八年级数学平行四边形的特征1
人教版初中数学八年级下册教学课件 第十八章 平行四边形 平行四边形的性质 (第1课时)
数学
8年级/下
八年级数学·下 新课标[人]
第十八章 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
（第1课时）
学习新知
检测反馈
观察思考
观察下图中的小区的伸缩门,庭院的竹篱笆和 载重汽车的防护栏,它们是什么几何图形的形象?
学习新知
你知道什么样的图形叫做平行四边形吗? 两组对边分别平行的四边形叫做平行四
边形.说明定义的两方面作用:既可以作为性 质,又可以作为判定平行四边形的依据.
平行四边形如何好记好读呢?
平行四边形用“□”表示,平行四边形ABCD,
记作“□ABCD”.
如右图所示 对边:AD与BC,AB与DC; 对角:∠A与∠C,∠B与∠D.
总结:四边形中不相邻的边,也就是没有公共 顶点的边叫做对边;没有公共边的角,叫做对角.
的对角线.(1)请你说出图中的相等的角、相等的线段;
AB=CD，AD=BC， ∠DAB=∠BCD，∠B=∠D.
(2)对角线AC需添加一个什么条件,能使平行四边形 ABCD的四条边相等?
添加AC平分∠DAB.
请同学们拿出方格纸,在方格纸上画两条互相平行 的直线,在其中一条直线上任取若干点,过这些点作另一 条直线的垂线.请同学们用刻度尺量一下方格纸上两平 行线间的所有垂线段的长度,你发现了什么现象?
3.如图所示,在□ ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交
AD边于点E,且AE=3,则AB的长为 A.4 B.3 C.5 D.2
2
(B)
解析:∵四边形ABCD是平行四边 形,∴AB=DC,AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE, ∵CE平分∠DCB,∴∠DCE=∠BCE, ∴∠DEC=∠DCE,∴DE=DC=AB, ∵AD=2AB=2CD,CD=DE,∴AD=2DE, ∴AE=DE=3,∴DC=AB=DE=3.故选B.
人教版八年级数学下册18.1.1 平行四边形的性质(第1课时)
∴∠B= 180 °－∠A= 180º－ 100°=80°.
探究新知
知识点 4 平行线间的距离 如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别
∴AB＝CD，CB＝AD.
方法点拨：作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作 对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．
探究新知
平行四边形的性质
平行四边形的两组对边分别相等. A
D
几何语言：
B
C
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB＝CD，AD＝BC（平行四边形的对边相等）.
在 ABCD中， AB＝CD，AD＝BC（平行四边形的对边相等）.
知识点 3 平行四边形角的特征
请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记
录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与∠D之间的数量关系吗?
90
120
D60
90 120
C60
180 0
150
301 50
30
90 120 150
180
30150
60 30 0
180
180 0
A
90
120
60
B
测得∠A =∠C，∠B =∠D.
D
∴∠A+∠B=180°， ∠A+∠D=180°.
B
C
∴∠B=∠D.
同理可得∠A=∠C.
探究新知
平行四边形的性质
平行四边形的两组对角分别相等.
A
D
几何语言：
∵ 四边形ABCD是平行四边形, B
C
∴∠A= ∠C, ∠B= ∠D（平行四边形的对角相等）.
在 ABCD中， ∠A= ∠C, ∠B= ∠D（平行四边形的对角相等）.
八年级数学平行四边形的特征1
步骤5：在剪下来的四边形中连结AC、 BD，它们的交点记为O。 步骤6：用笔尖在点O穿过，将 ABCD 绕点O旋转180°。 步骤7：观察两个平行四边形是否重 合。并从中得出平行四边形的一些边角关 系！（演示） 由此可得： AD = BC，AB=DC， ∠A= ∠C， ∠B= ∠D。 即平行四边形的对边相等，对角相等。
小结
1、这节课我们学习了什么内容呢？ （平行四 边形的概念和特征） 2、用什么方法来探索平行四边形的概念和 （平移与对称的办法） 特征？
性 质
1.如图： ABCD中∠A=50°，AB=a，BC=b. D 则：∠B= 130°，∠C= 50° ， ABCD的周长= 2（a+b） . 2.如图： ABCD中∠A+∠C=200°. 则：∠A= 100° ，∠B= 80° . 3.如图：
D
C
A
B
②由于平行四边形对边相等，所以 AB = DC，AD = BC。 由已知 AB = 9, AB + BC + CD + DA = 28 ， 解得 CD = 9, AD = BC = 5 。
练一练
已知在 ABCD 中，∠A=100°,AB = 7，BC = 5，求其余各内角的度数及它 的周长。
C
1
课 堂 练 习
A
A
B
D
B
C
10 D ；
ABCD的周长为36，AB=8，BC= A
B E
CLeabharlann 练习： 1、已知 ABCD中，∠A=60°，∠B= 120º ，∠C= 60º， ∠D= 120º。 2、如图2，四边形ABCD是平行四边形，则∠ADC= 56º ， ∠BCD= 124º ，AB= 25，BC= 30 。 3、已知 ABCD中，AB=5，AD=11，则它的周长是 32 。 4、如图3，在 ABCD中，已知∠A=40°，求其他各个内角的度 数。 5、如图3，在 ABCD中，AB=8，周长等于24，求其余三条边的 长。
八年级数学下册第六章平行四边形1平行四边形的性质平行四边形及其性质知
平行四边形及其性质【学习目的】1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和断定定理.2．能初步运用平行四边形的性质进展推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．3. 理解平行四边形的不稳定性及其实际应用．4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等〞。
“夹在两条平行线间的垂线段相等〞．【要点梳理】知识点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD〞，读作“平行四边形ABCD〞.要点诠释：平行四边形的根本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 知识点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：〔1〕平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或者两边相等；角的性质可以证明两角相等或者两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或者倍半关系.〔2〕由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进展选择.〔3〕利用对角线互相平分可解决对角线或者边的取值范围的问题，在解答时应联络三角形三边的不等关系来解决.知识点三、平行线的性质定理1.两条平行线间的间隔：〔1〕定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的间隔，叫做这两条平行线间的间隔 .注：间隔是指垂线段的长度，是正值.2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.【典型例题】类型一、平行四边形的性质1.如图，平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC•的周长大8cm，求AB，BC的长．【答案与解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形．∴ AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，∵□ABCD的周长是60．∴2AB＋2BC＝60，即AB＋BC＝30，①又∵△ AOB的周长比△BOC的周长大8．即〔AO＋OB＋AB〕－〔BO＋OC＋BC〕＝AB－BC＝8，②由①②有解得∴AB，BC的长分别是19cm和11cm．【总结升华】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题.举一反三：【变式】如图：在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC ＝4.求AE：EF：FB的值.【答案】解：∵ ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，∠ECD＝∠CEB∵CE为∠DCB的角平分线，∴∠ECD＝∠ECB，∴∠ECB＝∠CEB，∴BC＝BE∵BC＝4，所以BE＝4∵AB＝6，F为AB的中点，所以BF＝3∴EF＝BE－BF＝1，AE＝AB－BE＝2∴AE：EF：FB＝2：1：3.2.平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，假如△CDM的周长是40cm，求平行四边形ABCD的周长．【思路点拨】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB=CD，AD=BC，OA=OC，又由OM⊥AC，根据垂直平分线的性质，即可得AM=CM，又由△CDM的周长是40cm，即可求得平行四边形ABCD 的周长．【答案与解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，∵OM⊥AC，∴AM=CM，∵△CDM的周长是40，即：DM+CM+CD=DM+AM+CD=AD+CD=40，∴平行四边形ABCD的周长为：2〔AD+CD〕=2×40=80〔cm〕．∴平行四边形ABCD的周长为80cm．【总结升华】此题考察了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图，平行四边形ABCD的对角线AC.BD相交于点O，EF过点O且与AB.CD分别相交于点E.F，连接EC．〔1〕求证：OE=OF；〔2〕假设EF⊥AC，△BEC的周长是10，求平行四边形ABCD的周长．【答案】〔1〕证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，DC∥AB，∴∠FDO=∠EBO，在△FDO和△EBO中∵OD OBFOD EOFDO EBBO ⎧⎪=⎨⎪∠=∠∠∠⎩＝∴△FDO≌△EBO〔AAS〕，∴OE=OF；〔2〕解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，∵EF⊥AC，∴AE=CE，∵△BEC的周长是10∴BC+BE+CE=BC+AB=10，∴平行四边形ABCD的周长=2〔BC+AB〕=20．3.如图，口ABCD的周长为52cm，AB边的垂直平分线经过点D，垂足为E，口ABCD的周长比△ABD的周长多10cm．∠BDE=35°．〔1〕求∠C的度数；〔2〕求AB和AD的长．〔1〕由于DE是AB边的垂直平分线，得到∠ADE=∠BDE=35°，于是推出∠A═55°，【思路点拨】根据平行四边形的性质得到∠C=55°；〔2〕由DE是AB边的垂直平分线，得到DA=DB，根据平行四边形的性质得到AD=BC，AB=DC，由于口ABCD的周长为52，于是得到AB+AD=26，根据口ABCD的周长比△ABD的周长多10，得到BD=16，AD=16〔cm〕，于是求出结论．【答案与解析】解：〔1〕∵DE是AB边的垂直平分线，∴∠ADE=∠BDE=35°，∴∠A=90°﹣∠ADE=55°，∵口ABCD，∴∠C=∠A=55°；〔2〕∵DE是AB边的垂直平分线，∴DA=DB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=DC，∵口ABCD的周长为52，∴AB+AD=26，∵口ABCD的周长比△ABD的周长多10，∴52﹣〔AB+AD+BD〕=10，∴BD=16，∴AD=16〔cm〕，∴AB=26﹣16=10〔cm〕．【总结升华】此题主要考察了线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，能综合应用这两个性质是解题的关键．4.如图1，P为Rt△ABC所在平面内任一点〔不在直线AC上〕，∠ACB=90°，M为AB 的中点．操作：以PA.PC为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．〔1〕请你猜测与线段DE有关的三个结论，并证明你的猜测；〔2〕假设将“Rt△ABC〞改为“任意△ABC〞，其他条件不变，利用图2操作，并写出与线段DE有关的结论〔直接写答案〕．【思路点拨】〔1〕连接BE，证△PMA≌△EMB，推出PA=BE，∠MPA=∠MEB，推出PA∥BE．根据平行四边形的性质得出PA∥DC，PA=DC，推出BE∥DC，BE=DC，得出平行四边形CDEB即可；〔2〕连接BE，证△PMA≌△EMB，推出PA=BE，∠MPA=∠MEB，推出PA∥BE．根据平行四边形的性质得出PA∥DC，PA=DC，推出BE∥DC，BE=DC，得出平行四边形CDEB即可．【答案与解析】DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC，证明：连接BE，∵M为AB中点，∴AM=MB，在△PMA和△EMB中∵＝＝＝PM MEPMA EMB AM BM∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△PMA≌△EMB〔SAS〕，∴PA=BE，∠MPA=∠MEB，∴PA∥BE．∵四边形PADC是平行四边形，∴PA∥DC，PA=DC，∴BE∥DC，BE=DC，∴四边形DEBC是平行四边形，∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC．〔2〕解：DE∥BC，DE=BC．【总结升华】此题考察了平行四边形性质和断定，全等三角形的性质和断定，平行线的性质和断定的综合运用．举一反三：【变式】：如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∠DAB的平分线交DE于点M，交DF于点N，交DC于点P．〔1〕求证：∠ADE=∠CDF；〔2〕假如∠B=120°，求证：△DMN是等边三角形．【答案】证明：〔1〕∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠C，DC∥AB，∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∴∠ADE=90°-∠DAB，∠CDF=90°-∠C，∴∠ADE=∠CDF．〔2〕证明：∵∠DAB的平分线交DE于点M，交DF于点N，交DC于点P，∴∠DAP=∠BAP，∵DC∥AB，∴∠DPA=∠BAP，∴∠DAP=∠DPA，∴DA=DP，∵∠ADE=∠CDF，∠DAP=∠DPA，DA=DP，∴△DAM≌△DPN，∴DM=DN，∵∠B=120°，∴∠MDN=360°-∠DEB-∠EFB-∠B=360°-90°-90°-120°=60°，∴△DMN是等边三角形．类型二、平行线性质定理及其推论5.如图1，直线m∥n，点A.B在直线n上，点C.P在直线m上；〔1〕写出图1中面积相等的各对三角形：△CAB与△PAB.△BCP与△APC.△ACO与△BOP__________________；〔2〕如图①，A.B.C为三个顶点，点P在直线m上挪动到任一位置时，总有__________△PAB 与△ABC的面积相等；〔3〕如图②，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC〔或者延长线〕于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积．【思路点拨】〔1〕找出图①中同底等高的三角形，这些三角形的面积相等；〔2〕因为两平行线间的间隔是相等的，所以点C.P到直线n间的间隔相等，也就是说△ABC 与△PAB的公一共边AB上的高相等，所以总有△PAB与△ABC的面积相等；〔3〕只要作一个三角形CEM与三角形CED的面积相等即可．【答案与解析】解：〔1〕∵m∥n，∴点C.P到直线n间的间隔与点A.B到直线m间的间隔相等；又∵同底等高的三角形的面积相等，∴图①中符合条件的三角形有：△CAB与△PAB.△BCP与△APC，△ACO与△BOP；〔2〕∵m∥n，∴点C.P到直线n间的间隔是相等的，∴△ABC与△PAB的公一共边AB上的高相等，∴总有△PAB与△ABC的面积相等；〔3〕连接EC，过点D作直线DM∥EC交BC延长线于点M，连接EM，线段EM所在的直线即为所求的直线．【总结升华】此题主要考察了三角形的面积及平行线的性质，利用平行线间的间隔相等得到同底等高的三角形是解题的关键．创作人：历恰面日期：2020年1月1日。
八年级数学上册知识点归纳：平行四边形的性质
八年级数学上册知识点归纳：平行四边形的性质八年级数学上册知识点归纳：平行四边形的性质知识点总结1.定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的邻角互补，对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分；3.平行四边形的判定平行四边形是几何中一个重要内容，如何根据平行四边形的性质，判定一个四边形是平行四边形是个重点，下面就对平行四边形的五种判定方法，进行划分：第一类：与四边形的对边有关（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；第二类：与四边形的对角有关（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；第三类：与四边形的对角线有关（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形常见考法（1）利用平行四边形的性质，求角度、线段长、周长；（2）求平行四边形某边的取值范围；（3）考查一些综合计算问题；（4）利用平行四边形性质证明角相等、线段相等和直线平行；（5）利用判定定理证明四边形是平行四边形。
误区提醒（1）平行四边形的性质较多，易把对角线互相平分，错记成对角线相等；（2）“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”错记成“一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形”后者不是平行四边形的判定定理，它只是个等腰梯形。
知识点总结一、特殊的平行四边形1.矩形：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形。
（2）性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。
（3）判定定理：①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
②对角线相等的平行四边形是矩形。
③有三个角是直角的四边形是矩形。
直角三角形的性质：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半。
2.菱形：（1）定义：邻边相等的平行四边形。
（2）性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
（3）判定定理：①一组邻边相等的平行四边形是菱形。
最新鲁教版五四制八年级数学上册《平行四边形的性质》1教学设计-评奖教案
教学设计一、课标要求理解平行四边形的概念，了解平行四边形的不稳定性，探索并证明平行四边形的性质。
二、学习目标1、理解平行四边形的概念，了解平行四边形的不稳定性，探索并证明平行四边形的性质定理。
2、经历探索、猜想、交流、证明的过程，进一步发展合情推理和演绎推理的能力，提高合作意识.3、体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法.三、评价设计1、通过活动二和活动三检测目标1的达成。
2、通过活动二和活动四检测目标2、3的达成。
四、课前学习活动设计：1、回想小学学习过的平行四边形的定义及相关结论。
2、让每小组准备两个形状大小完全相同的平行四边形。
五、教学环节设计【第一环节】情境导入1、活动内容大屏幕展示教科书中的一张图片，创设情境，让学生大胆猜想。
图片中的两个同学正在探究一个问题：对于任意一个四边形，依次连接它各边的中点，能够得到一个怎样的图形？这个结论是不是对所有的四边形都成立呢？运用几何画板的功能，让学生拖动四边形的任意一边或顶点，四边形的形状发生改变，但依次连接四边形各边中点得到的四边形永远是平行四边形。
继续探究，教师拖动四边形一个顶点，图形继续变化，连接各中点得到的依旧是平行四边形。
这一情境的展示，极大地激发了学生的好奇心和探究四边形的欲望，从而引出本章的课题《证明（三）》，重点研究四边形，本节课就运用连接四边形各边中点得到的四边形来研究《平行四边形的性质》。
2、设计目的借助教科书中的图片，设置了一个具体的情境，借助于几何画板的操作，让学生经历猜想、验证的过程，激发学生好奇心，提高学生的学习兴趣，为很好的掌握本章内容做好铺垫。
3、问题应对学生在回答“对于任意四边形这个结论还成立吗？”这个问题时，可能会不太确定，教师让学生通过对几何画板的操作，从而从感官上认识到对于任意四边形，依次连接各边中点，得到的都是平行四边形。
【第二环节】知识回顾1、活动内容大屏幕展示生活中与平行四边形有关的美丽的图案，教师以提问的方式让学生回想平行四边形的定义，学习对角线的定义。
2023年人教版八年级下册数学_ 平行四边形的判定1 第1课时 同步典型例题精讲课件
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C.1∶2∶1∶2
D.1∶1∶2∶2
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解析：由题意，得∠A与∠C是对角，∠B与∠D是对角.当∠A＝∠C，
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∠B＝∠D时，四边形ABCD是平行四边形，故选项A，B，D不符合
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题意，选项C符合题意.
第1课时 平行四边形的判定1
STEP1 知识理解与运用
返回目录
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7.在下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是( D )
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2.小红同学周末在家做家务，不慎把家里的一块
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平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了
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能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，他应
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该带去玻璃店的是( B )
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A.①② B.②④ C.②③ D.①③
返回目录
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7
解析：只有②④两块角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边
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的延长线的交点就是平行四边形的顶点.
STEP1 知识理解与运用
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知识点四 对角线互相平分
2
8.如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列能判定四边
3
形ABCD是平行四边形的是( D )
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A.AO＝OC，AC＝BD
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B.BO＝OD，AC＝BD
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C.AO＝BO，CO＝DO
D.AO＝OC，BO＝OD
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解析：∵AC，BD是四边形ABCD的对角线，AO＝OC，BO＝OD，
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∴四边形为平行四边形.
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第1课时 平行四边形的判定1
STEP1 知识理解与运用
返回目录
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知识点三 两组对角分别相等
平行四边形的判定方法
平行四边形的判定方法
平行四边形是指具有两组对边分别平行的四边形，它是几何学中的基本图形之一。
在日常生活和工程实践中，我们经常需要判定一个四边形是否为平行四边形。
下面将介绍几种判定平行四边形的方法。
1. 对角线互相平分。
判定一个四边形是否为平行四边形的一个简单方法是检查其对角线。
如果一个四边形的对角线互相平分，即相交于中点，那么这个四边形就是平行四边形。
这是因为平行四边形的对角线互相平分是其特征之一。
2. 对边互相平行。
平行四边形的定义就是具有两组对边分别平行的四边形。
因此，判定一个四边形是否为平行四边形的方法之一就是检查其对边是否互相平行。
如果一个四边形的对边分别平行，则它就是平行四边形。
3. 对角线长度相等。
另一个判定平行四边形的方法是检查其对角线的长度。
如果一个四边形的对角线长度相等，那么它就是平行四边形。
这是因为平行四边形的对角线长度相等是其特征之一。
4. 内角相等。
最后一个判定平行四边形的方法是检查其内角是否相等。
如果一个四边形的内角相等，那么它就是平行四边形。
这是因为平行四边形的内角相等是其特征之一。
综上所述，判定一个四边形是否为平行四边形有多种方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行判定。
在实际应用中，可以结合多种方法进行判定，以确保结果的准确性。
希望以上介绍能够帮助您更好地理解和判定平行四边形。
八年级数学上册第五章平行四边形1平行四边形的性质第1课时平行四边形的边角性质习题课件鲁教版五四制
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(2)若 BC ＝2 AB ，∠ BCD ＝100°，求∠ ABE 的度数.
【解】由(1)易得 BF ＝2 AB ， EF ＝ EC .
∵ CD ∥ AB ，∴∠ FBC ＋∠ BCD ＝180°.
∵∠ BCD ＝100°，∴∠ FBC ＝180°－100°＝80°.
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【证明】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB ＝ CD ，
∠ B ＝∠ D ，∠ BAD ＝∠ BCD . ∵ AE 平分∠ BAD ， CF
平分∠ BCD ，∴∠ BAE ＝ ∠ BAD ，∠ DCF ＝ ∠ BCD ，
∴∠ BAE ＝∠ DCF .
∴∠ DAC ＝∠ C ，∴ AD ＝ CD . ∵ AD ＝ AE ＝ BF ，
∴ BF ＝ CD ，∴ BD ＝ CF .
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14. 如图，在▱ ABCD 中，点 E ， F 在对角线 AC 上，∠ CBE
＝∠ ADF . 求证：
(1) AE ＝ CF ；
人教版八年级下册数学平行四边形的性质
平行 四边形
性质
两组对边分别平行且相等 两组对角分别相等，邻角互补
两条平行线间的平行线段相等 两条平行线间的距离处处相等
作业
必做题： 教科书第49页习题18.1第1、2、8题.
选做题： 如图， ABC 是等腰三角形，P是底边BC上一动点，
且PE∥AB，PF∥AC．求证：PE+PF=AC．
A E
F
B
线 间
b
的
A
B
距
离
两条平行线之间的垂线段相等.
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直 线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
以致用
如图，直线a∥b ，△PAB与△CAB 的面积相等吗？为 什么？
a
P
C
b
A
H
BQ
你还能画出一些与△PAB 面积相等的三角形吗？
课小堂 总结结
定 义 两组对边分别平行的四边形
ABCD
读作： 平行四边形ABCD
活动二
D
C
A
B
根据定义可知平行四边形的 对边互相平行。除此之外还有什 么性质呢？
观察猜想
平行四边形的性质
A
D
B
C
平行四边形的对边相等． 平行四边形的对角相等．
求证:平行四边形的对边相等、对角相等.
证一证
已知：四边形ABCD是平行四边形.
求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC. 证明：如图，连接AC.
2.如图，在 ABCD中，BC=9cm,CD=5cm,若BE平分∠ABC
，则ED＝______
A
E
Ｄ
B
Ｃ
活动三
平行线间的距离
北师大版八年级数学下册《平行四边形的判定》平行四边形PPT精品课件(第1课时)
探究新知
例2 如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是AD和BC的中点． 求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD=CB， AD//BC.
思路：根据平行四边形定义证明
证明四边形两组对边分别平行
通过角之间的关系得到平行
通过三角形全等找到角之 间的关系
通过作辅助线可以构造出全 等三角形
探究新知
已知： 四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB.
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
证明： 连接BD，
在△ABD和△CDB中,
A
AB=CD,
AD=CB,
探究新知
思考:
将两根同样长的木条AD，BC平行放置,再用木条AB，DC
加固,得到的四边形ABCD是平行四边形.ADB NhomakorabeaC
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
探究新知
猜想验证：
如图，在四边形ABCD中，AB ∥CD.求证：四边形ABCD是
平行四边形.
你能想到几种证
连接四边形对角线
明方法？
构造全等三角形
探究新知
(1)窗扇完全打开,张角∠CAB=85°,求 此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数.
(2)窗扇部分打开,张角∠CAB=60°,求此时点A,B之间的距 离(精确到0.1 cm). (参考数据: 3≈1.732, 6 ≈2.449)
解：(1)∵AC=DE=20 cm,AE=CD=10 cm, ∴四边形ACDE是平行四边形,∴AC∥DE,∴∠DFB=∠CAB, ∵∠CAB=85°,∴∠DFB=85°.
八年级下册数学平行四边形
八年级下册数学平行四边形八年级下册数学平行四边形一、概念解析数学中的平行四边形指的是有两对平行边的四边形，而四边形则是有四个顶点和四条边的图形。
在平行四边形中，对边是两两平行且相等的。
此外，平行四边形也可以借助对角线来证明它的性质。
二、性质讲解1. 对边平行且相等由于平行四边形必须包含两对平行边，因此它的对边也都是平行的且相等的。
这一性质使得平行四边形在计算周长和面积时更为方便。
2. 对角线互相平分平行四边形通过对角线将它分成两个三角形，而这两个三角形可以视为互相平分对角线的两个三角形。
而由于对角线是平分对角线的，所以它们的长度也是相等的。
3. 同底异侧三角形面积相等同底异侧三角形指的是有共同底边但在底边两侧的两个三角形。
在平行四边形中，这两个三角形的高度一致，因此根据三角形面积公式（面积 = 底边 * 高 / 2）可得出它们的面积相等。
三、相关应用1. 计算周长和面积对于一个已知四边长和对边长度的平行四边形，可以使用周长公式（周长 = 2 *（边长1 + 边长2））来计算它的周长。
而计算面积则可以利用对角线之一作底边和高度计算得出（面积 = 对角线长度 * 竖直距离 / 2）。
2. 指导向量运算平行四边形也可以被用来辅助指导向量的相关运算，如向量加减法、向量投影等。
3. 应用于建筑斜面设计在建筑领域中，平行四边形被广泛应用于斜面设计中。
斜面视为平行四边形，可以使用平面几何的相关知识来进行计算和设计。
四、练习题1. 给定平行四边形ABCD，已知AB=5cm，BC=8cm，BD=6cm，求此平行四边形的周长。
2. 在平行四边形ABCD中，AC是一条斜线段，且AC平分BD。
已知AB=5cm，AD=9cm，BD=6cm，求平行四边形的面积。
3. 平行四边形ABCD中，BD的长度等于对角线AC的长度，且∠BAC = 60°。
若AB的长度为8cm，则平行四边形的面积为多少？五、总结通过对平行四边形的概念、性质以及应用的讲解与练习题的讲解，我们可以更深入地了解和掌握平行四边形的相关知识，并在实际的数学问题中加以应用。
八年级数学平行四边形的判定1
图形语言 符号语言 Ｄ Ｃ ∵AB∥CD,AD∥
BC Ａ Ｂ ∴…是平行四边形 Ｃ ∵AB=CD,AD= 定 两组对边分别相等的 Ｄ BC ∴…是平行 理 四边形是平等四边形 １ Ａ Ｂ 四边形 Ｃ ∵OA=OC,OB= 定 对角线互相平分的四 Ｄ O 理 边形是平行四边形 OD ∴…是平行 Ａ ２ Ｂ 四边形 Ｃ ∵∠A=∠C,∠B= 推 两组对角分别相等的 Ｄ 论 四边形是平行四边形 ∠D Ａ Ｂ ∴…是平行四边形
边
平行四边形的对边平行 平行四边形的对边相等
平行四边形的性质： 角
平行四边形的对角相等 平行四边形的邻角互补
对角线 平行四边形的对角线
互相平分
我们知道了平行四边形的性质，那么，有 哪些方法可以判断一个四边形是平行四边 形呢？ （1）根据定义：两组对边分别平行的四 边形叫做平行四边形 因为AB//CD,AD//BC;所以四边形ABCD是 平行四边形。
大 显 身 手
B
求证：四边形BFDE是平行四边形 证明：作对角线BD，交AC于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形
A
E
O F
D ∴ AO=CO，BO=DO
∵AE=CF ∴AO-AE=CO-CF ∴EO=FO 又 BO=DO ∴ 四边形BFDE是平行四边形
C
第97页练习
判 文字语言 定 定 两组对边分别平行的 义 四边形是平行四边形
小明的爸爸在钉制平行四边形框架时采用 了下面两种方法。 方法一：如图，将两根木条AC，BD的中 点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD 就是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四 边形。
方法二： 如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在 一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对 边，转动这个四边形，使它的形状改变，在图 形变化的过程中，它一定是平行四边形吗？ 两组对边分别相等的四边形是平行四边 形。
人教版八年级数学下册第18章平行四边形 知识要点总结
人教版八年级数学下册第18章平行四边形知识要点总结第18章平行四边形复习平行四边形知识点一、平行四边形定义：二、平行四边形的性质边：1.两组对边互相平行且相等；符号语言：角：2.两组对角分别相等；符号语言：对角线：3.对角线互相平分。
符号语言：对称性：中心对称图形但不一定是轴对称图形平行线之间的距离：平行线间的距离都相等符号语言：∵AE∥BF且AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF∴AB＝CD＝EF三、平行四边形的判定边：1. 两组对边分别平行．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：2. 两组对边分别相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：3. 一组对边平行且相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：角：4. 两组对角分别相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：对角线：5.对角线互相平分的四边形是平行四边形；符号语言：四、平行四边形的面积公式S□ABCD=ah(a是边,h是这个边的高）；五、与三角形有关的知识点1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段．．叫做三角形的中位线。
2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半符号语言：3.取值范围：利用三角形的性质：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边 如：已知□ABCD 两对角线的长分别为6和8，则较短边长x 的取值范围为1<x<7.4.直角三角形性质定理（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.符号语言：∵在Rt △ABC 中，且AD ＝CD∴ BD=AD=CD（2）直角三角形中，30°角所对应的直角边等于斜边的一半.符号语言：∵在Rt △ABC 中，且∠A=30°∴BC=12AC 或 2BC=AC特殊的平行四边形知识点—矩形一、矩形的定义：二、矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的四个角都是直角； 符号语言：3.矩形的对角线平分且相等。
符号语言：三、矩形判定1.有一个角是直角的平行四边形．．．．．叫做矩形。
八年级数学下册18、1平行四边形的性质第1课时平行四边形及其边角性质授课课件新版华东师大版
知3－讲
ABCD中，∠A =40°，求其他各内角
解：在 ABCD中， ∠A = ∠C，∠B = ∠D(平行四边形的对角相等). ∵∠A=40°，∴∠C=40°. 又∵AD//BC， ∴∠A + ∠B = 180°, ∴∠B = 180° - ∠A=180°- 40° = 140°， ∴∠D = ∠B = 140°.
证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD(平行四边形的对边相等)， AB//CD(平行四边形的对边平行)，
∴∠CDE =∠AED. 又∵DE是∠ADC的平分线， ∴∠ADE =∠CDE, ∴∠ADE =∠AED， ∴AD = AE. 又∵AD=BC (平行四边形的对边相等) ∴AE=BC. ∴BE+BC=BE+AE=AB=CD.
第18章 平行四边形
18.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形及 其边角性质
1 课堂讲解 平行四边形的定义
平行四边形的性质——对边相等
平行四边形的性质——对角相等
2 课时流程 平行线之间的距离
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 平行四边形的定义
知1－导
平行四边形是生活中常见的图形，你能举出一些实例吗?
知2－导
知识点 2 平行四边形的性质——对边相等
你还发现平行四边形有哪些性质？
我们还发现：平行四边形的对边相等、对角相等. 请你尝试证明这些结论.
知2－讲
边的性质： 平行四边形对边平行；平行四边形对边相等．
数学表达式： 如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC.
知3－讲
要点精析：由于组成平行四边形的元素有边、角，因 此讨论其性质也应从边、角这两个方面去看． (1)从边看：平行四边形的对边平行且相等； (2)从角看：平行四边形的对角相等、邻角互补． 3.易错警示：已知平行四边形得出什么性质，要根据
18.1.3平行四边形的性质课件华东师大版八年级数学下册
A.63°
B.72°
C.54°
D.60°
4. 如图，在□ABCD中，BF 平分∠ABC，交 AD 于点 F，
CE 平分∠BCD，交 AD 于点 E，AB = 6，EF = 2，则 BC 长为（ B ）
5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，P 是 CD 边上一点， 且 AP 和 BP 分别平分∠DAB 和∠CBA，若 AD = 5， AP = 8，则△APB 的周长为__2_4____.
BC分别相交于点 E 和点 F .求证：OE=OF.
分析：要证明OE=OF，只要证明它们所在
A
E
O
D
的两个三角形全等即可.
证明：▱ABCD中
B
F
C
有OB=OD(平行四边形的对角线互相平分) 又∵∠DOE=∠BOF，
∵AD∥BC
∴△DEO≌△BFO.
∴∠DEO=∠BFE
∴OE=OF
9. 如图，▱ABCD的对角线AC与DB相交于点O，其周长为16，且△AOB
的周长比△BOCAB和BC的长.
解：在▱ABCD中
A
D
O
有OA=OC(平行四边形的对角线互相平分)
B
C
∵△AOB的周长+2=△BOC的周长
∴AB+OA+OB+2=BC+OB+OC，
∴2(AB+BC)=16
43;4=16
又∵▱ABCD的周长等于16
∴AB=3，BC=5
10. 如图，在▱ABCD中，对角线AC=21cm，BE⊥AC，垂足为点E，且 BE=5cm，ADAD和BC之间的距离.
1. 已知平行四边形 ABCD 的周长为 32，AB = 4，则 BC 的长为____1_2___.
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分析备注
便回顾与 复习有关 平移的性 质。 利用小组 交流与合 作使学生 认识到其 他的关系。
在图形的 讲解过程 中， 应点出 平行四边 形的表示 方法。 利用半透 明纸来作 实验将会 是今后学 习的一个 好工具。
例 2、 A B C D 中，已知 AB=8，周长等于 24，求其他三条 边的长。 其实这里 三、巩固训练： 就涉及到 Ｐ32 exc1、2 了平行四 边形的对 四、知识小结： 称性 （中心 1、今天我们学了哪些知识； 对称图形， 2、用哪些方法探索平行四边形的概念和特征。 对称中心
一、知识导向： 经过七年级对空间与图形的入门学习， 在本学期开始学习具 体的图形，应该说是一个大的飞跃，所以如何在学习中给学生贯 输一种数形结合，特别是图形观是相当重要的一环。平行四边形 是学生已经熟悉的平面图形， 教学中可以通过学生实际生活中的 丰富实例，以加深学生对平行四边形的认识。 二、新课拆析： 1、创设问题情景： 先分析展示本章头的图案，并引导学生去阅读此内容。 从这段文字中，我们知道，平行四边形是我们生活中常见的 一种图形，它肯有十分和谐的对称词美，上一章我们已经知道， 平行四边形是中心对称图形， 这就告诉我们平行四边形就在我们 身边与我们生活息息相关。 2、知识形成 （1）让学生交流生活中见到的平行四边形； （2）拿出一张坐标纸，画线段 AB 和直线 PQ，学生动手操 作：把 AB 沿着 PQ 方向平移到 CD 位置。
电教课教案
五、家庭作业： Ｐ38 exc1 六、每日预题： 1、平行四边形还有什么其他特征； 2、请你用一个表格把这些特征归纳在一起。 七、教学反馈：
分析备注
是两条对 角线的交 点） 这两个例 题都有多 种解法， 应 引导学生 多去思考 与挖掘。
从生活到 数学， 对学 生来说应 该是一个 比较能接 受的过程， 也是比较 能引发学 生学习兴 趣的过程。 在此应顺
电教课教案
（3）学生对（2）操作的思考：四边形 ABDC 是一个怎么 样的四边形？根据平移的原则，AB 与 CD，AC 与 BD 的位置关 系如何？ 概括：平行四边形的两组对边分别平行四边形 ； （4）你能从以下图形中找出平行四边形吗，说说你的理由。 （画一些包含有平行四边形的图形在内） 思考： （1）要识别一个图形是平行四边形，目前的方法有几个？ （2）平行四边形首先应该是几边形？ （3）应该有几组对边平行？ 3、知识拓展 同学们准备好一张方格纸。 按照下面步骤在方格纸上画一个平行四边形。 步骤 1：画两条平行线； 步骤 2：在这两条线上分别取点 A 和点 B，连结 AB； 步骤 3：沿着水平方向，平移 AB 到 CD，就得到 A B C D 。 用半透明纸压在上图 A B C D 上，描下一个与它完全一样 的四边形 EFGH，很明显四边形 EFGH 也是平行四边形，它们的 对应边相等，对应角也相等。 在 A B C D 中，连 AC 与 BD 交于 O，用一枚图钉在点 O 穿过将 A B C D 绕 O 旋转1 8 0 ， 观察旋转后 A B C D 和纸上所 画的 E F G H 是否重合。 概括：平行四边形的对边相等，对角相等。 4、例题讲解： 例 1、在 A B C D 中，已知 Байду номын сангаас 4 0 ，求其他各个内角。
电教课教案 第十二章 §12.1 平行四边形 平行四边形
分析备注
平行四边形的特征（1） 教学目的： 1、 经历探索平行四边形的有关概念和特征的过程， 在有关活动中发展学生的探索意识和合作交流 的习惯； 2、探索并掌握平行四边形对边相等，对角相等的 特征； 教学分析： 重点：平行四边形的概念和特征； 难点：探索和掌握平行四边形的特征； 关键：数形结合； 教学过程：