2015年秋新人教版九年级数学上册四清导航同步习题精讲课件第二十三章检测
人教版九年级数学上册单元清 检测内容：第二十三章 旋转
检测内容：第二十三章旋转得分________卷后分________评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．(天水中考)下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( C )2．如图，△ABC绕点A逆时针旋转至△AEF，其旋转角是( A )A．∠BAE B．∠CAE C．∠EAF D．∠BAF第2题图第4题图第5题图3．(赤峰中考)下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是( C )4．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为(－5，2)，(－2，－2)，(5，－2)，则点D的坐标为( A )A．(2，2) B．(2，－2) C．(2，5) D．(－2，5)5．如图，在平面直角坐标系中，A(1，0)，B(－2，4)，AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，则点C的坐标是( C )A．(4，3) B．(4，4) C．(5，3) D．(5，4)6．如图，在平面直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1，2)，B(3，3).作菱形OABC 关于y轴的对称图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是( A )A．(2，－1) B．(1，－2) C．(－2，1) D．(－2，－1)第6题图第7题图第8题图第10题图7．(海南中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝1 cm ，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt △AB ′C ′，使点C 落在AB 边上，连接BB ′，则BB ′的长度是( B )A ．1 cm B. 2 cm C ．3 cm D ．23 cm8．(苏州中考)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝108°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到△AB ′C ′.若点B ′恰好落在BC 边上，且AB ′＝CB ′，则∠C ′的度数为( C )A ．18°B ．20°C ．24°D ．28°9．已知坐标平面上的机器人接受指令“[a ，A ]”(a ≥0，0°＜A ＜180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向面对的方向沿直线行走a .若机器人的位置在原点，面对方向为y 轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐标为( D )A ．(－1，－ 3 )B ．(－1， 3 )C ．( 3 ，－1)D ．(－ 3 ，－1)10．(孝感中考)如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上，将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置，连接EF ，过点A 作EF 的垂线，垂足为点H ，与BC 交于点G .若BG ＝3，CG ＝2，则CE 的长为( B )A ．54B ．154C ．4D ．92二、填空题(每小题3分，共24分)11．(衡阳中考)如图，点A ，B ，C ，D ，O 都在方格纸的格点上，若△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为__90°__．第11题图 第12题图 第13题图第14题图12．(镇江中考)点O 是正五边形ABCDE 的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案(如图).这个图案绕点O 至少旋转__72__°后能与原来的图案互相重合．13．(泰安中考)如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A(0，3)，B(－1，1)，C(3，1).△A′B′C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A′B′C′绕点B′逆时针旋转180°，点A′的对应点为M，则点M的坐标为__(－2，1)__.14．如图，用等腰直角三角板画∠AOB＝45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为__22__度．15．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，D的坐标分别为(1，0)，(3，0)，(0，1)，点C在第四象限，∠ACB＝90°，AC＝BC.若△ABC与△A′B′C′关于点D成中心对称，则点C′的坐标为__(－2，3)__.第15题图第16题图第17题图第18题图16．(随州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴的正半轴上，∠AOC＝60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为17．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD(如图)，把△ABC绕着点D逆时针旋转m(0＜m＜180)度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝__80或120__．18．(新疆中考)如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．(1)指出它的旋转中心；(2)说出它的旋转方向和旋转角是多少度；(3)分别写出点A，B，C的对应点．解：(1)它的旋转中心为点A(2)它的旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度(3)点A，B，C的对应点分别为点A，E，F20．(6分)(枣庄中考)如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．(1)在图①中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；(2)在图②中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；(3)在图③中，画出△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转90°后的三角形．题图答图解：(1)答案不唯一．如图所示，△DCE 为所求作 (2)答案不唯一．如图所示，△ACD 为所求作 (3)如图所示，△ECD 为所求作21．(9分)(绥化中考)如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A ，点B ，点O 均为格点(每个小正方形的顶点叫做格点).(1)作点A 关于点O 的对称点A 1；(2)连接A 1B ，将线段A 1B 绕点A 1顺时针旋转90°得点B 对应点B 1，画出旋转后的线段A 1B 1；(3)连接AB 1，求出四边形ABA 1B 1的面积．解：(1)如图所示，点A 1即为所求(2)如图所示，线段A 1B 1即为所求(3)如图，连接BB 1，过点A 作AE ⊥BB 1，过点A 1作A 1F ⊥BB 1，则S 四边形ABA 1B 1＝S△ABB 1＋S △A 1BB 1 ＝12 ×8×2＋12×8×4＝24 22．(9分)如图，把正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到正方形A ′B ′CD ′(此时，点B ′落在对角线AC 上，点A ′落在CD 的延长线上)，A ′B ′交AD 于点E ，连接AA ′，CE .求证：(1)△ADA ′≌△CDE ；(2)直线CE 是线段AA ′的垂直平分线．证明：(1)由正方形的性质及旋转得AD ＝DC ，∠ADC ＝90°，AC ＝A ′C ，∠DA ′E ＝45°，∠ADA ′＝∠CDE ＝90°，∴∠DEA ′＝∠DA ′E ＝45°，∴DA ′＝DE ，∴△ADA ′≌△CDE (2)由正方形的性质及旋转得CD ＝CB ′，∠CB ′E ＝∠CDE ＝90°，又CE ＝CE ，∴Rt △CEB ′≌Rt △CED ，∴∠B ′CE ＝∠DCE ，∵AC ＝A ′C ，∴直线CE 是线段AA ′的垂直平分线23．(10分)在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到△AED ，点B ，C 的对应点分别是E ，D .(1)如图①，当点E 恰好在AC 上时，求∠CDE 的度数；(2)如图②，若α＝60°时，点F 是边AC 中点，求证：四边形BFDE 是平行四边形． 解：(1)∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，∴∠ACB ＝60°，∵△ABC 绕点A 顺时针旋转α得到△AED ，点E 恰好在AC 上，∴CA ＝AD ，∠EAD ＝∠BAC ＝30°，∴∠ACD ＝∠ADC ＝12(180°－30°)＝75°，∵∠EDA ＝∠ACB ＝60°，∴∠CDE ＝∠ADC －∠EDA ＝15° (2)证明：∵点F 是边AC 中点，∴BF ＝AF ＝12 AC ，∵∠BAC ＝30°，∴BC ＝12AC ，∠FBA ＝∠BAC ＝30°，∴BF ＝BC ，∵△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED ，∴∠BAE ＝∠CAD ＝60°，CB ＝DE ，∠DEA ＝∠ABC ＝90°，∴DE ＝BF ，如图②，延长BF 交AE 于点G ，则∠BGE ＝∠GBA ＋∠BAG ＝90°，∴∠BGE ＝∠DEA ，∴BF ∥ED ，∴四边形BFDE 是平行四边形24．(12分)如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C ＝90°.若固定△ABC ，将△DEC 绕点C 旋转．(1)当△DEC 绕点C 旋转到点D 恰好落在AB 边上时，如图②.①当∠B ＝∠E ＝30°时，此时旋转角的大小为__60°__；②当∠B ＝∠E ＝α时，此时旋转角的大小为__2α__；(用含a 的式子表示)(2)当△DEC 绕点C 旋转到如图③所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC 的面积与△AEC 的面积相等．试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想；若不正确，请说明理由．题图 答图解：(2)小扬同学猜想是正确的，证明如下：过点B 作BN ⊥CD 于点N ，过点E 作EM ⊥AC 于点M ，∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3.∵BN ⊥CD ，EM ⊥AC ，∴∠BNC ＝∠EMC ＝90°.∵△ACB ≌△DCE ，∴BC ＝EC ，∴△CBN ≌△CEM ，∴BN ＝EM ，∵S △BDC ＝12 ·CD ·BN ，S △ACE ＝12·AC ·EM ，且CD ＝AC ，∴S △BDC ＝S △ACE25．(14分)感知：如图①，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝m ，将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，过点D 作DE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ，连接CD .(1)求证：△ACB ≌△BED ；(2)△BCD 的面积为__12 m 2__；(用含m 的式子表示) 拓展：如图②，在一般的Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝m ，将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连接CD ，用含m 的式子表示△BCD 的面积，并说明理由；应用：如图③，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连接CD ，则△BCD 的面积为__16__；若BC ＝m ，则△BCD 的面积为__14 m 2__．(用含m 的式子表示)解：感知：(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴CA ＝CB ＝m ，∠A ＝∠ABC ＝45°，由旋转的性质可知，BA ＝BD ，∠ABD ＝90°，∴∠DBE ＝45°＝∠A ，又∵∠ACB ＝∠E ＝90°，∴△ACB ≌△BED拓展：作DG ⊥CB 交CB 的延长线于点G ，∵∠ABD ＝90°，∴∠ABC ＋∠DBG ＝90°，又∠ABC ＋∠A ＝90°，∴∠A ＝∠DBG .又∵∠ACB ＝∠G ，AB ＝BD ，∴△ACB ≌△BGD ，∴BC ＝DG ＝m ，∴S △BCD ＝12 BC ·DG ＝12m 2应用：点拨：作AN ⊥BC 于点N ，DM ⊥BC 交CB 的延长线于点M ，易证△ANB ≌△BMD (AAS)，∴BN ＝DM ＝12 BC ＝4.∴S △BCD ＝12 BC ·DM ＝12×8×4＝16，若BC ＝m ，则BN ＝DM ＝12 BC ＝12 m ，∴S △BCD ＝12 BC ·DM ＝12 ×m ×12 m ＝14m 2。
2015年秋新人教版九年级数学上册四清导航同步习题精讲课件周周清24.1-24.2
⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C.
(1)求证：CT为⊙O的切线； (2)若⊙O半径为2，CT＝，求AD的长．
解 ： (1) 证 明 ： 连 接 OT ， ∵ OA ＝ OT ， ∴ ∠ OAT ＝ ∠ OTA ， 又 ∵ AT 平 分 ∠ BAD ， ∴ ∠ DAT ＝ ∠ OAT ， ∴ ∠ DAT ＝ ∠ OTA ， ∴ OT∥AC ， 又 ∵ CT⊥AC ， ∴CT⊥OT，∴CT为⊙O的切线
6．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点O为BC的中点，以O 则⊙O的半径和∠MND的度数分别为( A．2，22.5° B．3，30° ) A C．3，22.5°
为圆心作⊙O交BC于点M，N，⊙O与AB，AC相切，切点分别为D，E，
D．2，30°
第5题图
第6题图
7． 如图， Rt△ABC 的内切圆⊙O 与两直角边 AB， BC 分别相切于点 D， BC 分别交于点 M， N， 若⊙O 的半径为 r， 则 Rt△MBN 的周长为( C ) 3 5 A．r B. r C．2r D. r 2 2 8．如图，一个宽为 2 厘米的刻度尺(刻度单位：厘米)，放在圆形玻璃 杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个 13 交点处的读数恰好是 3 和 9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为_______ 4 厘米．
13 ． (14 分 ) 如图 ， 已知 PA ， PB ， DE 分别切⊙ O 于 A ， B ， C 三点 ， 若 PO＝13 cm，△PDE的周长为24 cm，∠APB＝40°，求： (1)⊙O的半径； (2)∠EOD的度数．
解：(1)连接 BO，∵A，B，C 为切点，则 DC＝DB，EC＝EA，PA＝ 1 PB，∴△PDE 的周长为 PA＋PB＝2PB，PB＝ ×24＝12. 2 ∵PB 为切线，B 为切点，∴PB⊥BO，由勾股定理：OB2＋PB2＝PO2， ∴OB＝ PO2－PB2＝ 132－122＝5(cm)
【最新】新人教版九年级数学上册四清导航同步习题精讲课件22.3.1二次函数与图形面积
5．(4分)用一定长度的绳子围成一个矩形，若矩形的一边长 x(m)与面积y(m2)满足关系式y＝－(x－12)2＋144(0＜x＜24)， 144 ，此时x＝____ 12 ． 则该矩形面积的最大值为____
6．(4分)某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用长 为16 m的旧墙，其余各面用木材围成栅栏，栅栏的总长为24 m， 设每间羊圈与墙垂直的一边长为x(m)，三间羊圈的总面积为 S(m2)，则S与x的函数关系式为 S＝－4x2＋24x ，x的取值范围 3 2≤x＜6 ，当x＝____ 是 时，面积S最大， 36m2 最大面积为____ ．
2
8．(8分)手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝， 这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积 S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而 变化．
(1)请直接写出S与x之间的函数解析式(不要求写出自变量 x的取值范围)；
(2)当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大面积是多 少？
11．如图所示，已知正方形 ABCD 的边长为 1，E，F，G，H 分别为各边上的点，且 AE＝BF＝CG＝DH，设小正方形 EFGH 的面 2 积为 S，AE 为 x，则 S 关于 x 的函数解析式为 S＝2x －2x＋1 ， 1 当 x＝____ 2 时，S 的值最小．
三、解答题(共 42 分) 12．(12 分)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分 是长方体，抽屉底面周长为 180 cm，高为 20 cm，请通过计算说明， 当底面的宽 x 为何值时， 抽屉的体积 y 最大？最大为多少？(材质及其 厚度等暂忽略不计)
1 1 2 解：(1)S＝ ·x(60－x)＝－ x ＋30x 2 2
1 2 1 b (2)∵S＝－ x ＋30x， a＝－ ＜0， ∴S 有最大值， ∴当 x＝－ ＝ 2 2 2a 1 2 4 ×（－ ）× 0 － 30 2 4ac－b 2 30 － ＝30 时， S 有最大值为 ＝ ＝ 1 4a 1 2×（－ ） 4×（－ ） 2 2 450.∴当 x 为 30 cm 时，菱形风筝的的面积最大，为 450 cm2
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第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 小结 第二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程 22.3 实际问题与二次函数 数学活动 复习题22 23.1 图形的旋转 信息技术应用 探索旋转的性质 阅读与思考 旋转对称 小结 第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.3 正多边形和圆 24.4 弧长和扇形面积
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第二十二章 二次函数
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22.1 二次函数的图象和性质
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22.2 二次函数与一元二次方程
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21.3 实际问题与一元二次方程
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数学活动
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小结
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复习题21
第二十一章 一元二次方程
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21.1 一二次方程
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21.2 解一元二次方程
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阅读与思考 黄金分割数
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信息技术应用 探索干净函数的 性质
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人教版九年级数学上册第二十三章《旋转》课件
解析：根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A= ∠C，由旋转的性质得到A1B=AB=BC，∠A1=∠A= ∠C，∠A1BD=∠CBC1，根据全等三角形的判定定 理得到△BCF≌△BA1D；
证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
由旋转的性质，可得
A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=
等于_6_0__度，其中的对应点有_A_与__B___、 _B_与__C___、 _C__与__D__、 _D__与__E__、 __E_与__F__、 _F_与__A___ .
B
A C
O
F
D
E
归纳总结
确定一次图形的旋转时, 旋转中心
必须明确 旋转角 旋转方向
温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转 中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素； ②旋转变换同样属于全等变换.
A.45°，90° B.90°，45° C.60°，30° D.30°，60°
7.如图，△ADE可由△CAB旋转而成，点B的对应点 是E，点A的对应点是D，在平面直角坐标系中，三点 坐标为A（1,0）、B（3,0）、C（1,4）.
请找出旋转中心P的位置，并写出P的坐标.
y
C
P（3,2）
E
OA B D
单作图.（重点）
导入新课
回顾平移的特征
B A
F
C D
E
H
K
G N
L M
回顾旋转的特征
C
B
D
F
A
E O
讲授新课
一 简单的旋转作图
画一画：如图，画出线段 AB绕点A按顺时针方向旋
转60°后的线段．
2015年秋新人教版九年级数学上册四清导航精讲课件21.2.3因式分解法
例 1 解方程： (1)10x－4.9x ＝0
2
(2)x(x－2)＋x－2＝0
Hale Waihona Puke 1 3 2 (3)5x －2x－4＝x －2x＋4
2
(4)(x－1)2＝(3－2x)2 思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？ 解：略 (方程一边为 0，另一边可分解为两个一次因式乘积．) 练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( ) A．(x－3)(x－5)＝10×2，∴x－3＝10，x－5＝2，∴x1＝13，x2＝7 2 3 B．(2－5x)＋(5x－2)2＝0，∴(5x－2)(5x－3)＝0，∴x1＝5，x2＝5 C．(x＋2)2＋4x＝0，∴x1＝2，x2＝－2 D．x2＝x，两边同除以 x，得 x＝1
因为两个因式乘积要等于 0，至少其中一个因式要等于 0，也就 1 是(1)x＝0 或 2x＋1＝0，所以 x1＝0，x2＝－2.
(2)3x＝0或x＋2＝0，所以x1＝0，x2＝－2.(以上解法是如何实现降 次的？) 因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降 次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再 使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解 法．
一、复习引入 (学生活动)解下列方程： (1)2x2＋x＝0(用配方法) (2)3x2＋6x＝0(用公式法)
老师点评： (1)配方法将方程两边同除以 2 后， x 前面的系数应为 1 1 1 12 12 2，2的一半应为4，因此，应加上(4) ，同时减去(4) .(2)直接用公式求 解．
二、探索新知 (学生活动)请同学们口答下面各题． (老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？ (2)等式左边的各项有没有共同因式？ (学生先答， 老师解答)上面两个方程中都没有常数项； 左边都可 以因式分解． 因此，上面两个方程都可以写成： (1)x(2x＋1)＝0 (2)3x(x＋2)＝0
2015年秋新人教版九年级数学上册四清导航同步习题精讲课件23.1.1旋转的概念及性质
11．如图，E，F 分别是正方形 ABCD 的边 AB，BC 上的点，BE ＝CF，连接 CE，DF，将△BCE 绕着正方形的中心 O 按逆时针方向旋 转到△CDF 的位置，则旋转角是( C ) A．45° B．60° C．90° D．120°
12．如图，OA⊥OB，等腰直角三角形 CDE 的腰 CD 在 OB 上， ∠ECD＝45°，将三角形 CDE 绕点 C 逆时针旋转 75°，点 E 的对应 OC 点 N 恰好落在 OA 上，则 的值为( C ) CD A. 1 1 2 3 B. C. D. 2 3 2 3
5．(4分)如图，△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点A 顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F， 则∠AFB＝ 90° ．
知识点2 旋转的性质
6．(4 分)如图，将 Rt△ABC(其中∠B＝35°，∠C＝90°)绕 点 A 按顺时针方向旋转到△AB1C1 的位置，使得点 C，A，B1 在 同一条直线上，那么旋转角等于( C ) A．55° B．70° C．125° D．145°
23．1 图形的旋转
第1课时 旋转的概念及性质
1．图形旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O 旋转 转动一个角度就叫做图形的____ ，点O叫做 旋转中心 ，转动 的角叫做 旋转角 ． 2．图形旋转的性质： (1)对应点到旋转中心的距离相等 ____； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 旋转角 ； 全等 (3)旋转前后的图形____ ．
三、解答题(共30分) 15．(14分)四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的 延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF. (1)求证：△ADE≌△ABF； A 点，按顺时针方向 (2)△ABF可以由△ADE绕旋转中心____ 90 度得到； 旋转____ (3)若BC＝8，DE＝6，求△AEF的面积．
人教版九年级上册数学第二十三章测试题及答案
人教版九年级上册数学第二十三章测试卷一、单选题1．将下面图按顺时针方向旋转90°后得到的是（）A．B．C．D．2．某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案，你认为符合条件的是（）A．等腰三角形B．正三角形C．等腰梯形D．菱形3．在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D4．如图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA在y轴上，且OC=2，OA=4，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，则B′的坐标为（）A．（2，4）B．（-2，4）C．（4，2）D．（2，-4）5．将点P（-2，3）向右平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是（）A．（-5，-3）B．（1，-3）C．（-1，-3）D．（5，-3）6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（）A．30°B．60°C．90°D．150°7．如图，在矩形ABCD中，AD=4，DC=3，将△ADC按逆时针绕点A旋转到△AEF（A、B、E在同一直线上），连接CF，则CF的长为（）B．5 C．7 D．A．8．如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，那么∠BAB′的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．50°9．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．B．C．D．10．如图，在4×4正方形网格中，将图中的2个小正方形涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个二、填空题11．如图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O 至少经过____次旋转而得到的，每一次旋转____度．12．如图，点A 、B 、C 、D 、O 都在方格纸的格点上，若COD △是由AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为__．13．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝2cm ．现在将△ABC 绕点C 逆时针旋转至△A ′B ′C ′，使得点A ′恰好落在AB 上，连接BB ′，则BB ′的长度为_____．14．如图，△OAB 绕点O 逆时针旋转80°得到△OCD ，若∠A ＝110°，∠D ＝40°，则∠α的度数是_____．15．已知点P （a ，-3）和Q （4，b ）关于原点对称，则2010()a b =_____．16．如图，直线y ＝﹣43x+4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转90°后得到△AO′B′，求点B′的坐标．17．如图，在等边△ABC中，D是AC边上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=10，BD=9，则△AED的周长是______．18．如图所示，两个边长都为4cm的正方形ABCD和正方形OEFG，O是正方形ABCD的对称中心，则图中阴影部分的面积为_______cm2．三、解答题19．如图所示，正方形ABCD中，E是CD上一点，F在CB的延长线上，且DE=BF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）问：将△ADE顺时针旋转多少度后与△ABF重合，旋转中心是什么？20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．(1)画出与△ACD关于点D成中心对称的三角形；(2)找出与AC相等的线段；(3)探究：△ABC中AB与AC的和与中线AD之间有何大小关系？并说明理由．(4)若AB=5，AC=3，求线段AD的长度范围．21．如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕点P顺时针旋转60°后，恰好点D与点A 重合，得到△PEA，连接EB，问：△ABE是什么特殊三角形？请说明理由．22．在△AOB中，C，D分别是OA、OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．如图，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点．求证：(1)AC′=BD′；(2)AC′⊥BD．23．如图所示：已知∠ABC＝120°，作等边△ACD，将△ACD旋转60°，得到△CDE，AB ＝3，BC＝2，求BD和∠ABD．24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，4），B（﹣4，2），C （﹣2，1），△ABC绕原点逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，将△A1B1C1向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到△A2B2C2．（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；（2）△ABC经旋转、平移后点A的对应点分别为A1、A2，请写出点A1、A2的坐标；（3）P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经旋转、平移后点P的对应点分别为P1，P2，请写出点P1、P2的坐标．25．如图，四边形ABCD是正方形，△ADF绕着点A顺时旋转90°得到△ABE，若AF＝4，AB＝7．（1）求DE的长度；（2）指出BE与DF的关系如何？并说明由．参考答案1．A【分析】根据旋转的意义，找出图中眼，眉毛，嘴5个关键处按顺时针方向旋转90°后的形状即可选择答案．【详解】根据旋转的意义，图片按顺时针方向旋转90度，即正立状态转为顺时针的横向状态，从而可确定为A图．故选A．【点睛】本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．2．D【详解】等腰三角形是轴对称图形，正三角形是轴对称图形，等腰梯形是轴对称图形，菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，故选D.3．B【分析】根据旋转中心的确认方法，作对应点连线的垂直平分线，再找到交点即可得到.【详解】解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，∴连接PP1、NN1、MM1，作PP1的垂直平分线过B、D、C，作NN1的垂直平分线过B、A，作MM1的垂直平分线过B，∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．故选B．【点睛】此题主要考查旋转中心的确认，解题的关键是熟知旋转的性质特点.4．C【分析】根据矩形的特点和旋转的性质来解决．【详解】如图，矩形的对边相等，B′C′=OA=4，A′B′=OC=2，∴点B′的坐标为（4，2）故选C ．【点睛】需注意旋转前后线段的长度不变，第一象限内点的符号为（+，+）．5．C【详解】解：∵点P （－2，3）向右平移3个单位得到点1P ，∴1(1,3)P ，∵点2P 与点1P 关于原点对称，∴2(1,3).P --故选C ．6．B【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠A=60°，根据旋转的性质可得AC=A′C ，然后判断出△A′AC 是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠ACA′=60°，然后根据旋转角的定义解答即可．【详解】∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=90°-30°=60°，∵△ABC 绕点C 顺时针旋转至△A′B′C 时点A′恰好落在AB 上，∴AC=A′C ，∴△A′AC是等边三角形，∴∠ACA′=60°，∴旋转角为60°．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．7．A【分析】由于△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF，显然△ADC≌△AEF，则有∠EAF=∠DAC，AF=AC，那么∠EAF+∠EAC=∠DAC+∠EAC，即∠FAC=∠BAD=90°．在Rt△ACD中，利用勾股定理可求AC，同理在Rt△FAC中，利用勾股定理可求CF．【详解】∵△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF，∴△ADC≌△AEF，∴∠EAF=∠DAC，AF=AC，∴∠EAF+∠EAC=∠DAC+∠EAC，∴∠FAC=∠BAD，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠FAC=90°，又∵在Rt△ADC中，，∴在Rt△FAC中，故选A.【点睛】本题利用了勾股定理、全等三角形的性质等知识．8．C【详解】解：∵CC′∥AB，∠CAB=70°，∴∠C′CA=∠CAB=70°，又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，∴∠BAB′=∠CAC′=180°-2∠C′CA=40°．故选C．9．D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形. 【详解】解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．故选D.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.10．D【分析】根据轴对称的性质画出图形即可．【详解】如图，共有10种符合条件的添法，故选D．【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．11．四；72【详解】解：根据题意，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点，这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过四次旋转而得到，每次旋转的度数为360°除以5，为72度．12．90°【分析】由COD∆是由AOB∆绕点O按顺时针方向旋转而得到，再结合已知图形可知旋转的角度是∠的大小，然后由图形即可求得答案．BOD【详解】∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，∴OB=OD，∴旋转的角度是∠BOD的大小，∵∠BOD=90°，∴旋转的角度为90°,故答案为90°.【点睛】本题考查了旋转的性质．解此题的关键是理解△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得的含义，找到旋转角．13．【分析】由题意可得△AA'C是等边三角形，可得旋转角为60°，可得△BCB'是等边三角形，可得∠A'BB'=90°，根据勾股定理可得BB'的长．【详解】∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2cm∴∠A=60°，AB=4，∵△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C′∴A'C=60°，A'B'=4，BC=B'C，∠ACA'=∠BCB'∵AC=A'C，∠A=60°∴△ACA'是等边三角形，∴∠ACA'=60°，AA'=2∴A'B=2，∠BCB'=60°，且BC=CB'∴△BCB'是等边三角形∴∠CBB'=60°∴∠A'BB'=90°∴【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，关键是证△A'B'B是直角三角形．14．50°【分析】已知旋转角为80°，即∠DOB＝80°，欲求∠α的度数，必须先求出∠AOB的度数，利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：由旋转的性质知：∠A＝∠C＝110°，∠D＝∠B＝40°；根据三角形内角和定理知：∠AOB＝180°﹣110°﹣40°＝30°；已知旋转角∠DOB＝80°，则∠α＝∠DOB﹣∠AOB＝50°．故答案为50°．【点睛】此题主要考查的是旋转的性质，同时还涉及到三角形内角和定理的运用，难度不大．15．1【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【详解】∵点P（a，-3）和Q（4，b）关于原点对称，∴a=-4，b=3，∴（a+b）2010=（-1）2010=1．故答案为1．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，比较简单．16．（7，3）【详解】令x=0得y=3，则OA=3，令y=0得，x=4，则OB=4，由旋转的性质可知：O′A=3，O′B′=4．则点B′（7，3）．故答案为（7，13）．点睛：本题考查坐标与图形变化-旋转、30度的直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题.图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°.17．19．【详解】试题分析：∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE∴△BDC≌△BAE∴BE=BD，∠DBE=60°，AE=CD∴△DBE是等边三角形∴DE=BD=9∴△AED的周长=DE+AD+AE=DE+AC=19考点：1、旋转的性质；2、等边三角形的性质18．4．【分析】图中阴影部分的面积不在任意的三角形中，所以需构造三角形，设BC与OE相交于M，CD 与OG相交于N，连接OC、OB，则易证△OCN≌△OBM，则阴影部分的面积为△OBC的面积．【详解】设BC与OE相交于M，CD与OG相交于N，连接OC、OB，∵正方形ABCD与正方形OEFG的边长均为4cm∴cm在△OCN和△OBM中，OB=OC，∠OCN=∠OBM=45°，∠CON=∠BOM ∴△OCN≌△OBM，∵O是正方形ABCD的对称中心，△OCB的高等于正方形边长的一半，∴S阴影=S△OBC =12S正方形=4cm2．故答案为4．【点睛】把阴影部分的面积转化成三角形的面积是解题的关键．19．详见解析【分析】（1）根据SAS定理，即可证明两三角形全等．（2）将△ADE顺时针旋转后与△ABF重合，A不变，因而旋转中心是A，∠DAB是旋转角，是90度．【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，∠D=∠ABC=90°，∴∠ABF=90°．∴∠D=∠ABF=90°．又∵DE=BF，AD=AB，∴△ADE≌△ABF（SAS）．（2）将△ADE顺时针旋转90后与△ABF重合，旋转中心是点A．20．(1)△A′BD即为所求(2)A′B=AC(3)AB+AC＞2AD(4)1＜AD＜4.【详解】【试题分析】（1）根据成中心对称的定义，延长AD到A’，使A’D=AD，点C与点B关于点D对称，连接A’B即可，△A′BD即为所求；（2）根据成中心对称的两个图形对应边相等，得A′B=AC；（3）由（2）得：AB+AC=AB+A′B，根据三角形两边之和大于第三边，得AB+A′B >AA’=2AD，即AB+AC＞2AD；(4)由（3）得，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得5-3<AA’=2AD<5+3,即2＜2AD＜8，所以1＜AD＜4.【试题解析】(1)如图所示，△A′BD即为所求；(2)A′B=AC；(3)AB+AC＞2AD，理由：由于△A′BD与△ACD关于点D成中心对称，所以AD=A′D，AC=A′B，在△ABA′中，有AB+A′B＞AA′，即AB+AC＞AD+A′D，因此AB+AC＞2AD；(4)由(3)可得，在△ABA′中，有AB-A′B＜AA′＜AB+A′B，即AB-AC＜2AD＜AB+AC，因此有2＜2AD＜8，所以1＜AD＜4.【方法点睛】本题目是一道以成中心对称的两个图形为背景，展开研究，涉及到怎样作一个图形关于某个点的中心对称图形，成中心对称图形的性质，三角形的三边关系，涉及的知识面广，知识点多，难度较大.21．解：△ABE是等边三角形.理由如下：……………………………………… 1分由旋转得△PAE≌△PDC∴CD=AE，PD=PA,∠1=∠2……………………3分∵∠DPA=60°∴△PDA是等边三角形…………4分∴∠3＝∠PAD＝60°.由矩形ABCD知，CD＝AB，∠CDA＝∠DAB＝90°.∴∠1＝∠4＝∠2＝30°………………………6分∴AE＝CD＝AB，∠EAB＝∠2+∠4＝60°,∴△ABE为等边三角形…………………………7分【详解】特殊三角形有等腰三角形、等边三角形、直角三角形（等腰直角三角形），此题根据旋转的性质和矩形的性质可知是等边三角形．22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】(1)由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，由SAS 证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；(2)由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论【详解】（1）∵将△OCD 绕点O 顺时针旋转到△''OC D ，∴OC='OC ，OD='OD ，∠'AOC =∠'BOD ．∵OA=OB ，C 、D 为OA ，OB 的中点，∴OC=OD ，∴''OC OD =．在△'AOC 和△'BOD 中，''''OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△'AOC ≌△'BOD ，∴'AC ='BD ．（2）延长'AC 交'BD 于E ，交BO 于F ．∵△'AOC ≌△'BOD ，∴∠''OAC OBD =∠．又∠AFO=∠BFE ，∠0'90OAC AFO +∠=，∴∠0'90OBD BFE +∠=．∴∠BEA=090，∴'AC⊥'BD．【点睛】题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．23．BD＝5．∠BAD＝60°【解析】【分析】先根据等边三角形的性质得∠ADC＝∠ACD＝60°，由于∠ABC＝120°，根据四边形内角和得到∠BAD+∠BCD＝180°，则∠BAD+∠BCA＝120°，再根据旋转的性质得∠BAD＝∠ECD，DB＝DE，∠BDE＝60°，AB＝CE，于是有∠BCA+∠ECD+∠ACD＝180°，得到B、C、E在同一条直线上，接着证明△BDE为等边三角形得到∠DBE＝60°，所以∠BAD＝∠ABC﹣∠DBE＝60°，BD＝BE＝BC+CE＝BC+AB＝5．【详解】∵△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝∠ACD＝60°，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BAD+∠BCA＝120°，∵△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置，∴∠BAD＝∠ECD，DB＝DE，∠BDE＝60°，AB＝CE，∴∠BCA+∠ECD＝120°，∴∠BCA+∠ECD+∠ACD＝180°，∴B、C、E在同一条直线上．∵DB＝DE，∠BDE＝60°，∴△BDE为等边三角形，∴∠DBE＝60°，∴∠BAD＝∠ABC﹣∠DBE＝60°，∴BD＝BE＝BC+CE＝BC+AB＝3+2＝5．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．24．（1）画图见解析；（2）A1（﹣4，﹣3），A2（2，﹣1）；（3）P1（﹣b，a）；P2（﹣b+6，a+2）【分析】（1）利用网格特点、旋转的性质和平移的性质画图；（2）利用所画图形写出点A1、A2的坐标；（3）利用（2）的结论和旋转的性质写出P1的坐标，利用平移的坐标规律写出P2的坐标．【详解】（1）如图，△A1B1C1和△A2B2C2为所作；（2）A1（﹣4，﹣3），A2（2，﹣1）；（3）P1（﹣b，a）；P2（﹣b+6，a+2）．【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．25．（1）3；（2）BE＝DF，BE⊥DF．【分析】（1）根据旋转的性质可得AE＝AF，AD＝AB，然后根据DE＝AD﹣AE计算即可得解；（2）根据旋转可得△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝DF，全等三角形对应角相等可得∠ABE＝∠ADF，然后求出∠ABE+∠F＝90°，判断出BE⊥DF．【详解】解：（1）∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，∴AE＝AF＝4，AD＝AB＝7，∴DE＝AD﹣AE＝7﹣4＝3；（2）BE、DF的关系为：BE＝DF，BE⊥DF．理由如下：∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，∴△ABE≌△ADF，∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，∵∠ADF+∠F＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABE+∠F＝90°，∴BE⊥DF，∴BE、DF的关系为：BE＝DF，BE⊥DF．【点睛】考查了旋转的性质，正方形的性质，是基础题，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．。
人教版九年级数学上册 第23章 练习题(含答案)
人教版九年级数学上册23.1图形的旋转一．选择题（共6小题）1．如图△ABC绕点A旋转至△ADE，则旋转角是（）A．∠BAD B．∠BAC C．∠BAE D．∠CAD2．香港特别行政区的区徽中间紫金花图案如图所示，则至少需要旋转（）和原图案重合．A．72°B．60°C．36°D．18°3．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，则旋转角度是（）A．10°B．30°C．40°D．70°4．如图，△OAB绕某点旋转到△OCD的位置，则旋转中心是（）A．点A B．点B C．点O D．无法确定5．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．如图，用左面的三角形连续的旋转可以得到右面的图形，每次旋转（）度．A．60B．90C．120D．150二．填空题（共6小题）7．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得△ADE，若∠BAC＝20°，则∠BAE的度数是．8．如图，△ABC中，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转85°得到△ADE，则∠AED的度数为°．9．如图，风车图案围绕着旋转中心至少旋转度，会和原图案重合．10．时钟的时针不停地旋转，从上午6时到上午10时，时针旋转的旋转角是度．11．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点C′恰好落在线段AB上，连接BB'．若AC＝1，AB＝3，则BC′＝．12．将一副三角板按图所示的方式叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，设∠AOC＝α，∠BOD＝β，则α与β之间的数量关系是．三．解答题（共3小题）13．如图，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C在AD上．（1）指出旋转中心；（2）若∠B＝21°，∠ACB＝26°，求出旋转的度数；（3）若AB＝5，CD＝3，则AE的长是多少？为什么？14．如图，P是等边三角形ABC内一点，且P A＝6，PB＝8，PC＝10，若将△P AC绕点A 逆时针旋转后，得到△P′AB．求：（1）PP′的长度；（2）∠APB的度数．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．求证：△BCD≌△FCE．参考答案一．选择题（共6小题）1．如图△ABC绕点A旋转至△ADE，则旋转角是（）A．∠BAD B．∠BAC C．∠BAE D．∠CAD【解答】解：∵△ABC绕点A旋转至△ADE，∴旋转角为∠BAD或∠CAE，故选：A．2．香港特别行政区的区徽中间紫金花图案如图所示，则至少需要旋转（）和原图案重合．A．72°B．60°C．36°D．18°【解答】解：观察图形可知，中心角是由五个相同的角组成，∴旋转角度是360°÷5＝72°，∴这四次旋转中，旋转角度最小是72°，故选：A．3．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，则旋转角度是（）A．10°B．30°C．40°D．70°【解答】解：∵∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，∴∠AOC＝70°，∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，∴旋转角为∠AOC＝70°，故选：D．4．如图，△OAB绕某点旋转到△OCD的位置，则旋转中心是（）A．点A B．点B C．点O D．无法确定【解答】解：由题意得△OAB绕某点旋转到△OCD的位置，则旋转中心是点O．故选：C．5．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：如图，∵点A（﹣2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，∴A′的坐标是（2，﹣3），即点A′在第四象限，故选：D．6．如图，用左面的三角形连续的旋转可以得到右面的图形，每次旋转（）度．A．60B．90C．120D．150【解答】解：根据图形可得出：这是一个由基本图形绕着中心连续旋转3次，每次旋转120度角形成的图案．故选：C．二．填空题（共6小题）7．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得△ADE，若∠BAC＝20°，则∠BAE的度数是30°．【解答】解：由题意可得，∠CAE＝50°，∵∠BAC＝20°，∴∠BAE＝∠CAE﹣∠BAC＝50°﹣20°＝30°，故答案为：30°．8．如图，△ABC中，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转85°得到△ADE，则∠AED的度数为30°．【解答】解：∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转85°得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴∠ACB＝∠AED＝30°，故答案为：30°．9．如图，风车图案围绕着旋转中心至少旋转60度，会和原图案重合．【解答】解：∵360°÷6＝60°，∴该图形绕中心至少旋转60度后能和原来的图案互相重合．故答案为：60．10．时钟的时针不停地旋转，从上午6时到上午10时，时针旋转的旋转角是120度．【解答】解：∵时针从上午的6时到10时共旋转了4个格，每相邻两个格之间的夹角是30°，∴时针旋转的旋转角＝30°×4＝120°．故答案为：120．11．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点C′恰好落在线段AB上，连接BB'．若AC＝1，AB＝3，则BC′＝2．【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点C′恰好落在线段AB上，∴AC′＝AC＝1，∴BC′＝AB﹣AC′＝3﹣1＝2．故答案为2．12．将一副三角板按图所示的方式叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，设∠AOC＝α，∠BOD＝β，则α与β之间的数量关系是α+β＝180°．【解答】解：∵使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，∴∠BOC＝∠AOD，∵∠BOC+∠AOC＝90°，∴∠AOD+∠AOC＝90°，∵α+β＝∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠BOC+∠AOC+∠AOD＝180°，∴α+β＝180°，故答案为：α+β＝180°．三．解答题（共3小题）13．如图，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C在AD上．（1）指出旋转中心；（2）若∠B＝21°，∠ACB＝26°，求出旋转的度数；（3）若AB＝5，CD＝3，则AE的长是多少？为什么？【解答】解：（1）旋转中心为点A；（2）∵∠B＝21°，∠ACB＝26°，∴∠BAC＝180°﹣21°﹣26°＝133°，∴旋转的度数为133°；（3）由旋转性质知：AE＝AC，AD＝AB，∴AE＝AB﹣CD＝2．14．如图，P是等边三角形ABC内一点，且P A＝6，PB＝8，PC＝10，若将△P AC绕点A 逆时针旋转后，得到△P′AB．求：（1）PP′的长度；（2）∠APB的度数．【解答】解：（1）∵△P AC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，∴∠P AP′＝60°，P′A＝P A＝6，∴△APP′是等边三角形，∴PP′＝P A＝6；（2）∵△P AC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，∴P′B＝PC＝10，∵△APP′是等边三角形，∴∠APP′＝60°，∵PB2+PP′2＝82+62＝100，P′B2＝102＝100，∴PB2+PP′2＝P′B2，∴△P′PB是直角三角形，∠BPP′＝90°，∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝60°+90°＝150°．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．求证：△BCD≌△FCE．【解答】证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝∠FCE，在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS）．人教版九年级数学上册23.2.1中心对称一．选择题（共6小题）1．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（）A．点A与点A′是对称点B．BO＝B′OC．AB∥A′B′D．∠ACB＝∠C′A′B′2．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组3．如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，ED是△ABC的中位线，E′D′是△A′B′C′的中位线，已知BC＝4，则E′D′＝（）A．2B．3C．4D．1.54．如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（）A．点C B．点D C．线段BC的中点D．线段FC的中点5．已知下列命题，其中正确的个数是（）（1）关于中心对称的两个图形一定不全等；（2）关于中心对称的两个图形是全等形；（3）两个全等的图形一定关于中心对称．A．0个B．1个C．2个D．3个6．已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是（）A．AO＝BO B．BO＝EOC．点A关于点O的对称点是点D D．点D在BO的延长线上二．填空题（共6小题）7．关于某一点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过，并且被平分．8．如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为．9．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，则线段AB与DE的大小关系是．10．如图，△ABC绕点A旋转180°，得到△A′B′C′，A为旋转中心，则△ABC与△A′B′C′关于点中心对称；若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝1，则BB′的长为．11．与电子显示的四位数6925不相等，但为全等图形的四位数是．12．如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A 与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它们的对应点N的坐标是．三．解答题（共3小题）13．如图所示的两个图形成中心对称，请找出它的对称中点．14．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．（1）哪两个图形成中心对称？（2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；（3）已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．15．如图，矩形ABCD和矩形A'B'C'D关于点D成中心对称．求证：四边形ACA'C'是菱形．参考答案一．选择题（共6小题）1．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（）A．点A与点A′是对称点B．BO＝B′OC．AB∥A′B′D．∠ACB＝∠C′A′B′【解答】解：观察图形可知，A、点A与点A′是对称点，故本选项正确；B、BO＝B′O，故本选项正确；C、AB∥A′B′，故本选项正确；D、∠ACB＝∠A′C′B′，故本选项错误．故选：D．2．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【解答】解：根据中心对称的概念，知②③④都是中心对称．故选：C．3．如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，ED是△ABC的中位线，E′D′是△A′B′C′的中位线，已知BC＝4，则E′D′＝（）A．2B．3C．4D．1.5【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′成中心对称，∴△ABC≌△A′B′C′，∴B′C′＝BC＝4，∵E′D′是△A′B′C′的中位线，∴E′D′＝B′C′＝×4＝2．故选：A．4．如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（）A．点C B．点DC．线段BC的中点D．线段FC的中点【解答】解：∵此图形是中心对称图形，∴对称中心是线段FC的中点．故选：D．5．已知下列命题，其中正确的个数是（）（1）关于中心对称的两个图形一定不全等；（2）关于中心对称的两个图形是全等形；（3）两个全等的图形一定关于中心对称．A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：关于中心对称的两个图形一定全等，两个全等的图形不一定关于中心对称．故只有（2）说法正确，故选：B．6．已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是（）A．AO＝BOB．BO＝EOC．点A关于点O的对称点是点DD．点D在BO的延长线上【解答】解：A、AO＝OE，错误；B、BO＝DO，错误；C、点A关于点O的对称点是点E，错误；D、点D在BO的延长线上，正确；故选：D．二．填空题（共6小题）7．关于某一点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．【解答】解：根据中心对称的性质，得对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．8．如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为4．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，∴AB＝2AC＝2，根据中心对称的性质得到BB′＝2AB＝4．故答案为：4．9．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，则线段AB与DE的大小关系是AB＝DE．【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，∴AB＝DE故答案为：AB＝DE．10．如图，△ABC绕点A旋转180°，得到△A′B′C′，A为旋转中心，则△ABC与△A′B′C′关于点A中心对称；若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝1，则BB′的长为．【解答】解：∵如图，△ABC绕点A旋转180°，得到△A′B′C′，A为旋转中心，∴△ABC与△A′B′C′关于点A中心对称；∵在直角△ABC中，∠B＝30°，BC＝1，∴AB＝＝＝∴BB′＝2AB＝．故答案是：A；．11．与电子显示的四位数6925不相等，但为全等图形的四位数是5269．【解答】答：5269．12．如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A 与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它们的对应点N的坐标是（﹣x，﹣y）．【解答】解：由图可知两三角形关于点O成中心对称，关于原点成中心对称的坐标的特点为横纵坐标均互为相反数，故点N的坐标是（﹣x，﹣y）．三．解答题（共3小题）13．如图所示的两个图形成中心对称，请找出它的对称中点．【解答】解：连接CC′，BB′，两条线段相交于当O，则点O即为对称中点．14．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．（1）哪两个图形成中心对称？（2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；（3）已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．【解答】解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，∴△EDB的面积也为4，∵D为BC的中点，∴△ABD的面积也为4，所以△ABE的面积为8；（3）∵在△ABD和△CDE中，，∴△ABD≌△CDE（SAS），∴AB＝CE，AD＝DE∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，∴2＜AE＜8，∴1＜AD＜4．15．如图，矩形ABCD和矩形A'B'C'D关于点D成中心对称．求证：四边形ACA'C'是菱形．【解答】解：∵矩形ABCD与矩形AB′C′D′关于点D成中心对称，∴∠ADC＝90°，CD＝CD′，DA＝DA′，∴四边形ACA'C'是平行四边形，AA′⊥CC′，∴四边形ACA'C'是菱形．人教版九年级数学上册23.2.2中心对称图形一．选择题（共6小题）1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列汽车标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列所述图形中，仅是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．菱形4．下列图形中（不考虑颜色），不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个6．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A1B1C1是中心对称图形．则对称中心的坐标是（）A．（1，1）B．（1，0）C．（1，﹣1）D．（1，﹣2）二．填空题（共6小题）7．在平面内将一个图形绕某一定点旋转度，图形的这种变化叫做中心对称．8．下列4种图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有个．9．下列图形中，其中是中心对称图形有个．①圆；②平行四边形；③长方形；④等腰三角形．10．如图，△A1B1C1是△ABC关于点O成中心对称的图形，点A的对称点是点A1，已知AO＝4cm，那么AA1＝cm．11．图甲所示的四张牌，若只将其中一张牌旋转180°后得到图乙，则旋转的牌是．12．如图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在处（填写区域对应的序号）．三．解答题（共3小题）13．如图，已知△ABC与△A′B′C′成中心对称图形，求出它的对称中心O．14．下列这些是电子屏上显示的数字．（1）仔细观察后回答下列问题：①是中心对称图形而不是轴对称图形的数字是；②是轴对称图形，而不是中心对称图形的数字是；③既是轴对称又是中心对称图形的数字是；④能成中心对称的两个数字是；⑤能成轴对称的两个数字是．（2）小丽站在镜子前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子钟上显示的读数如图所示，那么这时的实际时间是．15．（1）指出下列旋转对称图形的最小旋转角，并在图中标明它的旋转中心O．（2）在上述几个图形中有没有中心对称图形？具体指明是哪几个？解：图形A的最小旋转角是度，它中心对称图形．图形B的最小旋转角是度，它中心对称图形．图形C的最小旋转角是度，它中心对称图形．图形D的最小旋转角是度，它中心对称图形．图形E的最小旋转角是度，它中心对称图形．参考答案一．选择题（共6小题）1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．2．下列汽车标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、该图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；C、该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D、该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：C．3．下列所述图形中，仅是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．菱形【解答】解：A、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意；C、矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意；D、菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确．故选：B．4．下列图形中（不考虑颜色），不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；D、是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．5．有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【解答】解：矩形，线段、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．共3个既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：C．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A1B1C1是中心对称图形．则对称中心的坐标是（）A．（1，1）B．（1，0）C．（1，﹣1）D．（1，﹣2）【解答】解：对称中心的坐标是（1，﹣1），故选：C．二．填空题（共6小题）7．在平面内将一个图形绕某一定点旋转180度，图形的这种变化叫做中心对称．【解答】解：在平面内将一个图形绕某一定点旋转180度，图形的这种变化叫做中心对称．故答案为180．8．下列4种图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有1个．【解答】解：第一个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；第二个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形；第三个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形．故答案为：1．9．下列图形中，其中是中心对称图形有3个．①圆；②平行四边形；③长方形；④等腰三角形．【解答】解：①圆；②平行四边形；③长方形是中心对称图形，共3个，故答案为：3．10．如图，△A1B1C1是△ABC关于点O成中心对称的图形，点A的对称点是点A1，已知AO＝4cm，那么AA1＝8cm．【解答】解：∵△A1B1C1是△ABC关于点O成中心对称的图形，点A的对称点是点A1，AO＝4cm，∴OA1＝OA＝4cm，∴AA1＝OA+OA1＝8cm，故答案为：8．11．图甲所示的四张牌，若只将其中一张牌旋转180°后得到图乙，则旋转的牌是方块5．【解答】解：方块5旋转180°后得到图乙，故答案为：方块5．12．如图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在②处（填写区域对应的序号）．【解答】解：把正方形添加在②处，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，故答案为：②．三．解答题（共3小题）13．如图，已知△ABC与△A′B′C′成中心对称图形，求出它的对称中心O．【解答】解：连接BB′，找BB′中点O或者连接BB′、CC′，交点为对称中心O．如图所示：14．下列这些是电子屏上显示的数字．（1）仔细观察后回答下列问题：①是中心对称图形而不是轴对称图形的数字是2和5；②是轴对称图形，而不是中心对称图形的数字是3；③既是轴对称又是中心对称图形的数字是1，8，0；④能成中心对称的两个数字是6和9；⑤能成轴对称的两个数字是2和5．（2）小丽站在镜子前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子钟上显示的读数如图所示，那么这时的实际时间是21：01．【解答】解：（1）①是中心对称图形而不是轴对称图形的数字是2和5；②是轴对称图形，而不是中心对称图形的数字是3；③既是轴对称又是中心对称图形的数字是1，8，0；④能成中心对称的两个数字是6和9；⑤能成轴对称的两个数字是2和5．故答案为：2和5；3；1，8，0；6和9；2和5．（2）从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子钟上显示的读数如图所示，那么这时的实际时间是21：01，故答案为：21：01．15．（1）指出下列旋转对称图形的最小旋转角，并在图中标明它的旋转中心O．（2）在上述几个图形中有没有中心对称图形？具体指明是哪几个？解：图形A的最小旋转角是60度，它是中心对称图形．图形B的最小旋转角是72度，它不是中心对称图形．图形C的最小旋转角是72度，它不是中心对称图形．图形D的最小旋转角是120度，它不是中心对称图形．图形E的最小旋转角是90度，它是中心对称图形．【解答】解：（1）如图所示，（2）图形A的最小旋转角是60度，它是中心对称图形．图形B的最小旋转角是72度，它不是中心对称图形．图形C的最小旋转角是72度，它不是中心对称图形．图形D的最小旋转角是120度，它不是中心对称图形．图形E的最小旋转角是90度，它是中心对称图形．故答案为：60，是；72，不是；72，不是；120，不是；90，是．人教版九年级数学上册23.2.3关于原点对称的点的坐标一．选择题（共6小题）1．点M（1，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，1）2．点P（5，﹣3）关于原点对称的点P'的横坐标是（）A．5B．﹣5C．D．﹣3．已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则（）A．x＝﹣1，y＝2B．x＝﹣1，y＝8C．x＝﹣1，y＝﹣2D．x＝1，y＝8 4．点P（m，2）关于原点O的对称点为P'（﹣3，n），则m、n的值为（）A．m＝3，n＝2B．m＝3，n＝﹣2C．m＝﹣3，n＝2D．m＝﹣3，n＝﹣2 5．已知A点坐标为（﹣4，5），将点A向右平移5个单位，再向下平移8个单位，得到点A1，再作点A1关于原点的对称点A2，则A2坐标为（）A．（﹣1，3）B．（1，﹣3）C．（9，8）D．（﹣9，﹣8）6．若点P（a+1，a﹣2）关于原点对称的点位于第二象限，则a的取值范围表示正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）7．点M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是．8．若点A（3，5）与点B（﹣3，n）关于原点对称，则n的值为．9．如果点P（x，y）关于原点的对称点为（2，3），则x+y＝．10．在平面直角坐标中，点A（2，3）关于x轴的对称点是；关于y轴的对称点是；关于原点的对称点是．11．已知点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是．12．在平面直角坐标系中，点P（m2+1，﹣3）关于原点对称点在第象限．三．解答题（共3小题）13．已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D 关于原点对称．（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）顺次联结点A、D、B、C，求所得图形的面积．14．如图，已知M（3，4），点N是点M关于原点的对称点，过点M作x轴的垂线，过点N作y轴的垂线，两条垂线相交于点P，求△MNP的面积．15．如图，左右两幅图案关于y轴对称，右图案中的左右眼睛的坐标分别是（2，3），（4，3），嘴角左右端点的坐标分别是（2，1），（4，1）．（1）试确定左图案中的左右眼睛和嘴角左右端点的坐标；（2）从对称的角度来考虑，说一说你是怎样得到的；（3）直接写出右图案中的嘴角左右端点关于原点的对称点的坐标．参考答案一．选择题（共6小题）1．点M（1，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，1）【解答】解：点M（1，2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，﹣2）．故选：C．2．点P（5，﹣3）关于原点对称的点P'的横坐标是（）A．5B．﹣5C．D．﹣【解答】解：点P（5，﹣3）关于原点对称的点P'的横坐标是：﹣5．故选：B．3．已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则（）A．x＝﹣1，y＝2B．x＝﹣1，y＝8C．x＝﹣1，y＝﹣2D．x＝1，y＝8【解答】解：∵点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，∴x﹣2+x+4＝0，y﹣5＝﹣3，解得：x＝﹣1，y＝2，故选：A．4．点P（m，2）关于原点O的对称点为P'（﹣3，n），则m、n的值为（）A．m＝3，n＝2B．m＝3，n＝﹣2C．m＝﹣3，n＝2D．m＝﹣3，n＝﹣2【解答】解：∵点P（m，2）关于原点O的对称点为P'（﹣3，n），∴m、n的值为：m＝3，n＝﹣2，故选：B．5．已知A点坐标为（﹣4，5），将点A向右平移5个单位，再向下平移8个单位，得到点A1，再作点A1关于原点的对称点A2，则A2坐标为（）A．（﹣1，3）B．（1，﹣3）C．（9，8）D．（﹣9，﹣8）【解答】解：∵A点坐标为（﹣4，5），将点A向右平移5个单位，再向下平移8个单位，得到点A1，∴点A1的坐标为：（1，﹣3），∵点A1关于原点的对称点A2，∴A2坐标为（﹣1，3）．故选：A．6．若点P（a+1，a﹣2）关于原点对称的点位于第二象限，则a的取值范围表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵点P（a+1，a﹣2）关于原点的对称的点在第二象限，∴点P在第四象限，∴a+1＞0，a﹣2＜0，解得：﹣1＜a＜2，∴a的取值范围表示正确的是C．故选：C．二．填空题（共6小题）7．点M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4）．【解答】解：M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4），故答案为：（﹣1，4）．8．若点A（3，5）与点B（﹣3，n）关于原点对称，则n的值为﹣5．【解答】解：由点A（3，5）与点B（﹣3，n）关于原点对称，可得n＝﹣5．故答案为：﹣5．9．如果点P（x，y）关于原点的对称点为（2，3），则x+y＝﹣5．【解答】解：∵点P（x，y）关于原点的对称点为（2，3），∴x＝﹣2，y＝﹣3；∴x+y＝﹣2﹣3＝﹣5．故答案是：﹣5．10．在平面直角坐标中，点A（2，3）关于x轴的对称点是（2，﹣3）；关于y轴的对称点是（﹣2，3）；关于原点的对称点是（﹣2，﹣3）．【解答】解：在平面直角坐标中，点A（2，3）关于x轴的对称点是（2，﹣3）；关于y 轴的对称点是（﹣2，3）；关于原点的对称点是（﹣2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）；（﹣2，3）；（﹣2，﹣3）．11．已知点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是a＜2．【解答】解：∵点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，∴点P（a﹣3，2﹣a）在第二象限，，解得：a＜2．∴故答案为：a＜2．12．在平面直角坐标系中，点P（m2+1，﹣3）关于原点对称点在第二象限．【解答】解：点P（m2+1，﹣3）关于原点对称点为（﹣m2﹣1，3），∵﹣m2﹣1＜0，∴（﹣m2﹣1，3）在第二象限．故答案为：二．三．解答题（共3小题）13．已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D 关于原点对称．（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）顺次联结点A、D、B、C，求所得图形的面积．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，∴2b+1＝﹣1，3a﹣1＝2，解得a＝1，b＝﹣1，∴点A（﹣1，2），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣1），∵点C（a+2，b）与点D关于原点对称，∴点D（﹣3，1）；（2）如图所示：四边形ADBC的面积为：．14．如图，已知M（3，4），点N是点M关于原点的对称点，过点M作x轴的垂线，过点N作y轴的垂线，两条垂线相交于点P，求△MNP的面积．【解答】解：如图所示：∵点N是点M关于原点的对称点，M（3，4），∴N（﹣3，﹣4），∴过点M作x轴的垂线，过点N作y轴的垂线，两条垂线相交于点P，∴△MNP的面积：6×8＝24．15．如图，左右两幅图案关于y轴对称，右图案中的左右眼睛的坐标分别是（2，3），（4，3），嘴角左右端点的坐标分别是（2，1），（4，1）．（1）试确定左图案中的左右眼睛和嘴角左右端点的坐标；（2）从对称的角度来考虑，说一说你是怎样得到的；（3）直接写出右图案中的嘴角左右端点关于原点的对称点的坐标．【解答】解：（1）左图案中的左眼睛坐标为（﹣4，3），右眼睛坐标为（﹣2，3），嘴角的左端点坐标为（﹣4，1），右端点坐标为（﹣2，1）．（2）关于y轴对称的两个图形横坐标互为相反数，纵坐标不变；（3）（﹣2，﹣1），（﹣4，﹣1）．。
人教版九年级数学上册第23章 23.2 中心对称 导学案(含答案)
人教版九年级数学上册第23章23.2中心对称导学案（含答案）23．2.1中心对称1、教学目标1．了解中心对称、对称中心、关于对称中心的对称点等概念．2．掌握中心对称的基本性质．2、情景导入自学教材P64～66内容．知识提要中心对称、对称中心、关于对称中心的对称点等概念：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称(centralsymmetry)；这个点叫做对称中心；这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点．自学反馈如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形．3、例题讲解例如图，已知△ABC和点O，画△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称(只保留作图痕迹，不要求写出作法)．【解答】图略．探索：因为点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，线段OA绕点O旋转180°得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA＝OA′，即点O是线段AA′的中点．同样，点O也是线段BB′和CC′的中点．归纳：中心对称的性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；(2)关于中心对称的两个图形是全等图形．【跟踪训练1】教材第66页练习1、2【跟踪训练2】如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为4．4、巩固训练1．下列说法错误的是(C)A．全等的两个图形不一定成中心对称B．中心对称的两个图形一定是全等图形C．能够完全重合的两个图形中心对称D．中心对称是指两个图形之间的位置关系2．下列选项中的左右两个图形成中心对称的是(B)3．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是(D)A．点A与点A′是对称点B．BO＝B′OC．AB∥A′B′D．∠ACB＝∠C′A′B′4．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中成中心对称的三角形有4对．5、课堂小结1．中心对称及对称中心的概念．2．关于中心对称的两个图形的性质.23.2.2 中心对称图形1、教学目标1．掌握中心对称图形的定义．2．准确判断某图形是否为中心对称图形．2、预习反馈自学课本P66～67.思考什么样的图形是中心对称图形．知识探究中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合．那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．自学反馈1．中心对称图形与中心对称有哪些区别与联系．区别：中心对称指两个全等图形的相互位置关系；中心对称图形指一个图形本身成中心对称．联系：如果将成中心对称的两个图形看成一个整体，那么它们是中心对称图形；如果将中心对称图形对称的部分看成两个图形，那么它们成中心对称．2．将下面左图的四张扑克牌中的一张旋转180°后，得到右图，你知道旋转了哪一张扑克吗？议一议．【点拨】这里相当于问哪一张扑克牌是中心对称图形．3、例题讲解例我们已学过许多几何图形，下列几何图形中，哪些是中心对称图形？对称中心是什么？(出示课件图片)①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤正三角形；⑥线段；⑦角．【解答】线段的对称中心为线段中点、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称中心都是对角线交点．【跟踪训练1】下列图形中，是中心对称图形的为(B)【点拨】怎样判断不常见几何图形是否为中心对称图形的妙法：将书本转180°，即倒过来后，看图形是否与原来一样．【跟踪训练2】说一说：在生活中你还见过哪些中心对称图形？学生思考、举例、回答问题，教师展示图片、归纳总结．【跟踪训练3】想一想：你学过的几何图形具有怎样的对称性？【点拨】边数为奇数的正多边形只是轴对称图形而不是中心对称图形，边数为偶数的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．4、巩固训练1．观察下列图形，是中心对称图形的是(B)2．如图，将四个“米”字格的正方形内涂上阴影，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(B)3．下列图形：①等边三角形；②菱形；③函数y＝kx＋b的图象；④函数y＝ax2(a≠0)的图象．其中是中心对称图形的有②③(填序号)．4．设计师：如果公园里的草坪是下面的形状，你能否只修一条笔直的小路就将这块草坪分成面积相等的两部分？解：略．【点拨】由两个中心对称图形构成的图形，过两个对称中心的直线，把这个图形分成的两部分面积相等．5、课堂小结1．中心对称图形的定义．2．怎样准确判断某图形是否为中心对称图形.。
2015年秋新人教版九年级数学上册四清导航同步习题精讲课件周周清23.1-23.3
(1) 将 △ ABC 以 点 C 为 旋 转 中 心 旋 转 180° ， 画 出 旋 转 后 对 应 的 △A1B1C ；平移△ ABC ，若A 的对应点 A2的坐标为 (0 ， －4)，画出平移 后对应的△A2B2C2； (2) 若将△ A1B1C 绕某一点旋转可以得到△ A2B2C2 ， 请直接写出旋转
DE＝DG，∴△ADE≌△CDG，∴∠1＝∠2，又
∵ ∠ 2 ＋ ∠ 3 ＝ 90° ， ∴ ∠ 1 ＋ ∠ 3 ＝ 90° ， ∴ ∠ AHG ＝ 180° － (∠1 ＋ ∠ 3) ＝ 90° ，
∴AE⊥GC
(2)成立，延长AE和GC相交于点H，在正方形ABCD和正方形DEFG中， ∴∠ 1 ＝∠ 2 ＝ 90°－∠ 3 ， ∴△ ADE≌△CDG ， ∴∠ 5 ＝∠ 4 ， 又∵∠ 5 ＋∠ 6 ＝ 90° ， ∠ 4 ＋∠ 7 ＝ 180°－∠ DCE ＝ 90° ， ∴∠ 6 ＝∠ 7 ， 又
∴ ∠ EAB ＝ ∠ DAB ， ∠ EBA ＝ ∠ DBA ， ∵∠ EBM ＝∠ DBN ， ∴∠ MBA ＝∠ NBA ，
又∵AB＝AB，∴△AMB≌△ANB，
∴AM＝AN
16 ． (12 分 ) 如图① ， 已知正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 DEFG 的边
DE上，连接AE，GC.
AD＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠DCB＝∠B＝∠BAD＝∠EDG＝90°，
∵∠ 6 ＋∠ AEB ＝ 90° ， ∠ AEB ＝∠ CEH ， ∴∠ CEH ＋∠ 7 ＝ 90° ，
第10题图
第11题图
2015年秋新人教版九年级数学上册四清导航单元教学习题课件21.3.2用一元二次方程解决增降率问题
7．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条 件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多 于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价 不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200 元．请问她购买了多少件这种服装？ 解：设购买了x件这种服装，’ 根据题意得[80－2(x－10)]x＝1200，解得x1＝20，x2＝30. 当x＝30时，80－2(30－10)＝40＜50，不符合题意，舍去， ∴x＝20，则她购买了20件这种服装
10 ． (2014·南京 ) 某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成 本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养 殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分 率为x. 2.6(1＋x)2 万元； (1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为____________ (2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每 年增长的百分率x. 解：根据题意得4＋2.6(1＋x)2＝7.146， 解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)， ∴可变成本平均每年增长的百分率是10%
11．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80 元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200 件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每 降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个 月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为 40元，设第二个月单价降低x元．
(1)填表(不需化简)：
时间 单价 (元) 销售量 (件 ) 第1个月 第2个月 80－x 200＋10x 清仓时 40 800－200－ (200＋10x)
人教版数学九年级上册全册精品课件.
人教版数学九年级上册全册精品课件.一、教学内容1. 第十三章：一元二次方程详细内容：一元二次方程的定义、解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）、根的判别式、根与系数的关系、实际应用。
2. 第十四章：不等式与不等式组详细内容：不等式的性质、一元一次不等式及其解集、一元一次不等式组、不等式的应用。
3. 第十五章：图形的相似详细内容：相似图形的定义、相似图形的性质、相似多边形的判定、相似多边形的性质、位似图形、相似与位似的应用。
4. 第十六章：锐角三角函数详细内容：锐角三角函数的定义、锐角三角函数的值、互余两角的三角函数的关系、锐角三角函数的应用。
二、教学目标1. 让学生掌握一元二次方程、不等式与不等式组、图形的相似、锐角三角函数的基本概念和解法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：一元二次方程的解法、不等式组的解集、相似多边形的判定与性质、锐角三角函数的应用。
2. 教学重点：一元二次方程的解法、不等式组的应用、相似与位似的应用、锐角三角函数的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、三角板、圆规。
2. 学具：直尺、圆规、量角器、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实际问题，引入本章所学内容。
2. 例题讲解：详细讲解典型例题，分析解题思路和方法。
3. 随堂练习：针对所学知识点，设计随堂练习，巩固所学知识。
4. 小组讨论：分组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
六、板书设计1. 板书：以提纲形式展示本章知识点，突出重点和难点。
2. 例题：将解题过程详细展示在黑板上，方便学生模仿和学习。
七、作业设计1. 作业题目：（1）解一元二次方程：x^2 5x + 6 = 0。
（2）解不等式组：2x 3 > 1，3x + 2 < 5。
（3）判断两个三角形是否相似，并说明理由。
【四清导航】九年级数学上册 第23章 解直角三角形 23.2 解直角三角形及其运用(第1课时)解
16 AC b 解：∵∠C＝90°，b＝8 5，AD＝ 15， ∴cos∠CAD＝ ＝ 3 AD AD 8 5 3 ＝ ＝ ，∴∠CAD＝30°.∵AD 为∠CAB 的角平分线，∴∠CAB 16 2 15 3 ＝60°，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝2b＝16 5，BC＝ 3b＝ 3×8 5 ＝ 8 15
(2)两锐角之间的关系：___________________； 角 A 而言)
2
2
2
已知两条边解直角三角形 1．(3 分)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝ 5，AC＝ 15，则∠A 的度 数为( D ) A．90° B．60° C．45° D．30°
2．(3 分)在电线杆离地面 6 米高的地方向地面拉一条 10 米长的缆绳，则
23．2 解直角三角形及其运用
第1课时 解直角三角形
元素求出未知_______ 1．在直角三角形中，除直角外，由已知_______ 元素 的过
程，叫做解直角三角形． 2．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，其余五个元素(三边 a，b，c， 两锐角 A，B)之间的关系如下：
a ＋b ＝c ； (1)三边之间的关系：___________ ∠A＋∠B＝90° a b a sinA＝ cosA＝ tanA ＝ c ，__________ c ，___________.( (3)边角之间的关系：__________ b 对于锐
5 ，∴AC∶AB＝1∶ 5，∴AC＝2.∵∠CAH＝∠B ，∴sin∠ 5
5 1 CAH＝sinB＝ ＝ ，设 CE＝x(x＞0)，则 AE＝ 5x，则 x2＋22＝( 5x)2， 5 5 ∴CE＝x＝1，AC＝2，在 Rt△ABC 中，AC2＋BC2＝AB2，∴BC＝4，∴ BE＝BC－CE＝3
人教版九年级上册数学第二十三章练习和习题答案
人教版九年级上册数学第59页练习答案1.解：教室里的电扇接通电源之后，会旋转；汽车开动后车轮也会旋转.如图8所示.这个图形的旋转中心是O点，最小的旋转角度是60〬.2.解：从上午6时到上午9时，时针共旋转15小格，1格6〬，从而旋转的角度为90〬.从上午9时到上午10时，时针共旋转了5个小格，从而旋转的角度为30〬.3.解：如图9所示，旋转中心在O点，旋转角是∠AOAˊ（或∠BOBˊ）学子斋 > 课后答案 > 九年级上册课后答案 > 人教版九年级上册数学课本答案 >人教版九年级上册数学第61页练习答案1.解：如图10所示，点P与点Pˊ是对应点.（1）这两个点与旋转中心的距离相等. （2）这两个点与旋转中心所连线段的夹角是80〬2.解：如图11所示.三角形以O点为旋转中心，顺时针旋转120〬，即由位置1转到了位置2，再以O点为旋转中心，顺时针旋转120〬，即由位置2转到了位置3.再以同样的方式旋转就回到了起始位置.3.解：如图12所示，旋转中心为O点，旋转角为∠AOAˊ.人教版九年级上册数学第62页练习答案解：（1）△AOB以点O为旋转中心，按一定的角度旋转之后成了△A₁OB₁，若以S点为旋转中心，旋转了一定的角度之后即到了△A₂O₂B₂的位置，如图13所示.（2）改变△AOB的形状为△COD，仍按（1）的方式旋转，如图14所示.人教版九年级上册数学第66页练习答案1.解：找特殊点关于点O对称的点，并按原图形状连线即可，如图24所示.2.解：如图25所示，O为两个四边形的对称中心.人教版九年级上册数学第67页练习答案1.解：中心对称图形有正方形、圆、菱形等.2.第二个图案是中心对称图形.举例略.人教版九年级上册数学第69页练习答案1.解：这7个点中关于原点O对称的有点C( 2,-1)与点F(-2，1).2.解：Aˊ(-3，-1),Bˊ(2,-3),Cˊ(1，2),D(-2，3).3.∵菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，∴A与从，B与D分别关于原点对称，∴C(2√3，-2),D(1，√3).学子斋 > 课后答案 > 九年级上册课后答案 > 人教版九年级上册数学课本答案 >人教版九年级上册数学习题23.1答案1.解：（1）如图15所示.（2）如图16所示.（3）如图17所示.人教版九年级上册数学习题23.2答案1.解：如图26所示.2.解：依题可知，是中心对称图形的有：禁止标志、风轮叶片、正方形、正六边形；它们的对称中心分别是圆心，叶片的轴心，正方形对角线的交点，正六边形任意两条最长的对角线的交点.3.解：如图27 所示，四边形ABCD关于原点O对称的四边形为AˊBˊCˊDˊ.4.解：∵A（a，1）与Aˊ (5，b)关于原点O对称，5.解：依题意可知此图形时中心对称图形，对称中心是O₁O₂的中点.6.解：如图28所示，做出△ABC以BC的中点O为旋转中心旋转180〬后的图形△DCB，则四边形ABCD即为以AC,AB为一组邻边的平行四边形.7.解：图29（1）中的△DCE是由△ACB以C为旋转中心，顺时针旋转90〬得到的.在图29（2）中，先以AC为对称轴作△ABC的轴对称图形△AFC，再把△AFC以C为旋转中心，逆时针旋转90〬，即可得到△DCE.8.解：依题意知这两个梯形是全等的.因为菱形是以它的对角线的交点为对称中心的中心对称图形，根据中心对称的性质过对称中心的任意一条直线都将图形分成两个全等的图形，所以它们全等.9.解：不一定.当两个全等的梯形的上底与下底之和等于它的一条腰长的时候，这两个全等的梯形可以拼成一个菱形，其他情况不行.10.解：如图30所示，连接BE,DF,EF,BD,AC,BD与EF交于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC,AD=BC, ∴∠1=∠2. ∵△ADE是等边三角形，∴DE=AD,∠3 = 60〬.∵△BCF 为等边三角形，∴BC=BF,∠4=60〬，∴DE=BF. ∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BDE=∠DBF，∴DE//BF，∴四边形BEDF为平行四边形，∴BD与EF互相平分于点O，又∵四边形BEDF为平行四边形，∴BD与AC互相平分于点O，即OD= OB , OE=OF, OA=OC,∴△ADE和△BCF成中心对称.（4）如图18所示.2.解：如图19所示，旋转中心为O点，旋转角为OA所转的角度.3.解：如图20所示.4.解：旋转图形分别为△A₁B₁C₁，△A₂B₂C₂，如图21所示.5.解：（1）旋转中心为O₁点，旋转角为60〬，如图22（1）所示.（2）旋转中心为O₂点，旋转角为90〬，如图22（2）所示.6.提示：旋转角就是以旋转中心为顶点的周角被均匀地等分问题（360〬÷5=72〬 ,360〬÷3=120〬）.解:（1）旋转角为72〬,114〬,216〬,288〬,360〬时，旋转后的五角星与自身重合.（2）等边三角形绕中心点O旋转120〬,240〬,360〬时与自身重合.7.解：风车图案由四个全等的基本图形构成，可由其中一个基本图形绕中心旋转90〬,180〬,270〬得到.8.提示：旋转中心在等腰三角形的外部. 解：五角星中间的点为旋转中心，旋转角为72〬,114〬,216〬,288〬.9.解：（1）如图23所示.（2）∵BC=3，AC=4，∠C=90〬，∴AB= √(AC^2+BC^2 ) =√(4^2+3^2 )=5.A ˊB=AB=5，AAˊ=√(〖AˊB〗^2+AB²)=√(5^2+5²)=5√2.10. 提示：线段BE与DC在形状完全相同的两个三角形中，可考虑旋转变换，点A是两个三角形的公共点，因此点A是旋转中心. 解：BE=DC.理由如下：因为△ABD与△ACE都是等边三角形，所以AE=AC, AB=AD，∠DAB=∠CAE=60〬，所以∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE.所以△BAE绕点A顺时针旋转60〬时，BA与DA重合，AE与AC重合，则△BAE与△DAC完全重合，所以BE= DC .11.解：B(-5，4)人教版九年级上册数学第23章复习题答案1.解：如图31所示.2.解：图32（2）是由图32（1）这个基本图案绕着图案的中心旋转90〬,180〬, 270〬后与原图形所形成的.3.解：图中这4个图形都是中心对称图形，其对称中心为O点，如图33所示.4.解：如图34所示.5.解：依题意可知△EBC可以看做是△DAC以点C为旋转中心、逆时针旋转60〬得到的.6.解：依题意可知：右边倾斜的树以其根部为旋转中心，旋转一定的角度使树成直立的状态，再以与树干平行的一条直线为对称轴作树的对称图形，即可得到左边直立的树.7.解：矩形FABE，菱形EBCD都为中心对称图形，过对称中心的任意一条直线，都可将图形分成面积相等的两部分。
人教版九年级数学上册《23章旋转数学活动》优质课教案_3
初三数学校本课程2归纳与发现归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段. 这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法.下面举几个例题，以见一般.例1如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点（相邻两边公用一个点）；第三层每边有三个点，…这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？分析与解我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数. 第一层有点数：1;第二层有点数：1 x 6;第三层有点数：2 X6;第四层有点数：3 X6;第n层有点数：(n-1) X 6.因此，这个点阵的第n层有点(n-1) X 6个.n层共有点数为1 + 1乂6 +2 *6 + 3X6+…+©-1)X6 =1 +炖1 + 2+ …+ (n-l)］工，［屮小)］畑1)=2 ---------------- 2 ---------=l + 3(n-lX例2在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：图2-100(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域?(2)这n个圆共有多少个交点?分析与解⑴在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1,2,3 ,4, 5个(取这n个特定的圆),观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表18 . 1.表18 . 1由表18. 1易知52-S1 =2,53-S2 = 3,54-S3 = 4,S5-S4 = 5,由此，不难推测S n-S n-1 = n.把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到S n-S[ = 2 + 3 + 4+ …+ n ,因为S1=2，所以S.-2+2+3 + …+n= 1 + (l + 2+3+-+n)!这就证明了当社个圆过P点时，可把平面划分为口 :斗2个平面区域-- 下面对S n-S n-1 =n，即S n=S n-1 + n的正确性略作说明.因为S n-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在S n-1上，所以有S n=S n-1 +n .⑵与(1) 一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决.为此,可列出表18. 2.表18 . 2圆的亍黴k12345■ ■«11酌交直124711數业由表18. 2容易发现a1 =1,a2_a〔a3-a2=2, a4-a3=3,85-84= 4,a n-1 -a n-2 = n-2,a n-a»i = n-1 .n个式子相加务=1+ 11+ 2 +弓+ …+ 0-1)1(n — l)n n1- n + 2=1 4 ---- --------------- --- ---------------------2 2所以，当有满足条件的ti个圆过P点时，逐个圆共有亡戶个交点.注意请读者说明a n二a n-1 +(n-1)的正确性.例3设a, b, c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a< b<c,如果b=n(n是自然数)，试问这样的三角形有多少个？分析与解我们先来研究一些特殊情况：(1) 设b=n=1，这时b=1，因为a< b< c,所以a=1 , c可取1,2, 3,….若c=1 ,则得到一个三边都为1的等边三角形；若c>2, 由于a + b=2，那么a+ b不大于第三边c,这时不可能由a, b, c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个.⑵设b=n=2,类似地可以列举各种情况如表18 . 3.責IS ■ 3a C三箱隹牛数2 2 J32121这时满足条件的三角形总数为：1+2=3 .⑶设b=n=3,类似地可得表18 . 4.表18 . 4三箱形亍数C3它・A - 552 3 . 42131这时满足条件的三角形总数为：1 + 2 + 3=6 .通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为：这个猜想是正确的.因为当b=n时，a可取n个值(1 ,2,3,…, n)，对应于a的每个值，不妨设a=k(1 < k< n).由于b<c v a + b, 即n< c v n + k,所以c可能取的值恰好有k个(n , n + 1, n + 2,…, n+ k-1).所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为：2例4设1 x 2X 3X…x n缩写为n!（称作n的阶乘），试化简：1 ! X 1+ 2 ! X 2 + 3!X 3 + …+ n !X n.分析与解先观察特殊情况：(1) 当n=1 时，原式=1=(1 +1)！-1；(2) 当n=2 时，原式=5=(2+1)！-1；(3) 当n=3 时，原式=23=(3 +1)！-1；(4) 当n=4 时，原式=1 1 9=(4 +1)！-1 ．由此做出一般归纳猜想：原式=(n+1) ！-1. 下面我们证明这个猜想的正确性．1 + 原式= 1+(1 ! X 1 + 2!X 2+ 3!X 3+ …+n ! X n)=1 ! X 2 + 2 ! X 2 + 3!X 3+ …+n !X n=2 ! +2 ! X 2 + 3! X 3 + …+n !X n=2 ! X 3+3 ! X 3+ …+ n ! X n=3 ! +3 ! X 3+ …+n ! X n = •••=n +n X n=(n+1) ，所以原式=(n+1) -1.例5设x>0，试比较代数式X3和X2+X+2的值的大小.分析与解本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x 等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路.为此，设x=0，显然有x3v X2+X+2 .①设x=10 ，则有x3=1000 ，x2+x＋2=112 ，所以x3> X2+X+2.②设x=100 ，则有x3>x2+x+2 .观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x3v x2+x+2 ；当x 值较大时，x3> x2+x+2 ．那么自然会想到：当x= ?时，X3=X2+X+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”.为此，设x3=x2+ x+2,则X3-X2-X-2 = 0,(x3-x2-2x) + (x-2)=0 ，(x-2)(x2+x+1)=0 .因为x>0，所以X2+X+1 >0,所以x-2=0 ,所以x=2 .这样(1)当x=2 时，x3=x2+x+2；(2) 当O v x v 2时，因为x-2 v 0, X2+X+2 > 0,所以(x-2)(x2＋x+2)v O，即x3-(x2＋x+2)v0，所以x3v x2＋x＋2.(3) 当X>2时，因为x-2>0，x2+x+2>0，所以(x-2)(x 2+x+2) >0，即32x -(x ＋x＋2)> 0，所以x3> x2＋x＋2．综合归纳(1)，(2)，(3) ，就得到本题的解答．练习七1．试证明例7 中：p n3 +1-三 --- q仗5「2. 平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交)，也没有三条或三条以上的直线通过同一点.试求：(1) 这n条直线共有多少个交点？(2) 这n条直线把平面分割为多少块区域？然后做出证明.)3. 求适合X5=656356768的整数x.(提示：显然x不易直接求出，但可注意其取值范围：505V 656356768 V 605，所以502V X V 602.)。
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1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是( D )
2 ．如图， 已知△OAB 是正三角形 ，OC⊥OB ，OC＝OB ，将△OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转 ， 使得 OA 与 OC 重合 ， 得到△ OCD ， 则旋转的角度 是( A )
3．点(2，3)关于原点对称的点的坐标是( A )
第20题图
20．(10分)如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方
形A′B′CD′(此时，点B′ 落在对角线AC上，点A′ 落在CD的延长线上)，A′B′ 交AD于点E，连接AA′，CE.求证：
(1)△ADA′≌△CDE；
(2)直线CE是线段AA′的垂直平分线．
证明： (1) 由正方形的性质及旋转得 AD ＝ DC ， ∠ ADC ＝ 90° ， AC ＝ A′C，∠DA′E＝45°，∠ADA′＝∠CDE＝90°，∴∠DEA′＝∠DA′E＝ 45°，∴DA′＝DE，∴△ADA′≌△CDE (2)由正方形的性质及旋转得CD＝CB′，∠CB′E＝∠CDE＝90°，又CE ＝CE，∴Rt△CEB′≌Rt△CED，∴∠B′CE＝∠DCE， ∵AC＝A′C，∴直线CE是AA′的垂直平分线
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，将△ABC绕点C按顺
时针方向旋转后得到△ EDC ， 此时点 D 在 AB 边上 ， 则旋转角的大小为
2α _________ ．
则a－b的值为_______ ． 1 16．如图，用等腰直角三角板画∠AOB＝45°，并将三角板沿OB方向平 移到如图所示的虚线处后绕点 M 逆时针方向旋转 22° ， 则三角板的斜边 22° ． 与射线OA的夹角α为_________
A．(－1，－ 3)
若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它完成一次指令[2， ) D
B．(－1， 3) C．( 3，－1) D．(－ 3，－1)
9．如图，8×8方格纸的两条对称轴EF，MN相交于点O，对图a作下列变 换：①先以直线MN为对称轴作轴对称图形 ，再向上平移4格；②先以点
ห้องสมุดไป่ตู้
O为中心旋转180°，再向右平移1格；③先以直线EF为对称轴作轴对称
图形，再向右平移4格，其中能将图a变换成图b的是( A．①② B．①③ C．②③ D ) D．③
10 ． 如图 ， △ ACD 和△ AEB 都是等腰直角三角形 ， ∠ CAD ＝∠ EAB ＝ 90°，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是( B ) A．△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后与△ADB重合 B．△ACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270°后与△DAC重合 C．沿AE所在直线折叠后，△ACE与△ADE重合 D．沿AD所在直线折叠后，△ADB与△ADE重合 11 ．如图是中国共产主义青年团团旗上的图案 (图案本 身没有字母 ) ，则至少旋转 ________ 度后能与原来图形 72 重合． 第10题图
15．在平面直角坐标系中，点P(2，3)与点P′(2a＋b，a＋2b)关于原点对称，
第14题图
第16题图
17．如图，小新从A点出发前进10 m，向右转15°，再前进10 m，又向
右转 15° ， „„这样一直走下去 ， 他第一次回到出发点 A 时 ， 一共走了 ____________m. 240 18．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝ 2CD( 如图 ) ， 把△ ABC 绕着点 D 逆时针旋转 m(0 ＜ m ＜ 180)度后 ， 如果点 B 80或120 恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝_____________ ．
21 ．(10分) 如图 ，在△ ABC 中， ∠ BAC ＝120°，以 BC为边作等边三角
形△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，若
AB＝5，AC＝2.求： (1)∠BAD的度数；
(2)AE的长．
解 ： (1) 由 旋 转 的 性 质 及 等 边 三 角 形 的 性 质 得 △ ABD≌△ECD ， ∠ BAC ＋ ∠ CDB ＋ ∠ ABD ＋ ∠ ACD ＝ 360° ， ∴ 120° ＋ ∠ ABD ＋ ∠ ACD ＋ 60° ＝ 360° ， ∴ ∠ ABD ＋ ∠ ACD ＝ 180° ， ∴ ∠ ACD ＋ ∠ECD＝180°，∴A，C，E三点在一条直线上 ，∴△ADE为等边三角 形，∴∠E＝∠BAD＝60° (2)由(1)知AE＝AC＋CE，CE＝AB，∴AE＝5＋2＝7
第11题图
12 ．如图 ， 一块等腰直角三角板 ABC ， 在水平桌面上绕点 C 按顺时针方 向旋转到 A′B′C 的位置 ， 使 A ， C ， B′ 三点共线 ， 那么旋转角的大小为 135° ． ____________
13．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′，若点A的坐标 (－b， a) 为(a，b)，则点A′的坐标为___________ ．
第17题图 第18题图
19 ．(8 分)如图所示 ， 方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的
正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
(1)把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1； (2)以原点O为对称中心，再画出与△A1B1C1关于原点O对称的△A2B2C2. 解：图略
A．(－2，－3) B．(－2，3) C．(1，－3) D．(3，1)
4．下列A，B，C，D四幅“福牛乐乐”图案中，能通过把图1顺时针旋 转180°得到的是 ( B )
5．如图，已知▱ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，
点A的坐标为(－2，3)，则点C的坐标为(
A．(－3，2) C．(3，－2) B．(－2，－3) D．(2，－3)
)D
6．由图中左侧三角形仅经过一次平移、旋转或轴对称变换，不能得到的 图形是( B )
4 7．如图，直线y＝－ x＋4与x轴、y轴分别交于A，B两点，把△AOB 3 绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是 ( D )
A．(3，4) C．(7，4)
B．(4，5) D．(7，3)
8．已知坐标平面上的机器人接受指令“[a，A]”(a≥0，0°＜A＜180°) 后的行动结果为：在原地顺时针旋转 A后，再向面对方向沿直线行走a， 60°]后，所在位置的坐标为(