四川省绵阳市丰谷中高二数学上学期入学考试试题

绵阳市丰谷中学高2015级入学数学测试题(时间：90分钟，总分：150分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，请将答案涂写在答题卡相应位置上)1、 sin 15°的值为( )A 、62- B 、62+ C 、62- D 、62+ 2、 设x 、y ∈R ＋，且x ≠y ，a ＝2x y+，b ＝xy ，c ＝211x y+，则a ，b ，c 的大小关系为( )A 、a ＜b ＜cB 、a ＞b ＞cC 、b ＜a ＜cD 、b ＜c ＜a3、 如图为某四面体的三视图(都是直角三角形)，则此四面体的表面三角形为直角三角形的个数为( )A 、1B 、2C 、3D 、44、 空间三条不同直线l ，m ，n 和三格不同的平面α，β，γ，给出下列命题：①若m ⊥l 且n ⊥l ，则m ∥n ； ②若m ∥l 且n ∥l ，则m ∥n ； ③若m ∥α且n ∥α，则m ∥n ； ④若m ⊥α且n ⊥α，则m ∥n ； ⑤若α⊥γ且β⊥γ，则α∥β； ⑥若α∥γ且β∥γ，则α∥β； ⑦若α⊥l 且β⊥l ，则α∥β. 其中正确的个数为( )A 、6B 、5C 、4D 、3正视图 左视图俯视图5、 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列关系正确的是( )A 、a ＝bsinC ＋csinB B 、a ＝bcosC ＋ccosB C 、a ＝bcosB ＋ccosCD 、a ＝bsinB ＋csinC6、 函数f (x )＝asinx ＋cosx 关于直线x ＝4π对称，则a 的取值集合为( ) A 、{1} B 、{－1，1} C 、{－1} D 、{0}7、 等差数列{a n }和等比数列{b n }中，给出下列各式：①a 7＝a 3＋a 4；②a 2＋a 6＋a 9＝a 3＋a 4＋a 10；③b 7b 9＝b 3b 5b 8；④b 64＝b 2b 9b 13.其中一定正确的个数为( )A 、1B 、2C 、3D 、48、 数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝n 2a n 且a 1＝2，则( )A 、a n ＝4(1)n n + B 、a n ＝21n + C 、a n ＝41n + D 、a n ＝22n9、 给出下列命题.①若a 2＞b 2，则|a |＞b ； ②若|a |＞b ，则a 2＞b 2； ③若a ＞|b |，则a 2＞b 2； ④若a 2＞b 2，则a ＞|b | 其中一定正确的命题为( )A 、②④B 、①③C 、①②D 、③④10、 对于非零向量,,a b c r r r，则( )A 、()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r rB 、若a b a c ⋅=⋅r r r r ，则b c =r rC 、||||||a b a b ⋅=⋅r r r r D 、若|+|||a b a b =-r r r r，则a b ⋅r r ＝0 11、 若sin α，sin 2α，sin 4α成等比数列，则cos α的值为( )A 、1B 、0C 、－12 D 、－12或1 12、 点O ，I ，H ，G 分别为△ABC (非直角三角形)的外心、内心、垂心和重心，给出下列关系式①0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r ②sin 2A ·OA u u u r ＋sin 2B ·OB uuu r ＋sin 2C ·0OC =u u u r r③0aIA bIB cIC ++=u u r u u r u u r r ④tanA ·HA u u u r ＋tanB ·HB u u u r＋tanC ·0HC =u u u r r其中一定正确的个数是( )A 、1B 、2C 、3D 、4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应横线上) 13、 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝81，a k －4＝191，S k ＝10000，则k 的值为________. 14、 三棱锥P －ABC 中，∠APB ＝∠APC ＝∠CPB ＝40°，PA ＝5，PB ＝6，PC ＝7，点D ，E 分别在PB ，PC 上，则△ADE 周长的最小值为_____________.15、 若平面向量,a b r r 满足：|2a b -r r |≤3，则a b ⋅r r 的最小值为__________.16、 已知函数f (x )＝sin 6x ＋cos 6x ，给出下列4个结论：①f (x )的值域为[0，2]； ②f (x )的最小正周期为2π； ③f (x )的图象对称轴方程为x ＝4k π(k ∈Z )； ④f (x )的图象的对称中心为(5+,848k ππ)(k ∈Z ).其中结论正确的番号是___________(写出全部正确结论的番号)三、解答题(本大题共6个小题，满分70分.请将答案写在答题卡相应位置上) 17、 (本小题满分10分)若对任意实数x ，不等式x 2－mx ＋(m －1)≥0恒成立(1)求实数m 的取值集合；(2)设a ，b 是正实数，且n ＝11()()a mb b ma++，求n 的最小值. 18、 (本小题满分12分)如图，四边形ABCD 中，若∠DAB ＝60°，∠ABC ＝30°，∠BCD ＝120°，AD ＝2，AB ＝5. (1)求BD 的长；(2)求△ABD 的外接圆的半径R ； (3)求AC 的长.19、 (本小题满分12分)△ABC 中，a ＝4，b ＝5，C ＝23π，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点D 在边AB 上，且23AD DB =. (1)用CA u u u r 和CB u u u r 表示CD uuu r ；(2)求|CD |.20、 (本小题满分12分)四面体ABCD 中，已知AB ⊥面BCD ，且∠BCD ＝2π，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝5. (1)求证：平面ABC ⊥平面ACD ； (2)求此四面体ABCD 的体积和表面积；ABCDABCD(3)求此四面体ABCD 的外接球半径和内切球半径.21、 (本小题满分12分)△ABC 中(非直角三角形)，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)求证：tanA ＋tanB ＋tanC ＝tanAtanBtanC ；(2)若tanA ∶tanB ∶tanC ＝6∶(－2) ∶(－3)，求a ∶b ∶c .22、 (本小题满分12分)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2n＋r (r 为常数)，记b n ＝1＋log 2a n .(1)求r 的值；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n ； (3)记数列{1n b }的前n 项和为P n ，若对任意正整数n ，都有P 2n ＋1＋1n≤k ＋P n ，求实数k 的最小值.四川省成都市新都区2016年(春)高一年级期末测试题数学参考答案一、选择题： 1、【答案】C【解析】sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝122224-=.选C 2、【答案】B【解析】由基本不等式可知a ＞b即2x y+>2x y>+，两边同乘以xy2211xy x y x y>=++，即b ＞c .故选B 3、【答案】D【解析】根据三视图可得四面体的直观图如图所示 其中∠PAB ，∠PAC ，∠PBC ，∠ABC 都是直角 即四面体的四个面都是直角三角形.选D 4、【答案】C【解析】空间中，垂直于同一直线的两条直线的位置关系是任意的，故①错误； 根据公理四(平行公理)，可知②正确；空间中，平行于同意平面的两条直线的位置关系是任意的，故③错误；根据直线与平面垂直的性质，可知垂直于同一平面的两条直线互相平行，故④正确； 空间中，垂直于同一平面的两个平面位置关系是任意的，故⑤错误； 空间中，平行于同意平面的两个平面互相平行，故⑥正确； 空间中，垂直于同一直线的两个平面互相平行，故⑦正确. 综上，正确的命题编号为②④⑥⑦，共4个.选C 5、【答案】B【解析】如图，作AD ⊥BC 于DPA BCABCD则a ＝BC ＝BD ＋CD ＝bcosC ＋ccosB当∠A 是直角或钝角时，结论仍然成立，故选B 6、【答案】A【解析】a ＝1时，f (x )＝sinx ＋cosx (x ＋4π)，它的一条对称轴为x ＝4π，故a ＝1满足条件当a ＝－1时，f (x )＝－sinx ＋cosx sin (x －4π)，x ＝4π不是它的对称轴，故a ＝－1不满足条件.故选A 7、【答案】A【解析】a 7＝a 1＋6d ，a 3＋a 4＝2a 1＋5d ，故①不一定正确；a 2＋a 6＋a 9＝3a 1＋14d ，a 3＋a 4＋a 10＝3a 1＋14d ，故②一定正确；b 7b 9＝b 12q 14，b 3b 5b 8＝b 13q 13，故③不一定正确； b 64＝(b 1q 5)4，b 2b 9b 13＝b 13q 21，故④不一定正确.选A8、【答案】A【解析】因为S n ＝n 2a n ，故S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1， 两式相减得：a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n 即n (n ＋2)a n ＋1＝n 2a n 即(n ＋2)a n ＋1＝na n ∴a n ＝1231121231111n n n n n n n n n a a a n n n n n n ---------=⋅=⋅⋅+++-＝…… ＝111232124...=1143(1)(1)n n n a a n n n n n n n ---⋅⋅⋅⋅⋅=+-++.选A 9、【答案】B【解析】由a 2＞b 2，可得|a |＞|b |≥b ，故①正确；在|a |＞b 中，若b ＜0且|b |＞|a |时，不能得到a 2＞b 2，故②错误； 由a ＞|b |，则必有a ＞0，两边平方得a 2＞b 2，故③正确； 在a 2＞b 2中，若a ＜0，则不能得到a ＞|b |，故④错误.选B 10、【答案】D【解析】因为a ·b 是一个实数，故(a ·b )·c 是与c 共线的向量，同理，a ·(b ·c )是与a 共线的向量，它们不一定相等，故A 错误；由a ·b ＝a ·c ，可得|a ||b |cos <a ，b >＝|a ||c |cos <a ，c >即|b |cos <a ，b >＝|c |cos <a ，c >，不能得到b ＝c ，故B 错误； |a ·b |＝|a ||b ||cos <a ，b >|≤|a ||b |，故C 错误；根据向量加减法的几何意义，可知|a ＋b |和|a －b |分别是以a 和b 为邻边的平行四边形的两条对角线长度，它们相等，意味着四边形为矩形，故a ⊥b ，于是a ·b ＝0，故D 正确. 11、【答案】C【解析】由已知，sin 22α＝sin αsin 4α 即4sin 2αcos 2α＝sin α·4sin αcos αcos 2α由题意，等比数列各项均不为0，有sin α≠0，cos α≠0， 故cos α＝cos 2α＝2cos 2α－1 解得cos α＝1或－12但cos α＝1时有si n α＝0，与题意不符，故舍去.选C 12、【答案】D【解析】因为G 是重心，也就是中线的三分点于是211()=()333AO AD AB AC OB OA OC OA ==+-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r(其中D 为BC 中点)整理得：+=0OA OB OC +u u u r u u u r u u u r r，故①正确因为O 是外心，故|OA |＝|OB |＝|OC |于是S △BOC :S △COA :S △AOB ＝sin ∠BOC :sin ∠COA :sin ∠AOB ＝sin 2A :sin 2B :sin 2C在平面内取点A '，B '，C '，使得'sin 2,'sin 2,'sin 2OA OA A OB OB B OC OC C ===u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r 不难得：S △B 'OC '＝S △C 'OA '＝S △A 'OB '，可知O 点是△A 'B 'C '的重心于是'+'+'0OA OB OC =u u u r u u u u r u u u u r r即sin 2+sin 2+sin 2=0OA A OB B OC C u u u r u u u r u u u r r，②正确因为I 是三角形的内心，也即是角平分线的交点 于是S △BIC :S △CIA :S △AIB ＝a :b :c仿②可得+b +c =0aIA IB IC u u r u u r u u r r，故③正确因为H 是三角形的垂心，于是S △BHC :S △CHA :S △AHB ＝tanA :tanB :tanC同②得tan +tanB +tanC =0AHA HB HC u u u r u u u r u u u r r，故④正确.二、填空题 13.【答案】100【解析】等差数列中，S 9＝81，由等差中项性质可得9a 5＝81，即a 5＝9 于是a 1＋a k ＝a 5＋a k －4＝9＋191＝200S k ＝1()2k k a a +＝100k ＝10000，故k ＝100. 14.【答案】35【解析】沿棱PA 将三棱锥侧面剪开并展平，可得展开图如图 此时，|PA |＝|PA '|＝5，且∠APA '＝120° |AA '|＝35即为所求△ADE 的最小周长.15.【答案】89-【解析】由题意，4a 2－4a ·b ＋b 2≤9 即4a ·b ＋9≥4a 2＋b 2≥2224a b ⋅≥－4a ·b于是a ·b ≥89-. 16. 【答案】②③④【解析】f (x )＝sin 6x ＋cos 6x ＝(sin 2x )3＋(cos 2x )3＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 4x －sin 2xcos 2x ＋cos 4x ) ＝1·[(sin 2x ＋cos 2x )－3sin 2xcos 2x ]＝1－34sin 22x ＝1－3(1cos 4)8x - ＝53cos 4+88x因为cos 4x ∈[－1，1]，故值域为1[,1]4，①错误；最小正周期T ＝2=42ππ，②正确； 令4x ＝k π，可得x ＝4k π(k ∈Z )为函数图象的对称轴，故③正确；令4x ＝k π＋2π，可得x ＝+48k ππ，故对称中心为(5+488k ππ，)(k ∈Z )，故④正确. 三、解答题17.解：(1)由题意得：0)1(4)(2≤---=∆m m 2分PABCA 'D E即：0)2(2≤-m ，2=m 2分 所求m 的取值集合为}2{ 1分 (2)由(1)得：)212)(1(ab b a n ++= abab ab ab n 212225212212•+≥+++= 2分 即 29≥n (当且仅当21=ab 时，等号成立) 2分 29=小n 即为所求n 的最小值. 1分 18．解：(1)在ABD ∆中，由余弦定理得：19cos 2||22=∠•-+=BAD AD AB AD AB BD 即为所求BD 的长. 4分(2)在ABD ∆中，由余弦定理得：3572sin ||2=∠=BAD BD R 3分357=R 即为所求外接圆半径1分 (3)0180=∠+∠BCD BAD四边形ABCD 是圆内接四边形. 1分 在ABC ∆中，由由余弦定理得：3572sin ||2=∠=ABC AC R 2分357||=AC 即为所求AC 的长. 1分 19. 解:(1) ∵D 在边AB 上，且32=DB AD . ∴ DB AD 23= 2分∴)(2)(3-=- 2分∴5253+=即为所求 2分 (2)由(1)得： 22)23(251||CD += 2分 CABDBDCA∴21169||(9254161254cos )2525CD C =⨯+⨯+⨯⨯⨯=3分 13||5CD =即为所求CD 的长. 1分 20．(1)证明：CD AB BCD CD BCD AB ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥面面Θ1分CD BC BCD ⊥⇒=∠︒90Θ 1分ABC CD 面⊥∴ 1分CD ACD ⊂Q 面∴ABC ACD ⊥平面平面 1分 (2)1061=••=CD BC AB V ABCD 即为所求体积. 2分 CD BC CD AC BD AB BC AB S S S S S BCDACD ABD ABC ABCD •+•+•+•=+++=∆∆∆∆21212121 )41357(21)5454354343(212222+=⨯+⨯+++⨯+⨯=ABCD S即为所求表面积. 2分 (3)外接球直径为252222=++=CD BC AB R225=R 即为所求外接球半径. 2分 ABCD ABCD rS V 31=Θ解得：164119411920-=+=r 即为所求内切球半径. 2分 21. (1)证∵ABC ∆中，π=++C B A 1分BA B A B A B A C tan tan 1tan tan )tan()](tan[tan -+-=+-=+-=π 2分∴ )tan (tan )tan tan 1(tan B A B A C +-=- 1分又∵C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++∴ 原命题成立 1分(2) ∵tan :tan :tan 6:(2):(3)A B C =--，令k A 6tan =∴k B 2tan -=，k C 3tan -= 1分又∵由(1)得：)3)(2(6326k k k k k k --=--，∴ 0=k 或61=k 或61-=k 2分 ABC ∆中，至多一个钝角，61-=k 1分 21tan ,31tan ,1tan ==-=C B A 1分 105255sin ,1010sin ,102522sin =====C B A 1分 由余弦定理得：52:10:25sin :sin :sin ::==C B A c b a 即为所求. 1分22.解：(1)当2≥n 时，111(2)(2)2n n n n n n a S S r r ---=-=+-+= 1分∵数列}{n a 是等比数列，∴ 12111==-a 1分 而r S a +==1112，∴1-=r 2分(2)由(1)得：n b n = 1分∴12102232221-⋅++⋅+⋅+⋅=n n n T Λ ①nn n n n T 22)1(22212121⋅+⋅-++⋅+⋅=-Λ② 由②－①得：n n n n T 222221110⋅-++++=--Λ∴12)1(22121+⋅-=⋅+---=n n n n n n T 即为所求数列}{n n b a 的前n 项和 . 3分 (3)∵nP n 131211++++=Λ ∴ 不等式n n P k n P +≤++112 即为k n n n n n ≤++++++++1212121111Λ 1分 令1212121111)(++++++++=n n n n n n f Λ0121211321221)()1(=-+<-+++=-+nn n n n n n f n f )(n f 随正整数n 递减 2分611312111)1(|)(=++==f n f 大，∴611=小k 即为所求实数K 的最小值. 1分 【注：所有答案给分是细化的，实际给分按学生解题累计给分.学生用其它解法，只要方法正确，运算准确，均得该题相应小问的满分.】绵阳市丰谷中学高2015级入学数学测试题答卷(时间：90分钟，总分：150分 ，)一、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，请将答案涂写在答题卡相应位置上)1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、二、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应横线上)13、 14、15、 16、 。