Ch5随机信号的功率谱密度
随机信号的谱功率计算
随机信号的谱功率计算
《随机信号的谱功率计算》
随机信号是在时间域和频率域上都为随机变量的信号。
谱功率是描述信号在频率域上能量分布的一个重要指标。
谱功率计算是通过对随机信号进行频谱分析来得到的，它可以用于不同领域中的信号处理和系统分析。
随机信号的谱功率可以通过多种方法来计算，其中最常用的方法是利用傅里叶变换。
傅里叶变换将信号从时间域转换到频域，可以得到信号的频谱信息。
对于离散时间信号，可以使用离散傅里叶变换（DFT）来计算谱功率。
在信号处理中，谱功率通常使用功率谱密度函数（PSD）来表示。
功率谱密度函数是信号在频率域上的能量分布，描述了信号在不同频率上的功率大小。
对于离散时间信号，功率谱密度函数可以通过对信号的离散傅里叶变换的模的平方来计算。
另一种常用的方法是自相关函数和互相关函数。
自相关函数是信号与其自身在不同时刻的相关性，互相关函数是两个信号之间的相关性。
通过对随机信号的自相关函数或互相关函数进行傅里叶变换，可以得到信号的功率谱密度函数。
在实际应用中，计算谱功率还可以使用非参数估计方法，如周期图法、信号子空间方法和最大熵谱估计等。
这些方法不依赖于对信号的先验知识，可以直接估计信号的谱功率分布。
通过计算信号的谱功率，可以得到信号的频谱信息，从而可以进行频率分析、滤波和信号检测等操作。
谱功率计算在通信系统、雷达系统、音频处理和图像处理等领域中具有重要的应用价值。
总之，随机信号的谱功率计算是对信号进行频谱分析的关键步骤。
通过计算信号的功率谱密度函数，可以获得信号在频率域上的能量分布，为信号处理和系统分析提供重要的依据和指导。
随机信号的功率谱
功率谱分析在信号处 理中的应用
功率谱分析在信号处理领域具有 广泛的应用，如语音信号分析、 雷达信号处理、通信信号处理等 。通过功率谱分析，可以提取信 号的特征信息，实现信号检测、 识别和分类等任务。
未来发展趋势预测
• 高分辨率功率谱估计：随着信号处理技术的发展，对功率谱估计的分辨率要求 越来越高。未来将继续研究高分辨率的功率谱估计方法，以提高信号处理的精 度和性能。
杂波背景下目标检测
在雷达和声呐应用中，接 收到的信号往往包含杂波 ，即非目标反射的信号。 杂波可能来自地面、海面 、大气等环境因素。
功率谱分析可用于区分目 标回波和杂波。目标和杂 波在功率谱上通常具有不 同的特征，如频率范围、 幅度和形状等。
通过设定合适的阈值和滤 波器，可以在杂波背景下 准确地检测出目标。
定义
随机信号是一种无法用确 定函数描述，但具有一定 统计规律性的信号。
统计规律性
随机信号在大量重复观测 下呈现出一定的统计规律 ，如均值、方差等。
连续性
随机信号通常是时间连续 的，可以用连续时间函数 表示。
随机信号分类
根据信号性质分类
01
非平稳随机信号：统计特性随时间变化的 随机信号。
03
02
平稳随机信号：统计特性不随时间变化的随 机信号。
ARMA模型法
将随机信号建模为自回归滑动平均模型（ARMA），通过求解模型参数得到功率谱估计。 该方法适用于短数据和复杂信号，但模型定阶和参数估计较困难。
不同方法比较与选择
性能比较
现代谱估计方法通常具有更高的分辨率和更低的方差，性能优于经典谱估计方法。其中，MEM和MVM在分辨率 和方差性能方面表现较好，而ARMA模型法在处理短数据和复杂信号时具有优势。
随机信号的功率谱密度
随机信号的功率谱密度估计和相关函数随机信号的功率谱密度估计和相关函数1．实验目的了解估计功率谱密度的几种方法，掌握功率谱密度估计在随机信号处理中的作用。
⒉实验原理随机信号的功率谱密度用来描述信号的能量特征随频率的变化关系。
功率谱密度简称为功率谱，是自相关函数的傅里叶变换。
对功率谱密度的估计又称功率谱估计。
1.线性估计法（有偏估计）：线性估计方法是有偏的谱估计方法，谱分辨率随数据长度的增加而提高。
包括自相关估计、自协方差法、周期图法。
2.非线性估计（无偏估计）：非线性估计方法大多是无偏的谱估计方法，可以获得高的谱分辨率。
包括最大似然法、最大熵法⒊实验任务与要求1. 所有功能均用matlab仿真。
2. 输入信号为：方波信号+n(t)，方波信号信号基频1KHz，幅值为1v，n(t)为白噪声。
3. 编写自相关估计法、自协方差法、周期图法、最大似然法、最大熵法的matlab 程序。
正确的运行程序。
4. 必须用图示法来表示仿真的结果。
对几种功率谱估计的方法进行比较分析，发现它们各自有什么特点？。
5. 按要求写实验报告。
4.Matlab程序如下：生成输入信号：clear;fs=1024;%设采样频率为1024n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;%因方波频率F=1000HZ所以角频率W=2000piX1n=square(W*n);%方波信号X2n=randn(1,N);%白噪声信号xn=X1n+X2n;%产生含有噪声的信号序列XNsubplot(3,1,1)plot(n,xn);xlabel('n')ylabel(‘输入信号’)%绘输入信号图（1）.周期图法：fs=4000;n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;x1n=square(W*n);x2n=randn(1,N);xn=x1n+x2n;subplot(3,1,1)plot(n,xn);Nfft=256;N=256;%傅里叶变换的采样点数256Pxx=abs(fft(xn,Nfft).^2)/N;f=(0:length(Pxx)-1)*fs/length(Pxx);subplot(3,1,2),plot(f,10*log10(Pxx)),%转成DB单位xlabel('频率/HZ'),ylabel('功率谱/db'),title('周期图法');（2）.相关函数法：fs=1000;n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;x1n=square(W*n);x2n=randn(1,N);xn=x1n+x2n;subplot(3,1,1)plot(n,xn);%输入信号m=-100:100[r,lag]=xcorr(xn,100,'biased')%求XN的自相关函数R，biased为有偏估计lag为R 的序列号subplot(3,1,2)hndl=stem(m,r);%绘制离散图，分布点从-100—+100set(hndl,'Marker','.')set(hndl,'MarkerSize',2);ylabel('自相关函数R(m)')%利用间接法计算功率谱k=0:1000;%取1000个点w=(pi/500)*k;M=k/500;X=r*(exp(-j*pi/500).^(m'*k));%对R求傅里叶变换magX=abs(X);subplot(3,1,3)plot(M,10*log10(magX));xlabel('功率谱的改进直接法估计')（3）.自协方差法：clear all;fs=1000;n=0:1/fs:3;P=2000*pi;y=square(P*n);xn=y+randn(size(n));%绘制信号波形subplot(211)plot(n,xn)xlabel('时间（s）')ylabel('幅度')title('y+randn(size(n))')ymax_xn=max(xn)+0.2;ymin_xn=min(xn)-0.2;axis([0 0.3 ymin_xn ymax_xn]) %使用协方差法估计序列功率谱p=floor(length(xn)/3)+1;nfft=1024;[xpsd,f]=pcov(xn,p,nfft,fs,'half'); %绘制功率谱估计pmax=max(xpsd);xpsd=xpsd/pmax;xpsd=10*log10(xpsd+0.000001); subplot(2,1,2)plot(f,xpsd)title('基于协方差的功率谱估计') ylabel('功率谱估计（db）') xlabel('频率（HZ）')grid on;ymin=min(xpsd)-2;ymax=max(xpsd)+2;axis([0 fs/2 ymin ymax])（4）.最大熵法fs=4000;n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;x1n=square(W*n);x2n=randn(1,N);xn=x1n+x2n;subplot(3,1,1)plot(n,xn);Nfft=256;%分段长度256[Pxx,f]=pmem(xn,14,Nfft,fs);%调用最大熵函数pmem，滤波器阶数14 subplot(2,1,2),plot(f,10*log10(Pxx)),title(' 最大熵法，滤波器14'),xlabel('频率HZ'),ylabel('功率谱db');（5）.最大似然法：fs=1000;n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;x1n=square(W*n);x2n=randn(1,N);xn=x1n+x2n;subplot(3,1,1)plot(n,xn);%估计自相关函数m=-500:500;[r,lag]=xcorr(xn,500,'biased');R=[r(501) r(502) r(503) r(504);r(500) r(501) r(502) r(503);r(499) r(500) r(501) r(502);r(498) r(499) r(500) r(501)]; [V,D]=eig(R);V3=[V(1,3),V(2,3),V(3,3),V(4,3)].'; V3=[V(1,4),V(2,4),V(3,4),V(4,4)].'; p=0:3;wm=[0:0.002*pi:2*pi];B=[(exp(-j)).^(wm'*p)];A=B;%最小方差功率谱估计z=A*inv(R)*A';Z=diag(z');pmv=1./Z;subplot(2,1,2)plot(wm/pi,pmv);title('基于最大似然的功率谱估计') ylabel('功率谱幅度（db）') xlabel('角度频率w/pi')5.设计思想随机信号的功率谱密度用来描述信号的能量特征随频率的变化关系。
随机信号分析 第4章随机信号功率谱密度(1)
为在(0， )内均匀分布的随机变量 X (t )的平均功率W。 2 ，求
解：E[ X 2 (t )] E[a 2 cos 2( w0t )] a2 a2 E[ cos(2 w0t 2 )] 2 2 a2 a2 2 2 cos(2 w0t 2 )d 2 2 0 a2 a2 sin(2 w0t ) 2
e
| |
2
2 w2
例2.已知随机过程的自相关 函数为 1 R( ) (1 cos w0 )，求其功率谱密度。 2
1 解：G ( w) (1 cos w0 )e jw d 2 1 ( w) [e jw0 e jw0 ]e jw d 4 ( w)
-1
1
w 2 sin ( ) 1 2 2 (1 ) cos w d 0 w ( )2 2
2
例1：已知随机电报信号的 自相关函数 1 1 2 | | R( ) (1 e )；求其功率谱密度。 4 4
1 1 2 | | jw 解：G ( w) (1 e )e d 4 4 1 2 | | jw ( w) e e d 2 16 1 ( w) 2 4 42 w2
xT (t )e
jwt
dt xT (t )e jwt dt
T
T
X T ( w)e jwt dw
1 将式xT (t ) X T ( w)e jwt dw代入到 2 2 1 T W lim | x(t ) | dt 中得： T 2T T
2
[ ( w w0 ) ( w w0 )]
CH5振幅调制信号及混频
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2019/11/14
湖北大学物电学院 余琼蓉
高频电子线路
1：振幅调制的基本概念
定义：让要传送的低频信号去控制高频载波信号的 振幅，使之按调制信号的规律变化而变化的过程。
设调制电压为： u (t) Um cos t
载 波 电 压 信 号 为 ：uc (t) Ucm cosct 满足ωc>>Ω。
7
高频电子线路
AM频谱与带宽
U
因调幅波不是一个简单 0 F
f
(a)
的正弦波形。在单一频
Uc
率的正弦信号的调制情
况下，调幅波如式用三
角公式展开
f
0
fc
(b)
uAM
(t)
UC
cosct
m 2 UC
cos(1c
)t
m 2 UC
cos(c
)t
m/2
m/2
0
fc－F fc fc＋F
f
信号的带宽为调制信 号最高频率的两倍。
（t）|max=1。若将调制信号分解为
f (t) Un cos(nt n )
n1
则调幅波表示式为
uAM (t) UC[1 Un cos(nt n )]cosct
n1
6
2019/11/14
湖北大学物电学院 余琼蓉
高频电子线路
(2) AM调幅波的波形频谱与带宽
180¡ã
0¡ã
(c)
图6―6 DSB信号波形
16
2019/11/14
湖北大学物电学院 余琼蓉
高频电子线路
DSB信号的特点
(1) DSB信号的包络正比于调制信号 U cos t
随机信号号的分析—功率谱密度（可编辑）
随机信号号的分析?功率谱密度2.3 平稳随机过程2.3.4 平稳随机过程的功率谱密度功率谱密度的定义令: 是实平稳随机过程,为其实现,因为功率信号,所以也为功率信号,因为任意的确定功率信号,它的功率谱密度可表示成,2.3-1式中,是的截短函数之频谱函数。
图2-3-1 功率信号及其截短函数而对于功率型的平稳随机过程而言,它的每一实现也将是功率信号,而每一实现的功率谱也可以由式2-3-1表示。
但是,随机过程中的每一实现是不能预知的,因此,某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。
过程的功率谱密度应看作是每一可能实现的功率谱的统计平均。
设的功率谱密度为,的某一实现之截短函数为,且,其中:,于是有则称为的功率谱密度。
功率密度谱和互谱密度前面给出的一些数字特征如均值,方差和相关函数等,描述的是连续随机信号在时间域上的特征,那么,随机信号在频域的数字特征是什么?如何计算的?它与时域特征有什么关系?1、功率密度谱设Xt为平稳的连续随机信号,它的任一个样本函数xt是一个功率信号,其平均功率可以定义为: (9.2.20)? 依据帕斯瓦尔定理,设表示的傅立叶变换,则上式可表示为9.2.21? 式中称为样本功率密度或样本功率谱。
由于随机信号的每一个样本实现是不能预知的,所以必须用所有样本功率密度的统计平均值来描述平稳的连续随机信号Xt的频域特征,即随机信号在频域的数字特征可定义如下。
定义10? 平稳的连续随机信号Xt的功率密度谱定义为样本功率密度的统计平均,即(9.2.22)维纳?欣钦(Wiener-Khinchine)定理若Xt为平稳随机信号,当自相关函数为绝对可积时,自相关函数和功率谱密度为一傅里叶变换对,即( )。
(9.2.23)9.2.242、互谱密度同理,在频域描述两个随机信号Xt和 Yt相互关联程度的数字特征,可以定义为互谱功率密度简称互谱密度。
而且,互相关函数与互谱密度是一傅里叶变换对( ),其中(9.2.25) 9.2.262FSK信号的功率谱密度的特点2FSK信号的功率谱密度也由连续谱和离散谱组成。
随机信号功率谱估计
随机信号功率谱估计1.随机信号功率谱密度定义定义随机信号信号的功率谱()jw x e P 为： ()()m j xe m r P ωω-+∞-∞=∑=m j x e其中()m r x 为随机信号的自相关函数。
功率谱反映了信号的功率在频域随频率ω分布，因此()jw x e P 又称为功率谱密度。
2. 经典谱估计（非参数谱估计）方法简介经典谱估计的方法主要包括两种方法：BT 法和周期图法。
(1) BT 法（间接法）此方法的理论基础是维纳-辛钦定理。
1958年Blackman 和Tukey 给出了这一种方法的具体实现，即由()n N x 估计出自相关函数()m rˆ，然后对()m r ˆ求傅里叶变换得到()n N x 的功率谱，记之为()ωBTP ˆ，并以此作为对()ωP 的估计，即 ()()m j m e m r ˆˆωω--=∑=M MBT P ， 1-≤N M因为这种方法求出的功率谱是通过自相关函数间接得到的，所以称为间接法，又称BT 法或自相关法。
当M 较小时，上式计算量不是很大，因此，该方法是在FFT 问世之前（即周期图法被广泛应用之前）常用的谱估计方法。
(2) 周期图法（直接法）周期图法又称为直接法，它是把随机信号()n x 的N 点观察数据()n N x 视为一个能量有限信号，直接取()n N x 的傅里叶变换，得()jw e x N ，然后再取其幅值的平方，并除于N ，作为对()n x 真实功率谱()jwe p 的估计。
以()ωPERP ˆ表示用周期图法估计的功率谱，则 ()()21ˆωωN PER X NP =3. 信号参数设定模拟信号：()()()()t w t *110cos 5.1t *100cos 2t x ++=ππ其中()t w 为均值为0，方差为1的白噪声。
采样频率：z 1000f s Hnfft=1024时间长度分别取1s ，10s ，100s4. 仿真结果原始信号波形:BT 法：（1）t=1s （2）t=10s （3）t=100s周期法：（1）t=1s （2）t=10s （3）t=100s由图可以看出，在频率50hz和55hz附近处功率谱有两个峰值，说明信号中有50hz和55hz 的周期成分。
电子科技大学通信原理答案CH5(精品文档)
习题1. 已知某2ASK 系统的码元速率为1000波特，所用载波信号为()6cos 410A t π⨯。
（1） 假定比特序列为{0110010}，试画出相应的2ASK 信号波形示意图； （2） 求2ASK 信号第一零点带宽。
解：由1000b s R R bps ==，6210cf Hz =⨯， 621020001000b c c b T f T R ⨯=== （1）一个码元周期内有2000个正弦周期：111{}n a ()2ASK s t 0（2）022000b B R Hz ==2.(mooc)某2ASK 系统的速率为2b R =Mbps ，接收机输入信号的振幅40μV A =，AWGN 信道的单边功率谱密度为180510N -=⨯W/Hz ，试求传输信号的带宽与系统的接收误码率。
解：传输信号的带宽24T b B R MHz ==，平均码元能量：24bb A T E =。
()()222100102cos 21cos 422,0,2bb T T b bc c b b b b A T A E A f t dt f t dt E E E E ππ==+=+==⎰⎰()2622618000401040444210510b b b E A T A N N R N --⨯====⨯⨯⨯⨯ 系统的接收误码率：（1） 若是非相干解调，非相干解调误码率公式，222200222BPFn b A A A R N B N σ===γ//24092( 5.11221 5.11.0306102)b E N e P e e e ----=≈==⨯γ4表 （2） 若是相干解调：由相干解调误码率公式得（最佳），1001.26981040b e E P Q Q N -⎛⎫===⎪⨯ ⎪ ⎝⎭也是MF 接收机的结果。
3. 某2FSK 发送“1”码时，信号为()()111sin s t A t ωθ=+，0s t T ≤≤；发送“0”码时，信号为()()000sin s t A t ωθ=+，0s t T ≤≤。
概率论与随机过程第4章
1 E[ | X T (ω , ξ i ) |2 ] T →∞ 2T
1 T T E[ ∫−T xT (t1 , ξ i )e jω t1 dt1 ∫−T xT (t2 , ξ i )e − jω t2 dt2 ] T →∞ 2T 1 T T − jω ( t 2 − t1 ) = lim dt1dt 2 ∫−T ∫−T E[ X T (t1 ) X T (t2 )]e T →∞ 2T
{x ( t , ξ i ) }
每一样本函数都是一确定的时间函数, 可以求得每个样本函数对应的功率谱密度函数，即:
样本函数的功率 谱密度函数
| XT (ω , ξi ) |2 GX (ω ,ξi ) = lim T→∞ 2T
由于随机信号的随机性，各样本函数不同，故任一样本函数 对应的功率谱密度函数都不能用来代表随机过程的功率谱密 度函数。因此，只有将所有可能出现的每一个样本函数的功 率谱密度函数的统计平均值作为随机过程的功率谱密度函数 才是合理的。
11
若 R(τ ) 含直流分量或周期成分，则可引入 δ 函数加以解决。
⎧ ⎪1 ⇔ 2πδ (ω ) ⎪ ⎪ ⎨ cos(ω0τ ) = π [δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 )] ⎪ π ⎪sin(ω0τ ) = [δ (ω − ω0 ) − δ (ω + ω0 )] j ⎪ ⎩
1 G X ( ω ) = lim T → ∞ 2T
+∞
∫
T −t
−T − t
[∫
T −T
T
−T
R X ( t , t + τ )dt ] e − jωτ d τ
自相关函数 的时间平均
1 = ∫ [ lim − ∞ T → ∞ 2T
北邮随机信号答案ch5
怎样的条件才能使
Z (t ) =
∑A e ω
j k =1 k
n
kt
是一个复平稳随机过程。 5.7 设有复随机过程
Z (t ) = ∑ (α i cos ω i t + jβ sin ω i t )
i =1
n
其中 α i 与 β k 是相互独立的随机变量， α i 与 α k 、 β i 与 β k (i ≠ k ) 是相互正交的，数学期 望和方差分别为 E[α i ] = E[ β i ] =0, 解：
πτ
= R0 (τ ) cos ω0τ
ˆ (τ ) = R (τ ) sin ω τ 是一个低频信号，所以 R n 0 0 πτ ˆ (τ ) sin ω τ = R (τ ) 所以 Rn (τ ) = Rn (τ ) = Rn (τ ) cos ω0τ + R n 0 0
由于 R0 (τ ) =
c s
=
1 2π
∫
∞
−∞
[2 X (ω − ω ′)U (ω − ω ′)][2 X (ω ′)U (ω ′)]d ω ′
Ω Ω ⎧ ω0 − ≤ ω ′ ≤ ω0 + ⎪ Ω Ω ⎪ 2 2 时亦不 由于有 ω0 − ≤ ω ≤ ω0 + 时 X (ω ) 不为零，因此有 ⎨ 2 2 ⎪ω − Ω ≤ ω − ω ′ ≤ ω + Ω 0 0 ⎪ 2 2 ⎩
5.2 设 A(t ) 与 ϕ(t ) 为低频信号，证明 (1) H [ A(t ) cos[ω 0 t + ϕ (t )] = A(t ) sin[ω 0 t + ϕ (t )] (2) H [ A(t ) sin[ω 0 t + ϕ (t )] = − A(t ) cos[ω 0 t + ϕ (t )]
随机信号的功率谱密度
三、相干函数
白噪声的定义及特性：
一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上有非零常数，即： 的平稳过程N(t)，被称为白噪声过程或简称白噪声。 式中，N0是正实常数。
4.5 白噪声与白序列
白噪声的自相关函数：
白噪声的相关系数 为:
热噪声指的是电路中由于各电阻内电子热骚动（布朗运动）而产生的随机起伏电压和电流。
性质一：
性质二： 和 是的偶函数； 和 是的奇函数；
性质三：若平稳过程X(t)和Y(t)相互正交，则有：
二、互谱密度的性质
性质四：若X(t)和Y(t)是两个不相关的平稳过程，分别有均值mX和mY，则：
性质五：若X(t)和Y(t)联合平稳，RXY()绝对可积，则互谱密度GXY()、 GYX()分别和互相关函数RXY()、 RYX()构成傅立叶变换对。
02
S()与s(t)满足Parseval定理：
03
4.1 功率谱密度
一个随机过程的样本函数，尽管它的总能量是无限的，但其平均功率却是有限值，即：
图：f(t)及其截断函数
fT(t)的傅立叶变换存在：
W是样本函数的平均功率
将上式代入信号平均功率表达式中得:
所谓信号的功率谱密度函数是指这样的函数: 当在整个频率范围内对它进行积分以后，得到信号的总功率； 描述了信号功率在各个不同频率上分布的情况； 正具有了上述特性。它代表了随机过程的某一个样本函数f(t,)在单位频带内、消耗1电阻上的平均功率。称它为样本函数的功率谱密度函数。记为Gf(,)。
若复过程Zi(t)和Zk(t)联合平稳，则复过程Zi(t)和Zk(t)的互谱密度为：
4.8 功率谱密度的计算举例
教材P102—P106： 例4.8—例4.10
随机振动功率谱密度转换公式
随机振动功率谱密度转换公式在介绍转换公式之前，首先需要了解什么是功率谱密度。
功率谱密度是描述信号在频域中各频率上的能量分布情况的指标。
它表示信号的功率在各频率上的分布情况，通常以单位频宽内的功率为单位，用于分析信号的频率特性。
现在假设我们有一个信号的功率谱密度为S₁(f)，表示在参考系统中信号在频率f上的功率密度。
我们希望将这个功率谱密度转换到另一个系统，其功率谱密度为S₂(f)。
转换公式是通过系统的传递函数来实现的。
系统的传递函数H(f)是描述信号在该系统中的频率响应的函数，它表示信号通过系统时在不同频率上的增益和相位变化。
转换公式如下：S₂(f)=，H(f)，²*S₁(f)其中，S₂(f)是转换后的功率谱密度，H(f)，是传递函数在频率f上的幅度响应。
转换公式的物理意义是，将参考系统中的功率谱密度乘以传递函数的平方，即可得到在另一个系统中的功率谱密度。
这表示信号在不同频率上的能量分布在经过传递函数作用后发生了变化。
需要注意的是，转换公式中的传递函数H(f)是根据特定系统的频率响应来确定的。
具体的传递函数可以通过系统的相关参数和建模方法来获得。
通常情况下，传递函数可以通过频域分析或者系统辨识方法得到。
此外，转换公式只能将功率谱密度转换到另一个系统，并不能改变信号的实际频率分布。
如果需要改变信号的频率特性，还需通过滤波或其他方法来实现。
综上所述，随机振动功率谱密度的转换公式是通过系统的传递函数来实现的。
该公式将参考系统中的功率谱密度乘以传递函数的平方，得到在另一个系统中的功率谱密度。
通过转换公式，我们可以分析信号在不同系统中的频率特性和能量分布情况，为信号处理和噪声控制提供了重要的工具。
随机信号的功率谱密度
/2
0
2
cos(20 t )d
a2 a2 sin(20 t) 2
所以, X(t)不是平稳过程
当 X ( t ) 为平稳过程时，则 故有
1 P E[ X (t )] RX (0) 2
2
E[ X 2 (t )] RX (0) 常数，
G X ( )d
维纳－辛钦定理
物理谱密度 由于平稳随机过程的自相关函数RX(τ )是τ 的偶函数， 则Gx(ω ) 为： G X ( ) 2 R X ( ) cos d 0 所以功率谱是实、偶函数，且非负 Gx(ω ) 应分布在 -∞到∞的频率范围内，而实际 上负频率 ( 即ω <o) 并不存在。我们有时也采用另一种 功率谱密度，即“单边”谱密度，也称作“物理”功 率谱密度，记作Fx(ω )。 2G X ( ), 0 FX ( ) 0 0, 随机过程消耗在1Ω电阻上的平均功率可写成
均方值的时间平均:平均功率。
4.1 已知，过程X(t)的为 a, 0 是常数, 在 0 /2 上均匀分布 求X(t)的平均功率。
解：
2 2 2 E a cos (0 t ) 2 2 E a cos (0 t )
a2 a2 2 2
2 1 x t dt 2 Fx d 等式左边表示x t 在 , 上的总能量， 2
而右边的被积函数 Fx 在频率域中表示在
2
圆频率处的能谱密度。
但在工程技术中，通常总能量
x 2 t dt ,
功率谱密度可表示为
T 1 T jt1 S X ( ) lim E x(t1 )e dt1 x(t2 )e jt2 dt2 T T 2T T 1 T T jt1 jt2 lim E x ( t ) x ( t ) e e dt1dt2 1 2 T 2T T T
第4章随机信号的功率谱密度
T 2T T
lim 1
2
T
1 2T
E[ XT (, ) 2 ]d
1
2
GX
()d
(4.1.11)
随机过程的平均功率W可以由它的均方值的时间平均得 到，也可以由它的功率谱密度在整个频率域上积分得到。
若X(t)为平稳过程时，均方值为常数，可写成：
xT (t, )e jt dt
T T
xT (t, )e jt dt
X T (, ) 2 X T (, ) X T (, )
GX
()
lim
T
E
1 2T
T T
xT (t1, )e jt1dt1
T T
xT
(t2
,
)e
jt2
xT
(t
)
x(t), t
0,
t
T
T
对于有限持续时间的xT(t)，傅里叶变换是存在的，有：
XT ()
xT
(t)e
jt dt
T T
xT
(t)e
jt dt
xT
(t)
1
2
XT
()e
jt d
(4.1.6) (4.1.7)
称 XT ()为xT (t)的频谱函数，也简称为频谱。
由傅立叶反变换，x(t)可以表示为
则可以得到
x(t) 1
2
X
X
(
)e
jt
d
[x(t)]2dt
1
x(t)
第4章 随机信号的功率谱密度.ppt
➢ 二、互谱密度的性质 1. GXY (ω ) GYX ( ω ) GYX (ω )。
2. Re GXY ( ) 和 Re G YX( ) 是 的偶函数； Im GXY ( ) 和 Im G YX( ) 是 的奇函数。
因为任一复函数 f ( )满足：
| E[lim
T
XT (, i ) |2 ]
2T
| E[lim
T
xT (t , i ) |2 ]
2T
GX ( ) 称为随机过程的功率谱密度函数。由此可得随机过程的
平均功率：
P 1
2
GX ( )d
1
lim T 2T
T T
E[
xT ( t , i
1
[ lim
T 2T
T T
RX
(t,
t
)dt
]e j d
令：RX
(
)
lim
T
1 2T
T
T RX ( t , t )dt
RX ( ) 可看成非平稳过程自相关函数的时间平均。
➢ 若 X( t )为平稳过程，则 RX ( t , t ) RX ( ) ，故有
三、带限白噪声定义：
一个均值为零，功率谱密度为
GN (
)
N0 2
,
( 0 , 0 )
的平稳过程，称为带限白噪声。 其中ω0为有限值。
对应于带限白噪声的自相关函数为：
RN ( )
其中，Sa (
0
21)GsiNn(0)e 0
j d 。
由
XT (, i )
射频测试基础项目——功率谱密度测试
无线通信产品在其的工作频段中，每单位频点所携带的能量（功率）我们称为功率谱密度（power spectral density, PSD）。
一般来说这个能量是不固定的，会随着产品带宽的不同功率也就不同，在各国针对无线产品的标准中对功率谱密度都有一定的限制值。
因此功率谱密度测试在射频测试中是个基础测试项目。
功率谱密度测试一般仅限于非跳频模式下的产品，最典型的产品就是WIFI产品。
在美国FCC标准Part15C（e）与2012年新出的FCC标准558074中都有相应的要求。
其基本测试方法是一致的，不同之处主要在于参数的设置有所差异。
另外欧洲标准EN300 328中也有针对功率谱密度的测试要求。
两个标准不同不同之处是功率谱密度最大限制值在欧标中为不超过10dBm，而在美标Part15C（e）中功率谱密度最大限制不能超过8dBm。
下图1是标准Part15C（e）测试WIFI的一个结果，从图上我们可以清楚的看到被测产品功率谱密度的大小。
图1就是WIFI产品的PSD测试结果图1具体测试流程如下：1，首先我们要在屏蔽室中搭建测试系统，所用到的测试设备包括了频谱仪、衰减器（将功率衰减大的一端接到频谱仪器上，防止功率过大而烧坏频谱仪）如图2。
图22，通过软件将被测EUT进入测试模式，使得EUT能够控制自动长发模式，从而能控制WIFI的功率、信道，如果通信不畅建议检查测试软件设置参数是否正确。
3，进入频谱仪的frequency center选件中设置要测试的中心频率，然后进入BW选件中设置RBW与VBW，这里将RBW、VBW设置为100KHz （标准规定RBW≥VBW）。
4，设置Span的宽度为1.5MHz。
需要注意的是所设置的Span为占用带宽的5-30%，所以我门必须在测试完6dBm占用带宽（WIFI的占用高带宽为6dBm占用带宽）后然后设置PSD的Span。
5，进入频谱仪offset选项设置补偿值（Cable线的路径损耗），最后进入max hold选项peak一个最大点，这一点就是要取的功率谱密度值。
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(5.2.45)
(5.2.46)
则：
RY ( ) RY1 ( ) RY2 ( )
GY ( ) GY1 ( ) GY2 ( )
(5.2.47) (5.2.48)
5.3 白噪声通过线性系统
5.3.1 噪声带宽：
白噪声是具有均匀功率谱的平稳随机过程，当它 通过线性系统后，其输出端的噪声功率就不再是均 匀的了。白噪声的功率谱密度GX()为N0/2，系统传 递函数为H()，则： 2 N0 GY ( ) H ( ) (5.3.1) 2
线性系统输出的平均功率为：
1 RY (0) 2 N0 2 H ( ) d 2
(5.3.3)
若系统的冲激响应是实函数（任何物理系统的冲 激响应总是实的），则|H()|2是的偶函数，则：
N0 RY (0) 2
0
H ( ) d
2
(5.3.4)
5.4 线性系统输出端随机过程的概 率分布
RXY ( ) RX1Y1 ( ) RX1Y2 ( ) RX 2Y1 ( ) RX 2Y2 ( )
(5.2.41)
系统输出的功率谱密度：
GY ( ) H ( ) [GX1 ( ) GX 2 ( ) GX1 X 2 ( ) GX 2 X1 ( )]
结 论：
若随机输入过程X(t)是宽平稳的，则系统输出过程 Y(t)也是宽平稳的随机过程；
RY()是输入自相关函数与系统的冲激响应的双重
卷积：
RY ( ) RX ( ) * h( ) * h( )
(5.2.4)
3、系统输入与输出之间的互相关函数
RXY (t , t ) E[ X (t )Y (t )] E[ X (t ) h( ) X (t )d ]
h( )d
(5.2.2)
若X(t)为平稳过程，系统输出的自相关函数为：
RY (t , t ) E[Y (t )Y (t )] E[ h( 1 ) X (t 1 )d 1 h( 2 ) X (t 2 )d 2 ]
（2）有限工作时间的系统：
t1
Y (t1 )
0
X (t1
t1
)h( )d
(5.2.16) (5.2.17)
)h( 1 )h( 2 )d 1d
E [Y (t1 )]
0 t1
E [X (t1
t2
)]h( )d
RY (t1, t2 )
0 t2 0
RX ( RX (5.2.19)
4、物理可实现系统的响应
（1）无限工作时间的系统 设X(t)为平稳过程，则：
Y (t ) h( ) X (t )d
0
(5.2.10)
mY m X h( )d
0
(5.2.11) (5.2.12)
RY ( ) R X ( 1 2 )h( 1 )h( 2 )d 1d 2
y(t ) h( ) x(t )d
(5.1.3)
(5.1.4)
线性时不变系统的传输函数： Y ( ) H ( ) X ( )
(5.1.5)
H ( ) h(t )e
jt
dt
(5.1.6)
5.1.3 系统的稳定性与物理可实现的问题：
1、物理可实现系统：
输入随机信号为白噪声
N0 GX ( ) 2
(5.2.24) (5.2.25)
有 (5.2.26)
N0 G XY ( ) H ( ) 2 N0 GYX ( ) H ( ) 2
(5.2.27)
3、未知系统辩识精度的分析
(5.2.28) Y (t ) h(t ) * X (t ) N (t ) 2 (5.2.29) GY ( ) | H ( ) | GX ( ) GN ( ) GXY ( ) H ( )GX ( ) GXN ( ) H ( )GX ( )
FY ( ) N 0 H ( )
2
(5.3.2)
其中：FY ( ) 是单边功率谱密度。
上式表明：线性系统在白噪声作用下，输出 功率谱密度完全由系统频率特性所决定的，不 再保持常数N0。 此结果的物理意义：虽然白噪声的谱是均匀 的，但具体的各种电子系统却具有不同的频率 特性，因而输出过程的频率成分（功率谱）将 受到系统频率特性（功率传递函数）的加权形 成的。
5.2.1 线性系统输出的统计特性：
1、系统的输出：
Y (t ) h( ) X (t )d
(5.2.1)
2、系统输出的均值与自相关函数：
E[Y (t )] E[ h( ) X (t )d ]
h( ) E[ X (t )]d m X
证明见教材p93。
2
(5.2.20)
1 RY ( ) 2 1 2
j G ( ) e d Y 2
j G ( ) H ( ) e d X
(5.2.21)
系统输出的均方值或平均功率为：
1 2 E[Y (t )] RY (0) 2
RX ( 1 2 )h( 1 )h( 2 )d 1d 2
(5.2.39)
RY ( ) {RX1 ( ) RX 2 ( ) RX1 X 2 ( ) RX 2 X1 ( )}* h( ) * h( )
(5.2.40)
系统输入与输出之间的互相关函数为：
E[ X (t ) X (t
1
2
)] h( 1 )h( 2 )d 1d 2
R
X
( 1 2 )] h( 1 )h( 2 )d 1d 2 RY ( )
(5.2.3)
GX ( ) H ( )
2
d
(5.2.23)
习题5.9
假设有表5.1中系统一栏的第一行所示的低通滤波 N0 器，输入为白噪声，其功率谱密度为 GX ( )
2
求：
(1)滤波器输出的功率谱密度； (2)滤波器输出的自相关函数。
2、系统输入与输出之间的互谱密度
利用傅立叶变换得到：
G XY ( ) G X ( ) H ( ) GYX ( ) G X ( ) H ( )
X(t)的自相关函数：
RX ( ) E{[ X 1 (t ) X 2 (t )][ X 1 (t ) X 2 (t )]} RX1 ( ) RX 2 ( ) RX 2 X1 ( ) RX1 X 2 ( ) (5.2.38)
RY ( )
h(t ) 0, 当t 0时
2、稳定系统：
(5.1.9)
h( ) d
(5.1.10)
5.1 低通滤波器的冲激响应
h(t) K U(t)e
t
式中， K,
U(t) 是单位阶跃函数。 皆是正实常数， y(t) 。 ) 时滤波器的输出 0
求滤波器输入为 (t
5.2 随机信号通过线性系统
2
(5.2.32)
2 XY
1 ( ) 1 1 / ( )
(5.2.33)
5.2.3 多个随机过程之和通过线性系统 设系统的输入X(t)是两个联合平稳且单独平稳的
随机过程X1(t)与 X2(t)之和。即：
X (t ) X1 (t ) X 2 (t )
则：
(5.2.34)
由于系统是线性的，每个输入都产生相应的输出，
(5.2.7) 推广：自相关函数与互相关函数的关系：
RY ( )
RXY ( 1 )h( 1 )d 1
(5.2.8)
R XY ( ) * h( )
RY ( )
RYX ( 2 )h( 2 )d 2
(5.2.9)
RYX ( ) * h( )
等于各自响应之线性组合。则称这个系统为线性 系统。
n n n
y(t ) L[ ak xk (t )] ak L[ xk (t )] ak yk (t )
k 1 k 1 k 1
(5.1.2)
式中，ak为任意常数，n可以是无穷大。
5.1.2 线性时不变系统
y(t ) L[ x(t )]
(5.2.30)
相干函数：
2 XY
( )
G XY ( )
2
G X ( )GY ( )
H ( ) G 2 X ( ) G X ( )GY ( )
2
1 1 GN ( ) / H ( ) G X ( )
2
(5.2.31)
谱信噪比：
( )
则：
H ( ) G X ( ) GN ( )
Y (t ) Y1 (t ) Y2 (t )
(5.2.35)
系统输出Y(t)的均值：
E[Y (t )] mY (m X1 m X 2 ) h( )d mY1 mY2
(5.2.36)
Y(t)的自相关函数：
RY ( ) E{[Y1 (t ) Y2 (t )][Y1 (t ) Y2 (t )]} RY1 ( ) RY2 ( ) RY2Y1 ( ) RY1Y2 ( ) (5.2.37)
E[ X (t ) X (t )]h( )d