一元线性模型的参数估计
第一课时 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计
解析 由题意得－x＝3＋4＋4 5＋6＝4.5， －y＝25＋30＋4 40＋45＝35. ∵回归直线方程^y＝b^x＋a^中b^＝7，∴35＝7×4.5＋a^，解得a^＝3.5， ∴^y＝7x＋3.5. ∴当 x＝10 时，^y＝7×10＋3.5＝73.5(万元)． 答案 73.5
(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算．
i
1
2
3
4
5
xi
2
4
5
6
8
yi
30
40
60
50
70
xiyi
60
160
300
300
560
x2i
4
16
25
36
64
－x＝5，－y＝50，i＝∑5 1x2i ＝145，i＝∑5 1xiyi＝1 380
5
∑xiyi－5－x
－
y
于是可得，b^＝i＝15
∑xi2－5－x 2
【训练2】 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四 次实验，得到的数据如下：
零件的个数x(个) 加工的时间y(h)
23 2.5 3
45 4 4.5
(1)已知零件个数与加工时间线性相关，求出y关于x的线性回归方程； (2)试预测加工10个零件需要多少时间？
4
解 (1)由表中数据，得∑xiyi＝2×2.5＋3×3＋4×4＋5×4.5＝52.5， i＝1
【迁移2】 (变条件，变设问)本例中近似方程不变，每小时生产有缺点的零件件数是 7，估计机器的转速． 解 因为 y＝5710x－67，所以当 y＝7 时，7＝5710x－67，解得 x≈11，即估计机器的转速约为 11 转/秒．
2.2-一元线性回归模型的参数估计
高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem)
在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量 是具有最小方差的线性无偏估计量。
第23页，共32页。
2、无偏性，即估计量ˆ0 、ˆ1 的均值（期望）等于总体回归
参数真值0 与1
证： ˆ1 kiYi ki ( 0 1 X i i ) 0 ki 1 ki X i ki i
为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型提 出若干基本假设。
注：实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关。
第4页，共32页。
一、线性回归模型的基本假设
假设1、解释变量X是确定性变量，不是随机变量；
该假定保证了解释变量的非随机性和外生性。
假设2、随机误差项具有零均值、同方差和不序列相关性：
E(i)=0
1 n
2
2
1 n
Xki
X
2
k
2 i
2
1 n
2 n
X
ki X 2
xi xi2
2
2
1 n
X2 xi2
2
xi2 nX 2 2
第25页，共32页。
（2）证明最小方差性
假设ˆ1* 是其他估计方法得到的关于1 的线性无偏估计量：
ˆ1* ciYi
第8页，共32页。
另外，在进行模型回归时，还有两个暗含的假设：
假设5：随着样本容量的无限增加，解释变量 X的样本方差趋于一有限常数。即
( X i X )2 / n Q, n
假设6：回归模型是正确设定的
假设5旨在排除时间序列数据出现持续上升或下降的变量作为解
释变量，因为这类数据不仅使大样本统计推断变得无效，而且往往
= 0.
§2.2 一元线性回归模型的参数估计
β 0 = Y β1 X
例2.2.1：在上述家庭可支配收入-消费支出例中，对 ：在上述家庭可支配收入-消费支出例中， 于所抽出的一组样本数， 于所抽出的一组样本数，参数估计的计算可通过下面的 进行。 表2.2.1进行。 进行
表 2.2.1 数 计 计 参 估 的 算表
Xi
Yi
xi
1
的样本方差： 2 = σ 2 x 2 / n ( x x )2 ∑ i ∑ i β0 Sβ
0
β1 =
∑x y ∑x
i 2 i
i
5769300 = = 0.777 7425000
β 0 = Y β 0 X = 1567 0.777 × 2150 = 103.172
因此，由该样本估计的回归方程为：
Yi = 103.172 + 0.777 X i
三、最小二乘估计量的性质
（1）线性性，即它是否是另一随机变量的线性 ）线性性， 函数； 函数； （2）无偏性，即它的均值或期望值是否等于总 ）无偏性， 体的真实值； 体的真实值； （3）有效性，即它是否在所有线性无偏估计量 ）有效性， 中具有最小方差。 中具有最小方差。
中，最小二乘估计量 β 0 、 β1 具有最小方差。
（2）证明最小方差性
β 1* 是其他估计方法得到的关于β1 的线性无偏估计量： 假设
β 1* = ∑ ci Yi
其中，ci=ki+di，di为不全为零的常数 则容易证明
var(β 1* ) ≥ var(β 1 )
同理，可证明β0 的最小二乘估计量 β 0 具有最的小方差
-973 1314090 1822500 947508 640000 352836 -929 975870 1102500 863784 1210000 407044 -445 334050 562500 198381 1960000 1258884 -412 185580 202500 170074 2890000 1334025 -159 23910 22500 25408 4000000 1982464 28 4140 22500 762 5290000 2544025 402 180720 202500 161283 6760000 3876961 511 382950 562500 260712 8410000 4318084 1018 1068480 1102500 1035510 10240000 6682225 963 1299510 1822500 926599 12250000 6400900 5769300 7425000 4590020 53650000 29157448
一元线性回归模型的参数估计法的误差分析
一元线性回归模型的参数估计法的误差分析
一元线性回归模型是当前最为常用的统计学模型之一，被广泛应用于商业分析、金融投资预测、互联网用户行为分析等不同的领域。
而参数估计是这些模型最基础也是最关键的一步，因此误差分析在此过程中也十分重要。
一元线性回归模型的参数估计误差通常主要由两部分组成：拟合误差和估计误差。
拟合误差指的是拟合的参数和真实参数的偏离度，表现为模型在训练数据上表现出来的表型；而估计误差则指的是训练数据和测试数据之间的表型差异，表现为模型在未知数据上表现的表型。
就拟合误差而言，大多数的参数估计方法都试图拟合数据，期望在训练数据上
得到最小的拟合误差，并且拟合模型的参数有可能不可以推广到未知数据上表现。
在模型参数估计这一过程中，光考虑拟合误差是不够的，必须要考虑到模型参数在未知数据上的表现，这也就要求我们在估计参数之前先进行泛化性能分析，以免使模型过拟合于给定数据，从而导致估计参数的推广能力变差。
同时，要有效的控制参数估计的误差，还要注意几项重要的考量：一是训练数
据的质量和数量；二是参数估计算法本身的问题，比如该算法是否属于正则化算法，假若使用的算法是正则化算法，则应当考虑使用正则化参数以控制模型的复杂度；另外，确定参数估计的衡量标准，比如前面提到的拟合误差和估计误差，或者准确率、召回等标准也要纳入考虑范围。
总而言之，一元线性回归模型的参数估计误差分析对于一个模型性能优劣有着
至关重要的作用。
在进行参数估计之前，需要考虑到拟合误差和估计误差，以及几个重要的因素，如训练数据的质量、数量、参数估计的衡量标准等。
此外，在估计参数的过程中，为了控制参数估计的误差，模型设置正则化参数也是必要的。
一元线性回归模型及参数估计
但是，随机误差项的方差的估计量是不同的。
解或然方程
sm2
L*
= n
2sm2
+1
2sm4
S(Yi
bˆ0
bˆ1Xi)2
=0
即可得到sm2的最大或然估计量为：
sˆm2
1 =nS(Yi
bˆ0
bˆ1Xi)2
s P (Y i)=
1 e2s 1m 2(Y ibˆ0bˆ1X i)2 2
i= 1,2,… ,n
因为Yi 是相互独立的，所以 Y 的所有样本观测值的联合概率， 也即或然函数(likelihood function)为：
L(bˆ0,bˆ1,sm2) = P(Y1,Y2,,Yn)
=
1
e 1 2sm2
S(Yi
，当
Q对
b$ 、 0
b$ 的一阶偏导数为 1
0 时， Q 达到最小。即
Q
bˆ 0 Q
bˆ1
=0 =0
(
( bˆ
bˆ
0
0 +
+ bˆ1 X bˆ1 X i
i
Yi ) Yi ) X
= i
0 =
0
SYi SYi X i
= nbˆ0 + bˆ1SX i
=
bˆ0 SX i
+
bˆ1S
X
2 i
解得：
bˆ0 = Y bˆ1X
bˆ1
=
nSYi Xi SYiSXi nSXi2 (SXi )2
由于
bˆ 0
、bˆ 的估计结果是从最小二乘原理得到的，故称为 1
一元线性回归模型的参数检验
模型拟合的质量检验
1
残差分析
通过分析模型的残差，可以评估模型对数据的拟合程度。较小的残差表示模型拟合较好。
2
参数的显著性检验
通过t检验或F检验，判断模型参数是否显著。显著的参数表示自变量对因变量的影响是真实 存在的解释程度。取值范围为0到1，越接近1表示模型拟合的越 好。
残差分析
残差分析是评估一元线性回归模型拟合质量的重要方法。通过分析残差的分 布、模式和异常值，可以判断模型是否可靠。
参数的显著性检验
在一元线性回归模型中，参数的显著性检验是判断自变量对因变量的影响是否显著的方法。常用的方法有t检 验和F检验。
t检验的基本原理
t检验是一种用于检验样本均值与总体均值之间差异的统计方法。在一元线性 回归模型中，用于检验参数估计值与真实值之间的差异。
一元线性回归模型的参数 检验
在统计学中，一元线性回归模型是一种用于描述两个变量之间线性关系的模 型。本节将介绍一元线性回归模型的参数检验方法。
什么是一元线性回归模型？
一元线性回归模型用于分析一个自变量与一个因变量之间的线性关系。它通 过拟合一个直线来描述这种关系，并根据模型参数进行推断和解释。
数据预处理
在进行一元线性回归之前，需要对数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值 处理和异常值检测。通过这些步骤，可以确保模型建立在可靠的数据基础上。
拟合一元线性回归模型
通过最小化残差平方和来拟合一元线性回归模型。这可以通过最小二乘法来 实现，求解模型参数使得预测值与观测值的差异最小。
模型参数的估计
一元线性回归模型的参数估计使用普通最小二乘法。通过计算样本数据的协 方差和方差，可以得到模型参数的估计值。
§2.1 线性模型的参数估计
第2章 线性回归模型§2.1 线性模型的参数估计2.1.1 线性模型的最小二乘估计一、一元线性回归模型的最小二乘估计（OLS ） 总体回归模型： 12i i i Y X ββε=++，1,...,i n = 被解释变量i Y ，解释变量i X ，随机误差项i ε的含义 参数12ββ和的含义样本回归模型： 12ˆˆi i iY X e ββ=++，1,...,i n = 残差：12ˆˆi i ie Y X ββ=-- 残差平方和： ()212ˆˆ2i i ie Y X ββ=--∑∑最小二乘法：()1212212ˆˆˆˆ,,ˆˆmin min 2i i i e Y X ββββββ=--∑∑()()121122ˆˆ2=0ˆˆˆ2=0ˆ2i i i2i i i i e Y X e Y X X ββββββ⎧∂=---⎪∂⎪⎨∂⎪=---⎪∂⎩∑∑∑∑ 正则方程：122ˆˆi i iii i n X Y X XX Y ββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑∑ 最小二乘估计量：1222ˆˆˆi i i Y X X Y nXY X nX βββ⎧=-⎪-⎨=⎪-⎩∑∑ 二、多元线性回归模型的最小二乘估计（OLS ）(一) 线性回归模型的矩阵形式12233...i i i K Ki i Y X X X ββββε=+++++， 1,...,i n =解释变量23,,...,i i Ki X X X参数12,,...,K βββ的含义，称2,...,K ββ为偏回归系数()2312233,,...,...i i i Ki i i K Ki E Y X X X X X X ββββ=++++K 维空间中K - 1维空间平面。
1122133111212223322212233...for 1...for 2.........for K K K K n n n n K n K Y X X X i Y X X X i Y X X X i nββββεββββεββββε=+++++==+++++==+++++=12111122222221...1 (1)...K K n n n n K K Y X X Y X X Y X X εβεβεβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦记12111122222221...1...,,,.....................1...K K n nn K Kn Y X X Y X X Y X X εβεβεβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥≡≡≡≡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦Y X βε，用粗体表示向量或矩阵，常规粗细表示标量。
一元线性回归模型的参数估计实验报告
一元线性回归模型的参数估计实验报告一、实验目的通过实验了解一元线性回归模型，理解线性回归模型的原理，掌握回归系数的计算方法和用途，并运用Excel对一组数据进行一元线性回归分析，并解释拟合结果。
二、实验原理1.一元线性回归模型一元线性回归模型是指只有一个自变量和一个因变量之间存在线性关系，数学为：`Y = β0 + β1X + ε`其中，Y表示因变量的数值，X表示自变量的数值，β0和β1分别是系数，ε表示误差项。
系数是待求的，误差项是不可观测和无法准确计算的。
2.回归系数的计算方法回归系数通常使用最小二乘法进行计算，最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来拟合数据的方法。
具体计算方法如下：（1）计算X的平均值和Y的平均值；（2）计算X和Y的样本标准差；（3）计算X和Y的协方差以及相关系数；（4）计算回归系数β1和截距β0；三、实验步骤1.导入实验数据将实验数据导入Excel，并进行清理。
2.绘制散点图在Excel中绘制散点图，判断是否存在线性关系。
3.计算相关系数通过Excel的相关系数函数计算出X和Y的相关系数。
通过Excel的回归分析函数计算出回归方程。
5.分析结果分析回归方程的拟合程度以及回归系数的意义。
四、实验结果1.数据准备通过Excel的回归分析函数，计算出回归系数为β0=1.1145，β1=2.5085，回归方程为`Y=1.1145+2.5085X`，如下图所示：（1）拟合程度：相关系数为0.870492，说明自变量和因变量之间存在一定的线性关系，回归方程的拟合程度较好。
（2）回归系数的意义：截距为1.1145，表示当自变量为0时，因变量的值为1.1145；回归系数为2.5085，表示自变量增加1个单位，因变量会增加2.5085个单位。
一元线性回归模型的参数估计
(2.2.4） (2.2.5)
或
ˆ ˆ ΣYi = nβ 0 + β1ΣX i 2 ˆ ˆ ΣYi X i = β 0 ΣX i + β1ΣX i
但是，随机误差项的方差的估计量是不同的。 是不同的
解或然方程
∂ * n 1 ˆ ˆ L =− 2 + Σ(Yi − β 0 − β 1 X i ) 2 = 0 2 4 ∂σ µ 2σ µ 2σ µ
2 σ µ 的最大或然估计量为： 即可得到
1 ˆ ˆ ˆ2 σ µ = Σ(Yi − β 0 − β 1 X i ) 2 = n
于是， Yi 的概率函数为
P (Yi ) = 1
− 1 2σ µ
2
ˆ ˆ (Yi − β 0 − β1 X i ) 2
σ 2π
e
i=1,2,…,n
因为 Yi 是相互独立的， 所以 Y 的所有样本观测值的联合概率， 也即或然函数 或然函数(likelihood function)为： 或然函数
ˆ ˆ 2 L( β 0 , β1 ,σ µ ) = P(Y1 , Y2 ,⋅ ⋅ ⋅, Yn )
解得模型的参数估计量为：
ˆ ΣX i2 ΣYi − ΣX i ΣYi X i β 0 = nΣX i2 − (ΣX i ) 2 ˆ β 1 = nΣYi X i − ΣYi ΣX i nΣYi 2 − (ΣX i ) 2
可见，在满足一系列基本假设的情况下， 可见，在满足一系列基本假设的情况下，模型结构参 数的 最大或然估计量 与 普通最小二乘估计量 是相同 的。
一元线性回归模型的参数估计
散点图
某居民小区家庭收入（X）与消费支出（Y）
Y
1500
的散点图
1300
1100
900
Yˆ = aˆ + bˆX
700
500
X
600
1100
1600
2100
最小二乘准则
Y
.(Xi,Yi)
. Yˆ = aˆ + bˆX (X j ,Yˆj )
ei
. . (Xi,Yˆi)
0
. ej
(Xj,Yj)
X
min
参数估计计算表
Yi
xi
yi
3637 3919 4185 4331 4616 4998 5359 6030
37075
-1517.4 -961.4 -640.4 -375.4 53.6 479.6 1058.6 1902.6 ——
-997.4 -715.4 -449.4 -303.4 -18.4 363.6 724.6 1395.6 ——
X = X i = 46403 = 5800.375
n
8
Y = Yi = 37075 = 4634.375
n
8
根据表 2 合计栏的数据及以上关于 X 和Y 的计
算结果可得：
bˆ1 =
xi yi = 6198658.9 0.7083 xi2 8751239.9
bˆ0 = Y - bˆ1 X 525.8662
2.对回归系数（斜率）进行统计假设检验，信度为 0.05。
3.估计可决系数并进行统计假设检验，信度为 0.05。
4.若下一年度居民货币收入为 25.5 亿元，预测购买消费品
支出的金额及预测区间，信度为 0.05。
一元线性回归模型的参数估计实验报告
山西大学实验报告实验报告题目：计量经济学实验报告学院：专业：课程名称：计量经济学学号：学生姓名：教师名称：崔海燕上课时间：一、实验目的：掌握一元线性回归模型的参数估计方法以及对模型的检验和预测的方法。
二、实验原理：1、运用普通最小二乘法进行参数估计；2、对模型进行拟合优度的检验；3、对变量进行显著性检验；4、通过模型对数据进行预测。
三、实验步骤：（一）建立模型1、新建工作文件并保存打开Eviews软件，在主菜单栏点击File\new\workfile，输入start date 1978和end date 2006并点击确认，点击save键，输入文件名进行保存。
2输入并编辑数据在主菜单栏点击Quick键，选择empty\group新建空数据栏，先输入被解释变量名称y，表示中国居民总量消费，后输入解释变量x，表示可支配收入，最后对应各年分别输入数据。
点击name键进行命名，选择默认名称Group01,保存文件。
得到中国居民总量消费支出与收入资料：年份X Y19786678.83806.719797551.64273.219807944.24605.5198184385063.919829235.25482.4198310074.65983.21984115656745.7198511601.77729.2198613036.58210.9198714627.788401988157949560.5198915035.59085.5199016525.99450.9199118939.610375.8199222056.511815.3199325897.313004.7199428783.413944.2199531175.415467.9199633853.717092.5199735956.218080.6199838140.919364.119994027720989.3200042964.622863.92001 46385.4 24370.1 2002 51274 26243.2 2003 57408.1 28035 2004 64623.1 30306.2 2005 74580.4 33214.4 2006 85623.1 36811.2注：y 表示中国居民总量消费 x 表示可支配收入3、 画散点图，判断被解释变量与解释变量之间是否为线性关系在主菜单栏点击Quick\graph 出现对话框，输入 “x y ”，点击确定。
计量经济学【一元线性回归模型——参数估计】
ˆ0计量ˆ1 和
可以分别表示为被解释变量观测Y值i
的线
性组合（线性函数）；
ˆ证1 明
如( X下i ： X )(Yi (Xi X )2
Y
)
(Xi X) (Xi X )2
(Yi
Y
)
ki (Yi Y )
其中ki ：
(Xi X) (Xi X )2
ki
对ki于引0 进的 ki (X容i 易X证) 明有k如i X下i 的1 特性k：i2
2
,
,
,
,
,
,
,
,
i
1,
2,
n
假设3：随机误差项在不同样本点之间是独立的，不
存
Cov(i , j ) 0,,,,,,,i j,,,,i, j 1, 2, n
在序列相关，即：
一、一元线性回归模型的基本假设
假设 4：随机误差项与解释变量之间不相关， 即：
Cov( Xi , i ) 0,,,,,,,,,,,i 1, 2, n
：待估
E(Y
总样体本回回归归函函数数形形式式：：Yˆi
| Xi)
ˆ0
0 ˆ1X i
1X i
其 计
中 估
方
ˆ0 , ˆ1 法ˆ0，, ˆ1求
是ˆ00,,ˆ11 出
的估计值，我们需要找到一种参数 ， 并0 ,且1 这 种 参 数 估 计 方 法 保 证 了 估
计值 数
与总体真值
尽可能地接近；这种参
i
根据微 小，
积
分中
ˆ0 , ˆ1
求
极
值
的
原
理
，
要
使 i
ei2
待定系数
一元线性回归模型的参数估计及性质
1
2 【注】只需计算 x、y、 xi 、 xi yi
【例】 （2013）
ˆ ,b ˆ 2、 (b0 , b1 ) 的最小二乘法估计 (b 0 1 ) 的性质
ˆ ,b ˆ 1） b 0 1 的分布
令 ˆ ( xi x )( yi y ) ( xi x ) yi ( xi x ) y k y b 1 i i 2 2 2 i ( xi x ) ( xi x ) ( xi x )
其中
2
yi b0 b1 xi ei yi nb0 b1 xi ei nb0 b1 xi y b0 b1 x
方差：
ˆ ) E[b ˆ E (b ˆ )]2 E (b ˆ b ) 2 E (b k e b ) 2 Var(b 1 1 1 1 1 1 i i 1 E ( ki ei ) 2 E (ki ei ) 2 ki2 E (ei2 ) 2 ki2 ( xi x ) 2 2 2 ( ( xi x ) 2 ) 2 ( xi x ) 2 lxx
一、一般模型
( xi x ) 0 ( yi y ) 0
yi b0 b1 xi ei
1、 b0 , b1 的点估计——最小二乘法 设
(i 1, , n)
e1 , , en独立同分布，E (ei ) 0, Var(ei ) 2
ˆ b ˆx ˆi b y 0 1 i
2
ˆ ) Var( y b ˆ x ) Var( y ) ( x ) 2 Var(b ˆ ) Var( 1 y ) ( x ) 2 Var(b 0 1 1 i n lxx 2 2 1 1 (x) 2 ( x )2 2[ ] n lxx n lxx
8.2一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计
yi
n
Σ(
i 1
xi
x )2
y)
=
n
Σx
i 1
i
yi n x
n
Σ
i 1
xi 2
n
x
2
y
(2)
aˆ y bˆ x
我们将 ˆy bˆx aˆ 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称经验回归
函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归
方程的方法叫最小二乘法，求得的 bˆ ,aˆ 叫做b,a的最小二乘估计．
易得:（1）经验回归直线必过样本中心 (x, y);
（2） bˆ 与相关系数r符号相同.
例1 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表:
商店名称
A
B
C
D
E
销售额x/千万元
3
5
6
7
9
利润额y/百万元
2
3
3
4
5
(1) 画出销售额和利润额的散点图； (2) 计算利润额y对销售额x的经验回归直线方程.
解析 由题意得－x＝3＋4＋4 5＋6＝4.5， －y＝25＋30＋4 40＋45＝35. ∵回归直线方程^y＝b^x＋a^中b^＝7，∴35＝7×4.5＋a^，解得a^＝3.5， ∴^y＝7x＋3.5. ∴当 x＝10 时，^y＝7×10＋3.5＝73.5(万元)． 答案 73.5
题型二 求经验回归方程
解：(1) 散点图如下:
商店名称
A
B
C
D
E
销售额x/千万元
3
5
6
7
9
利润额y/百万元
2
3
3
4
一元线性回归模型的参数估计
记 Q ei2 (Yi ˆ0 ˆ1Xi )2
根据微积分中多元函数求极值的方法，求Q关于
ˆ0和ˆ1的一阶偏导并令其等于0得：
Q
ˆ0
2
(Yi ˆ0 ˆ1Xi ) 0
Q
ˆ1
2
(Yi ˆ0 ˆ1Xi )Xi 0
整理得：
即：
(Yi ˆ0 ˆ1Xi ) 0
(Yi ˆ0 ˆ1Xi )Xi 0
5.样本回归函数的离差形式
记
yˆi Yˆi Y
将ˆ0
Y
ˆ1X代入Yˆi
ˆ0
ˆ1
X
可得
i
Yˆi Y ˆ1X ˆ1Xi
整理得 Yˆi Y ˆ1(Xi X )
写成离差形式为：
yˆi ˆ1xi
6.注意几个概念的区别
随机误差项：被解释变量的观测值与它的条件期望 的差
残差：被解释变量的观测值与它的拟合值的差，是 随机误差项的估计值
第二节 一元线性回归模型的参数估计
• 一元线性回归模型的概念 • 一元线性回归模型的基本假定 • 参数的普通最小二乘估计 • 截距为零的一元线性回归模型的估计 • 最小二乘估计量的性质 • 参数估计量的概率分布
一、一元线性回归模型的概念
一元线性回归模型是最简单的计量经济学模型，在 模型中只有一个解释变量，其一般形式是：
3.Y的分布性质： 由于Yi 0 1Xi ui，ui的分布性质决定了Yi的分布
性质，对于ui的一些假定可以等价地表示为对Yi的一 些假定：
假定2：零均值假定。E(Yi ) 0 1Xi 假定3：等方差假定。Var(Yi ) 2
假定4：无自相关假定。Cov(Yi ,Yj ) 0(i j) 假定5：正态性假定。Yi ~ N (0 1Xi , 2 )
第三章 一元模型的参数估计PPT课件
4
一、参数的普通最小二乘估计（OLS）
给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）要 求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.
离差
要求样本函数仅可能好的拟合这组数值，我们可以考虑 使观测值Yi与样本回归值之差(残差ei)尽可能的小， 使之尽可能的接近PRF,即：
第三章 一元回归模型的参数估计
一、参数的普通最小二乘估计（OLS） 二、最小二乘估计量的数值性质 三、一元线性回归模型的基本假设 四、最小二乘估计量的统计性质 五、参数估计量的概率分布及随机干
扰项方差的估计 六、最小二乘估计（OLS）的精度或标准误
1
整体概况
概况一
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01
概况二
2、 ∑ei2＝f(^0 , ^1 )，即残差平方和是估计量^0 , ^1
的某个函数。 3、用OLS原理或方法选出来的^0 , ^1 ，将使得对
于给定的样本或数据残差平方和尽可能的小。 7
方程组（*）称为正规方程组（normal equations）。
8
记
x i2(X i X )2X i2 1 n X i2
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02
概况三
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03
2
单方程计量经济学模型分为两大类： 线性模型和非线性模型
•线性模型中，变量之间的关系呈线性关系 •非线性模型中，变量之间的关系呈非线性关系
一元线性回归模型：只有一个解释变量
Y i 01X ii
i=1,2,…,n
Y为被解释变量，X为解释变量，0与1为待估 参数， 为随机干扰项
6
普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）给出的判断标准是：二者之差的
一元线性回归模型及参数估计
步骤：收集数据、建立模型、 计算参数、评估模型
优点：简单易行，适用于线 性回归模型
最大似然估计法
定义：最大似然 估计法是一种基 于概率的参数估 计方法，通过最 大化样本数据的 似然函数来估计
参数。
原理：利用已知 样本数据和概率 分布函数，计算 出样本数据出现 的概率，然后选 择使得概率最大 的参数值作为估
参数估计的性质
无偏性
定义：参数估计量是 无偏估计时，其期望 值等于参数的真实值。
性质：无偏性是线性 回归模型参数估计的 最基本性质之一，是 评价估计量优劣的重 要标准。
证明：可以通过数学 推导证明无偏性，具 体过程可以参考相关 教材或论文。
应用：在回归分析中， 无偏性可以保证估计 的参数具有最小误差， 从而提高预测的准确 性和可靠性。
计值。
优点：简单易行， 适用于多种分布 类型的数据，具
有一致性。
局限：对样本数 据的要求较高， 当样本数据量较 小或分布不均时， 估计结果可能不
准确。
最小绝对误差准则
定义：最小化预测值与实际值之间的绝对误差
优点：对异常值不敏感，能够更好地处理数据中的噪声和异常值
缺点：可能导致模型过于复杂，过拟合数据 应用场景：适用于预测连续变量，尤其是当因变量和自变量之间的关系是 非线性的情况
行处理。
处理方法：包括 删除不必要的自 变量、合并相关 性较高的自变量、 使用其他模型等
方法。
模型预测与决策应用
预测未来趋势
利用一元线性回 归模型预测未来 趋势
模型参数估计的 方法和步骤
预测结果的解读 与决策应用
模型预测的局限 性及改进方法
制定决策依据
利用回归方程进行 预测
ห้องสมุดไป่ตู้
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一、参数的普通最小二乘估计（OLS）
1、最小二乘原理
给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n） 要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.
• 根据被解释变量的所有观测值与估计值之差的 平方和最小的ˆi )2 (Yi (ˆ0 ˆ1X i ))2
1
1
• 为什么取平方和？
2、正规方程组
Q
ˆ0 Q
ˆ1
0 0
(Yi ˆ0 ˆ1 X i ) 0 (Yi ˆ0 ˆ1 X i ) X i 0
方程组（*）称为正规方程组（normal equations）。
3、参数估计量
nX
2 i
(X i ) 2
X
i
i
结构参数的 ML估计量
3、讨论
• 在满足一系列基本假设的情况下，模型结构参 数的最大似然估计量与普通最小二乘估计量是 相同的。
• 但是，分布参数的估计结果不同。
ML : ˆ 2 ei2
n
OLS : ˆ 2 ei2
n2
4、例题
§2.3 一元线性回归模型的参数估计
(Estimation of Simple Linear Regression
Model)
一、参数的普通最小二乘估计（OLS） 二、参数估计的最大或然法(ML) 三、参数估计的矩法(MM) 四、最小二乘估计量的性质 五、参数估计量的概率分布及随机干
扰项方差的估计
CRAMMER法则
• 基本原理：当从模型总体随机抽取n组样本观 测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型 中抽取该n组样本观测值的概率最大。
• ML必须已知随机项的分布。
2、估计步骤
Yi ~ N(ˆ0 ˆ1 X i , 2 )
Yi的分布
P(Yi )
1
e
1
2
2
(Yi
ˆ0
ˆ1
X
i
)
2
2
ˆ
0
ˆ1
(Yi (Yi
ˆ0 ˆ0
ˆ1 X i )2 ˆ1 X i )2
0 0
对数似然函 数极大化的 一阶条件
ˆ
0
ˆ1
X
2 i
Yi
X i Yi
nX
2 i
(X i ) 2
nYi X i Yi X
Yi的概率函数
L(ˆ0 , ˆ1, 2 ) P(Y1,Y2 , ,Yn )
1
e
1
2
2
(Yi
ˆ0
ˆ1
X
i
)
2
(2
)
n 2
n
Y的所有样
本观测值的 联合概率— 似然函数
L* ln(L)
n ln(
2 )
1
2
2
(Yi
ˆ0
ˆ1 X i
)2
对数似然 函数
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
, xn
Dn D
CRAMMER法则应用
x 1
x 2
x 3
x 4
5
x 1
2x 2
x 3
4x 4
2
2
x 1
3x 2
x 3
5x 4
2
3
x 1
x 2
2x 3
11x 4
0
11 1 1
解
1 2 1 4
D
142
• 如果把上式看成参数估计的一个表达式，那么， 则是Yi的函数，而Yi是随机变量，所以参数估计 也是随机变量，在这个角度上，称之为“估计 量”。
5、例题（采用Eviews进行OLS估计）
• 数据
• OLS估计
二、参数估计的最大似然法(ML)
1、最大似然法
• 最大似然法(Maximum Likelihood,ML)，也 称最大或然法，是不同于最小二乘法的另一种 参数估计方法，是从最大或然原理出发发展起 来的其它估计方法的基础。
由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到的， 故称为普通最小二乘估计量（ordinary least squares estimators）。
顺便指出 ，记 yˆi Yˆi Y
则有
yˆi (ˆ0 ˆ1 X i ) (ˆ0 ˆ1 X e )
ˆ1 ( X
i
X
记
xi2 (X i X )2
X
2 i
1 n
Xi 2
xi yi
( X i X )(Yi Y )
X iYi
1 n
X i Yi
上述参数估计量可以写成：
ˆ1
xi yi
x
2 i
ˆ0 Y ˆ1 X
称为OLS估计量的离差形式（deviation form）。
D4 2
3
1
142 2
3 1 0 11
31 2 0
所以
x1
D1 D
1, x2
D2 D
2, x3
D3 D
3, x4
D4 D
1
CRAMMER法则应用局限
1、Crammer法则只能用于求解方程个数与未知数 个数相等的线性方程组；
2、Crammer法则只能求得系数行列式不为零时的 线性方程组的唯一解； 即如果方程个数与未知数个数不相等，或系数 行列式等于零，则Crammer法则失效。
2 3 1 5
3 1 2 11
5111
2 2 1 4
D1 2
3
1
142 5
0 1 2 11
15 1 1
1 2 1 4
D2 2
2
1
284 5
3 0 2 11
11 5 1
11 1 5
1 2 2 4
1 2 1 2
D3 2
3
2
426 5
如果线性方程组
a11x 1 a12 x 2 a1n xn b1 a2..1.x..1....a..2.2.x...2...........a..2.n..x..n.....b. 2 an1x 1an2 x 2 ann xn bn
（1）
的系数行列式D不等于零， 则方程组有唯一解
)
1 n
ei
可得
yˆi ˆ1xi
（**）
（**）式也称为样本回归函数的离差形式。
注意： 在计量经济学中，往往以小写字母表示对 均值的离差。
4、“估计量”（estimator）和“估计值”
(estimate)的区别
• 如果给出的参数估计结果是由一个具体样本资料 计算出来的，它是一个“估计值”，或者“点估 计”，是参数估计量的一个具体数值；