2015年泰和五中“景润杯”七年级下数学竞赛试题

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2015年泰和五中“景润杯“七年级下数学竞赛试题
得分：
一、选择题（每小题5分，共30分）：
1、如图1，DE ∥BC
，EF ∥AB ，图中与∠BFE 互补的角共有（ ）个．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 2、父亲节，学校“文苑”专栏登出了某同学回忆父亲的小诗：“同辞家门赴车站，别时叮咛语千万，学子满载信心去，老父怀抱希望还.”如果用纵轴y 表示父亲和学子在行进中离家
的距离，横轴t 表示离的时间，那么下面与上述诗意大致相吻的图象是（ ）.
3、如图3，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠C ＝60°，点E 是DC 上的一点．沿直线AE 折叠，使D 点落在D ’处，则∠1＋∠2等于（ ） A ．180° B ．150° C ．135° D ．120°
4、使27
3
n n ++是自然数的正整数n 的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5、乘积22221111
(1)(1)(123910----等于（ ）
A ．125
B ．21
C ．20
11
D ．
10
7
6、我们对一些较大的数设计出一种简单的记法：对n 个连续出现的d ，记为d n . 其
中n 是正整数，d 是一个一位整数（0≤d ≤9）. 例如： 93857462 表示 99988888777766．
如果 2x 3y 5z ＋3z 5x 2y ＝53835373 ，那么x ，y ，z 的值分别是（ ） A ．4，5，3 B
．3，6，3 C ．3，5，4 D ．5，3，4
二、填空题（每小题5分，共30分）
1、计算(2x ＋y －3z )2—(2x —y ＋3z)2 ＝ ．
2、一个数字在镜子里看是“”，你知道这个数字实际上是 ．
3、已知2m ＝a ，32n ＝b ，则2310m n +＝ ．
4、012=-+m m ，则2009223++m m ＝ ．
5、已知a ＋b ＝－3，ab ＝2，则a 2b 2－a 2－b 2－4ab ＋1的值是________．
6、图，B 、C 、D 依次是线段AE 上三点，已知AE ＝8.9cm ，BD ＝3cm ，则图中以A 、B 、C 、D 、E 这五个点为端点的所有线段长度之和等于___________．
三、解答题（40分）：
1、
如图，以锐
角△ABC 的边AB 、AC 向外作正方形APQB 和正方形AEFC ，连接PE ，作AD ⊥BC ，垂足为D ，延长DA 交PE 于点H ．过P 作PM ⊥DM ，垂足为M ，过点E 作EN ⊥DM ，垂足为N ．
（1）不再增加线条或字母，在图中找出一对全等三角形，并给出证明； （2）求证：PH=HE ．
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2、已知正实数c b a ,,分别为△ABC 的三边之长，
且满足a 2
＋b 2
＋c 2
－a b －b c －a c ＝0，试判断△ABC 的形状。

3、如图1，在△ABC 的BC 边上任取点D ，由于△ABD 与△ACD 在BD 和CD 边上的高相同，所以△ABD 与△ACD 的面积比为BD ∶CD ．
（1）如图2，若△ABC 的面积为12，BD ∶CD=2∶1，BE 是△ABD 的中线，则△ABE 的面积为 ．
（2）如图3，若△BOC 的面积为5，△OCD 的面积为3，△OBE 的面积为4，求阴影部分四边形AEOD 的面积．
4、若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－
x 3)(2005－x 4)(2005－x 5)＝242，求22222
12345
++++x x x x x 的未位数字．
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参考答案： 一、选择题
1、C ；
2、C ；
3、A ；
4、C ；
5、C ；
6、B ； 二、填空题 1、8 x y —24x z ；2、，； 3、a 3b 2；4、2010；5、－8； 6、41.6cm ；
三、解答题
1、解：（1）有三组：△BAD ≌△APM ，△DAC ≌△NEA ，△PMH ≌△ENH ；任选一组即可；
以△BAD ≌△APM 为例进行说明； 证明：∵四边形ABQP 是正方形， ∴AB=AP ，∠PAB=90°； ∴∠PAM=∠ABD=90°-∠BAD ， 又∵∠PMA=∠ADB=90°， ∴△BAD ≌△APM ；
（△DAC ≌△NEA 证法同上，△PMH ≌△ENH 如（2）．）
（2）由（1）的△BAD ≌△APM ，△DAC ≌△NEA ，得：PM=NE=AD ； ∵∠PMH=∠ENH=90°，∠PHM=∠EHN ， ∴△PMH ≌△ENH ，故PH=HE ．
2、解：原式变为：2a 2
＋2b 2
＋2c 2
－2a b －2b c －2a c ＝0， 即：(a 2
－2a b ＋b 2
)＋(b 2
－2b c ＋c 2
)＋(a 2
－2a c ＋c 2
)＝0， 所以(a －b )2
＋(b －c )2
＋(a －c )2
＝0，
根据完全平方的非负性及上式的特点可得 a －b ＝0 且 b －c ＝0 且 a －c ＝0
所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 的形状是等边三角形。

3、解：（1）∵△ABC 的面积为12，BD ：CD=2：1，
∴△ABD 的面积是8． 又BE 是△ABD 的中线， ∴△ABE 的面积为4．
（2）连接AO ．设△AOE 的面积是x ，△AOD 的面积是y ．根据题意，得
4、解：因为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，所以(2005－x 1)、(2005－x 2)、(2005－x 3)、(2005－x 4)、(2005－x 5)为互不相等的偶数
而将242分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：242＝2·(－2)·4·6·(－6)
所以(2005－x 1)、(2005－x 2)、(2005－x 3)、(2005－x 4)、(2005－x 5)分别等于2、(－2)、4、6、(－6)
所以(2005－x 1)2＋(2005－x 2)2＋(2005－x 3)2＋(2005－x 4)2＋(2005－x 5)2＝22＋(－2)2＋42＋62＋(－6)2＝96
展开得：()()222222123451234552005-4010+++++++++96x x x x x x x x x x ⋅=
()()222222
1234512345x +x +x +x +x =96-52005+4010x +x +x +x +x 1mod10.
∴⋅≡ 。