数值分析2-4(埃尔米特插值)
数值分析插值法
数值分析插值法插值法是数值分析中的一种方法，用于通过已知数据点的函数值来估计介于这些数据点之间的未知函数值。
插值法在科学计算、数据处理、图像处理等领域中得到广泛应用。
插值法的基本思想是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数逼近未知函数，并在已知数据点处与未知函数值相等。
插值法的关键是选择适当的插值函数，以保证估计值在插值区间内具有良好的近似性质。
常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。
以下将分别介绍这些插值法的原理及步骤：1. 拉格朗日插值法：拉格朗日插值法通过构造一个多项式函数来逼近未知函数。
假设已知n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中x0, x1, ..., xn为给定的节点，y0, y1, ..., yn为对应的函数值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为：L(x) = y0 * l0(x) + y1 * l1(x) + ... + yn * ln(x)其中l0(x), l1(x), ..., ln(x)为拉格朗日基函数，定义为：li(x) = (x - x0)(x - x1)...(x - xi-1)(x - xi+1)...(x - xn) / (xi - x0)(xi - x1)...(xi - xi-1)(xi - xi+1)...(xi - xn)拉格朗日插值法的步骤为：a. 计算基函数li(xi)的值。
b.构造插值多项式L(x)。
c.计算L(x)在需要估计的插值点上的函数值f(x)。
2.牛顿插值法：牛顿插值法通过构造一个差商表来逼近未知函数。
差商表的第一列为已知数据点的函数值，第二列为相邻数据点的差商，第三列为相邻差商的差商，以此类推。
最终，根据差商表中的数值，构造一个差商表与未知函数值相等的多项式函数。
牛顿插值法的步骤为：a.计算差商表的第一列。
b.计算差商表的其他列，直至最后一列。
c.根据差商表构造插值多项式N(x)。
埃尔米特(Hermite)插值
实验二埃尔米特（Hermite）插值一、实验目的：1.掌握埃尔米特插值算法原理；2.使用C语言编程实现埃尔米特插值算法。
二、实验准备：阅读《数值分析》2.4节二、实验要求：某人从甲地开车去乙地，每隔一段时间对行车距离和速率进行一次采样，得到在n+1 个采样时刻点t i 的里程s i和速率v i（i=0, 1, ..., n）。
要求编程构造埃尔米特插值多项式H2n+1(t)，满足H2n+1(t i)=s i，H'2n+1(t i)=v i，对所有i=0, 1, ..., n成立，并据此计算m个给定时刻的里程和速率。
函数接口定义：void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] );其中N为采样点个数（注意这个N不是公式中的最大下标n，而是等于n+1），采样时刻点t i、里程s i、速率v i分别通过t、s、v传入；m是需要估算的给定时刻的个数，ht传入给定的时刻点，相应计算出的里程和速率应分别存储在hs和hv中。
裁判程序如下：裁判输入数据：20.0 1.00.0 1.00.0 0.050.0 0.2 0.5 0.8 1.030.0 0.5 1.0100.0 170.0 200.030.0 150.0 0.050.0 0.25 0.5 0.75 1.050.0 1.0 2.0 3.0 4.00.0 60.0 160.0 260.0 300.05.0 70.0 100.0 120.0 20.0100.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 3.8 3.95 4.0标准输出数据：0.0000 0.1040 0.5000 0.8960 1.00000.0000 0.9600 1.5000 0.9600 0.0000100.0000 127.9297 170.0000 195.9766 200.000030.0000 165.4688 150.0000 52.9688 0.000030.2222 60.0000 105.9303 160.0000 206.3438 260.0000 307.9764 305.7687 299.9796 300.000062.6024 70.0000 109.0488 100.0000 92.9745 120.0000 41.2374 -44.8421 -16.2783 20.0000#include<stdio.h>#define MAXN 5 /* 最大采样点个数 */#define MAXM 10 /* 最大估算点个数 */void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] ){double l[10],p[10],h1[10],h2[10],x,ll[10],pp[10];int kk;for(kk=0;kk<m;kk++){x=ht[kk];hs[kk]=0;hv[kk]=0;int i;for(i=0;i<N;i++){l[i]=1;ll[i]=1;int j;for(j=0;j<N;j++){if(i!=j){l[i]=l[i]*(x-t[j])/(t[i]-t[j]);}}p[i]=0;pp[i]=0;int k;for(k=0;k<N;k++){if(i!=k){p[i]=p[i]+l[i]/(x-t[k]);pp[i]=pp[i]+ll[i]/(t[i]-t[k]);}}h1[i]=(1-2*pp[i]*(x-t[i]))*l[i]*l[i];h2[i]=(x-t[i])*l[i]*l[i];hs[kk]=hs[kk]+s[i]*h1[i]+v[i]*h2[i];int kkk;for(kkk=0;kkk<N;kkk++){if(x==t[kkk])break;}if(x==t[kkk])hv[kk]=v[kkk];elsehv[kk]=hv[kk]+s[i]*(2*p[i]*l[i]-4*l[i]*p[i]*(x-t[i])*pp[i]-2*pp[i]*l[ i]*l[i])+v[i]*(l[i]*l[i]+2*l[i]*p[i]*(x-t[i]));}}}int main(){int N, m;double t[MAXN], s[MAXN], v[MAXN]; /* 用于构造的数据 */double ht[MAXM], hs[MAXM], hv[MAXM]; /* 用估算的数据 */int i;while ( scanf("%d", &N) != EOF ) {for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &t[i]);for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &s[i]);for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &v[i]);scanf("%d", &m);for ( i=0; i<m; i++ )scanf("%lf", &ht[i]);Hermite_Interpolation( N, t, s, v, m, ht, hs, hv );for ( i=0; i<m; i++ )printf("%.4lf ", hs[i]);printf("\n");for ( i=0; i<m; i++ )printf("%.4lf ", hv[i]);printf("\n\n");}return 0; }。
埃尔米特插值法
埃尔米特插值法1. 引言埃尔米特插值法是一种用于数据插值的数值方法。
它通过给定的数据点来构造一个多项式函数，该函数在这些数据点上与给定的函数具有相同的函数值和导数值。
埃尔米特插值法可以应用于各种领域，如数学、物理、计算机图形学等。
2. 插值问题在实际问题中，我们常常需要根据已知数据点来估计未知数据点的函数值。
这就是插值问题。
给定n个不同的数据点(x0,y0),(x1,y1),...,(x n,y n)，我们希望找到一个多项式函数P(x)，使得P(x i)=y i对所有i=0,1,...,n成立。
3. 埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式是满足以下条件的多项式： - 在每个已知数据点上具有相同的函数值：P(x i)=y i - 在每个已知数据点上具有相同的导数值：P′(x i)=m i其中m i是给定的导数值。
为了构造埃尔米特插值多项式，我们需要利用这些条件来确定其系数。
4. 构造埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式的一般形式为：P(x)=∑ℎini=0(x)⋅y i+∑g ini=0(x)⋅m i其中ℎi(x)和g i(x)是满足以下条件的基函数： - ℎi(x j)=δij，其中δij是克罗内克（Kronecker）符号，当i=j时取值为1，否则为0。
- g i(x j)=0对所有i,j成立。
基于这些条件，我们可以求解出基函数ℎi(x)和g i(x)的表达式，并将其代入埃尔米特插值多项式的公式中。
5. 插值误差估计在实际应用中，我们通常需要估计插值多项式的误差。
通过使用泰勒展开和拉格朗日余项定理，可以得到以下插值误差的估计公式：f(x)−P n(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)(x−x1)...(x−x n)其中f(n+1)(ξ)是函数f(x)在x0,x1,...,x n之间某个点ξ处的(n+1)阶导数。
6. 示例假设我们有以下数据点：(0,1),(1,2),(2,−1)。
我们希望通过这些数据点构造一个埃尔米特插值多项式。
2.4埃尔米特插值
2 1
x − x0 x −x 0 1
2
2
β 0 ( x ) = ( x − x0 ) ⋅ l02 ( x ) = ( x − x0 ) x − x1 x −x 1 0
β 1 ( x ) = ( x − x1 ) ⋅ l ( x ) = ( x − x1 )
两个节点就可以用2 × 1 + 1 = 3次多项式作为插值函数
( 2 ) 同样 , 若要求P( x )在[ a , b ]上具有m阶导数( m阶光滑度) 显然P( x )在节点 x0 , x1 ,⋯ , xn处必须满足
P( xi ) = f ( xi ) = yi
P′( xi ) = f ′( xi ) = yi′ P′′( xi ) = f ′′( xi ) = yi′′
其中
α 0 ( x0 ) = 1
α 1 ( x0 ) = 0
α 0 ( x1 ) = 0
α 1 ( x1 ) = 1 β 0 ( x1 ) = 0
′ α 0 ( x0 ) = 0 ′ α 1 ( x0 ) = 0 ′ β 0 ( x0 ) = 1 ′ β 1 ( x0 ) = 0
′ α 0 ( x1 ) = 0
所以,两点三次Hermite插值的余项为
f ( 4 ) (ξ ) R3 ( x ) = ( x − x0 )2 ( x − x1 )2 4!
x0 ≤ ξ ≤ x1
以上分析都能成立吗？
当f ( 4 ) ( x )在[ x0 , x1 ]上存在且连续时 , 上述余项公式成立
例.
已知f ( x )在节点1，处的函数值为f (1) = 2 , f ( 2 ) = 3 2 f ( x )在节点1，处的导数值为f ′(1) = 0 , f ′( 2 ) = −1 2
埃尔米特(Hermite)插值
实验二埃尔米特（Hermite）插值一、实验目的：1.掌握埃尔米特插值算法原理；2.使用C语言编程实现埃尔米特插值算法。
二、实验准备：阅读《数值分析》2.4节二、实验要求：某人从甲地开车去乙地，每隔一段时间对行车距离和速率进行一次采样，得到在n+1 个采样时刻点t i 的里程s i和速率v i（i=0, 1, ..., n）。
要求编程构造埃尔米特插值多项式H2n+1(t)，满足H2n+1(t i)=s i，H'2n+1(t i)=v i，对所有i=0, 1, ..., n成立，并据此计算m个给定时刻的里程和速率。
函数接口定义：void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] );其中N为采样点个数（注意这个N不是公式中的最大下标n，而是等于n+1），采样时刻点t i、里程s i、速率v i分别通过t、s、v传入；m是需要估算的给定时刻的个数，ht传入给定的时刻点，相应计算出的里程和速率应分别存储在hs和hv中。
裁判程序如下：裁判输入数据：20.0 1.00.0 1.00.0 0.050.0 0.2 0.5 0.8 1.030.0 0.5 1.0100.0 170.0 200.030.0 150.0 0.050.0 0.25 0.5 0.75 1.050.0 1.0 2.0 3.0 4.00.0 60.0 160.0 260.0 300.05.0 70.0 100.0 120.0 20.0100.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 3.8 3.95 4.0标准输出数据：0.0000 0.1040 0.5000 0.8960 1.00000.0000 0.9600 1.5000 0.9600 0.0000100.0000 127.9297 170.0000 195.9766 200.000030.0000 165.4688 150.0000 52.9688 0.000030.2222 60.0000 105.9303 160.0000 206.3438 260.0000 307.9764 305.7687 299.9796 300.000062.6024 70.0000 109.0488 100.0000 92.9745 120.0000 41.2374 -44.8421 -16.2783 20.0000#include<stdio.h>#define MAXN 5 /* 最大采样点个数 */#define MAXM 10 /* 最大估算点个数 */void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] ){double l[10],p[10],h1[10],h2[10],x,ll[10],pp[10];int kk;for(kk=0;kk<m;kk++){x=ht[kk];hs[kk]=0;hv[kk]=0;int i;for(i=0;i<N;i++){l[i]=1;ll[i]=1;int j;for(j=0;j<N;j++){if(i!=j){l[i]=l[i]*(x-t[j])/(t[i]-t[j]);}}p[i]=0;pp[i]=0;int k;for(k=0;k<N;k++){if(i!=k){p[i]=p[i]+l[i]/(x-t[k]);pp[i]=pp[i]+ll[i]/(t[i]-t[k]);}}h1[i]=(1-2*pp[i]*(x-t[i]))*l[i]*l[i];h2[i]=(x-t[i])*l[i]*l[i];hs[kk]=hs[kk]+s[i]*h1[i]+v[i]*h2[i];int kkk;for(kkk=0;kkk<N;kkk++){if(x==t[kkk])break;}if(x==t[kkk])hv[kk]=v[kkk];elsehv[kk]=hv[kk]+s[i]*(2*p[i]*l[i]-4*l[i]*p[i]*(x-t[i])*pp[i]-2*pp[i]*l[ i]*l[i])+v[i]*(l[i]*l[i]+2*l[i]*p[i]*(x-t[i]));}}}int main(){int N, m;double t[MAXN], s[MAXN], v[MAXN]; /* 用于构造的数据 */double ht[MAXM], hs[MAXM], hv[MAXM]; /* 用估算的数据 */int i;while ( scanf("%d", &N) != EOF ) {for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &t[i]);for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &s[i]);for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &v[i]);scanf("%d", &m);for ( i=0; i<m; i++ )scanf("%lf", &ht[i]);Hermite_Interpolation( N, t, s, v, m, ht, hs, hv );for ( i=0; i<m; i++ )printf("%.4lf ", hs[i]);printf("\n");for ( i=0; i<m; i++ )printf("%.4lf ", hv[i]);printf("\n\n");}return 0; }。
埃尔米特插值
即：x x j ( j i)是i (x)的二重根
因为i (x)得次数是2n 1
n
则：i (x) (ax b) (x x j )2 j0 ji
a和b由以下两式确定：
i (xi ) 1 i(xi ) 0
ii((xxj
) 0，j j ) 0，j
A 59 , 360
B 161 360
例5：给定如下数据表，求次数不高于3 次的代数多项式。
xi f(xi)
f (xi )
f ( xi )
x0 f(x0)
f ( x0 )
f (x0 )
x1 f(x1)
提示 H3 (x) H2 (x) A(x x0 )2 (x x1)
又：H
2
(0)
0
则：c 1
则：R2 (x) x(x 1)
则：H2 (x) L1(x) R2 (x) x2
再增加：
xi
1
yi
1
求 : H3(x),其中H3(x)满足：
xi
01
f(xi) 0
1
f (xi )
0
1
：H3(x) = H2 (x) + R3(x)
R3(0) = 0 其中：R3(1) = 0
例6：给定如下数据表，求首项系数为1 的4次的代数多项式。
xi
ab
f(xi) 0
f (xi )
0
0
f ( xi ) 0
提示 H3(x) H2 (x) c(x a)3
H2 (x) 0
xi
ab
f(xi) 0
f (xi )
0
0
f ( xi ) 0
数值分析4 埃尔米特插值演示教学
用剩下的插值条件列出方程
1 ? p(1) ? ? 5 ? (a ? b ? c)
? 1 ? p ' (1) ? ? 12 ? 3( a ? b ? c ) ? (2 a ? b )
2 ? p ( 2 ) ? ? 22 ? 8 ( 4 a ? 2 b ? c )
问题：
当剩余的条件多于一个时，应该如何处理 ？
把常数c改为一个多项式，此多项式采用 待定系数法的形式。
多项式的次数如何确定 ？
剩余条件个数 -1
分段低次插值
例：在[? 5,
5]上考察
f
(x)
?
1 1? x2
的Ln(x)。取
xi
?
?5? 10i n
(i ? 0, ...,n)
2.5
2
Ln(x) ? f (x)
f (x) ?
s1 ( x)
? ? ?
max f ?? ? i
xi ? x? xi?1
2!
( x ? xi )( x ? xi ? 1 )
? ? max f ?? x ? ? ? xi ? x ? xi? 1
2!
????
xj
? 2
xi ????2
?
h
2 i
8
max
xi ? x? xi?1
f ?? x
数值分析4-埃尔米特插值
多项式插值余项的表示形式
从中我们可以发现多项式插值结果的余项组成规律：
如果已知条件有n个，则在余项中分母为n!； 相应的，分子上的导数阶数也是n；
如果条件中出现某点 xi的从 0阶直到 k阶的导数值 则在后面的因式中存在 （ x - x i ) k ? 1
数值分析中的插值算法及其应用
数值分析中的插值算法及其应用数值分析是研究解决数学问题的数值方法的一门学科。
其中，插值算法是数值分析中重要的方法之一。
插值是指在给定一些数据点的情况下，用一些方法建立一个函数，该函数可以在给定区间内的任何一点上计算出函数值。
插值方法有很多种，其中比较常用的有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种将一个多项式函数p(x)与一系列已知数据点相联系的方法。
假设给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，其中x1 < x2 < ... < xn，那么可以构造一个次数小于等于n-1的多项式函数p(x)满足p(xi) = yi，i=1,2,...,n。
设p(x)的表达式为：p(x) = Σyi li(x)其中，li(x)为拉格朗日基函数。
每个基函数都满足：li(xi) = 1, li(xj) = 0, j≠i基函数的表达式为：li(x) = Π[j≠i] (x - xj) / (xi - xj)利用拉格朗日插值法，可以在给定数据点的情况下，快速计算函数在其他点上的值。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种利用差商的方法建立插值多项式的方法。
相比于拉格朗日插值法，牛顿插值法更注重于递推计算。
给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，牛顿插值法可以建立一个关于x的n次多项式。
首先，定义一个差商：f[xi] = yif[xi, xi+1, ..., xj] = (f[xi+1, ..., xj] - f[xi, ..., xj-1]) / (xj - xi)差商f[xi, xi+1, ..., xj]是由区间(xi, xj)内的函数值f(xi), f(xi+1), ..., f(xj)所计算得到的。
定义一个新的多项式qk(x)，其中：qk(x) = f[x0, x1, ..., xk] + (x - xk) qk-1(x)其中q0(x) = f[x0]。
数值分析2-4(埃尔米特插值)
在数值分析中的应用
函数逼近
埃尔米特插值可以用于逼近复杂的函数，为 数值分析中的函数近似提供有效的方法。
数值积分
利用埃尔米特插值，可以将复杂的积分转化 为简单的数值计算，提高数值积分的精度和 效率。
THANKS
度和可靠性。
埃尔米特插值的优点和局限性
优点
埃尔米特插值多项式具有数值稳定性、 计算效率高、适用范围广等优点，在 实际应用中具有广泛的应用价值。
局限性
埃尔米特插值多项式对于复杂函数和 多维数据的插值效果可能不够理想， 需要结合其他算法进行优化。
05
埃尔米特插值的应用实例
一维数据的插值
预测股票价格
利用埃尔米特插值方法，可以根据历史 股票数据，预测未来的股票价格走势。
VS
气象预报
在气象学中，埃尔米特插值可以用于填补 气象观测数据的空缺，提高气象预报的准 确度。
多维数据的插值
地理信息系统
在地理信息系统中，埃尔米特插值可以用于生成高精度的地形地貌模型，为土地利用、城市规划等领 域提供支持。
环境监测
03
埃尔米特插值的实现方法
构造插值多项式
01
02
03
确定插值点
选择一组已知的插值点， 这些点是数据点的坐标。
构造多项式
根据已知的插值点，构造 一个多项式，使得该多项 式在每个插值点处的函数 值为已知的函数值。
确定多项式的阶数
根据插值点的数量和所需 的插值精度，确定多项式 的阶数。
计算插值节点的位置
二次插值的优点是对于非线性数据更 为准确，但计算量相对较大，且需要 更多的已知数据点。
埃尔米特(Hermite)插值
i0
i0
i0
n
H 2n1(x) i (x) y i (x) y ´
i0
H 2n1(x j )
n
i(x j ) f (x j )
n
i (x j ) f (x j )
n
i(x j ) f (x j )
i0
i0
i0
n
n
i (x j ) f (x j ) 0 0 ij f (x j ) 0 f (x j )
j0
x
j
)l
2 j
(
x)
f
(x j )
H2n+1(x)为满足条件 H (xi ) f (xi ), H (xi ) f (xi ) (i 0,1,,n) 的2n+1次Hermite插值多项式。
定理5.3 满足插值条件
H (xi ) f (xi ), H (xi ) f (xi ) (i 0,1,, n)
定理的证明可仿照Lagrange插值余项的证明方 法请同学们自行证明
实际中使用最广泛的是三次Hermite插值多项式,即
n=1的情况
1
1
H3 (x) j (x) f (x j ) j (x) f (x j )
j0
j0
0
Hale Waihona Puke (x)(1
2
x x0 x0 x1
)(
x x0
x1 x1
)
2
1
上式给出了2n+2个条件，可惟一确定一个次数不超过 2n+1的多项式H2n+1(x)，采用类似于求Lagrange插值多 项式的基函数方法求埃尔米特(Hermite)插值多项式 H2n+1(x)
java 数值计算方法 埃尔米特插值法
java 数值计算方法埃尔米特插值法埃尔米特插值法（Hermite Interpolation）是一种在给定一组已知点的情况下，通过构造一个多项式函数来逼近这些已知点的方法。
它是由法国数学家Charles Hermite在19世纪提出的，用于解决插值问题。
在数值计算中，插值是一种常见的技术，用于通过已知的离散数据点来估计未知点的值。
埃尔米特插值法在实际应用中具有广泛的用途，特别是在数学建模、计算机图形学和工程领域。
埃尔米特插值法的基本思想是通过构造一个多项式函数，使其在给定的已知点上与函数值和导数值都完全匹配。
这样就可以通过这个多项式函数来估计未知点的值。
具体而言，埃尔米特插值法要求已知点的函数值和导数值，然后构造一个多项式函数，使得该函数在已知点上的函数值和导数值与给定的值完全一致。
为了更好地理解埃尔米特插值法的原理，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一组已知点，包括点A(1, 2)和点B(2, 4)，我们希望通过这两个点来估计点C(1.5, ?)的函数值。
我们需要计算点A和点B的导数值。
根据插值法的定义，我们可以通过计算两个点之间的斜率来获得导数值。
在本例中，点A和点B 的斜率分别为2和2。
然后，我们可以构造一个多项式函数，使其在点A和点B上的函数值和导数值都与给定的值完全一致。
通过埃尔米特插值法的计算过程，我们可以得到一个多项式函数f(x) = 2x^2 - 2x + 2。
通过该函数，我们可以估计出点C的函数值为f(1.5) = 3.25。
埃尔米特插值法的优点是可以通过已知点的函数值和导数值来构造一个更准确的多项式函数。
这使得插值结果更加准确，可以更好地逼近原始函数。
此外，埃尔米特插值法还可以用于估计未知点的导数值，这在某些应用中非常有用。
然而，埃尔米特插值法也存在一些限制。
首先，它要求已知点的函数值和导数值必须是精确的，这在实际应用中往往很难满足。
其次，埃尔米特插值法在处理大量离散数据点时可能会导致计算复杂度过高，从而影响计算效率。
数值分析插值法
数值分析插值法数值分析是数学的一个分支，用于研究如何使用数值方法来近似和解决数学问题。
插值是数值分析的一个重要概念，它涉及到如何通过已知数据点的信息来估计未知数据点的值。
在本文中，我们将着重讨论插值法。
插值法是一种基于已知数据点的函数值，通过建立适当的插值函数来估计未知数据点的函数值的方法。
插值问题的目标是找到一个函数f(x)，使得f(x_i)=y_i(i=0,1,2,...,n)，其中x_i是已知的数据点，y_i是相应的函数值，n是已知数据点的数量。
然后，通过插值函数可以近似估计任意一个未知数据点的函数值。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。
下面我们将逐一介绍这些插值方法。
拉格朗日插值是一种利用拉格朗日多项式进行插值的方法。
拉格朗日多项式是一个多项式函数，满足通过已知数据点的函数值。
具体地说，设给定的已知数据点为(x_i,y_i)，我们需要找到一个多项式P(x)=y，使得P(x_i)=y_i。
拉格朗日插值多项式的形式如下：P(x)=Σ(y_i*l_i(x))其中l_i(x)是拉格朗日基函数，它定义为：l_i(x)=Π((x-x_j)/(x_i-x_j))(j≠i)牛顿插值是另一种常用的插值方法。
它通过使用差商来递归地计算插值多项式。
差商是一个递归定义的函数，用于计算多项式的系数。
设给定的已知数据点为(x_i,y_i)，我们需要找到一个多项式P(x)=y，使得P(x_i)=y_i。
牛顿插值多项式的形式如下：P(x)=y_0+(x-x_0)*f[x_0,x_1]+(x-x_0)*(x-x_1)*f[x_0,x_1,x_2]+...其中，f[x_i,x_j,...,x_k]是差商的定义，它可以通过递归公式计算得到：f[x_i,x_j,...,x_k]=(f[x_j,...,x_k]-f[x_i,...,x_{k-1}])/(x_k-x_i)埃尔米特插值是一种利用已知数据点及其导数信息进行插值的方法。
埃尔米特插值法
埃尔米特插值法埃尔米特插值法是一种利用已知数据点构建插值函数的方法，它可以通过给定的数据点来预测未知数据点的值。
这种方法是由德国数学家埃尔米特在19世纪末发明的，因此得名。
埃尔米特插值法的基本思想是利用已知数据点和其导数来构造一个多项式函数，该函数可以完美地通过这些数据点，并在每个点处具有相同的导数。
这样，就可以使用该多项式函数来计算任意位置处的函数值和导数。
具体而言，假设我们有n个数据点(xi,yi)，其中i=0,1,…,n-1。
我们还假设我们已经知道了每个数据点处的导数yi'。
那么，我们可以通过以下方式构造一个n次多项式函数p(x)：p(x) = Σ[i=0,n-1] Li(x)yi + Σ[i=0,n-1] Mi(x)yi'其中Li(x)和Mi(x)分别为拉格朗日插值基函数和埃尔米特插值基函数。
拉格朗日插值基函数Li(x)定义为：Li(x) = Π[j=0,j≠i,n-1] (x-xj)/(xi-xj)而埃尔米特插值基函数Mi(x)定义为：Mi(x) = [1-2(xi-x)/hi]L^2i(x) + (x-xi)/hi L'i(x)其中hi为第i个数据点的步长，即xi+1-xi，L'i(x)为Li(x)的一阶导数。
使用这些基函数，我们可以计算任意位置x处的函数值p(x)。
此外，我们还可以通过求导来计算p(x)在任意位置x处的导数。
具体而言，p(x)在位置x处的导数可以表示为：p'(x) = Σ[i=0,n-1] Mi'(x)yi + Σ[i=0,n-1] Mi(x)yi'其中Mi'(x)为Mi(x)的一阶导数。
需要注意的是，在实际应用中，我们通常不知道每个数据点处的精确导数值。
因此，我们需要根据已知数据点推断出这些导数值。
一种常见的方法是使用差分逼近法来估计数据点处的导数值。
总之，埃尔米特插值法是一个强大而灵活的插值方法，它可以用于各种不同类型的数据集，并且能够提供高精度和高效率的预测结果。
埃尔米特插值
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
6、Hermite插值余项 、 插值余项
定理 若 f ( x) 在插值区间 [a, b] 内有 2n + 2 阶导数 f (2 n + 2) ( x) ， 则对于任何 x ∈ [a, b] ，Hermite插值问题（a）、（b）的 余项为
则有
g ( x) = f ( x) − H ( x) − k ( x)[π ( x)]2 = R( x) − R ( x) = 0
g ( xi ) = 0(i = 0,1,L , n)
又由插值条件（ ） 得 又由插值条件（b）,得
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
可知 g (t ) 在区间 [a, b] 上有 n + 1 个二重零点xi (i 零点 x i 。
若已知函数 f ( x) 在插值区间 [a, b]上 n + 1个 互异的节点
x0 ,L , xn 处的函数值 f ( xi ) = f i及一阶导数值 f '( xi ) = f 'i
(i = 0,1,L , n)，求插值函数 H ( x) 满足条件：
（a） H ( x)是一个次数不超过 2n + 1次的多项式； （b）
将上式与定理中要证明的（ ）进行比较， 将上式与定理中要证明的（*）进行比较，可知只需证明
先将
的定值， x 看作不同于 xi 的定值，作辅助函数
f (ξ ) k ( x) = (2n + 2)!
(2 n + 2)
g (t ) = f (t ) − H (t ) − k ( x)[π (t )]2 ,
数值分析2-4(埃尔米特插值)
Hermite插值的方法： (1) 基函数方法 (2) 承袭性方法 注意：当给出某个点处的函数值及其各阶导数时，可 利用泰勒插值。待定
系数法本学期不能用！
作业： 习题 13, 14，15，16
（2）开关性 则可求得
0(0) 1,0(1) 0,0(0) 0 1(0) 0,1(1) 1,1(0) 0 0(0) 0, 0(1) 0, 0(0) 1
0( x) 1 x2 ,1( x) x2 , 0( x) x(1 x)
复习
前面我们已经学过两种插值方法，：Langrange插值法和Newton插值法。
共同点
1）插值条件相同，即
xi
x0 x1
yi = f(xi) y0 y1
2）求一个次数不超过n的代数多项式
… xn … yn
不同点
构造方法（思想）不同
Langrange插值法采用基函数的思想
Ln( x)
n i0
xi
0
1
yi = f(xi) y0
y1
yi f ( xi(x)
解： 用基函数的方法，设
H2 ( x) y00 ( x) y11( x) y0 0 ( x)
其中
0( x)是,基函1(数x，),满足0( x)
（1）都是2次多项式；
一、 Hermite插值多项式的定义
插值条件中除函数值插值条件外，还有导数值插值条件，即
已知：2n+2个条件
xi
x0
x1
yi = f(xi) y0 y1
yi f ( xi )
y0
y1
求:一个次数不超过2n+1的多项式H2n+1(x)
埃尔米特插值多项式
埃尔米特插值多项式简介埃尔米特插值多项式（Hermite Interpolation Polynomial）是一种常用的插值方法，用于通过给定的数据点集合来计算一个多项式，使得多项式在给定的数据点上与其函数值和导数值都完全匹配。
本文档将介绍埃尔米特插值多项式的原理、计算过程和应用。
基本原理埃尔米特插值多项式的基本思想是通过插值条件来求解多项式的系数。
给定数据点集合和对应的函数值和导数值，目标是找到一个多项式，使得多项式在给定的数据点上与其函数值和导数值都完全匹配。
首先，对于每一个给定的数据点，我们需要求解一个插值多项式。
插值多项式的次数应该比给定数据点的个数少 1。
例如，给定数据点集合{ (x0, f0, f'0), (x1, f1, f'1), ... , (xn, fn, f'n) }，我们需要找到一个次数为n的多项式H(x)。
对于每一个数据点(xi, fi, f'i)，插值多项式H(x)满足以下条件：1.H(xi) = fi，即多项式在数据点上与函数值完全匹配2.H'(xi) = f'i，即多项式在数据点上与导数值完全匹配根据这两个条件，我们可以构建一个n+1次的多项式，满足上述条件。
计算过程下面是埃尔米特插值多项式的计算过程：1.根据给定的数据点集合，构建一个空的多项式，初始阶次为 0，即H(x) = a02.对于每一个数据点(xi, fi, f'i)：–计算多项式的阶次n，并更新多项式的阶次为n+1–求解f'i的差商f'i / (xi - x0)，记为f'i / (x[i]-x0)–更新多项式的系数a，使得H(x) = H(x) + a * (x - x0)^i–更新多项式H(x)的阶次为n3.返回多项式H(x)应用埃尔米特插值多项式在实际应用中具有广泛的用途，包括但不限于以下领域：1.数值计算和近似：埃尔米特插值多项式可以用于通过已知的函数值和导数值来近似计算未知的函数值，用于求解数值问题。
数值分析中的插值与拟合
数值分析中的插值与拟合插值和拟合是数值分析中常用的技术，用于估计或预测数据集中缺失或未知部分的数值。
在本文中，我们将讨论插值和拟合的概念、方法和应用。
一、插值插值是通过已知数据点之间的连续函数来估计中间数据点的数值。
插值方法可以根据不同的数据和需求选择合适的插值函数，常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值。
1.1 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
通过已知的n个数据点，可以构建一个n-1次的插值多项式。
这个多项式通过已知数据点上的函数值来准确地经过每一个点。
1.2 牛顿插值牛顿插值方法也是一种多项式插值方法，通过差商的概念来构建插值多项式。
差商是一个递归定义的系数，通过已知数据点的函数值计算得出。
牛顿插值可以通过递推的方式计算出插值多项式。
1.3 埃尔米特插值埃尔米特插值是一种插值方法，适用于已知数据点和导数值的情况。
它基于拉格朗日插值的思想，通过引入导数信息来逼近数据的真实分布。
埃尔米特插值可以更准确地估计数据点之间的值，并且可以保持导数的连续性。
二、拟合拟合是通过一个模型函数来逼近已知数据点的数值。
拟合方法旨在找到最适合数据集的函数形式，并通过最小化误差来确定函数的参数。
常见的拟合方法包括最小二乘法、多项式拟合和曲线拟合。
2.1 最小二乘法最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化数据点到拟合函数的误差平方和来确定最佳拟合曲线或曲面。
最小二乘法适用于线性和非线性拟合问题，可以用于拟合各种类型的非线性函数。
2.2 多项式拟合多项式拟合是一种基于多项式函数的拟合方法。
通过多项式的线性组合来近似已知数据集的数值。
多项式拟合可以通过最小二乘法或其他优化算法来确定拟合函数的系数。
2.3 曲线拟合曲线拟合是一种用曲线函数来逼近已知数据点的拟合方法。
曲线函数可以是非线性的，并且可以根据数据的特点进行选择。
曲线拟合可以通过优化算法来确定拟合函数的参数。
三、应用插值和拟合在数值分析中有广泛的应用。
数值分析第2章插值法
数值分析第2章插值法插值法是数值分析中常用的一种数值逼近方法，用于在给定一组有限数据点的情况下，通过构造合适的数学模型来估计这些数据点之间的未知数值。
插值法的应用广泛，包括图像处理、计算机辅助设计、数值计算等领域。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值以及样条插值等。
这些方法都是基于多项式的插值形式，通过构造一个多项式函数来逼近数据点，并据此对未知点进行估计。
拉格朗日插值是一种基于拉格朗日多项式的插值方法。
对于给定的n+1个不同的数据点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值构造了一个n次多项式Ln(x)，满足：Ln(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + ... + ynLn(x)其中，L0(x),L1(x),...,Ln(x)是拉格朗日基函数，定义为：Lk(x) = ∏(i≠k)(x - xi)/(xk - xi) (k = 0, 1, ..., n)拉格朗日插值方法的优点是简单易用，但随着数据点数量的增加，拉格朗日多项式的计算复杂度也会大大增加。
牛顿插值是另一种基于多项式的插值方法，它使用差商的概念来构造插值多项式。
对于给定的n+1个不同的数据点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值构造了一个n次多项式Nn(x)，满足：Nn(x) = y0 + c0(x - x0) + c1(x - x0)(x - x1) + ... + cn(x -x0)(x - x1)...(x - xn-1)其中，c0 = Δy0/(x0 - x1)，ci = Δyi/(xi - xi+1) (i = 0, 1, ..., n-1)，Δyi = yi+1 - yi。
牛顿插值方法相比于拉格朗日插值方法，在计算多项式时具有更高的效率，尤其是在需要更新数据点时。
此外，牛顿插值方法还可以通过迭代的方式得到更高次数的插值多项式。
两点三次埃尔米特插值余项证明
两点三次埃尔米特插值余项证明《两点三次埃尔米特插值余项证明》1. 概述在数值分析中，插值是一种常用的数值计算方法，用于在已知数据点之间估算未知数据点的值。
而埃尔米特插值则是一种特殊的插值方法，可以通过已知点的函数值以及导数值来构造插值多项式，进而进行函数值的估算。
2. 两点三次埃尔米特插值在插值问题中，特别是在微积分和数值分析中，两点三次埃尔米特插值是一种常见且重要的技术。
它通过两个数据点的函数值和导数值，构造出一个三次多项式，可以更加准确地近似原始函数，并且可以保持更高的导数连续性。
这种方法在实际问题中具有很强的适用性，尤其是在需要对曲线进行平滑插值的情况下。
3. 余项证明在使用插值方法进行数据估算时，余项是一个重要的概念。
它代表了插值多项式与原函数之间的差距，可以用来评估插值的准确性和可靠性。
对于两点三次埃尔米特插值而言，余项的证明是一项关键的工作，它可以帮助我们理解插值多项式的误差情况，进而指导我们对插值结果的使用和解释。
4. 个人观点和理解作为一种高级的数值计算方法，两点三次埃尔米特插值在实际问题中的应用非常广泛，尤其是在科学计算和工程领域。
通过对余项的详细证明和分析，我们可以更加深入地理解插值方法的原理和实际效果，进而更加灵活地应用这一技术解决实际问题。
5. 总结两点三次埃尔米特插值作为一种高级的插值方法，通过对已知点的函数值和导数值进行合理的处理，可以构造出一个更加精确的插值多项式，用于估算未知点的函数值。
在实际应用中，我们需要充分理解余项的证明和分析，以便更好地评估插值结果的准确性和可靠性。
通过以上文章内容的布局和深度处理，可以详细解释和讨论所提及的主题，从而全面了解和深入了解其背后的知识和原理。
6. 余项证明的数学推导在两点三次埃尔米特插值中，我们需要构造出一个三次多项式，以满足已知数据点的函数值和导数值。
设两个已知点为(x0, y0)和(x1, y1)，以及它们各自的一阶导数值y'0和y'1。
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f ( x i )
xi f(xi)
0 0
1 1
2 2 0
3 3
例 4 ：给定如下数据表，求次数不高于 5 次的代数多项式。
f ( x i )
xi f(xi)
-1 10 1
0 14
1 16 0.1
2 15
解： 先构造插值于四个函数值的插值多项式
用Newton插值法可得：
N 3 ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , , x 3 ]( x x0 )( x x 2 ) 1 10 4( x 1) ( x 1) x ( x 1) x ( x 1) 6 19 1 3 2 14 x x x 6 6
复 习
前面我们已经学过两种插值方法，： Langrange 插值法和 Newton 插值法。 共同点 1）插值条件相同，即
xi y i = f (x i )
x0 y0
x1 y1
… …
xn yn
2）求一个次数不超过n的代数多项式
不同点 构造方法（思想）不同 Langrange插值法采用基函数的思想
Ln ( x ) i 0 yi l i ( x )
二、解法1：基函数法
三、解法2：承袭法
一、 Hermite插值多项式的定义
插值条件中除函数值插值条件外， 还有导数值插值条件，即 已知：2n+2个条件 xi x0 x1 … xn y i = f (x i ) y0 y1 … yn yi f ( xi ) y0 y1 yn … 求 : 一 个 次 数 不 超 过 2n+1 的 多 项 式 H2n+1(x)
… xn … yn yi f ( xi ) y0 y1 yn … 求 : 一 个 次 数 不 超 过 2n+1 的 多 项 式 H2n+1(x)
注意用基函数的方法
例3：已知2n+2个条件 xi x0 x1 y i = f (x i ) y0 y1
三、解法2：承袭性方法
例 1 ：给定如下数据表，求次数不高于 2 次的代数插值多项式。
则可求得
1 (0) 0, 1 (1) 1, 1 (0) 0 0 (0) 0, 0 (1) 0, 0 (0) 1
0 ( x ) 1 x 2 ,1 ( x ) x 2 , 0 ( x ) x(1 x )
插值余项为:
f ( ) 2 R( x ) f ( x ) H 2 ( x ) ( x x0 ) ( x x1 ) 3!
xi f(xi)
f ( x i )
0 a c
1 b
例1扩充：给定如下数据表，求次数不高 于2次的代数插值多项式。
xi f(xi)
f ( x i )
0 a c
1 b d
例 2 ：给定如下数据表，求次数不高于 3 次的代数插值多项式。
f ( x i )
xi f(i)
0 0
1 0 0
2 1
例 3 ：给定如下数据表，求次数不高于 4 次的代数插值多项式。
f ( xi )
提示 H 4 ( x) H 2 ( x) ( x a) ( x c)
3
H 2 ( x) 0
xi
f ( x i )
a
0 0 0
b
0
f(xi)
f ( xi )
进一步讨论第2列中的“0”上移和下移情 况下如何求解？
Hermite插值的方法：
(1)基函数方法
二、解法1：基函数法
例1. 已知：3个条件
xi yi = f(xi)
yi f ( xi )
0 y0
y0
1 y1
求:一个次数不超过2的多项式H2(x)
解：用基函数的方法，设
0 ( x) H 2 ( x ) y0 0 ( x ) y1 1 ( x ) y0
其中 0 ( x ), 1 ( x ), 0 ( x ) 是基函数，满足 （1）都是2次多项式； （2）开关性 0 (0) 1, 0 (1) 0, 0 (0) 0
x0
x1
f(x0) f(x1) f ( x0 )
f ( x0 )
f ( xi )
提示 H 3 ( x) H 2 ( x) A( x x0 ) 2 ( x x1 )
例 6 ：给定如下数据表，求首项系数为 1 的4次的代数多项式。 xi
f ( x i )
a
0 0 0
b
0
f(xi)
再构造插值于两个导数值的插值多项式
H 5 ( x ) N 3 ( x ) ( Ax B)( x 1) x( x 1)( x 2)
解出系数
59 A , 360
161 B 360
例 5 ：给定如下数据表，求次数不高于 3 次的代数多项式。 xi f(xi)
f ( x i )
n
Newton插值法采用承袭性的思想
N n ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 ,, x n ]( x x0 )( x x n1 )
注：两种方法的结果相同（唯一性）
2.4
埃 尔 米 特 插 值
一、埃尔米特插值多项式
(2)承袭性方法 注意：当给出某个点处的函数值 及其各阶导数时，可 利用泰勒 插值。待定系数法本学期不能 用！
作业：
习题 13, 14，15，16
例2. 已知：4个条件
xi yi = f(xi) y i f ( xi )
x0 y0
y0
x1 y1
y1
求:一个次数不超过3的多项式H3(x) 注意用基函数的方法
插值余项为:
f ( 4) ( ) R( x ) f ( x ) H 3 ( x ) ( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 4!