并指出方程表示什么图形．解析：由P(x，y，z)到A、B两点的距离相等．则(x－3)2＋(y－2)2＋(z－1)2＝(x－1)2＋(y－0)2＋(z－4)2，化简得4x＋4y－6z＋3＝0.即到A、B的距离相等的点的坐标(x，y，z)满足的条件是4x＋4y －6z＋3＝0.方程表示的图形是线段AB的垂直平分面．巩固提升7．给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为30，则P点坐标为_______________________________________________________ _________________．解析：设点P的坐标为(x,0,0)，由题意，得|P0P|＝30，即(x－4)2＋12＋22＝30.∴x＝9或x＝－1.∴P 点坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．答案：(9,0,0)或(－1,0,0)8．在空间直角坐标系中，已知A (0,0,3)，B (2,0,0)，C (0，2,0)，则△ABC 的面积是多少？解析：|AB |＝(0－2)2＋(0－0)2＋(3－0)2＝13，|BC |＝(2－0)2＋(0－2)2＋(0－0)2＝22，|AC |＝(0－0)2＋(0－2)2＋(3－0)2＝13，∵|AB |＝|AC |，∴△ABC 是等腰三角形，则BC 边上的高h ＝(13)2－(2)2＝11.∴S △ABC ＝12|BC |·h ＝12×22×11＝22.9．在空间直角坐标系中，已知A (3,0,1)和B (1,0，－3)，试问：(1)在y 轴上是否存在点M ，满足|MA |＝|MB |?解析：假设y 轴上存在M 点满足|MA |＝|MB |设M (0，y,0)由|MA |＝|MB |，可得32＋y2＋12＝12＋y2＋32，显然，此式对任意y∈R恒成立．∴y轴上所有点都满足|MA|＝|MB|.(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．解析：假设y轴存在点M，使△ABC为等边三角形．由(1)可知，y轴上任意一点都有|MA|＝|MB|，∴只要满足|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．∵|MA|＝10＋y2，|AB|＝(1－3)2＋(0－0)2＋(－3－1)2＝20，∴10＋y2＝20，解得y＝±10.∴存在点M(0，10，0)或(0，－10，0)．10．在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，求该正方体的棱长．解析：|AM|＝(3－0)2＋(－1－1)2＋(2－2)2＝13，∴对角线|AC1|＝213，设棱长x，则3x2＝(213)2，239∴x＝3.。
高一数学人教A版必修2课后导练：3.3.2两点间的距离含解析
课后导练基础达标1两点P 1（-1,3),P 2(2,5)之间的距离为_________解析：由|P 1P 2|=13)53()21(22=-+--. 答案：132已知两点P 1(0,10),P 2(a,-5)之间的距离是17，则a 的值是________.解析：由条件知2215+a =17.∴a 2=64,∴a=±8.答案：±83已知A(a,3),B(3,3a+3)两点间的距离是5，则a 的值为__________.解析：由229)3(a a +-=5,得a=-1或58. 答案：-1或58 4已知点A(4,12),在x 轴上的点P 与点A 的距离等于13,则点P 的坐标为________. 解析：设P （x 0，0）则22012)4(+-x =13，解得x 0=-1或x 0=9.答案：（-1，0）或（9，0）5已知A(1,5),B(5,-2)在x 轴上的点M 与A 、B 的距离相等，则点M 的坐标为____________. 解析：设M （x 0，0）由|AM|=|BM|得4)5(5)1(20220+-=+-x x ,解得x 0=83. 答案：（83，0） 6点P 1(a,b)关于直线x+y=0的对称点是P 2，P 2关于原点O 的对称点是P 3，则|P 1P 3|=_________. 解析：由条件知P 2（-b ，-a ），P 3（b ，a ），∴|P 1P 3|=2)()(22=-+-a b b a |a-b|. 答案：2|a-b|7已知A(3,-1)、B(5,-2)，点P 在直线x+y=0上，若使|PA|+|PB|取最小值，则点P 的坐标是（ ）A.（1,-1)B.(-1,1)C.(513,513-) D.(-2,2) 解析：设点A （3，-1）关于x+y=0的对称点为A′,则A′(1,-3),连A′B,则直线A′B 方程为y+3=41(x-1). 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+.513,513)1(413,0y x x y y x 解得 答案：C8x 轴上任一点到定点(0,2),(1,1)距离之和的最小值是（ ）A.2B.2+2C.10D.5+1解析：设点（0，2）关于x 轴对称点为A ，则A （0，-2），两点（0，-2）与（1，1）之距为所求，即1091=+.答案：C综合运用9动点P 在直线x+y-1=0上运动，Q （1，1）为定点，当|PQ|最小时，点P 的坐标为________. 解析：设P （x,1-x ）由两点距离公式得|PQ|=21)21(2122)1(2222+-=+-=+-x x x x x , x=21时|PQ|最小. 答案：（21，21） 10 一条直线l 过点P （3，2）,并且和直线l 1:x-3y+10=0交于A 点，l 和直线l 2：2x-y-8=0相交于点B ，若点P 为线段AB 中点.求l 方程.解：由条件可设A （3y 0-10,y 0），∵AB 中点为P （3，2），∴B （16-3y 0,4-y 0）又知B 在l 2上，∴2（16-3y 0）-(4-y 0)-8=0,得y 0=4,∴A(2,4),又知直线l 过点A ，P ，则l 方程为y-4=-2(x-2)，即2x+y-8=0.11已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系，证明|AM|=21|BC|. 证明：如右图，以AB 所在的直线为x 轴，AC 边所在直线为y 轴，建立直角坐标系，设B （b,0）,C(0,c)中点坐标公式知M （2,2c b ）, ∴|AM|=|OM|=22222144c b c b +=+ 又|BC|=22c b +,故|AM|=21|BC|. 拓展探究12（1）已知点P 是平面上一动点，点A （1，1），B （2，-2）是平面上两个定点，求|PA|2+|PB|2的最小值，并求此时P 的坐标.（2）求函数f(x)=371213422+-++-x x x x 的最小值.解：（1）设P （x ，y ）(x ∈R,y ∈R)则|PA|=22)1()1(-+-y x ,|PB|=22)2()2(++-y x ， ∴|PA|2+|PB|2=(x 2-1)2+(y-1)2+(x-2)2+(y+2)2=2x 2-6x+5+2y 2+2y+5=2(x-23)2+2(y+21)2+8, ∴x=23,y=-21时|PA|2+|PB|2最小. 故|PA|2+|PB|2最小值为8，此时P （23，-21）. （2）如图f(x)=222222)10()6()30()2(1)6(9)2(-+-+-+-=+-++-x x x x设A （2，3）,B （6，1）,P （x ，0），则上述问题转化为求|PA|+|PB|的最小值.点A 关于x 轴的对称点A′(2,-3),∵|PA′|+|PB|≥|AB′|=24,∴|PA|+|PB|≥24.∴f(x)的最小值为24。
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课后导练
基础达标
1若A(1,3,-2)、B(2,-2,3),则A,B 两点间的距离为（ ） A.61 B.25 C.51 D.62
解析：由两点间的距离公式得，|AB|=51)32()23()21(222=--+++-.
答案：C
2在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A 1(4,0,3),则对角线AC 1的长为（ ）
A.9
B.29
C.5
D. 62
解析：∵|AB|=22)02()44(-+-=2,|AD|=4,|AA 1|=222)30()00()44(-+-+-=3,
∴|AC 1|=2991642
122=++=++AA AD AB . 答案：B
3已知点A(1,-2,11)、B(4,2,3)、C(6,-1,4),则△ABC 的形状是( )
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
解析：∵|AB|=89)311()22()41(222=-+--+-， |AC|=35)411()12()61(222=-++-+-， |BC|=14)34()21()46(222=-+--+-，
∴|AC|2+|BC|2=|AB|2,∴△ABC 为直角三角形.
答案：C
4设点B 是点A(2,-3,5)关于xOy 面的对称点，则|AB|等于( )
A.10
B.10
C.38
D.38
解析：由对称点的性质知，B （2，-3，-5），∴|AB|=222)55()33()22(++-+-=10.
答案：A
5点M(2，-3，5)到Ox 轴的距离d 等于( ) A.38 B.34 C.13 D.29
解析：点M （2，-3，5）到Ox 轴的距离为345)3(22=+-.
答案：B
6在y 轴上与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离的点C 的坐标为__________.
解析：设C （0,y,0）,由于|AC|=|BC|， ∴4)5(949)1(1622+-+=+-+y y ，得y=2
7-.
答案：(0,2
7-,0) 7设A(4,-7,1)、B(6,2,z)、|AB|=11,则z=____________.
解析：由两点间的距离公式知|AB|=
222)1()27()64(z -+--+-=11,
∴(z-1)2+4+81=112,得z=7或-5.
答案：7或-5
8在空间直角坐标系中,到点M(-4,1,7)和N(3,5,-2)等距离的动点P 的轨迹图形与Ox 轴交点的坐标为____________.
解析：设所求的点的坐标为（x,0,0）,由两点距离公式得22222)2(5)3(71)4(-++-=+++x x 得x=-2.
答案：(-2,0,0)
综合运用
9在空间直角坐标系中，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A(3,-1,2),其中心M 的坐标为(0，1，
2)，则该正方体的棱长等于____________.
解析：设正方体的棱长为a ，由条件知|AM|=13049=++，所以正方体的对角线长为2|AM|=132，即3a=132,
∴a=
393
2. 答案：3932 10设点P 在x 轴上，它到P 1（0，2，3）的距离为到点P 2（0，1，-1）距离的两倍，求点P 的坐标.
解析：由条件可设P(x,0,0),则|PP 1|=2|PP 2|,即11232222++=++x x ,平方得x 2=1, ∴x=±1.故点P 的坐标为(1,0,0)和(-1,0,0).
11在坐标平面yOz 内的直线2y-z=1上确定一点P,使P 到Q(-1,0,4)的距离最小.
解析：∵P 在yOz 平面内,
∴可设P(0,y,2y-1),由两点间的距离公式得 |PQ|=6)2(526205)412()0()10(22222+-=+-=--+-++y y y y y 当y=2时,|PQ|取得最小值为6,这时P(0,2,3).
拓展探究
12如图,在河的一侧有一塔CD=5 m,河宽BC=3 m,另一侧有点A,AB=4 m,求点A 与塔顶D 的距离AD.
解：以CD 所在直线为z 轴,BC 所在直线为x 轴,建立空间直角坐标系,由条件知CD=5 m,BC=3 m,AB=4 m.从而可得D(0,0,5),A(3,-4,0).
由两点间距离公式得 |AD|=25)04()03(22=--+- m.
答:点A 与塔顶D 的距离AD 为25 m.。