弦切角的性质

图2 18
O
BAC CAP PAB 90 PAB,
0
而 PAB PCB, 所以BCE BAC. 综上所述 , 猜想成立 .
在图2 15 中,由于BDE 是由一条弦和一条切 线组成的角,因此给它取名为弦切角 .即 : 顶点在 圆上, 一边和圆相交, 另一边和圆相切的角叫 做 弦切角. 于是我们可以将上述经 过证明后的猜想表述为: 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的 圆周角. 由上述定理的发现和证明过程可以看到 , 对一
全国名 在图 2 14中,以点D 为中心旋转直线 DE ,同时 保证直线 BC 与DE 的交点 落 在 圆周上 .当 DE 变为圆 的 切 线 时 如图 2 15 , 你 能发现什么现象?
D C A B E
图2 14
DC E
在图2 14中, 根据圆内接四 边形的性质, 有BCE A. 在 图 2 15 中 , D E 是切 线 , BCE A仍然成立吗?
单击图标.打开几何画板, 通过实验进行观察 .
A B
图2 15
猜想 ABC是圆O的内接三角 形 , CE 是圆O的切线, 则BCE A .
分析 延用从特殊到一般的思 路, 先分析 ABC 为直角三形时的情 形, 再将锐角三角形和钝角 三角形 的情形化归为直角三角 形的情形.
A
C
E
O
B
图2 16
证明 1如图 2 16, 圆心O在ABC的边BC上, 即ABC是直角三角形 . 因为CE是切线, 所以BCE 900. 0 又因为 A是半圆上的圆周角 , 所以A 90 , 因此, BCE A.
而 PAB PCB, 所以BCE BAC.
3如图 2 18 , 圆心 O在
ABC外部 , 即三角形为 钝角三角形 .作圆 O的直 径CP, 连接 AP, 则PCE CAP 900. 因为 BCE PCE
PCB 90 PCB,
0
E C
O
A B P
单击图标, 进行实验 .
B
O
A
E
C
D
图2 19
证明 连接BC. 因为AB是圆 O的直径, 所以ACB 900.则 B CAB 900.又因为 AD CE, 所以ADC 0 0 90 .则ACD DAC 90 . 因为AC是弦, 且 直线CE和圆O切于点 C, 所以ACD B. 因此, DAC CAB, 即AC平分BAD.
2如图 2 17, 圆心 O在
ABC的内部 , 即 ABC 为锐角三角形 .作圆 O 的直径 CP, 连接 AP, 则 PCE CAP 90 .
0
E C
O
A P
B
因为 BCE PCE PCB 900 PCB,
0
图2 17
BAC CAP PAB 90 PAB,
个图形进行适当的变化 , 往往能够发现几何中 的一些有价值的结论.另外, 猜想的证明渗透了 分类思想、运动变化思想和化归思想, 你能从 中体会这些思想方法吗?
例1 如图2 19, AB 是圆O的直 径, AC是弦, 直线 CE 和圆 O切于 点 C , AD CE , 垂足为D . 求证 : AC平分BAD.