2016版高考数学考前三个月复习冲刺专题2第3练“三个二次”的转化与应用理

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四川新高考考前三个月数学理二轮复习冲刺综合练(三)(含答案详析)

12＋ 4 综合练 (三 )一、选择题1．已知 A ＝ { x|x2－4x － 5＝ 0} ， B ＝ { x|x 2＝ 1} ，则 A ∩B 等于()A ． {1}B ．{1 ，－ 1,5}C ．{ －1}D ． {1 ，－ 1，－ 5}答案 C分析因为 A ＝ { x|x 2－ 4x －5＝ 0} ＝ { － 1,5} ； B ＝ {1 ，－ 1} ， A ∩B ＝ { － 1} ，应选 C.2．已知复数 z 1＝ 1＋ i ， z 2＝ 1在复平面内对应的点分别为 P 1， P 2， O 为坐标原点，则向1＋ i→ → 量 OP 1， OP 2所成的角为()ππ ππA. 6B.4C.3D.2答案 D分析因为 z 2＝ 1 ＝1－i→→11 → →→ →，OP 1＝ (1,1)，OP 2＝，－2，因此 OP 1·OP2＝ 0，故 OP 1，OP 21＋i 22π的夹角为 2.3．已知 f(x)＝3sin πx ， x ≤ 0， 2()则 f( )的值为f x － 1 ＋ 1， x>0，311A. 2B ．－ 2C ．1D ．－ 1答案B21π31分析f 3 ＝ f － 3 ＋ 1＝ 3sin(－ 3)＋ 1＝－ 2＋ 1＝－ 2.1 →→→ → →)4．在△ ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 AD ＝ 2DB ，CD ＝ CA ＋ λCB ，则 λ等于 (3 2 1 12A. 3B.3C ．－ 3D ．－ 3答案A分析如图，过点 D 分别做 AC ，BC 的平行线，分别交 BC ，AC 于点→ →F ，E ，∴CD ＝ CE→ ＋ CF ，→→→1→→2→→1→2→2∵ AD＝ 2DB ， ∴ CE ＝ 3CA ， CF ＝ 3CB ，CD ＝ 3CA ＋ 3CB ， ∴ λ＝ 3.1，并且三勤学生中女生占一5．高二某班共有 60 名学生，此中女生有 20 名，三勤学生占 6半．此刻从该班同学中任选一名参加某一会谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三勤学生的概率为()11 1 1 A. 6 B.12C.8D.10答案 C分析设事件 A 表示 “ 任选一名同学是男生 ” ；事件 B 为 “ 任取一名同学为三勤学生 ” ，则所求概率为 P(B|A)．40 251依题意得 P(A) ＝ 60＝3， P( AB)＝60＝12.1P AB 12 1故 P(B|A)＝ P A ＝ 2＝8.36．设 0<a<1 时，函数f( x) ＝log a (a 2x － 2a x － 2)，则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是()A ． (－∞， 0)B ．(0，＋∞ )C ． ( －∞， log a 3)D ． (log a 3，＋∞ )答案C分析∵ 0<a<1， ∴ a 2x －2a x － 2>1.∴ (a x －1)2 －3>1， ∴ |a x － 1|>2，∴ a x >3.∴ x<log a 3，∴ x ∈ (－ ∞ ， log a 3)．xπ π7．函数 y ＝ sin 2x ， x ∈－， 0∪ 0，2 的图象可能是以下图象中的()2答案Dx π π分析由函数 y ＝ sin 2x ，x ∈ －2， 0 ∪ 0，2 是偶函数，清除A ；又由函数 y ＝ sin 2x ，ππ x 1 πy ＝ 2x ，x ∈ 0，2 的图象可知恒有 2x>sin 2 x ，x ∈ 0， 2 ，因此 y ＝ sin 2x >2，x ∈ 0，2 ，清除 B 和 C ，应选 D.8．已知数列 { a n } 为等比数列， S n 是它的前 n 项和，若 a 2·a 3＝ 2a 1，且 a 4 与 2a 7 的等差中项为 5，则 S 5 等于4()A ． 35B ．33C ．31D ． 29答案 C分析设公比为 q(q ≠ 0)，则由 a 2·a 3＝ 2a 1 知 a 1q 3＝ 2，∴ a 4＝ 2.又 a 4＋ 2a 7 ＝5， ∴ a 7＝1.∴ a 1＝ 16， q ＝1.242a 1 1－ q 51 5∴ S 5＝ 161－2 ＝31.＝11－ q1－ 29．履行如下图的程序框图，输出的 S 是 ()A ． 10B ．15C ．20D ． 35答案 D分析利用程序框图确立运行次数．该程序框图运行5 次，各次的 S 分别是 1,4,10,20,35，因此输出的 S ＝35.10．设函数 f(x) ＝ 3sin θ3 ＋ cos θ20，5πx2 x ＋ 4x － 1，此中 θ∈ ，则导数 f ′ (－ 1)的取值范围36是()A ． [3,6]B ．[3,4 ＋ 3]C ．[4－ 3，6]D ．[4－ 3， 4＋ 3]答案 A分析f ′( x)＝3sin θ·x 2＋ cos θ·x ＋ 4，f ′ (1)＝ 3sin θ·(－ 1)2＋ cos θ·(－ 1)＋ 4π＝ 2sin θ－6 ＋ 4，∵ 0≤θ≤ 5π π π 2π，∴ － ≤ θ－ ≤ ，6 6 6 3∴ －1≤ sin θ－ π≤ 1， ∴ 3≤ f ′ (1) ≤ 6.2611．三个共面向量 a ，b ，c 两两所成的角相等，且 |a |＝ 1，|b |＝ 2，|c |＝ 3，则 |a ＋ b ＋ c |等于 ()A. 3B ． 6C ． 3或6D ．3或 6答案C分析此题考察向量求模长的问题．∵ 向量 a ， b ，c 两两所成的角相等，∴ 〈 a ， b 〉＝〈 b ， c 〉＝〈 c ， a 〉＝ 0°或 120°，又 |a ＋ b ＋ c |2＝ a 2＋ b 2＋ c 2＋ 2a ·b ＋ 2b ·c ＋ 2c ·a ＝ 12＋ 22＋ 32＋ 2× 1×2cos 0°＋ 2×2× 3cos0°＋ 2× 1× 3cos 0 ＝°36或＝ 12＋ 22＋ 32＋ 2× 1×2cos 120 ＋°2×2× 3cos 120 ＋°2× 1× 3cos 120 ＝°3，∴ |a ＋ b ＋ c |＝ 3或 6，选 C.12．某公司投入 100 万元购入一套设施，该设施每年的运行花费是0.5 万元，别的每年都要花销必定的保护费，第一年的保护费为 2 万元，因为设施老化，此后每年的保护费都比上一年增添 2 万元．为使该设施年均匀花费最低，该公司______年后需要更新设备． ( )A ． 10B ．11C ．13D ． 21答案 A分析由题意可知 x 年的保护花费为2＋ 4＋＋ 2x ＝ x(x ＋ 1)，因此 x 年均匀污水办理100＋ 0.5x ＋ x x ＋ 1100100100花费 y ＝x＝ x ＋ x ＋ 1.5，由基本不等式得 y ＝ x ＋ x ＋ 1.5≥ 2 x ·x＋ 1.5＝ 21.5，当且仅当 x ＝ 100，即 x ＝ 10 时取等号，因此选A.x二、填空题113．若命题 p ： ? x ∈R ，x － 2<0，则綈 p ： ________.答案存在 x 0∈ R ，使 1 x 0∈R ，使 x 0 ≥2)>0 或 x 0－ 2＝0( 也能够写为：存在x 0 － 2分析含一个量词的命题的否认，第一否认其结论，而后再改变量词．2 2x 2 y 2(a>0， b>0) 的左焦点，点 E 是该双曲线的右极点，过点F 14．已知点 F 是双曲线 a － b ＝ 1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A ，B 两点，若△ ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 ________．答案 (1,2)分析由 AB ⊥ x 轴，可知 △ ABE 为等腰三角形，又 △ ABE 是锐角三角形，因此 ∠ AEB1 b 2为锐角，即 ∠ AEF ＝2∠ AEB<45°，则 |AF |<|EF|.由题意，可求得|AF |＝ a ， |EF |＝ a ＋ c ， 2b2 2 2 2因此 a <a ＋ c ，即 c － a <a ＋ ac ，即 e － e － 2<0，解得－ 1<e<2.又双曲线的离心率 e>1，进而 1<e<2.15．已知 x>0，有以下不等式建立：1≥ 21 4 3x x 4x ＋ x ·＝ 2，x ＋2≥ 3··2＝ 3，，axxx2 2 xx ＋ x n ≥ n ＋1，则 a ＝______. 答案 n n分析aa由题意可得 x ＋ n ＝＋ n ≥ (n ＋ 1)xxn＝ n ＋ 1，因此 a ＝ n .16．给出以下命题：①若平面 α内的直线 a 与平面 β内的直线 b 为异面直线，直线 c 是 αc 至多与a， b 中的一条订交；②若直线 a 与b 异面，直线 b 与c 异与β的交线，那么a， b 都平行．此中正确的面，则直线 a 与c 异面；③必定存在平面α同时和异面直线命题为 ________．答案③分析① 错，c 可与a， b 都订交；②错，因为a，c 也可能订交或平行；③ 正确，比如过异面直线a，b 的公垂线的中点且与公垂线垂直的平面即可知足条件.。

【步步高】(全国通用)2016版高考数学-考前三个月复习总结冲刺-小题精练6-理

【步步高】（全国通用）2016版高考数学复习考前三个月小题精练6 理一、选择题1．已知集合A ＝{0,1，m }，B ＝{x |x (3－x )≥0}，若A ∩B ＝A ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,3) C ．(0,1)∪(1,3)D ．(0,1)∪(1,3]2．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0” D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题 3．(2015·广州模拟)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x在同一直角坐标系的图象大致是( )4．函数f (x )＝A sin(ωx ＋ωπ)(A >0，ω>0)在区间[－3π2，－3π4]上单调递增，则ω的最大值是( ) A.12 B.34C ．1D ．2 5．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得线性回归方程y ^＝0.67x ＋54.9.零件数x (个) 10 2030 40 50 加工时间y (min)62758189现发现表中有一个数据模糊不清，则推断出该数据的值为( )A ．68B ．75C ．79D ．无法确定6.如图所示，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线C 交于A ，B 两点．若△ABF 1为等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A.13 B.7 C. 5 D. 27．若△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →等于( ) A.32B. 3 C ．3 D ．2 3 8．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，点P n (n ，a n )对任意的n ∈N *，都有P n P n ＋1＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( ) A ．n (n －43)B ．n (n －34)C ．n (n －23)D ．n (n －12)9．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，在下列条件中，能成为l ⊥m 的充分条件的是( )A ．α∩β＝l ，m 与α、β所成角相等B ．l ，m 在α内的射影分别为l ′，m ′，且l ′⊥m ′C ．α∩β＝l ，m ⊂β，m ⊥αD ．α⊥β，l ⊥α，m ∥β10．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )A.35B.310C.12D.62511．已知O 是坐标原点，实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1≤0，x ＋y －3≤0，x ≥1，且点A ，B 的坐标分别为(1，y )，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1x ，则z ＝OA →·OB →的取值范围为( )A ．[1,2]B ．(1,2)C ．[3,4]D ．(3,4)12．已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋4，若存在实数t ，当x ∈[1，t ]时，f (x ＋a )≤4x 恒成立，则实数t 的最大值是( )A ．4B ．7C ．8D ．9 二、填空题13．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．14．(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________．15．设A ，B 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)同一条渐近线上的两个不同的点，已知向量m ＝(1,0)，|AB →|＝6，AB →·m |m |＝3，则双曲线的离心率为_________________________．16．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x2－y，若关于x 的不等式x ⊗(x ＋1－a )>0的解集是{x |－2≤x ≤2，x ∈R }的子集，则实数a 的取值范围是________.答案精析小题精练6 1．D 2.D 3.C4．C [函数f (x )＝A sin(ωx ＋ωπ)的图象向右平移π个单位得函数f (x )＝A sin ωx 的图象，问题等价于函数f (x )＝A sin ωx 在区间[－π2，π4]上单调递增，故只要2πω≥2π，即ω≤1.] 5．A6．B [由题意，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧|BF 2|－|BF 1|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|AF 1|＝|BF 1|＝|AB |，解得|AB |＝4a ，|AF 2|＝2a ，所以|BF 2|＝6a ，在△BF 1F 2中，由余弦定理可得a2＋a 2－c22×4a ×6a＝cos 60°，化简得136－c26a2＝1，所以e ＝7，故选B.]7．C [由2OA →＋AB →＋AC →＝0，得(OA →＋AB →)＋(OA →＋AC →)＝0，即OB →＋OC →＝0，所以点O 为BC 的中点，且O 为△ABC 外接圆的圆心，因此BC 为△ABC 外接圆的直径，∠BAC ＝90°，即AC ⊥AB ，如图所示．又OA ＝AB ，则△OAB 为等边三角形，∠ABC ＝60°，得AC ＝3，故CA →·CB →＝|CA →|2＝(3)2＝3.故选C.]8．A [∵P n P n ＋1＝OP n ＋1－OP n →＝(n ＋1，a n ＋1)－(n ，a n )＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)， ∴a n ＋1－a n ＝2.∴{a n }是公差为2的等差数列．由a 1＋2a 2＝3，得a 1＝－13，∴S n ＝－n 3＋12n (n －1)×2＝n (n －43)．]9．C [由α∩β＝l ，知l ⊂α，若m ⊂β，m ⊥α，必有l ⊥m ，显然选C.]10．B [设3个白球分别为a 1，a 2，a 3,2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310.]11．C12．D [根据不等式与方程之间的对应关系，可知1，t 是方程f (x ＋a )＝4x 的两个根．整理方程得(x ＋a )2＋4(x ＋a )＋4＝4x ，即x 2＋2ax ＋a 2＋4a ＋4＝0. 根据根与系数之间的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋t ＝－2a ，①1×t ＝a 2＋4a ＋4，②由②得t ＝a 2＋4a ＋4，代入①中得1＋a 2＋4a ＋4＝－2a ，即a 2＋6a ＋5＝0，解得a ＝－1或a ＝－5.当a ＝－1时，t ＝－2a －1＝1，而由x ∈[1，t ]可知t >1，所以不满足题意；当a ＝－5时，t ＝－2a －1＝9. 所以实数t 的最大值为9.故选D.] 13．9解析易知f ′(x )＝12x 2－2ax －2b .因为函数f (x )在x ＝1处有极值，所以f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．14．－5解析 ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6x 6－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k C k 6x6－2k，由6－2k ＝0，得k ＝3,由6－2k ＝－1得k ＝72，故不存在含x －1的项，由6－2k ＝－2得k ＝4，∴T 4＝(－1)3C 36x 0＝－20，T 5＝(－1)4C 46x －2＝15x －2，∴(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为1×(－20)＋x 2×(15x －2)＝－20＋15＝－5. 15．2或233解析设AB →与m 的夹角为θ，则AB →·m |m |＝6cos θ＝3，所以cos θ＝12.所以双曲线的渐近线与x 轴成60°角，可得ba＝ 3. 当λ>0时，e ＝c a ＝ 1＋b a 2＝2；当λ<0时，e ＝c b＝ 1＋a b2＝233.16．[－3,1]解析 x ⊗(x ＋1－a )>0⇒x2－x ＋1－a>0⇒xa ＋1－x>0⇒x x －a ＋<0，设A 为关于x 的不等式x ⊗(x ＋1－a )>0的解集，当A 为∅时，则a ＋1＝0即a ＝－1；当a ＋1>0即a >－1时，A ＝(0，a ＋1)⊆[－2,2]，则a ＋1≤2即a ≤1，所以－1<a ≤1；当a ＋1<0即a <－1时，A ＝(a ＋1,0)⊆[－2,2]，则a ＋1≥－2即a ≥－3，所以－3≤a <－1；综上可知－3≤a ≤1.。

高考数学考前三个月复习冲刺小题精练2理

【步步高】（全国通用）2016版高考数学复习考前三个月小题精练2 理一、选择题1．设i 为虚数单位，复数z ＝(1＋i)2＋2，则z 的共轭复数为( ) A ．－2i B ．2i C ．2－2i D ．2＋2i2．集合M ＝{x |x ＝1＋a 2，a ∈N *}，P ＝{x |x ＝a 2－4a ＋5，a ∈N *}，则下列关系中正确的是( ) A ．M ⊆P B ．P ⊆M C ．M ＝PD ．M P 且P M3．在△ABC 中，已知A (－1,0)，C (1,0)，且|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，则顶点B 的轨迹方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 23＋y 24＝1 (x ≠±3) C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 23＝1 (x ≠±2) 4．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x ＋y ≥2，x ≥0，y ≥0.若z ＝x －y ，则z 的最大值为( )A ．3B ．4C ．5D ．65．若P 为曲线y ＝ln x 上一动点，Q 为直线y ＝x ＋1上一动点，则|PQ |min 等于( ) A ．0 B.22C. 2 D ．2 6．若点P 是函数y ＝e x －e －x－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( ) A.5π6 B.3π4 C.π4 D.π67．如图所示，正六边形ABCDEF 的两个顶点A ，D 为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是( ) A.3＋1 B.3－1 C. 3D. 28.如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A ．84,4.84B ．84,1.6C ．85,4D ．85,1.69．(2015·洛阳模拟)已知x ，y 都是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内任取的一个实数，则使得y ≤sin x 的概率是( )A.12B.2πC.4π2D.2π2 10．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 211．如果满足∠ABC ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的三角形恰有一个，那么k 的取值范围是( ) A ．0<k ≤12B ．0<k <12C ．0<k ≤12或k ＝8 3D ．0<k <12或k ＝8 312.(2014·绍兴模拟)如图，正方体AC1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为H ，则以下命题中，错误的命题是( ) A ．点H 是△A 1BD 的垂心 B ．AH 垂直于平面CB 1D 1 C ．AH 的延长线经过点C 1 D ．直线AH 和BB 1所成角为45° 二、填空题13．数列{(－1)n(2n －1)}的前2 016项和S 2 016＝___________________________________. 14．下图是一个程序框图，若输入x 的值为－4，则输出y 的值为________．15．设α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若n⊂α，n∥β，α∩β＝m，则n∥m；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β.其中正确的命题序号为________．16．若过抛物线y2＝4x的焦点作直线与其交于M，N两点，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为___________.答案精析小题精练21．C 2.A 3.D 4.A 5.C 6.B 7.A 8.D 9．C [如图，正方形OABC 的面积S ＝π24，阴影部分的面积S 1＝20π⎰sin x d x ＝(－cos x )|20π＝1，∴所求概率P ＝S 1S ＝4π2.]10．B [圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1,3)，半径 r ＝10，由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.] 11．C 12.D 13．2 016解析 S 2 016＝－1＋3－5＋7＋…－(2×2 015－1)＋(2×2 016－1)＝2＋2＋…＋21 008个2相加＝2016. 14．2解析当x ＝－4时，|－4|>3，则x ＝7；当x ＝7时，|7|>3，x ＝4；当x ＝4时，|4|>3，x ＝1；当x ＝1时，|1|>3不成立，则输出y ＝21＝2. 15．①③解析由线面平行的性质定理知①正确；由面面平行的判定定理知直线m ，n 相交时才成立，所以②错误；由面面垂直的性质定理知③正确；④中，可以是n ⊂β，所以④错误，即正确命题是①③. 16．y 2＝4(x －2)解析当直线斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)，得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k ＋4k2.y ＝y 1＋y 2＝4k，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．当直线斜率不存在时，也满足上式，即点P 的轨迹方程为y 2＝4(x －2)．。

【步步高】(全国通用)2016版高考数学考前三个月复习冲刺专题10 第47练转化与化归思想课件理

规律.
(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.
常
题型一正难则反的转化
题型二函数、方程、不等式之间的转化题型三主与次的转化
题型四以换元为手段的转化与化归
题型一正难则反的转化
例1 已知集合 A ＝ {x∈R|x2 － 4mx ＋ 2m ＋ 6 ＝ 0} ， B ＝
∴f(x)在(－∞，－ 2)和( 2，＋∞)上单调递减，在(－ 2， 2) 上单调递增.
∴f(－ 2)是极小值，f( 2)是极大值，②正确；易知③也正确.
答案 A
高考题型精练
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
3.(2014· 湖南)若0<x1<x2<1，则(
)
A.e x2 e x1 ln x2 ln x1 B.e x1 e x2 ln C. x2e x1e
2 a 2 2 当5<a<1 时，必有 2×6(2－a) >3a，
2 2 结合 <a<1 可解得 <a<2－ 2. 5 5
2 综上，知所求实数 a 的取值范围是 1－ 2 <a<2－ 2.
点评
解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数
的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、
不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不

2 1 a 2 因为当 0<a≤5时，3－6≥3a；
2 2 1 a 当 <a<1 时， a> －， 5 3 3 6
由对任意x1，x2，x3∈[1,2]，都有f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，

高考数学考前三个月复习冲刺专题2第3练“三个二次”的转化与应用理

第3练“三个二次”的转化与应用[题型分析·高考展望] “二次函数、二次方程、二次不等式”是高中数学知识的基础，在高考中虽然一般不直接考查，但它是解决很多数学问题的工具.如函数图象问题、函数与导数结合的问题、直线与圆锥曲线的综合问题等.“三个二次”经常相互转化，相辅相成，是一个有机的整体.如果能很好地掌握三者之间的转化及应用方法，会有利于解决上述有关问题，提升运算能力.常考题型精析题型一函数与方程的转化例1 是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.点评二次函数零点问题或二次函数图象与直线交点个数问题，一般都需转化为二次方程根的存在性及根的分布来解决，解决的方法是列出判别式和有关函数值的不等式(组)，或用数形结合方法解决.变式训练1 设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为________. 题型二函数与不等式的转化例2 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称.若对任意的x ，y ∈R ，不等式f (x 2－6x ＋21)＋f (y 2－8y )<0恒成立，则当x >3时，x 2＋y 2的取值范围是____________.点评不等式是解决函数定义域、值域、参数范围等问题的有效工具，将函数问题转化为不等式解决是解答此类问题的常规思路.而二次不等式的解的确定又要借助二次函数图象，所以二者关系密切.函数单调性的确定是抽象函数转化为不等式的关键.变式训练2 已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x)>0的解集为( )A.{x |x <－1或x >lg 2}B.{x |－1<x <lg 2}C.{x |x >－lg 2}D.{x |x <－lg 2}题型三方程与不等式的转化例3 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的取值范围.点评 “三个二次”是一个整体，不可分割.有关“三个二次”问题的解决办法通常是利用转化与化归思想来将其转化，其中用到的方法主要有数形结合、分类讨论的思想，其最基本的理念可以说是严格按照一元二次不等式的解决步骤来处理.变式训练 3 (2015·四川)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( ) A.16 B.18 C.25D.812高考题型精练1.若A ＝{x |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0，x ∈R }，B ＝{x |x >0}，且A ∩B ＝∅，则实数p 的取值范围是( ) A.p >－4 B.－4<p <0 C.p ≥0D.R2.(2015·威海模拟)已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A.{x |x >2或x <－2} B.{x |－2<x <2} C.{x |x <0或x >4}D.{x |0<x <4}3.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为( ) A.[1，＋∞) B.[0,2] C.(－∞，－2]D.[1,2]4.若方程x 2－32x －m ＝0在x ∈[－1,1]上有实根，则m 的取值范围是( )A.m ≤－916B.－916<m <52C.m ≥52D.－916≤m ≤525.若f (x )＝x 2－ax ＋1有负值，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≤－2 B.－2<a <2 C.a >2或a <－2D.1<a <36.(2015·长沙模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x 2－2x ＋1，x >0，若关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(0,3)7.已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(0<a<3)，若x1<x2，x1＋x2＝1－a，则( )A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)＝f(x2)C.f(x1)>f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定8.若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A.(a，b)和(b，c)内B.(－∞，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，＋∞)内D.(－∞，a)和(c，＋∞)内9.(2015·湖北)a为实数，函数f(x)＝|x2－ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a＝________时，g(a)的值最小.10.若关于x的不等式(2x－1)2<ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是__________.11.已知函数f(x)＝2ax2＋2x－3.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，则实数a的取值范围为________________________________________________________________________.12.已知函数f(x)＝ax2＋ax和g(x)＝x－a，其中a∈R，且a≠0.若函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试求△OAB的面积S的最大值.答案精析专题2 不等式与线性规划第3练 “三个二次”的转化与应用常考题型精析例1 解令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9(a －89)2＋89>0，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可.f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0，a ＝1时，f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1. (2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a <－15或a >1.变式训练1 7解析由y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，如图画出f (x )的图象，由f (x )＝12知有4个根，由f (x )＝1知有3个根，故函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1共有7个零点. 例2 (13,49)解析由函数f (x －1)的图象关于点(1,0)对称可知，函数f (x )为奇函数.所以不等式f (x 2－6x ＋21)＋f (y 2－8y )<0可化为f (x 2－6x ＋21)<－f (y 2－8y )＝f (－y 2＋8y ). 又因为函数f (x )在R 上为增函数，故必有x 2－6x ＋21<－y 2＋8y ，即x 2－6x ＋21＋y 2－8y <0，配方，得(x －3)2＋(y －4)2<4.因为x >3，故不等式组表示为⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2<4，x >3，它表示的区域为如图所示的半圆的内部.而x 2＋y 2表示该区域内的点到坐标原点距离的平方.由图可知，x 2＋y 2的最小值在点A 处取得，但因为该点在边界的分界线上，不属于可行域，故x 2＋y 2>32＋22＝13，而最大值为圆心(3,4)到原点的距离与半径之和的平方，但因为该点在圆的边界上，不属于可行域，故x 2＋y 2<(5＋2)2＝49，故13<x 2＋y 2<49. 变式训练2 D [由题意可知f (x )>0的解集为{x |－1<x <12}，故f (10x )>0等价于－1<10x <12，由指数函数的值域为(0，＋∞)，知一定有10x>－1，而10x <12可化为10x<10lg 12，即10x<10－lg 2.由指数函数的单调性可知x <－lg 2，故选D.]例3 解 (1)由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2m ＋1<0f －＝2>0f ＝4m ＋2<0f＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12，故m 的取值范围是(－56，－12).(2)抛物线与x 轴交点的横坐标均在区间(0,1)内，如图所示，列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ffΔ≥00<－m <1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0.即－12<m ≤1－ 2.故m 的取值范围是(－12，1－2].变式训练3 B [令f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8＝0，∴x ＝－n －8m －2，当m ＞2时，对称轴x 0＝－n －8m －2，由题意，得－n －8m －2≥2， ∴2m ＋n ≤12，∵2mn ≤2m ＋n2≤6，∴mn ≤18，由2m ＋n ＝12且2m ＝n 知m ＝3，n ＝6.当m ＜2时，抛物线开口向下，由题意－n －8m －2≤12，即2n ＋m ≤18，∵2mn ≤2n ＋m 2≤9，∴mn ≤812，由2n ＋m ＝18且2n ＝m ，得m ＝9(舍去)，∴mn 最大值为18，选B.] 高考题型精练1.A [当A ＝∅时，Δ＝(p ＋2)2－4<0，∴－4<p <0. 当A ≠∅时，方程x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0有两负根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＝－p ＋，∴p ≥0.综上所述，p >－4.]2.C [f (x )＝ax 2＋(b －2a )x －2b . ∵f (x )是偶函数，∴b －2a ＝0，即b ＝2a .∴f (x )＝ax 2－4a ，又f (2)＝0，x ∈(0，＋∞)时，f (x )为增函数.∴f (2－x )>f (2)或f (2－x )>f (－2).∴2－x >2或2－x <－2，即x <0或x >4.]3.D [∵f (x )＝(x －1)2＋2，其对称轴为x ＝1，当x ＝1时，f (x )min ＝2，故m ≥1，又∵f (0)＝3，f (2)＝3，∴m ≤2.综上可知1≤m ≤2.] 4.D [m ＝x 2－32x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－916，x ∈[－1,1].当x ＝－1时，m 取最大值为52，当x ＝34时，m 取最小值为－916，∴－916≤m ≤52.]5.C [∵f (x )＝x 2－ax ＋1有负值， ∴Δ＝(－a )2－4>0，则a >2或a <－2.]6.A [设t ＝f (x )，则方程为t 2－at ＝0，解得t ＝0或t ＝a ，即f (x )＝0或f (x )＝a .如图，作出函数f (x )的图象，由函数图象，可知f (x )＝0的解有两个，故要使方程f 2(x )－af (x )＝0恰有5个不同的解，则方程f (x )＝a 的解必有三个，此时0<a <1. 所以a 的取值范围是(0,1).] 7.A [f (x )的对称轴为直线x ＝－1，又∵x 1＋x 2＝1－a ，∴x 1＋x 22＝1－a2，0<a <3.∴1－a2>－1.∵x 1<x 2， ∴x 1离对称轴的距离小于x 2离对称轴的距离. 又∵a >0，∴f (x 1)<f (x 2).]8.A [由于a <b <c ，所以f (a )＝0＋(a －b )(a －c )＋0>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A.] 9.22－2解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，函数f (x )在区间[0,1]上单调递增，故g (a )＝f (1)＝1. (2)当a <0时，函数f (x )的图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[0,1]上单调递增，故g (a )＝f (1)＝1－a .(3)当0<a <1时，函数f (x )的图象如图(2)所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24，f (1)＝1－a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－f (1)＝a 24－(1－a )＝a ＋2－84.①当0<a <22－2时，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－f (1)<0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<f (1)，所以g (a )＝f (1)＝1－a ；②当22－2≤a <1时，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－f (1)≥0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≥f (1)，所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24.(4)当1≤a <2时，函数f (x )的图象如图(3)所示，因为函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2，1上单调递减，故g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24.(5)当a ≥2时，函数f (x )的图象如图(4)所示，因为函数f (x )在区间[0,1]上单调递增，故g (a )＝f (1)＝a －1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－a ，a <22－2，a24，22－2≤a <2，a －1，a ≥2，当a <22－2时，g (a )>g (22－2)＝3－22；当22－2≤a <2时，g (a )≥g (22－2)＝3－22；当a ≥2时，g (a )≥g (2)＝1>3－2 2. 综上，当a ＝22－2时，g (a )min ＝3－22.10.⎝ ⎛⎦⎥⎤259，4916 解析因为不等式等价于(－a ＋4)x 2－4x ＋1<0，其中(－a ＋4)x 2－4x ＋1＝0中的Δ＝4a >0，且有4－a >0，故0<a <4，不等式的解集为12＋a <x <12－a ，14<12＋a <12，则一定有{1,2,3}为所求的整数解集.所以3<12－a≤4，解得a 的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤259，4916.11.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析若a ＝0，则f (x )＝2x －3，f (x )＝0⇒x ＝32∉[－1,1]，不合题意，故a ≠0.下面就a ≠0分两种情况讨论：(1)当f (－1)·f (1)≤0时，f (x )在[－1,1]上至少有一个零点，即(2a －5)(2a －1)≤0，解得12≤a ≤52. (2)当f (－1)·f (1)>0时，f (x )在[－1,1]上有零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a f，－1<－12a <1，f －f，解得a >52.综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 12.解依题意，f (x )＝g (x )，即ax 2＋ax ＝x －a ，整理得ax 2＋(a －1)x ＋a ＝0，① ∵a ≠0，函数f (x )与g (x )的图象相交于不同的两点A 、B ，∴Δ>0，即Δ＝(a －1)2－4a 2＝－3a 2－2a ＋1＝(3a －1)·(－a －1)>0， ∴－1<a <13且a ≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2，11 由①得x 1x 2＝1>0，x 1＋x 2＝－a －1a. 设点O 到直线g (x )＝x －a 的距离为d ，则d ＝|－a |2，∴S ＝121＋1|x 1－x 2|·|－a |2＝12－3a 2－2a ＋1＝12 －3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋132＋43.∵－1<a <13且a ≠0， ∴当a ＝－13时，S 取得最大值33.即△OAB 的面积S 的最大值为33.。

高考数学考前冲刺方法与技巧

高考数学考前冲刺方法与技巧高考到了最后的冲刺阶段了，对于很多高三的学生来说这个时间段的考前备考复习是十分重要的，那么关于高考数学考前冲刺方法主要有哪些呢？下面是小编给大家整理的高考数学考前冲刺_高考数学考前冲刺方法与技巧，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

高考数学考前冲刺指导(一)了解课程标准，熟读考试大纲，紧扣考试说明高考(课程)命题注重考查考生的数学基础知识、基本技能和数学思想方法，考查考生对数学本质的理解水平，体现课程标准对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等目标要求。

(二)关注近年新课标高考试题，为高三复习指明方向重视新增内容考查，新课标高考对新增内容的考查比例远远超出它们在教材中占有的比例。

例如：三视图、茎叶图、定积分、正态分布、统计案例等。

立足基础，强调通性通法，增大覆盖面。

从历年高考试题看，高考数学命题都把重点放在高中数学课程中最基础、最核心的内容上，即关注学生在学习数学和应用数学解决问题的过程中最为重要的、必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能，紧紧地围绕“双基”对数学的核心内容与基本能力进行重点考查。

突出新课程理念，关注应用，倡导“学以致用”。

新课程倡导积极主动、勇于探索的学习方式，注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识。

加强应用意识的培养与考查是教育改革的需要，也是作为工具学科的数学学科特点的体现。

有意训练每年高考试题中都出现的高频考点。

(三)给高考考生的建议1.再次回归课本。

题在书外，但理都在书中。

对高考试卷进行分析就不难发现，许多题目都能在课本上找到“影子”，不少高考题就是将课本题目进行引申、拓宽和变化。

通过看课本系统梳理高中数学知识，巩固高中数学基本概念。

看课本，有三个建议，一是打乱顺序按模块阅读，二是要注意里面的小字和旁白以及后面的“阅读与思考”，三是对于基础较弱的学生，可把书后典型习题再做一遍。

2.利用好错题本(或者积累本)。

要把自己常犯的错或易忽略的内容在高考之前彻底解决，给自己积极的心理暗示。

第3练 “三个二次”的转化与应用

第3练 “三个二次”的转化与应用[题型分析·高考展望] “二次函数、二次方程、二次不等式”是高中数学知识的基础，在高考中虽然一般不直接考查，但它是解决很多数学问题的工具.如函数图象问题、函数与导数结合的问题、直线与圆锥曲线的综合问题等.“三个二次”经常相互转化，相辅相成，是一个有机的整体.如果能很好地掌握三者之间的转化及应用方法，会有利于解决上述有关问题，提升运算能力.体验高考1.(2015·陕西)对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A.－1是f (x )的零点 B.1是f (x )的极值点 C.3是f (x )的极值 D.点(2，8)在曲线y ＝f (x )上答案 A解析 A 正确等价于a －b ＋c ＝0， ① B 正确等价于b ＝－2a ， ② C 正确等价于4ac －b 24a ＝3，③ D 正确等价于4a ＋2b ＋c ＝8.④下面分情况验证，若A 错，由②、③、④组成的方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－10，c ＝8.符合题意；若B 错，由①、③、④组成的方程组消元转化为关于a 的方程后无实数解；若C 错，由①、②、④组成方程组，经验证a 无整数解；若D 错，由①、②、③组成的方程组a 的解为－34也不是整数.综上，故选A.2.(2015·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫74，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，74 C.⎝⎛⎭⎫0，74 D.⎝⎛⎭⎫74，2 答案 D解析方法一当x >2时， g (x )＝x ＋b －4，f (x )＝(x －2)2；当0≤x ≤2时，g (x )＝b －x ，f (x )＝2－x ；当x <0时，g (x )＝b －x 2，f (x )＝2＋x . 由于函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，所以方程f (x )－g (x )＝0恰有4个根. 当b ＝0时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2－5x ＋8＝0，无解；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为2－x －(－x )＝0，无解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2＋x ＋2＝0，无解. 所以b ≠0，排除答案B.当b ＝2时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为(x －2)2＝x －2，得x ＝2(舍去)或x ＝3，有1解；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为2－x ＝2－x ，有无数个解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x 2＝x ＋2，得x ＝0(舍去)或x ＝－1，有1解. 所以b ≠2，排除答案A.当b ＝1时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2－5x ＋7＝0，无解；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为1－x ＝2－x ，无解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2＋x ＋1＝0，无解.所以b ≠1，排除答案C.因此答案选D.方法二记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图，直线AB ：y ＝x －4，当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ′，y ＝(x －2)2，解得b ′＝－94，－94－(－4)＝74，所以曲线h (x )向上平移74个单位后，所得图象与f (x )的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当74＜b ＜2时，f (x )与g (x )的图象有四个不同的交点，即y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点.选D.3.(2016·江苏)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________. 答案 [－3，1]解析要使原函数有意义，需且仅需3－2x －x 2≥0.解得－3≤x ≤1.故函数定义域为[－3，1].4.(2016·山东)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________. 答案 (3，＋∞) 解析如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |；当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ，在(m ，＋∞)为增函数，若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 2－2m ·m ＋4m <|m |.∵m >0，∴m 2－3m >0，解得m >3.5.(2015·浙江)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，记M (a ，b )是|f (x )|在区间[－1，1]上的最大值.(1)证明：当|a |≥2时，M (a ，b )≥2；(2)当a ，b 满足M (a ，b )≤2时，求|a |＋|b |的最大值.(1)证明由f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24，得对称轴为直线x ＝－a2.由|a |≥2，得|－a2|≥1，故f (x )在[－1，1]上单调，所以M (a ，b )＝max{|f (1)|，|f (－1)|}. 当a ≥2时，由f (1)－f (－1)＝2a ≥4，得max{f (1)，－f (－1)}≥2，即M (a ，b )≥2.当a ≤－2时，由f (－1)－f (1)＝－2a ≥4，得max{f (－1)，－f (1)}≥2，即M (a ，b )≥2.综上，当|a |≥2时，M (a ，b )≥2.(2)解由M (a ，b )≤2得|1＋a ＋b |＝|f (1)|≤2， |1－a ＋b |＝|f (－1)|≤2，故|a ＋b |≤3，|a －b |≤3.由|a |＋|b |＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋b |，ab ≥0，|a －b |，ab ＜0，得|a |＋|b |≤3.当a ＝2，b ＝－1时，|a |＋|b |＝3，且|x 2＋2x －1|在[－1，1]上的最大值为2. 即M (2，－1)＝2.所以|a |＋|b |的最大值为3.高考必会题型题型一函数与方程的转化例1 已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析作出函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，x ∈[0，3)的图象(如图)，f (0)＝12，当x ＝1时f (x )极大值＝12，f (3)＝72，方程f (x )－a ＝0在[－3，4]上有10个根，即函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝a 在[－3，4]上有10个交点.由于函数f (x )的周期为3，则直线y ＝a 与f (x )的图象在[0，3)上应有4个交点，因此有a ∈⎝⎛⎭⎫0，12.点评二次函数零点问题或二次函数图象与直线交点个数问题，一般都需转化为二次方程根的存在性及根的分布来解决，解决的方法是列出判别式和有关函数值的不等式(组)，或用数形结合的方法解决.变式训练1 设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为________. 答案 7解析由y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，如图画出f (x )的图象，由f (x )＝12知有4个根，由f (x )＝1知有3个根，故函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1共有7个零点.题型二函数与不等式的转化例2 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称.若对任意的x ，y ∈R ，不等式f (x 2－6x ＋21)＋f (y 2－8y )＜0恒成立，则当x ＞3时，x 2＋y 2的取值范围是________. 答案 (13，49)解析由函数f (x －1)的图象关于点(1，0)对称可知，函数f (x )为奇函数.所以不等式f (x 2－6x ＋21)＋f (y 2－8y )＜0，可化为f (x 2－6x ＋21)＜－f (y 2－8y )＝f (－y 2＋8y ). 又因为函数f (x )在R 上为增函数，故必有x 2－6x ＋21＜－y 2＋8y ，即x 2－6x ＋21＋y 2－8y ＜0，配方，得(x －3)2＋(y －4)2＜4.因为x ＞3，故不等式组表示为⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋(y －4)2＜4，x ＞3，它表示的区域为如图所示的半圆的内部.而x 2＋y 2表示该区域内的点到坐标原点距离的平方.由图可知，x 2＋y 2的最小值在点A 处取得，但因为该点在边界的分界线上，不属于可行域，故x 2＋y 2＞32＋22＝13，而最大值为圆心(3，4)到原点的距离与半径之和的平方，但因为该点在圆的边界上，不属于可行域，故x 2＋y 2＜(5＋2)2＝49，故13＜x 2＋y 2＜49.点评不等式是解决函数定义域、值域、参数范围等问题的有效工具，将函数问题转化为不等式解决是解答此类问题的常规思路.而二次不等式的解的确定又要借助二次函数图象，所以二者关系密切.函数单调性的确定是抽象函数转化为不等式的关键.变式训练2 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围.解设F (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，则问题的条件变为当x ∈[－1，＋∞)时，F (x )≥0恒成立. ∵当Δ＝(－2a )2－4(2－a ) ＝4(a ＋2)·(a －1)≤0，即－2≤a ≤1时，F (x )≥0恒成立. 又当Δ＞0时，F (x )≥0在[－1，＋∞)上恒成立的充要条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，F (－1)≥0，－－2a 2≤－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1或a ＜－2，a ≥－3，a ≤－1⇒－3≤a ＜－2.故a 的取值范围是[－3，1]. 题型三方程与不等式的转化例3 关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m 的取值范围. 解方法一设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0，2]， ①若f (x )＝0在区间[0，2]上有一解， ∵f (0)＝1＞0，则应有f (2)＜0，又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m ＜－32.②若f (x )＝0在区间[0，2]上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，0＜－m －12＜2，f (2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)2－4≥0，－3＜m ＜1，4＋(m －1)×2＋1≥0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3＜m ＜1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值范围是(－∞，－1].方法二显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解， 0＜x ≤2时，方程可变形为1－m ＝x ＋1x，又∵y ＝x ＋1x 在(0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，∴y ＝x ＋1x 在(0，2]上的取值范围是[2，＋∞)，∴1－m ≥2，∴m ≤－1，故m 的取值范围是(－∞，－1].点评 “三个二次”是一个整体，不可分割.有关“三个二次”问题的解决办法通常是利用转化与化归思想来将其转化，其中用到的方法主要有数形结合、分类讨论的思想，其最基本的理念可以说是严格按照一元二次不等式的解决步骤来处理.变式训练3 若关于x 的方程x 2＋ax －4＝0在区间[2，4]上有实数根，则实数a 的取值范围是( )A.(－3，＋∞)B.[－3，0]C.(0，＋∞)D.[0，3] 答案 B解析如果方程有实数根，注意到两个根之积为－4＜0，可知两根必定一正一负，因此在[2，4]上有且只有一个实数根，设f (x )＝x 2＋ax －4，则必有f (2)f (4)≤0，所以2a (12＋4a )≤0，即a ∈[－3，0].故选B.高考题型精练1.方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ＞0)的解的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析 (数形结合法) ∵a ＞0，∴a 2＋1＞1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点.2.已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0＜a ＜3)，若x 1＜x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则( ) A.f (x 1)＜f (x 2) B.f (x 1)＝f (x 2)C.f (x 1)＞f (x 2)D.f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定答案 A解析 f (x )的对称轴为直线x ＝－1，又∵x 1＋x 2＝1－a ，∴x 1＋x 22＝1－a2，0＜a ＜3.∴1－a2＞－1.∵x 1＜x 2，∴x 1离对称轴的距离小于x 2离对称轴的距离. 又∵a ＞0，∴f (x 1)＜f (x 2).3.若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x 2.函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x (x ＞0)，－1x(x ＜0)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5，4]内的零点的个数为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 答案 A解析由f (x ＋1)＝－f (x )，可得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2，求h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5，4]内的零点，即求f (x )＝g (x )在区间[－5，4]上图象交点的个数，画出函数f (x )与g (x )的图象，如图，由图可知两图象在[－5，4]之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.4.若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－34，0B.⎝⎛⎦⎤－34，0C.⎝⎛⎭⎫0，34D.⎣⎡⎭⎫0，34 答案 B解析构造函数f (x )＝x 2＋2kx －1， ∵关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1， x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≥0，f (0)＜0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2k ≥0，－1＜0，4k ＋3＞0，∴－34＜k ≤0.5.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2＞4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b . 其中正确的是( )A.②④B.①④C.②③D.①③ 答案 B解析因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac ＞0，即b 2＞4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a ＜0，所以5a ＜2a ，即5a ＜b ，④正确.6.已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x ＞0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是( )A.(3，4)B.(2，＋∞)C.(2，5)D.(3，22) 答案 B解析作出函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x ＞0的图象，如图所示，直线y ＝mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线，当斜率m ≤0时，直线y ＝mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点；当m ＞0时，直线y ＝mx 始终与函数y ＝2－⎝⎛⎭⎫13x(x ≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y ＝mx 与函数f (x )的图象有三个公共点，必须有直线y ＝mx 与函数y ＝12x 2＋1(x ＞0)的图象有两个公共点，即方程mx ＝12x 2＋1，在x ＞0时有两个不相等的实数根，即方程x 2－2mx ＋2＝0的判别式Δ＝4m 2－4×2＞0，且m ＞0，解得m ＞ 2.故所求实数m 的取值范围是(2，＋∞).7.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )＞0的解集是______. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32＜x ＜1解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2，3. ∴－2，3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6.∵不等式af (－2x )＞0，即－(4x 2＋2x －6)＞0⇔2x 2＋x －3＜0⇒－32＜x ＜1. ∴解集为{x |－32＜x ＜1}. 8.已知奇函数f (x )在定义域[－2，2]上单调递减，则满足f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的实数m 的取值范围是________.答案 [－1，1)解析由f (1－m )＋f (1－m 2)＜0，得f (1－m )＜－f (1－m 2).又f (x )为奇函数，∴f (1－m )＜f (m 2－1).又∵f (x )在[－2，2]上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ＜1.1－m ＞m 2－1.∴实数m 的取值范围为[－1，1).9.已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点个数为________.答案 10解析在同一直角坐标系中，分别作出y ＝f (x )和y ＝|lg x |的图象，如图，结合图象知，共有10个交点.10.若关于x 的不等式(2x －1)2＜ax 2的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是____.答案 ⎝⎛⎦⎤259，4916解析因为不等式等价于(－a ＋4)x 2－4x ＋1＜0，其中(－a ＋4)x 2－4x ＋1＝0中的Δ＝4a ＞0，且有4－a ＞0，故0＜a ＜4，不等式的解集为12＋a ＜x ＜12－a，14＜12＋a ＜12，则一定有{1，2，3}为所求的整数解集，所以3＜12－a≤4，解得a 的范围为⎝⎛⎦⎤259，4916.11.已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围.解方法一设方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)＜0，∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＜0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1＜0，即a 2＋a －2＜0，∴－2＜a ＜1.方法二函数图象大致如图，则有f (1)＜0，即1＋(a 2－1)＋a －2＜0，∴－2＜a ＜1.故实数a 的取值范围是(－2，1).12.设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0).(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.∴函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根.∴b 2－4a (b －1)＞0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a ＞0恒成立，∴有(－4a )2－4(4a )＜0⇒a 2－a ＜0，∴0＜a ＜1.因此实数a的取值范围是(0，1).。

四川新高考考前三个月数学理二轮考前静悟1.2转化化归要规范(含答案详析)

第二讲转变化归要规范一、条件变换要全面在对题目进行剖析时，条件的梳理、转变是解题的要点，在条件转变时，必定要对条件全面考虑，发掘隐含条件，不可以左支右绌，造成变换不等价．例 1函数 f(x)的定义域 D＝ { x|x≠ 0} ，且知足关于随意x1，x2∈ D，有 f(x1·x2) ＝f(x1)＋ f(x2)．(1)求 f(1) 的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明；(3)假如 f(4)＝ 1， f(3x＋ 1)＋ f(2x－ 6)≤ 3，且 f(x)在 (0，＋∞ )上是增函数，求x 的取值范围．剖析由抽象不等式转变为一般不等式的过程中，必定要注意到定义域和单一区间，不能以为 f(x)在定义域 D 上单一递加．解 (1)令 x1＝ x2＝ 1，有 f(1× 1)＝ f(1)＋ f(1)，解得 f(1)＝ 0.(2)f(x)为偶函数，证明以下：令 x1＝ x2＝－ 1，有 f[( －1) ×(－ 1)]＝ f(－ 1)＋ f(－ 1)，解得 f(－ 1)＝ 0.令 x1＝－ 1， x2＝ x，有 f(－ x)＝ f(－ 1)＋ f(x)，∴ f(－ x)＝ f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)f(4× 4)＝f(4)＋ f(4) ＝ 2，f(16× 4)＝ f(16)＋ f(4) ＝ 3.由 f(3x＋ 1)＋ f(2x－ 6)≤ 3，变形为 f[(3 x＋ 1)(2x－ 6)] ≤ f(64)．①∵f(x)为偶函数，∴ f(－ x)＝f(x)＝ f(|x|)．∴不等式①等价于 f[|(3 x＋ 1)(2 x－ 6)|] ≤ f(64)．又∵ f(x)在 (0，＋∞)上是增函数，∴|(3x＋ 1)(2x－ 6)|≤ 64，且 (3x＋ 1)(2x－ 6)≠ 0.7≤ x<－11解得－33或－3<x<3 或 3<x≤ 5.711∴ x 的取值范围是 { x|－3≤ x<－3或－3<x<3或 3< x≤ 5} ．追踪训练 1 (1)已知会合M＝ { x|x2＋ x－ 6＝0} ，N＝ { x|ax＋ 2＝ 0} ，且 N? M，则实数 a 的值是 ________．答案 0，23，－ 1分析M＝ { x|x2＋ x－ 6＝ 0} ＝ { － 3,2} ，当 a＝0 时， N＝ ?，切合题意．2当 a ≠0 时， N ＝ { x|ax ＋ 2＝ 0} ＝－a ，2 2 2若－ a ＝－ 3，则 a ＝ 3；若－ a ＝ 2，则 a ＝－ 1.2 故 a 的值为 0，3，－ 1.(2)定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数，又是周期函数， T 是它的一个正周期．若将方程 f(x)＝0 在闭区间 [－T ， T]上的根的个数记为 n ，则 n 可能为()A ． 0B ．1C ．3D ． 5答案 D分析因为 f(x)为 R 上的奇函数，所以f(0)＝ 0.又因为 T 是函数 f( x)的一个正周期，所以 f(T)＝ f(－ T)＝ f(0) ＝ 0.T T T又 f 2 ＝ f － 2＋ T ＝ f － 2 ，TT且 f － 2 ＝－ f 2 ，T T∴ f 2 ＝f － 2 ＝ 0，故 f(x)＝ 0 在闭区间 [ － T ， T] 上根的个数为 5.追踪训练 2 (2013 ·山东 )甲、乙两支排球队进行竞赛，商定先胜 3 局者获取竞赛的成功，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是1外，其他每局竞赛甲队获胜的概率都是 223. 假设各局竞赛结果互相独立．(1)分别求甲队以 3∶0,3∶ 1,3∶2 成功的概率；(2)若竞赛结果为 3∶0 或 3∶ 1，则成功方得 3 分，对方得 0 分；若竞赛结果为 3∶ 2，则成功方得 2 分，对方得 1 分．求乙队得分 X 的散布列及数学希望．解 (1)设 “甲队以 3∶ 0,3∶ 1,3∶ 2 成功 ” 分别为事件 A ， B ， C 则 P(A)＝ 2× 2×2＝ 8，3 3 3 272 2 2 2 2 8P(B)＝C 3 3× 1－3 × 3＝27，2 222 2 1 4P(C) ＝C 4 3 × 1－ 3 × 2＝ 27. (2)X 的可能的取值为 0,1,2,3.则 P(X ＝ 0)＝ P(A)＋P(B)＝1627，4P(X ＝1)＝ P(C)＝ 27，22 2 2 214P(X ＝2)＝ C 4 × 1－3 × 3 × 1－2 ＝ 27，1 32 1 22 1 1 P(X ＝3)＝3 ＋ C 3 3 ×3× 3＝ 9.∴ X 的散布列为X 0 1 2 3P 16441 2727279∴ E( X)＝ 0×16441727＋ 1×27＋ 2×27＋ 3×9＝9.二、变换过程要正确解题过程中运用一些定理、公义或结论时，一定保证过程正确，不可以错用或漏用条件，和公义、定理的合用条件进行比对，变换过程中推理变形要等价．例 2在等腰直角三角形ABC 中，直角极点为 C，在∠ ACB 的内部，以 C 为端点任作一条射线 CM ，与线段 AB 交于点 M ，求 AM<AC 的概率．剖析此题是几何概型的概率问题，依据题意，选择角度作为几何概型的胸怀．此题易发生的错误是以为点M 随机落在线段AB 上，以为线段 AB 为基本领件的地区，以为是长度型的几何概型．解因为在∠ACB 内作射线 CM ，所以 CM 在∠ACB 内等可能散布(以下图 )，所以基本领件的地区应是∠ACB，在 AB 上取点 C′，使得 AC′＝ AC，ππ－4∠ ACC′23所以 P(AM <AC)＝∠ACB＝π＝4.2追踪训练 3 (1)如图，用 6 种不一样颜色给图中的 4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不一样，且两头的格子颜色也不一样，则不一样的涂色方法共有____种．答案630分析依据自左向右第一格与第三格颜色同样仍是不一样分类，可得不一样的计数方法有6× 5×5＋ 6× 5× 4× 4＝630(种 )．(2)一只蚂蚁在边长分别为5,12,13 的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个极点距离都大于 1 的地方的概率是 ________．答案454分析因为此蚂蚁是在三角形的边上爬行，所以选择线段长度进行概率计算可得5.(3)一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，某时辰此蚂蚁离三角形三个极点的距离均超出 1 的概率是 ________．答案1－324π3分析因为此蚂蚁是在三角形内爬行，所以选择面积进行概率计算可得1－24π.追踪训练π4 在△ ABC 中，内角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c，已知 c＝ 2，C＝ .3(1)若 a＝ 1，求 b；(2)若 sin C＋ sin(B－ A) ＝2sin 2A，求 a， b.解 (1)由余弦定理， c 2＝a 2＋ b 2－ 2abcos C ，即1＋b 2－ b ＝ 4.1－ 13(舍去 )，或 b ＝1＋ 13.解得 b ＝22(2)由 sin C ＋ sin(B － A) ＝2sin 2A ，得 sin(B ＋ A) ＋sin(B －A)＝ 2sin 2A ，即 (sin Bcos A ＋cos Bsin A)＋ (sin Bcos A －cos Bsin A)＝ 2sin 2A ，所以 sin Bcos A ＝ 2sin Acos A.π2 ＝ 43， b ＝ acos π2 3若 cos A ＝ 0，则 A ＝， a ＝3 ＝ 2sin π 33 .3若 cos A ≠ 0，则有 sin B ＝ 2sin A ．由正弦定理，得b ＝ 2a.由余弦定理得， c 2＝ a 2＋ b 2－ 2abcos C ，即 a 2 ＋4a 2－ 2a 2＝ 4.2 3解得 a ＝ 3 .4 3而 b ＝2a ＝ 3 .4 32 3 2 3 4 3综上， a ＝ 3 ， b ＝ 3 或 a ＝ 3 ， b ＝ 3 .三、变换思路要灵巧解决数学识题的过程就是一个由条件到结论的等价转变的过程，数学中的解题即转变过程常常不是独一的．在解题时我们要从条件出发，灵巧转变，从不一样的角度解决问题．例3以下图，在四棱锥P —ABCD中，∠ ABC ＝∠ ACD ＝90°，∠ BAC ＝∠ CAD ＝ 60°， PA ⊥平面ABCD ，E 为PD的中点， PA ＝2AB ＝ 2.(1)求四棱锥P — ABCD的体积；(2)若 F 为 PC 的中点，求证： PC ⊥平面 AEF ； (3)求证： CE ∥平面 PAB . 剖析在证明线面关系时，能够利用线线关系，也能够利用面面关系，第(3)步证明中既可在平面 PAB 中作向来线，使其和 CE 平行；也能够过 CE 作一平面，使其和平面 PAB 平行．(1)解在 Rt △ ABC 中， AB ＝1， ∠ BAC ＝60°，∴ BC ＝ 3， AC ＝2.在 Rt △ACD 中， AC ＝ 2， ∠ CAD ＝ 60°， ∴CD ＝ 2 3， AD ＝ 4.1 1∴SABCD ＝ 2AB ·BC ＋ 2AC ·CD ＝ 1×1× 3＋ 1× 2×2 3＝ 53.222则 V ＝ 1 5 53×2 3× 2＝3 3.故四棱锥 P—ABCD 的体积为53.3(2)证明∵PA＝ CA， F 为 PC 的中点，∴ AF ⊥PC.∵PA⊥平面 ABCD ，∴ PA⊥ CD ，∵AC⊥ CD， PA∩ AC＝ A，∴ CD ⊥平面 PAC，∴ CD⊥PC.∵ E 为 PD 的中点，∴EF∥CD，则 EF⊥PC，∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面 AEF.(3)证明方法一取 AD 中点 M，连结 EM ， CM .以下图．则 EM∥ PA，∵ EM ?平面 PAB， PA? 平面 PAB，∴ EM∥平面 PAB.在 Rt△ACD 中，∠ CAD ＝60°， AC＝ AM ＝ 2，∴∠ ACM ＝60°.而∠ BAC＝60°，∴ MC ∥AB.∵MC?平面 PAB， AB? 平面 PAB ，∴ MC ∥平面 PAB.∵EM∩ MC＝ M，∴ 平面 EMC ∥平面 PAB.∵CE? 平面 EMC，∴ CE∥平面 PAB.方法二延伸 DC， AB，设它们交于点N，连结 PN.以下图．∵∠ NAC＝∠DAC ＝ 60°， AC⊥ CD，∴ C 为 ND 的中点．∵E 为 PD 的中点，∴ CE∥ NP.∵CE?平面 PAB， NP? 平面 PAB，∴ CE∥平面 PAB.追踪训练 5若 (x2＋ 1)(x－ 2)9＝ a0＋ a1(x－ 1)＋ a2(x－1)2＋＋ a11(x－ 1)11，则 (a1＋ 3a3＋＋11a11)2－(2a2＋4a4＋＋ 10a10)2＝ ________.答案0分析由 (x2922＋＋a1111＋ 1)(－ 2)＝ a＋，两边求导，得 2x(x－ 1)＋ a (x－ 1)( x－1)－2)9＋ 9(x2＋ 1)(x－ 2)8＝ a1＋ 2a2(x－ 1)＋ 3a3(x－ 1)2＋＋ 11a11(x－ 1)10，令 x＝ 2，得 a1＋2a2＋3a3＋＋ 10a10＋ 11a11＝ 0.所以 (a1＋ 3a3＋＋11a11)2－(2a2＋4a4＋＋10a10)2＝(a1＋2a2＋＋11a11)( a1－2a2＋3a 3－＋11a11)＝0.追踪训练 6设椭圆x2y22) 的右焦点为 F，直线 l：x＝a2M：2＝ 1(a>与 x 轴交于点 A，a＋21a2－ 2→→若 OF1＋ 2AF1＝ 0(此中 O 为坐标原点 )．(1)求椭圆 M 的方程；(2)设 P 是椭圆M 上的随意一点，22的随意一条直径 (E、 F 为EF 为圆 N： x＋ (y－ 2) ＝ 1直径的两个端点→ →)，求 PE·PF 的最大值．a 2解 (1)由题设知， A a 2－ 2，0， F 1( a 2－2， 0)，→ →由 OF 1＋ 2AF 1＝ 0，a 22－2 ，得 a 2 －2＝ 22 －a a － 2解得 a 2＝ 6.22所以椭圆 M 的方程为x＋y＝ 1. 62→ →→→→→(2)PE ·PF ＝ (NE － NP) ·(NF － NP)→ → → →→ 2 → 2＝(－NF － NP) ·(NF －NP )＝NP － NF＝ NP →2－ 1.→ → 的最大值转变为求 → 2 的最大值．进而将求 PE ·PF NP 因为 P 是椭圆 M 上的随意一点，设P(x 0， y 0)2 2所以 x 0 ＋y0 ＝ 1，即 x 02＝ 6－3y 02.6 2 因为点 N(0,2)，→ 2 2 2 2 所以 NP ＝ x 0＋ (y 0－ 2) ＝－ 2(y 0＋ 1) ＋ 12.因为 y 0∈[ － 2，2]，所以当 y 0＝－→ 2获得最大值 12.1时，NP → →所以 PE ·PF 的最大值为 11.。

2016高考考前三个月数学(浙江专用理科)二轮课件第一篇快速解答选择、填空题第2讲

第一篇快速解答选择、填空题
第2讲五种策略搞定填空题
题型解读
填空题是高考三大题型之一，主要考查基础知识、基本方
法以及分析问题、解决问题的能力，试题多数是教材例题、
习题的改编或综合，体现了对通性通法的考查.该题型的基本特点：(1)具有考查目标集中、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活、答案简短、明确、具体，不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点；
解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、
解析
如图，以 DA ， AB ， BC 为棱长构造
正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，
②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
1 1 3 3 3 ∴S△ABC＝2absin C＝2×6× 2 ＝ 2 . 3 答案 2 3
方法三
数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果 .这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率或截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，
方法二
特殊值法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是
一个定值时，我们只需把题中的参变量用特殊值 ( 或特殊
函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊
方程、特殊模型等)代替，即可得到结论.
例2
如图，在△ABC 中，点 M 是 BC 的
中点，过点 M 的直线与直线 AB 、 AC 分 → → 别交于不同的两点P、Q，若AP ＝λAB， 1 1 → → 2 AQ＝μAC，则＋＝________. λ μ 1 1 解析由题意可知，＋的值与点P、Q的位置无关，而 λ μ 当直线BC与直线PQ重合时， 1 1 则有 λ＝μ＝1，所以 λ ＋μ＝2.

高考数学考前三个月复习冲刺小题精练1理

【步步高】（全国通用）2016版高考数学复习考前三个月小题精练1 理1．下列各组集合中表示同一集合的是( )A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2}C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}2．已知i 为虚数单位，集合P ＝{－1,1}，Q ＝{i ，i 2}，若P ∩Q ＝{z i}，则复数z 等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B. p ∨(綈q ) C ．(綈p )∧(綈q ) D ．p ∨q4．已知函数f (x )＝2＋log 2x ，x ∈[1,2]，则函数y ＝f (x )＋f (x 2)的值域为( )A ．[4,5] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，112 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，132 D ．[4,7]5．函数f (x )＝22|log |x 的图象大致是( )6．若平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．重合7．设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a ⊥b 的一个充分不必要条件是( )A ．a ⊥c ，b ⊥cB ．α⊥β，a ⊂α，b ⊂βC ．a ⊥α，b ∥αD ．a ⊥α，b ⊥α8．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2] 9．已知函数g (x )＝2x ，且有g (a )g (b )＝2，若a >0且b >0，则ab 的最大值为( )A.12B.14 C ．2 D ．410．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2x n(n ≥2)，则x n 等于( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n C.n ＋12D.2n ＋1 11．如图所示，PA ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，给出下列结论，其中错误的是( )A ．AF ⊥PBB ．EF ⊥PBC ．AF ⊥BCD ．AE ⊥平面PBC12．若椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0)与曲线x 2＋y 2＝|m －n |无交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1D.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 二、填空题13．已知数列{a n }的首项为a 1＝12，其前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥1)，则数列{a n }的通项公式为__________．14．函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为______． 15．下列关于函数f (x )＝(2x －x 2)e x 的判断正确的是________．①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}；②f (－2)是极小值，f (2)是极大值；③f (x )既没有最小值，也没有最大值．16．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于________.答案精析小题精练小题精练11．B 2.C 3.A 4.B 5.C 6.C 7.C8．A [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，令2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω(k ∈Z )．由题意，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，故⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π为函数单调递减区间的一个子区间，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54(k ∈Z )，又4k ＋12<2k ＋54，∴k <38. ∴当k ＝0时，12≤ω≤54.] 9．B 10.D 11.D 12.D13．a n ＝1n n ＋解析由a 1＝12，S n ＝n 2a n ，① ∴S n －1＝(n －1)2a n －1.②①－②，得a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，即a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1，亦即a n a n －1＝n －1n ＋1 (n ≥2)． ∴a n a 1＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13＝2n n ＋.∴a n ＝1n n ＋1. 14．(0,1]解析根据题意可知， ⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x>0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1，故定义域为(0,1]． 15．①②③ 解析若f (x )＝(2x －x 2)e x>0，则0<x <2，①正确； ∵f ′(x )＝－e x (x ＋2)(x －2)，∴f (x )在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递减，在(－2，2)上单调递增．∴f (－2)是极小值，f (2)是极大值，②正确；易知③也正确． 16. 3解析由二倍角公式可得sin 2α＋1－2sin 2α＝14，即－sin 2α＝－34，sin 2α＝34. 又因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝32，即α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3.。

高考数学考前三个月复习冲刺小题精练5理

【步步高】（全国通用）2016版高考数学复习考前三个月小题精练5 理一、选择题1．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |2<x <4}，那么集合B ∩(∁U A )等于( ) A ．{x |－1≤x ≤4} B ．{x |2<x ≤3} C ．{x |2≤x <3}D ．{x |－1<x <4}2．(2015·课标全国Ⅰ)设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |等于( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．23．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )4．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“0<q <1”是“{a n }为递减数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知可行域是△ABC 的内部及其边界，△ABC 的顶点坐标分别为A (5,2)，B (1,1)，C (1,4)，若目标函数z ＝ax ＋y (a <0)取得最小值时的最优解有无穷多个，则实数a 的值为( ) A ．－12 B.12 C ．－14 D.146．已知函数y ＝sin ωx (ω>0)在一个周期内的图象如图所示，要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π12的图象，则需将函数y ＝sin ωx 的图象向__________平移________个单位长度．( )A ．左 π6B ．右 56πC ．左π12D ．右512π 7．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．72 cm 3B ．90 cm 3C ．108 cm 3D ．138 cm 38．已知－2，a 1，a 2，－8成等差数列，－2，b 1，b 2，b 3，－8成等比数列，则a 2－a 1b 2等于( ) A.14 B.12 C ．－12 D.12或－129．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定10．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值，最大值分别为( ) A ．9,12 B ．8,11 C ．8,12 D ．10,1211．(2015·日照二模)从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( ) A ．224 B ．112 C ．56 D ．2812．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝ 2 (n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2 015的值为( )A.2 0112 012 B.2 0122 013 C.2 0132 014 D.2 0152 016二、填空题13．(2015·吉林三校模拟)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝335，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝________.14．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是________． 15．已知数列{2n －1·a n }的前n 项和S n ＝9－6n ，则数列{a n }的通项公式是______________．16．已知点A (4,0)和B (2,2)，M 是椭圆x 225＋y 29＝1上一动点，则|MA |＋|MB |的最大值为_______．答案精析小题精练51．B 2.A 3.C 4.D 5.C 6.A 7．B [该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示．V ＝V 三棱柱＋V 长方体＝12×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm 3)．]8．B [因为－2，a 1，a 2，－8成等差数列，所以a 2－a 1＝－8－－3＝－2，又－2，b 1，b 2，b 3，－8成等比数列．所以b 22＝－8×(－2)＝16，b 2＝4(舍去)，b 2＝－4，所以a 2－a 1b 2＝－2－4＝12.选B.] 9．C [要比较P ，Q 的大小关系，只要比较P 2，Q 2的大小关系，只要比较2a ＋7＋2a a ＋与2a ＋7＋2a ＋a ＋的大小，只要比较a a ＋与a ＋a ＋的大小，即比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小，只要比较0与12的大小，∵0<12，∴P <Q .] 10．C [如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA |＋|PB |＝2a ＝10，连接PA ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|PA |＋|PB |－2R ＝8；连接PA ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最大，最大值为|PA |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8,12.]11．B [根据分层抽样，从12个人中抽取男生1人，女生2人；所以取2个女生1个男生的方法有：C 28C 14＝112种．] 12．D [直线与x 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，0，与y 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2n ＋1，∴S n ＝12·2n ·2n ＋1＝1n n ＋＝1n －1n ＋1. ∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015－12 016＝1－12 016＝2 0152 016.]13.35解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝335， ∴32cos α－12sin α－sin α＝335. 即32cos α－32sin α＝335，得cos α－3sin α＝65.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝sin αcos 5π6＋cos αsin 5π6 ＝－32sin α＋12cos α＝12(cos α－3sin α) ＝12×65＝35. 14．1∶2解析如图所示，取AC 中点D . ∴OA →＋OC →＝2OD →.∴OD →＝BO →. ∴O 为BD 中点， ∴面积比为高之比． 15．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，－32n －2，n ≥2解析当n ＝1时，20·a 1＝S 1＝3，∴a 1＝3. 当n ≥2时，2n －1·a n ＝S n －S n －1＝－6，∴a n ＝－32n －2.∴通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，－32n －2，n ≥2.16．10＋210解析显然A 是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为A 1(－4,0)，连接BA 1并延长交椭圆于M 1，则M 1是使|MA |＋|MB |取得最大值的点．事实上，对于椭圆上的任意点M 有：|MA |＋|MB |＝2a －|MA 1|＋|MB |≤2a ＋|A 1B |(当M 1与M 重合时取等号)，∴|MA|＋|MB|的最大值为2a＋|A1B|＝2×5＋62＋22＝10＋210.。

(全国通用)高考数学考前三个月复习冲刺中档大题规范练6 导数的应用理-人教版高三全册数学试题

【步步高】（全国通用）2016版高考数学复习考前三个月中档大题规X 练6 导数的应用理1.已知函数f (x )＝e x(x 2＋bx ＋c )，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋1.(1)求f (x )的解析式； (2)讨论f (x )的单调区间.2.(2015·东城区模拟)已知函数f (x )＝12x 2＋2a ln x (a ∈R ).(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝2x＋f (x )在区间[1,4]上是单调递增函数，某某数a 的取值X 围.3.(2015·某某实验中学模拟)设函数f (x )＝x 2＋b ln(x ＋1)，其中b ≠0. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明：当b ＝1时，对于任意的x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>52.4.已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，a ∈R ). (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值X 围.5.已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x .(1)求函数f (x )的极值点；(2)若函数f (x )在区间[2,6]内有极值，求a 的取值X 围.6.已知函数f (x )＝ln x －32＋ax，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数f (x )在[4，＋∞)上的最小值； (2)令g (x )＝f (x )＋32－ax .①若方程e2g (x )＝ln x －f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解，某某数a 的取值X 围； ②若G (k )＝g (k )＋g (k ＋1)，k ≥2，k ∈N *，证明：当n ≥2，n ∈N *时，总有G (2)＋G (3)＋…＋G (n )>43.答案精析中档大题规X 练61.解 (1)因为f (x )＝e x (x 2＋bx ＋c )，所以f ′(x )＝e x [x 2＋(2＋b )x ＋b ＋c ].因为y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋1，又f ′(0)＝4，所以b ＋c ＝4.又f (0)＝c ＝1，所以b ＝3. 所以f (x )＝e x (x 2＋3x ＋1). (2)由(1)得f (x )＝e x (x 2＋3x ＋1)，所以f ′(x )＝e x (x 2＋5x ＋4). 令f ′(x )>0，即x 2＋5x ＋4>0，解得x <－4或x >－1；令f ′(x )<0，即x 2＋5x ＋4<0，解得－4<x <－1.综上，f (x )的单调递增区间为(－∞，－4]和[－1，＋∞)，单调递减区间为[－4，－1]. 2.解 (1)因为f (x )＝12x 2＋2a ln x (a ∈R )，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝x ＋2a x ＝x 2＋2ax.①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )的单调递增区间为(0，＋∞). ②当a <0时，令f ′(x )＝0⇒x 2＋2a ＝0⇒x 2＝－2a ，解得x ＝－2a 或x ＝－－2a (舍). 所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：综上，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递减区间是(0，－2a ]，单调递增区间是[－2a ，＋∞). (2)因为g (x )＝2x ＋f (x )＝2x ＋12x 2＋2a ln x ，所以g ′(x )＝－2x 2＋x ＋2a x ＝x 3＋2ax －2x2，因为g (x )＝2x＋f (x )在区间[1,4]上是单调递增函数，所以g ′(x )≥0，即x 3＋2ax －2≥0在区间[1,4]上恒成立，即2a ≥2x－x 2在区间[1,4]上恒成立.设h (x )＝2x－x 2(x ∈[1,4])，则h ′(x )＝－2x2－2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋2x <0，所以h (x )在[1,4]上单调递减，则h (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－312，1.所以2a ≥1，即a ≥12.故实数a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 3.(1)解函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，求导得f ′(x )＝2x ＋bx ＋1＝2x 2＋2x ＋bx ＋1，令g (x )＝2x 2＋2x ＋b ，①当g (x )＝0在(－1，＋∞)上无解，即b >12时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增.②当g (x )＝0在(－1，＋∞)上有两个不等实根，即2x 2＋2x ＋b ＝0在(－1，＋∞)上有两个不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8b >0，g －1>0，即0<b <12，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－1－1－2b 2上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1－2b 2，－1＋1－2b 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1＋1－2b 2，＋∞上单调递增.③当g (x )＝0在(－1，＋∞)上有两个相等的实根，即b ＝12时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增.(2)证明当b ＝1时，f (x )＝x 2＋ln(x ＋1)，令h (x )＝f (x )－52x ＝x 2＋ln(x ＋1)－52x (x ≥1)，h ′(x )＝2x ＋1x ＋1－52＝4x ＋3x －12x ＋1，当x ≥1时，h ′(x )≥0，所以函数h (x )在[1，＋∞)上是增函数. 由已知，不妨设1≤x 1<x 2，则h (x 1)<h (x 2)，f (x 1)－52x 1<f (x 2)－52x 2，即f x 1－f x 2x 1－x 2>52.4.解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )， ∴f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax(a ≠0，x ≠0)，令x ＝－1，得f (－1)＝1－a . 令x ＝1，得f (1)＝1＋a .∴f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0， ∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1). ∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数. (2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，则f ′(x )≥0在[2，＋∞)上恒成立，即2x －a x2≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 3在[2，＋∞)上恒成立，只需a ≤(2x 3)min ，x ∈[2，＋∞)， ∴a ≤16，∴a 的取值X 围是(－∞，16]. 5.解 (1)因为f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝x －a ＋1x ＝x 2－ax ＋1x.令f ′(x )＝0，即x 2－ax ＋1＝0，则Δ＝a 2－4. ①若a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，f ′(x )≥0，所以当－2≤a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点. ②若a 2－4>0，即a <－2或a >2时，方程x 2－ax ＋1＝0的解为x ＝a ±a 2－42.(ⅰ)当a >2时，0<a －a 2－42<a ＋a 2－42.所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，a －a 2－42和⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －a 2－42，a ＋a 2－42.所以f (x )的极大值点为a －a 2－42，f (x )的极小值点为a ＋a 2－42.(ⅱ)当a <－2时，a －a 2－42<0，a ＋a 2－42<0.所以当a <－2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点. 综上，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点；当a >2时，f (x )的极大值点为a －a 2－42，f (x )的极小值点为a ＋a 2－42.(2)因为函数f (x )在区间[2,6]内有极值，所以f ′(x )＝0在区间[2,6]内有解，所以x 2－ax ＋1＝0在区间[2,6]内有解，所以a ＝x ＋1x在区间[2,6]内有解.设h (x )＝x ＋1x，对x ∈[2,6]，h ′(x )＝1－1x 2＝x 2－1x2>0，所以h (x )在[2,6]内单调递增.所以h (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，376.故a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，376.6.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －32＋1x，当x ∈[4，＋∞)时，f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2>0，所以函数f (x )在[4，＋∞)上单调递增，当x ＝4时，f (x )取得最小值f (4)＝ln 4－54.(2)g (x )＝f (x )＋32－ax ＝ln x .①因为原方程即e2ln x＝32－a x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解，所以x 2＝32－a x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解，所以a ＝－x 3＋32x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.令y ＝－x 3＋32x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则y ′＝－3x 2＋32，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，由y ′＝0，得x ＝22(舍去－22)，则x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22时，y ′>0，函数y ＝－x 3＋32x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22上递增，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤22，2时，y ′<0，函数y ＝－x 3＋32x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤22，2上递减，所以当x ＝22时，y 取得极大值22. 又x ＝12时，y ＝58，x ＝2时，y ＝－5，所以实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，22. ②因为G (k )＝g (k )＋g (k ＋1)＝ln k ＋ln(k ＋1)＝ln k (k ＋1)，k ≥2，k ∈N *.由(1)可知函数f (x )＝ln x －32＋1x ≥f (4)＝ln 4－54>0，即ln x >32－1x 对x ∈[4，＋∞)恒成立，而k (k ＋1)>4，k ≥2，k ∈N *，所以G (k )＝ln k (k ＋1)>32－1k k ＋1，k ≥2，k ∈N *恒成立，所以G (2)＋G (3)＋…＋G (n )>32(n －1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3＋13×4＋…＋1n n ＋1＝32(n －1)－(12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝3n －12－12＋1n ＋1＝3n 2＋1n ＋1－2＝3n ＋12＋1n ＋1－72，n ≥2，n ∈N *恒成立.又3n ＋12＋1n ＋1－72在[2，＋∞)上递增，且n ＝2时，3n ＋12＋1n ＋1－72＝92＋13－72＝43，所以当n ≥2，n ∈N *时，总有G (2)＋G (3)＋…＋G (n )>43.。

高考数学考前三个月复习冲刺小题精练8 理

【步步高】（全国通用）2016版高考数学复习考前三个月小题精练8 理一、选择题1．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．直角三角形2．(2015·山东师大附中月考)函数y ＝2x－x 2的图象大致是( )3．已知函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝log 2x －2的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <a <c4．(2015·威海一模)已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，且l ∥α，则下列命题正确的是( ) A ．若l ∥m ，则m ∥α B ．若m ∥α，则l ∥m C ．若l ⊥m ，则m ⊥αD ．若m ⊥α，则l ⊥m5．在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3x ＋y ≥0，－1≤x ≤2 所表示的平面区域的面积为( )A ．12B ．16C ．18D ．246．在等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15>0，S 16<0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为( ) A.S 7a 7 B.S 6a 6 C.S 9a 9 D.S 8a 87．(2015·重庆联考)执行如图所示的程序框图，如果输出s ＝3，那么判断框内应填入的条件是( ) A ．k <7? B ．k ≤7? C ．k >7? D ．k ≥7?8．若随机变量X ～N (1,4)，P (X ≤0)＝m ，则P (0<X <2)等于( ) A ．1－2m B.1－m2C.1－2m2D ．1－m9．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋cos x ≥62”发生的概率为( ) A.14 B.13 C.12 D.2310．函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin π2x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π2x 的最小正周期是( )A ．π B．2π C．1 D ．211．(2015·江西七校一联)定义域为R 的连续函数f (x )，对任意x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，且其导函数f ′(x )满足(x －2)f ′(x )>0，则当2<a <4时，有( ) A ．f (2a)<f (2)<f (log 2a ) B ．f (2)<f (2a)<f (log 2a ) C ．f (log 2a )<f (2a)<f (2) D ．f (2)<f (log 2a )<f (2a)12.设F 1、F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线一条渐近线于M 、N 两点，且满足∠MAN ＝120°，则该双曲线的离心率为( ) A.213 B.193 C.53D. 3 二、填空题13．(2015·西安西北工大附中二模)①在区间[0,1]内任取两个实数x ，y ，则事件“x 2＋y 2>1成立”的概率是1－π4；②函数f (x )关于(3,0)点对称，满足f (6＋x )＝f (6－x )，且当x ∈[0,3]时函数为增函数，则f (x )在[6,9]上为减函数；③满足A ＝30°，BC ＝1，AB ＝3的△ABC 有两解．其中正确命题的个数为________．14．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 的值为________． 15．(2015·济南山师大附中模拟)2014年11月26日，日本首相安倍晋三宣布加强对边境附近的离岛的监视，而钓鱼岛也被划在日本专属经济区的调查范围之中．面对日本再次对钓鱼岛领土问题的挑衅，我巡航编队加强了在钓鱼岛附近海域的巡逻执法．某天有2350号，2506号等共五艘海警船可供选择，计划选派两艘去巡航执法，其中2350号，2506号至少有一艘去执法的概率为________．16．以下四个命题，其中正确的是________．①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在线性回归方程y ^＝0.2x ＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ^平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2的值越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．答案精析小题精练8 1．D 2.A3．A [在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝2x，y ＝－x ，y ＝log 2x 的图象，结合函数y ＝2x 与y ＝－x 的图象可知其交点横坐标小于0，即a <0；结合函数y ＝log 2x 与y ＝－x 的图象可知其交点横坐标大于0且小于1，即0<b <1；令log 2x －2＝0，得x ＝4，即c ＝4.因此有a <b <c ，选A.]4．D [由l ∥α，l ∥m ，可得m ⊂α或m ∥α，A 不正确；由l ∥α，m ∥α，则l ∥m 或l ，m 相交或l ，m 互为异面直线，B 不正确；由l ∥α，l ⊥m ，则m ∥α或m ，α相交或m ⊂α，C 不正确；由l ∥α，m ⊥α，可得l ⊥m ，D 正确．故选D.] 5．A 6.D 7.B8．A [∵随机变量X ～N (1,4)，∴正态曲线的对称轴是x ＝1，∴P (X ≤0)＝P (X ≥2)，∵P (X ≤0)＝m ，∴P (0<X <2)＝1－m －m ＝1－2m ，故选A.]9．B [因为⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ≥62，0≤x ≤π，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋π4≥32，0≤x ≤π，即π12≤x ≤5π12. 根据几何概型的计算方法，所以所求的概率为P ＝5π12－π12π＝13.]10．C11．D [∵对任意x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，∴x ＝2是f (x )的对称轴．又∵(x －2)f ′(x )>0，∴当x >2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <2时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又∵2<a <4，∴1<log 2a <2,4<2a<16；由f (2＋x )＝f (2－x )，得f (x )＝f (4－x )．∴f (log 2a )＝f (4－log 2a )．由1<log 2a <2，得－2<－log 2a <－1.∴2<4－log 2a <3.∴2<4－log 2a <2a.∴f (2)<f (4－log 2a )<f (2a)，即f (2)<f (log 2a )<f (2a)，故选D.]12．A [以F 1F 2为直径的圆方程x 2＋y 2＝c 2，与渐近线y ＝b ax 相交N (x 0，y 0)，根据对称性得M (－x 0，－y 0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝b a x 0，x 20＋y 20＝c 2，解得N (a ，b )，M (－a ，－b )．又∵A (－a,0)，∠MAN ＝120°， |AN |＝4a 2＋b 2，|AM |＝b 2，|MN |＝4a 2＋4b 2＝2c ，由余弦定理得4c 2＝(4a 2＋b 2)＋b 2－24a 2＋b 2·b cos 120°，整理得3c 2＝7a 2，因此离心率e ＝c a ＝213，故答案为A.] 13．3解析 ①由几何概型计算公式知，所求事件的概率是1－π4正确；②函数f (x )关于(3,0)点对称，且当x ∈[0,3]时函数为增函数，所以函数f (x )在(3,6)上单调递增，又因为函数f (x )满足f (6＋x )＝f (6－x )，所以函数f (x )关于直线x ＝6对称，所以f (x )在[6,9]上为减函数，正确；③因为A ＝30°，BC ＝1，AB ＝3，所以AB sin 30°＝32<BC <AB ＝3，所以△ABC 有两解，正确． 14．4解析因为函数g (x )＝－x ＋log 2 1－x 1＋x 是奇函数，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋2＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ＋2＝4. 15.710解析设2350号，2506号等五艘海警船分别表示为x ，y ，a ，b ，c ，则所有可能的情况为(x ，y )，(x ，a )，(x ，b )，(x ，c )，(y ，a )，(y ，b )，(y ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共10种，其中2350号，2506号至少有一艘去执法的情况有7种，所以所求的概率为710.16．②③解析 ①是系统抽样；对于④，随机变量K 2的值越小，说明两个变量有关系的把握程度越小．。

2016届高三数学二轮复习第二编考前冲刺攻略3.4转化(精)

【金版教程】2016届高三数学二轮复习第二编考前冲刺攻略3.4转化与化归思想理、选择题1. 已知a, b是单位向量，a • b= 0,若向量c满足| c—a —b| = 1，则| c|的取值范围是( )A. [ 2 —1,2+ 1] C.[1 , 2 + 1]答案AB. [ 2—1 , 2 + 2]D [1 , .2 + 2]0.解析由题意，不妨令a= (0,1) , b= (1,0) , c = (x, y)，由| c —a—b| = 1 得(x —1)+ (y —1)2= 1, | c| = ■x2+ y3 4 5 6 7可看作(x, y)到原点的距离，而点(x, y)在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上•如图所示，当点(x, y)在位置P时到原点的距离最近，在位置P时最远，而PO= 2 —1, P' 2 + 1,故选 A.2. [2015 •九江一模]在如下程序框图中，输入f0(x) = sin (2 x+ 1)，若输出的f i(x)是28sin(2 x + 1)，则程序框图中的判断框应填入()3 4 8f 3( x) =—2 cos(2 x + 1); i = 4 时，f 4(x) = 2 sin(2 x + 1) ; .... ; i = 8 时，f 8(x) = 2 sin(2 x+ 1)，循环结束，故选 B.2 1 訂、3. 若函数f (x) = x2+ax+-在~,+m是增函数，则a的取值范围是()x k2 JA.[ —1,0]B. [ —1 ,+s)C. [0,3]答案DA. i w 6B.i w7C.i w 8D.i w9答案B解析i = 1 时，“(x) = 2cos(2 x + 1); i = 2 时，f2( x) = —22sin (2 x + 1) ; i = 3 时,D. [3 ,+s)2.由条件知 f '（x ） = 2x + a —1 >0在1 ,+s 上恒成立，即 a >2x 在a > 3.故选D.解析2'+ m上恒成立,•••函数 y = X — 2x 在 2, 、 1 1+ m 上为减函数，•y max < — — 2X 2= 3. •4.在厶 ABC 中,| AB = 3, | AC = 4, |BC = 5•点 D 是边 BC 上的动点, AD= xAB+ yAC,当xy 取最大值时, A.4 | AD 的值为（B. 3 5C.212答案 C解析解法一：••• |AB = 3, |AQ = 4,I BC = 5,设 Qa , b ),由 AD- xAB+ yACfa = 3x , 则*abb = 4y ,•-xy=袒又••• D 在直线x ylBC： 3+41 上,a =2,b =2,|AD =J 2 + +•••△ ABC 为直角三角2229 16 255此时，| AQ = 9x + 16y = 4+ = ~4 . ''' I AD = 2”/rr'5. 若函数y = sin 3 x + 3cos 3 x 的图象关于直线 x =— g 对称，则 w 的最小正值为( )A.3D. 6答案 Cn n n、.=± 1,即—w + 3 = k n + —( k € Z)，解得w = — 6k — 1,可得w 的最小正值为5.选C. 6.[2015 •兰州双基测试 ]如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为( )正视图侧视图俯视图A.10 nB. 8 nC.6 nD. 9 n答案 B解析由三视图可知该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥所得，所以其体积为圆柱的体、 1积减去圆锥的体积，为： 4 n X 3— 3X4 n X 3= 8n .3二、填空题7. ____________________________ 若f (x )是定义在R 上的函数，对任意实数x 都有f (x + 3) <f (x ) + 3和f (x + 2) > f (x ) + 2，且 f (1) = 1，则 f (2014) = .B. 4C.5解析由题意得 y = sin 3 x +• 3cos w x = 2sin 由题意知 sin答案2014解析•/ f(x+ 1) < f(x+ 3) —2< f(x) + 3 —2= f(x) + 1, f(x + 1) > f (x + 4) —3> f (x + 2) + 2 —3> f (x) + 4—3 = f (x) + 1,A f(x) + K f(x+ 1) < f(x) + 1./. f (x+ 1) —f (x) = 1.•••数列｛f ( n )｝为等差数列，且f (1) = 1, d = 1. ••• f (2014) = f (1) + 2013X 1= 2014.3a - 2b +1>0,8.设实数a , b 满足3a + 2b -4>0,a w 1,由x 2+ y 2的几何含义可知表示原点到点 (x,y )距离的平方，由可行域如图可知,2 2 2 2距原点最远，故(x + y ) max = 3 + 4 = 25.9.在等差数列｛a n ｝中，右 &+ a 4 + a s + a 6 + a 7= 25,贝V a 2 + a s = ___________ 答案 10解析由 a 3 + a 4 + a s + a 6 + a 7= 25 得 5a s = 25,所以 a s = 5,故 a 2+ a s = 2a s = 10. 三、解答题x xx10. [2015 •大连双基]已知函数 f (x ) = 一 2sin^cos?— . 2sin (1)求f (x )的最小正周期;⑵求f (x )在区间［-n, 0］上的最小值.所以f (x )的最小正周期为2 n .3 nnn(2)因为一nW x < 0,所以一 w x + w —.4 44当x +nn=-nn, 即 x =-亍时，f (x )取得最小值.则9a 2+ 4b 2的最大值是 ________则问题转化为已知x - y +1 > 0, x + y -4> 0,求x 2 + y 2的最值问题.点(3,4)解析令3a = x,(1)因为 f (x )= x -¥(1—cos x ) = sin11. 已知函数 f (x ) = x — x , g (x ) = a ln x ,其中 x >0, a € R,令函数 h (x ) = f (x ) — g (x ). X (1)若函数h (x )在(0,+s )上单调递增，求 a 的取值范围；⑵ 当a 取⑴ 中的最大值时，判断方程h (x ) + h (2 — x ) = 0在(0,1)上是否有解，并说明理由.(1) T h (x ) = f (x ) — g (x ),2,… ， 1 a x — ax +1••• h (x ) = f (x ) — g (x ) = 1 + x , — x = x^21依题意，知不等式 x — ax +1》0在区间(0，+m)上恒成立，即 a w x —在区间(0， +xg )上恒成立，解得 a w 2,即a 的取值范围为(一汽 2］.t丄 1(2)当 a = 2 时，h (x ) = x — x — 2ln x .x• h (x ) + h (2 — x ) = 2— x — — 2ln [ x (2 — x )]. z\. z\.2令 t = x (2 — x ) € (0,1)，构造函数 $ (t ) = 2 — - — 2ln t , 2 2 2 ― 2tT $ ' (t)=严一-=严＞0恒成立，•函数$ (t )在(0,1)上单调递增，且 $ (1) = 0. 2• $ (t ) = 2 — - — 2ln t = 0 在(0,1)上无解. 即方程h ( x ) + h (2 — x ) = 0在(0,1)上无解.12. [2015 •山西考前质量监测]如图，四棱锥P — ABC 冲，底面ABC [为梯形，PDL 底面 ABCDAB// CD ADL CD AD= AB= 1, BC=^/2.P(2)设H 为CD 上一点，满足CH= 2HD 若直线PC 与平面PBD 所成的角的正切值为所以f (X )在区间［—n, 0］上的最小值为 2 -求二面角H- PB- C的余弦值.解 ⑴ 证明：由 ADL CD AB// CD AD= AB= 1,可得 BD=J 2.又 BC=Q 2,「. CD= 2, ••• BC LBD•/ PDL 底面 ABCD ： PD L BC 又 PDA BD= D,• BC L 平面 PBD •平面PBDL 平面PBC⑵由⑴可知/ BPC 为PC 与平面PBD 所成的角,• tan / BPC=」取 X2= 1,贝U m= (1,1,2)4 CH=3, 2 DH= 3.则 B (1,1,0),R0,0,1) , C (0,2,0) , H 0 , 1 , 0 .厂fHP- n = 0 设平面HPB 的法向量为n = (x i ,y i ,z i )，贝UHB- n = 02 —3『1 + Z 1 = 0 ,即1X +3丫=0取 y i = - 3,贝U n = (1 , - 3, - 2). 设平面PBC的法向量为 m ^(X 2, y 2 , Z 2),PB- m= 0 则 BC- m = 0X 2 + y 2 — Z 2= 0 —X 2 + y 2= 0以点D 为坐标原点，DA DC , DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.又cos〈mn>n rn观察可知二面角H— PB- C为锐角,故二面角H— PB- C的余弦值为-215解法二：由AD- xAB+ yAC,得x + y= 1 且x>0 , y>0.2=才（当且仅当x = y= f时取得）•11。

高考数学二轮复习考前三个月冲刺穿插滚动练习理(二)新人教A版

高考数学二轮复习考前三个月冲刺穿插转动练习理（二）新人教 A 版内容：会合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量一、选择题1．设会合 U ＝ { x|x<3} ，A＝ { x|x<1} ，则 ?U A 等于()A ． { x|1≤ x<3}B ． { x|1<x≤ 3}C．{ x|1<x<3} D ．{ x|x≥ 1}答案A分析由于 U＝ { x|x<3} ， A＝ { x|x<1} ，则 ?U A＝ { x|1≤ x<3} ，选 A.2．“ θ≠π() 3”是“ cos θ≠1”的2A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件答案B分析ππ1”由于“ cos θ＝1”是“θ＝”的必需不充足条件，所以“ θ≠ ”是“ cos θ≠2332的必需不充足条件，选 B.3．定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如下图，则在(－ 2,0)上，以下函数中与f(x)的单调性不一样的是()A ． y＝ x2＋ 1B．y＝ |x|＋ 12x＋1 x≥ 0C．y＝x3＋ 1 x<0xe x≥ 0D． y＝－x x<0e答案C分析利用偶函数的对称性知f( x)在 (－ 2,0)上为减函数，又y＝2x＋1 x≥0，在 (－x3＋ 1 x<02,0)上为增函数，应选 C.π4．设函数 f(x)＝ sin(2x ＋6)，则以下结论正确的选项是()πA ． f(x)的图象对于直线 x ＝对称3πB ．f(x)的图象对于点 (6， 0)对称 πC ．f(x)的最小正周期为π，且在 [0，12] 上为增函数π个单位，获得一个偶函数的图象D ．把 f( x)的图象向右平移 12答案 C分析对于函数π2πf(x)＝ sin(2x ＋ )， T ＝＝ π；6 2当 x ∈ [0， π π π ππ12 ]时， 2x ＋ ∈ [ ， ] ， ∴ f( x)在 [0，12 ]上为增函数，故 C 对．6 6 3 5．若函数 y ＝ f(x)(x ∈ R)知足 f(x ＋2)＝ f(x)，且 x ∈[－ 1,1] 时， f(x)＝|x|，函数 g(x)＝sin x π， x>0－ 1， x<0，则函数 h(x)＝ f(x)－ g( x)在区间 [－ 5,5] 上的零点的个数为()xA ．10B ． 9C ． 8D ．7答案 B分析由 f(x ＋ 2)＝ f( x)可知，函数 f(x)是周期为 2 的周期函数．在同向来角坐标系中画出函数 f(x)与函数 g( x)的图象，联合图象可知，函数h(x) 在 [－ 5,5]上有 9 个零点．6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备花费为800 元．若每批生产 x 件，则均匀仓x1 元．为使均匀到每件产品的生产准备费储时间为 8天，且每件产品每日的仓储花费为用与仓储花费之和最小，每批应生产产品()A ．60 件B ．80 件C ．100 件D ．120 件答案 B分析若每批生产 x 件产品，则每件产品的生产准备花费是800，储存花费是 x，总的费x 8用是 800 x ≥ 2800 x 800 xx ＋ ·＝ 20，当且仅当x＝时取等号，即 x ＝ 80.8x 887．设向量 a ＝ (1， x － 1)，b ＝ (x ＋ 1,3)，则“ x ＝ 2”是“ a ∥ b ”的()A ．充足但不用要条件B ．必需但不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件答案A分析依题意， a ∥ b? 3－(x － 1)(x ＋ 1)＝ 0? x ＝ ±2，所以 “ x ＝ 2” 是 “ a ∥ b ” 的充足但不用要条件．π 3π→ →8．已知 A ，B ，C 三点的坐标分别是A(3,0)，B(0,3) ，C(cos α，sin α)，α∈，，若 AC·BC22＝－ 1，则1＋ tan α 的值为 ()2sin 2α＋ sin 2α59A ．－ 9B ．－ 5C ．2D ．3答案B→分析由 AC ＝ (cos α－3， sin α)，→BC ＝ (cos α，sin α－ 3)，→ →得 AC ·BC ＝ (cos α－3)cos α＋ sin α(sin α－ 3)＝－ 1，∴ sin α＋ cos α＝ 2 5 ，， ∴ 2sin αcos α＝－ 93 sin α1＋ tan α 1＋ cos α1 92sin 2 ＝＝＝－ .α＋ sin 2α 2sin 2 α＋ 2sin αcos α 2sin αcos α59．已知圆的半径为4， a 、 b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝ 16 2，则三角形的面积为()2A ．2 2B ．8 2 C. 2D. 2答案 C分析∵abcsin A ＝sin B ＝sin C ＝ 2R ＝ 8，∴ sin C ＝8c，1 1 abc ＝ 1 ×16 2＝ 2.∴ S ABC ＝ absin C ＝△216 1612b 的取值范围是()10．若 f(x) ＝－ x ＋ bln( x ＋2)在 (－ 1，＋∞ )上是减函数，则2A ．[－1，＋∞ )B ． (－1，＋∞ )C ．( －∞，－ 1]D ．(－∞，－ 1)答案 C分析∵ f ′(x)＝－ x ＋ b，由题意知 f ′ (x)≤ 0 在(－1，＋ ∞ )上恒成立，即－ x ＋ bx ＋ 2x ＋ 2 ≤ 0 在 (－1，＋ ∞ )上恒成立，于是 b ≤ x(x ＋ 2)的最小值，即 b ≤ －1.应选 C.1的最小值为()11．已知 a>0，b>0，且 2a ＋ b ＝ 4，则 ab11A ． 4B ． 4C ．2D ．2答案C分析由 2a ＋ b ＝ 4，得 2 2ab ≤ 4，即 ab ≤ 2，1 1又 a>0， b>0，所以 ab ≥ 2，11当且仅当 2a＝ b，即 b＝ 2， a＝ 1 时，ab获得最小值2.应选 C.12．给出以下四个命题，此中不正确的命题为()①若 cos α＝ cos β，则α－β＝2kπ， k∈ Z；ππ②函数 y＝ 2cos2x＋3的图象对于 x＝12对称；③函数 y＝ cos(sin x)(x∈ R)为偶函数；④函数 y＝ sin|x|是周期函数，且周期为2π.A ．①②B ．①④C．①②③ D ．①②④答案D分析命题①：若α＝－β，则 cos α＝ cos β，假命题；命题②：x＝ππ12，cos 2x＋3＝ cosπππ2＝ 0，故 x＝12不是 y＝ 2cos 2x＋3的对称轴；命题④：函数 y＝ sin|x|不是周期函数．二、填空题1a 的取值范围是 ________．13．函数 f(x)＝ x3－ x2＋ ax－ 5 在区间 [－ 1,2]上不但一，则实数3答案(－ 3,1)分析∵ f(x)＝1x3－ x2＋ ax－5，∴ f′ (x)＝ x2－ 2x＋ a＝ (x－ 1)2＋a－ 1，假如函数 f(x)＝1 33 x3－ x2＋ ax－ 5 在区间 [－ 1,2]上单一，那么 a－ 1≥ 0 或 f ′(－1) ＝3＋ a≤ 0 且 f′(2) ＝a≤ 0，∴ a≥1 或 a≤ －3.于是知足条件的a∈ (－ 3,1)．y→→14．平面上有三个点A(－ 2， y)，B 0，2， C(x， y)，若 AB ⊥BC，则动点 C 的轨迹方程为__________．答案y2＝8x (x≠ 0)→y→y分析由题意得AB＝ 2，－2， BC＝ x，2，→→→ →又 AB⊥ BC，∴AB·BC＝ 0，即2，－yx，y22·2＝0，化简得 y＝ 8x (x≠ 0)．15．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝→ →2，BC＝ 2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若 AB·AF＝→ →的值是 ________．2，则 AE·BF答案2分析以 A 为坐标原点， AB， AD 所在的直线分别为x， y 轴成立直角坐标系，则B( 2， 0)， E( 2，1)， D(0， 2)， C( 2，2)．设 F(x,2)(0 ≤ x ≤→ →2)，由 AB ·AF ＝ 2? 2x＝ → → 2， 1) (1·－ 2， 2)＝ 2.2? x ＝ 1，所以 F(1,2) ，AE ·BF ＝ (π 1 ；16．①存在 α∈(0， )使 sin α＋cos α＝2 3②存在区间 (a ， b)使 y ＝cos x 为减函数且 sin x<0；③ y ＝ tan x 在其定义域内为增函数；π④ y ＝ cos 2x ＋ sin( － x)既有最大、最小值，又是偶函数；2π⑤ y ＝ |sin 2x ＋6|的最小正周期为 π.以上命题错误的为 ________(填序号 )．答案 ①②③分析π ① 当 α∈ (0， )时，sin α＋ cos α>1，故 ① 错；② 若 y ＝ cos x 为减函数，则 x ∈ [2k π，2π＋ 2k π]，k ∈ Z ，此时 sin x>0，故 ②错；③ 当 x 分别取 π，2π时，y 都是 0，故 ③ 错；④∵ yπ＝ cos 2x ＋sin( 2－ x)＝ 2cos 2 x ＋cos x － 1， ∴该函数既有最大、最小值，又是偶函数，故π④ 对； ⑤ 画出图象可得 y ＝|sin 2x ＋6|的最小正周期为π，故 ⑤ 对．三、解答题17．设函数 f(x)＝ ax 2＋ (b － 2)x ＋ 3(a ≠ 0)，若不等式 f( x)＞ 0 的解集为 (－ 1,3)．(1)求 a ， b 的值；(2)若函数 f(x)在 x ∈ [m,1]上的最小值为1，务实数 m 的值．－ 1＋ 3＝－ b － 2a，解得： a ＝－ 1， b ＝ 4.解 (1)由条件得3－ 1× 3＝a ，(2) f (x)＝－ x 2＋ 2x ＋ 3，对称轴方程为 x ＝1， ∴ f(x)在 x ∈ [m,1]上单一递加．∴ x ＝ m 时， f(x)min ＝－ m 2＋ 2m ＋ 3＝ 1，解得 m ＝ 1 ± 3.∵ m ＜ 1， ∴ m ＝ 1－ 3.18．已知△ ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ， 21，且 c ＝3sin Ccos C － cos C ＝ 23.(1)求角 C ；(2)若向量 m ＝ (1， sin A)与 n ＝ (2， sin B)共线，求 a 、b 的值．1解 (1)∵ 3sin Ccos C － cos 2C ＝，2∴31π2 sin 2C －2cos 2C ＝ 1，即 sin2C －6＝ 1，π π π∵ 0＜C ＜ π，∴ 2C －＝，解得C ＝ .623(2)∵ m 与 n 共线， ∴ sin B － 2sin A ＝ 0，由正弦定理 a＝ b ，得 b ＝ 2a ，①sin A sin B∵ c ＝ 3，由余弦定理，得9＝ a 2＋ b 2－ 2abcos π②3 ，联立方程 ①② ，得a ＝ 3，b ＝ 2 3.19．已知函数 f(x)＝ x 3－ 3ax 2＋3x ＋ 1.(1)设 a ＝ 2，求 f(x)的单一区间；(2)设 f(x)在区间 (2,3) 中起码有一个极值点，求 a 的取值范围 .解 (1)当 a ＝2 时， f(x)＝ x 3－ 6x 2＋ 3x ＋ 1. f ′ (x)＝3x 2－12x ＋ 3＝ 3(x 2－ 4x ＋ 1)＝ 3(x － 2＋ 3)(x － 2－ 3)．当 x ＜ 2－ 3，或 x ＞ 2＋ 3时，得 f ′ (x)＞ 0；当 2－ 3＜ x ＜ 2＋ 3时，得 f ′ (x)＜ 0.所以 f(x)的递加区间是 (－ ∞ ， 2－ 3)与 (2＋ 3，＋ ∞ )；f(x)的递减区间是 (2 － 3，2＋ 3)．(2)f ′ (x)＝ 3x 2－ 6ax ＋3，＝ 36a 2 －36，由＞0 1 2得， a ＞ 1 或 a ＜－ 1，又 x x ＝ 1，可知 f ′ (2)＜ 0，且 f ′(3) ＞0，5 5解得 4＜ a ＜ 3，55所以 a 的取值范围是4，3 .20．已知向量 m ＝ (sin x,1)，n ＝3cos x ， 1，函数 f(x)＝(m ＋ n) ·m.2(1)求函数 f(x)的最小正周期T 及单一递加区间；(2)已知 a ，b ，c 分别为△ ABC 内角 A ，B ，C 的对边， A 为锐角， a ＝ 23，c ＝ 4，且 f(A)π 是函数 f(x)在 0，2 上的最大值，求△ABC 的面积 S.1 1－ cos 2x3 1 3解 (1)f(x)＝ (m ＋ n) ·m ＝ sin 2x ＋ 1＋ 3sin xcos x ＋＝2＋ 1＋2sin 2x ＋＝2221πsin 2x － 2cos 2x ＋2＝ sin 2x － 6 ＋ 2.2π 由于 ω＝2，所以 T ＝ 2 ＝ π.πππ由 2k π－2≤ 2x －6≤ 2k π＋ 2(k ∈ Z) π π得 k π－ ≤ x ≤ k π＋ ( k ∈ Z)，63πππ(2)由 (1) 知， f(A) ＝sin 2A － 6 ＋ 2，π π π 5π又 A ∈ 0，2 ，∴－ 6<2A －6< 6 .π π由正弦函数图象可知，当 2A －6＝ 2，π即 A ＝ 3时， f(x)获得最大值 3，由余弦定理， a 2＝ b 2 ＋ c 2－2bccos A.21可得 12＝ b ＋ 16－ 2× 4b × 2， ∴ b ＝ 2.1 1 ×2× 4× sin π进而 S ＝ bcsin A ＝3 ＝2 3. 2 221．某地需要修筑一条大型输油管道经过240 公里宽的荒漠地带，该段输油管道两头的输油站已建好，余下工程是在该段两头已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修筑增压站 (又称泵站 )．经估算，修筑一个增压站的工程花费为 400 万元，铺设距离为 x 公里的相邻两增压站之间的输油管道花费为 x 2＋ x 万元．设余下工程的总花费为y 万元．(1)试将 y 表示成 x 的函数；(2)需要修筑多少个增压站才能使 y 最小，其最小值为多少？解 (1)设需要修筑 k 个增压站，240则 (k ＋ 1)x ＝ 240，即 k ＝ x － 1.2402240296 000所以 y ＝400k ＋ (k ＋ 1)(x ＋ x)＝ 400 x － 1 ＋ x (x ＋ x)＝ x ＋240x － 160.由于 x 表示相邻两增压站之间的距离，则 0< x ≤240.故 y 与 x 的函数关系是 y ＝96 000＋ 240x － 160(0<x ≤ 240)．x(2)y ＝ 96 000 ＋ 240x － 160≥ 296 000·240x － 160＝ 2× 4 800－ 160＝ 9 440.x x96 000当且仅当＝ 240x ，即 x ＝ 20 时取等号．此时， k ＝240x － 1＝24020－ 1＝ 11.故需要修筑 11 个增压站才能使 y 最小，其最小值为 9 440 万元．22．设函数 f(x)＝ln x －p(x － 1)， p ∈ R.(1)当 p ＝ 1 时，求函数 f(x)的单一区间；1(2)设函数 g(x)＝ xf( x)＋p(2x 2－x － 1)(x ≥ 1)，求证：当 p ≤－ 2时，有 g(x)≤ 0. (1)解当 p ＝1 时， f(x)＝ ln x －x ＋ 1，其定义域为 (0，＋ ∞)，1 ∴ f ′ (x)＝ x － 1，由 f ′ (x)＝1x － 1＞0，得 0＜x ＜ 1，由 f′ (x)<0 ，得 x>1，∴f(x)的单一递加区间为 (0,1)，单一递减区间为 (1，＋∞ )．(2)证明由函数g(x)＝xf(x)＋p(2x2－x－1)＝xln x＋ p(x2－ 1)，得 g′ (x)＝ ln x＋ 1＋2px.由 (1)知，当 p＝ 1 时， f(x)≤ f(1) ＝0，即不等式 ln x≤ x－ 1 成立，1所以当 p≤ －2时， g′ (x)＝ ln x＋ 1＋ 2px≤ (x－ 1)＋ 1＋2px＝ (1＋ 2p)x≤ 0，即 g(x)在 [1，＋∞) 上单一递减，进而 g(x)≤ g(1)＝ 0 知足题意．。

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